1. O documento discute a teoria do Big Bang, que propõe que o Universo começou há bilhões de anos a partir de uma grande explosão de uma região extremamente densa e quente. 2. A teoria utiliza a relatividade geral de Einstein para explicar a expansão do Universo e o deslocamento para o vermelho das galáxias distantes. 3. A radiação cósmica de fundo fornece evidências adicionais para a teoria, como sua temperatura de 2,7 K, que corresponde à radiação deixada pela

1. UFMT
Universidade Federal do Mato Grosso
Departamento de Matem´tica-CUR
a
Cosmologia: O Bigue Bangue
Cosmology: The Big Bang
Prof. Rosevaldo de Oliveira
Professor: Rosevaldo de Oliveira
1

2. Conte´ do
u
1 Introdu¸˜o
ca 4
2 A teoria do Bigue Bangue ou The Theory of the Big
Bang 5
3 Distˆncias
a 6
4 Redshift e Expans˜o do Universo
a 10
5 Radia¸˜o de Corpo Negro e Radia¸˜o C´smica de
ca ca o
Fundo 16
6 Curvatura 18
2

3. 7 A m´trica de Robertson-Walker
e 21
8 Relatividade Geral 26
9 Dinˆmica do Universo
a 28
10 Coment´rios Finais
a 30
3

4. 1 Introdu¸˜o
ca
Imagine uma ´poca do passado remoto, h´ bilh˜es de anos, muito
e a o
antes do nascimento da Terra, do Sol e da Via L´ctea. Imagine
a
tamb´m o espa¸o c´smico primordial, escuro e frio, de volume
e c o
infinito, totalmente vazio, exceto por um unico lugar, uma regi˜o
´ a
extremamente pequena onde repousa a semente da Cria¸˜o. Aquele
ca
ponto diminuto, de temperatura e press˜o enormes, sofre algum
a
tipo de perturba¸˜o interna e detona subitamente numa grande
ca
explos˜o, criando a mat´ria. Esta ´ lan¸ada em todas as dire¸˜es e
a e e c co
forma uma esfera que ocupa cada vez mais lugar naquele espa¸o c
vazio e infinito anteriormente existente, organizando-se at´ chegar `
e a
configura¸˜o peculiar e menos densa que observamos atualmente. O
ca
centro do Universo ´ o local onde ocorreu a explos˜o e corresponde
e a
ao centro da grande esfera de gal´xias em expans˜o que vemos
a a
hoje. Se pud´ssemos viajar livremente pelo espa¸o e dispus´ssemos
e c e
4

5. do tempo necess´rio, conseguir´
a ıamos visitar aquela misteriosa
regi˜o onde tudo come¸ou. Por outro lado, as gal´xias da periferia
a c a
da esfera avan¸am velozmente para o v´cuo infinito que se
c a
apresenta ` sua frente. Se algum ser inteligente vive em uma delas,
a
percebe que s´ existem gal´xias numa metade do c´u. Com essa
o a e
constata¸˜o, ele raciocina e deduz que, quando ele olha para o
ca
centro da metade escura e vazia do espa¸o, vˆ o ponto para onde
c e
sua gal´xia se dirige, e, quando olha para o lugar oposto, bem no
a
meio da regi˜o das gal´xias, vˆ o ponto de onde sua gal´xia se
a a e a
afasta, centro do Universo material, onde ocorreu a explos˜o.
a
5

6. 2 A teoria do Bigue Bangue ou The
Theory of the Big Bang
´
1. E uma teoria baseada na Teoria da Relatividade Geral de
Einstein.
´
2. E a teoria padr˜o da cosmologia atual, o nome Big Bang vem
a
do fato de considerar o surgimento do universo como um evento
inicial.
3. Na metade dos anos 40 um f´ ısico sovi´tico G. Gamov rec´m
e e
ingressado nos EUA (ignorando o trabalhos de Adam e
MecKellar) propˆs a um de seus estudadntes R. Alpher o
o
estudo da nucleoss´
ıntese de um universo em expans˜o.
a
4. No final dos anos 40 R. Alpher e R. Herman passam a
considerar a existˆncia de uma radia¸˜o de fundo remanescente
e ca
do per´
ıodo da cria¸˜o do universo.
ca
6

7. 3 Distˆncias
a
A luz do sol leva aproximadamente 8 mimutos para atingir a terra,
7

8. e a distˆncia das estrelas mais pr´ximas s˜o de aproximadamente
a o a
de 3 anos-luz ou 1 pc.
O diˆmetro da nossa gal´xia ´ de aproximadamente 163000AL.
a a e
8

9. Uma das gal´xias mais pr´ximas da nossa gal´xia ´ Andromeda, e
a o a e
est´ aproximadamente 2 milh˜es de anos luz.
a o
Quanto tempo levar´
ıamos para alcan¸ar a estrela mais pr´xima
c o
numa levocidade de 60000km/h?
d
t= ∼ 8, 5 anos (1)
v
E para chegarmos em Andromeda nesta velocidade o tempo seria de
d
t= ∼ 578 milh˜es de anos
o (2)
v
9

10. 4 Redshift e Expans˜o do Universo
a
1. Em 1912 Vesto Slipher fez as primeiras medidas observando o
redshift que ´ definido por
a
λobs − λem
z= (3)
λem
O valor de z varia entre 0 e 1
z > 0 Redshift (4)
z < 0 Blueshift (5)
∆λ v ∆λ ∆λ
v= = = =z (6)
∆T c c∆T λe
10

11. 11

12. 2. Em 1929 Edwin Hubble relacionou o redshift com a distˆncia
a
das gal´xias
a
H0
z= r (7)
c
Usando a rela¸˜o z = v/c podemos mostrar que
ca
z = H0 r (8)
o valor atual da costante de Hubble ´ H0 = 70 ± 7 s.M pc .
e km
A idade do Universo pode ser estimada por meio de
r r 1
t0 = = = ∼ 15 bilh˜es de anos
o (9)
v H0 r H0
12

13. 13

14. Dados trˆs gal´xias no espa¸o a distˆncia entre eles ´ dada por
e a c a e
r12 = |⃗1 − ⃗2 |
r r (10)
r23 = |⃗2 − ⃗3 |
r r (11)
r31 = |⃗3 − ⃗1 |
r r (12)
3. A expans˜o do universo implica no sugimento de um fator de
a
escala que preserva a forma do triˆngulo
a
14

15. r12 (t) = a(t)r12 (t0 ) (13)
r23 (t) = a(t)r23 (t0 ) (14)
r31 (t) = a(t)r31 (t0 ) (15)
4. A velocidade entre as trˆs gal´xias ´
e a e
dr12 a˙
v12 (t) = = ar12 (t0 ) = r12 (t)
˙ (16)
dt a
v12 (t) = H0 r (17)
15

16. 5 Radia¸˜o de Corpo Negro e Radia¸˜o
ca ca
C´smica de Fundo
o
16

17. A densidade de energia total de um Corpo-Negro ´ uma fun¸˜o da
e ca
temperatura
E
= σT 4 (18)
V
Em 1965 Arno Penzias e Robert Wilson no laborat´rio da Bell
o
descobriram a Radia¸˜o C´smica de Fundo
ca o
T0 = 2.725 ± 0.001K (19)
17

18. 6 Curvatura
18

19. O elemento de distˆncia
a
ds2 = dx2 + dy 2 (Cartesianas) (20)
ds2 = dr2 + r2 dθ2 (P olares) (21)
onde A ´ a ´rea da esfera e R ´ o raio da esfera.
e a e
19

20. Na superf´ 2D de uma esfera o elemento de linha ´ descrito por
ıcie e
(r)
2 2 2 2
ds = dr + R sin dθ2 (22)
R
A distˆncia no espa¸o hiperb´lico 2D ´ dada por
a c o e
(r)
ds2 = dr2 + R2 sinh2 dθ2 (23)
R
20

21. Em 3D a distˆncia nas coordenadas cartesianas ´ dada por
a e
ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 (24)
ds2 = dr2 + Sk (r)2 dΩ2 (25)
onde
dΩ2 = dθ2 + sin2 (ϕ)dϕ2 (26)
e
Sk (r) = R sin(r/R) para k = +1
Sk (r) = r para k=0 (27)
Sk (r) = R sinh(r/R) para k = −1
21

22. 7 A m´trica de Robertson-Walker
e
A distˆncia num universo em expans˜o ´ dada por
a a e
ds2 = −c2 dt2 + a(t)[dr2 + Sk (r)2 dΩ2 ] (28)
onde
dΩ2 = dθ2 + sin2 (ϕ)dϕ2 (29)
e
Sk (r) = R sin(r/R) para k = +1
Sk (r) = r para k=0 (30)
Sk (r) = R sinh(r/R) para k = −1
Fazendo algumas transforma¸˜es podemos escrever a m´trica de
co e
22

23. Robertson-Walker da seguinte forma
[ ]
dr 2 ( 2 )
ds2 = −c2 dt2 + a2 (t) + r2 dθ + sin2 (θ)dϕ2 (31)
1 − kr2
 
−1 0 0 0
 
 0 a2 (t) 
 1−kr 2 0 0 
gµν =  (32)
 0 0 2
a (t)r 2
0 
 
0 0 0 a2 (t)r2 sin2 (θ)
Para o caso particular k = 0 temos um universo plano (m´trica de
e
Minkowsky com fator de escala)
23

24. 24

25. A distˆncia pr´pria entre um observador e uma gal´xia num tempo
a o a
fixo t e ˆngulos fixos θ, ϕ ´ dada por
a e
ds = a(t)dr (33)
dp (t) = a(t)r (34)
25

26. A velocidade da expans˜o ´ dada por
a e
˙
dp (t) = a(t)r
˙ (35)
( )
a
˙
v(t) = dp (t) (36)
a
v(t) = H(t)dp (t) (37)
No momento o tempo ´ t0 e a rela¸˜o acima ´ dada por
e ca e
v(t0 ) = H(t0 )dp (t0 ) (38)
Esta ´ a velocidade de recess˜o que as gal´xias est˜o se afastando
e a a a
de n´s. Quando a distˆncia atinge o valor de dH (t0 ) = c/H0 a
o a
velocidade de recess˜o atinge a velocidade da luz c esta ´ conhecida
a e
como sendo a distˆncia Hubble
a
dH (t0 ) = 4300 ± M pc (39)
26

27. 8 Relatividade Geral
Para obter a dinˆmica partiremos da equa¸˜o de Einstein da
a ca
Relatividade Geral
8πGTµν
Gµν = − (40)
c4
onde Tµν ´ o tensor energia-momento e
e
1
Gµν = Rµν − Rgµν (T ensor de Einstein) (41)
2
Rµν = Rλµλν (T ensor de Ricci) (42)
R = Rµµ (Escalar de Curvatura) (43)
27

28. 9 Dinˆmica do Universo
a
Utilizando a m´trica de Robertson-Walker
e
[ ]
dr 2 ( 2 )
ds = −c dt + a (t)
2 2 2 2 2 2
+ r dθ + sin (θ)dϕ2
(44)
1 − kr2
Podemos calcular a conex˜o Γ
a
da
Γ0
ij = a gij
˜ (45)
dt
1 da i
Γi
0j = Γi
j0 = δ (46)
a dt j
il
( )
g
˜ ∂˜lj
g ∂˜lk
g ∂˜jk
g
Γi
jk = + − (47)
2 ∂xk ∂xj ∂xl
28

29. onde
 
−1 0 0 0
 
 0 1 
 1−kr 2 0 0 
gµν
˜ =  (48)
 0 0 r 2
0 
 
0 0 0 r2 sin2 (θ)
e em posse do tensor energia-momento para um fluido isotr´pico
o
temos
 
−ρ 0 0 0
 
 0 P 0 0 
 
Tν = 
µ
 (49)
 0 0 P 0 
 
0 0 0 P
29

30. Da conserva¸˜o da energia temos que
ca
µ
∂Tν
+ Γµ Tν − Γα Tα = 0
αµ
α
νµ
µ
(50)
∂xµ
e fazendo uso da componente (0-0) da equa¸˜o de Einstein obtemos
ca
a equa¸˜o de Friedmann
ca
( )2
a
˙ 8πG kc2
= 2
ρ− 2 2 Eq. de Friedmann (51)
a 3c R0 a
a
˙
ρ + 3 (ρ + P ) = 0
˙ Eq. do Fluido (52)
a
P = ωρ Eq. de Estado (53)
30

31. 10 Coment´rios Finais
a
1. O nada ´ quase tudo: aproximadamente 70% da
e
energia total do universo
(a) 1948 Hendrik Casimir insere duas chapas met´licas no
a
v´cuo, separadas por 0,02 mil´
a ımetro. E da energia do v´cuo
a
surge uma for¸a devido as condi¸˜es de contorno.
c co
(b) 1980 Alan Guth e Andr´ Linde mostram que, ao nascer, o
e
Universo teve um crescimento por bilion´simos de segundo.
e
A causa: uma libera¸˜o de energia do v´cuo
ca a
(c) 1997 Descobre-se que o cosmo est´ de novo crescendo em
a
´
ritmo acelerado. E poss´ que o novo impulso seja um
ıvel
res´
ıduo de energia do v´cuo, ainda em a¸˜o.
a ca
(d) 2003 A an´lise de dados do sat´lite-telesc´pio WMAP leva
a e o
a uma conclus˜o absurda: a de que 73% do peso do
a
Universo vem do vazio. Absurda, por´m incontest´vel.
e a
31

32. • O nada est´ mortalmente quieto: armazenou a imensa
a
energia do Big Bang e acomodou-se. Virou o esqueleto do
cosmo.
• At´ hoje, desde que, em 1930, come¸ou-se a fazer
e c
experiˆncias com os precursores dos aceleradores de
e
part´ıculas, o equivalente a 1 863 272 195 pr´tons foram
o
trazidos do nada - uma insignificˆncia.
a
32

33. 2. Quest˜o filos´fica: Provir do NADA
a o
Como nada n˜o ´ coisa alguma, n˜o se pode provir do nada.
a e a
Mas isto n˜o significa que algo n˜o possa surgir sem que seja
a a
proveniente de alguma coisa. Isto n˜o ´ proibido e n˜o significa
a e a
“surgir do nada”, mas sim surgir sem ser de coisa nenhuma.
Tanto sem procedˆncia quanto sem causa e nem prop´sito.
e o
Assim ´ que deve ter ocorrido com o surgimento do conte´do
e u
cujo s´bito in´ de expans˜o consiste no Big Bang.Como nada
u ıcio a
n˜o ´ coisa alguma, n˜o se pode provir do nada. Mas isto n˜o
a e a a
significa que algo n˜o possa surgir sem que seja proveniente de
a
alguma coisa. Isto n˜o ´ proibido e n˜o significa “surgir do
a e a
nada”, mas sim surgir sem ser de coisa nenhuma. Tanto sem
procedˆncia quanto sem causa e nem prop´sito. Assim ´ que
e o e
deve ter ocorrido com o surgimento do conte´do cujo s´bito
u u
in´ de expans˜o consiste no Big Bang.
ıcio a
33