Equações Diferenciais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Organizador
Alexandre Rigotti Silva
Bacharel de Mestre em Física pela Universidade de São Paulo
Doutorando em Energia pelo Instituto de Energia eAmbiente IEE (USP)
Professor de Física geral e experimental na Universidade Nove de Julho (UNINOVE)
@ Pearson

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(Câmara Brasileirado Livro, SP, Brasil)
Equações diferenciais/ organizador Alexandre Rigotti. - São Paulo : Pearson
Education do Brasil, 2015.
ISBN 978-85-430-1715-0
1. Equações diferenciais I. Rigotti,Alexandre.
15-05406
Índice para catálogo sistemático:
1. Equações diferenciais : Matemática 515.35
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CDD-515.35

SUMÁRIO
Apresentação..........................................................................................VI1
Prefácio .......................................................................................................IX
Unidade 1 Conceitos matemáticos..................................................,
Teoremas de Green e Stokes.................................................................2
Teorema de Green...................................................................................2
Teorema de Stokes............................................................................... 12
Séries de potências ................................................................................ 19
Unidade 2 Equações diferenciais de primeira ordem .......... 35
Equações diferenciais de primeira ordem:
da teoria à prática ...............................................................................36
Equações diferenciais de primeira ordem...................................37
Equações separáveis ...........................................................................39
Equações lineares.................................................................................42
Equações exatas....................................................................................45
Equações diferenciais de primeira ordem e suas aplicações.....48
Aplicações...............................................................................................48
Unidade 3 Equações diferenciais lineares
de ordem superior..............................................................................61
Equações diferenciais lineares de segunda ordem..................62
Introdução ao tema .............................................................................62
Equações diferenciais de segunda ordem .................................. 67
Vibrações mecânicas...........................................................................76
Equações diferenciais lineares de ordens superiores .............85
Introdução às equações de ordem mais alta..............................85
Dependência linear e wronskiano .................................................86
Equações lineares homogêneas com
coeficientes constantes..................................................................87
Unidade 4 Transformada de Laplace ...........................................97
Transformada de Laplace ....................................................................98
Definição da transformada de Laplace.......................................101
Aplicações da transformada de Laplace ....................................111
Referências.............................................................................................121

APRESENTAÇÃO
Nos catálogos de livros universitários há vários títulos cuja pri-
meira edição saiu há 40, 50 anos, ou mais. São livros que, graças à
identificação da edição na capa (e somente a ela), têm sua idade re-
velada. E, ao contrário do que muitos podem imaginar, isso não é um
problema. Pelo contrário, são obras conhecidas, adotadas em diversas
instituições de ensino, usadas por estudantes dos mais diferentes per-
fis e reverenciadas pelo que representam para o ensino.
Qual o segredo de sucesso desses livros? O que eles têm de
diferente de vários outros que, embora tenham tido boa aceita-
ção em um primeiro momento, não foram tão longe? Em poucas
palavras, esses livros se adaptaram às novas realidades ao longo
do tempo, entendendo as mudanças pelas quais a sociedade - e,
consequentemente, as pessoas - passava e as novas necessidades
que se apresentavam.
Para que isso fique mais claro, vamos pensar no seguinte: a
maneira como as pessoas aprendiam matemática na década de
1990 é igual ao modo como elas aprendem hoje? Embora os ali-
cerces da disciplina permaneçam os mesmos, a resposta é: não!
Nesse intervalo de tempo, ocorreram mudanças significativas - a
Internet se consolidou, os celulares se popularizaram, as redes so-
ciais surgiram etc. E todas essas mudanças repercutiram no modo
de vida das pessoas, que se tornou mais rápido e desafiador, trans-
formando os fundamentos do processo de ensino/aprendizagem.
Foi com base nisso que nasceu a Bibliografia Universitária
Pearson (BUP). Concisos sem serem rasos e simples sem serem
simplistas, os livros que compõem esta série são baseados na
premissa de que, para atender sob medida às necessidades tan-
to dos alunos de graduação como das instituições de ensino -
independentemente de eles estarem envolvidos com ensino presen-
cial ou a distância - , é preciso um processo amplo e flexível de
construção do saber, que leve em conta a realidade em que vivemos.
Assim, as obras apresentam de maneira clara os principais
conceitos dos temas propostos, trazendo exatamente aquilo que
o estudante precisa saber, complementado com aprofundamentos

3 (Equações diferenciais
e discussões para reflexão. Além disso, possuem uma estrutura didática que propõe uma
dinâmica única, a qual convida o leitor a levar para seu dia a dia os aspectos teóricos apre-
sentados. Veja como isso funciona na prática:
A seção "Panorama" aprofunda os tópicos abordados ao mostrar como eles funcionam
na prática, promovendo interessantes reflexões.
-
....:.__~ Panorama
Aprenda a testar uma série de potências
Para testar uma série de potências para conver-
gência, você deverá utilizar o teste da razão ou o
teste da raiz e encontraro intervaloem que asérie
converge absolutamente.
para convergência ou divergência usando o tes-
te de comparação, o teste da integral ou da série
alternada.
Mas, se o lnteJValo de convergência absoluta é
o R< x < a +R, a séne diverge para lx aj < RNormalmente,éum ,ntervaloabertolx oi < Rou
- Saiba mais ]
Fiqueatento
Introdução - - - - - - - - - - - - -~
O noS9:l estudo scbre equações diferencidis começa pelos teoremas dí::.
Green e Stokes, que ganharam destaque em óferentes áreas do conheci
menta,sobretudo na Matemática e na ísica.
Além de entender que o teorema de Green é um dos mais usados para
calcular figuras planas limitadase fechadas, você também aprenderáa cal
cular as integrais de linha, de uma forma mais sirT9les e rápida, e ainda irá
recrohecer a influência do teorema de G"een paraoutros teoremas,como
o deGausse de Stokes.
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Ao longo do livro, o leitor se depara com
vários hipertextos. Classificados como "Saiba
mais", "Exemplo", "Fique atento" e "Link",
esses hipertextos permitem ao aluno ir além em
suas pesquisas, oferecendo-lhe amplas possibi-
lidades de aprofundamento.
A linguagem dialógica aproxima o es-
tudante dos temas abordados, eliminando
qualquer obstáculo para seu entendimento
e incentivando o estudo.
A diagramação contribui para que o estu-
dante registre ideias e faça anotações, intera-
gindo com o conteúdo.
Todas essas características deixam claro
que os livros da Bibliografia Universitária
Pearson constituem um importante aliado
para estudantes conectados e professores ob-
jetivos - ou seja, para o mundo de hoje - e
certamente serão lembrados (e usados) por
muito tempo.
Boa leitura!

PREFÁCIO
A elaboração de um livro sobre equações diferenciais é um
desafio pelos conceitos envolvidos e pelo grande número de apli-
cações. Praticamente todos os ramos das Ciências possuem situa-
ções que podem ser resolvidas com as ferramentas dessa diciplina,
desde circuitos elétricos à problemas de ecologia. Neste livro, o
leitor será apresentado a várias técnicas para a resolução dessas
equações com inúmeros exemplos e exercícios. Durante a leitura,
muitas das aplicações atuais dos conceitos serão apresentadas de
modo aprazível.
Seguindo a proposta de outros livros desta coleção, o conteúdo
divide-se em quatro unidades, todas elas enriquecidas com boxes
de ampliação, seções especiais e exercícios de fixação.
Na primeira unidade iremos estudar os conceitos matemáticos
necessários para o entendimento do formalismo envolvido, inicia-
remos com o estudo dos teoremas de Green e Stokes e terminare-
mos com um estudo das séries de potência.
Na segunda unidade serão analisadas as equações diferencias
de primeira ordem, ao final o leitor poderá classifica-las em sepa-
ráveis, lineares e exatas, aprendendo a resolver cada uma delas. E
serão apresentadas aplicações em vários ramos das ciências.
Na terceira unidade o leitor será apresentado à equação diferen-
cia! linear de segunda ordem e a uma aplicação muito importante:
resolver sistemas de massa-mola com amortecimento, subamorte-
cimento e amortecimento mais severo. Também diferenciará equa-
ções harmônicas simples e equações não homogêneas, e conhecerá
as equações lineares de ordens superiores mais altas.
Finalmente, a última apresenta ao leitor o conceito da Transforma-
da de Laplace e seu uso para a resolução das Equações Diferenciais.
Esperamos que esse livro seja de grande importância para o
leitor e crie nele a curiosidade científica para buscar outros con-
ceitos e aplicações.
Bons estudos!
Prof. Alexandre Rigotti Silva

UNIDADE
Conceitos matemáticos
-------- Objetivos de aprendizagem
• Entender e comparar os teoremas de Green e Stokes.
• Introduzir eanalisar as ideias de divergência e densidade de circulação.
• Reconhecer as duas formas assumidas pelo teorema de Green.
• Definir e entender a partir de exemplos práticos as séries de potências.
------------------ Temas
• 1 - Teoremas de Green e Stokes
Neste tema, serão apresentados os teoremas de Green e de Stokes,
que têm grande importância na Matemática, Engenharia, Física,
Geologia, Química, entre outras áreas.Você terá a oportunidade de
conhecer não só a teoria, mas as aplicações práticas, além de rever
conceitos como integral de linha e campo vetorial.
• 2 - Séries de potências
No segundo tema, vamos conhecer um pouco mais sobre as séries
de potências, que muito se parecem com "polinômios infinitos" e
também podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas, derivadas
e integradas, resultando em novas séries de potências.
Introdução
O nosso estudo sobre equações diferenciais começa pelos teoremas de
Green e Stokes, que ganharam destaque em diferentes áreas do conheci-
mento, sobretudo na Matemática e na Física.
Além de entender que o teorema de Green é um dos mais usados para
calcular figuras planas limitadas e fechadas, você também aprenderá acal-
cular as integrais de linha, de uma forma mais simples e rápida, e ainda irá
reconhecer a influência do teorema de Green para outros teoremas, como
o de Gauss e de Stokes.

=3(Equações diferenciais
Este livro também será uma oportunidade para rever conceitos, como
o campo vetorial e a integral de linha, e assimilar novas informações,
por exemplo as ideias de divergência ede densidade de circulação.
Depois, vamos aprofundar os nossos conhecimentos sobre o teorema
de Stokes, que é uma espécie de generalização do teorema de Green
para o espaço tridimensional e pode ser usado para transformar inte-
grais curvilíneas em integrais de superfície ou vice-versa.
Outro tema importante que será abordado nesta primeira unidade
são as séries de potências.
Teoremas de Green e Stokes
Teorema de Green
Nesta primeira unidade, vamos conhecer o teorema de Green
e o teorema de Stokes, ambos com grande importância para a
Matemática, sobretudo no estudo do cálculo vetorial e das equa-
ções diferenciais.
Elaborado pelo matemático e físico inglês George Green,
esse teorema é um dos mais utilizados para calcular áreas de fi-
guras planas limitadas e fechadas. Vale lembrar que o princípio
do teorema de Green foi usado para formular outros teoremas
essenciais, como o de Gauss e o de Stokes. E suas aplicações
foram úteis não somente para a Matemática, mas também ga-
nharam destaque nas áreas da Física, Engenharia, Geologia,
Química, entre outras.
Sobre o teorema de Green, Flemming e Gonçalves (2007,
p. 348) observaram que:
Esse teorema expressa uma integral curvilínea ao longo de uma
curva fechada no plano como uma integral dupla sobre a região
delimitada pela curva.
Mas, antes de demonstrarmos o teorema de Green, vamos re-
ver conceitos importantes, como o campo vetorial e a integral de
linha, já que esse teorema também é usado para calcular a integral
de uma maneira mais simples e rápida.
Com ampla aplicação na Física, o campo vetorial associa um
vetor a um ponto no espaço, por exemplo: indica a velocidade e a
direção de um fluido que se movimenta pelo espaço, ou ainda, a
intensidade e a direção de uma força.

Na prática, se Fé um campo conseivativo, logo F = v'fpara
uma função derivável f Assim é possível calcular a integral de
linha de F sobre qualquer caminho C ligando o ponto A ao ponto
B por Íc F ·dr = f(B) - f(A).
Durante a demonstração do teorema de Green, vamos in-
troduzir e analisar duas ideias importantes que o envolvem:
divergência e densidade de circulação ao redor de um eixo per-
pendicular ao plano.
Saiba mais
O termo teorema foi usado pela primeira vez por Euclides, em Os Elementos.
O autor adotou a palavra para representar uma afirmação que poderia ser
provada. Epor falar em prova, o teorema de Green aplica-se a qualquer cam-
po vetorial desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas.
Divergência
Para entender a divergência, imagine que F(x, y) = M(x, y)i +
N(x,y)j seja o campo de velocidade de um fluido escoando no pla-
no e que as derivadas parciais de primeira ordem de Me N sejam
contínuas em cada ponto de uma região R. Podemos definir (x, y)
como um ponto qualquer em R, e A como um pequeno retângulo
com vértice em (x, y) que esteja contido inteiramente em R.
Nesse caso, os lados do retângulo, que são paralelos aos ei-
xos coordenados têm comprimentos de Lhe Áy. Os componen-
tes Me N não mudam de sinal em uma pequena região contendo
o retângulo A e a taxa na qual o fluido deixa o retângulo atra-
vés da aresta inferior é de aproximadamente F(x, y) · (-j)Llx =
- N(x, y)Áx.
Se a ideia é aproximar a taxa de escoamento no ponto (x, y),
você deverá calcular por meio de cada aresta na direção das setas
cinza, conforme mostra a Figura 1.1, e depois somar essas taxas e
dividir o resultado pela área de A.
Assim, ao tomar o limite quando Áx ___, Oe Áy ___, Oterá a taxa
de escoamento por unidade de área.
Nesse caso, se a velocidade estiver em metros por segundo, a
taxa de escoamento deverá ser calculada em metros por segundo
multiplicada por metros ou metros quadrados por segundo. Note
Conceitos matemáticos) e

Figura 1.1 Taxa de escoamento.
(X + !!.X, y + !!.y)
f. (- j)<Ü
(x, y)
- - - - - -!!.x- - - - - -
Fonte:Thomas, Weir e Hass (2013,p. 393).
que as taxas nas quais o fluido cruza com os demais lados nas dire-
ções de suas normais exteriores podem ser obtidas da mesma forma.
É importante entender que as taxas de escoamento poderão ser
negativas ou positivas e isso dependerá dos sinais dos componentes
de F Acompanhe, a seguir, a taxa de escoamento líquido através
da fronteira retangular de A, somando as taxas de escoamento das
quatro arestas, de acordo com o definido pelos produtos escalares:
Topo:
Fundo:
Direita:
Esquerda:
F(x,y + Liy) -j Lix = N(x,y + Liy)Lix
F(x, y) · (-j) Lix = - N(x, y)Lix
F(x + Lix,y) · i Liy = M(x + Lix,y)Liy
F(x, y) · (- i) Liy = - M(x, y )Liy
Assim, somando pares opostos, teremos:
Topo e Fundo N(x,y + ~ y)- N(x,y))fu:::::,; (:: ~ y )fu
Direita e esquerda: M (x + &,y)- M (x, y ))~ y ::::::; [: fu)~y
Se somarmos as equações, teremos o efeito líquido das ta-
xas de escoamento ou o fluxo através da fronteira retangular
:::::,; [8M + 8N ) fu~y
8x 8y

Mas, para calcular o fluxo total por unidade de área ou densi-
dade de fluxo para o retângulo, temos que dividir fu:Ây:
Fluxo através de umafronteira retangular [âM âN )
' ~ -+-
Area retangular âx ây
Por último, também podemos fazer fu: e Ây se aproximarem
de zero para definir a densidade de fluxo de Fno ponto (x, y). Por-
tanto, definimos a divergência ou densidade defluxo de um campo
vetorial F =Mi+ Nj no ponto (x, y) como:
div F= âM + âN
âx ây
Exemplo:
O campo vetorial (b) (Figura 12) representa a velocidade de
um gás escoando no plano .xy. A divergência desse campo vetorial
com rotação uniforme F(x, y) = -cyi + ex} é div F = .!!_(- cy)+
â âx
- (ex) = O. Nessecaso, ogásnão estáemexpansãooucompreensão.
ây
Figura 1.2 Campo vetorial (b).
(b)
Fonte: Thomas,Weir eHass (2013, p.394).
Exemplo:
Nesse outro caso, o campo vetorial (d) (Figura 1.3) também re-
presenta avelocidade deumgás escoando no plano.xy.A divergência
F ( )
- y . X •
desse campo vetorial x,y = 2 2
z+ 2 2
J com efeito
x + y x + y

~( Equações diferenciais
Saiba mais
Em dinâmica de fluidos,
quando o campo de
velocidade de um
líquido em escoamento
tem divergência igual
a zero é denominado
líquido incompreensível.
redemoinho é div F =~r- y )+~( x )= 2
-XY
2 âx x 2+ y 2 ây x2+ y2 (x2+ y 2)2
- .xy = 0
(x2+y2)2
Figura 1.3 Campo vetorial (d).
y
~
,,
" •
I /
' X
"'/
.. - ,,, •
. •
(d)
Fonte: Thomas,Weir eHass (2013, p. 394).
Exemplo:
Diferentementedos dois casos anteriores,o campovetorial(a)(Fi-
gura 1.4) F(x,y) = e.xi + cyj em expansão ou compreensão uniforme
não apresenta divergência igual a zero e seu líquido não é considera-
. ô ô
do incompreensível. Nesse caso, d1v F =-(cx)+-(cy) = 2c.
âx ây
Figura 1.4 Campo vetorial (a).
y
(a)
Fonte:Thomas,Weir eHass (2013, p. 394).
X

Sendo assim, se c > O, o gás está submetido à expansão uniforme.
Já se c < O, o gás está submetido à compreensão uniforme.
Exemplo:
Já no campo vetorial F(x, y) = yi (Figura 1.5), que está em
escoamento ou cisalhamento, div F = !!_(y) = O. Nesse caso, o
âx
gás não está em expansão ou compreensão.
Figura 1.5 Campo vetorial (c).
y
- -- --,-----,,--+--,,------,,--• X
(c)
Fonte: Thomas,Weir eHass (2013, p. 394).
Densidade de circulação
Para entender a densidade de circulação de um campo vetorial
F em um ponto, vamos imaginar uma roda de pás flutuando, com
eixo perpendicular ao plano, girando em um ponto com um fluido
escoando em uma região plana. Essa imagem nos dá uma ideia de
como o fluido circula ao redor dos eixos localiz.ados em diferentes
pontos e perpendiculares à região.
Para encontrar a densidade da circulação, temos que voltar ao
campo de velocidade F(x, y) = M(x, y)i + N (x, y)j e considerar o
retângulo A, representado na Figura 1.6.
Observe que consideramos os componentes de Fpositivos e a
taxa na qual o fluido escoa ao longo da aresta inferior de uma re-
gião retangular na direção i é aproximadamente F(x,y ) · i Lix que
é positiva para o campo vetorial F.
Já para aproximar a taxa de circulação no ponto (x, y), você
deverá calcular as taxas de escoamento ao longo de cada aresta na
direção das setas cinza, conforme mostra a Figura 1.6.

Figura 1.6 Taxa de escoamento.
(X + Í'!. X, y + f'i.y)
F · (- i) < O
F• (- j)<O A !'i.y
(x, y)
Fonte·Thomas,Weir e Hass (2013, p. 395).
Para tanto, é preciso somar as taxas e depois dividir o valor pela
área de A. Ao determinar o limite quando àx--, Oe Áy--, Otemos
a taxa de escoamento por unidade de área. Para a aresta inferior, a
taxa de escoamento é F(x, y) · i Áx = M(x, y) Áx.
É importante lembrar que as taxas de escoamento podem ser
positivas ou negativas, dependendo dos componentes de F.
Acompanhe, a seguir, a taxa de circulação líquida ao redor da
fronteira retangular deA , somando as taxas de escoamento ao lon-
go das quatro extremidades:
Topo:
Fundo:
Direita:
Esquerda:
F(x,y+ Áy) · (-i) Áx = -M(x,y + Áy)àx
F(x,y) · i Áx =M(x, y)Áx
F(x + àx, y) ·j Áy = N(x + àx, y)Áy
F(x, y) · (- j) Áy = -N(x, y)Áy
Ao somar os pares opostos, teremos:
Topo e Fundo: - (M(x,y +~y) - M(x,y))fu ~ - (~: ~ y)fu
Direita e esquerda: (N(x + fu,y) - N(x,y))~ y ~(~: fu)~y
Assim, para obter a circulação líquida relativa à orientação
anti-horária, temos que somar as duas últimas equações e divi-
dir por ÁxÁy para conseguir uma estimativa da densidade de
circulação do retângulo:

Circulação ao redor do retângulo
Área retangular
ôN ôM
;::::; - - - - -
ôx ôy
Ao fazer que âx e ây tendam a zero, definimos a densidade de
circulação de Fno ponto (x, y).
Exemplo:
Pense em uma rotação em sentido anti-horário de maneira que
esteja olhando para baixo sobre o plano .xy a partir da ponta do
vetor unitário k. Nesse caso, a densidade de circulação é positiva,
conforme ilustra a Figura 1.7.
Figura 1.7 Circulação em sentido anti-horário.
Eixo vertical
kt c6
rot F (x0, y0) • k > O
Fonte:Thomas, WeireHass (2013, p.396).
De acordo com Thomas, Weir e Hass (2013, p. 396)
A densidade de circulação de um campo vetorial F =Mi+ Nj no
( )
, _ I ôN ô M E _
ponto x, y e a expressao esca ar - - - - . ssa expressao tam-
ô x ôy
bém é chamada de componente k do rotacional, denotada por
(rot F)·k.
Duas formas do teorema de Green
O teorema de Green pode assumir duas formas. Na primeira,
também conhecida comofluxo-divergência ou normal, temos:
Fique atento
Segundo o teorema de
Green, o fluxo externo
de um campo vetorial
através de uma curva
fechada simples no
plano é igual à integral
dupla da divergência
do campo sobre a
região delimitada pela
curva. Porém, você
deve prestar atenção,
uma curva é chamada
simples se ela não cruza
a si mesma.

Saiba mais
Ofluxo exterior
de Fdefinido pela
integralde linha que
acompanhamos na
primeira equação
nada maisé do que a
densidade de fluxo sobre
aregião Rdelimitada
por C. Já acirculação em
sentidoanti-horário de
Fao redor de Cque foi
definida pela integral
de linha na segunda
equação éadensidade
de circulaçãosobre a
região Rdelimitada por C.
p F ·n ds = pM dy - N dx = JJ(âM + âN) dx dy
e e R âx ây
Fluxo exterior Integral da divergência
Note que, seja C uma curva fechada, simples e lisa delimitando
uma região R no plano, e F = Mi +Nj um campo vetorial com
M e N, tendo definidas as derivadas parciais de primeira ordem
contínuas em uma região aberta contendo R , o fluxo exterior de
F através de C é igual à integral dupla de div F sobre a região R
delimitada por C
A outra forma do teorema de Green é conhecida como circula-
ção-rotacional ou tangencial:
p F ·T ds = f M dx + N dy = JJ( âN + âM ) dx dy
e e R âx ây
Circulação em sentido anti-horário Integral do rotacional
Nesse caso, seja C também uma curva fechada, simples e lisa
delimitando uma região R no plano e F = Mi +Nj um campo ve-
torial comMeNtendo definidas as derivadas parciais de primeira
ordem contínuas em uma região aberta contendo R, a circulação
em sentido anti-horário de F ao redor de C é igual à integral dupla
de (rot F) · k sobreR.
É importante entender que as duas formas apresentadas são
equivalentes, ou seja, ao aplicar a primeira equação ao campo
G1
= Ni - Mj, temos a segunda forma e, ao aplicar a segunda
equação a G2
= -Ni + Mj, temos a primeira.
Exemplo:
Que tal verificarmos as duas formas do teorema de Green
para o campo vetorial F(x, y) = (x - y)i + xj e a região R deli-
mitada pela circunferência unitária C: r(t) = (cos t)i + (sen t')j,
O ~ t ~ 21r? O primeiro passo é calcular F(r(t)) e diferenciar
os componentes:
dx = d(cos t) = - sen t dtM = cos t - sen t,
N = cos t, dy = d(sen t) = cos t dt
âM = - l âN =l âN = OâM =l
âx ' ây ' âx ' ây

Logo, os dois lados da primeira equação são:
p M dy - N dx = J,~:2
~(cost - sent)(costdt) - (cos t- sen tdt)
e
= J/~cos2
t dt = Tr
Jf[~:+ ~; )dxdy = Jf(l + O)dxdy
= JJdxdy
R
= área dentro da circunferência unitária = Tr
e os dois lados da segunda equação saí:
pMdx + Ndy = J,~:2
~ (cost -sent)(-sen t dt)+ (cost)(costdt)
e
1
2~
=
0
(- sentcost +1)dt= 2Tr
JJ[âN - âM )dxdy = JJ0 - (-1))dxdy = 2JJ dxdy = 2Tr
R âx dy R R
Também podemos usar o teorema de Green para calcular a in-
tegral de linha. Na prática, se construirmos uma cmva fechada C
emendando um número de curvas diferentes pelas extremidades,
o cálculo de uma integral de linha sobre C poderá ser extenso,
já que há muitas integrais diferentes para calcular. Porém, se C
limitar uma região R para qual o teorema de Green se aplica, logo
poderemos usar uma integral dupla sobreR. Acompanhe o passo a
passo no exemplo a seguir:
Exemplo:
Para calcular a integral de linha pxydy - y 2
dx, onde C é o
e
quadrado cortado do primeiro quadrante pelas retas x = 1 e y = 1,
usando ofluxo divergência ou normal e definindo M = xy, N = y2 e
C e R como fronteira do quadrado e seu interior, obteremos:
f xydy - y
2
dx = JJ(y + 2y)dxdy = .f.f3ydxdy
C R
1 x=l 1 3 li= J[3xyl dy = 1 3y dy = - y
2
Ü X=Ü Ü 2 Ü
3
2
Conceitos matemáticos) E

Fique atento
Oteorema de Green
também pode ser
aplicado em regiões
com muitos furos ou
buracos (Figura 1.8),
desdeque as curvas
limitantes sejam lisas,
simples e fechadas.
Nesse caso, é preciso
integrar sobre cada
componente da fronteira
na direção que mantém
Rà nossa esquerda.
Com a forma circulação rotacional ou tangencial, definindo
M = -y2
eN = .xy, temos o mesmo resultado:
p - y
2
dx + .xydy = JJ(y - (- 2y))dxdy = ¾
C R
Figura 1.8 Regiões com muitos furos.
o
a
Fonte:Thomas,Weir eHass (2013, p. 403).
Teorema de Stokes
Já sabemos que o teorema de Green pode transformar uma
integral curvilínea em uma integral dupla e que é bastante usa-
do para calcular áreas de figuras planas limitadas e fechadas.
Agora, vamos descobrir que o seu princípio também é empre-
gado para formular outros teoremas, como o do matemático
George Stokes.
Segundo Flemming e Gonçalves (2007, p. 402):
O teorema de Stokes constitui uma generalização do teorema
de Green para o espaço tridimensional e pode ser utilizado para
transformar determinadas integrais curvilíneas em integrais de su-
perfície ou vice-versa. Além disso, ele é de grande importância em
aplicações físicas.
A afirmação também é compartilhada por Thomas, Weir e
Hass (2013, p. 424):
O teorema de Stokes generaliza o teorema de Green para t rês di-
mensões. A forma circulação-rotacional do teorema de Green re-
laciona a circulação em sentido anti-horário de um campo vetorial

ao redor de uma curva fechada simples Cno plano xy a uma inte-
gral dupla sobre a região plana Rdelimitada por C.
Na prática, significa que seja Suma superfície orientada e lisa
tendo uma curva de borda lisa por partes e F =Mi+ Nj + Pk um
campo vetorial cujos componentes tenham derivadas parciais de
primeira ordem contínuas em uma região aberta contendo S, a
circulação de F ao redor de C no sentido anti-horário com rela-
ção ao vetor unitário da superfície n é igual à integral V x F • n
sobre S:
pF·dr= Jfv x F ·n da
e s
Circulação
anti-horária
Integral do
rotacional
De acordo com a equação anterior, se duas superfícies orienta-
das diferentes têm a mesma borda C, as integrais do rotacional são
iguais: Jfv x F -nl da= Jfv x F •n2 da.
s, s,
Já se C for uma curva no plano .xy, orientada no sentido anti-
-horário, e R for a região no plano .xy, delimitada por C, concluí-
mos que d<:T = dx dy e (V x F )· n = ('v x F )· k = [ªN - BM ]·
ax 8y
Assim, temos a equação de Stokes:
:fF · dr= JJ[ªN - BM ]dxdy
e R 8x 8y
Note que a equação anterior está na forma circulação rotacio-
nal do teorema de Green. Ao inverter os passos, podemos escrever
a forma circulação rotacional do teorema de Green para campos
bidimensionais:
:fF ·dr= JJV x F -k dA
C R
Na Figura 1.9, é possível perceber com maior clareza a compa-
ração entre os teoremas de Green e Stokes:

Figura 1.9 Comparação entre os teoremas de Green e Stokes.
6Rotacional
Circulação
Fonte:Thomas,Weir e Hass (2013, p. 425).
Exemplo:
Encontre a circulação do campo F = (x2
~ y)i + 4zj + x2
k ao
redor da curva Conde o plano z = 2 encontra o cone z = .Jx2
+y 2
em sentido anti-horário, como na Figura 1.1O.
Nesse caso, usando o teorema de Stokes podemos encontrar a
circulação através da integração sobre a superfície do cone. As-
sim, parametrizando o cone: r(r, 0) = (r cos 0)i + (r sen 0)j + rk,
O ::; r::; 2, O::; 0 ::; 2,r.
Figura 1.1O Curva Ce cone S.
z
X
C: x2
+ y' = 4, z = 2
/
S: r(t) = (r cos 0)i + (r sen 0)j + rk
........... y

Logo:
r, X r0 -(rcos0)i -(rsen 0)j + rk
n = Ir,xrol= r✓2
= ~ (-(cos0)i - (sen 0)j +k)
do = r✓2 dr d0
V x F =-4i - 2xj + k
= -4i - 2rcos 0j + k
Assim:
Vx F ·n = ~ (4cos0 + 2rcos0sen0 + 1)
= ~ (4cos0 + rsen 0+1)
Concluímos que a circulação é:
f F ·dr= Jf vx F ·n do
e s
l 2.l2 1 r:::
=
0 0
✓2 (4cos0 + rsen20 +l)(rv2drd0) =4'IT
Fique atento
O cone usado no exemplo anterior não é a superfície maisfácil para calcular
a circulação ao redor da circunferência de borda C que está no plano z 3.
Uma opção é usar o disco plano de raio 3 centrado no eixo z e presente no
plano z 3. Assim, o vetor normal à superfície Sé n k. Como no cálculo
que usamos no exemplo, teremos v' x F - 4i - 2xj + k, porém agora te~
mos v' x F· N 1de modo que .rrV x F-n da .fI ldA 41T.
X f,f _4
Exemplo:
Imagine um fluido de densidade constante que gira ao redor
do eixo z com velocidade F = w(- yi + xj), onde w (ómega) é

uma constante positiva chamada de velocidade angular da rota-
ção, conforme a Figura 1.11.
Figura 1.11 Um escoamento circular constante paralelo ao plano xy,
com velocidade angular constantew em sentido positivo (anti-horário).
P(x, y, z)
_
•
-- •
-
/
o ~
P(x,y, O) Y
X
Para encontrar V x F e relacionar a densidade à circulação,
temos que, primeiro, encontrar o rotacional com F = -wyi + wxj:
'v x F=[ºp _ 8N )i+[ºM _ 8P )j+[ºN _ 8M )k
8y 8z 8z 8x 8x 8y
= (0 - 0)i + (0 - 0)j + (w - (- w))k = 2wk
Pelo teorema de Stokes, concluímos que a circulação de F ao
redor da circunferência C de raio p delimitando um disco S em
plano normal a V x F o plano .xy é:
jF-dr = JJV x F-n da = Jf 2wk- kdxdy = (2w)(1íp
2
)
e s s
Resolvendo a equação para 2w, temos:
('v x F )· k = 2w =~jF -dr
1íp e

Stokes para superfícies com furos
Assim como o teorema de Green, o teorema de Stokes tam-
bém é válido para superfícies com um ou mais buracos. Nesse
caso, a integral de superfície sobre S do componente normal de
V x Fé igual à soma das integrais de linha do componente tan-
gencial de F ao redor de todas as curvas da borda onde as cur-
vas serão traçadas na direção orientada de S. Embora o teorema
seja o mesmo, C é considerada uma união de curvas fechadas
simples.
Saiba mais
Bastante utilizada em Física e Matemática, a identidade rot grad f = Oou
V x Vf= Oé usada para qualquer função f(x, y, z) cujas derivadas de segunda
ordem sejam contínuas. Observe a prova a seguir:
j k
â â â
'ílxW= âx ây âz = (f,y - ~, )i - (fzx - f,,)j +(~, - f"' )k
âf âf âf
âx ây âz
Saiba mais
Se as derivadas parciais de segunda ordem forem contínuas, as derivadas de
segunda ordem mistas em parênteses serão iguaise o vetor será nulo.
Os campos conservativos também merecem atenção espe-
cial no teorema de Stokes. Na Figura 1.13, vamos acompanhar
um resumo dos resultados para campos conservativos definidos
em regiões abertas conexas e simplesmente conexas. Ou seja,
se V x F = O em todo ponto de uma região simplesmente co-
nexa D no espaço, então qualquer curva fechada lisa por partes
Cem D pode ser descrita da seguinte maneira:
JF·dr = O
e

Figura 1.12 Região simplesmente conexa no espaço.
(a)
(b)
Fonte:Thomas,Weir e Hass (2013,p. 431).
Na Figura 1.12, (a) representa urna região aberta simplesmen-
te conexa no espaço. Já (b) são curvas lisas que cruzam em si
mesmas e podem ser divididas em laços fechados sobre os quais
podemos aplicar o teorema de Stokes.
Observe na Figura 1.13, a seguir, os resultados para campos
conservativos definidos em regiões abertas conexas ou simples-
mente conexas.
Figura 1.13 Campos conservativos.
F conservativo em O <=>
F. dr= O
Ec
sobre qualquer
caminho fechado
em D
<==
F =W emO
V X F = 0 ao longo de O
Fonte:adaptada deThomas,Weir e Hass (2013, p. 431).

Séries de potências
Neste tema, vamos estudar as séries de potências. Mas o que
são essas séries? São somas que se parecem com "polinômios infi-
nitos" e são definidas como séries infinitas de potências de alguma
variável, por exemplo, x.
Mas você deve estar se perguntando qual é o objetivo de estu-
dar essas séries. Pois bem, as séries de potências podem represen-
tar uma dada função e, assim como os polinômios, elas também
podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas, derivadas e inte-
gradas resultando em novas séries de potências.
Segundo a definição de Thomas, Weir e Hass (2013, p. 44):
Uma série de potências centrada em x = Oé uma série da forma
fcnxn= Co+ C1x+ c2x2+ ···+cnxn+ ···. Uma série de potências
fJc=Ü oc,
centrada em x = a é uma série da forma I:cn(x- a)" = c0 + c1
rJc=Ü
(x - a)+ c2(x- a)
2
+··-+cn(x - a)"+··· na qual o centro aeos coe-
ficientes crY c1,c2, ...,cn, ... são constantes.
É importante saber que uma série de potência é, na verdade,
uma série de constantes nas quais podemos testar sua convergên-
cia ou divergência. Isso significa que poderá convergir para alguns
valores de x e divergir para outros.
Dessa forma, a soma da série é sempre uma função j(x) e seu
domínio é o conjunto de todos os x para os quais a série potencial
convirJa.
Saiba mais
As séries de potências se assemelham-se a um polinômio, mas a principal
diferença neste caso é que ftem infinitos termos.
Exemplo:
Ao tomar os coeficientes como 1 na equação, logo temos uma
série de potências geométricas f xn = l + x + x2+ •••+ x2+ •••.
n=O
Tal série com o primeiro termo 1 e a razão x converge para
1/(1 - x) para lxl < 1.

1 2 n
Podemos expressar por - - = 1+x+x + •..+x + ··· -1 <
x < 1. 1-x
Exemplo:
e A b - 1 1 2
orno voce perce eu, usamos a equaçao - - = +x +x +
1-x
•••+xn +·••,-1<x <1, como fórmulapara a soma dasérieà direita.
Agora, vamos mudar o foco e pensar nas somas das séries à direita
como polinômios Pn(x) que se aproximam da função à esquerda.
Nesse caso, para valores de x próximos a O, tomamos somente
alguns termos da série para conseguir uma aproximação satisfa-
tória. Note que, ao mover em direção a x = 1 ou -1 , devemos
tomar mais termos. Assim, j(x) = 11(1 - x) não é contínua em
intervalos contendo x = 1 e as aproximações não se aplicam
quando x 2': 1.
Note na Figura 1.14, os gràficos def(x) = 1/(1 - x) e quatro de
suas aproximações polinomiais.
Em Matemática usamos o critério da razão para descobrir se
uma série é convergente ou não. Vamos acompanhar alguns exem-
plos a seguir:
Figura 1.14 Gráficos de l(x) = 1/(1 - x) e quatro de suas aproximações
polinomiais.
5
4
3
2
1
y + 1 - X
--'-"""'=--------ii--------...1......+ X
- 1 o

Exemplo:
Para descobrir para quais valores de x a série potencial
oo n 2 3
L(-1r-l.::_= X - .::.._ +.::_- ... converge, temos que aplicar o
= l n 2 3
testeda raz.ão àsérie, onde uné o enésimo termo da série depotenciais:
Nesse caso, a série converge absolutamente para lxl < 1 e di-
verge se lxl > 1, pois o enésimo termo não converge para zero. Se
x = 1 temos a série harmônica alternada 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + •••
que converge. Já sex = -1 , temos -1 - 1/2 - 1/3 - 1/4 - •.. , o
negativo da série harmônica, ela diverge. Assim, a série converge
para -1 < x ::; 1 e diverge em qualquer outro lugar.
- -<____...._____>---+ X
- 1 o
Fique atento
O teste da razão realizado no exemplo anterior não se aplica a séries de po-
tências com termos não negativos!
Exemplo:
Observe nesse outro caso, no qual a série Iun+II= 1 xn+i .~, =
un (n +l)! x"
lxl n! 1·2·3···n
- - ----, O para todo x. - - - = ------- converge
n+ l (n +l)! 1·2·3··· n·(n +l)
absolutamente.
..,______.______,.X
o
Já percebemos que uma séne de potências pode convergir,
mas o que acontece quando uma série de potências converge em
mais do que um valor? É simples, ela converge sobre um intervalo

inteiro de valores, que poderá ser finito ou infinito e também con-
ter uma, ambas ou nenhuma extremidade.
É importante que cada extremidade de um intervalo finito seja
testada para convergência ou divergência.
Convergência para séries de potências
De acordo com o teorema de convergência para séries de
potências, se a série f anxn = a0 +a1x + a2x
2
+··· converge
n-0
em x = e -::j:. O, então converge absolutamente para todo x com
lxl < lei- Se a série diverge em x = d, então ela diverge para todo
x com lxl > la1-
A prova é feita a partir da comparação entre a série dada e
uma série geométrica convergente. Vamos imaginar que a série
""'
00
a cn converge. Então, o lim a cn = Opelo teste do ené-~n=O n n-=x> n
simo termo. Concluímos que existe um inteiro N tal que lancnl < 1
Para todo n > N , assim: la1<-
1
- para n > N.
.. ler
Mas, se você adotar qualquer x tal que lxl < lcl de modo que
lxl/lcl < l , ao multiplicar os lados da equação lanl<~ para
n > N por lxl"temos: 1~
Assim, como lx/cl < l , a série geométrica L :olx/~ n converge.
Mas imagine que L :oanxn diverge em x = d. Se x é um
número lxl > la1 e a série converge em x, a primeira metade do
teorema mostra que a série também converge em x. Dessa forma,
a série diverge para todo x com lxl > la1 Podemos simplificar a
notação para as séries da forma L ªn(x - af, substituindo x - a
por x'e aplicando os resultados à série L ªn(x'r.
Concluímos que uma série de potências pode se comportar das
seguintes maneiras: l )pode convergir emx = a; 2) convergir em toda
parte; 3) convergir em algum intervalo do raio R centrado em x = a
Na prática, a convergência da série L cn(x - ar pode serdes-
crita das seguintes maneiras: l ) existe um número positivo R tal
que a série diverge para x com lx - ai > R, mas converge para x

com lx- ai< R. A série pode ou não convergir em uma das extre-
midades x = a - R e x = a + R; 2) a série converge absolutamente
para todo x(R = <X.J); 3). A série converge em x = a e diverge em
todos os outros pontos (R = O).
Operações em séries
Você sabia que duas séries de potências podem ser adicionadas e
subtraídas na intersecção de seus intervalos de convergência? Tam-
bém podem ser multiplicadas da mesma forma que fazemos com
polinômios. Embora possa ser feito termo a termo, em geral limita-
mos aos primeiros termos, que são os mais importantes. Acompa-
nhe, a seguir, urna fórmula para os coeficientes no produto.
Se A(x) = E :oaxx" e B(x) = L :obxx" convergem absolu-
tamente para lxl < R e e,, =a0b,, +a,b,,_1 +aA,_2 +···+a11
_
1b1 +
a,,b0
= takbn-k' concluímos que E:0
c,,x" converge absoluta-
k 4l
mente para A(x)B(x) para lxl< R
É importante ter em mente que encontrar o coeficiente geral
e,, no produto de duas séries de potências pode ser trabalhoso e o
termo volumoso. Acompanhe, a seguir, um produto no qual en-
contramos os primeiros termos pela multiplicação dos termos da
segunda série por cada termo da primeira série:
(
oo ) ( oo n+I ) ( 2 3 )
E x"· E (-t)"-x- =(l+x+x2
+···) x -~+ ~ -- -·
n= O n= O n+l 2 3
Multiplique a segunda série:
=(x- ~ +~
3
-···)+(x
2
- ~ +~
4
-···)+(x
3
- ~
4
+~-···)+···
por 1
x2
5x3
x4
= x +-+---···
2 6 6
por X
e junte as quatro primeiras potências.
por x2

Também podemos substituirj(x) por x em uma série de potên-
cias convergentes.
Em outro caso, se L :oanxn converge absolutamente para
lxl < R concluímos que L :oan(f(x)f converge absolutamente
para qualquer função contínua/em Jfi:x)I < R.
Exemplo:
Comprovando oteoremaanterior,como1/ (1-x) = L :oxncon-
verge absolutamente para lxl < 1, então 1/ (1-4x
2
) = L :0(4x
2
r
converge absolutamente para l4x2
1 < 1 ou lxl < 1/2.
De acordo com o teorema da derivação termo a termo, se
Len ( X - ar tem um raio de convergência R > o' isso define
uma função f(x)=f>n(x- ar no intervalo a- R <X<a+R.
na=C
Essa função possui derivadas de todas as ordens dentro do interva-
lo, obtidas pela derivação da série original termo a termo
f'(x) = fncn(x - ar'
n- l
e cada uma das séries converge em todo ponto do intervalo
a - R <x <a+R.
Exemplo:
Na prática, para encontrar a sérief'(x) ef"(x) se
f(x) =-
1
-= 1+x+x2
+ x3
+x4
+..·+x"+ ...
1-x
= fnn, -l < x < l
n-0
temos que derivar a série de potências termo a termo:
f '( ) 1 1 2 3 ~ 4 3 11-1
X= o= + x+ X + X +...+nx +...
(1 - xt
00
= I:nx"-1
, - 1< x < 1
n= l

/"(x) =
2
3
=2+ 6x +l2x2
+ ... + n(n -l)x"-2
+ ...
(1 - x)
(X)
=Ln(n -l)x"-2
, -l <x< l
Fique atento
Em alguns casos, a derivação termo a termo pode não funcionar, por exem-
~ sen(n!x)
pio, asérie trigonométrica :Z::::--,- converge para todo x. No entanto, se
n ~ n!cos(n!x)
derivarmos termo a termo, chegaremos à série :Z::::-----''---'-,que diverge
n2
para todo x. Vale lembrar que essa não é uma série de potências, poisnão é a
soma das potências positivas inteiras de x.
Já para entender o teorema da integração termo a termo, imagine que
f(x) = I:e, (x-a)° converge para a - R< x<a+ R(R > O). Então,
"
~ (x- a),,..
~ e. ~----''--
n+1
converge para a - R< x<a+ Re
.f.f(x)dx f>(x- a)"' +e
...,, n+l
para a - R< x < a+ R.
Exemplo:
Na prática, a série -
1
- = 1-t +t2
- t
3
+••• converge no m-
1+t
tervalo aberto - 1 < t < 1. Dessa forma,
x 1 [ 2 [3 [4 lx
ln(l+ x) = J: - dt =t--+---+··
o l+ t 2 3 4 0
x2 x3 x4
= x-- +---+···
2 3 4

ou
1. Use o teorema de Green para calcular
f [y'dx+2x'dy], sendo Co triângulo de vér-
c
tices (O, O) (1, 2) (O, 2) no sentido anti-horário.
2. Calcule o fluxo exterior do campo vetorial
F(x,y)= xi+y' j através do quadrado deli-
mitado pelas retas x =±l ey=±l.
3. A partir do teorema de Green encontre a cir-
culação em sentido anti-horário e o fluxo ex-
terior para o campo F =(x' + 4y)i + (x +y)J.
C: O quadrado limitado por x =O, x = 1, y =
O,y =1.
4. Observe o gráfico a seguir e encontre a cir-
culação em sentido anti-horário e o fluxo
exterior:
F = - x- i + (tg+' y)j
1 +'1-
y
S. Use o teorema de Green para calcular a inte-
gral a seguir: f(y' dx+ x' cly)
e
C: O triângulo limitado porx = O,x+y = 1,y = o.
6. O que o teorema de Stokes diz sobre a circu-
lação em um campo cujo rotacional é zero?
7. Justifique: se F= xi + yj +zk,então V x F = O.
8. Calcule a integral curvilínea a partir do teore-
ma de Green: .f(xdx + xydy), ao longo do
e
paralelogramo de véritices A(l, 1), 8(3, 2),
C(4, 4) e 0(2, 3), no sentido anti-horário.
9. Use a fórmula da área do teorema de Green
(Área de R= .}__ ,i; xcly-ydx) para encontrar
2,'fc
as áreas das regiões delimitadas pelas curvas
na circunferência r(t) = (a cos t)i + (a sen t)j ,
O::S t '.S 21T.
1O. Seja n a normal unitária exterior da casca
elíptica 5: 4x' + 9y + 36z' = 36, z 2: O, seja
F= yi+x' j+(x' +y•)"'' sen e,[,iik. Ache o
valor de.ffV x F-nda.
5
Dica: uma parametrização da elipse na base da
casca x =3 cos t, y =2 sen t, O::S t ::S 21r.
11. Nos casos a seguir, encontre o raio e
o intervalo de convergência da série e
aponte para quais valores de x a série con-
verge (b) absolutamente e também em (c)
condicionalmente:
n-<J
12. Aponte para quais valores de x a série
converge:
1- 2(x- 3)+2(x- 3)' +··+(- 2)"(x - 3)"+·--
2 4 2

Aprenda a testar uma série de potências
Para testar uma série de potências para conver-
gência, você deverá utilizar o teste da razão ou o
teste da raiz e encontrar o intervalo em que a série
converge absolutamente.
Normalmente, éum intervalo aberto lx - ai < Rou
a-R <x<a +R.
Se o intervalo de convergência absoluta é finito,
o caminho indicado é testar cada extremidade
para convergência ou divergência usando o tes-
te de comparação, o teste da integral ou da série
alternada.
Mas, se o intervalo de convergência absoluta é
a - R< x < a + R, a série diverge para lx - ai < R
porque seu enésimo termo nãose aproxima dezero
para esses valores de x.
º
teorema deGreen éum dos maisutilizados para calcular áreas de figuras planas, limitadas efechadas.
Seu princípio foiusado para formular outros teoremas importantes, como o deGauss eo de Stokes.
Antes de entender o teorema de Green, vale a pena rever conceitos importantes, como o campo
vetorial e a integral de linha, já que esse teorema é utilizado para calcular a integral de uma maneira mais
simples e rápida. O campo vetorial associaum vetor a um ponto no espaço, ou seja, indica a velocidade e a
direção de um fluidoque se movimenta pelo espaço, ou ainda, o comprimentoe adireção deuma força.
Se Fé um campo conservativo, logo F= Wpara uma função derivável f Assim, é possívelcalcular aintegral
de linha de Fsobre qualquer caminho Cligando o pontoAao ponto Bpor J/·dr =f(B)-f(A).
Para entender a divergência, imagine que F(x, y) =M(x, y)i + N(x, y)j seja o campo de velocidade de um
fluido escoando no plano e que as derivadas parciais de primeira ordem de Me Nsejam contínuas em
cada ponto de uma região R. Assim, (x, y) é um ponto em ReA é um pequeno retângulo com vértice em
(x, y) que está contido inteiramente em R.
Os lados do retângulo, paralelos aos eixos coordenados têm comprimentos de & e ay. Os componentes
Me N não mudam desinalem uma pequena região contendo o retânguloAe a taxa na qualo fluido deixa
o retângulo através da aresta inferior é de aproximadamente F(x,y) •(-j) & = - N(x, y) &.
Éimportanteentenderqueas taxas deescoamento poderão sernegativas ou positivas eisso dependerádossi-
naisdos componentes de F.Acompanhe,aseguir, ataxa deescoamento líquidoatravés da fronteira retangular
deA, somando as taxas deescoamento das quatro arestas,de acordo com o definido pelos produtos escalares:
Topo: F(x,y+ õ.y)- j &= N(x,y+ õ.y) &
Fundo: F(x,y) •(-j ) & = - N(x,y) &
Direita: F(x +&, y) ·i õ.y = M(x + &, y) õ.y
Esquerda: F(x, y) ·(-i) ay =-M(x,y) õ.y

Assim, somando pares opostos, teremos:
Topo efundo: (N(x,y+~y)- N(x,y))~ x;:::;(!~~ y)ru
Direita e esquerda: (M(x+ru,y)- M(x,y))~ y;:::;(~~& )~y
Se somarmos as equações, teremos o efeito líquido das taxas de escoamento ou o fluxo através da fron-
teira retangular ;:::::(&M+ &N)ru~y.
8x 8y
Mas, para calcular o fluxo total por unidade de área ou densidade de fluxo para o retângulo, temos que
dividir ru:~y:
Fluxo através ~e uma fronteira retangular ;:::;(8M+ 8N)
Area retangular 8x 8y
Também podemos fazerru:e~yse aproximarem de zero paradefinir adensidade de fluxo de Fno ponto(x,y).
Portanto, definimosadivergência oudensidade defluxo deum campo vetorial F=Mi + Nj no ponto(x,y) como:
div F= BM +BN
a x 8 y
Em dinâmica de fluidos, quando o campo de velocidade de um líquido em escoamento tem divergência
igual a zero é denominado líquido incompreensível.
Para entender a densidadede circulação de um campo vetorial Fem um ponto, vamos imaginar uma roda
de pás flutuando, com eixo perpendicular ao plano, girando em um ponto em um fluido escoando em
uma região plana. Essa imagem nos dá uma ideia de como o fluido circula ao redor dos eixos localizados
em diferentes pontos e perpendiculares a região.
Para encontrar a densidade da circulação, temos que voltar ao campo de velocidade F(x, y) =M(x, y)i +
N(x, y)j e considerar o retângulo A, representado na figura a seguir:
(x + IH, y + .1.y)
F , (- i) < O
F , (- j) < O A .1.y
(X, y)
Assim, consideramos os componentes de F positivos e ataxa na qualo fluido escoa ao longo da aresta inferior
de uma região retangular na direçãoié aproximadamente F(x,y) •i ili<, que épositiva para o campo vetorial F
Já para aproximar a taxa de circulação no ponto (x,y), será preciso calcular as taxas de escoamento ao
longo de cada aresta na direção das setas grossas, conforme mostra afigura. Para tanto, terá de somar as
taxas e depois dividiro valor pelaárea de A Ao determinaro limite quando ill<: ---t Oe ~y---t Onosdá a taxa

de escoamento por unidade de área. Então, concluímos que a taxa de circulação de Fao redor da fronteira
de A é a soma das taxas de escoamento ao longo dos lados na direção tangencial.
Para a aresta inferior, a taxa de escoamento é F(x, y) • i ili<= M(x, y) ti.x.
As taxas de escoamento podem ser positivas ou negativas, dependendo dos componentes de F. Acom-
panhe, a seguir, a taxa de circulação líquida ao redor da fronteira retangular de A, somando as taxas de
escoamento ao longo das quatro extremidades:
Topo: F(x, y + ti.y) •(-i) ili< = -M(x,y + ti.y) ti.x
Fundo: F(x, y) •i ti.x =M(x, y) ti.x
Direita: F(x + ili<, y) •j ti.y = N(x + ili<, y) ti.y
Esquerda: F(x, y) · (-j ) ti.y = -N(x, y) ti.y
Ao somar os pares opostos, teremos:
Topo e fundo: - (M(x,y+t-y) - M(x,y))~ xc,; - ( ~~t-y )ru
Direita e esquerda: (N(x+t-x,y)- N(x,y))t-y""'(~: ru)t-y
Assim, para obter a circulação líquida relativa à orientação anti-horária, temos que somar as duas últimas
equações e dividir por &ti.y para ter uma estimativa da densidade de circulação do retângulo:
Circulação ao redor do retôngulo 8N 8M
Área retangular ""' 8 x -ay
Ao fazer que ti.x e ti.y tendam a zero, definimos a densidade de circulação de F no ponto (x, y). O teorema
de Green pode assumir duas formas. A primeira, também conhecida como fluxo divergência ou normal, é:
fF ·nds = fMdy- Ndx = rr( BM + BN) dx dy
' e ' e • i, 8x 8y
Fluxo exterior Integral da divergência
Note que, seja Cuma curva fechada, simples e lisa delimitando uma região Rno plano, e F=Mi + Nj um
campo vetorial com Me N tendo como derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região
aberta contendo R, o fluxo exterior de F através de C é igual à integral dupla de div F sobre a região R
delimitada por C.
A outra forma do teorema de Green é conhecida como circulação rotacional ou tangencial:
fF·Tds = fMdx+Ndy = rr( BN - &M ) dxdy
·e ·e · ;, 8x 8y
Circulação em sentido anti-horário Integral do rotacional
Nesse caso, seja C também uma curva fechada, simples e lisa delimitando uma região R no plano e
F=Mi + Nj um campo vetorial com Me N tendo derivadas parciais de primeira ordem, contínuas em uma
região aberta contendo R, a circulação em sentido anti-horário de Fao redor de C é igual à integral dupla
de (rot F) •k sobre R.
Éimportante entender que as duas formas apresentadas são equivalentes, ou seja, ao aplicar a primeira
equação ao campo G, = Ni - Mj, temos a segunda equação e, ao aplicara segunda equação a G, = Ni - Mj,
temos a primeira.

Também usamos o teorema de Green para calcular aintegralde linha.Na prática, se construirmosuma curva
fechada Cemendando um número de curvas diferentes pelas extremidades, o cálculo de uma integral de
linha sobre Cpoderá ser extenso, já que há muitas integraisdiferentes para calcular. Porém, se Climitar uma
região Rpara qual o teorema de Green se aplica, logo poderemos usar uma integral duplasobre R.
Para calcular aintegralde linha .fxydy- y' dx, onde Cé o quadrado cortado do primeiro quadrante pelas
e
retas x= 1ey=l, usando o fluxo divergência ou normal e definindoM = xy, N= y' e Ce Rcomo fronteira do
quadrado e seu interior, teremos:
_fxy dy - y' dx= .f[(y+2y) dx dy = .((3ydxdy
C R
'[ ]X• I 1 3 li 3= {, 3xy dy= {, 3ydy= - y' = -
- o x-<l • O 2o2
Já com aforma circulação rotacionalou tangencial, definindoM = -y' e N= xy temos o mesmo resultado:
J: 1·1· 3
r-y' dx+xydy = (y - (- 2y)) dx dy = -
·c . i, 2
O teorema de Green também pode ser aplicado em regiões com muitos furos ou buracos, desde que as
curvas limitantes sejam lisas, simples e fechadas. Nessecaso, épreciso integrarsobre cada componente da
fronteira na direção que mantém Rà nossa esquerda.
De acordo com Thomas, Weir e Hass (2013), o teorema Stokes generaliza o teorema de Green para três
dimensões. A forma circulação rotacional do teorema de Green relaciona a circulação em sentido anti-
-horário de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada simples Cno planoxy auma integral dupla
sobre a região plana Rdelimitada por C.
Na prática, significa que seja 5 uma superfície orientada e lisa tendo uma curva de borda lisa por partes
e F = Mi + Nj + Pk um campo vetorial cujos componentes tenham derivadas parciaisde primeira ordem
contínuas em uma região aberta contendo 5, a circulação de Fao redor de Cno sentido anti-horário com
relação ao vetor unitário da superfície n éigual à integral v' x F ·n sobre 5:
.fF-dr= .[fvxF-ndrr
e s
Circulação anti-horária Integralrotacional
De acordo com a equação anterior, se duas superfícies orientadas diferentes têm a mesma borda C, as
integraisdo rotacional são iguais:
.{[v xF-n, drr= .{[V x F-n, drr
~ ~
Já se Cfor uma curva no plano xy, orientada no sentido anti-horário, e Rfor aregião no planoxy delimitada
porC,conclu1mosquedrr = dxdye (Vx F)-n= (Vx F)-k = - - - ., (âN âM)
âx ây
Assim, a equação de Stokes será:
f F-dr= r r(âN _âM) dxdy
·e · i, âx ây

A equação está na forma circulação rotacional do teorema de Green. Ao inverter os passos, podemos
escrever a forma circulação rotacional do teorema de Green para campos bidimensionais:
fF·dr = .f['vx F•k dA
C R
Assim como o teorema de Green, o teorema de Stokes também éválido para superfícies com um ou mais
buracos. Nesse caso, a integral de superfície sobre S do componente normal de V x Fé igual à soma das
integrais de linha do componente tangencial de Fao redor de todas as curvas da borda onde elas serão
traçadas na direção orientada de S. Embora o teorema seja o mesmo, Cé considerada como uma união
de curvas fechadas simples.
Bastante conhecida em Física e Matemática, a identidade rot grad f = Oou V x W = Oé usada para
qualquer função f(x, y, z) cujas derivadas de segunda ordem sejam contínuas.
Os campos conservativos também merecem atenção especial no teorema de Stokes. Se V x F = Oem
todo ponto de uma região simplesmente conexa O no espaço, logo qualquer curva fechada e lisa por
partes Cem O: JF·dr= O.
e
As séries de potências são somas que se parecem com "polinômios infinitos" e são definidas como séries
infinitas de potências de alguma variável, por exemplo, x.Taisséries podem representar uma dada função
e, assim como os polinômios, também podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas, derivadas eintegra-
das resultando em novas séries de potências.
É importante saber que uma série de potência é uma série de constantes e que podemos testar sua
convergência ou divergência. Isso significa que poderá convergir para alguns valores de x e divergir para
outros. Dessa forma, a soma da série é sempre uma função f(x) e seu domínio é o conjunto de todos os x
para os quaisa série potencial converge.
Ao tomar os coeficientes como 1 na equação, temos uma série de potências geométricas
f xn= 1+ x+x' + ..+xn+".
n--0
Tal série com o primeiro termo 1 e arazão x converge para 1/(1 - x) para lxl < 1.
1 2 n
Podemos expressar por --= l+x+x +..+x +..·,- 1< x<l.
1- x
Quando uma série de potências converge em mais do que um valor, dizemos que converge sobre um
intervalo inteiro de valores, que poderá ser finito ou infinito e também conter uma, ambas ou nenhuma
extremidade. Éimportante que cada extremidade de um intervalo finito seja testada independentemente
para convergência ou divergência.
Deacordocom oteoremadeconvergênciapara sériesdepotências, sea série f anxn= 00 +a,x+a,x' +···
n-0
converge em x= Cc;tc O, então converge absolutamente para todo xcom lxl< lcl. Se a série diverge em x=
d, então ela diverge para todo x com lxl> ldl.
Mas, se adotar qualquer x tal que lxl< lclde modo que lxl/ lcl < 1, ao multiplicar os lados da equação
anterior por lxln,teremos:
para n>N

Assim, como lx!cl < 1a série geométrica I::: 0
1x/ eI" converge.
Mas imagine que I:::Oanx" diverge em x= d.Se xé um número 1"1 > ldl e a série converge em x, a pri-
meira metade do teorema mostra que a série também converge em x. Dessa forma, a série diverge para
todo xcom lxl > ldl.Podemos simplificar a notação para as séries da forma Lªn(x- a)", substituímosx-a
por x'e aplicamos os resultados à série I::an(x')".
Uma série de potências pode se comportar das seguintes maneiras: convergirem x= a;convergir em toda
parte; convergir em algum intervalo do raio Rcentrado em x= a.
Na prática, a convergência da série I::cn(x - a)" pode ser descrita das seguintes maneiras: 1) Existe um
número positivo Rtal que asériediverge para xcom lx-al > R, mas converge para xcom lx-al < R. Asérie
pode ou não convergir em uma das extremidades x= a-R ex=a+ R; 2) Asérie converge absolutamente
para todo x(R= oo); 3) A série converge em x= ae diverge em todos os outros pontos (R = (!J.
Duas séries de potências podem ser adicionadas e subtraídas na intersecção de seus intervalos de con-
vergência e também podem ser multiplicadas da mesma forma que fazemos com polinômios. Embora
possa ser feito termo a termo, em geral limitamos aos primeiros termos, que são os mais importantes.
Acompanhe, a seguir, uma fórmula para os coeficientes no produto:
Se A(x)= I::: 0
anx" eB(x)= I:::Obnx" convergem absolutamente para lxl < Re cn=a0bn+a,b,,_,+
n
a,b,,_, +···+a,,_,b,+anbo= 1::a,b,,_,,
k-<J
concluímos que I::'.:cnx" converge absolutamente para A(x)B(x)para lxl < R:
Éimportante ter em mente que encontrar o coeficiente geral e"no produto de duas séries de potências
pode ser trabalhoso e o termo volumoso. Acompanhe, a seguir, um produto no qual encontramos os pri-
meiros termos pela multiplicação dos termos da segunda série por cada termo da primeira série:
(
= ) ( = xn+' ) ( x' x
3
)
I::x" · I::(- 1)"- = (l+ x+ x'+···) x-- +- -···
"""" """" n+ 1 2 3
Multiplique a segunda série:
(
x' x' ) ( , x' x
4
) ( x
4
x
5
)
= x-~+~---·+x -~+~---- +~-~+~---·+···
------- ~~1 ~X ~~
x' 5x3
x'
= X+- +---···
2 6 6
e junte as quatro primeiras potências
Também podemos substituir f(x) por x em uma série de potências convergente.
Em outro caso, se I::: 0
a"x" converge absolutamente para lxl < R, concluímos que I:::Oan{f(x)f con-
verge absolutamente para qualquer função contínua f em lf(x)I < R.

De acordo com o teorema da derivação termo a termo, se I::Cn(x - a)" tem um raio de convergência
R> O, isso define uma função f(x)= I:cn(x-a)" no intervalo a - R< x <a+ R. Essa função possui
n-0
derivadas de todas as ordens dentro do intervalo, obtidas pela derivação da série original termo a termo
f"(x) = fn(n- 1)-:n(x - a)n-'
n-2
e cada uma das séries converge em todo ponto do intervalo a - R< x <a+ R.
Em alguns casos, a derivação termo a termo pode não funcionar, por exemplo, a série trigonométri-
= sen(nix)
ca I:--,-·- converge para todo x. No entanto, se derivarmos termo a termo, chegaremos à série
,...., n
f n!cos~n!x) que diverge para todox. Vale lembrar que essa não é uma série de potências, pois não é a
,...., n
soma das potências positivas inteiras de x. ~
Para entender o teorema da integração termo a termo, imagine que f(x) = I:cn(x - a)" converge para
a - R< x < a + R(R > O). Então, n-0
converge para a - R< x < a+ Re
[ f(x) dx = f e" (x - a)"''+C
• n-<l n+l
para a - R< x < a+ R.

UNIDADE
Equações diferenciais de
primeira ordem
- - - - - - - Objetivos de aprendizagem
Reconhecer a forma da equação diferencial de primeira ordem.
• Identificar equações diferenciais de primeira ordem separáveis, linea-
res e exatas.
Apontar ou enumerar as suas aplicações em diferentes ramos da
Ciência.
------------------ Temas
1 - Equações diferenciais de primeira ordem: da teoria
à prática
Neste tema, vamos aprender a identificar aforma das equações dife-
renciais de primeira ordem, reconhecer sua importância na criação
de modelos matemáticos para solucionar problemas em diversas
áreas do conhecimento e distinguir as equações diferenciais de pri-
meira ordem em separáveis, lineares e exatas.
2 - Equações diferenciaisdeprimeira ordem e suas aplicações
Depois decompreender aimportância das equações diferenciais de pri-
meira ordem em áreas diferentes, vamos conhecer modelos que aju-
dam a representar situações do nosso cotidiano como o aumento da
população ou o crescimento do Produto Interno Bruto (PIB) de um país.
Introdução
Você pode até não ter percebido, mas certamente já esteve frente a frente
com soluções encontradas a partir de algum modelo de equações diferen-
ciais de primeira ordem.
Geralmente, adotamos a equação diferencial de primeira ordem quando
queremos descobrir a variação de uma quantidade em relação à outra,
como os problemas de Física que buscam a variação de tempo, a tempera-
tura de algum material ou a posição de um objeto.

Que tal outros exemplos ainda mais próximos do nosso dia a dia? O
câmbio entre moedas, o crescimento populacional ou o Produto ln-
terno Bruto (PIB) de um país. Só com esses exemplos já é possível
notar que as equações diferenciais de primeira ordem são equações
matemáticas com aplicações em diferentes ramos da Ciência, que vão
da Física à Biologia.
É claro que antes de acompanharmos situações práticas e, até mes-
mo, colocarmos a mão na massa para solucionar alguns problemas,
vamos conhecer um pouco mais dessa equação, ou seja, aprender a
identificar a sua forma e a estudar com mais profundidade os diferen-
tes tipos (separáveis, lineares e exatas).
Equações diferenciais de primeira
ordem: da teoria à prática
Depois de entender conceitos matemáticos importantes na Uni-
dade 1, como os teoremas de Green e de Stokes, e ainda conhecer
com maior propriedade as séries de potências, vamos iniciar esta
unidade com o estudo das equações diferenciais de primeira or-
dem, ou seja, equações matemáticas que têm aplicações em vários
ramos da Ciência, que vão da Física à Biologia e são essenciais
para o nosso dia a dia.
Mas você pode se perguntar como podemos diferenciá-la de
outro tipo de equação? Pois bem, toda equação que contém de-
rivadas de funções é uma equação diferencial. Esse modelo de
equação é adotado quando queremos descobrir a variação de uma
quantidade em relação à outra, isso acontece em diferentes fenô-
menos, como variações de tempo, a posição de um objeto, a tem-
peratura de determinado material, a umidade do ar, a densidade de
massa, o câmbio entre moedas, o crescimento da população e até
mesmo o PIB de um país.
Uma equação diferencial de primeira ordem é descrita na forma:
dx = f(x, y ), quando a função f(x, y) é dada e a incógnita é a
dy
função x(y). Já quando a função j(_x, y) não depende explicita-
mente da variável independente y, o problema pode ser escrito:
dx = f(x) E D, que é considerado um sistema autônomo de pri-
dy
meira ordem.

Equações diferenciais de primeira ordem E
É importante ter em mente que as equações diferenciais ex-
pressam matematicamente determinadas leis como a segunda lei
de Newton, que vamos acompanhar a seguir.
Exemplo:
Um clássico exemplo de equação diferencial de primeira or-
dem pode ser percebido quando estudamos em Física um corpo
em queda livre. Antes de mais nada, vamos relembrar a segunda
lei de Newton que diz que a força é igual à massa multiplicada
pela aceleração, expressa pela equação m dv = F, onde Fé a for-
dt
ça total sobre o objeto, m é a massa e dv/dt é a aceleração.
Segundo essa lei, para mudar o estado de movimento de um
objeto, é preciso exercer uma força sobre ele e isso dependerá
diretamente da sua massa. Já a aceleração é definida como ava-
riação da velocidade com o tempo e, nesse caso, m > Oe segue o
mesmo sentido da força aplicada.
Na prática, vamos pensar que, perto da superfície da Terra, a
força decorrente da gravidade é o peso dos objetos, e sempre está
direcionada para baixo. Tal força pode ser expressa por mg, onde
g é a aceleração em virtude da gravidade.
É importante lembrar que nenhuma lei modela com precisão
a resistência do ar atuando sobre o objeto, pois tal força depende
da velocidade e da forma do objeto, da densidade do ar, entre ou-
tros fatores. Mas, em alguns casos, essa resistência do ar pode ser
esboçada por -bv, onde b é uma constante positiva dependente da
densidade do ar e da forma do objeto.
Você notou que usamos o sinal negativo? A justificativa é sim-
ples: a resistência do ar é uma força que se opõe ao movimento.
Ao aplicar a lei de Newton, obtemos a equação diferencial de
primeira ordem:
dv
m- =mg - bv
dt
Equações diferenciais de primeira ordem
Depois de identificar uma equação diferencial de primeira or-
dem, vamos entender o passo a passo para resolvê-la a partir de
uma técnica chamada separação de variáveis.
Saiba mais
Pela segunda lei de
Newton também
podemos chegar ao
peso, que é calculado
pelaequação P= m •g,
sendog aaceleração
da gravidade. Note
que, apesarde a
massa de um corpo
ser fixa, o mesmo não
ocorre com o peso,
que poderávariar em
outros planetas,poisa
gravidade dependeráda
massa do corpo.

Ao tratar dv e dt como diferenciais, reescrevemos essa equação
dv . dv dt . .fi
m- = mg - bv.Assim, ---- = - ,o queJUStl ca o nome se-
dt mg - bv m
paração de variáveis.
O próximo passo é integrar a equação separada:
J
dv J dt
mg - bv = -;;;
E, depois:
Assim, concluímos que:
lmg - bvl= e-bce-btlm
ou
mg - bv = Ae-btlm
onde a nova constante A tem magnitude e-bc e o mesmo sinal (±)
de (mg - bv). Solucionando para v, teremos:
mg A -btlmv =---e
b b
E a chamamos de solução geral, na qual cada solução para a
equação pode ser expressa dessa forma.
Exemplo:
Em um caso específico, receberíamos os valores de m, g e
b para determinar a constante A na solução geral usando a ve-
locidade inicial do objeto v0
. Assim, resolvemos o problema de
valor inicial.
dv
m-= mg - bv, v(0) = v0
dt
Ao substituir v = v0
e t = O na solução geral para a equação
diferencial, podemos resolver para A. Com esse valor para A , en-
contramos a solução por:
v = mg +[v - mg )e-b,tm
b O
b

Equações diferenciaisde primeira ordem E
Note que afórmula citada nos dá avelocidade do objeto caindo no
ar comouma função do tempo, se avelocidade inicial do objeto for v0
.
No Gráfico 2.1, você poderá observar o gráfico de v(t) para
seis velocidades iniciais diferentes v0
e (g = 9,8 m/s2
e m/b = 5 s).
Gráfico 2.1 Seis velocidades diferentes.
v (m/seg)
v0 >mg/b,
de modo
que o objeto
aumenta a
velocidade
Fonte.·Nagle, Saff eSnider (2012, p. 28).
Equações separáveis
As equações separáveis que já tivemos a oportunidade de co-
nhecer pertencem à classe mais simples de equações diferenciais
de primeira ordem, que podem ser resolvidas a partir da integra-
ção. Observe:
: = f(x, y)
Nesse caso, podemos reescrevê-las apenas isolando as variá-
veis x ey em lados opostos da equação:
h(y)dy = g(x)dx
O lado direito original.fi:x, y) deve ter uma forma fatorada:
1
f(x,y) = g(x)- -
h(y)
Dizemos que a equação de primeira ordem é separável se for
possível escrevê-la na seguinte maneira:
dy = g(x)p(y)
dx

Exemplo:
_ dy 2x+ xy , ,
A equaçao dx = 2 e separavel. Observe a sua fatoração:
y +l
2x+ xy 2+ y
2 = x - 2- = g(x)p(y)
y +l y +l
Mas a equação dy = l + xy não admite fatoração do lado di-
dx
reito. Sendo assim, não é separável.
Exemplo:
P 1 - - 1. dy x - 5 dara reso ver a equaçao nao mear - = --, evemos sepa-
dx y 2
raras variáveis e reescrevê-la da seguinte forma:
y 2
dy = (x - 5)dx
Assim, encontramos:
y 3 x2
-=--5x+ C
3 2
Solucionando essa última equação paray, teremos:
(
2 )1/3
y=
3
; -l5x+ 3C
Nesse caso, C é uma constante de integração e pode ser qual-
quer número real e 3C também pode ser qualquer número real.
Podemos substituir a constante 3C pela constante K:
(
2 )1/3
y =
3
; - l 5x+K
Fique atento
Você já percebeu que as equações separáveis são as maisfácies de solucio-
nar, mas todo cuidado é pouco, poiso procedimento exige atenção e habi-
lidade para calcular integrais. Por isso, vale a pena revisar o conteúdo sobre
integrais para resolver os exercícios com maior segurança.

Exemplo:
Para resolver o problema de valor inicial
dy
dx
y -l
x+3
y(-1 ) = O, devemos, em primeiro lugar, separar as variáveis:
dy dx
y -l x + 3
f/~l= f x:3
lnly- li=lnlx+~ +e
Note que é possível tanto solucionar paray , ao reter a constante
C, como usar a condição inicial para determinar C e depois resol-
ver paray. Então, vamos aplicar a função exponencial na equação:
onde e,:= é.
Dependendo dos valores de y, temos IY-11 = ±(y -1) e de
modo semelhante lx+ ~ = ±(x+ 3). Dessa forma, a equação pode
ser assim escrita:
y - l = ±C,(x+ 3) ou y = l± C1
(x + 3)
É importante entender que a escolha do sinal depende dos va-
lores de x e y. Notamos que C1
é uma constante positiva, isto é,
e, =eC> O.
Ao substituir ±C1
por K, que representa uma constante arbitrá-
ria diferente de zero, concluímos que: y = l + K(x + 3).
Por último, determinamos K de modo que a condição do início
y(-1) = O seja satisfeita. Ao colocar x = -l e y = Ona equação
acima, teremos:
O= 1 + K(- 1 + 3) = 1 + 2K
Assim, K = -1/2 e a solução para o problema de valor inicial
se dá por:
1 1
y = l--(x + 3)= --(x + 1)
2 2

Exemplo:
dy y -l
O mesmo problema de valor inicial - = - -, y(-1) = O
dx x + 3
poderia ser resolvido com outro método, como vamos acompa-
nhar neste exemplo. O primeiro passo é definir x = - l ey = Opara
resolver C, acompanhe:
lnlo -11 = lnl-1 + 31+e
O=ln l=ln 2 + C
Assim, C =-ln 2 e a solução y é dada por:
ln(l -y) = ln(x + 3)-ln 2
Substituindo [y - 11 por 1 - y e lx + 31, precisamos que x e y
estejam próximos dos valores iniciais x = -l, y = O(neste caso,
y- 1 < Oex+ 3 > O).
Então, ao resolver para y, encontramos:
(
x + 3)ln(l - y) =ln(x + 3)-ln 2 =ln -
2
-
x + 3
l- y= - -
2
1 1
y = l--(x + 3) = --(x +l)
2 2
Equações lineares
Bastante frequentes, as equações lineares de primeira ordem
são expressas da seguinte forma:
onde a1
(x), aoCx) e b(x) dependem apenas davariável independentex.
Exemplo:
A equação x2
sen x - (cos x )y = (sen x) dy é linear, pois pode
dx
ser reescrita da forma (sen x) dy + (cos x)y = x2
sen x .
dx
Já a equação y dy + (sen x)y3
= ex+l não é linear, basta obser-
dx
var os termosy3 e y dy/dx que não permitem que ela seja reescrita.

Como observamos no exemplo anterior, é possível diferenciar
com facilidade uma equação linear de uma equação não linear.
Mas há duas situações em que a solução de uma equação dife-
rencial linear é imediata. A primeira ocorre quando o coeficien-
te a0
(x) é idêntico a zero e, dessa forma, a equação se reduz a
q(x) '-OI = b(x) e equivale a y(x) = Jb(x) dx + C .
dx ai(x)
Já a segunda situação é menos comum e ocorre se aoCx) for
igual à derivada a1
(x), isto é, a0
(x) = a'1
(x). Nesse caso, os dois
termos no lado esquerdo da equação a1
(x) dy + a0
(x)y = b(x)
dx
compreendem a derivada do produto a1
(x)y: a1
(x)y'+ ao(x)y =
d
a1
(x)y'+ a'/x)y = dx [a,(x)y].
Assim, se a equação se transforma em ~[a,(x)y]= b(x), a
1 ~ ' dxso uçao e:
y(x) = -
1
-[Jb(x)dx+e]a1
(x)
A forma ~[a,(x)y]= b(x) pode ser alcançada pela multipli-
cação da equ~ão original a1
(x) dy + a/ x )y = b(x) por uma fun-
dx
ção bem escolhida µ(x), que é chamada de fator integrante para a
equação original.
Para verificar como isso acontece, você deve dividir a equação
originalpora1
(x) : +P(x)y = Q(x), onde P(x) = ao(x)l a/x)
e Q(x) = b(x) / a1
(x)
Depois, determine µ(x) de modo que o lado direito da equação
multiplicada µ (x): + µ(x)P(x)y = µ (x)Q(x) seja apenas uma
dy d
derivada do produto µ(x)y: µ (x)-+µ(x)P(x)y =-[µ(x)y] =
dx dx
µ (x/Y +µ '(x)y
dx
Isso exige que µ' satisfaça a µ' = µP. Essa é uma equação dife-
renciável separável (1/µ)dµ = P(x)dx.
JP(x)dx
Integrando os dois lados, encontramos: µ(x) = e

A partir dessa escolha paraµ(x), a equação µ(x) dy + µ (x)P(x)y
d dx
=µ(x)Q(x) toma-se dx [µ(x)y]=µ(x)Q(x) , cuja solução é
y(x) = -
1
-[Jµ(x)Q(x)dx + e].µ (x)
Observe que C é urna constante arbitrária e a solução
y(x) =-
1
-[Jµ(x)Q(x)dx + c ]traz urna família de soluções de
µ (x)
um único parâmetro para a equação : + P(x)y = Q(x).
Exemplo:
Na prática, imagine que exista uma rocha com dois isótopos
(variantes de um elemento químico específico) radioativos RA1e
RA2
e estes pertençam à mesma série radioativa. A taxa de RA1que
decai para RA2é de 50e 101 kg/s. Como a taxa que decai de RA2é
proporcional à massay(t) de RA2presente, a taxa de mudança em
RA2pode ser representada por:
dy = taxa de criação RA1que taxa de
dt decaí para RA2 decaimento
dy = soe- 10, - ky
dt
onde k > Oé a constante de decaimento. Se k = 2/s e inicialmente
y(O) =40 kg, encontre a massa y(t) de RA2
para t 2'. O
Como a equação dy = SOe- 10
' - ky é linear, escrevemos na
dt
forma padrão: dy +2y = 50e-
10
', y(0) =40, onde substituímos
dt
k = 2 e exibimos a condição inicial.
Concluímos que P(t) = 2 de modo que JP(t)dt = J2 dt = 2t.
Assim, um fator integrante é µ (t) = e2'.
Ao multiplicar a equação dy + 2y = Soe-101
por µ(t), teremos:
dt
e2, dy + 2e2'y = SOe- 101+21= SOe_s,
dt
'---------,---- - 8/
~ e2'y) =50e
dt
Ao integrar os dois lados e resolver paray, encontramos:

2, 25 - s, +ee y =--e
4
25 - 10, +e - 2,
y =--e e
4
Se substituírmos t = Oe y(0) = 40, concluímos que:
25 o o 25
40 =--e + Ce =--+C
4 4
onde C =40 + 25/4 = 185/4. Então, a massay(t) deRA2
no instante t
pode ser encontrada por:
Equações exatas
Depois de conhecer equações separáveis e lineares, vamos
aprender mais um tipo de equação diferencial que se dá na forma
M(x,y)dx+N(x,y)dy = 0 e é chamada exata sempre que a ex-
pressão do lado esquerdo for uma diferencial exata. Concluímos
então que existe uma função U(x,y), tal que a diferencial total de
U(x, y) é M(x,y)dx + N(x,y)dy. Assim, a solução da equação é
U(x, y) = C.
Exemplo:
Na prática, imagine que a função matemática F(;c, y) represen-
te uma quantidade física, como a temperatura no plano .xy. Assim,
as curvas de nível de F, onde F(x, y) = constante podem ser inter-
pretadas como isotérmicas, isto é, apresentam a mesma tempera-
tura, conforme ilustra a Figura 2.1.
Figura 2.1 Mapa do tempo. Curvas de nível F(x,y).
Fonte:Nagle, Saff eSnider (2012, p. 43).
70°
80°
90°

Para calcular a inclinação da tangente para uma curva de ní-
vel, vamos usar a derivada com relação a x dos lados da equação
F(x, y) = C, levando em consideração quey depende de x ao longo
da curva:
ou
d d
- F(x, y) = - (C)
dx dx
E, assim, resolvemos para a inclinação:
dy
dx = f(x,y) =
âF ! âx
âF ! ây
1
.
1
. d _ âF âF dy dx h
Mu tlp 1can o a equaçao - + --- = O por , c egamos
âx âydx
à expressão diferencial total de F , que é descrita como:
A forma diferencia!M(x,y)dx + N(x,y) é considerada exata em
um retângulo R, se existir uma função F(x, y) tal que â F (x, y) =
âx
M(x, y) e ::(x, y) = N(x, y) para todo (x,y) emR, isto é, o dife-
rencial total de.fCx,y) satisfaz dF(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy.
Se M(x,y)dx + N(x,y)dy for uma diferencial exata, então
M(x, y)dx + N(x, y)dy = Oé chamada de equação exata.
O nosso caminho para alcançar a equação para a inclinação
F(x, y) da curva de nível F(x, y) = C é expressa como o diferencial
total dF = O.
Se o lado esquerdo da equação M(x, y)dx+ N(x, y)dy = Ofor
identificado como um diferencial total M(x, y)dx + N(x, y)dy =
âF âF 1 ~ ~ d d d .- dx +-dy = dF(x, y) ,suassouçoesserao a as emane1-
âx ây
ra implícita pelas curvas de nível F(x, y) = C para uma constante
arbitrária C.

Exemplo:
Para resolver a equação diferencial : =
2.ry
2
+1
- -2- , podemos
2x y
usar algumas formas diferenciais correspondentes a essa equação:
(2.ry
2
+1)dx+2x
2
ydy = O
2.ry2+1dx +dy = O
2x2
y
dx + 2x2y d = O
2.ry2+1 y
Noteque aprimeiraformaéamelhor(2.ry
2
+1)dx+ 2x
2
ydy = O
para resolver a equação, pois é um diferencial total da função
F(x, y) = x2
y 2
+ x.
(2.ry
2
+1)dx+ 2x
2
ydy = d[x
2
y
2
+x ]
ô ô
= - (x2
y 2
+ x)dx+-(x2y 2+ x)dy
ôx ôy
Então, as soluções são dadas implicitamente pela fórmula:
x
2
y
2
+ x = C
Saiba mais
O teste de exatidão é o caminho mais rápido para verificar se a equação é
realmente exata. Então,imagine que as primeiras derivadas parciais de M(x, y)
e N(x, y) sejam contínuas em um retângulo. Assim, M(x,y)dx+N(x,y)dy = O
é uma equação exata somente se a condição de compatibilidade
âM âN .
- (x,y)= - (x, y) for mantida para todo (x, y) em R.
ây âx
Exemplo:
A equação (x +3x3
sen y )dx +(x4
cos y )dy = O não é exata,
mas, se multiplicarmos pelo fator x 1
, geramos uma equação exa-
ta: (1 +3x
2
sen y)dx +(x
3
cos y)cfy = O.Assim, determinamos para
essa nova equação M = 1+3x
2
sen y e N = x
3
cos y e, ao testar a
.d l , ôM 3 2 ôNexatl ão, cone mmos que -- = x cos y = -- .
ôy ôx

As equações (x +3x3
sen y)dx + (x
4
cos y)qy = O e (1 +3x2
:
sen y)dx + (x3
cos y)qy = O se diferem por um fator dex. Dessa for-
ma, qualquersoluçãoparauma será tambémsoluçãopara a outra sem-
pre que x :;t O. Por isso, a solução para (x +3x
3
sen y )dx+(x
4
cos y)
,dy = Oé dada implicitamente por x +x3
sen y = C.
Fique atento
Você já sabe que é possível transformar uma equação diferencial que não
é exata em uma equação exata multiplicando a equação por um fator in-
tegrante adequado. Mas também existem fatores integrantes especiais. Ao
usar a forma padrão para a equação diferencial linear dy +P(x)y O(x)
dx
e reescrevendo-a na forma diferencial multiplicando por dx, teremos:
[P(x)y - O(x)]dx+ dy - 0. Éclaro que essa forma não é exata, mas podemos
J f ['(4'
deixá-la exata com a multiplicação pelo fator integrante µ (x) e . En-
tão: [µ (x)P(x)y -µ(x)O(x)]dx+ µ(x)dy O.
Note que a condição de compatibilidade é µ (x)P(x) µ '(x), o que nos leva a
generalizar a noção de um fator integrante.
Equações diferenciais de primeira
ordem e suas aplicações
Aplicações
No Tema 1, falamos sobre a importância das equações diferen-
ciais de primeira ordem para formular modelos matemáticos que
permitam solucionar problemas nas mais diversas áreas.
Agora, chegou o momento de acompanhar os diferentes mo-
delos que ajudam a representar situações do nosso cotidiano Vale
recordar que os modelos são usados em campos distintos do conhe-
cimento, da Física à Biologia, passando pela Economia e Química.
Exemplo:
No nosso primeiro modelo, vamos abordar um tema comum,
principalmente para físicos e engenheiros. Imagine que precisa-
mos descrever o perfil de temperatura durante 24 horas em um
edifício como uma função da temperatura externa, do calor gerado

no prédio e do aquecimento vindo do aquecedor, bem como o res-
friamento gerado pelo ar-condicionado. Com esse modelo, preci-
samos responder a algumas perguntas, por exemplo, o tempo que
leva para mudar a temperatura do prédio e como essa temperatura
varia nas estações do ano, como primavera e outono, quando não
há aquecimento ou ar-condicionado.
Ainda temos que responder sobre a variação de temperatura no
verão, quando o ar-condicionado está ligado, e também no inver-
no, quando é usado o aquecedor com maior frequência.
Neste caso, a análise comportamental é o método natural para
montar o modelo de temperatura. Para tanto, devemos considerar
que T(t) representa a temperatura no instante t e ver o edifício
como um único compartimento. Assim, a taxa de mudança na
temperatura é gerada por fatores que provocam ou dissipam calor.
Entre os fatores, vamos levar em conta o calor produzido por
pessoas, lâmpadas e máquinas, que levam a um aumento indicado
por H(t).
Outro fator importante é o aquecimento ou resfriamento for-
necido pelo aquecedor e ar-condicionado, respectivamente, que
podem ser representados por U(t).
Ao multiplicar as taxas de aquecimento adicional ou do ar-
-condicionado pela capacidade de calor do prédio, geralmente
expressas em termos de energia por unidade de tempo, também
podemos expressá-las em temperatura por unidade de tempo.
O último fator que devemos considerar é o efeito da tempera-
tura externa M(t) sobre a temperatura interna do edifício. Tal fator
pode ter seu modelo feito a partir da lei do resfriamento de Newton,
que diz que a taxa de mudança na temperatura T(t) é proporcional
à diferença entre temperatura externa M(t) e interna T(t). Assim,
a taxa de mudança na temperatura do edificio é: K[M(t) - T(t)],
onde a constante positiva K depende do número de portas e janelas
do prédio, bem como do seu tipo de isolamento, ou seja, das suas
propriedades físicas. Assim, se a temperatura externa for maior que
a interna M(t) - T(t) > O, existe um aumento provocado por M(t).
Mas, se a temperatura externa for menor que a interna, M(t) -
T(t) < O, a temperatura diminui.
Concluímos então que:
dT = K [M(t) - T(t)]+ H(t)+U(t)
dt

Note que a taxa de aquecimento adicional H(t) é sempre não
negativa, pois na situação mais crítica não teríamos pessoas nem
máquinas, assim H(t) seria nulo. Já U(t) é positiva para o aque-
cimento causado pelo aquecedor e negativa para o resfriamento
gerado pelo uso do ar-condicionado.
Se adotássemos um modelo mais detalhado, que envolvesse
diversas variáveis e não somente as três citadas anteriormente, te-
ríamos que descrever diferentes temperaturas de várias salas.
A equação dT = K [M (t)- T(t)]+ H (t) + U(t) é linear e po-
dt dT
demos reescrevê-la na forma padrão: dt(t) +P(t)T(t) = Q(t),
onde P(t):= K , Q(t):= KM(t)+ H(t)+ U(t)
Assim, o fator integrante é µ,(t) = exp(f K dt) = eK'.
~ dT
Para resolver a equaçao dt(t) +P(t)T (t) = Q(t), temos que
multiplicar cada lado por eK' e integrar:
eK' dT (t)+ KeK'T(t) = eK'O(t)
dt -
eK'T(t) = JeK'Q(t)dt+ C
Ao resolver T(t), concluímos:
= e- K, {JeK'[KM(t)+ H (t)+U(t)]dt+C}
Exemplo:
Na segunda aplicação, vamos buscar um modelo para a mecâni-
ca clássica que seja firmado nas leis do movimento de Newton. Que
tal recordar essas leis? As três leis do movimento de Newton são:
1. Sempre que um corpo não está sujeito a uma força externa
resultante, ele está em repouso.
2. Se o corpo está sujeito a uma ou mais forças externas, a taxa de
mudança por tempo da quantidade de movimento do corpo é
igual à soma vetorial das forças externas que atuam sobre ela.

3. Por fim, quando um corpo interage com outro corpo, a
força do primeiro sobre o segundo é igual em magnitude,
mas oposta em sentido à força do segundo corpo sobre o
pnme1ro.
Depois de recordar as leis essenciais para o estudo do mo-
vimento dos corpos, vamos imaginar um corpo sem nenhuma
perturbação que se move com uma velocidade constante. Pela se-
gunda lei de Newton, podemos formular equações do movimento
para o corpo:
dp
-= F (t,x, v)
dt
onde F(t, x, v) é a força resultante sobre o corpo no instante t, na
posição x e com velocidade v. A quantidade de movimento do cor-
po no instante t é representada por p(t) e é o produto da massa do
corpo por sua velocidade:
p(t) = mv(t)
Assim, expressamos a segunda lei de Newton como:
dv
m-= ma = F(t,x, v)
dt
onde a = dvldt é a aceleração do corpo no instante t.
Geralmente, substituímos v = dxldt para a velocidade em
m: = ma = F(t, x, v) e obtemos uma equação diferencial de se-
gunda ordem na variável dependente x.
No entanto, vamos trabalhar situações nas quais F não depen-
da da variável x. Assim podemos entendê-la como uma equação
de primeira ordem:
dv
m-= F(t, v) em v(t)
dt
Fique atento
As leisdo movimento de Newton podem ser expresssas no sistema de uni-
dade norte-americano ou no internacional. Acompanhe um resumo das di-
versas unidades nesses sistemas na Tabela2.1.

Tabela 2.1 Unidades mecânicas nos sistemas de unidades
norte-americano einternacional.
Unidade Sistema norte-americano Sistema internacional
Distância Pé (ft) Metro (m)
Massa Slug Quilograma (kg)
Tempo Segundo (s) Segundo (s)
Força Libra (lb) Newton (N)
g(Terra) 32 pés/s' 9,81 m/s'
Fonte: Nagle,Saffe Snider (2012,p. 82).
Saiba mais
A mecânica clássica ou newtoniana é reconhecida por trabalhar com o mo-
vimento de objetos comuns, isto é, aqueles considerados grandes em com-
paração a um átomo e que se movem lentamente quando comparados à
velocidade da luz.
Exemplo:
Um grupo de paraquedistas está ansioso para dar o primeiro
salto. Por isso, assim que autorizado, o primeiro da fila, cuja mas-
sa é de 75 kg, saltou a 4.000 m acima do solo e caiu sob a influên-
cia da gravidade.
Vamos considerar que a força gravitacional é constante e a força
decorrente da resistência do ar é proporcional à velocidade do para-
quedista, com a constante de proporcionalidade b1
= 15 N · s/m com
o paraquedas fechado e b2
= 105 N · s/m para o paraquedas aberto.
Caso o paraquedas não abra até um minuto após o salto do
helicóptero, podemos descobrir em quantos segundos ele atingirá
o solo. Para tal devemos, em primeiro lugar, ter em mente que só
nos interessa quando o paraquedista atingirá o solo e não onde.
Por isso, vamos considerar apenas o componente vertical de sua
descida. Portanto, usaremos duas equações, uma para descrever o
movimento antes que o paraquedas abra e a segunda depois que
estiver aberto.
Então, v0
= O, m = 75 kg, b =b1
= 15 N • s/m e g = 9,81 rn/s2
,
consideramos x1
(t) a distância que o paraquedista caiu em t s, e v1

= dx/ dt substituindo nas equações v(t) = :g+(v0- :g)e-b,tme
x(t) = mg t +!:?:[v0
- mg )o-e-btlm), teremos:
b b b
V (t) = (75)(9,81)(1- e-(15/75)1)
1
15
= (49,05)(1- e-0·2
')
( )
- (75)(9,81) (75)2(9,81)( -(15175)1)X t -----[- - - - - 1-e1
15 (15)2
= 49,O5t- 245,25(1 - e-o,2
')
Após um minuto, quando t = 60, o paraquedista está caindo na
velocidade:
v/6O) = (49,O5)(1-e-o.2
croJ) = 49,05 m/s
e terá caído x/6O) = (49,05)(60) - (245,25)(1- e-0.2
C6
ºl) =
2.697,75 m
Atenção: arredondamos as respostas para duas casas decimais!
Mas você deve estar se perguntando: e quando o paraquedas
abre? Neste caso, o paraquedista está a 4.000 - 2.697,75 m ou
1.302,25 m acima do solo em uma velocidade de 49,05 m/s.
Podemos assim determinar a equação do movimento após o
paraquedas abrir considerando que x2
(T) indica a posição do pa-
raquedista T segundos após a abertura (de modo que T = t - 60),
usando x/O) = Oem x1(6O)
Também devemos levar em conta que a velocidade inicial do
paraquedista após o equipamento abrir é a mesma que a velocida-
de final antes que ele se abra, isto é: x'/O) = x(60) = 49,05 m/s.
Assim, como as forças que agem sobre o paraquedista são as
mesmas que atuam sobre o objeto, usamos novamente as equa-
ções v(t) = mg + [vo- mg )e-b,tm e x(t)= mg t + m[vo- mg )
b b b b b
(1 - e-btlm)_
Dados v0
= 49,05, m = 75, b = b2
= 105 e g = 9,81 , logo:
X (T)= (75)(9,8l)T +~[49 05 - (75)(9,81)]o - e-(105/75)T)
2
105 105 ' 105
= 7,01T + 3O,O3(1- e- 1'4
r)

Já para determinar quando o paraquedista atingirá o solo, de-
finimos x2
(T) = 1.302,25 a altura em que ele estava acima do solo
com o paraquedas aberto, o que gera:
7,01T +30,03- 30,03e- 1
•
4
r = 1.302,25
T -4,28e- 1
·
4
r -1 81,49 = O
Note que não podemos resolver a equação acima explicitamen-
te para T. Mas e t ,4
r é muita pequena para T próximo de 181,49.
Assim, ignoramos o termo exponencial e obtemos T = 181,49.
Concluímos que o paraquedista atingirá o solo 181,49 s após seu
paraquedas abrir ou 241,49 s após saltar do helicóptero.
Também concluímos que a velocidade do paraquedista no im-
pacto é:
mg = (75)(9,81) = 7 01 m/s
b2
105 '
Essa velocidade também é a limite para sua queda com o pa-
raquedas aberto.
Em outra aplicação de equações diferenciais de primeira or-
dem, vamos considerar os circuitos elétricos simples (resistor,
capacitar ou indutor) que têm em comum o fato de possuir uma
fonte de tensão.
Antes de mais nada, precisamos relembrar os princípios físicos
que envolvem os circuitos elétricos:
• Lei da corrente de Kirchhoff- diz que a soma algébrica das
correntes que fluem para qualquer ponto de junção deverá ser
zero. Essa lei indica que a mesma corrente passa por todos os
elementos em cada circuito.
• Lei da tensão de Kirchhoff- determina que a soma algébri-
ca das mudanças instantâneas no potencial, ou seja, as quedas
de voltagem, em torno de qualquer laço fechado deverá ser
zero. Para aplicá-la é fundamental saber a queda de tensão
por cada elemento do circuito.
É importante saber que a queda de tensão ER por meio de
um resistor é proporcional à corrente I que passa pelo resistor:
ER= RI, sendo a resistência a constante de proporcionalidade R.

Ao usar a lei de Faraday e a lei de Lenz, podemos demonstrar
que a tensão ELem um indutor é proporcional à taxa instantânea
dI
de mudança da corrente J: EL = L - .
dt
Aqui, a constante de proporcionalidade L é chamada de
indutância.
Já a queda de tensão Ec através de um capacitor é proporcio-
nal à carga elétrica q no capacitor: Ec = ...!..q e C é a constantede
.. . ecapac1tancia.
É importante ter em mente que uma fonte de tensão adiciona
tensão ou energia potencial ao circuito. Assim, se considerarmos
que E(t) indica a voltagem fornecida ao circuito no instante t, a
aplicação da lei da tensão de Kirchhoff ao circuito RL(um circuito
contendo apenas resistência e indutância) gera: EL+ER=E(t).
Ao substituir na equação citada as expressões EL e ER, temos:
L DI + RI = E(t)
dt
Trata-se de uma equação linear que, ao ser escrita na forma
padrão, nos dá o fator integrante:
J(t) = e-R11L[JeR11LE~t)dt+ K j
Quando falamos em circuito RL, geralmente a corrente inicial
J(O) é dada como condição inicial.
Quadro 2.1 Símbolos e unidades usadas em circuitos elétricos.
Quantidade
Fonte de tensão
Resistência
Indutância
Capacitância
Carga
Corrente
Letra
representativa
E
R
L
e
q
Fonte:Nagle, Saff eSnider (2012, p. 90).
Unidades
voltM
ohm(O)
henry (H)
farad (F)
coulomb (C)
ampere (A)
Fique atento
Para trabalhar com
circuitos elétricos é
importante que você
conheça os símbolos
e as unidades mais
usados. Acompanhe no
Quadro 2.1 :
Símbolo
representativo
-O- Gerador
-irBateria
-H-

Exemplo:
Imagine um circuito RL com um resistor de 1.0 e um indutor
de 0,01 H alimentado por uma tensão E(t) = sen l00t V Como a
corrente inicial no indutor é zero, determine as tensões subsequen-
tes no resistor e no indutor e também a corrente.
A solução se dá substituindo na equação
J(t) = e- 100, [Je,oo, sen l OOt dt + K)
0,01
= e_100, [rnoe'
00
'(100 sen l OOt -1 00 cos l 00t) + Kl
10000 + 10000
senl OOt- cos l OOt + Ke_,00,
2
Para J(O), obtemos -1/2 + K = O, onde K = l/2 e a corrente é
I (t) = 0,5(sen 1OOt- cos lO0t + e- 1001
).
Já as tensões no indutor e no resistor são dadas por:
d]
E L(t) = L -= (0,5)(cos lOOt + sen lO0t - e- 10
º1
)
dt
Na sequência, vamos trabalhar o circuito RC (um circuito con-
tendo apenas uma resistência e capacitância). Assim, ao aplicar a
lei de tensão de Kirchhoff, obtemos: RI + q!C = E(t).
Por fim, a corrente no capacitar é a taxa de mudança de sua
carga: J = dq/dt.
Então, a equação diferencial responsável pelo circuito RC é:
Observe que a condição inicial para um capacitar é sua carga
q em t= O.
Exemplo:
Na prática, para alterar a carga inicial Q de um capacitar de C,
precisamos aplicar uma fonte de tensão constante de V por uma

resistência R. Para descrever a carga do capacitar para t > O, o pri-
meiro passo é buscar a solução geral, tendo em vista que E(t) = V
' ~ R dq + q E 1 ( ) CV K "RCe constante na equaçao - - = , ogo: q t = + e • .
dt C
Sendo assim, a solução que atende à condição inicial prescrita se dá
por: q(t) =CV+ (Q - CV)e ,fRc
Assim, a carga do capacitar muda exponencialmente de Q para
CVà medida que o tempo aumenta. Mas, se pensarmos em V= O,
a constante de tempo (o tempo exigido para a carga do capacitor
cair para 1/e vezes seu valor inicial) é RC.
Saiba mais
Você sabiaque umcapacitor é um dispositivo de armazenamento de energia
que está presente em vários tipos de circuitos elétricos? Eles são usados em
aparelhos celulares para armazenar energia elétrica da bateria enquanto o
aparelho está em um modo de recepção ocioso ou em cãmeras fotográficas
para armazenar cargas para o flash.
1. Resolva as equações:
y 'dy+yeco"senxdx= O
(x+xy' )dx+e''ydy =O
2. Resolva o problema de valor inicial
x' dy = 4x' - x- 2 ,y(l)= l
dx (x+l)(y+1)
3. Encontre a solução para o problema de valor
inicial:
dy = 2y - 2yt, y(0) = 3
dt
4. Encontre o valor de y(2) para o problema de
valor inicial a seguir:
y'+ y= .Ji+cos' x, y(l)= 4
5. Determine se as equações a seguir são
separáveis:
(xy' +3y')dy- 2xdx= O
ds = tln(s" )+ 8t2
dt
dy ye' '
dx x' +2
6. Determine se as equações a seguir são sepa-
ráveis, lineares, ambas ou nenhum dos tipos:
(t' +l)cy = yt- y
dt
3r= dr - 03
de
dx
x- +t' x = sent
dt
dx ,
- +xt= e
dt

7. Encontreasoluçãogeraldas equações aseguir: 12. Uma cerveja que estava a 35° Fficou fora do
dx , congelador por 3 minutos e aqueceu para
y- +2x= 5y 40° F, enquanto na sala a temperatura am-dy
dy senx biente era de 700 F. Qual será a temperatura
x- +3(y+x' )= - -
da cerveja se ela for deixada por 20 minutosdx x
dy - y - e'' = 0 fora do congelador?
dx 13. Um vinho tinto é trazido da adega resfriada a
xdy+2y= x 3
100Cpara uma sala com temperatura de 23°C
dx
Após 1Ominutos no novoambiente, ovinhoai-
8. Encontre a solução para o problema de valor cança a temperatura de 15° C Descubra quan-
inicial do atemperatura do vinho alcançará 18°C?
senx dy + ycosx - x senx,y(2'.:.) = 2
14. Um objeto cuja massa é de 5 kg é lançado
dx 2 do repouso 1.000 m acima do solo e deixado
cair sob a influência da gravidade. Ao consi-
9. Useaintegralindefinida para mostrarqueo fa-
derar a força causada pela resistência do ar
torintegrante para aequação diferencialpode
proporcional à velocidade do objetivo com
ser escrito por µ.(x) = exp(.(./1+ sen' t dt) e constante de proporcionalidade b = 50 N·s/m,
que a solução para o problema de valor ini- determine aequação do movimento do obje-
cial é to e quando este alcançará o solo.
15. Um circuito RC com um resistor de 10 e um
1 r 2y(x)= - µ.(s)sds+ - capacitor de 0,000001 F é alimentado por
µ.(x)• o µ.(x)
uma tensão E(t) = sen 1OOt V Se a tensão ini-
10. Resolva (l+e' y+xe' y)dx+(xe' +2)dy- 0. cial do capacitor ézero, determine as tensões
11. Prove que µ.(x, y) = xy' é um fator integrante subsequentes do resistor e do capacitor, bem
para (2y - 6x)dx +(3x - 4x'y ·)dy= O. como a corrente.
Malthus e o crescimento populacional
Você sabia que o primeiro modelo de crescimento
exponencial foi proposto pelo economista britâni-
co Thomas Malthus, em 1798? Naquela época, ele
observou que, se não ocorressem restrições am-
bientais, a população humana aumentaria numa
proporção fixa.
Assim, se N(t) é o número de pessoas decerta área
geográfica, no instante t, a hipótese de Malthus
diz que:
dN - aN
dt
onde a é uma constante.

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