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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA – UESB
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS – DCE
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
PROFESSORA: ROBERTA D’ANGELA MENDUNI
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NEURACI DIAS AMARAL
RELATÓRIO DO ESTÁGIO
SUPERVISIONADO III
VITÓRIA DA CONQUISTA – BAHIA
AGOSTO DE 2011

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NEURACI DIAS AMARAL
RELATÓRIO DO ESTÁGIO
SUPERVISIONADO III
Relatório de estágio apresentado ao Curso
de Licenciatura em Matemática como parte
da exigência da disciplina Estágio
Supervisionado III, sob a orientação da
Profª Msc. Roberta D’Angela Menduni
Bortoloti.
VITÓRIA DA CONQUISTA – BAHIA
AGOSTO DE 2011

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FICHA DE CADASTRO
01. NOME:
Neuraci Dias Amaral
02. ENDEREÇO:
Rua 07 de Setembro, 140, Centro – Vitória da Conquista – Bahia.
03. INSTITUIÇÃO ONDE REALIZOU O ESTÁGIO:
Centro Integrado de Educação Navarro de Brito
04. ENDEREÇO DA INSTITUIÇÃO:
Av. Frei Benjamim - Vitória da Conquista - Bahia
05. NOME DA DIRETORA:
Nayara Vasconcelos
06. NOME DO PROFESSOR REGENTE:
Enoque Alves de Matos
07. INÍCIO DA OBSERVAÇÃO:
22 de março
08. INÍCIO DA COPARTICIPAÇÃO:
04/04/2011
09. INÍCIO DA REGÊNCIA:
25/04/2011
10. TÉRMINO DO ESTÁGIO:
11/08/2011
ATIVIDADES REALIZADAS NO ESTÁGIO HORAS PREVISTAS HORAS REALIZADAS
OBSERVAÇÃO 08 08
COPARTICIPAÇÃO 08 10
REGÊNCIA 32 32
TOTAL DE HORAS 44 46

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AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente ao meu bom Deus, que se faz presente sempre em
minha vida, me abençoando até o momento com saúde, força, persistência e
determinação.
Agradeço a minha família, em especial a minha mãe (a dona Neuza), por sempre
estarem presentes, preocupados comigo e com minha formação intelectual e moral.
Agradeço a professora Roberta, orientadora do estágio, que fez o seu trabalho
com seriedade, compromisso e dedicação.
Agradeço aos meus colegas de disciplina que compartilharam experiências,
discutindo trabalhos, que deram certo ou que não deram tão certo, ao longo do estágio.
Enfim, agradeço a todos que participaram direto ou indiretamente deste processo
desafiante que foi e é o estágio.

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MEMORIAL
Inseri-me no contexto escolar aos 6 anos de idade, quando minha mãe me
matriculou em uma escolinha pública de minha cidade natal Caraíbas, o Centro
Educacional Jesuíno Flores, a única da parte urbana da cidade. Lá, fui alfabetizada, e
cursei até a 8ª série do ensino fundamental. Naquela época eu admirava minhas
professoras, mas sonhava em ser cantora, mesmo sem ter o menor talento, lembro-me
que era o auge dos sucessos de Sandy e Júnior e a escola era meu local preferido, o
lugar onde encontrava minhas coleguinhas para cantar, dançar, jogar baleado no
horário do recreio e, é claro, para estudar.
Aos 15 anos, me matriculei no Colégio Estadual Luís Eduardo Magalhães
(CELEM) para cursar o ensino médio, onde vivi uma das melhores fases de minha
vida. Já estava na adolescência e encarava as coisas de uma forma diferente. Modéstia
à parte eu era a CDF da turma, não que eu fosse uma aluna muito inteligente, mas
como o nível de meus colegas era baixo, eu acabava me destacando em meio a eles
em relação às notas, até então, nunca tinha feito uma recuperação, sempre procurei ser
uma aluna compromissada com os estudos. Nesta unidade escolar conheci pessoas que
se tornaram inesquecíveis, conheci colegas, tive paqueras (que também faz parte) e
professores que se tornaram amigos e me incentivavam sempre a estudar.
A equipe de professores do CELEM era admirável, embora se tratasse de
ensino público e lá também tivessem professores ruins1
. Lembro-me com carinho de
cada um: a professora de português, Adimara: como ela era dedicada ao seu trabalho e
adorável como pessoa; o professor de biologia, Jailson, carinhosamente chamado de
Jai por todos, ele era muito “doido”! Com todo respeito, suas aulas eram fantásticas,
me lembro de cada “mergulho” que fazíamos ao estudar biologia e pra descontrair das
piadinhas no fim da aula, por que embora estivéssemos num colégio, “ninguém é de
ferro”; outro que deixou boas recordações foi o professor de física, meu amigo até
hoje, o Márcio (o famoso Marcinho rapadura); e, por fim, aquele que mesmo sem
1
Digo ruins por que, a meu ver, se tratavam de professores com metodologias que não me agradava, aulas
chatas e monótonas, de difícil compreensão e de predicados pessoais que deixavam a desejar, o que não
quer dizer que outras pessoas os achassem ruins também.

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saber, foi o responsável pelo meu interesse pela matemática: Roberto, era o professor
de matemática, na época, formado em ciências contábeis, mas apaixonado pela
matemática que despertou em mim o interesse pela disciplina. Suas aulas eram ótimas,
muita descontração mesmo quando o assunto parecia difícil, ele com sua explicação
dava um “show” na aula, que me fascinava.
No ano em que concluí o ensino médio não sabia ao certo para qual das
licenciaturas prestar vestibular, pois, na verdade, em especial, eu adorava física,
matemática e biologia. Na dúvida acabei optando por biologia. Naquele ano não
cheguei a passar, mas não desanimei, pois, era muito nova, tinha 17 anos e me sentia
despreparada para deixar minha família e ir para outra cidade.
O tempo foi passando e nos anos que vieram acabei me acostumando com a
vida que levava. No ano em que concluí trabalhava com minha tia, em uma loja de
roupas e acabei dando uma estacionada nos estudos. Alguns anos depois, resolvi
voltar a dar uma estudada em meu acervo do ensino médio, foi quando decidi que iria
fazer matemática. Estudei bastante para passar e no fim de 2006, prestei vestibular
para matemática para UNEB, campus de Caetité e para UESB, campus de Vitória da
conquista. Eu tinha certeza que ia passar, pois estava me sentido preparada. E assim
aconteceu, fui aprovada nas duas instituições e fiquei muito feliz. Por incrível que
pareça quem não gostou da ideia foi minha mãe, pois para ela, vindo de uma cultura
totalmente diferente e com uma postura bem antiquada, era “o fim de o mundo” uma
moça sair para morar sem alguém da família em outra cidade. Ela quase enfartou
quando arrumei minha mochila para vir morar em uma república em Vitória da
Conquista. Graças a Deus, nada de mal lhe aconteceu e hoje, embora ela ainda tenha
suas queixas, tudo está bem.
No segundo semestre de 2007 daria início ao curso de matemática na UESB,
mas devido a uma greve de professores reivindicando melhorias salariais só foi
possível no primeiro semestre de 2008. Chegando à Universidade, tive uma surpresa:
encontrei meu professor de matemática do ensino médio terminando a graduação em
Licenciatura em matemática e me fazendo ameaças de trote. Em relação aos
professores do ensino superior, percebi que a relação aluno-professor era diferente,
existia certo distanciamento entre eles, e as conversas se limitavam a pouquíssimas

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perguntas e dúvidas em sala de aula. Notei que na UESB existem os bons e os ruins
professores, aqueles que admiro e aqueles que não gostaria de ser semelhante quanto à
postura em sala de aula ao ministrar as aulas. Nem sempre títulos equivalem a
conhecimento e mais uma vez, são nos bons que devemos nos espelhar, e mesmo que
não consiga ser semelhante à eles, ao menos aprender já é válido.
Ao iniciar o curso de licenciatura em matemática tive uma grande decepção,
descobri que sabia muito pouco, minhas deficiências eram muitas, cheguei até a
pensar em desistir, mas em consideração ao meu orgulho e a vontade de fazer o curso
decidi “tocar o barco em frente”. Estudar as disciplinas que envolvem a álgebra foi um
problema, pois estava habituada apenas aplicar os conteúdos.
Em 2008 tive minha primeira experiência docente em uma substituição, que
durou 15 dias no Colégio Estadual Carlos Santana em Vitória da Conquista. Não tive
dificuldades, trabalhei com turmas de Educação de jovens e adultos e foi bastante
gratificante. Em 2009 comecei trabalhar com turmas de ensino fundamental II no
Centro educacional de Caraíbas que fica em Caraíbas. Nesta experiência trabalhei
com crianças principalmente de 5ª série (atual 6º ano) e percebi que o trabalho de um
professor vai além do papel de ensinar conteúdos, a indisciplina é um dos fatores mais
desgastantes, muitos alunos sequer respeitam pais, direção e professores. Uma luta
diária em sala de aula a fim, onde era preciso suprir educação moral que deveria vir de
casa e educação voltada para o conhecimento escolar. No segundo semestre de 2009
começei trabalhar no Colégio Estadual Luís Eduardo Magalhães, também em
Caraíbas, foi a melhor experiência que tive, durou 6 meses. A direção era excelente, a
equipe de professores muito unida e competente, e os alunos com uma postura
completamente diferente das turmas que tive anteriormente. Tratavam se de jovens,
onde a maioria eram interessados, o clima em sala de aula era descontraído, os alunos
me respeitaram e me trataram muitíssimo bem. Hoje, continuo a trabalhar no Centro
Educacional de Caraíbas, aprendizagem constante, ora com turmas onde dá pra
desenvolver um trabalho bacana, colocar aulas diferentes com materiais concretos,
jogos e dinâmicas, onde que dá pra perceber que os alunos estão aprendendo, ora com
turmas mais difíceis que de certa forma me limitam e me fazem mudar de estratégias
de ensino constantemente. Hoje, estou no 8º semestre, após cumprir o estágio

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curricular II (fundamental de 7ª ou 8ª séries), pois o estágio I fui dispensada, me
encontro agora finalizando o relatórios deste estágio (Ensino Médio regular) e do
estágio IV que se trata da Educação de Jovens e Adultos (EJA). O estágio II foi uma
experiência boa, mas eu não diria a melhor, pois o 9º ano que foi a turma que estagiei
no Colégio Estadual Abdias Menezes em Vitória da Conquista, se referia à
adolescentes, nos quais nem todos estavam com interesse de aprender, tinha alunos
que mais parece que ia à aula para incomodar os colegas e ao professor. Já no estágio
III, que se refere ao estágio deste relatório, foi com uma turma de 3º ano do Ensino
Médio, foi uma experiência excelente, a melhor entre os estágios. Por fim, o estágio
IV foi uma experiência com turma de EJA, 6º e 7º anos, foi uma experiência também
que veio a somar embora tenha sido bem curta, acredito, inclusive, que deveria haver
mudanças em relação à forma como que se desenvolve este estágio no curso.
Neste semestre, 2011.1 deveria terminar o curso, mas ainda devo as disciplinas:
teoria dos números, análise na reta e variáveis complexas.
Espero em minha vida profissional como professora, desenvolver um bom
trabalho, não me desanimar com as dificuldades, não apenas ensinar a resolver
equações e problemas, mas desenvolver uma postura crítica em meus alunos, discutir
problemas sociais quando for conveniente e não causar traumas em ninguém, se
possível for, minimizar o assombro dos alunos perante a matemática.

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“Trocávamos idéias sobre tudo. Submetíamos nossos trabalhos um ao outro. Juntos
reformulávamos nossos valores, e descobrimos o mundo.”
Fernando Sabino

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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................12
2. FASE DE OBSERVAÇÃO ......................................................................................14
2.1. ASPECTOS OBSERVADOS NA INSTITUIÇÃO..........................................15
2.2. REGISTRO DE ATIVIDADES OBSERVADAS ............................................19
2.3. SÍNTESE DA FASE DE OBSERVAÇÃO.......................................................20
3. FASE DE COPARTICIPAÇÃO ..............................................................................26
3.1. REGISTRO DE ATIVIDADES.........................................................................27
3.2. SÍNTESE DA FASE DE COPARTICIPAÇÃO..............................................28
4. FASE DE REGÊNCIA..............................................................................................30
4.1. HORÁRIO DO ESTÁGIO.................................................................................31
4.2. PLANO DE UNIDADE .....................................................................................32
4.3. PLANO DE AULA 1: O QUE É UM POLINÔMIO ......................................36
4.4. PLANO DE AULA 2: OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS – SOMA,
SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO.....................................................................44
4.5. PLANO DE AULA 3: IDENTIDADE DE POLINÔMIOS ............................49
4.6. PLANO DE AULA 4: DIVISÃO DE POLINÔMIOS.....................................53
4.7. PLANO DE AULA 5: MÉTODO DOS CARTÕES ........................................68
4.8. INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA POR MEIO DE
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ...........................................................................78
4.9. REGISTRO DAS ATIVIDADES ......................................................................98
4.10. RELATOS DAS AULAS DE REGÊNCIA...................................................101
4.10. ANÁLISE DO QUESTIONÁRIO SÓCIO-ECONÔMICO........................127
4.11. QUADRO DE NOTAS ...................................................................................145
4.12. CONCLUSÃO.................................................................................................147
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................149
7. ANEXOS...................................................................................................................151

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INTRODUÇÃO
O estágio de licenciatura é uma exigência da lei de diretrizes e bases da
educação nacional2
(nº 9394/96) e o cumprimento de se sua respectiva carga horária é
requisito exigido para conclusão de curso. O presente trabalho tem por objetivo relatar
as atividades desenvolvidas durante o Estágio Supervisionado III do curso de
Licenciatura Plena em Matemática – UESB. Neste documento está inserido todo o
trajeto do meu estágio que ocorreu entre o período de 22 de Março a 18 de Julho de
2011 no Centro de Integração Educacional Navarro de Brito – CIENB, no 3º ano “A”
do Ensino Médio, em Vitória da Conquista – Bahia, cujo processo teve início na I
unidade, com a observação e a coparticipação, e concluído na II unidade com a
regência.
Sabe-se que a matemática sempre foi considerada para uma grande maioria de
pessoas como “um bicho de sete cabeças” acarretando uma enorme rejeição pelas
pessoas em estudá-la. É algo comum os alunos indagarem: “ufa! Passei! Graças a Deus
me livrei de matemática!” ou “odeio matemática!” E não é a toa que pensem e falem
desse jeito, realmente a maioria delas tem um histórico com esta disciplina que de
alguma forma lhe traumatizaram. Muitos alunos enfrentaram ou enfrentam uma
matemática desmotivadora, “seca”, sem significado real em suas vidas, rigorosa e que
se limita a técnicas monótonas em suas escolas. Diante de tudo isso é fácil notar porque
a matemática ainda é considerada esse “bicho papão”. Cabe a mim como futura
professora de matemática tentar mudar essa realidade dando minha contribuição em
todos os locais pelos quais passar. Mas, antes de dar início à profissão é obrigatório o
cumprimento dos estágios supervisionados exigidos pelos cursos de formação de
professores. É no estágio que começamos a ganhar experiência, estar com os alunos, por
em prática os conhecimentos adquiridos, conhecer a realidade de uma sala de aula,
saber que o desafio é muito maior do que imaginamos. Desafios como de minimizar a
exclusão dos educandos em relação à matemática.
2
http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/ldb.pdf

13
O estágio é fase de conhecimento, uma primeira experiência no meio escolar. É
preparo total? Ensina a ser professor? Com certeza não, pois enfrentaremos situações
novas sempre que estivermos atuando em uma sala de aula. Entretanto, o estágio é um
preparo prévio, no qual podemos contar com as orientações de nossos professores
orientadores, muitas vezes interventores, para que nós como futuros professores
tenhamos pelo menos uma ideia do que pode ser feito.

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FASE
DE
OBSERVAÇÃO

15
ASPECTOS OBSERVADOS NA INSTITUIÇÃO
O Centro Integrado de Educação Navarro de Brito, foi inaugurado em março de
1970. Começou a funcionar com 12 salas de aula, mas logo depois o Dr. Rafael Spínola
elevou para 42 o número de salas. Nesta época o colégio começou a oferecer os cursos
de Magistério de 1º Grau, Técnico de Contabilidade e Auxiliar de Enfermagem, além do
ensino de 1º Grau, tornando-se a maior escola de Vitória da Conquista, uma cidadela
com mais de quatro mil alunos3
. Hoje, o CIENB, atende cerca de 2700 alunos, possui
um quadro de 85 professores, sendo uma escola de grande porte, oferece curso de nível
fundamental e Médio, distribuídos nos turnos matutino, vespertino e noturno. A
estrutura física da escola tem uma boa qualidade, não apresenta escadas, organizada da
seguinte forma: uma sala ampla para professores com banheiros, uma sala de vídeo,
uma secretaria, uma sala para reprografia e impressões para uso dos professores, vinte e
seis salas de aula, todas equipadas com televisores a pen drive, são utilizados
ventiladores, quadro branco e possuem uma boa iluminação. Há também, uma sala para
a direção, uma sala de xadrez, cozinha, almoxarifado, pátio interno e externo, banheiros
masculino e feminino, laboratório de informática contendo 12 computadores,
lanchonete (privada), cantina que oferece merenda escolar apenas aos alunos do ensino
fundamental, reprografia para alunos (privada), quadra poli esportiva, auditório amplo,
biblioteca com uma quantidade razoável de livros didáticos, revistas, jornais e livros de
literatura e estacionamento.
No CIENB, são desenvolvidos alguns projetos: Resgatando as Tradições
Juninas; CIENB Vida; JÁ-Juventude; Historia e Comunidade; Reciclagem;
Ressignificação de Dependência; Programa Mais Educação; Ensino Médio Inovador.
Mantendo dessa forma uma Proposta Pedagógica voltada ao construtivismo, no período
em que procurei a direção para obter informações sobre as propostas políticas
pedagógicas ela me informou não seria possível, pois estava sofrendo algumas
mudanças pela equipe responsável;
3
Disponível em: http://blogdirec20.com.br/2010/06/02/centro-integrado-de-educacao-navarro-de-brito-
comemora-40-anos-de-inauguracao/

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SALAS DE AULA
CARACTERÍSTICAS DA CLASSE
A turma é composta por 38 estudantes sendo 27 mulheres e 11 homens. Destes,
apenas cerca de 32 alunos costumam frequentar as aulas de matemática. Destes últimos,
cerca de 20 alunos são muito interessados em aprender. Eles costumam fazer perguntas
relacionadas ao conteúdo, demonstram interesse em fazer as atividades e prestam muita
atenção às explicações.
ESTRUTURA FÍSICA DA SALA
É uma sala grande, bem arejada, com aproximadamente 40 carteiras para os
alunos, uma mesa com uma cadeira para o professor, um quadro branco e uma TV
pendrive.
DOCENTE
O professor geralmente não falta ao trabalho, aparenta ser organizado e tem um
bom relacionamento com os colegas de trabalho. Em relação aos alunos me parece que
o professor tem fama de “carrasco”. Ministra as aulas de forma expositiva, iniciando-as
da forma tradicional, escrevendo no quadro e os alunos copiando em seus cadernos,
após explicar o conteúdo costuma resolver muitos exercícios para fixação e depois
aplica outros para que os alunos os façam. Ele não costuma seguir um único livro,
aplicando exercícios de fontes diferentes.
AVALIAÇÃO DO DOCENTE
A meu ver, quanto ao ensino, o professor é aparentemente organizado, tem
“domínio” ao abordar o conteúdo e é sempre muito firme nas colocações em sala. Mas
acredito que ele poderia ser mais flexível quanto à sua relação com os alunos, pois me

17
pareceu que existe certa resistência dos alunos quanto à algumas atitudes
comportamentais do professor.
TÉCNICAS E RECURSOS UTILIZADOS PELO PROFESSOR
As aulas são expositivas, tradicionais, utilizando: quadro, pincel, apagador e o
livro didático.
ATIVIDADES DE ENSINO
O professor inicia o conteúdo da forma tradicional, escrevendo no quadro e os
alunos copiando. Em seguida, explica o conteúdo e faz exercícios para fixação. A
avaliação é feita através de um teste e uma prova.
CONTEÚDOS
Os conteúdos trabalhados nas aulas em que observei e coparticipei foram:
Números Complexos e Fatoriais. Ambos os conteúdos foram trabalhados de forma
expositiva e sem nenhuma contextualização. Os exercícios se basearam na mecânica de
“como resolver” e não para que serve, ou dentro de qualquer situação contextualizada.
Para o primeiro conteúdo os alunos me pareceram ter mais dificuldade. Para o segundo,
a compreensão de modo geral foi maior.
ASPECTOS EXTERIORES À SALA DE AULA
SALA DOS PROFESSORES
Na sala de professores tem alguns sofás móveis, uma mesa no centro da sala,
usada para colocar os diários de classe, antes e entre as aulas, um bebedouro, uma
pequena mesa onde se coloca merenda escolar e garrafas com chá e café. Há também,
uma mesa usada pela diretora ou vice-diretora, um sanitário feminino e um masculino.

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A maior concentração de professores nesta sala costuma acontecer no horário de
intervalo e entre uma aula e outra. No período em que estagiei, não presenciei nenhuma
reunião, mas é nesta sala que estas costumam acontecer.
BIBLIOTECA
No colégio existe uma biblioteca de pequeno porte na qual existe um sistema de
empréstimo para os alunos. Ficando disponível no horário letivo e sempre tendo alunos
utilizando-a. segundo os alunos, o professor de matemática não costuma levar os alunos
para a biblioteca.
LABORATÓRIO DE INFORMÁTICA
A sala de informática possui 12 computadores em funcionamento, com acesso à
internet à disposição de alunos e professores. Funciona no horário letivo e para utilizá-
lo é preciso agendar antes.

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OBSERVAÇÃO
CENTRO INTEGRADO DE EDUCAÇÃO NAVARRO DE BRITO – CIENB
PROFESSOR REGENTE: Enoque Alves de Matos
ESTAGIÁRIA: Neuraci Dias Amaral
DISCIPLINA: Matemática CURSO: Ensino Médio
SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: I
FASE DE OBSERVAÇÃO: 22 à 30 de março de 2011
REGISTRO DE ATIVIDADES OBSERVADAS4
4
Os registros assinados pelo regente nas fases de observação, coparticipação e regência estão no anexo 4.
DATA HORÁRIO ATIVIDADES N° DE AULAS
22/03/2011 8:10 às 9:50
Teste I unidade sobre
Números complexos
2
28/03/2011 7:20 às 8:10
Abordagem do
conteúdo Fatorial:
1
29/03/2011 8:10 às 9:50
Resolução de alguns
exemplos sobre o
conteúdo Fatorial e
aplicação de exercícios.
2
30/03/11 8:00 às 10:30
AC dos professores da
área de Matemática e
suas Tecnologias e
reunião entre as duas
estagiárias e o professor
regente de matemática.
3

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OBSERVAÇÃO
FASE DE OBSERVAÇÃO: 22 à 30 de março de 2011
SÍNTESE DA FASE DE OBSERVAÇÃO
A Observação constitui a primeira fase do Estágio Supervisionado. Foi realizado
no Centro Integrado de Educação Navarro de Brito - CIENB, localizado à Av. Frei
Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista - Bahia, entre 22 e 30 de março, na turma de 3º
ano, turma “A”, sob a regência do professor Enoque Alves de Matos.
Minha primeira aula de observação aconteceu no dia 22 de março de 2011.
Cheguei ao CIENB por volta das 08h00min da manhã para dar início às observações em
sala de aula. Antes de entrar em sala o professor havia me informado que naquele dia
aconteceria uma avaliação. Ao entrar em sala, o professor apresentou-me à turma,
dizendo que eu estaria com eles a partir daquele dia como estagiária da disciplina,
informando-os também que a princípio eu estaria observando e coparticipando e a partir
da segunda unidade assumiria a turma como regente. Em seguida, o professor entregou
a avaliação e uma folha em branco esclarecendo-os que:
- A avaliação era composta por 11 questões, das quais os alunos poderiam escolher 5
para responder;
- Não seriam aceitas questões rasuradas;
- As respostas só seriam válidas acompanhadas com seus respectivos cálculos;
- Só seria permitido sair da sala, mesmo que houvesse terminado o teste, após 1 horário
(50 minutos);
- Havia uma questão desafio ao fim da avaliação que tinha valor extra e, segundo ele,
era “presente de Natal.”
Desejou aos alunos bom trabalho e sentou-se. Nesse momento, entreguei lhe o ofício
(anexo 1) , documento que me encaminhava para estagiar na turma.

21
Durante a avaliação predominou o silêncio. Os alunos ficaram muito
concentrados e só se manifestaram para perguntar se a ordem das questões poderia ser
aleatória, tipo:
- “posso começar a fazer a 11 e depois voltar para a 2?”
No entanto, uma aluna rapidamente entregou ao professor a sua avaliação. O professor
olhando para mim fez um infeliz comentário:
- forte candidata a estar aqui de novo ano que vem...
Foi então que a aluna retrucou:
- vou queimar sua língua!
E o professor novamente falou:
- sua prova já está corrigida...
Apesar do ocorrido, o andamento da prova foi tranquilo.
Por volta das 08h:45min uma professora da instituição apareceu na sala
convidando os alunos para uma palestra às 9h:00 min sobre marketing empresarial, que
iria ocorrer no auditório da escola. O professor então disse aos alunos que aqueles que
fossem terminando o teste poderiam se encaminhar para o auditório.
No dia 28 cheguei ao colégio por volta das 7h:20min para uma nova
observação. O professor ao chegar deu bom dia e iniciou a aula escrevendo no quadro o
conteúdo Fatorial e, logo abaixo, alguns exemplos, como:
5! = 5x4x3x2x1
Falou para os alunos repararem que a partir do número dado em todos os exemplos
tinha-se o produto em ordem decrescente até chegar ao número 1, como visto acima. A
seguir, aguardou os alunos copiarem e falou a definição em voz alta por duas vezes,
dizendo que a seguir seria a vez dos alunos dizerem em “coro” as palavras que ele havia
dito e assim os alunos fizeram. Na sequencia perguntou se os alunos haviam entendido e
após confirmação, perguntou novamente:
- E qual o fatorial de “n”?
O professor aguardou a resposta por alguns instantes, mas diante o silêncio dos
alunos ele começou a dizer que não havia motivos para espanto. O fato de se depararem
com uma letra em meio àqueles exercícios indicava que de um modo geral n
representava um número qualquer e dessa forma teríamos:

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n! = (n)x(n-1)x(n-2)x...x(1)
Exemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Após ter feito isso, colocou alguns exercícios similares no quadro para que os
alunos fizessem em casa, finalizando a aula às 08h10min.
Na aula seguinte, dia 29 de março, que teve início às 9h10min, após
cumprimentar os alunos dando bom dia, o professor perguntou se haviam feito as
atividades em casa e após perceber que a maioria não havia feito, deu um breve
“sermão” ressaltando que os alunos querem que ele passe a avaliar os vistos em caderno
mas eles próprios não fazem as atividades. Após corrigi-las, o professor colocou no
quadro “novos” exercícios como:
 5!/3!
 20!/18!
 5!4!/3!2!
 n!/(n-1)!
E disse: “façam!”
Logo após, deu uma “circulada” pela sala e percebeu que os alunos estavam
desenvolvendo cada fatorial por completo para depois fazer a divisão. Então, o
professor Enoque os disse que: “matemático é preguiçoso” e a vida exige praticidade,
então seria mais conveniente simplificar o termo maior, independente dele estar no
numerador ou denominador, até chegar ao valor do menor e usar o “corte” isto é, veja
como fazer no primeiro exemplo:
• 5!/3! = (5x4x3!)/3! = 20
Fazendo uma ressalva em relação à fala do professor, eu não creio que os
matemáticos sejam preguiçosos, mas sim que desenvolveram certas habilidades que
simplificam determinadas ações trabalhosas. Em seguida aplicou mais alguns exercícios
para fixação aguardou os alunos fazerem até que estes foram interrompidos pela
campainha do colégio que anunciou o fim da aula daquele dia.
Na manhã do dia 30 (quarta-feira), dia de AC da Área de Matemática e suas
Tecnologias retornei ao colégio para juntamente com a minha colega, de disciplina no
curso de matemática e de estágio no CIENB, Maria das Graças, para conversar com o

23
professor Enoque. Durante essas atividades complementares são colocados em pauta
assuntos referentes ao CIENB e passadas informações diversas. Nesses encontros, os
professores costumam também fazer correções de atividades e planejar aulas.
O professor Enoque fez alguns comunicados, os quais foram discutidos pelos
demais professores:
- Está aberta a inscrição para certificação, que pelos comentários se refere à uma prova
que testa conhecimentos dos professores, e oferece um pequeno bônus salarial aos
aprovados mensalmente;
- Tem uma nova lei que está no congresso referente aos professores que tem tempo
integral nas escolas;
- O Departamento de Ciências Naturais da UESB encaminhou uma lista de estagiários
para os respectivos professores do CIENB, citando turno e turma;
- Sugeriu que o Colegiado de Matemática ou Departamento de Ciências Exatas- DCE
também mandasse uma relação dos estagiários por professor, série e turno;
A questão da certificação gerou certa discussão. Uma professora questionou que
“os únicos funcionários que são avaliados por meio de provas são eles e que isso só
acontece porque eles sempre aceitaram de forma passiva. Nem mesmo os alunos hoje
em dia são avaliados nas escolas por este instrumento.” Outra professora
complementou que “este dinheiro deveria ser investido em capacitação por que este
tipo de coisa não mede as práticas de ninguém. O que deveria era ser feito um relatório
de cada professor por parte da coordenação ou direção da escola, por que o que
acontece em sala de aula não dá para ser medido em 20 linhas de uma dissertação na
qual não se pode usar lápis, nem borracha e nem fazer rascunho. Só é permitido usar
uma caneta!”. Embora eu não esteja tão informada sobre a certificação, os objetivos
desta proposta do governo, concordo com as professoras em relação às suas
colocações.
Ficou definido que nos ACs seguintes ficariam assim: 1ª hora de reunião para
discutir questões institucionais e nas horas seguintes tirar o tempo para estudar para a
prova da certificação. Os professores socializaram alguns materiais, dando fim a reunião
e prosseguindo cada um com suas particularidades.

24
Num momento a seguir, o professor se direcionou a mim e à minha colega Maria das
Graças para discutirmos sobre o nosso estágio. A princípio ele disse que o assunto da
unidade II que iriamos trabalhar com os alunos de 3º ano seria Polinômios.
Posteriormente, entregou-nos o calendário acadêmico, a partir do qual, definimos as
datas de inicio e término da regência: início em 18 de Abril e término em 18 de julho5
com a entrega dos resultados das avaliações aos alunos. Enoque nos disse que entre 11 e
15 de Abril aconteceria a semana de provas e nós daríamos continuidade a nossa
coparticipação, aplicando as provas aos alunos conforme escala preparada por
professores do CIENB. Falou-nos também em relação à sua avaliação: costuma aplicar
duas: um teste e uma prova, cada uma valendo 5 pontos. Segundo ele, não há
necessidade de pontuar vistos em cadernos, pois é dever do aluno fazer isso. Ele
também não é a favor de pontuar listas de exercícios, pois, segundo ele, um aluno faz e
30 copiam. Em seguida, nos disse que havia esquecido o Plano de unidade e nos
acompanhou até a biblioteca para que pegássemos emprestado o livro adotado pelos
professores de matemática do CIENB, informando-nos que não costuma usá-lo, pois
gosta de preparar suas aulas com exercícios de outros livros. A seguir, acompanhou-nos
novamente, desta vez até a sala da vice-diretora, nos apresentou a ela, e disse que em
breve as turmas de terceiros anos A e B estariam sob nossa responsabilidade. E
encerramos assim nossas atividades no CIENB na manhã desta quarta-feira, encerrando
também a fase observação.
Durante a fase de observações no CIENB, foi possível notar: como é o
relacionamento dos alunos com o professor e do professor com alguns colegas de
trabalho, o perfil dos alunos e a forma como o professor aborda os conteúdos e age com
os alunos. Pelo que pude perceber, ele é respeitado pelos demais professores e apresenta
relacionamento meio distante com grande parte dos alunos da turma. Percebi que a
grande maioria dos alunos do 3º A mantém silêncio durante as aulas de matemática
ministradas pelo professor e eles respondem as atividades aplicadas. É importante citar
que o professor durante as aulas geminadas conversou bastante com os alunos sobre a
importância de se ter uma profissão, de se preparar para o vestibular e de passar em uma
5
A definição da data de início e término do meu estágio foi diferente em relação à de minha colega, pois
estagio às segundas e terças enquanto ela estagia às terças e quintas.

25
instituição pública. Nessas aulas alguns alunos comentaram quais cursos pretendem
fazer e em que universidades pretendem prestar vestibular. Achei interessante o fato de
o professor apresentar em determinados momentos uma postura mais “dura”, não dando
muita abertura para “piadinhas”, embora ele tenha o costume de fazê-las em
determinados momentos. Em geral, o perfil dos alunos do 3º ano é bem diferente dos
alunos de uma 8ª série, (série em que estagiei na disciplina Estágio II). São mais
“maduros”, apresentam uma postura mais séria diante das aulas, prestam mais atenção,
entre outras diferenças que pude perceber e que por hora não foram citadas.

26
FASE
DE
COPARTICIPAÇÃO

27
COPARTICIPAÇÃO
FASE DE COPARTICIPAÇÃO: 04 à 19 de abril de 2011
REGISTRO DE ATIVIDADES
DATA HORÁRIO ATIVIDADES N° DE AULAS
04/04/2011 7:20 às 8:10
Aplicação do conteúdo
Fatorial. 1
05/04/2011 8:10 às 9:50
Correção de atividades
propostas na aula anterior. 2
11/04/2011 7:30 às 9:50
Aplicação da avaliação de
Biologia e Sociologia. 2
12/04/2011 7:30 às 9:50
Aplicação da prova de
Português, Inglês e
Redação.
2
18/04/2011 7:20 às 8:10 Correção de atividades. 1
19/04/2011 7:30 às 9:50
Correção da avaliação
final da I unidade.
2

28
COPARTICIPAÇÃO
SÉRIE: 3º TURMA: A TURNO: Matutino UNIDADE: II
FASE DE REGÊNCIA: 04 a 19 de abril de 2011
SÍNTESE DA COPARTICIPAÇÃO
A coparticipação é a segunda etapa do Estágio Supervisionado. Ocorreu de 04 a
18 de abril, totalizando 10 horas/aula. Foi uma fase importante no meu estágio, assim
como as outras, pois neste período tive a oportunidade de participar como auxiliar do
professor, realizando, como por exemplo, correções de atividades.
Minha primeira aula de coparticipação aconteceu no dia 04 de abril, no
primeiro horário, que acontece entre 07h20min e 08h10min. Neste dia, o professor
aplicou exercícios sobre o conteúdo explanado na aula anterior: fatorial. Na
coparticipação, auxiliei alguns alunos na resolução dos exercícios e pude começar a
conhecer melhor o perfil dos alunos, aqueles que tinham maior facilidade para entender
o assunto e aqueles que tinham mais dificuldade de aprendizagem quanto aos
exercícios.
No dia 05 de abril o professor aguardou alguns instantes para que os alunos
fizessem as atividades e em seguida fez as devidas correções. Neste dia continuamos a
esclarecer algumas dúvidas dos alunos, individualmente de carteira em carteira à
aqueles que solicitavam auxílio. Ao corrigir as atividades no quadro, o professor
explicou passo-a-passo a “mecânica” envolvida nos exercícios.
Nos dias 11 e 12 de abril estava acontecendo a semana de provas no CIENB. No
dia 11 fiscalizei a turma enquanto eles faziam a avaliações de Biologia e Sociologia e
no dia 12 enquanto faziam as avaliações de Língua Portuguesa, Inglês e Redação.
Durante todas as avaliações (provas escritas) os alunos permaneceram em silencio,
contribuindo para o bom andamento das atividades.

29
No dia 18 de abril, a aula, como de costume nas segundas feiras, começou com
atraso, cerca de 20 minutos. Sendo assim, ao chegar o professor apenas aplicou alguns
exercícios na lousa e não deu tempo dos alunos começarem a resolver.
No dia 19 de abril, o professor me entregou a avaliação da 1ª unidade para que
eu pudesse fazer a correção para a turma. Assim então foi feito, resolvi questão por
questão, enquanto isso os alunos permanecerem em silencio. Ao perguntar se eles
estavam entendendo, confirmaram que sim, mas disseram que o professor não havia
explicado daquela forma não, disseram ainda ser mais fácil da forma que eu havia feito.
Bom, eu afirmei que as respostas estavam corretas, mas que uma mesma questão pode
ser resolvida de formas diferentes. O professor, como estava em sala, afirmou que havia
explicado sim e desta forma foi encerrando o período de coparticipação.
Durante a coparticipação pude conhecer um pouco dos alunos, observando as
facilidades e dificuldades de alguns. Foi um momento importante também, pois eles
começaram a me conhecer como “professora” e me tratar como tal.

30
FASE
DE
REGÊNCIA

31
REGÊNCIA
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho
DISTRIBUIÇÃO DO TEMPO
Número de horas/aula semanais: 3h
HORÁRIO
Horário Segunda Terça Quarta Quinta Sexta
7:20 Matemática
8:10 Matemática
9:00 Matemática
10:00
10:50
11:40
Dados sobre a turma do estágio:
Números de alunos: 38
Sexo masculino: 11
Sexo feminino: 27
Procedência: Escola Pública Estadual

32
REGÊNCIA
PLANO DE UNIDADE
II UNIDADE
Este plano de unidade foi solicitado como requisito da disciplina Estágio
Supervisionado III pela professora Roberta Bortoloti e será aplicado para alunos de 3º
ano do Centro Integrado de Educação Navarro de Brito-CIENB, localizado à Av. Frei
Benjamin, Brasil - Vitória da Conquista – Bahia. Tem como objetivo colocar em prática
as teorias e metodologias adquiridas ao longo do curso de Licenciatura Plena em
Matemática.
OBJETIVOS GERAIS DA UNIDADE:
- Contribuir com o desenvolvimento do saber matemático (do aluno);
- Compreender o que é um polinômio;
- Apresentar situações práticas que levam à ideia de polinômio;
- Manipular expressões algébricas envolvendo polinômios;
- Mostrar os métodos de resolução das operações com polinômios;
- Apresentar situações-problema envolvendo análise combinatória;
Conteúdo previsto Número de aulas previstas
O que é um polinômio:
- Introdução 4

33
- Definição
- Grau
- valor numérico
Polinômio identicamente nulo e identidade de
polinômios;
2
Adição, subtração e multiplicação de polinômios
(incluindo teste);
6
Divisão de polinômios
-Método da chave;
-Teorema do resto;
- Teorema de D’Alembert;
- Dispositivo prático de Briot-Ruffini
7
As quatro operações com polinômios utilizando o
Método dos cartões6
.
4
Oficina: Análise combinatória através de resolução de
problemas.
4
Conselho de classe II unidade. 3
Total previsto de aulas da regência. 30
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS QUE PRETENDE UTILIZAR:
A metodologia utilizada em sala de aula será baseada em aulas teóricas, que
serão de caráter expositivo-participativo, e aulas práticas, utilizando materiais concretos.
No primeiro momento serão realizadas aulas expositivo-participativas. Nestas,
tentarei mostrar para os alunos algumas situações em que a partir das quais originam
equações ou expressões que envolvem polinômios.
Depois serão abordadas algumas técnicas, estratégias e opções de como se
resolver essas equações ou expressões que envolvam polinômios, ou mesmo as
6
Este método aqui titulado como “Método dos cartões” trata se um recurso no qual os alunos irão utilizar
figuras em formato de retângulos e quadrados feitos com cartolinas coloridas para efetuar as quatro
operações com polinômios.

34
operações com o conteúdo polinômios. Para isso, mostrarei tanto a parte algébrica
quanto a geométrica (quando possível) para que os alunos tenham essas duas visões nos
problemas. Nestas aulas vamos utilizar além do recurso “lápis-papel”, recortes de papel
em forma de quadrados e retângulos, para efetuar as operações com polinômios,
relacionando com as supostas áreas das figuras.
Para fixar as técnicas e torna-los hábeis para responder questões sobre este
conteúdo no vestibular, pois muitos deles pretendem fazê-lo, aplicarei questões que
caíram nos últimos vestibulares.
Na parte final da regência, será realizado um projeto de ensino sobre análise
combinatória, utilizando materiais concretos para resolução de problemas, que tem por
objetivo facilitar a compreensão do conteúdo permitindo assim inserir metodologias
diferentes nas aulas de matemática.
RECURSOS UTILIZADOS:
- Cartões em cartolina
- Quadro
- Livro didático
- Pincel
- EVA
- Isopor
INSTRUMENTOS AVALIATIVOS QUE PRETENDE APLICAR:
A avaliação será sistemática e se dará ao longo de todo o processo de
aprendizagem. Levantarei informações sobre o conhecimento prévio do aluno e
observarei as dificuldades e as facilidades de cada um.
Será avaliada no decorrer das aulas a participação, o comportamento, as
atividades extraclasses, teste e prova avaliativa, individual somando 10 pontos.
A minha distribuição de notas será a seguinte:

35
 9 pontos para provas escritas: será realizado um teste de valor 3,0 pontos e uma
prova valendo 6,0 pontos;
 1 ponto extra pela participação na oficina sobre análise combinatória;
 1 pontos pela participação, comportamento e cumprimento das atividades
propostas (listas e exercícios em sala).
REFERÊNCIAS
DANTE, Luíz Roberto. Matemática: ensino médio, vol. único. Editora Ática, 1ª ed. São
Paulo, 2005.
GIOVANI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. Vontade de saber matemática, vol.3.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, 2001.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto.
Matemática volume único: Ensino Médio, Editora Atual, São Paulo, 2007.

36
REGÊNCIA
PLANO DE AULA 1: O QUE É UM POLINÔMIO
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVOS GERAIS
 Mostrar a ocorrência de expressões denominadas polinomiais.
 Apresentar a definição de: polinômio, grau de um polinômio e valor numérico de
um polinômio;
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
 Reconhecer expressões polinomiais na resolução de problemas;
 Identificar o grau de monômios e consequentemente de polinômios;
 Determinar o valor numérico de um polinômio.
2. CONTEÚDO
Polinômios:
- Introdução
- Definição
- Grau de um polinômio
- Valor numérico

37
3. PRÉ-REQUSITO
- Potenciação;
- Números complexos.
4. METODOLOGIA/PROCEDIMENTO
As aulas serão expositivo-participativas. O tempo estimado para abordar o
conteúdo é de 200 minutos (4 aulas), sendo duas aulas utilizadas para: expor e explicar
as definições de polinômio, grau e valor numérico de um polinômio e sua presença na
resolução de problemas. As duas aulas seguintes serão utilizadas para realizar alguns
exercícios.
Antes de iniciar o conteúdo a ser abordado é importante fazer um breve
apanhado sobre a álgebra. Ela é considerada a aritmética simbólica porque emprega
letras para representar números. Essas expressões matemáticas formadas por letras e
símbolos numéricos são chamadas expressões literais ou, genericamente, expressões
algébricas e na resolução de problemas é muito comum ocorrerem situações em que a
leitura e a compreensão do enunciado nos levam a formular expressões que permitam
depois a resolução do problema, por meio de uma equação oriunda das expressões
obtidas. Por exemplo, veja algumas:
1) Se x é a idade de Ana, a idade que ela tinha há 5 anos é dada por x – 5.
2) O triplo da idade de Ana daqui há 4 anos é dado por 3(x + 4).
3) 25% de uma quantia é dado por x/4.
Falarei aos alunos que essas são algumas simples exemplificações do uso das
expressões algébricas. Instantes depois desenharei as figuras abaixo no quadro e direi
para que os alunos imaginem por exemplo que, em determinados problemas, os
enunciados nos levem às seguintes figuras e suas dimensões:

38
Na primeira figura temos uma região retangular de dimensões x e x + 3. Perguntarei aos
alunos como se calcula o perímetro e a área do retângulo. Após ouvi-los e verificar se a
resposta está certa, direi que o perímetro (P) é indicado pela expressão:
P(x) = 2(x + 3) + 2x ou P(x) = 4x + 6
A segunda figura é um cubo com arestas de medidas x, cuja área total (At) é
indicada por:
At = 6x²
e cujo volume (v) é dado por:
v = x³
A terceira figura é outro cubo com arestas x + 2, cuja área total é dada por:
At = 6(x + 2 )(x + 2) ou (6x + 12)(x + 2) ou 6x² + 12x + 12x +24 ou 6x² + 24x + 24
Donde, simplificando, isto é dividindo toda expressão por 6, lembrando que At = x² +
4x + 4 não é equação, temos: At = x² + 4x + 4
Todas essas expressões são chamadas de expressões polinomiais ou
simplesmente polinômios, cujo estudo vocês já iniciaram no ensino fundamental e será
aprofundado agora.
Antes de apresentar a definição de polinômios, é conveniente apresentar a
definição de monômios. Logo a seguir, apresentarei as definições de grau de um
polinômio e de como se calcula o valor numérico de um polinômio.
FUNÇÃO MONOMIAL
Definição

39
Dado um número complexo (C) a e um numero natural n, consideremos a
função f: C em C definida por f(x) = axn
.
A função complexa f é chamada função monomial ou monômio na variável x.
O número complexo a é denominado coeficiente do monômio e o numero
natural n é chamado de grau do monômio. Assim, vejamos alguns exemplos:
At(x) = 6x² é um monômio de grau 2.
v(x) = x³ é um monômio de grau 3.
Em seguida direi para os alunos que: “o polinômio representa a soma algébrica de
monômios na variável x.”. São exemplos de polinômios:
At(x)= x² + 4x + 4 é um polinômio de grau 2.
P(x) = 4x + 6 é um polinômio de grau 1
FUNÇÃO POLINOMIAL
Definição
Sejam an, an – 1, ..., a2, a1, a0 números complexos e considere a função
F(x) = anxn
+ an – 1 x n – 1
+... + a2x2
+a1x + ao
A função f é denominada função polinomial ou polinômio na variável x.
Os números complexos an, an – 1, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes do polinômio.
Notemos que o polinômio representa a soma algébrica de monômios na variável
x.
São exemplos de polinômios:
f(x) = 3x² + 2x – 1, onde a2 = 3,a1 = 2 e a0 = - 1
g(x) = -4 x³ + x + 1/2, onde a3 = -4, a2 = 0, a1 = 1 e a0 = ½
h(x) = -2x³ + x/3, onde a3 = -2, a2 = 0,a1 = 1/3 e a0 = 0
Observação: não representam polinômios:
a) f(x) = x + x¹/² + 2, devido ao expoente fracionário, pois por definição dado
monômio, seja ele f(x) = axn
, n é sempre um numero natural, o que não é o caso
deste exemplo.
b) g(x) = -1 + 2x + x-
³, devido ao expoente negativo, pois -3 não é um numero
natural.

40
GRAU DE UM POLINÔMIO
Definição
Grau de um polinômio P(x) é o máximo grau observado entre os graus de seus
monômios. O coeficiente do monômio de grau máximo é chamado coeficiente
dominante do polinômio.
Exemplo 1
Vamos identificar o grau e o coeficiente em cada caso:
a) p1(x) = 2x³ + x² - 3x – 5 é um polinômio de grau 3 e coeficiente dominante igual
a 2.
b) p2(x) = -31/2
x4
+ x³ -x²/2 – 1 é um polinômio de grau 4 e coeficiente dominante
igual a -31/2
.
c) p3(x) = x + 1 é um polinômio de grau 1 e coeficiente dominante igual a 1.
Exemplo 2
Seja o polinômio p(x) = (m – 1)x³ + x² - 3x + 1
O grau desse polinômio será 3, desde que o coeficiente x³ não se anule, isto é,
desde que tenhamos m – 1 ≠ 0 → m ≠ 1.
VALOR NUMÉRICO
Definição
Considere um polinômio p(x) e um numero real α. O valor numérico do polinômio p(x)
para x = α é o número que se obtém substituindo x por α e efetuando os cálculos
necessários. Indica-se por p(α).
Se p(α) = 0, o número α é chamado de raiz ou zero de p(x).
Exemplo 3

41
Vamos determinar o valor numérico do polinômio p(x) = 2x² - 3x + 5 para x = 4
p(4) = 2(4)² - 3(4) + 5
p(4) = 2(16) – 12 + 5
p(4) = 32 – 12 + 5
logo, p(4) = 25
Após tirar as eventuais dúvidas, aplicarei inicialmente uma lista de exercícios,
que segue abaixo, afim de que os alunos apliquem os conhecimentos acima e
desenvolvam habilidades acerca do assunto.
1ª lista da unidade II
1. Identifique o grau de cada polinômio e o coeficiente dominante:
a) p(x) = 4x³ - 6x² + 5
b) g(x) = 2/3x² - x + 5/3
c) f(x) = -8x² + 12x -20
d) h(x) = 2x² - 3x + 5
2. Diga quais das seguintes funções são polinômios e justifique.
a) p(x) = x7
+ 1
b) q(x) = 5x4
– 3x2
+ x-1
+ 2
c) h(x) = 1/x² + 7x- 3
d) u(x) = 5x³ -2x1/4 + 1
e) f(x) = x² - 6x1/2 -8
3. Sendo p(x) = x³ + 4x – 1, calcular:
a) P(3)
b) P(4)

42
c) P(m + 1)
d) P(-2)
4. Verificar se 2 é raiz do polinômio p(x) = x² - 5x +6
5. (PUCC-SP) Dado o polinômio p(x) = xn
+ xn-1
+ ... + x² + x + 3, se n for ímpar,
então p(-1) vale:
a) -1 b) 0 c) 2 d) 1 e) 3
6. (ITA) Um polinômio P(x) ax³ + bx² + cx + d é tal que P(-2)=-2 ,
P(-1) =3 , P(1) = -3 e P(2) = 2. Temos então que:
(a) b=0 (b) b=1 (c ) b=2 (d) b=3 (e) N.D.A.
7. Considere o polinômio p(x + 1) = 3x² -x + 5, determinar p(x).
5. RECURSOS
- Lousa;
- Pincel;
- Apagador;
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados continuamente através da participação nas aulas e no
cumprimento das atividades propostas.
7. BIBLIOGRAFIA
Paulo, 2005.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo,2001.

43
SILVA, Cláudio Xavier da. Aula por aula. Editora FTD, 2ª ed. Renovada, São Paulo,
2005.

44
REGÊNCIA
PLANO DE AULA 2: OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS – SOMA,
SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO.
1. OBJETIVOS
- Explicar o uso das operações adição, subtração e multiplicação com polinômios;
- Mostrar a soma, subtração e multiplicação de polinômios relacionando-os com áreas
de figuras geométricas;
- Contribuir para que o aluno entenda e resolva as operações com polinômios.
- Efetuar a adição, subtração e multiplicação de polinômios;
- Operar algebricamente com polinômios relacionando-os com áreas de figuras
geométricas.
2. CONTEÚDO
Operações com polinômios:
- Adição

45
- Subtração
- Multiplicação
2. PRÉ-REQUSITO
- Operações com expressões algébricas;
- Área de uma região delimitada por quadrados e retângulos.
As aulas serão expositivo-participativas e utilizaremos recursos manipuláveis. O
tempo estimado para abordar o conteúdo é de 200 minutos (4 aulas), sendo duas aulas
utilizadas para: expor e explicar a soma, subtração e multiplicação algébrica de
polinômios e aplicar alguns exercícios em sala de aula. Nas duas aulas seguintes serão
utilizadas figuras em cartolina para entender o uso de polinômios no contexto de áreas
de figuras (retângulos e quadrados), possibilitando o aluno perceber a álgebra e a
geometria ao utilizar este conteúdo na resolução das atividades dadas.
Nas primeiras duas aulas lembrarei aos alunos que as operações de soma e
subtração de polinômios seguem os procedimentos de Álgebra estudados no ensino
fundamental. Por meio de exemplos, vamos retomar essas operações conhecidas, no
estudo de expressões algébricas. Em seguida, nas aulas futuras estudaremos a
multiplicação e depois de forma mais detalhada estudaremos a divisão de polinômios.
Exemplo 1
Considere os polinômios P(x) = x³ + 2x² - 3 e Q(x) = x² + x + 1. Calcule:
a) P(x) + Q(x)
b) P(x) - Q(x)
c) P(x) . Q(x)
Solução:
Calculamos a soma adicionando os coeficientes de termos semelhantes:

46
P(x) + Q(x) = (x³ + 2x² - 3) + (x² + x + 1)
P(x) + Q(x) = x³ + 2x² - 3 + x² + x + 1
P(x) + Q(x) = x³ + 3x² + x – 2
Observe que o grau da soma é igual ao grau maior entre os graus de P(x) e
Q(x), que nesse caso é o de P(x).
a) Calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes:
P(x) - Q(x) = (x³ + 2x² - 3) - (x² + x + 1)
P(x) - Q(x) = x³ + 2x² - 3 - x² - x - 1
P(x) - Q(x) = x³ + x² - x – 4
b) Calculamos o produto de dois polinômios fazendo a multiplicação de cada termo
de um deles, por todos os termos do outro. Posteriormente, faremos a adição dos
resultados:
P(x) . Q(x) = (x³ + 2x² - 3) . (x² + x + 1)
P(x) . Q(x) = x³. x² + x³ . x + x³ . 1 + 2x² . x² + 2x² . x + 2x² . 1 + (-3) . (x²) +
(-3) . (x) + (-3) . 1
P(x) . Q(x) = x5
+ x4
+ x³ + 2x4
+ 2x³ + 2x² - 3x² - 3x – 3
P(x) . Q(x) = x5
+ 3 x4
+ 3x³ - x² - 3x - 3
Exemplo 2
Considere p(x) = 4x² - 3x – 2 e Q(x) = –x² + x -1. Calcular a soma destes
polinômios.
Solução: P(x) + Q(x) = (4x² - 3x – 2) + (–x² + x - 1)
Operando com os termos semelhantes, temos:
P(x) + Q(x) = 4x² - x² - 3x + x - 2 – 1 logo, P(x) + Q(x) = 3x² -2x -3
Após explicar os procedimentos acima, aplicarei os exercícios 20 (letras a e c), 21
(letras a e b) e 22 da página 187 e o exercício 23 e 24 (letra b) da página 188 do livro
Matemática aula por aula (adotado pela escola), que seguem abaixo. Ao terminarem de
fazer, farei a correção.

47
5. RECURSOS
- Lousa;
- Pincel;
- Apagador;
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados mediante a participação e o interesse durante a
exposição do conteúdo e na resolução das atividades.

48
7. BIBLIOGRAFIA
Paulo, 2005.
2005.

49
REGÊNCIA
PLANO DE AULA 3: IDENTIDADE DE POLINÔMIOS
1. OBJETIVOS
1.1 OBJETIVO GERAL
- Apresentar as definições sobre identidade de polinômios;
1.2 OBJETIVO ESPECÍFICO
- Reconhecer ou identificar a identidade de polinômios;
2. CONTEÚDO
Identidade de polinômios:
- Polinômios idênticos;
- Polinômio nulo.
3. PRÉ-REQUSITOS
- Potenciação;
- Números complexos.

50
As aulas serão expositivo-participativas. O tempo estimado para abordar o
conteúdo é de 100 minutos (2 aulas), sendo utilizadas para: expor e explicar identidade
de polinômios e realizar alguns exercícios.
A princípio apresentarei aos alunos as definições:
Polinômios idênticos
Considerando dois polinômios P(x) e Q(x), dizemos que esses polinômios são
idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos correspondentes forem iguais.
P(x) = a0 + a1x +a2x2
+ ... + anxn
Sendo: temos:
Q(x) = b0 + b1x +b2x2
+ ... + bnxn
P(x) ≡ Q(x) ↔ a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2,..., an = bn
Exemplo 1
Dados os polinômios idênticos P(x) = ax² + 3x = 8 e Q(x) = 4x² + 3x + b e sendo
P(x) ≡ Q(x), temos: a = 4 e b = - 8
Exemplo 2
Os polinômios f(x) = ax² + (b – 1)x + 3 e g(x) = -2x² + 5x – c são idênticos, então:
a = -2,
b – 1 = 5 ↔ b = 6
e –c = 3 ↔ c = -3
Exemplo 3
A igualdade (x + 3)/(x² - 4) = a/(x + 2) + b/(x – 2) ocorre quando:

51
(x + 3)/(x² - 4) = [a(x + 2) + b(x – 2)]/ (x + 2)(x – 2) →a(x – 2) + b(x + 2) ≡ x + 3→ ax
– 2ª + bx + 2b ≡ x + 3. Agrupando os termos semelhantes, vem:
(a + b)x + (-2ª + 2b) = x + 3
Da identidade de polinômios segue que:
a + b = 1
-2a + 2b = 3a = -1/4 e b = 5/4
Polinômio nulo
Polinômio nulo ou polinômio identicamente nulo é aquele que tem todos os
coeficientes são iguais a zero. Indicamos p(x) ≡ 0.
Exemplo 4
Dado o polinômio p(x) = (a + 3)x² + (3b - 9)x + c, para que seja identicamente nulo
temos: igualando cada um de seus coeficientes iguais a zero segue que a = -3, b = 3 e
c = 0.
Para que os alunos adquiram habilidades acerca das definições dadas serão
aplicados os exercícios 11, 12, 14, 15 e 18 da página 185 do livro adotado pela escola,
que seguem abaixo:

52
5. RECURSOS
- Lousa;
- Pincel;
- Apagador.
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados continuamente através da participação nas aulas e no
cumprimento das atividades propostas.
7. BIBLIOGRAFIA
Paulo, 2005.
Editora FTD, 1ª ed. São Paulo, 2001.
2005.

53
REGÊNCIA
PLANO DE AULA 4: DIVISÃO DE POLINÔMIOS
1. OBJETIVOS
- Desenvolver estratégias de divisão de polinômios através de diferentes técnicas;
- Mostrar as técnicas de divisão com polinômios;
- Apresentar a divisão de polinômios relacionada com figuras geométricas;
- Contribuir para que o aluno entenda e resolva a divisão com polinômios, pelo método
que achar conveniente.
- Aplicar a divisão de polinômios relacionando-a com áreas de figuras geométricas;
- Escolher a técnica que lhe for conveniente para resolver a divisão de polinômios.
2. CONTEÚDO
Operações com polinômios: Divisão
- Método da chave;
- Teorema do resto;
- Teorema de D´Alembert;

54
- Dispositivo prático de Briot-Ruffini.
3. PRÉ-REQUISITOS
- Área de uma região quadrada e retangular;
- Multiplicação de polinômios.
As aulas serão expositivo-participativas e o tempo estimado para abordar o
conteúdo é de 350 minutos (7 aulas), sendo utilizadas para: expor e explicar as técnicas
de divisão de polinômios, aplicar alguns exercícios em sala de aula e realizar um teste.
Divisão de polinômios
Dividir um número inteiro a por outro inteiro b (b ≠ 0) consiste em encontrar
dois inteiros q e r, com o ≤ r < d, tal que:
→ a = q . b + r
Donde,
a = dividendo
b = divisor
q = quociente
r = resto
Por exemplo:

55
Da mesma forma, efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x) ≠
0, é determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições:
A(x) = Q(x) . B(x) + R(x) em que:
A(x) = dividendo
B(x) = divisor
Q(x) = quociente
R(x) = resto
Indicando na chave, temos:
Observe que:
- O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x). Exemplo:
Neste caso, grau de A(x) = 2, grau de B(x) = 1, logo grau de Q(x) = 2 – 1 = 1.

56
- O grau do resto R(x) para R(x) não nulo será sempre menor que o grau do divisor
B(x).
Exemplo:
Nesse caso, grau do resto = grau de 1.x0
= 0 e grau do divisor B(x) = 1, isto é grau de
R(x) é menor que o grau de B(x).
Método da chave
Para efetuar a divisão, usando o método da chave, convém seguir os seguintes
passos:
1. Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus
expoentes, e completa-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero.
2. Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o
resultado será um termo do quociente.
3. Multiplicar o termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do
dividendo.
- Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o
resto da divisão e a divisão termina aqui.
- Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo
dividendo.

57
Exemplo 1: Determinar o quociente de A(x) = x³ + 4x² + x – 6 por B(x) = x + 2.
Solução: sendo Q(x) o quociente de A(x) por B(x) e R(x) o resto:
Gr(Q) = gr(A) – gr(B) = 2
Como gr(R) < gr(B) = 1, então gr(R) = 0 ou R(x) = 0.
x³ + 4x² + x – 6 x + 2
-x³- 2x² + x - 6 x² + 2x - 3→ quociente: Q(x)
2x² + x - 6
-2x² - 4x
-3x - 6
+3x + 6
Resto:R(x) = 0
Verificamos, facilmente que: A(x) = B(x).Q(x) + r(x):
x³ + 4x² + x – 6 ≡ (x + 2)(x² + 2x – 3) + 0
Exemplo 2: o polinômio A(x) = x³ + px + q é divisível por x² + 2x + 5. Calcular os
valores de p e q.
Solução: Note que gr(Q) = 3 – 2 = 1 e R(x) ≡ 0, Utilizando o método da chave:
O resto deve ser um polinômio identicamente nulo, logo:

58
P – 1 = 0 e q + 10 = 0
P = 1 e q = -10
Observe que: x³ + x – 10 = (x² + 2x + 5)( x – 2)
Teorema do resto
De acordo com a definição de divisão, temos:
P(x) = (x – a) . Q(x) + R(x), onde R(x) = K (constante), pois gr(x - a) = 1
P(a) = (a – a) . Q(a) + k → P(a) = K
Logo: R(x) = P(a)
Exemplo 1
Podemos determinar o resto da divisão de f(X) = 3x4
– x³ + 2 por g(x) = x – 1 sem
efetuar a divisão. Basta notar que:
- raiz do divisor é x – 1 = 0 → x = 1.
- Pelo teorema do resto, temos que: r = f(1), isto é, r = 3 . 14
– 1³ + 2 = 4.
Exemplo 2
Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de P(x) =
x5
– x3
+ 2 por h(x) = x + 3, fazemos:
- A raiz de h(x) é x + 3 = 0 → x = -3.
- Utilizando o teorema do resto, vem: r = p(-3) = (-3)5
– (-3)3
+ 2 = -243 – (-27) + 2 = -
214.
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é o próprio valor
numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a).

59
Teorema de D’Alembert
A divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é exata se, e somente se, P(a) =0.
Pelo teorema do resto, temos que R(x) = P(a).
Se a divisão é exata e R(x) = 0, então P(a) = 0.
Se P(a) = 0, então R(x) = 0, logo a divisão é exata.
Exemplo 1
A divisão do polinômio P(x) = x³ + x² - 11x + 10 pelo binômio (x – 2) é exata, pois:
P(2) = 2³ + 2² - 11 . 2 + 10
P(2) = 8 + 4 - 22 + 10
P(2) = 0
Dispositivo Prático de Briot-Ruffini
Neste item vamos utilizar um dispositivo muito simples e prático para efetuar a de um
polinômio P(x) por um binômio da forma ax + b. É o chamado dispositivo de Briot-
Ruffini.
Para utilizarmos o Dispositivo Prático De Briot-Ruffini, temos duas restrições,
quais sejam:
1ª restrição: o divisor tem que ser de grau 1;
2ª restrição: o coeficiente do divisor deverá ser igual a 1.
Vejamos o roteiro desse dispositivo para efetuar, por exemplo, a divisão de P(x) = 3x³ –
5x² + x – 2 por x – 2.
1º) Colocamos a raiz do divisor seguida dos coeficientes do dividendo, em ordem
decrescente dos expoentes de x, no seguinte dispositivo:

60
raiz do divisor coeficientes do dividendo
2 3 -5 1 -2
2º) Repetimos, abaixo da linha, o primeiro coeficiente do dividendo.
2 3 -5 1 -2
3
3º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo coeficiente repetido e adicionamos o produto
com o segundo coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.
2 3 -5 1 -2
3 1
2 . 3 + (-5) = 1
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e
adicionamos o produto com o terceiro coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e
assim sucessivamente.
2 3 -5 1 -2
3 1 3 4 2. 3 + (-2) = 4
2 . 1 + 1 = 3
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão; os números
que ficam à esquerda deste são os coeficientes do quociente.
2 3 -5 1 -2
3 1 3 4
Coeficientes do quociente resto
Logo, Q(x) = 3x² + x + 3 e R = 4

61
Exemplo 1
Determinar o quociente e o resto da divisão de P(x) = 5x² - 4x + 2 por (3x – 1).
1/3 5 -4 2
5 -7/3 11/9 (1/3) . (-7/3) + 2 = 11/9
-7/3= (1/3) . 5 – 4
Observe que o coeficiente de x no binômio não é igual a 1; fizemos, então, a divisão de
P(X) por (x – 1/3) e para termos os coeficientes de Q(x) devemos dividir os coeficientes
obtidos no dispositivo prático por 3.
Q(x) = (5/3)x – 7/9 e R = 11/9
Exemplo 2
Verifique se o polinômio P(x) = 2x³ - 3x² - 8x é divisível por (x - 3)(x + 1).
Dividindo P(x) por (x – 3)
3 2 -3 -8 -3
2 3 1 0
..................Q1(x)................. ...........R1........
Dividindo Q1(x) por (x + 1):
-1 2 3 1
2 1 0
...............Q2(x)....... ...........R2........
Como R1 = 0 e R2 = 0 podemos afirmar que P(x) é divisível pelo produto (x – 3)(x + 1).
A seguir, aplicarei os exercícios propostos sobre polinômios que estão no livro
adotado pela escola: exercícios 26, 28 e 29:

62
.
Página 191: exercícios 32 e 33:
Página 194: exercícios 34 (letras a e b) e 36:

63
Página 197: exercício 42 (letras a e b):
Página 198: exercícios 50, 51, 52 e 54:

64

65
Os exercícios são para complementar a aula a respeito de polinômios. Darei o visto na
atividade na aula seguinte como forma de incentivo.
5. RECURSOS
- Lousa;
- Pincel;
- Apagador;
- Livro didático;
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados sobre a divisão mediante uma prova no fim da unidade. A
seguir este conteúdo foi feita a aplicação de um teste sobre os conteúdos abordados com
exceção da divisão, que segue na página posterior á esta.
7. BIBLIOGRAFIA
Paulo, 2005.

66
Teste da unidade II - 06/06/2011
Atenção:
 Cada questão tem valor 0,6 somando ao todo 3,0 pontos;
 Leia atentamente o que se pede e comece pela questão que você acredita que seja mais
fácil;
 Só serão aceitas as respostas acompanhadas com os respectivos cálculos;
 Assinale com um x em uma única alternativa, nas questões de marca r e deixe os cálculos
ao lado;
 As respostas finais devem ser colocadas a caneta;
 Não serão aceitas questões rasuradas;
 Não é permitido o uso de calculadora, ou quaisquer aparelhos eletrônicos.
1. (F. Porto Alegrense-RS) Dado o polinômio p(x) = x4
- 5x² + 6, o valor de p( 2 )
é:
a) 4
b) 0
c) √2
d) 6 + √2
e) √2 + 1
2. (FABRAI-MG) Se p(x) = x³ + x² + x + 1, então o valor de p(m – 1) é:
a) m³ + 4m² - 4m
b) m³ - 2m² - 4m +2
c) m³ - 2m² + 2
d) m³ + 4m² + 6m + 2
e) m³ - 2m² + 2m
3. Determine a e b a fim de que o grau do polinômio f(x) = (a – b)x² + (2a – 3b
+2)x + 2 seja igual a zero.
4. Sejam os polinômios f(x) = 2x – 3, g(x) = -4 – x e h(x) = x² - x + 1, determine
P(x) = f(x) . g(x) + h(x).

67
5. (UNIFOR-CE) se os polinômios f = x³ + (a – b)x² + (a – b – 2)x + 4 e g = x³ +
2ax² + (3a – b) são idênticos, então:
a) ab
= 3
b) a = 3b
c) b = 3a
d) a/b = 1
e) a.b = -1

68
REGÊNCIA
FASE DE REGÊNCIA: 25 de abril a 18 de julho de 2011
PLANO DE AULA 5: MÉTODO DOS CARTÕES (OPERAÇÕES COM
POLINÔMIOS)
1. OBJETIVOS
1.1OBJETIVOS GERAIS
- Mostrar as operações com polinômios em figuras geométricas;
- Contribuir para que o aluno entenda a relação entre a álgebra e a geometria “utilizando
áreas” ao fazer uma operação polinomial;
1.2OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Aplicar as operações com polinômios relacionando-as com áreas de figuras
geométricas;
- Efetuar as operações com polinômios através de cartões;
2. CONTEÚDO
- Operações com polinômios;
3. PRÉ-REQUSITO

69
- Polinômios.
Após ter explicado as quatro operações com polinômios nas aulas anteriores, irei
apresentar estas operações no contexto de áreas de figuras como retângulos e quadrados
em cartolina. O tempo previsto para realizar esta atividade é de 4 aulas.
Nas atividades a seguir, resolveremos questões que envolvam soma, subtração,
multiplicação e divisão de áreas representadas por polinômios. A atividade com cartões
de polinômios que segue abaixo foi apresentada em um artigo na revista Nova Escola
(n. 85, 1995, p. 22-25), na qual fizemos algumas adaptações. A aula será iniciada da
seguinte forma: Levarei os alunos para a biblioteca, onde a turma será dividida em
grupos de 4 pessoas, cada grupo irá receber o seguinte material didático:
· 5 quadrados grandes azuis, com medidas 10 x 10;
· 5 quadrados grandes vermelhos, 10 x10;
· 5 retângulos azuis, com medidas 10 x 3;
· 5 retângulos vermelhos, 10 x 3;
· 10 quadrados pequenos azuis, com medidas 3 x 3;
· 10 quadrados pequenos vermelhos, 3 x 3.
Apresentarei algumas regras relacionadas às atividades aos alunos para que haja um
bom desenvolvimento da atividade, para isso serão estabelecidas as seguintes
considerações:
Peças Dimensões Área
Quadrado grande X.X X²
Retângulo 1.X X
Quadrado pequeno 1.1 1
As peças de mesma área representam termos semelhantes.
As peças de mesma área e cores diferentes são opostas e se anulam.

70
Convencionamos que as figuras vermelhas são negativas (-) e as azuis são positivas (+).
Em seguida, mostrarei exemplos em que os alunos irão resolver situações com o
material concreto envolvendo as operações adição e subtração de polinômios e a
transformação geométrica em álgebra e vice-versa:
1 – Soma de polinômios
Sabendo que o polinômio p(x) = 2x² - 3x - 4 representa a área de uma região, e o
polinômio Q(x) = –x² + x -1 representa a área de outra região, veja como se resolve
a soma destas regiões usando as figuras que você tem em mãos:
P(x) + Q(x) = (2x² - 3x – 4) + (-x² + x – 1)
Somando as figuras semelhantes temos:
2x² +(-x²) é dado por:
+
(-4) + (-1) equivale a:
e -3x + x é dado por:

71
Donde se conclui que:
2 – Oposto de um polinômio:
Exemplo 2: Dado o polinômio x² - x + 2
Seu oposto será:
3 – Subtração de polinômios:
Exemplo 1: (2x² - 3x – 4) – (-x² + x – 1) = ?
4 – Multiplicação de polinômios:

72
Exemplo 1: Multiplicar 2x por (2x - 3)
Exemplo 2: Multiplicar (-x + 1) por (2x – 1)
5 - Divisão de polinômios
Com o material utilizado nas aulas de soma, subtração e multiplicação de
polinômios irei agora mostrar como se dá a divisão de polinômios com as figuras

73
geométricas. É importante lembrar que nem sempre podemos dispor deste recurso,
assim é de fundamental importância conhecê-lo, entendê-lo, mas conhecer as outras
técnicas existentes, pois através delas poderemos resolver a divisão entre polinômios.
Exemplo 1: Vamos fazer a divisão de (x² - x) : (-x)
Conclusão: (x² - x) : (-x) = -x + 1
Exemplo 2: Dividir (x² - 7x + 10) por (x - 2)

74
Com os procedimentos acima explicados aplicarei as seguintes atividades:
1. Represente utilizando as figuras, o perímetro (soma das medidas de todos os
lados de uma figura) de um terreno de lados respectivamente iguais a 4x e 2x. Se
x valer 4 metros, qual o perímetro do terreno?
2. Escreva o oposto de: -x² +4
3. Determine a expressão polinomial que representa o perímetro de um retângulo
de lados 3x + 1 e x – 4 e a expressão que representa a área.
4. Resolva:
a) (6x² + 3x) + (2x² - 4x -1)
b) (-4x² + 2x + 8) – (-x² +2x +6)
c) (3x² + 2x) : (x)
d) (4x² - x) : (-x)
Durante o processo de resolução caso haja dúvidas tentarei esclarecê-las e ao fim da
aula farei as devidas correções.
5. RECURSOS

75
- Retângulos e quadrados em papel duplex;
6. AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados mediante a participação e o interesse durante a
exposição do conteúdo e na resolução das atividades. Como este foi o último plano de
aula, na aula seguinte será aplicada a prova da unidade, que segue na próxima página.
7. BIBLIOGRAFIA:
NOVA Escola: Para professores do 1 grau. Ano X - n. 85, Junho, 1995, p. 22-25.

76
Avaliação final da unidade II - 13/07/2011
Atenção:
 Cada questão tem valor 1,2 somando ao todo 6,0 pontos;
 Leia atentamente o que se pede e comece pela questão que você acredita que seja mais
fácil;
 Só serão aceitas as respostas acompanhadas com os respectivos cálculos;
 Assinale com um x em uma única alternativa, nas questões de marcar e deixe os
cálculos ao lado;
 As respostas finais devem ser colocadas à caneta;
 Não serão aceitas questões rasuradas;
 Não é permitido o uso de calculadora, ou quaisquer aparelhos eletrônicos.
Utilize o método da chave para resolver a questão 1.
1) (Unificado) O resto da divisão do polinômio p(x) = x³ - x + 1 pelo polinômio d(x) =
x² + x + 1 é igual a:
a) 0
b) x + 2
c) x – 2
d) – x + 2
e) – x – 2
Use o teorema do resto para resolver a questão 2.
2) (FABRAI-MG) O resto da divisão de P(x) = x4
+x³ - 3x² + 2x – 1 por q(x) = x – 2 é:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
3) Através do dispositivo de Briot-Ruffini, obter o quociente e o resto da divisão de f(x)
= x5
– 3x³ + 2x² + 4 por g(x) = x + 1.
4) Dado o polinômio p(x) = 2x4
- 5x² + 6, o valor de p(-2) é:

77
a) 18 b) -3 c) -6 d) -18 e) Nenhuma das anteriores
5) Use o método que a char conveniente para encontrar o resto da divisão de p(x) = x³
+ x² + x + 1 por x² - x + 1.
6) Questão extra-valor 0,5 ponto: quantos são os anagramas da palavra CIENB?

78
INTRODUÇÃO À COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO
DE PROBLEMA

79
LUCIENE DA COSTA SANTOS
MARIA DAS GRAÇAS MASCARENHAS
NEURACI DIAS AMARAL
INTRODUÇÃO À COMBINATÓRIA POR MEIO DE RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Trabalho desenvolvido no Colégio Centro
Integrado de Educação Navarro de Brito
como forma de avaliação para a disciplina
Estágio Supervisionado III do Curso de
Licenciatura Plena em Matemática por
Luciene da Costa, Maria das Graças
Mascarenhas e Neuraci Dias Amaral à
professora Msc. Roberta Bortoloti,
orientadora da disciplina, no I semestre de
2011.

80
Quando alguém encontra seu caminho precisa ter
coragem suficiente para dar passos errados. As
decepções, as derrotas, o desânimo são
ferramentas que Deus utiliza para mostrar a
estrada.
Paulo Freire

81
SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO............................................................................................................................. 82
2. ABORDAGEM HISTÓRICA.................................................................................................. 83
3. ABORDAGEM TEÓRICA....................................................................................................... 88
4. PROPOSTA DA ATIVIDADE ................................................................................................ 90
4.1 OBJETIVOS....................................................................................................... 91
4.2. DEFINIÇÕES A SEREM DESENVOLVIDAS ........................................ 92
4.3. MATERIAIS DIDÁTICO E AMBIENTE PARA ENSINO................... 92
5. DESENVOLVIMENTO............................................................................................................ 92
6. RESULTADOS ESPERADOS................................................................................................. 96
7. REFERÊNCIAS .......................................................................................................................... 97

82
1. INTRODUÇÃO
Quando se fala em matemática a primeira ideia que vem à cabeça das pessoas é
algo do tipo: muitos números, fórmulas, um “negócio” de “x”, de “y”, que é uma
matéria difícil, “um bicho de sete cabeças”. E quando a pergunta é a seguinte: onde
você encontra matemática? O que elas dizem também não foge desse raciocínio da
resposta anterior. Geralmente respondem: “nas contas, no supermercado, na escola, para
contar dinheiro, etc.” Geralmente a grande maioria da população não se dá conta de que
“respiramos” matemática. usamo-la em situações diversas. Mas, afinal de contas dá para
se resolver determinados problemas de matemática sem “decorar” algoritmos? Sem
fórmulas prontas?
Análise a seguinte situação problema:
No antigo sistema de emplacamento de veículos as placas eram construídas de uma
sequência de duas letras distintas e de três algarismos. Devido o aumento considerável
do número de veículos, atualmente as placas de licenciamento de automóveis constam
de 7 símbolos, sendo três letras, dentre as 26 do alfabeto, seguida de 4 algarismos. Qual
o número máximo de placas possíveis no antigo e no novo sistema de emplacamento?
Muita pessoas sequer tem ideia que a organização da identificação da placa de
seus automóveis foi pensada com base em um assunto de matemática: a análise
combinatória. Este, entre outros problemas, envolve o cálculo do número de
agrupamentos dos elementos de determinado conjunto sob certas condições.
Nosso objetivo neste trabalho é focalizar o ensino da análise combinatória
através da resolução de problemas, com a aplicação do Princípio Multiplicativo, usando
estratégias diferentes, manuseando materiais concretos e visualizando as possibilidades
de organização de agrupamentos, sem deixar de citar as a possibilidade de se resolver
problemas de análise combinatória através das técnicas de contagem: Arranjos,
Permutações e Combinações.
Para abordar o conteúdo no primeiro momento fizemos uma pesquisa
bibliográfica sobre a história da combinatória e sobre a metodologia de resolução de
problemas.

83
2. ABORDAGEM HISTORICA7
Combinatória é a parte da Matemática que analisa estruturas e relações discretas.
Dela faz parte a Análise Combinatória que, aliás, esteve na sua origem e que trata
essencialmente de: demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um
conjunto finito dado, satisfazendo certas condições, e contar ou classificar esses
subconjuntos, sem que seja necessário enumerar os seus elementos.
Aparentemente, a Análise Combinatória teve origem no tempo de Arquimedes
(287 a. C. – 212 a. C.). Estudos de velhos pergaminhos e manuscritos feitos pelo
historiador de Matemática, Reviel Netz, da Universidade de Stanford, na Califórnia
parecem confirmar que Arquimedes terá sido pioneiro nessa área da Matemática.
Os pergaminhos passaram pelas mãos de vários povos durante a Idade Média e,
para além de quase terem sido destruídos pelo mofo, foram usados por monges que, por
cima dos textos originais, neles escreviam as suas orações.
Vieram a ser reencontrados e analisados nos últimos anos por cientistas,
matemáticos e especialistas em grego. Com o auxílio de raios ultravioleta e de
programas de computador, foi possível obter a escrita original, transcrição do trabalho
de Arquimedes, designado por Stomachion8
que, segundo Reviel Netz, é um autêntico
tratado sobre Análise Combinatória. O Stomachion é, aparentemente, um jogo,
semelhante ao Tangran (um jogo chinês de 7 peças bastante conhecido), mas constituído
por 14 peças que devem ser encaixadas de maneira a formarem um quadrado. Os
estudos de Arquimedes pretendiam determinar de quantas maneiras as peças se podiam
colocar, de forma a construir o quadrado. Não se sabe ao certo se Arquimedes
conseguiu resolver esse problema, mas estudos recentes mostraram que existem 17152
ou 268 soluções considerando ou não, respectivamente, as soluções simétricas9
.
7
Texto adaptado de Fernanda Maria de Souza Viera.
8
Não se sabe o significado preciso desta palavra apenas que tem a mesma raiz que a palavra grega para
estômago.
9
536 soluções podem ser vistas em:
http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_17_03.html

84
Figura 1 - Stomachion
O desenvolvimento da Análise Combinatória deve-se, em grande parte,
necessidade de resolver problemas de contagem, originados na teoria das
probabilidades.
A noção de probabilidade tem a sua origem mais remota ligada à instituição dos
seguros usados já pelas civilizações mais antigas, nomeadamente pelos fenícios, a fim
de protegerem a sua actividade comercial marítima. Esta prática foi continuada pelos
gregos e pelos romanos, tendo chegado até a civilização cristã medieval através dos
comerciantes marítimos italianos. Pouco se sabe das técnicas então utilizadas pelos
seguradores mas, parece que se baseavam em estimativas empíricas das probabilidades
de acidentes, para estipularem as taxas e os prêmios correspondentes.
No fim da Idade Média com o crescimento dos centros urbanos, surge um novo
tipo de seguro, o seguro de vida. O primeiro estudo matemático sobre este seguro deve-
se a Girolano Cardan (1501-1576), em 1570, apresentado no seu livro “De
proportionibus Libri V)” mas parece ter-se revelado muito teórico e pouco prático. Foi
Halley quem, em 1693, no seu trabalho, “Degree of Mortality of Mankind”, mostrou
como calcular o valor da anuidade do seguro em função da expectativa de vida e da
probabilidade da pessoa sobreviver por um ou mais anos. A consolidação da aplicação
da matemática nos seguros surge com o trabalho de Daniel Bernoulli (1700-1782).
Calculou o número esperado de sobreviventes após n anos a partir do número de
nascimentos e inovou na criação de novos tipos de seguros, calculando, por exemplo, a

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