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VIM - Vocabulário Internacional de
Termos Fundamentais e Gerais de
Metrologia
ERROS DE MEDIÇÃO
Prof. Gustavo

ERRO DE MEDIÇÃO: é a diferença entre o
valor indicado pelo sistema de medição e o
valor verdadeiro do mensurando.
Matematicamente, o erro de medição pode ser
calculado de uma forma muito simples pela
equação 1.
2
1 Erros de Medições
E I VV
 
(Eq. 1)
1.1 CARACTERIZAÇÃO DO ERRO DE MEDIÇÃO
O erro de medição está presente cada vez que a indicação
do sistema de medição não coincide com o valor verdadeiro
do mensurando.
Sendo:
E: erro de medição
I: indicação do sistema
de medição
VV: valor verdadeiro do
mensurando

• Note que o erro de medição é positivo quando o
sistema de medição indica número maior do que
deveria.
• Na prática, o erro de medição não é sempre
constante, muda frequentemente sob a ação de vários
fatores aleatórios como, por exemplo, a ação do
operador, as variações das condições ambientais, a
passagem do tempo, etc. O erro de medição só ser
determinado pela Equação (1) nos casos em que o
valor verdadeiro do mensurando é perfeitamente
conhecido.
3

EXEMPLO 1:
A tabela a seguir mostra os resultados de
um experimento realizado em uma balança
digital. Uma massa conhecida é
repetidamente medida pela balança digital.
O valor de massa é de (1,000000,00001)
kg. Seria esperado que a indicação da
balança sempre coincidisse com o valor
verdadeiro da massa. Entretanto, a balança
indica 1014 g. A balança apresenta um erro
de medição positivo, que pode ser calculado
pela Equação (4.1):
4
N° Indicação
1 1014
2 1015
3 1017
4 1012
5 1015
6 1018
7 1014
8 1015
9 1016
10 1013
11 1016
12 1015
1014 1000
14
E I VV
E
E g
 
 


Observação:
As imperfeições do sistema de medição, as limitações
do operador e as influências das condições ambientais
são exemplos de fatores que induzem erros de
medição. Por melhor que seja a qualidade do sistema
de medição, por mais cuidadoso e habilidoso que seja
o operador e por mais bem controladas que sejam as
condições ambientais, ainda assim, em maior ou
menor grau, O ERRO DE MEDIÇÃO ESTARÁ
PRESENTE.
5

1.2 TIPOS DE ERROS
• ERRO SISTEMÁTICO: é a parcela previsível do erro.
• ERRO ALEATÓRIO: é a parcela imprevisível do erro. É o
agente que faz com que repetições levem a resultados
diferentes.
• ERRO GROSSEIRO: O erro grosseiro é, geralmente,
decorrente de mau uso ou mau funcionamento do SM. Pode,
por exemplo, correr em função de leitura errônea, operação
indevida ou dano do sistema de medição. Seu valor é
totalmente imprevisível, porém geralmente sua existência é
facilmente detectável. Sua aparição pode ser resumida a casos
muito esporádicos, desde que o trabalho de medição seja feito
com consciência. Seu valor será considerado nulo neste texto.
6

• Exatidão: é a capacidade de um sistema funcionar sem
erros, tendo sempre um ótimo desempenho. Um sistema
que sempre acerta é um sistema com ótima exatidão.
• Precisão: significa “pouca dispersão”, isto é, capacidade
de obter sempre o mesmo resultado quando repetições
são efetuadas. Portanto, dizer que um sistema é preciso
não significa dizer que sempre acerta, mas apenas que se
comporta sempre da mesma forma nas mesmas
condições.
 Precisão e exatidão são dois parâmetros qualitativos
associados ao desempenho de um sistema. Um sistema
com ótima precisão repete bem, com pequena dispersão.
Um sistema com excelente exatidão não apresenta erros.
7

9
1.3 ERRO SISTEMÁTICO, TENDÊNCIA E CORREÇÃO
É possível estimar o erro sistemático de um sistema de
medição. Para isso, devem ser efetuadas medições
repetitivas de um mensurando cujo valor verdadeiro é bem
conhecido. Quanto maior o número de medições
repetitivas, melhor será a estimativa do erro sistemático.
Esse é calculado por:
(2)
Sendo:
Es: erro sistemático
: média de um número infinito de indicações
VV: valor verdadeiro do mensurando
Es I VV

 
I

10
Na prática não se dispõe de infinitas medições para
determinar o erro sistemático de um sistema de medição,
porém se um número restrito de medições, geralmente
obtidas na calibração do instrumento. Ainda assim, a
equação (2) pode ser usada para obter uma estimativa do
erro sistemático.
Define-se então o parâmetro Tendência, como sendo a
estimativa do erro sistemático, obtida a partir de um
número finito de medições, ou seja:
Td I VVC
 
Sendo:
Td: tendência
: média de um número finito de indicações
VVC: valor verdadeiro convencional do
mensurando
(3)
I

11
Na pratica, não se conhece o valor exato do mensurando, mas
apenas um valor aproximado. Denomina-se valor verdadeiro
convencional uma estimativa do valor verdadeiro do
mensurando.
A tendência, calculada a partir da diferença entre a média de
um número finito de indicações obtidas de medições
repetitivas de um mensurando e o seu valor verdadeiro
convencional, nunca corresponde exatamente ao valor do erro
sistemático.
No exemplo da balança, a tendência da balança é calculada
pela diferença entre a média da doze indicações e o valor
verdadeiro convencional da massa padrão:
1015 1000
15
Td
Td g
 
 

12
Esse resultado mostra que a balança, em média, indica 15 gramas
a mais do que deveria indicar. Em outras palavras, a balança tem
uma tendência a indicar 15 grama a mais.
Alternativamente o parâmetro correção (C) pode ser usado para
exprimir uma estimativa do erro sistemático. A correção é
numericamente igual à tendência, porém seu sinal é invertido,
isto é:
C = - Td = VVC - (4)
O termo “correção” lembra a sua utilização típica, quando,
normalmente, é adicionado à indicação para “corrigir” os efeitos
do erro sistemático. A correção é mais frequentemente utilizada
em certificados de calibração.
Correção é a constante aditiva que, quando somada a indicação,
compensa o erro sistemático de medição.
I

13
Calculando o valor da correção para o exemplo da balança,
tem-se:
C = - Td
C - -15 g
Ou seja, 15 g devem ser subtraídos da indicação para
compensar os erros sistemáticos.
Ao eliminar a parcela sistemática do erro de medição,
adicionando-se a correção às indicações, obtêm-se a
indicação corrigida.
Indicação corrigida é a indicação de um sistema de
medição após a compensação dos erros sistemáticos.

14
1.3 ERRO ALEATÓRIO, INCERTEZA-PADRÃO E
REPETITIVIDADE
1.3.1 ERRO ALEATÓRIO
O erro aleatório pode ser calculado para cada indicação pela
seguinte equação:
Sendo:
: erro aleatório da i-ésima indicação
: i-ésima indicação
: média das indicações
i i
Ea I I
 
i
Ea
i
I
I
(5)

15
Reportando-se ao exemplo 1, a tabela mostra
que os erros aleatórios das 12 indicações da
balança. Note que não é possível prever qual
seria o valor da 13° indicação se esta fosse
efetuada. Porem, por observação, nota-se que o
erro aleatório das doze medições anteriores está
restrito a uma faixa de valores de 3 g. Seria,
portanto, razoável esperar para o erro aleatório
da 13° indicação um valor qualquer entre -3 e
+3g.

16
1.3.2 INCERTEZA-PADRÃO
Estimativa da incerteza-padrão de uma distribuição
normal associada ao erro de medição é usada para
caracterizar quantitativamente a intensidade da
componente aleatória do erro de medição.
Denomina-se incerteza-padrão o valor do desvio-
padrão do erro aleatório de medição. É comumente
representada pela letra “u”.
População é o termo que se usa em estatística
para descrever o número total de elementos que
compõem o universo sobre o qual há interesse em
analisar.

17
 
2
1
lim
n
i
i
n
i
I I
n
σ: desvio padrão
I :i-ésima indicação
I:médias das indicações
n:númerode medições repetitivas efetuadas.
 





18
Na prática, não se tem tempo para efetuar infinitas
medições repetidas. Uma estimativa do desvio-
padrão é obtida pelo desvio-padrão da amostra.,
calculado a partir de um número finito de
medições repetidas do mesmo mensurando por:
 
2
1
1
n
i
i
I I
n
 



  
2
1
1
n
i
i
I I
u
n





1
n
  

19
1.3.3 REPETITIVIDADE
É comum exprimir de forma quantitativa o erro
aleatório através da repetitividade (Re). A
repetitividade de um instrumento de medição
expressa uma faixa simétrica de valores
dentro da qual, com uma probabilidade
estatisticamente definida, se situa o erro
aleatório da indicação. Para estimar este
parâmetro, é necessário multiplicar o desvio padrão
experimental pelo correspondente coeficiente “t” de
Student, levando em conta a probabilidade de
enquadramento desejada e o número de dados
envolvidos.

20
onde:
Re: repetitividade
t : é o coeficiente “t” de Student para 95,45 %
de probabilidade e n-1 graus de liberdade.
u = incerteza-padrão obtida a partir da amostra
com n-1 graus de liberdade.
Re t u
  

21
No exemplo 1 (balança), a incerteza-padrão
e o respectivo valor da repetitividade podem
ser calculados a partir das 12 indicações
disponíveis.
Cálculo da incerteza-padrão:
 
12
2
1
1015
1,65
12 1
12 1 11
i
i
I
u g



 

  


22
Cálculo da repetitividade
O coeficiente t de Student é obtido por tabelas.
Re
Re 2,255 1,65 3,72
t u
g
 
  

23
EXERCÍCIOS:
1) Para avaliar o desempenho de um
voltímetro portátil, uma pilha-
padrão de (1,500  0,001) V foi
medida repetidamente. As
indicações obtidas estão
apresentadas na Tabela a seguir,
todas em volts. Calcule
a) O valor dos erros individuais de
cada medição;
b) A tendência e a correção do
voltímetro;
c) O erro aleatório.
d) A incerteza-padrão e a
repetitividade do voltímetro.
e) metro.repetitividade do volte
cada mediçte t de Student aleat
N° Indicação (V)
1 1,580
2 1,602
3 1,595
4 1,570
5 1,590
6 1,605
7 1,584
8 1,592
9 1,598
10 1,581
11 1,600
12 1,590

24
1.4 FONTES DE ERROS
As imperfeições do sistema de medição são talvez as causas
mais evidentes dos erros de medição. São fatores internos ao
sistema de medição que, em maior ou menor grau, podem dar
origem a erros sistemáticos e/ou aleatórios. O operador, o
procedimento de medição, a forma como o mensurando
é definido, as condições ambientais do local e o
momento em que a medição é realizada são outros
fatores que independem do sistema de medição, mas também
geram erros. São, portanto fontes de erros.
Denomina-se fonte de erros qualquer fator que, agindo sobre
o processo de medição, dá origem a erros de medição.

25
Fontes de erros podem ser internas ao sistema de medição ou
externas a ele, podem decorrer da interação entre o sistema de
medição e o mensurando ou entre o sistema de medição e o
operador.
1.4.1 FATORES INTERNOS AO SISTEMA DE MEDIÇÃO.
• Nos sistemas de medição mecânicos, erros de geometria as partes
e mecanismos são as principais fontes de erros internos. Por
limitações tecnológicas e de custos, a qualidade das partes e dos
componentes utilizados e o rigor com que são montados e
alinhados os mecanismos se afastam do ideal. Com o uso
contínuo, as peças mecânicas, expostas a movimentos relativos,
tendem a se desgastar, intensificando as folgas e piorando o
desempenho do conjunto.

26
• Nos sistemas de medição elétricos, as conexões e
propriedades dos componentes eletrônicos, assim
como o desempenho dos circuitos, são as maiores
fontes de erros internos. As não-idealidades dos
circuitos eletrônicos geral erros de medição.
• O próprio principio de funcionamento do sistema de
medição já pode dar origem a erros de medição.

27
4.4.2 FATORES EXTERNOS AO SISTEMA DE
MEDIÇÃO.
• O ambiente no qual o sistema de medição está inserido
pode influenciar o seu comportamento.
• A presença de vibrações mecânicas e as variações de
temperatura podem provocar erros de medições
expressivos nos sistemas de medição mecânicos.
• A presença de fortes campos eletro magnéticos,
flutuações da tensão e variações na frequência da rede
elétrica e da temperatura são fatores que podem afetar
o comportamento dos sistemas de medição elétricos.

28
• Variações de temperatura, umidade do ar e pressão
atmosférica podem induzir erros nos sistemas ópticos
de medição com maior ou menor intensidade.
Para obter resultados confiáveis de medições, é necessário
tomar alguns cuidados. A forma mais segura é manter
estáveis e controladas as condições ambientais que tem
maior influencia sobre o processo de medição. Práticas
comuns em laboratórios de medição:
• Uso de salas climatizadas
• Fontes de tensão elétrica estabilizadas
• Blindagens eletromagnéticas.

29
1.4.3 EFEITOS DA TEMPERATURA NA
METROLOGIA DIMENSIONAL
A quase totalidade dos materiais muda suas
dimensões em função da temperatura. Essa
propriedade é denominada dilatação térmica. A
variação das dimensões lineares é proporcional à
variação de temperatura. O fator de proporcionalidade
é denominado coeficiente de dilatação térmica,
frequentemente representado pela letra grega .

30
Sendo:
L : variação do comprimento
: coeficiente de dilatação térmica do material
L: comprimento inicial
T: variação da temperatura.
L L T

   

31
EXEMPLO 1:
Uma barra de aço em formato retangular possui as seguintes
dimensões: 10mm de largura e 40mm de comprimento,
mantida a 20°C. Supondo que, após algum tempo, a
temperatura atinja 30°C. Em função da dilatação térmica, quais
seriam as novas dimensões dessa peça de aço? (dados:
aço=11,5 m.m-1.K-1; 1m=10-6m).

32
O erro de medição de comprimentos devido a diferença de
temperatura, quando o sistema de medição e a peça são de
materiais diferentes com distintos coeficientes de dilatação térmica,
pode ser calculado e corrigido. Para tal é necessário conhecer os
valores dos coeficientes de dilatação térmica de ambos os materiais
e a temperatura em que a medição está sendo efetuada. A tabela em
anexo apresenta de forma sintetizada as correções aplicadas em seis
casos distintos.
Caso Sistema de medição Peça a ser medida Correção devido
a temperatura
material Temp. materia
l
Temp.
1 A 20°C A 20°C C=0
2 A TSM20°C A TP = TSM C=0
3 A TSM A TSM TP C=A.L. (TSM – TP)
4 A 20°C B 20°C C=0
5 A TSM20°C B TSM = TP C=(A-B).(TSM –20°C). L
6 A TSM B TSM  TP C=[A. (TSM –20°C)- B.
(TP –20°C)]. L

33
EXEMPLO 2:
O diâmetro de um eixo de alumínio foi medido por um
micrômetro em um ambiente com temperatura de 32°C. Foi
encontrado a indicação de 21,427mm.
Determine a correção a ser aplicada no valor do diâmetro do
eixo para compensar o efeito da temperatura. (dados:
aço=11,5 m.m-1.K-1 e Al=23,0 m.m-1.K-1; 1m=10-6m)

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