O documento descreve as principais características e conceitos de árvores, incluindo sua estrutura hierárquica, representações, terminologia, operações básicas como inserção e pesquisa, e tipos especiais como árvores binárias e balanceadas.

1. Estrutura de Dados I
Árvores
Prof. Eder Stone Fontoura
Adaptação dos slides da Profa. Cristina Nunes 1

2. Árvores
 São estruturas de dados que caracterizam uma relação de hierarquia
entre os dados
 um conjunto de dados é hierarquicamente subordinado a outro.
 Diferente das listas, não são estruturas de dados lineares.
 Podem representar: sistemas de arquivos, interfaces gráficas com o usuário
(organização dos menus), organização das páginas de um site, organização
hierárquica de cargos ou setores de um empresa, etc.
 Exemplo:
Presidente
Diretoria Diretoria de Diretoria
Financeira Marketing De Vendas
2

3. Definição
 Normalmente é um conjunto finito T de um ou mais nodos tal que:
 existe um nodo denominado raiz da árvore;
 os demais nodos formam m ≥ 0 subconjuntos disjuntos t1, t2, ..., tm, onde cada um
desses subconjuntos é uma árvore.
 as árvores ti (1 ≤ i ≤ M) recebem a denominação de sub-árvore.
D = Raiz
C e E = sub-árvores D
C E
A B F
t1 t2
3

4. Definição
 Um mesmo nodo não aparece em mais de uma sub-árvore ao mesmo
tempo nunca teremos sub-árvores interligadas.
A
B C Não é árvore!!!
D
4

5. Definição
 Se X é um nó que antecede um nó Y, X é pai de Y ou Y é filho de X.
 Nodos que possuem um mesmo pai são ditos irmãos
 A raiz é o único nodo que não possui pai
Raiz
G é pai de H
H é filho de G
A e B são irmãos
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6. Terminologia
 Floresta: Se retirarmos o nodo raiz de uma árvore que contém sub-
árvores estaremos criando uma floresta. Os filhos da raiz original serão
as raizes das novas árvores.
D
C G
E
A B F H
C E G
Floresta
A B F H
6

7. Terminologia
 Nó externo ou folha: nodos que não possuem filhos.
D
C E
A B F
 Nó interno ou galho: nodos que não são folhas e nem raiz.
D
C E
A B F
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8. Terminologia
 Grau de um Nodo: número de sub-árvores de um nodo.
D
Grau = 2 C E Grau = 1
A B F
 Nível de um Nodo: número de linhas que liga o nó à raiz. O
nível do nodo raiz é 0.
D Nível = 0
Nível = 1 C E Nível = 1
Nível = 2 A B Nível = 2 F Nível = 2
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9. Terminologia
 Altura da árvore: nível mais alto da árvore.
Altura = 2
D
C E
A B F
 Árvore ordenada: quando existe uma ordem linear definida
para os filhos de uma árvore.
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10. Formas de Representação
 Por adjacência (ou contiguidade)
 Armazenamento da árvore em um vetor.
 Cada posição por vetor pode, por exemplo, conter, além da
informação do nodo, referências aos nodos filhos.
Índice onde está o nodo
Representação:
Ou guardar apenas a informação e o grau no nodo:
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11. Formas de Representação
 Registro fixo
 Se o grau da árvore for baixo e/ou a variabilidade do grau entre os nodos
for pouca.
A
B nulo C D nulo
nulo nulo
E F G H I
nulo nulo nulo nulo nulo nulo nulo nulo nulo nulo nulo nulo nulonulo
J
nulonulo nulo
 Problema:
 No caso de árvores “genéricas”, em que cada nodo pode ter uma quantidade de
sub-árvores diferentes, é necessário limitar o número máximo de sub-árvores que
cada nodo deve conter.
 Nodos de uma mesma árvore são todos do mesmo tipo.
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12. Árvores Binárias
 Estruturas do tipo árvore, onde o grau de cada nodo é sempre
menor ou igual a 2.
 Caso especial de árvore em que nenhum nodo tem mais que
dois filhos.
 Existe um senso de posição: distingue-se entre uma sub-árvore
esquerda e uma sub-árvore direita.
D
B E
A C F
Não é árvore binária
sub-árvore da esquerda sub-árvore da direita
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13. Propriedades
 O número máximo de nodos no K-ésimo nível de uma árvore
binária é 2k.
 Ex.: no nível 2 podemos ter no máximo 22 = 4 nodos.
 O número máximo de nodos em uma árvore binária com altura
K é 2K+1 - 1, para K ≥ 0.
 Árvore completa: árvore de altura K com 2K+1 - 1 nodos.
D Altura = 2
Nodos = 7
B F
A C E G
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14. Árvores Genéricas -> Árvores Binárias
 A transformação de uma árvore binária produz uma alteração
na estrutura física da mesma, o que pode provocar uma
interpretação errônea da relação hierárquica existente na árvore
original.
 Para se interpretar corretamente a hierarquia de uma árvore
transformada em árvore binária, deve-se ter em mente a
transformação havida. Assim, a sub-árvore da esquerda de um
nó é o filho deste nó, enquanto que a sub-árvore da direita é o
seu irmão.
 A transformação de uma árvore em árvore binária oferece a
vantagem de não requerer conhecimento prévio da mesma,
para fins de alocação encadeada. A desvantagem em relação à
primeira alternativa reside no fato de não se ter acesso direto
de um nó pai para qualquer um dos filhos, já que para acessar o
i-ésimo filho é necessário acessar os (i - 1) anteriores.
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15. Árvores Genéricas -> Árvores Binárias
 Transformar uma árvore genérica em binária:
 Etapa1: Conecta-se os nodos irmãos;
 Etapa2: Desconecta-se o nodo pai dos nodos filhos, exceto do 1º filho.
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16. Árvores Genéricas -> Árvores Binárias
 Redesenhando
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17. Representação
 Nodos de uma árvore binária terão (no mínimo):
 Informação typedef struct nodo{
char info;
 referência para o nodo da esquerda nodo * esquerda;
nodo * direita;
 referência para nodo da direita. }nodo;
A
B
C
E D
F G
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18. Ávore de busca binária (Árvore Ordenada)
 Uma árvore binária, cuja raiz armazena o elemento R, é
denominada árvore de busca binária se:
 todo elemento armazenado na sub-árvore esquerda é menor que R;
 todo elemento armazenado na sub-árvore direita é maior que R;
 as sub-árvores esquerda e direita também são árvores de busca
binária
D
B F
A C E G
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19. Operações Básicas
 Criar a árvore
 Inserir nodos na árvore
 Pesquisar nodos na árvore
 Excluir nodos da árvore
 Determinar a altura da árvore
 Determinar o nível de um nodo
 Caminhar em uma árvore
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20. Inserção
 Novos nodos inseridos entram sempre na condição de folhas
 um nodo não pode entrar numa árvore e já “assumir” filhos.
 Para inserir um elemento C
 Começamos pelo nodo raiz.
 Como C é menor que E, tomamos a sub-árvore da esquerda.
 Comparando com a nova raiz temos C > B e conclui-se que o elemento
deve ser armazenado na sub-árvore direita.
 O processo se repete até chegarmos a uma sub-árvore nula.
 Nesse momento, uma folha é alocada para armazenar o novo elemento e
entra como raiz da sub-árvore nula.
E
E
C
B F
B F Inserindo C
A D G
A D G
C 20

21. Pesquisa
 Dado um elemento X a ser procurado entre os nodos da árvore, temos
quatro possibilidades a considerar:
 É uma árvore nula, portanto não há nada a fazer;
 A raiz armazena o elemento X;
 O valor de X é menor que aquele armazenado na raiz: deve-se prosseguir
com a busca na sub-árvore esquerda;
 O valor de X é maior ou igual que aquele armazenado na raiz: deve-se
prosseguir com a busca na sub-árvore direita.
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22. Exercícios
 Implementar um programa para criar
árvores binárias de busca. Desenvolver
as seguintes funções:
 Adicionar elementos
 Apresentar a informação de todos os
elementos
 O nó com a informação “x” encontra-se na
árvore?
 Nível do nó com a informação “x”
 “x” é um nó externo ou interno? 22

23. Caminhamentos
 Forma de percorrer a árvore.
 Visitar cada nodo apenas uma vez.
 Tipos
 Pré-fixado (ou pré-ordem)
 Central (ou em-ordem)
 Pós-fixado (ou pós-ordem)
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24. Caminhamento Pré-fixado
 Passos:
 Primeiro: Visita Raiz
 Segundo: Percorre sub-árvore da esquerda
 Terceiro: Percorre sub-árvore da direita
 Ordem de visita nos nodos: 1, 2, 4, 5, 3, 6 e 7
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25. Caminhamento Central
 Passos:
 Primeiro: Percorre sub-árvore da esquerda
 Segundo: Visita Raiz
 Terceiro: Percorre sub-árvore da direita
 Ordem de visita nos nodos: 4, 2, 5, 1, 6, 3 e 7.
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26. Caminhamento Pós-ordem
 Passos
 Primeiro: Percorre sub-árvore da esquerda
 Segundo: Percorre sub-árvore da direita
 Terceiro: Visita Raiz
 Ordem de visita nos nodos: 4, 5, 2, 6, 7, 3 e 1
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27. Exemplo
-
* /
+ C D -
A B E F
PRÉ: - * + a b c / d - e f
CENTRAL: (expressão original) a + b * c - d / e - f
PÓS: (notação polonesa) a b + c * d e f - / -
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28. Alternativas de Árvores Binárias
 Aspecto fundamental do estudo de árvores de busca:
 o custo de acesso a uma informação desejada.
 Alternativas:
 Árvore balanceada
 Árvore-B
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29. Árvore Balanceada
 Idéia: manter os ramos da árvore sempre "no mesmo nível".
 custo para manipular uma informação na árvore se mantém
semelhante tanto para os ramos à esquerda quanto para os ramos
à direita.
 As suas sub-árvores à esquerda e à direita possuem a mesma
altura.
 Quando uma árvore cresce muito para um dos lados ela é dita
degenerada (ou desbalanceada).
Árvore balanceada Árvore degenerada
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30. Árvore Balanceada
 O processo de balanceamento pode se tornar muito pesado
quando a árvore contém muitos nós e várias inserções são feitas.
 Em 1962, dois matemáticos russos (Adelson Velskii e Landis)
introduziram um conceito menos rigoroso de árvores
balanceadas.
 Uma árvore é considerada balanceada quando, para cada nó n, as
alturas das sub-árvores à esquerda e à direita diferem no máximo de
1.
 A esta diferença chamamos de "fator de balanceamento de n”
(FatBal(n)).
 Este algoritmo é conhecido como árvore AVL.
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31. Árvore Balanceada
 Características
 Diferença da altura da sub-árvore esquerda e direita é no máximo 1
 Se um nodo raiz não satisfaz a condição de altura, então ele é
considerado desbalanceado.
 Exemplo
Árvore AVL Árvore desbalanceada
Altura(100) = Altura(SD) – Altura(SE) Altura(150) = Altura(SD) – Altura(SE)
Altura(100) = 2 – 1 = 1 Altura(150) = 2 – 0 = 2
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32. Árvore Balanceada
 Balanceamento
 Processo que busca a distribuição equilibrada dos nodos de
modo a otimizar a operação de consulta, isto é, minimizar o
número médio de comparações necessárias para localizar
uma chave.
 É desejável que as chaves mais solicitadas estejam
próximas à raiz.
 Uma árvore é completamente balanceada se a distância
média dos nodos até a raiz for mínima.
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33. Árvore-B
 São árvores balanceadas projetadas para trabalhar com
dispositivos de armazenamento secundário como discos
magnéticos por exemplo.
 Visam otimizar as operações de entrada e saída nos
dispositivos.
 O tempo de acesso às informações em um disco é prejudicado
principalmente pelo tempo de posicionamento do braço de leitura.
 Uma vez que o braço esteja posicionado no local correto, a leitura
pode ser feita de forma bastante rápida.
 Diferente das árvores binárias, cada nó em uma árvore B pode
ter muitos filhos
 o grau de um nó pode ser muito grande.
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34. Árvore-B
 Definição
 Uma árvore B de ordem d é uma árvore com as seguintes
características:
 A raiz tem no mínimo uma chave e dois filhos;
 Uma folha tem no mínimo d chaves e não tem filhos;
 Todos os outros nós têm no mínimo d chaves e d+1 filhos;
 Todos os nós têm, no máximo, 2d chaves e 2d+1 filhos.
 A ordem d indica a quantidade máxima e mínima de chaves
dentro dos nodos.
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35. Árvore-B
 Estrutura
 Os nodos são compostos por chaves, ponteiros e informações.
 Para cada chave está associada somente uma informação.
 Pode-se ter informações adicionais que facilitam a manipulação
dos nodos
 Ex.: um campo para guardar o endereço do nodo pai e o número de
chaves ativas dentro dos nodos
 Existe um ponteiro externo que aponta para raiz, indicando o início
da árvore.
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36. Árvore-B
 Exemplo
 Árvore B de ordem 2 (d = 2)
 O nodo raiz pode conter no mínimo 1 chave e 2 apontadores e no
máximo 4 chaves com 5 apontadores.
 Os nodos internos poderão conter no mínimo 2 chaves com 3
apontadores e no máximo 4 chaves com 5 apontadores.
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37. Árvore-B
 Principais Vantagens:
 A utilização de memória é de no mínimo 50%.
 As operações realizadas sobre a árvore-B tem como conseqüência
uma ordenação natural das chaves.
 Ótima para operações do tipo:
 recuperar um determinado número de registros a partir de uma chave
ou encontrar sucessores e predecessores
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38. Árvore-B
 As árvores-B diminuem e aumentam de uma única forma:
 através da divisão de um nodo em dois irmãos ou através da união
de dois irmãos em um único nodo.
 O aumento ou diminuição da árvore são processos que sempre
iniciam nos nodos folha e podem propagar-se até a raiz.
 Operações:
 Pesquisa:
 Análoga ao percurso em árvores binárias de busca.
 Numa pesquisa binária, os ramos da árvore tomados para um nodo
dependem da comparação entre a chave pesquisada e a chave
armazenada no nodo.
 Se a chave pesquisada é menor é tomado o braço esquerdo, se for
maior o direito.
Consultar: http://www.lcad.icmc.usp.br/~nonato/ED/B_arvore/btreebusca.htm
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39. Árvore-B
 Inserção:
 É feita uma pesquisa até a folha apropriada para ser feita a inserção.
 Existem 3 possibilidades:
 se existir espaço na folha, o dado é simplesmente inserido;
 se não houver espaço no nodo, verifica-se no irmão adjacente se há
espaço. Se houver, toma-se a chave mais a direita do nodo a inserir e
promove a "chave pai". A "chave pai" anterior é inserida no irmão
adjacente. Desta forma, abre-se um espaço no nodo em que a chave deve
ser inserida;
 se não houver espaço no irmão adjacente, deve ocorrer a cisão do nodo
em que a chave deve ser inserida . Neste caso, total de chaves em um
nodo é dividido d, ficando assim as d menores chaves em um nodo e as d
maiores chaves em outro. A chave mais à esquerda das d maiores chaves
é promovida a "chave pai" (é inserida no nodo pai) dos nodos criados na
cisão. Deste modo é criado um espaço nas folhas para ocorrer a inserção.
Se o nodo pai está cheio, o mesmo processo é aplicado para ele, e assim
consecutivamente
Consultar: http://www.lcad.icmc.usp.br/~nonato/ED/B_arvore/btreeinsercao.htm
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40. G M P X
A C D E N O Y Z
J K R S T U V
Inclusão da Chave B
G M P X
A B C D E
C D E N O Y Z
J K R S T U V
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41. Chavei–1[x] Chavei[x]
..... ..... N W
P Q R S T U V N=7
Inclusão da Chave O
Chavei[x]
Chavei–1[x] Chavei+1[x]
..... ..... N S
W W
O
P Q R
P Q R
S T U V T U V
N=4 N=3
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42. A D F H L N P
N=7
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
Inclusão da Chave E
N=1 H
A D E
F F
H L N P L N P
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A1 A2 A3 A4 N=3
N=4
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43. Árvore-B
 Exclusão:
 Pesquisa para localizar o nodo correto;
 Existem 2 possibilidades:
 a chave a ser excluída está em um nodo folha
 simplesmente excluída;
 a chave a ser excluída não está em um nodo folha
 uma chave adjacente é procurada e transferida para o local onde encontra-
se a chave a ser excluída.
 esta chave pode ser a primeira chave da folha mais à esquerda da sub-
árvore à direita ou a última chave da folha mais à direita da sub-árvore à
esquerda.
 a chave substituta é retirada de uma folha, o que nos leva a uma retirada
em folha.
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44. Árvore-B
 Verificar se a retirada "quebrou" a definição de árvore B:
 caso a folha, após a retirada, tenha ficado com menos de d chaves:
 verificamos a ordem dos irmãos adjacentes.
 se existir um irmão adjacente com mais de d chaves:
 é feita uma redistribuição.
 A chave mais a esquerda do irmão adjacente é promovida a "chave pai" e a
"chave pai" anterior é inserida no nodo em que a chave foi retirada
(semelhante a inserção).
 Se o irmão adjacente tem d chaves
 é feita uma concatenação.
 Juntar em um único nó as chaves dos irmãos adjacentes mais a "chave
pai", eliminado um nodo folha e uma chave (a "chave pai") do nodo pai.
 Dependendo do número de chaves do nodo pai, pode resultar em uma
nova redistribuição ou em uma nova concatenação.
Consultar: http://www.lcad.icmc.usp.br/~nonato/ED/B_arvore/btreeremocao.htm
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45. Árvore-B
50 70
25 30 55 60 80
Remover 80
50 60
70
25 30 55 60 70
80
45