Contagens e combinações matemáticas

MATEMÁTICA
Ensino Fundamental, 8º ano
Contagem que envolvem o
princípio multiplicativo

OROCÓ - PE
ABC - 1234
Imagem disponível em
http://pinterest.com/pin/177329304048170584/,
acesso em 19/07/2015
Matemática, 7º ano, Contagem que envolvem o

3 8 8 7
Imagem
disponível
em
http://pinterest.com/pin/17732930404817058
4/,
acesso
em
19/07/2015
1 4 3
4 3 2
1 5 5
5 5 5 0

Contar é uma atividade comum do nosso cotidiano. Desde cedo
contamos por diversas razões: saber quantos números de telefones
diferentes podem ser instalados numa cidade, quantos
brinquedos temos, quantas combinações de roupa podemos
formar com certa quantidade de peças. O processo se torna tão
automático que, muitas vezes, não usamos nenhuma estratégia para
contagens longas e demoradas. Estes processos e formas de
contagem podem ser facilitados com a Matemática
Hoje, retomamos o que já sabemos sobre estes tipos de
problemas e vamos aprender novas coisas.

Queremos descobrir, quantos números de telefones diferentes
terminados em zero com o prefixo 3887 podem ser formados. Para
isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos que já aprendemos:
 Num número de telefone podem acontecer repetições. Exemplo:
podemos ter telefones com os seguintes números 3887-0000, 3887-
0110, dentre muitos outros.
 Para responder a questão precisamos lembrar de que dispomos de 10
algarismos no nosso sistema de numeração (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Você já resolveu
algum problema
semelhante a este?
Como podemos fazer para descobrir
a quantidade de todos os números
de telefones diferentes que terminam
em zero e tem como prefixo 3887?

Não se preocupe, vamos
aprender muito na aula de hoje
E, ao final você será capaz de
resolver este e outros
problemas.

Gabriel tem 3 camisas de cores
diferentes: roxa, azul e vermelha. Ele
tem também 2 calças de cores
diferentes: laranja e azul.
Quantas combinações diferentes ele
pode fazer, escolhendo uma camisa e
uma calça?
Imagem
adaptada
de
(IEZZI,
DOLCE,
MACHADO,
2009)

Se Gabriel decidir ir com a calça azul, quais combinações ele pode
formar?
Com a calça azul, quantas combinações ele pode formar?
CALÇA CAMISA
1 combinação
2 combinações
3 combinações
3
combinações com a calça
azul

E com a calça verde, quais combinações ele pode formar?
E agora, com a calça verde, quantas combinações?
CALÇA CAMISA
1 combinação
2 combinações
3 combinações
3
combinações com a calça
verde

Então, quantas combinações ele pode formar?
3
combinações
com a calça azul
3
combinações
com a calça
verde
6
combinações
diferentes

Davi foi a uma sorveteria e, diante de tantos sabores ficou
sem saber como escolher apenas duas opções de sorvete.
A sorveteria oferece 12
sabores diferentes.
De quantas maneiras
diferentes ele pode
escolher dois sabores
diferentes?
Imagem disponível em (CENTURION, JALUBO, LELLIS, 2007)

Vamos supor, que uma das
opções de Davi, seja o sorvete
de chocolate.
Então, quantas opções ele tem
para escolher a segunda opção?
1ª
opção
chocolate
chocolate
chocolate
chocolate
chocolate
chocolate
chocolate
chocolate
chocolate
chocolate
chocolate
2ª
opção
milho
creme
pistache
graviola
tamarindo
morango
manga
limão
coco
umbu
cupuaçu
Para escolher o segundo sabor ele ainda
tem 11 opções.
11 formas de escolher dois sabores sendo
um deles de chocolate

De quantas maneiras diferentes Davi pode
escolher dois sabores de sorvete?
Quantas opções
ele tem para
escolher o 1º
sabor?
E para escolher
o 2º sabor?
12 11
Então, qual a resposta para este problema?

(CENTURION, JALUBO, LELLIS, 2007) Para ir a
cidade, dona Luíza sempre passa na casa de Lilica.
Ela pode ir por vários caminhos para a cidade. Um
deles é pegar a estrada a e depois 1 (caminho a1);
o outro é percorrer b e depois 1 (caminho b1) etc.
a) Indique todos os caminhos da casa da dona Luísa à cidade que passam por a;
b) Indique todos os caminhos da casa da dona Luísa à cidade que passam por b;
c) Quantos são os caminhos da casa da dona Luísa à cidade?
Imagem
disponível
em
(CENTURION,
JALUBO,
LELLIS,
2007)

estrada
estrada
1 2 3 4 5
a a1 a2 a3 a4 a5
b
b1 b2 b3 b4 b5
c c1 c2 c3 c4 c5
d d1 d2 d3 d4 d5
a) Indique todos os caminhos da casa da dona Luísa à cidade que passam por a;
b) Indique todos os caminhos da casa da dona Luísa à cidade que passam por b;
c) Quantos são os caminhos da casa da dona Luísa à cidade? 5 x 4 = 20

Sofia tem 3 saias (azul, branca, cinza) e 4 blusas (marrom, preta,
rosa e vermelha). Quantas e quais são as combinações que ela
pode fazer sempre usando uma saía e uma blusa?
Blusa
Saía MARROM(M) PRETA(P) ROSA(R) VERMELHA(V)
AZUL (A)
BRANCA (B)
CINZA(C)
A, M A, P A, R A, V
B, M B, P B, R B, V
C, M C, P C, R C, V
Resposta: Sofia pode fazer 12 combinações

Em uma turma há 3 rapazes (Antônio, Beto, Cido) e 5 moças (Duda,
Elba, Fátima, Gabriela, Hermina). Deseja-se formar casais de sexos
opostos para uma quadrilha junina, quantos e quais casais podem ser
formados?
Moças
Rapazes
DUDA
D
ELBA
E
FÁTIMA
F
GABRIELA
G
HERMINA
H
ANTÔNIO (A)
BETO (B)
CIDO(C)
Agora é a sua vez!
Resposta: Você deve ter obtido 15 casais

Alex, Bruno e Carlos participaram de
uma Olimpíada de Matemática. O
diagrama seguinte, também chamado
de árvore de possibilidades, mostra
outra forma de descrever e calcular o
número de maneiras possíveis de
premiar o campeão e o vice-campeão
da olimpíada.
https://www.pinterest.com/pin/381680137146536
525/ ,acesso em 19/07/2015.
Vamos completar a ilustração seguinte:

CAMPEÃO VICE-CAMPEÃO PREMIADOS
Alex
Bruno
Carlos
Bruno
Carlos
Alex
Carlos
Bruno
Alex
Alex e Bruno
Alex e Carlos
Bruno e Alex
Bruno e Carlos
Carlos e Alex
Carlos e Bruno
6 possibilidades de premiação

Com os algarismos 1, 2 e 3, quais números de três
algarismos diferentes (sem repetição), podemos
formar?
123
213
152
...
Resposta
123
132
213
231
312
321

Imagem
disponível
em
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jonata_Boy_with_head
phone.svg,
acesso
em19/07/2015
O que já aprendemos até aqui, nos
permite perceber que podemos
resolver problemas de contagem
sem necessariamente descrever
todas as possibilidades.
Para isso, utilizamos o princípio
multiplicativo ou também chamado
de princípio fundamental da
contagem.

Se um evento A (escolha do número do telefone, de uma calça, de
uma estrada...) pode ocorrer de m maneiras distintas e para cada uma
dessas maneiras um evento B (outra escolha) pode ocorrer de n
maneiras distintas, então o número de possibilidades de ocorrerem os
eventos A e B é:

Uma montadora de automóveis, lança um carro em cinco
versões diferentes e em seis cores distintas. Quantas opções
de escolha tem uma pessoa que deseja adquirir um destes
carros?
Resposta
5 . 6 = 30 opções
Imagem do clip-art PowerPoint

Elabore um problema que possa ser resolvido com
a expressão indicada no quadro abaixo:
Imagem
do
clip-art
PowerPoint

Dessa vez elabore e resolva um problema, cuja solução
possa ser feita a partir dos dados do quadro seguinte:
Dias da Semana
Carro
Segunda (S) Terça (T) Domingo(D)
Belina (B)
Corsa (C)
Del Rey (D)

Elabore e resolva um problema, a partir da árvores de
possibilidades abaixo:
1ª VIAGEM 2ª VIAGEM RESULTADOS

Elabore e resolva um problema, cuja solução possa ser dada a
partir da árvores de possibilidades abaixo:

(IEZZI, DOLCE, MACHADO, 2009 - Adatada) Marco Antônio quer visitar
Talita no próximo sábado. Para chegar à casa da amiga, Marco Antônio
pode escolher um entre três caminhos. Para voltar, ele também pode
escolher qualquer um dos três caminhos.
a) De quantos modos ele pode fazer o percurso de ida e volta?
b) Quantas visitas ele pode fazer, sem repetir o mesmo percurso de ida e volta?
c) De quantos modos ele pode visitar Talita indo por um caminho e voltando por
outro? Resposta
a) 9 modos
b) 9 visitas
c) 6 modos
Casa
de
Marco
Antônio
Casa
de
Talita

(IEZZI, DOLCE, MACHADO, 2009 - Adaptada) Jair dispõe de duas calças
e cinco camisas.
a) De quantos modos ele pode escolher uma calça e uma camisa para se
vestir?
b) Quantos dias ele pode usar essas peças de roupa sem repetir o
mesmo conjunto calça-camisa, vestindo um conjunto por dia?
Resposta
a) 10 modos b) 10 dias

Um restaurante oferece no cardápio 3
saladas distintas, 5 tipos de pratos de
carne, 6 variedades de bebidas e 4
sobremesas diferentes. Dayse deseja
uma salada, um prato de carne, uma
bebida e uma sobremesa. De quantas
maneiras ela poderá fazer seu pedido ?
Resposta
360 maneiras
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Steakletplate.jpg,
acesso em 19/07/2015

Quantos números de 3
algarismos distintos podemos
formar empregando os
algarismos 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ?
Resposta
120 números distintos e 216 com
repetições
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Plastic_Pro
tractor_Polarized_05375.jpg, acesso em
19/07/2015 E se os números não forem
distintos, quantos podemos
formar?

Imagem
disponível
em
http://pinterest.com/pin/17732930404817058
4/,
acesso
em
19/07/2015

10 10 10
Quantas
opções de
algarismos?
Quantas
opções de
algarismos
Quantas
opções de
algarismos
Pelo PFC podemos obter até 10.10.10 números de telefones
terminados em zero com o prefixo 3887, ou seja, 1000 números
distintos.
0
3 8 8 7

Elabore um problema que possa ser resolvido pelo
Princípio Fundamental da Contagem (PFC), utilizando as
informações dos quadros abaixo (ou parte delas).
MÚSICAS
PREDILETAS DE DAVI
Leo e Bia
É isso aí
Diga que valeu
MÚSICAS PREDILETAS
DE DUDA
Sonho Meu
Amor sem limite
Luz Divina
Outra vez
MÚSICAS PREDILETAS
DE ALEX
Asa Branca
Imagine
Vai dar tudo certo
Outra vez
É isso aí

Noções de contagem - princípio multiplicativo
Autora: Rita Santos Guimarães
Disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=12340
O que o aluno poderá aprender com esta aula:
Conhecer, compreender e utilizar o Princípio Multiplicativo,
ou Princípio Fundamental da Contagem.

http://www.gente.eti.br/edumatec/attachments/008_Rita%20de%20Cassia%20Gomes%20de%20Lima.pdf
O RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO DE ALUNOS
DA EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS:
DO INÍCIO DA ESCOLARIZAÇÃO ATÉ O ENSINO MÉDIO
Dissertação de Mestrado
Autora: RITA DE CÁSSIA GOMES DE LIMA
Orientadora: Prof.ª . Dr.ª. RUTE ELIZABETE DE SOUZA ROSA BORBA
Mestrado em Educação Matemática e Tecnológica | UFPE
Dissertação completa para consulta e impressão livre em:

Banco de Aulas da Secretaria de Educação de PE - http://www1.educacao.pe.gov.br/cpar
Domínio Público - http://www.dominiopublico.gov.br
Portal da Matemática | OBMEP - http://matematica.obmep.org.br
Revista EM TEIA|UFPE –
http://www.gente.eti.br/edumatec/index.php?option=com_content&view=article&id=9&Itemid=12
TV Escola - http://tvescola.mec.gov.br/
SBEM - http://www.sbem.com.br/index.php
Escola do Futuro – http://futuro.usp.br
Matemática UOL - http://educacao.uol.com.br/matematica
Coleção Explorando o Ensino da Matemática (Portal do professor) - http://portal.mec.gov.br
Companhia dos Números - http://www.ciadosnumeros.com.br/
Site do ENEM - http://www.enem.inep.gov.br
LEM-Laboratório do Ensino da Matemática - http://www.ime.unicamp.br/lem/
Só Matemática - http://www.somatematica.com.br/
Revista Brasileira de História da Matemática - http://www.sbhmat.com.br/

BONJORNO, José Roberto. OLIVARES, Ayrton. Matemática Fazendo a Diferença. Ensino Fundamental,
6º ano. São Paulo: FTD, 2006
CENTURION, Marília Ramos; JALUBO, José; LELLIS, Marcelo. Matemática na Medida Certa. Ensino
Fundamental, 5ª série. São Paulo: Scipione, 2007
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e Realidade. Ensino Fundamental, 5ª
série. São Paulo: Atual, 2009
PERNAMBUCO. Parâmetros na Sala de Aula. Matemática. Ensino Fundamental e Médio. Recife: SE,
2013.
PERNAMBUCO. Base Curricular Comum para as redes públicas de ensino: matemática. Recife: SE,
2008.
PERNAMBUCO. Orientações teórico-metodológicas. Matemática. Ensino Médio. Recife: SE, 2008.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática: Ensino Médio. Editora
Saraiva. 5ª edição. 1º ano Ensino Médio. São Paulo 2005.

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