Aulão OBMEP_2023_atual_Aqui tem explicação sobre questões da obmep

AULÃO OBMEP 2023
2ª Fase
Nível 3 (Ensino Médio)
Professor Moab Marques da Silva
Me. Educação Matemática
05/03/2024 moab.academicounir@gmail.com 2

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A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
Públicas - OBMEP é um projeto nacional dirigido às
escolas públicas e privadas brasileiras, realizado pelo
Instituto de Matemática Pura e Aplicada - IMPA, com o
apoio da Sociedade Brasileira de Matemática – SBM, e
promovida com recursos do Ministério da Educação - MEC
e do Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovação - MCTI.
O público-alvo da OBMEP é composto de alunos do 6º ano
do Ensino Fundamental até último ano do Ensino Médio.
As provas são preparadas segundo o grau de escolaridade
do aluno: Nível 1 (6º e 7º anos), Nível 2 (8º e 9º anos) e
Nível 3 (Ensino Médio)
O que é a OBMEP?
05/03/2024 moab.academicounir@gmail.com

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Criada em 2005 para estimular o estudo da matemática e
identificar talentos na área, a OBMEP tem como objetivos
principais:
Quando surgiu e quais seus objetivos
 Estimular e promover o estudo da Matemática;
 Contribuir para a melhoria da qualidade da educação
básica, possibilitando que um maior número de alunos
brasileiros possa ter acesso a material didático de
qualidade;
 Identificar jovens talentos e incentivar seu ingresso em
universidades, nas áreas científicas e tecnológicas;
 Incentivar o aperfeiçoamento dos professores das
escolas públicas, contribuindo para a sua valorização
profissional;

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 Contribuir para a integração das escolas brasileiras
com as universidades públicas, os institutos de
pesquisa e com as sociedades científicas;
 Promover a inclusão social por meio da difusão do
conhecimento
Quando surgiu e quais seus objetivos

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Critérios de classificação

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Programa de Iniciação Científica Jr. (PIC)
O Programa de Iniciação Científica Jr. (PIC) é um
programa que propicia ao aluno premiado da OBMEP,
entrar em contato com interessantes questões no ramo
da Matemática, ampliando o seu conhecimento científico
e preparando-o para um futuro desempenho profissional
e acadêmico.
Será concedido uma bolsa de 300,00 R$ mensais
fomentada pelo CNPq (Conselho Nacional de
Desenvolvimento Científico e Tecnológico).
Programas vinculados aos medalhistas
da OBMEP

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Programa de Iniciação Científica e Mestrado (PICME)
O PICME é um programa que oferece aos estudantes
universitários que se destacaram nas Olimpíadas de
Matemática (medalhistas da OBMEP ou da OBM) a
oportunidade de realizar estudos avançados em
Matemática simultaneamente com sua graduação. Os
participantes recebem as bolsas por meio de uma parceria
com o CNPq (Iniciação Científica) e com a CAPES
(Mestrado e Doutorado).
Mestrado bolsa de 2.100, 00 R$
Doutorado bolsa de 3.100, 00 R$
Programas vinculados aos medalhistas
da OBMEP

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Baralho das idades
Vamos começar brincando!

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Princípio fundamental da Contagem
Máximos e Mínimos de uma Função Quadrática
Probabilidade
Conteúdos discutidos no Aulão

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De maneira bem simplificada, o Princípio Fundamental da Contagem
(ou PFC) nos diz que, dadas duas ou mais situações independentes,
podemos encontrar o total de combinações possíveis apenas
multiplicando as diferentes opções fornecidas em cada uma.
Exemplos
1) João está em um hotel e pretende ir visitar o centro histórico da
cidade. Partindo do hotel existem 3 linhas de metrô que levam ao
shopping e 4 ônibus que se deslocam do shopping para o centro
histórico. De quantas maneiras João pode sair do hotel e chegar
até o centro histórico passando pelo shopping?

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Pelo Princípio Fundamental da Contagem
3x4 = 12
Hotel
Resolução

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Exemplos
2) Quantos números com cinco algarismos distintos
podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7
e 9.
3) Quantos números com cinco algarismos distintos
podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7
e 9, desde que os algarismos 1 e 3 ficam sempre
juntos.
4) Quantos números de 3 algarismos distintos
podemos formar. Nessas condições, quantos
números pares distintos? E ímpares?

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Máximos e Mínimos de uma Função Quadrática
Toda expressão na forma y = ax² + bx + c ou f(x) =
ax² + bx + c, com a, b e c números reais, sendo a ≠
0, é denominada função do 2º grau.

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Exemplos
1) Encontre os pontos de máximos e
mínimos nas funções quadráticas a seguir:
a) y = x² - 2x +1
b) y = -x² - 2x

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Probabilidade
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que
estuda experimentos ou fenômenos aleatórios. Através dela, é
possível analisar as chances de um determinado evento
ocorrer.
Podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado
resultado através da divisão entre o número de eventos
favoráveis e o número total de resultados possíveis:

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17
Exemplos
1) Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de
sair um número menor que 3?
Solução

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Exemplos
2) O baralho de cartas é formado por 52 cartas divididas em
quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 13 de cada
naipe. Dessa forma, se retirar uma carta ao acaso, qual a
probabilidade de sair uma carta do naipe de paus?
Solução

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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Um número inteiro positivo é chamado de interessante quando
termina com um algarismo que é igual ao produto de seus demais
algarismos. Por exemplo, 326 e 1020 são interessantes, pois 3x2 = 6 e
1x0x2 = 0.
a) Qual deve ser o valor do algarismo A para que o número 14A8 seja
interessante?
b) Quantos números interessantes de quatro algarismos terminam com o
algarismo 6?
c) Quantos números interessantes de cinco algarismos terminam com o
algarismo 0?

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RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 1
a) Qual deve ser o valor do algarismo A para que o número 14A8 seja
interessante?
b) Quantos números interessantes de quatro algarismos terminam com o
algarismo 6?
1X4XA = 8 então A = 2
Então total é 9 números interessantes

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c) Quantos números interessantes de cinco algarismos terminam
com o algarismo 0?

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2) Números naturais devem ser escritos dentro de cada círculo
vazio da figura, de modo que a soma dos números escritos em três
círculos alinhados e consecutivos seja sempre a mesma.
a) Qual número deverá ser escrito no círculo
vermelho?
b) Mostre que a soma de todos os números
escritos é um múltiplo de 7.
c) Para que a soma de todos os números
escritos seja 63, qual número deverá ser
escrito no círculo azul?

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a) Qual número deverá ser escrito no círculo vermelho?

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b) Mostre que a soma de todos os números escritos é um múltiplo de 7.
Logo, ao final, serão escritos sete números 2, sete números 3 e sete números x.
Assim, a soma de todos os números escritos é um múltiplo de 7.

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c) Para que a soma de todos os números escritos seja 63, qual
número deverá ser escrito no círculo azul?
7.2+7.3+7.x = 63
14+21+7x = 63
7x = 63-35
7x = 28
x =
28
7
x = 4

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3) O triângulo retângulo ABC tem catetos de medidas AB = 10 e AC
= 10. O ponto P sobre o lado AB está a uma distância x de A. O
ponto Q sobre o lado AC é tal que PQ é paralelo a BC. Os pontos
R e S sobre BC são tais que QR é paralelo a AB e PS é paralelo a
AC. A união dos paralelogramos PBRQ e PSCQ determina uma
região cinza de área f(x) no interior do triângulo ABC.
a) Calcule f(2).

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b) Calcule f(8).
c) Encontre a expressão de f(x) para 0 ≤ x ≤ 10.
d) Para qual valor de x a área f(x) é máxima?

28
28
4) As amigas Ana, Beatriz, Cláudia e Diana têm uma
bolinha de queimada cada uma. Quando toca um
sinal, cada menina escolhe, ao acaso, uma de suas
três amigas para jogar sua bolinha.
a) Qual é a probabilidade de que Ana receba três bolinhas?
b) Qual é a probabilidade de que Ana receba exatamente duas bolinhas?
c) Qual é a probabilidade de que cada menina receba uma bolinha?

29
29
Existem 34 = 81 possibilidades do jogo. Ana deve receber as
bolinhas de Beatriz, de Cláudia e de Diana e deve jogar sua
bolinha para uma dessas três amigas; logo a probabilidade de Ana
receber três bolinhas é .
3
81
=
1
27
RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4
Como vimos no item a) existem 81 possibilidades do jogo. Se
Beatriz é a única que não joga sua bolinha para Ana, há 6
possibilidades de jogo, pois Beatriz deve jogar sua bolinha para
Cláudia ou para Diana, e Ana pode jogar sua bolinha para qualquer
uma de suas três amigas analogamente acontece quando Cláudia
e Diana não jogarem a bolinha pra Ana, assim teremos 3 x 6 = 18
jogadas favoráreis. Logo, a probabilidade dela receber exatamente
2 bolinhas será de
18
81
=
2
9
a) Qual é a probabilidade de que Ana receba três bolinhas?
b) Qual é a probabilidade de que Ana receba exatamente duas bolinhas?

30
30
Logo, os casos favoráveis são 3x3x1x1 = 9
Portanto, a probabilidade dela receber exatamente 1 bolinha será
de
9
81
=
1
9
Ana
Beatriz
Cláudia
Diana
Ana
Cláudia
Diana
Diana Cláudia
c) Qual é a probabilidade de que cada menina receba uma bolinha?

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5) Sérgio inventou as operações matemáticas # e @ entre
números inteiros, como abaixo:
Por exemplo, 1# 4 = 17 e 1@(-6) = 25. Utilizando as operações
criadas por Sérgio, responda às perguntas abaixo:
a) Qual é o valor de (2@3) − (2#3) ?
b) Se (x − 5)#(y − 6) = 0 , qual é o valor de x@y ?
c) Quantos são os pares ordenados (a,b) de números inteiros, tais
que (a@b) - (a #b) = 36 ?

32
32
DESAFIO
1) Escreva os números naturais de 1 á 11 . Antes de cada um
deles coloque os sinais de + ou - de forma que a soma de todos
seja zero
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11-10+9-8+7-6-5+4-3+2-1

33
33
DESAFIO
.
2) Maria pinta, em seu caderno, figuras formadas por trapézios e
hexágonos. Cada hexágono pode ser pintado de azul, bege ou
cinza, e cada trapézio, de azul ou preto. Polígonos com um lado
em comum não podem ter a mesma cor. A figura abaixo é um
exemplo de uma pintura feita por Maria.

34
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DESAFIO
.
2) Maria pinta, em seu caderno, figuras formadas por trapézios e
hexágonos. Cada hexágono pode ser pintado de azul, bege ou
cinza, e cada trapézio, de azul ou preto. Polígonos com um lado
em comum não podem ter a mesma cor. A figura abaixo é um
exemplo de uma feita por Maria.
a) De quantas maneiras Maria pode pintar cada figura abaixo?

05/03/2024
moab.academicounir@gmail.com 35
FIM DO NOSSO AULÃO
OBRIGADO A TODOS PELA A ATENÇÃO

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Notas do Editor