Método integração

1. Profa. Úrsula do Carmo Resende
2015
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
(Continuação)
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO
TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS
DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO
étodos
uméricos

2. Conteúdo
1. Integ. dupla pelas fórmulas de Newton-Cotes.
2. Integ. dupla via fórmulas de Gauss-Legendre.
3. Comparação dos métodos para integ. Dupla.

3. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
• Determinação do valor da integral dupla definida por:
• Cálculo de uma integral dupla consiste na solução de duas integrais
simples.
• Função integrando f(x, y) pode ser aproximada por um PI.
• Integral do polinômio obtida analiticamente.
• Fazendo

4. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
• Para resolver uma integral simples, pode-se aplicar qualquer uma das
fórmulas de Newton-Cotes.
• Se for utilizada a regra do 1/3 de Simpson
1 – Fórmulas Simples:
• Para o cálculo de G(xi) pode ser utilizada também qualquer uma das
fórmulas de Newton-Cotes.

5. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
• Utilizando a regra dos 3/8 de Simpson:
• f(xi; yj) é o valor da função integrando no ponto f(xi; yj).
• Substituindo os valores de G(xi):

6. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
Exemplo: Calcular :
Fazendo:
Utilizando a regra do 1/3 de Simpson em x:
Cálculo de:

7. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
Utilizando a regra do 3/8 de Simpson em x:

8. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
Para
Para

9. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
Para
Valor numérico da integral:

10. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
Valor analítico da integral:

11. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
Dispositivo prático: utilizando a regra do 1/3 de Simpson para
integração em x e a regra dos 3/8 em y:

12. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
Valor da integral:
S: soma obtida, tomando-se todas as células da tabela, do produto cxi .
cyj dos coeficientes de Cotes pelo valor da função f(xi, yj).

13. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
Exemplo: Calcular :
Para tal,

14. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
• Melhorar a exatidão de uma integral.
• Subdividir o intervalo [a, b] em mx subintervalos iguais.
• mx múltiplo do grau nx do polinômio usado em x.
• Na regra do 1/3 de Simpson, mx deve ser múltiplo de 2 (= nx).
2 – Fórmulas Compostas:
cx0 = cxmx = 1
cxmi = 4 (i ímpar)
cxmx = 2 (i par)
hx=(b-a)/mx

15. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
• Para o cálculo de G(xi), i = 0, 1, ... .mx usando a regra dos 3/8 de
Simpson
• Subdividindo o intervalo [c, d] em my subintervalos iguais.
• my múltiplo do grau ny do polinômio usado em y.

16. Integração Duplas pelas Fórmulas de Newton-Cotes
• Substituindo os valores de G(xi):
• Fórmula generalizada para qualquer grau do PI utilizado
cy0 = cymy = 1
cymj = 2 (j múltiplo de 3)
cymj = 3 (j não múltiplo de 3)
hy=(d-c)/my
Valores de d e c obtidos na
tabela já apresentada.

17. Integração Dupla via Gauss-Legendre
• Fórmulas de Gauss-Legendre também podem ser utilizadas para o
cálculo aproximado da integral dupla definida:
• Fazendo
• Cálculo de integral dupla por Gauss-Legendre consiste na
determinação de duas integrais simples.

18. Integração Dupla via Gauss-Legendre
• Fazendo uma mudança de variável de x para t sendo que -1  t  1
1 – Fórmula para dois Pontos:
• Tomando
• Definindo:
• Resolvendo a integral simples por Gauss-Legendre, com nx = 2 pontos

19. Integração Dupla via Gauss-Legendre
• Ai: pesos e ti: abscissas ou zeros do polinômio de Legendre de grau
nx = 2.
• Valores de Ai e ti podem ser obtidos na literatura ou gerados.
• Particularmente, para nx = 2:
• Cálculo de:
• Mudança de variável de y para u tal que -1  u  1
• Tomando

20. Integração Dupla via Gauss-Legendre
• Definindo:
• Valor de G(xi):
• Usando a fórmula para ny = 2 pontos
• Bj: pesos e

21. Integração Dupla via Gauss-Legendre
• Logo:
• Substituindo os valores de H(ti):
• Substituindo Fi(uj); j = 1, 2

22. Integração Dupla via Gauss-Legendre
• Rearranjando:

23. Integração Dupla via Gauss-Legendre
• Dispositivo prático: Sistematizar dados necessários para calcular
uma integral dupla pela fórmula de Gauss-Legendre.
• Usando nx = 2 pontos em x e ny = 2 pontos em y:
• Valor da integral:

24. Integração Dupla via Gauss-Legendre
Exemplo: Utilizando nx = ny = 2 pontos, calcular:

25. Integração Dupla via Gauss-Legendre
• Fórmula para nx = ny = 2 pontos pode ser modificada para um número
qualquer de pontos em x e em y.
• Fórmula geral para integração dupla por Gauss-Legendre
2 – Fórmula Geral:
• Pesos Ai, i = 1, 2, ... . nx e Bj, j = 1, 2, ... . ny e as abscissas ti e uj
podem ser obtidos na literatura ou gerados.

26. Integração Dupla via Gauss-Legendre
• Dispositivo prático: Calcular uma integral dupla pela fórmula de
Gauss-Legendre com nx pontos em x e ny em y.
• Valor da integral:

27. Integração Dupla via Gauss-Legendre
Exemplo: Utilizando nx = 3 e ny = 4 pontos, calcular:

28. Comparação dos Métodos para Integração Dupla
Primeiro teste:
• Solução analítica:
• Resultados (Fórmulas de Newton-Cotes são simples, nr. De
subintervalos = ao grau do polinômio)

29. Comparação dos Métodos para Integração Dupla
• Gráfico da função f(x; y) = 2xysen(xy2)

30. Comparação dos Métodos para Integração Dupla
• Newton-Cotes com n = 2, 4 e 8 com m múltiplo de n e Gauss-
Legendre com número de pontos p = 3, 5, 7, ... . 101.
• Abscissa contém o número p de pontos avaliados, e a ordenada, o
logaritmo decimal da diferença entre o valor obtido pelo método e o
valor exato.

31. Comparação dos Métodos para Integração Dupla
• Valor exato
Segundo teste:

32. Comparação dos Métodos para Integração Dupla
• Desempenho dos quatro métodos.

33. 1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.
Referencias Bibliográficas