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EQUAÇÕES DIFERÊNCIAISPARCIAISDOTIPO HIPERBÓLICO 2016
ÍNDICE
Introdução................................................................................................................................. 2
1 Equações Diferenciais do Tipo Hiperbólico ................................................................. 3
1.1 Métodos de Resolução das EDP ........................................................................... 3
1.1.1 Método da Integração Básica Directa............................................................ 4
1.1.2 Método de Mudança de Variáveis.................................................................. 5
1.1.3 Separação de Variáveis................................................................................... 8
2 Série de Fourier..............................................................................................................10
2.1 Funções Pares e Ímpares .....................................................................................11
2.1.1 Propriedades das Funções Pares e Ímpares .............................................12
2.2 Série de Fourier de Cossenos e de Senos ........................................................12
2.3 Equação de Uma Oscilação de Uma Corda ......................................................13
2.3.1 Solução da Equação da Onda pelo Método de Fourier............................13
Conclusão...............................................................................................................................17
Referências Bibliográficas ...................................................................................................18
Integrantes do Grupo............................................................................................................19
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
2
INTRODUÇÃO
A Matemática na sua abrangência, oferece conexões preponderantes a diversos
campos científicos. Salientando a aparição das Equações Diferenciais Parciais como
sustento de diversos problemas físicos como: Problema de mecânica de fluidos, de
sólidos-dinâmica, de elasticidade, de transferência de calor, da teoria
electromagnética, mecânica quântica, e outros.
Nas EDP de Ordem Superior aparecem as EDP Lineares Homogéneas e não
Homogéneas. No que tange as EDP de 2ª ordem eis a classificação: Hiperbólico,
Elíptico e Parabólico.
No entanto a nossa abordagem cingir-se-á, nas Equações Diferenciais Parciais de
tipo Hiperbólico, abarcando assim a demonstração e resolução da mesma, a
equação de oscilação de uma corda, condições com valores de contorno do
problema e solução da equação da corda pelos métodos de Fourier.
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
3
1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO
Dada uma EDP na forma, GFU
y
U
E
x
U
D
y
U
C
yx
U
B
x
U
A 














2
22
2
2
onde
todos os coeficientes A, B, C, D, E e F são funções que dependem das variáveis
𝑥 𝑒 𝑦 em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo; é do Tipo
Hiperbólico se, ∆= 𝐵2
− 4𝐴𝐶 > 0.
EXEMPLOS.
1. Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico
a)
𝜕2
𝑈
𝜕 𝑥2 =
𝜕2
𝑈
𝜕𝑦2
b)
𝜕2
𝑈
𝜕 𝑥2 +
𝜕2
𝑈
𝜕 𝑦2 = 0
Solução:
a)
𝜕2
𝑈
𝜕 𝑥2 =
𝜕2
𝑈
𝜕 𝑦2 =>
𝜕2
𝑈
𝜕 𝑥2 −
𝜕2
𝑈
𝜕𝑦2 = 0 => 𝐴 = 1, 𝐵 = 0 ˄ 𝐶 = −1
𝐵2
− 4𝐴𝐶 = 02
− 4 ∗ 1 ∗ (−1) = 4 > 0 , é uma equação diferencial
hiperbólica.
b)
𝜕2
𝑈
𝜕 𝑥2 +
𝜕2
𝑈
𝜕 𝑦2 = 0 => 𝐴 = 1, 𝐵 = 0 ˄ 𝐶 = 1
𝐵2
− 4𝐴𝐶 = 02
− 4 ∗ 1 ∗ 1 = −4 < 0 ,não é uma equação diferencial
hiperbólica.
EXERCÍCIOS.
1-Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico
𝑎)3
𝜕2
𝑈
𝜕𝑥2
=
𝜕𝑈
𝜕𝑦
b)
𝜕𝑈
𝜕𝑥
=
𝜕𝑈
𝜕𝑦
c) 𝑥2 𝜕2
𝑈
𝜕 𝑥2 +
𝜕2
𝑈
𝜕 𝑦2 = 0
1.1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DAS EDP
Há vários métodos que podem aplicar-se para encontrar as soluções particulares de
uma equação diferencial.
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
4
1.1.1 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO BÁSICA DIRECTA
No método de integração básica directa procede-se como nas EDO´s (Equações
Diferencias Ordinárias) exactas, quando integramos em ordem a uma das variáveis,
consideramos as outras como constantes, ou seja, considerando uma função
arbitrária nas outras variáveis como uma constante.
EXEMPLOS.
1. Sabendo que U é uma função de x e de y, determinar as soluções gerais das
equações diferenciais parciais seguintes:
a) 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥 = 0
b) 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥𝑦 = 0
Solução:
a) 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥 = 0
𝜕𝑈
𝜕𝑥
= 0, Integrando ambos os membros em ordem a x, como U é uma função de x e
y, então considera-se como constante uma função em ordem a y.
Logo vem:
𝑈 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑦), que é neste caso a solução geral.
b) 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥𝑦 = 0
Integrando primeiro em ordem a 𝑥 vem 𝑈 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 ( 𝑦) e integrando agora em
ordem a y temos como solução geral
𝑈( 𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑓( 𝑦) 𝑑𝑦 + ℎ(𝑥).
EXERCÍCIOS
Obter as soluções gerais das equações diferenciais parciais Seguintes:
a. 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥𝑥 = 3
b. 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑦
c. 𝑈( 𝑥, 𝑦) 𝑥𝑦 = 8𝑥𝑦3
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
5
1.1.2 MÉTODO DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA
Para a EDP 𝐴( 𝑥, 𝑦) 𝑈𝑥𝑥 + 𝐵( 𝑥, 𝑦) 𝑈𝑥𝑦 + 𝐶( 𝑥, 𝑦) 𝑈 𝑦𝑦 = 0 Definimos a equação
diferencial característica associada como:
𝐴( 𝑥, 𝑦)(𝑑𝑥)2
+ 𝐵( 𝑥, 𝑦)( 𝑑𝑥)( 𝑑𝑦) + 𝐶( 𝑥, 𝑦)( 𝑑𝑦)2
= 0 As curvas características
associadas são as soluções da equação diferencial (ordinária) característica.
Exemplo de equações características de uma EDP A equação 𝑈𝑥𝑥 − 𝑈 𝑦𝑦 = 0
definida em 2
 ,tem a equação característica (𝑑𝑥)2
− ( 𝑑𝑦)2
= 0
A solução desta EDO característica, fornece duas curvas características:
𝑥 + 𝑦 = 𝑐1
𝑥 − 𝑦 = 𝑐2
É muito útil realizar mudanças de variáveis para simplificar uma EDP com o objectivo
de obter formas mais simples para resolver esta equação parcial e o mecanismo que
oferece mudança de variáveis para simplificar uma EDP é a equação característica
associada.
Dada uma EDP de segunda ordem (ou equação de Euler)
α𝑍 𝑥𝑥 + 𝛽𝑍 𝑥𝑦 + γ𝑍 𝑦𝑦=0
Onde ∝, 𝛽 𝑒 𝛾 são números reais. Usando as mudanças de variáveis:
𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑒 𝑣 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 e aplicando a regra da cadeia poderemos escrever :
𝜕𝑍
𝜕𝑥
=
𝜕𝑍
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑥
e
𝜕𝑍
𝜕𝑦
=
𝜕𝑍
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
E assim temos:
𝜕𝑍
𝜕𝑥
= 𝑎
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑐
𝜕𝑍
𝜕𝑣
𝑒
𝜕𝑍
𝜕𝑦
= 𝑏
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑑
𝜕𝑍
𝜕𝑣
Neste caso a solução geral é dada por 𝑍 (𝑢, 𝑣) = 𝑓 (𝑢) + 𝑔 (𝑣)
De forma análoga temos:
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
(𝑎
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑐
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑢
(𝑎
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑐
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑣
(𝑎
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑐
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕𝑣
𝜕𝑥
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
6
Assim:
𝜕2
𝑍
𝜕 𝑥2 = 𝑎 (𝑎
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢2 + 𝑐
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
) + 𝑐(𝑎
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+ 𝑐
𝜕2
𝑍
𝜕 𝑣2 )
Ou seja:
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥2
= 𝑎2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢2
+ 2𝑎𝑐
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+ 𝑐2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑣2
Ou em uma notação mais simples:
𝑍 𝑥𝑥 = 𝑎2
𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑎𝑐𝑍 𝑢𝑣 + 𝑐2
𝑍 𝑣𝑣 (1)
Analogamente:
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑍
𝜕𝑦
) =
𝜕
𝜕𝑥
(𝑏
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑑
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑢
(𝑏
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑑
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑣
(𝑏
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑑
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 𝑎𝑏
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢2
+ 𝑎𝑑
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+ 𝑏𝑐
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+ 𝑐𝑑
𝜕2
𝑍
𝜕𝑣2
)
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 𝑎𝑏
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢2
+ (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+ 𝑐𝑑
𝜕2
𝑍
𝜕𝑣2
)
Ou mais simplesmente:
𝑍 𝑥𝑦 = 𝑎𝑏𝑍 𝑢𝑢 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑍 𝑢𝑣 + 𝑐𝑑𝑍 𝑣𝑣 (2)
Do mesmo modo:
𝜕2
𝑍
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑍
𝜕𝑦
) =
𝜕
𝜕𝑦
(𝑏
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑑
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕2
𝑍
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑢
(𝑏
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑑
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑣
(𝑏
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+ 𝑑
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕2
𝑍
𝜕𝑦2
= 𝑏(𝑏
𝜕2
𝜕𝑢2
+ 𝑑
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
) + 𝑑(𝑏
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+ 𝑑
𝜕2
𝑍
𝜕𝑣2
)
𝜕2
𝑍
𝜕𝑦2
= 𝑏2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢2
+ 𝑏𝑑
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+ 𝑏𝑑
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+ 𝑑2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑣2
Ou seja:
𝜕2
𝑍
𝜕𝑦2
= 𝑏2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢2
+ 2𝑏𝑑
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+ 𝑑2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑣2
Ou ainda vem:
𝑍 𝑦𝑦 = 𝑏2
𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑏𝑑𝑍 𝑢𝑣 + 𝑑2
𝑍 𝑣𝑣 (3)
EXEMPLO.
Determinar a solução geral para a equação: 𝑍 𝑥𝑥 − 𝑍 𝑦𝑦 = 0
Solução:
𝑍 𝑥𝑥 − 𝑍 𝑦𝑦 = 0
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
7
Determinando primeiro a equação característica ordinária vem:
( 𝑑𝑥)2
− ( 𝑑𝑦)2
= 0 ⇒ (𝑑𝑥 − 𝑑𝑦)( 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦) = 0
𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0 ⋁ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0
Integrando cada uma das equações temos
𝑥 − 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑦 = 𝑐2, fazendo 𝑢 = 𝑥 − 𝑦 𝑒 𝑣 = 𝑥 + 𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 1 ,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −1
𝜕𝑣
𝜕𝑥
= 1 ,
𝜕𝑣
𝜕𝑦
= 1
Fazendo também 𝑍 = 𝑢𝑣.
Então:
𝜕𝑍
𝜕𝑥
=
𝜕𝑍
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑍
𝜕𝑥
) =
𝜕
𝜕𝑥
(
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥2
=
𝜕
𝜕𝑢
(
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕
𝜕𝑣
(
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥2
=
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢2
+
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+
𝜕2
𝑍
𝜕𝑣2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑥2
=
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢2
+ 2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+
𝜕2
𝑍
𝜕𝑣2
Ou simplesmente:
𝑍 𝑥𝑥 = 𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑍 𝑢𝑣 + 𝑍 𝑣𝑣
Analogamente:
𝜕𝑍
𝜕𝑦
=
𝜕𝑍
𝜕𝑢
𝜕𝑍
𝜕𝑦
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
𝜕𝑍
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
𝜕2
𝑍
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑦
(
𝜕𝑍
𝜕𝑦
) =
𝜕
𝜕𝑦
(−
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕2
𝑍
𝜕𝑦2
=
𝜕
𝜕𝑢
(−
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕
𝜕𝑣
(−
𝜕𝑍
𝜕𝑢
+
𝜕𝑍
𝜕𝑣
)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕2
𝑍
𝜕𝑦2
=
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢2
−
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
−
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+ 𝑑2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑣2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑦2
=
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢2
− 2
𝜕2
𝑍
𝜕𝑢𝜕𝑣
+
𝜕2
𝑍
𝜕𝑣2
Ou apenas:
𝑍 𝑦𝑦 = 𝑍 𝑢𝑢 − 2𝑍 𝑢𝑣 + 𝑍 𝑣𝑣
Substituindo as derivadas de segunda ordem na equação dada temos:
𝑍 𝑥𝑥 − 𝑍 𝑦𝑦 = 0
𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑍 𝑢𝑣 + 𝑍 𝑣𝑣 − (𝑍 𝑢𝑢 − 2𝑍 𝑢𝑣 + 𝑍 𝑣𝑣 ) = 0
𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑍 𝑢𝑣 + 𝑍 𝑣𝑣 − 𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑍 𝑢𝑣 − 𝑍 𝑣𝑣 = 0 ⇒ 4𝑍 𝑢𝑣 = 0
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
8
𝑍 𝑢𝑣 = 0, Aplicando o método da integração básica directa temos que:
𝑍(𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑔(𝑣) que é solução da equação 𝑍 𝑢𝑣 = 0
Com as variáveis originais obtemos a solução:
𝑍 ( 𝑥, 𝑦) = 𝑓( 𝑥 − 𝑦) + 𝑔( 𝑥 + 𝑦) que é a solução geral.
EXERCÍCIOS.
Usando as transformações indicadas, resolver a seguinte equação:
a) 0456  yyxyxx ZZZ
Pelas condições:
yxvyxu 2;34 
1.1.3 SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS
Quando se busca uma solução particular em forma de um produto de uma função de
x por uma função de y, como:
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦)
As vezes é possível converter uma equação em derivadas parciais, linear com duas
variáveis em uma equação ordinária. Para fazê-lo notemos que:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑋´𝑦,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑌´𝑥
E que
𝜕2
𝑢
𝜕 𝑥2 = 𝑋´´𝑦,
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2 = 𝑌´´𝑥
EXEMPLOS.
Determine:
a)
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2 = 4
𝜕𝑢
𝜕𝑦
b) 𝑈𝑥 − 𝑈 𝑦 = 0
Solução:
a)
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2 = 4
𝜕𝑢
𝜕𝑦
 𝑋´´𝑦 = 4𝑌´𝑥 
𝑋´´
4𝑥
=
𝑌´
𝑦
Visto que o membro esquerdo é independente de y e o membro direito também é
independente de x, chegamos a conclusão que ambos os membros são
independentes de x como de y. Por outras palavras cada lado da equação deve ser
uma constante. Na prática se costuma escrever esta constante de separação como
 ou 
Desta forma distinguimos os três casos seguintes:
CASO I
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
9
Se  > 0 as duas igualdades
𝑋´´
4𝑥
=
𝑌´
𝑦
=  , então temos:
𝑋´´ = 4𝑥𝜆 ˄ 𝑌´ = 𝑦𝜆 ⇒ 𝑋´´ − 4𝑥𝜆 = 0 ˄ 𝑌´ − 𝑦𝜆 = 0, assim temos as Respectivas
equaçõesauxiliaresseguintes:
𝑟2
− 4𝜆 = 0˄ 𝑟− 𝜆 = 0, onde para 𝑟 = 2 x e para 𝑟 =  𝑦
Dessa forma temos as soluções seguintes:
𝑋 = 𝑐1 cosh2 x + 𝑐2 sinh2 x ˄ Y = c3ℯ  𝑦
, assim uma solução particular da EDP
dada é:
U =XY
𝑈 = (𝑐1 cosh2 x + 𝑐2 sinh 2 x )c3ℯ  𝑦
 𝑈 = 𝐴1ℯ  𝑦
cosh2 x +
𝐵1ℯ  𝑦
sinh 2 x , onde 𝐴1 = 𝑐1 𝑐3˄ B1 = c2c3
CASO II
Se −  < 0, as igualdades
𝑋´´
4𝑥
=
𝑌´
𝑦
= −𝜆 ⇒ 𝑋´´ + 4𝑥𝜆 = 0 ˄ 𝑌´ + 𝑦𝜆 = 0 onde para 𝑟 = ±2𝑖 x e para y
temos que 𝑟 =  𝑦, assim as soluções respectivas são:
𝑋 = 𝑐4 𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝑖 x + 𝑐5 𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑖 x ˄ 𝑌 = 𝑐6ℯ−  𝑦
, a solução particular
correspondente é:
𝑈 = (𝑐4 cosh2𝑖 x + 𝑐5 sinh 2𝑖 x )c6ℯ−  𝑦
,
𝑈 = 𝐴2ℯ−  𝑦
cosh2𝑖 x + 𝐵2ℯ−  𝑦
sinh 2𝑖 x , onde𝐴2 = 𝑐4 𝑐6˄ B2 = c5c6 e 𝑖
representa a unidade imaginária.
CASO III
Se  =0, as igualdades
𝑋´´ = 0 ˄ Y´ = 0 𝑋 = 𝑐7 𝑥 + 𝑐8 ˄ y = 𝑐9  𝑢 = 𝐴3 𝑥 + 𝐵3
onde𝐴3 = 𝑐7 𝑐9 ˄ B3 = c8c9
PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO
Se 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, …, 𝑢 𝑘, são soluções particulares de uma equação diferencial em
derivadas parciais linear e homogénea, então a combinação linear 𝑈 = 𝑐1 𝑢1 + 𝑐2 𝑢2 +
𝑐3 𝑢3 + ⋯+ 𝑐 𝑘 𝑢 𝑘 também é uma solução, em que 𝑐 𝑘 são constantes e 0k
Assim é também solução da equação anterior a expressão:
𝑈 = 𝐴1ℯ  𝑦
cosh2 x + 𝐵1ℯ  𝑦
sinh 2 x + 𝐴2ℯ−  𝑦
cosh2𝑖 x
+ 𝐵2ℯ−  𝑦
sinh 2𝑖 x +𝐴3 𝑥 + 𝐵3
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
10
𝑏) 𝑢 𝑥 − 𝑢 𝑦 = 0 ⇒
𝜕𝑢
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 0 ⇒ 𝑋´𝑦 − 𝑌´𝑥 = 0 ⇒ 𝑋´𝑦 = 𝑌´𝑥
⇒
𝑋´
𝑥
=
𝑌´
𝑦
𝑋´
𝑥
=
𝑌´
𝑦
= ±𝜆2
, então
𝑋´ = ±𝑥𝜆2
˄ 𝑌´ = ±𝑥𝜆2
𝑋´ = ±𝜆2
= 0 ˄ 𝑌´ = ±𝜆2
= 0 pelas equações auxiliares 𝑟 ± 𝜆2
= 0 temos que
𝑟 = ±𝜆2
, então vem:
X=𝑐1ℯ±𝜆2
𝑥
e Y=𝑐2ℯ±𝜆2
𝑦
, assim a solução produto
u(x,y) = XY
𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑐1ℯ±𝜆2
𝑥
∙ 𝑐2ℯ±𝜆2
𝑦
𝑢( 𝑥, 𝑦) = 𝐴ℯ±𝜆2 ( 𝑥+𝑦)
= Aℯ 𝑘( 𝑥+𝑦)
, k = ±𝜆2
2 SÉRIE DE FOURIER
A série de Fourier de uma função f definida em um intervalo(−𝑝, 𝑝) é
𝑓( 𝑥) =
𝑎0
2
+ ∑ (𝑎 𝑛 cos
𝑛𝜋𝑥
𝑝
+ 𝑏 𝑛 sen
𝑛𝜋𝑥
𝑝
)∞
𝑛=1 , onde: 𝑎0 =
1
𝑝
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑝
−𝑝
, 𝑎 𝑛 =
1
𝑝
∫ 𝑓(𝑥)cos
𝑛𝜋𝑥
𝑝
𝑑𝑥
𝑝
−𝑝
, 𝑏 𝑛 =
1
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥)sen
𝑛𝜋𝑥
𝑝
𝑑𝑥; 𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑝
−𝑝
𝑛 = 0,1,2,3…
EXEMPLOS.
Determine as séries de Fourier das seguintes funções no intervalo dado:
𝑎) 𝑓( 𝑥) = {
0,−𝜋 < 𝑥 < 0
1, 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
; 𝑏) 𝑓( 𝑥) = {
−1, −1 < 𝑥 < 0
𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1
; 𝑐) 𝑓( 𝑥) = {
−𝑥, −2 ≤ 𝑥 < 0
1, 0 ≤ 𝑥 < 2
Solução:
𝑎) 𝑓( 𝑥) = {
0,−𝜋 < 𝑥 < 0
1, 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
A série de Fourier de função f (x) é dada por:
𝑓( 𝑥) =
𝑎0
2
+ ∑ (𝑎 𝑛 cos
𝑛𝜋𝑥
𝑝
+ 𝑏 𝑛 sen
𝑛𝜋𝑥
𝑝
)∞
𝑛=1 ,
Determinando os coeficientes temos:
𝑎0 =
1
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑝
–𝑝
, Neste caso 𝑝 = 𝜋 𝑎0 =
1
𝜋
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝜋
∫ 𝑑𝑥 =
𝜋
0
𝜋
–𝜋
1
𝑎 𝑛 =
1
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥)cos
𝑛𝜋𝑥
𝑝
𝑑𝑥
𝑝
–𝑝
=
1
𝜋
∫ 𝑓( 𝑥)cos
𝑛𝜋𝑥
𝜋
𝑑𝑥
𝜋
–𝜋
𝑎 𝑛 =
1
𝜋
∫ cos
𝑛𝜋𝑥
𝜋
𝑑𝑥
𝜋
0
=
1
𝜋
∫ cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
0
=
1
𝜋
∫ cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝜋
0
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
11
𝑏 𝑛 =
1
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥)sen
𝑛𝜋𝑥
𝑝
𝑑𝑥
𝑝
–𝑝
=
1
𝜋
∫ 𝑓( 𝑥)sin
𝑛𝜋𝑥
𝜋
𝑑𝑥
𝜋
–𝜋
𝑏 𝑛 =
1
𝜋
∫ sen( 𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
𝑛𝜋
𝜋
0
[cos𝑛𝑥]
𝜋
0
𝑏 𝑛 =
1
𝑛𝜋
(1 − cos 𝑛𝜋) =
1
𝑛𝜋
[1 − (−1) 𝑛] Então a série de Fourier para a função dada
é: 𝑓( 𝑥) =
1
2
+
1
𝜋
∑
[1−(−1) 𝑛]
𝑛
∞
𝑛=1 sen 𝑛𝑥
𝑏)𝑓( 𝑥) = {
−1, −1 < 𝑥 < 0
𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1
𝑎0 =
1
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑝
–𝑝
= ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
1
–1
= − ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑑𝑥
1
0
0
–1
= −[ 𝑥]
0
−1
+
1
2
[ 𝑥2]
1
0
𝑎0 = 1 +
1
2
=
3
2
𝑎 𝑛 =
1
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥)cos
𝑛𝜋𝑥
𝑝
𝑑𝑥
𝑝
–𝑝
= ∫ 𝑓( 𝑥)cos 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥
1
0
0
–1
1
–1
,
Integrando por partes a segunda parcela temos:
𝑎 𝑛 =
1
𝑛𝜋
[ 𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝜋𝑥)]
0
−1
+ [
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥
𝑛𝜋
+
𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥
( 𝑛𝜋)2
]
1
0
=
1
𝑛2 𝜋2
[(−1) 𝑛
− 1]
𝑏 𝑛 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 = − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 +
0
−1
1
−1
∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥
−1
1
𝑏 𝑛 =
1
𝑛𝜋
[ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥] 0
−1
+ [
𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥
( 𝑛𝜋)2
−
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥
𝑛𝜋
]
1
0
𝑏 𝑛 = −
1
𝑛𝜋
, logo a série correspondente é:
𝑓( 𝑥) =
3
4
+ ∑
1
𝑛2 𝜋2
∞
𝑛=1
[(−1) 𝑛
− 1] 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥 −
1
𝑛𝜋
𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥
EXERCÍCIOS.
1- Determine a série de Fourier de cada função no intervalo dado:
𝑎) 𝑓( 𝑥) = {
−1, −𝜋 < 𝑥 < 0
1, 0 ≤ 𝑥 < 𝜋
𝑏)𝑓( 𝑥) = {
0, −3 < 𝑥 < −1
1, −1 < 𝑥 < 1
0, 1 < 𝑥 < 3
2.1 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
A função seno e co-seno são funções impar e par respectivamente, ou seja, uma
função é par se 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) e é ímpar se − 𝑓( 𝑥) = 𝑓(−𝑥).
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
12
Vemos que cos(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(−𝑥)
2.1.1 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES
a) O produto de duas funções pares é par
b) O produto de duas funções ímpares é par
c) O produto de uma função impar por uma função par é uma função
ímpar
d) A soma ou diferença de duas funções pares é par
e) A soma ou diferença de duas funções ímpares é ímpar
f) Se f é par, ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
0
𝑎
−𝑎
g) Se é ímpar, ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 0
𝑎
−𝑎
2.2 SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS E DE SENOS
I) A série de Fourier de uma função par num intervalo (-p, p) é a série de
Co-senos 𝑓( 𝑥) =
𝑎0
2
+ ∑ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝑝
∞
𝑛=1
Em que 𝑎0 =
2
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥)
𝑝
0
𝑑𝑥 e 𝑎 𝑛 =
2
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑥
𝑝
𝑝
0
𝑑𝑥
II) A série de Fourier de uma função ímpar num intervalo (-p, p) é a série de senos:
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑝
∞
𝑛=1 , onde𝑏 𝑛 =
2
𝑝
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑥
𝑝
𝑝
0
𝑑𝑥
EXEMPLOS.
1. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções:
a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥, −2 < 𝑥 < 2
b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
, −1 < 𝑥 < 1
Solução:
a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥, −2 < 𝑥 < 2
Verificando primeiro se a função é par ou ímpar vem:
𝑓 (−𝑥) ≠ 𝑓 ( 𝑥), mas 𝑓 (−𝑥) = −𝑓 ( 𝑥), logo a função é ímpar, assim podemos
desenvolver em série de Fourier de senos.
𝑓( 𝑥) = ∑ 𝑏 𝑛
∞
𝑛=1 sen 𝑛𝜋𝑥
𝑃
,
𝑏 𝑛 =
2
𝑃
∫ 𝑓( 𝑥)sen
𝑛𝜋𝑥
𝑃
𝑑𝑥
𝑝
0
𝑏 𝑛 =
2
2
∫ 𝑥 sen
𝑛𝜋𝑥
𝑃
𝑑𝑥
2
0
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
13
𝑏 𝑛 =
2
2
∫ 𝑥 sen
𝑛𝜋𝑥
𝑃
𝑑𝑥
2
0
=[
4
𝑛2 𝜋2 sen
𝑛𝜋𝑥
2
−
2
𝑛𝜋
𝑥]0
2
𝑏 𝑛 =
4
𝑛𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋, a série correspondente para este caso é:
𝑓( 𝑥) =
4
𝜋
∑ 𝑎 𝑛
1
𝑛
(𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑥
2
∞
𝑛=1 ,
b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
, −1 < 𝑥 < 1
f(−𝑥) = f( 𝑥) = 𝑥2
, Conclui-se que a função é par.
Por ser par, o desenvolvimento desta função será mediante a série de Fourier de co-
seno.
𝑓( 𝑥) =
𝑎 𝑛
2
+ ∑ 𝑎 𝑛
∞
𝑛=1
cos
𝑛𝜋𝑥
𝑃
𝑎0 =
2
𝑃
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑝
0
𝑎0 = 2 ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
𝑝
0
=
2
3
[ 𝑥3 ]0
2
=
16
3
𝑎 𝑛 =
2
𝑃
∫ 𝑓( 𝑥)cos
𝑛𝜋𝑥
𝑃
𝑑𝑥
𝑝
0
𝑎 𝑛 = 2 ∫ 𝑥2
cos𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥
𝑝
0
= [
2
𝑛2
𝜋2 cos 𝑛𝜋𝑥+(
𝑥2
𝑛𝜋
−
2
𝑛3
𝜋3 ) 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥] 0
1
𝑎 𝑛 =
4
𝑛2 𝜋2
cos 𝑛𝜋
𝑓( 𝑥) =
8
3
+
4
𝜋2
∑
1
𝜋2
∞
𝑛=1
cos 𝑛𝜋 cos 𝑛𝜋
EXERCÍCIOS.
Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções:
a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥, − 3 < 𝑥 < 3
b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 1, − 1 < 𝑥 < 1
c) 𝑓( 𝑥) = cos 𝑥 , −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
d) 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, − 𝜋 < 𝑥 < 𝜋
2.3 EQUAÇÃO DE UMA OSCILAÇÃO DE UMA CORDA
2.3.1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA PELO MÉTODO DE FOURIER
A equação
𝜕2
𝑢
𝜕𝑡2 = 𝑎2 𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2 𝑜𝑢 𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2
𝑢 𝑥𝑥 se chama de oscilação de uma corda
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
14
(equação de corda vibrante ), onde 𝑎2
é considerado como uma constante positiva, a
menos que se especifique o contrário.
CONDIÇÕES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA
O problema da corda vibrante com extremidades fixas, consiste em determinar uma
função 𝑢(𝑥; 𝑡), para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 e 𝑡 ≥ 0, que satisfaça a equação das ondas, as
condições de fronteira e as condições iniciais. Um problema desse tipo é conhecido
como um problema de valores inicial e de fronteira, ou abreviadamente, um PVIF.
Suponhamos que a corda tenha um comprimento L, e que, quando em sua posição
de repouso, ela ocupe a porção do eixo dos x (no plano x ,u) entre 0 e L. Assim, a
hipótese de extremidades fixas implica que 𝑢(0; 𝑡) = 𝑢( 𝐿; 𝑡) = 0,Para 𝑡 ≥ 0. Que são
chamadas condições de fronteiras. Sob o ponto de vista matemático não interessa a
natureza do processo que provoca o início das vibrações. O que importa, é o
deslocamento inicial da corda, representado por u (x,0) e o modo como a corda é
abandonada nesta posição, o que é traduzido pela velocidade inicial 𝑢 𝑡( 𝑥;0). Assim
devem ser dados
𝑢( 𝑥; 𝑡) = 𝑓( 𝑥), 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
𝑢 𝑡( 𝑥; 0) = 𝑔( 𝑥), 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; que são chamadas de condições iniciais.
EXEMPLOS
1. Resolva a equação da onda sujeita as condições citadas acima:
𝑢(0; 𝑡) = 𝑢( 𝐿; 𝑡) = 0, Para 𝑡 > 0
𝑎) 𝑢( 𝑥; 0) = 𝑓( 𝑥),
𝜕𝑢
𝜕𝑡
|
𝑡 = 0
= 𝑔( 𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿
𝑢(0; 𝑡) = 0, 𝑢( 𝐿; 𝑡) = 0, 𝑡 > 0
𝑏) 𝑢( 𝑥;0) =
1
4
𝑥(𝐿 − 𝑥),
𝜕𝑢
𝜕𝑡
|
𝑡 = 0
= 0
Solução
𝑢(0; 𝑡) = 0, 𝑢( 𝐿; 𝑡) = 0
𝑎) 𝑢( 𝑥; 0) = 𝑓( 𝑥),
𝜕𝑢
𝜕𝑡
|
𝑡 = 0
= 𝑔( 𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
15
𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 é
𝜕2
𝑢
𝜕𝑡2
= 𝑎2
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
Separando as variáveis tem-se:
𝜕2
𝑢
𝜕𝑡2
= 𝑇´´𝑥 ⋀
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
= 𝑋´´𝑡
𝑇´´𝑥 = 𝑎2
𝑋´´𝑡 ⇒
𝑇´´
𝑎2 𝑡
=
𝑋´´
𝑥
= −𝜆2
𝑇´´ = −𝜆𝑎2
𝑡 ⋀ 𝑋´´ = −𝜆2
𝑇´´ + 𝜆2
𝑎2
𝑡 = 0 ⋀ 𝑋´´ + 𝜆2
𝑥 = 0
Onde as suas equações auxiliares são: 𝑟2
+ 𝜆2
𝑎2
= 0 ∧ 𝑟2
+ 𝜆2
= 0
Resolvendo estas equações auxiliares, tem-se: 𝑟 = ±𝜆𝑎𝑖 ⋀  𝑟 = ±𝜆𝑖,
𝑇 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑎𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑎𝑡 𝑒 𝑋 = 𝐶3 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑥
Atendendo as condições de fronteira, temos 𝑋(0) = 0 ∧ 𝑋( 𝐿) = 0
𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐶3 = 0 ∧ 𝐶4 𝑠𝑒𝑛𝜆 𝐿 =0
Esta última equação define os valores próprios 𝜆 =
𝑛𝜋
𝐿
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 1, 2, 3, …
As funções próprias respectivas são 𝑋 = 𝐶4 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜆𝑥
𝐿
, 𝑛 = 1, 2, 3, …
As soluções da equação da onda que satisfazem as condições na fronteira
são 𝑢 𝑛 = (𝐴 𝑛 cos
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑡 + 𝐵 𝑛 sem
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑡) 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥𝑒
𝑢( 𝑥, 𝑡) = ∑ (𝐴 𝑛 cos
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑡 + 𝐵 𝑛 sen
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑡)
∞
𝑛=1
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥
Como t=0 na última expressão, obtemos então
𝑢( 𝑥,0) = ∑ 𝐴 𝑛
∞
𝑛=1
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥 𝑞𝑢𝑒 é 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓( 𝑥) 𝑒𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎
𝑑𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 .
Sendo que 𝐴 𝑛= 𝐵 𝑛e que 𝐴 𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
E para determinar 𝐵 𝑛, apenas derivamos 𝑢( 𝑥, 𝑡) em ordem a t e fazemos t=0:
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= ∑ (𝐴 𝑛
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
+𝐵 𝑛
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑎
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑡
|
𝑡 = 0
= 𝑔( 𝑥) = ∑ (𝐵 𝑛
𝑛𝜋𝑎
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥
Para que a última série seja desenvolvida de g em senos da metade do
intervalo no intervalo, o coeficiente total (𝐵𝑛
𝑛𝜋𝑎
𝐿
)deve estar na forma
𝐵 𝑛
𝑛𝜋𝑎
𝐿
=
2
𝐿
∫ 𝑔(𝑥)𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
𝐵 𝑛 =
2
𝑛𝜋𝑎
∫ 𝑔(𝑥)𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥𝑑𝑥
𝐿
0
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
16
A solução do problema está formada por série, com 𝐴 𝑛 𝑒 𝐵 𝑛 definidos
respectivamente.
E é importante notar que quando a corda se solta partindo de repouso,
𝑔( 𝑥) = 0, para todo 𝑥 em 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, em consequência, 𝐵 𝑛 = 0.
𝑢(0; 𝑡) = 0, 𝑢( 𝐿; 𝑡) = 0, 𝑡 > 0
𝑏) 𝑢( 𝑥;0) =
1
4
𝑥(𝐿 − 𝑥),
𝜕𝑢
𝜕𝑡
|
𝑡 = 0
= 0
Vimos no exemplo anterior que resolvendo a equação da onda pelo método de
separação de variáveis obtém-se:
𝑋 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑥𝑒𝑇 = 𝐶3 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑎𝑡 + 𝐶4 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑎𝑡, então atendendo as condições de
fronteira e iniciais vem: 𝑋(0) = 𝐶1 = 0Λ𝑋( 𝐿) = 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝜆𝐿 = 0
Em que as funções próprias correspondentes são:
𝑋 = 𝐶2 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥𝑒𝑇 = 𝐶3 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋
𝐿
𝑡 + 𝐶4 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1,2, 3, …
Então, 𝑢 = ∑ (𝐴 𝑛 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑡 + 𝐵 𝑛 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑡) 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥∞
𝑛=1
Impondo 𝑢( 𝑥; 0) =
1
4
𝑥( 𝐿 − 𝑥) = ∑ 𝐴 𝑛 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥∞
𝑛=1
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= ∑ (−𝐴 𝑛
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
+𝐵 𝑛
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑎
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥
𝑢 𝑡(𝑥, 0) = 0 = ∑ 𝐵 𝑛
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋𝑎
𝐿
∞
𝑛=1
⇒ 𝐵 𝑛 = 0
𝑢( 𝑥; 𝑡) = ∑ (𝐴 𝑛 𝑐𝑜𝑠
𝑛𝜋𝑎
𝐿
𝑡)∞
𝑛=1 𝑠𝑒𝑛
𝑛𝜋
𝐿
𝑥𝑛 = 1, 2, 3, …
EXERCÍCIOS PROPOSTOS.
Resolver a equação da onda pelo método de Fourier de modo que satisfaça as
condições citadas:
a) 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢( 𝐿, 𝑡) = 𝑢 𝑡( 𝑥,0) = 0, 𝑢( 𝑥,0) = 𝑠𝑒𝑛
𝜋𝑥
𝐿
b) 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢( 𝜋, 𝑡) = 𝑢 𝑡( 𝑥,0) = 0, 𝑢( 𝑥,0) = 𝑠𝑒𝑛5𝑥
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
17
CONCLUSÃO
Portanto, é de salientar que uma EDP na forma, 𝐴𝑈𝑥𝑥 + 𝐵𝑈𝑥𝑦 + 𝐶𝑈 𝑦𝑦 + 𝐷𝑈𝑥 + 𝐸𝑈 𝑦 +
𝐹𝑈 + 𝐺 = 0 Onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F são funções que dependem
das variáveis 𝑥 𝑒 𝑦 em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo; é do
Tipo Hiperbólico se, ∆= 𝐵2
− 4𝐴𝐶 > 0. E para resolver as EDP do tipo hiperbólico,
aplicam-se alguns métodos tais como: método da integração básica directa, método
de mudança de variáveis, separação de variáveis e o princípio de superposição.
Ainda nesta abordagem, aparece as séries Fourier, a equação de oscilação de uma
corda pelos métodos de Fourier.
Assim incide a imensa preponderância das equações diferenciais do tipo hiperbólico
nos diversos problemas físicos.
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
18
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C., Elementary Differential Equations
and Boundary Value Problems, John Wiley and sons ,Inc., (2001), 7th ed,
USA.
 BRONSON, Richard, COSTA, Gabriel, Equações Diferenciais,
ColeçãoSchaum, McGraw- Hill do Brasil, (2006), 3ªed, São Paulo.
 FARLOW, Stanley J. , Partial Differential Equations for Scientists and
Engineers, Dover Publications Inc., (1993), New York, USA.
 FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Análise de Fourier e Equações Diferenciais
Parciais, coleção Euclides, IMPA/CNPq, (1986), Rio de Janeiro , Brasil.
 Hispanoamericana, S. A, (1983), México.
 KAPLAN, wilfred, Cálculo Avançado ,vol 1 e 2, EdgardBlucher Editora e
EDUSP, (1972), São Paulo , Brasil.
 KREYSZIG, Erwin., Matemáticas Avanzadas Para Ingenieríavol 2,
LimusaWiley, (2003), 3 ªed, México.
 PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol I
 PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol II
 SOLDRÉ ,Ulysses, Equações Diferenciais Parciais, 2003.
 SPIEGEL, MurrayR. , Equaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall
EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016
19
INTEGRANTES DO GRUPO
 Emília Muteca
 Evaristo Hakombo Oliveira
 Mateus das Neves Bango
 Paulo dos Santos Cambinda
 Francisco Javela Pereira
 Samuel José Domingos Maquengo

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Trabalho de Equações Diferenciais Parciais

  • 1. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAISPARCIAISDOTIPO HIPERBÓLICO 2016 ÍNDICE Introdução................................................................................................................................. 2 1 Equações Diferenciais do Tipo Hiperbólico ................................................................. 3 1.1 Métodos de Resolução das EDP ........................................................................... 3 1.1.1 Método da Integração Básica Directa............................................................ 4 1.1.2 Método de Mudança de Variáveis.................................................................. 5 1.1.3 Separação de Variáveis................................................................................... 8 2 Série de Fourier..............................................................................................................10 2.1 Funções Pares e Ímpares .....................................................................................11 2.1.1 Propriedades das Funções Pares e Ímpares .............................................12 2.2 Série de Fourier de Cossenos e de Senos ........................................................12 2.3 Equação de Uma Oscilação de Uma Corda ......................................................13 2.3.1 Solução da Equação da Onda pelo Método de Fourier............................13 Conclusão...............................................................................................................................17 Referências Bibliográficas ...................................................................................................18 Integrantes do Grupo............................................................................................................19
  • 2. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 2 INTRODUÇÃO A Matemática na sua abrangência, oferece conexões preponderantes a diversos campos científicos. Salientando a aparição das Equações Diferenciais Parciais como sustento de diversos problemas físicos como: Problema de mecânica de fluidos, de sólidos-dinâmica, de elasticidade, de transferência de calor, da teoria electromagnética, mecânica quântica, e outros. Nas EDP de Ordem Superior aparecem as EDP Lineares Homogéneas e não Homogéneas. No que tange as EDP de 2ª ordem eis a classificação: Hiperbólico, Elíptico e Parabólico. No entanto a nossa abordagem cingir-se-á, nas Equações Diferenciais Parciais de tipo Hiperbólico, abarcando assim a demonstração e resolução da mesma, a equação de oscilação de uma corda, condições com valores de contorno do problema e solução da equação da corda pelos métodos de Fourier.
  • 3. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 3 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO Dada uma EDP na forma, GFU y U E x U D y U C yx U B x U A                2 22 2 2 onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F são funções que dependem das variáveis 𝑥 𝑒 𝑦 em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo; é do Tipo Hiperbólico se, ∆= 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0. EXEMPLOS. 1. Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico a) 𝜕2 𝑈 𝜕 𝑥2 = 𝜕2 𝑈 𝜕𝑦2 b) 𝜕2 𝑈 𝜕 𝑥2 + 𝜕2 𝑈 𝜕 𝑦2 = 0 Solução: a) 𝜕2 𝑈 𝜕 𝑥2 = 𝜕2 𝑈 𝜕 𝑦2 => 𝜕2 𝑈 𝜕 𝑥2 − 𝜕2 𝑈 𝜕𝑦2 = 0 => 𝐴 = 1, 𝐵 = 0 ˄ 𝐶 = −1 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 02 − 4 ∗ 1 ∗ (−1) = 4 > 0 , é uma equação diferencial hiperbólica. b) 𝜕2 𝑈 𝜕 𝑥2 + 𝜕2 𝑈 𝜕 𝑦2 = 0 => 𝐴 = 1, 𝐵 = 0 ˄ 𝐶 = 1 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = 02 − 4 ∗ 1 ∗ 1 = −4 < 0 ,não é uma equação diferencial hiperbólica. EXERCÍCIOS. 1-Diga se as seguintes equações diferenciais são do tipo Hiperbólico 𝑎)3 𝜕2 𝑈 𝜕𝑥2 = 𝜕𝑈 𝜕𝑦 b) 𝜕𝑈 𝜕𝑥 = 𝜕𝑈 𝜕𝑦 c) 𝑥2 𝜕2 𝑈 𝜕 𝑥2 + 𝜕2 𝑈 𝜕 𝑦2 = 0 1.1 MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DAS EDP Há vários métodos que podem aplicar-se para encontrar as soluções particulares de uma equação diferencial.
  • 4. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 4 1.1.1 MÉTODO DA INTEGRAÇÃO BÁSICA DIRECTA No método de integração básica directa procede-se como nas EDO´s (Equações Diferencias Ordinárias) exactas, quando integramos em ordem a uma das variáveis, consideramos as outras como constantes, ou seja, considerando uma função arbitrária nas outras variáveis como uma constante. EXEMPLOS. 1. Sabendo que U é uma função de x e de y, determinar as soluções gerais das equações diferenciais parciais seguintes: a) 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥 = 0 b) 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥𝑦 = 0 Solução: a) 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥 = 0 𝜕𝑈 𝜕𝑥 = 0, Integrando ambos os membros em ordem a x, como U é uma função de x e y, então considera-se como constante uma função em ordem a y. Logo vem: 𝑈 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑦), que é neste caso a solução geral. b) 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥𝑦 = 0 Integrando primeiro em ordem a 𝑥 vem 𝑈 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 ( 𝑦) e integrando agora em ordem a y temos como solução geral 𝑈( 𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑓( 𝑦) 𝑑𝑦 + ℎ(𝑥). EXERCÍCIOS Obter as soluções gerais das equações diferenciais parciais Seguintes: a. 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥𝑥 = 3 b. 𝑈(𝑥, 𝑦) 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑦 c. 𝑈( 𝑥, 𝑦) 𝑥𝑦 = 8𝑥𝑦3
  • 5. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 5 1.1.2 MÉTODO DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA Para a EDP 𝐴( 𝑥, 𝑦) 𝑈𝑥𝑥 + 𝐵( 𝑥, 𝑦) 𝑈𝑥𝑦 + 𝐶( 𝑥, 𝑦) 𝑈 𝑦𝑦 = 0 Definimos a equação diferencial característica associada como: 𝐴( 𝑥, 𝑦)(𝑑𝑥)2 + 𝐵( 𝑥, 𝑦)( 𝑑𝑥)( 𝑑𝑦) + 𝐶( 𝑥, 𝑦)( 𝑑𝑦)2 = 0 As curvas características associadas são as soluções da equação diferencial (ordinária) característica. Exemplo de equações características de uma EDP A equação 𝑈𝑥𝑥 − 𝑈 𝑦𝑦 = 0 definida em 2  ,tem a equação característica (𝑑𝑥)2 − ( 𝑑𝑦)2 = 0 A solução desta EDO característica, fornece duas curvas características: 𝑥 + 𝑦 = 𝑐1 𝑥 − 𝑦 = 𝑐2 É muito útil realizar mudanças de variáveis para simplificar uma EDP com o objectivo de obter formas mais simples para resolver esta equação parcial e o mecanismo que oferece mudança de variáveis para simplificar uma EDP é a equação característica associada. Dada uma EDP de segunda ordem (ou equação de Euler) α𝑍 𝑥𝑥 + 𝛽𝑍 𝑥𝑦 + γ𝑍 𝑦𝑦=0 Onde ∝, 𝛽 𝑒 𝛾 são números reais. Usando as mudanças de variáveis: 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑒 𝑣 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 e aplicando a regra da cadeia poderemos escrever : 𝜕𝑍 𝜕𝑥 = 𝜕𝑍 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥 e 𝜕𝑍 𝜕𝑦 = 𝜕𝑍 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 E assim temos: 𝜕𝑍 𝜕𝑥 = 𝑎 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑐 𝜕𝑍 𝜕𝑣 𝑒 𝜕𝑍 𝜕𝑦 = 𝑏 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑑 𝜕𝑍 𝜕𝑣 Neste caso a solução geral é dada por 𝑍 (𝑢, 𝑣) = 𝑓 (𝑢) + 𝑔 (𝑣) De forma análoga temos: 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥2 = 𝜕 𝜕𝑥 (𝑎 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑐 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥2 = 𝜕 𝜕𝑢 (𝑎 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑐 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑣 (𝑎 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑐 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕𝑣 𝜕𝑥
  • 6. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 6 Assim: 𝜕2 𝑍 𝜕 𝑥2 = 𝑎 (𝑎 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢2 + 𝑐 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 ) + 𝑐(𝑎 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝑐 𝜕2 𝑍 𝜕 𝑣2 ) Ou seja: 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥2 = 𝑎2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢2 + 2𝑎𝑐 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝑐2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑣2 Ou em uma notação mais simples: 𝑍 𝑥𝑥 = 𝑎2 𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑎𝑐𝑍 𝑢𝑣 + 𝑐2 𝑍 𝑣𝑣 (1) Analogamente: 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑍 𝜕𝑦 ) = 𝜕 𝜕𝑥 (𝑏 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑑 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝜕 𝜕𝑢 (𝑏 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑑 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑣 (𝑏 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑑 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝑎𝑏 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢2 + 𝑎𝑑 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝑏𝑐 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝑐𝑑 𝜕2 𝑍 𝜕𝑣2 ) 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥𝜕𝑦 = 𝑎𝑏 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢2 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝑐𝑑 𝜕2 𝑍 𝜕𝑣2 ) Ou mais simplesmente: 𝑍 𝑥𝑦 = 𝑎𝑏𝑍 𝑢𝑢 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑍 𝑢𝑣 + 𝑐𝑑𝑍 𝑣𝑣 (2) Do mesmo modo: 𝜕2 𝑍 𝜕𝑦2 = 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑍 𝜕𝑦 ) = 𝜕 𝜕𝑦 (𝑏 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑑 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕2 𝑍 𝜕𝑦2 = 𝜕 𝜕𝑢 (𝑏 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑑 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑣 (𝑏 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝑑 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕2 𝑍 𝜕𝑦2 = 𝑏(𝑏 𝜕2 𝜕𝑢2 + 𝑑 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 ) + 𝑑(𝑏 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝑑 𝜕2 𝑍 𝜕𝑣2 ) 𝜕2 𝑍 𝜕𝑦2 = 𝑏2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢2 + 𝑏𝑑 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝑏𝑑 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝑑2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑣2 Ou seja: 𝜕2 𝑍 𝜕𝑦2 = 𝑏2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢2 + 2𝑏𝑑 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝑑2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑣2 Ou ainda vem: 𝑍 𝑦𝑦 = 𝑏2 𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑏𝑑𝑍 𝑢𝑣 + 𝑑2 𝑍 𝑣𝑣 (3) EXEMPLO. Determinar a solução geral para a equação: 𝑍 𝑥𝑥 − 𝑍 𝑦𝑦 = 0 Solução: 𝑍 𝑥𝑥 − 𝑍 𝑦𝑦 = 0
  • 7. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 7 Determinando primeiro a equação característica ordinária vem: ( 𝑑𝑥)2 − ( 𝑑𝑦)2 = 0 ⇒ (𝑑𝑥 − 𝑑𝑦)( 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦) = 0 𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0 ⋁ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0 Integrando cada uma das equações temos 𝑥 − 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑦 = 𝑐2, fazendo 𝑢 = 𝑥 − 𝑦 𝑒 𝑣 = 𝑥 + 𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 1 , 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = −1 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 1 , 𝜕𝑣 𝜕𝑦 = 1 Fazendo também 𝑍 = 𝑢𝑣. Então: 𝜕𝑍 𝜕𝑥 = 𝜕𝑍 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑥 = 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥2 = 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑍 𝜕𝑥 ) = 𝜕 𝜕𝑥 ( 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥2 = 𝜕 𝜕𝑢 ( 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑣 ( 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥2 = 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢2 + 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝜕2 𝑍 𝜕𝑣2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑥2 = 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢2 + 2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝜕2 𝑍 𝜕𝑣2 Ou simplesmente: 𝑍 𝑥𝑥 = 𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑍 𝑢𝑣 + 𝑍 𝑣𝑣 Analogamente: 𝜕𝑍 𝜕𝑦 = 𝜕𝑍 𝜕𝑢 𝜕𝑍 𝜕𝑦 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 𝜕𝑍 𝜕𝑦 = − 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 𝜕2 𝑍 𝜕𝑦2 = 𝜕 𝜕𝑦 ( 𝜕𝑍 𝜕𝑦 ) = 𝜕 𝜕𝑦 (− 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕2 𝑍 𝜕𝑦2 = 𝜕 𝜕𝑢 (− 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑣 (− 𝜕𝑍 𝜕𝑢 + 𝜕𝑍 𝜕𝑣 ) 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕2 𝑍 𝜕𝑦2 = 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢2 − 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 − 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝑑2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑣2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑦2 = 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢2 − 2 𝜕2 𝑍 𝜕𝑢𝜕𝑣 + 𝜕2 𝑍 𝜕𝑣2 Ou apenas: 𝑍 𝑦𝑦 = 𝑍 𝑢𝑢 − 2𝑍 𝑢𝑣 + 𝑍 𝑣𝑣 Substituindo as derivadas de segunda ordem na equação dada temos: 𝑍 𝑥𝑥 − 𝑍 𝑦𝑦 = 0 𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑍 𝑢𝑣 + 𝑍 𝑣𝑣 − (𝑍 𝑢𝑢 − 2𝑍 𝑢𝑣 + 𝑍 𝑣𝑣 ) = 0 𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑍 𝑢𝑣 + 𝑍 𝑣𝑣 − 𝑍 𝑢𝑢 + 2𝑍 𝑢𝑣 − 𝑍 𝑣𝑣 = 0 ⇒ 4𝑍 𝑢𝑣 = 0
  • 8. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 8 𝑍 𝑢𝑣 = 0, Aplicando o método da integração básica directa temos que: 𝑍(𝑢, 𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑔(𝑣) que é solução da equação 𝑍 𝑢𝑣 = 0 Com as variáveis originais obtemos a solução: 𝑍 ( 𝑥, 𝑦) = 𝑓( 𝑥 − 𝑦) + 𝑔( 𝑥 + 𝑦) que é a solução geral. EXERCÍCIOS. Usando as transformações indicadas, resolver a seguinte equação: a) 0456  yyxyxx ZZZ Pelas condições: yxvyxu 2;34  1.1.3 SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS Quando se busca uma solução particular em forma de um produto de uma função de x por uma função de y, como: 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦) As vezes é possível converter uma equação em derivadas parciais, linear com duas variáveis em uma equação ordinária. Para fazê-lo notemos que: 𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 𝑋´𝑦, 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 𝑌´𝑥 E que 𝜕2 𝑢 𝜕 𝑥2 = 𝑋´´𝑦, 𝜕2 𝑢 𝜕𝑦2 = 𝑌´´𝑥 EXEMPLOS. Determine: a) 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥2 = 4 𝜕𝑢 𝜕𝑦 b) 𝑈𝑥 − 𝑈 𝑦 = 0 Solução: a) 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥2 = 4 𝜕𝑢 𝜕𝑦  𝑋´´𝑦 = 4𝑌´𝑥  𝑋´´ 4𝑥 = 𝑌´ 𝑦 Visto que o membro esquerdo é independente de y e o membro direito também é independente de x, chegamos a conclusão que ambos os membros são independentes de x como de y. Por outras palavras cada lado da equação deve ser uma constante. Na prática se costuma escrever esta constante de separação como  ou  Desta forma distinguimos os três casos seguintes: CASO I
  • 9. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 9 Se  > 0 as duas igualdades 𝑋´´ 4𝑥 = 𝑌´ 𝑦 =  , então temos: 𝑋´´ = 4𝑥𝜆 ˄ 𝑌´ = 𝑦𝜆 ⇒ 𝑋´´ − 4𝑥𝜆 = 0 ˄ 𝑌´ − 𝑦𝜆 = 0, assim temos as Respectivas equaçõesauxiliaresseguintes: 𝑟2 − 4𝜆 = 0˄ 𝑟− 𝜆 = 0, onde para 𝑟 = 2 x e para 𝑟 =  𝑦 Dessa forma temos as soluções seguintes: 𝑋 = 𝑐1 cosh2 x + 𝑐2 sinh2 x ˄ Y = c3ℯ  𝑦 , assim uma solução particular da EDP dada é: U =XY 𝑈 = (𝑐1 cosh2 x + 𝑐2 sinh 2 x )c3ℯ  𝑦  𝑈 = 𝐴1ℯ  𝑦 cosh2 x + 𝐵1ℯ  𝑦 sinh 2 x , onde 𝐴1 = 𝑐1 𝑐3˄ B1 = c2c3 CASO II Se −  < 0, as igualdades 𝑋´´ 4𝑥 = 𝑌´ 𝑦 = −𝜆 ⇒ 𝑋´´ + 4𝑥𝜆 = 0 ˄ 𝑌´ + 𝑦𝜆 = 0 onde para 𝑟 = ±2𝑖 x e para y temos que 𝑟 =  𝑦, assim as soluções respectivas são: 𝑋 = 𝑐4 𝑐𝑜𝑠ℎ 2𝑖 x + 𝑐5 𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑖 x ˄ 𝑌 = 𝑐6ℯ−  𝑦 , a solução particular correspondente é: 𝑈 = (𝑐4 cosh2𝑖 x + 𝑐5 sinh 2𝑖 x )c6ℯ−  𝑦 , 𝑈 = 𝐴2ℯ−  𝑦 cosh2𝑖 x + 𝐵2ℯ−  𝑦 sinh 2𝑖 x , onde𝐴2 = 𝑐4 𝑐6˄ B2 = c5c6 e 𝑖 representa a unidade imaginária. CASO III Se  =0, as igualdades 𝑋´´ = 0 ˄ Y´ = 0 𝑋 = 𝑐7 𝑥 + 𝑐8 ˄ y = 𝑐9  𝑢 = 𝐴3 𝑥 + 𝐵3 onde𝐴3 = 𝑐7 𝑐9 ˄ B3 = c8c9 PRINCÍPIO DE SUPERPOSIÇÃO Se 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, …, 𝑢 𝑘, são soluções particulares de uma equação diferencial em derivadas parciais linear e homogénea, então a combinação linear 𝑈 = 𝑐1 𝑢1 + 𝑐2 𝑢2 + 𝑐3 𝑢3 + ⋯+ 𝑐 𝑘 𝑢 𝑘 também é uma solução, em que 𝑐 𝑘 são constantes e 0k Assim é também solução da equação anterior a expressão: 𝑈 = 𝐴1ℯ  𝑦 cosh2 x + 𝐵1ℯ  𝑦 sinh 2 x + 𝐴2ℯ−  𝑦 cosh2𝑖 x + 𝐵2ℯ−  𝑦 sinh 2𝑖 x +𝐴3 𝑥 + 𝐵3
  • 10. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 10 𝑏) 𝑢 𝑥 − 𝑢 𝑦 = 0 ⇒ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝜕𝑦 = 0 ⇒ 𝑋´𝑦 − 𝑌´𝑥 = 0 ⇒ 𝑋´𝑦 = 𝑌´𝑥 ⇒ 𝑋´ 𝑥 = 𝑌´ 𝑦 𝑋´ 𝑥 = 𝑌´ 𝑦 = ±𝜆2 , então 𝑋´ = ±𝑥𝜆2 ˄ 𝑌´ = ±𝑥𝜆2 𝑋´ = ±𝜆2 = 0 ˄ 𝑌´ = ±𝜆2 = 0 pelas equações auxiliares 𝑟 ± 𝜆2 = 0 temos que 𝑟 = ±𝜆2 , então vem: X=𝑐1ℯ±𝜆2 𝑥 e Y=𝑐2ℯ±𝜆2 𝑦 , assim a solução produto u(x,y) = XY 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑐1ℯ±𝜆2 𝑥 ∙ 𝑐2ℯ±𝜆2 𝑦 𝑢( 𝑥, 𝑦) = 𝐴ℯ±𝜆2 ( 𝑥+𝑦) = Aℯ 𝑘( 𝑥+𝑦) , k = ±𝜆2 2 SÉRIE DE FOURIER A série de Fourier de uma função f definida em um intervalo(−𝑝, 𝑝) é 𝑓( 𝑥) = 𝑎0 2 + ∑ (𝑎 𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑝 + 𝑏 𝑛 sen 𝑛𝜋𝑥 𝑝 )∞ 𝑛=1 , onde: 𝑎0 = 1 𝑝 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑝 −𝑝 , 𝑎 𝑛 = 1 𝑝 ∫ 𝑓(𝑥)cos 𝑛𝜋𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑝 −𝑝 , 𝑏 𝑛 = 1 𝑝 ∫ 𝑓( 𝑥)sen 𝑛𝜋𝑥 𝑝 𝑑𝑥; 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑝 −𝑝 𝑛 = 0,1,2,3… EXEMPLOS. Determine as séries de Fourier das seguintes funções no intervalo dado: 𝑎) 𝑓( 𝑥) = { 0,−𝜋 < 𝑥 < 0 1, 0 ≤ 𝑥 < 𝜋 ; 𝑏) 𝑓( 𝑥) = { −1, −1 < 𝑥 < 0 𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1 ; 𝑐) 𝑓( 𝑥) = { −𝑥, −2 ≤ 𝑥 < 0 1, 0 ≤ 𝑥 < 2 Solução: 𝑎) 𝑓( 𝑥) = { 0,−𝜋 < 𝑥 < 0 1, 0 ≤ 𝑥 < 𝜋 A série de Fourier de função f (x) é dada por: 𝑓( 𝑥) = 𝑎0 2 + ∑ (𝑎 𝑛 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑝 + 𝑏 𝑛 sen 𝑛𝜋𝑥 𝑝 )∞ 𝑛=1 , Determinando os coeficientes temos: 𝑎0 = 1 𝑝 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑝 –𝑝 , Neste caso 𝑝 = 𝜋 𝑎0 = 1 𝜋 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 1 𝜋 ∫ 𝑑𝑥 = 𝜋 0 𝜋 –𝜋 1 𝑎 𝑛 = 1 𝑝 ∫ 𝑓( 𝑥)cos 𝑛𝜋𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑝 –𝑝 = 1 𝜋 ∫ 𝑓( 𝑥)cos 𝑛𝜋𝑥 𝜋 𝑑𝑥 𝜋 –𝜋 𝑎 𝑛 = 1 𝜋 ∫ cos 𝑛𝜋𝑥 𝜋 𝑑𝑥 𝜋 0 = 1 𝜋 ∫ cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 = 1 𝜋 ∫ cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 0 𝜋 0
  • 11. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 11 𝑏 𝑛 = 1 𝑝 ∫ 𝑓( 𝑥)sen 𝑛𝜋𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑝 –𝑝 = 1 𝜋 ∫ 𝑓( 𝑥)sin 𝑛𝜋𝑥 𝜋 𝑑𝑥 𝜋 –𝜋 𝑏 𝑛 = 1 𝜋 ∫ sen( 𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = − 1 𝑛𝜋 𝜋 0 [cos𝑛𝑥] 𝜋 0 𝑏 𝑛 = 1 𝑛𝜋 (1 − cos 𝑛𝜋) = 1 𝑛𝜋 [1 − (−1) 𝑛] Então a série de Fourier para a função dada é: 𝑓( 𝑥) = 1 2 + 1 𝜋 ∑ [1−(−1) 𝑛] 𝑛 ∞ 𝑛=1 sen 𝑛𝑥 𝑏)𝑓( 𝑥) = { −1, −1 < 𝑥 < 0 𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 1 𝑎0 = 1 𝑝 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑝 –𝑝 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 1 –1 = − ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑑𝑥 1 0 0 –1 = −[ 𝑥] 0 −1 + 1 2 [ 𝑥2] 1 0 𝑎0 = 1 + 1 2 = 3 2 𝑎 𝑛 = 1 𝑝 ∫ 𝑓( 𝑥)cos 𝑛𝜋𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑝 –𝑝 = ∫ 𝑓( 𝑥)cos 𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 1 0 0 –1 1 –1 , Integrando por partes a segunda parcela temos: 𝑎 𝑛 = 1 𝑛𝜋 [ 𝑠𝑒𝑛( 𝑛𝜋𝑥)] 0 −1 + [ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋 + 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥 ( 𝑛𝜋)2 ] 1 0 = 1 𝑛2 𝜋2 [(−1) 𝑛 − 1] 𝑏 𝑛 = ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 = − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 + 0 −1 1 −1 ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 −1 1 𝑏 𝑛 = 1 𝑛𝜋 [ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥] 0 −1 + [ 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥 ( 𝑛𝜋)2 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥 𝑛𝜋 ] 1 0 𝑏 𝑛 = − 1 𝑛𝜋 , logo a série correspondente é: 𝑓( 𝑥) = 3 4 + ∑ 1 𝑛2 𝜋2 ∞ 𝑛=1 [(−1) 𝑛 − 1] 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋𝑥 − 1 𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥 EXERCÍCIOS. 1- Determine a série de Fourier de cada função no intervalo dado: 𝑎) 𝑓( 𝑥) = { −1, −𝜋 < 𝑥 < 0 1, 0 ≤ 𝑥 < 𝜋 𝑏)𝑓( 𝑥) = { 0, −3 < 𝑥 < −1 1, −1 < 𝑥 < 1 0, 1 < 𝑥 < 3 2.1 FUNÇÕES PARES E ÍMPARES A função seno e co-seno são funções impar e par respectivamente, ou seja, uma função é par se 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) e é ímpar se − 𝑓( 𝑥) = 𝑓(−𝑥).
  • 12. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 12 Vemos que cos(−𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(−𝑥) 2.1.1 PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES PARES E ÍMPARES a) O produto de duas funções pares é par b) O produto de duas funções ímpares é par c) O produto de uma função impar por uma função par é uma função ímpar d) A soma ou diferença de duas funções pares é par e) A soma ou diferença de duas funções ímpares é ímpar f) Se f é par, ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 0 𝑎 −𝑎 g) Se é ímpar, ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 0 𝑎 −𝑎 2.2 SÉRIE DE FOURIER DE COSSENOS E DE SENOS I) A série de Fourier de uma função par num intervalo (-p, p) é a série de Co-senos 𝑓( 𝑥) = 𝑎0 2 + ∑ 𝑎 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑥 𝑝 ∞ 𝑛=1 Em que 𝑎0 = 2 𝑝 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑝 0 𝑑𝑥 e 𝑎 𝑛 = 2 𝑝 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑥 𝑝 𝑝 0 𝑑𝑥 II) A série de Fourier de uma função ímpar num intervalo (-p, p) é a série de senos: 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑏 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝑝 ∞ 𝑛=1 , onde𝑏 𝑛 = 2 𝑝 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝑝 𝑝 0 𝑑𝑥 EXEMPLOS. 1. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções: a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥, −2 < 𝑥 < 2 b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 , −1 < 𝑥 < 1 Solução: a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥, −2 < 𝑥 < 2 Verificando primeiro se a função é par ou ímpar vem: 𝑓 (−𝑥) ≠ 𝑓 ( 𝑥), mas 𝑓 (−𝑥) = −𝑓 ( 𝑥), logo a função é ímpar, assim podemos desenvolver em série de Fourier de senos. 𝑓( 𝑥) = ∑ 𝑏 𝑛 ∞ 𝑛=1 sen 𝑛𝜋𝑥 𝑃 , 𝑏 𝑛 = 2 𝑃 ∫ 𝑓( 𝑥)sen 𝑛𝜋𝑥 𝑃 𝑑𝑥 𝑝 0 𝑏 𝑛 = 2 2 ∫ 𝑥 sen 𝑛𝜋𝑥 𝑃 𝑑𝑥 2 0
  • 13. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 13 𝑏 𝑛 = 2 2 ∫ 𝑥 sen 𝑛𝜋𝑥 𝑃 𝑑𝑥 2 0 =[ 4 𝑛2 𝜋2 sen 𝑛𝜋𝑥 2 − 2 𝑛𝜋 𝑥]0 2 𝑏 𝑛 = 4 𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋, a série correspondente para este caso é: 𝑓( 𝑥) = 4 𝜋 ∑ 𝑎 𝑛 1 𝑛 (𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑥 2 ∞ 𝑛=1 , b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 , −1 < 𝑥 < 1 f(−𝑥) = f( 𝑥) = 𝑥2 , Conclui-se que a função é par. Por ser par, o desenvolvimento desta função será mediante a série de Fourier de co- seno. 𝑓( 𝑥) = 𝑎 𝑛 2 + ∑ 𝑎 𝑛 ∞ 𝑛=1 cos 𝑛𝜋𝑥 𝑃 𝑎0 = 2 𝑃 ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 𝑝 0 𝑎0 = 2 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 𝑝 0 = 2 3 [ 𝑥3 ]0 2 = 16 3 𝑎 𝑛 = 2 𝑃 ∫ 𝑓( 𝑥)cos 𝑛𝜋𝑥 𝑃 𝑑𝑥 𝑝 0 𝑎 𝑛 = 2 ∫ 𝑥2 cos𝑛𝜋𝑥𝑑𝑥 𝑝 0 = [ 2 𝑛2 𝜋2 cos 𝑛𝜋𝑥+( 𝑥2 𝑛𝜋 − 2 𝑛3 𝜋3 ) 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑥] 0 1 𝑎 𝑛 = 4 𝑛2 𝜋2 cos 𝑛𝜋 𝑓( 𝑥) = 8 3 + 4 𝜋2 ∑ 1 𝜋2 ∞ 𝑛=1 cos 𝑛𝜋 cos 𝑛𝜋 EXERCÍCIOS. Desenvolver em série de Fourier as seguintes funções: a) 𝑓( 𝑥) = 𝑥, − 3 < 𝑥 < 3 b) 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 1, − 1 < 𝑥 < 1 c) 𝑓( 𝑥) = cos 𝑥 , − 𝜋 2 < 𝑥 < 𝜋 2 d) 𝑓( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥, − 𝜋 < 𝑥 < 𝜋 2.3 EQUAÇÃO DE UMA OSCILAÇÃO DE UMA CORDA 2.3.1 SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA PELO MÉTODO DE FOURIER A equação 𝜕2 𝑢 𝜕𝑡2 = 𝑎2 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥2 𝑜𝑢 𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2 𝑢 𝑥𝑥 se chama de oscilação de uma corda
  • 14. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 14 (equação de corda vibrante ), onde 𝑎2 é considerado como uma constante positiva, a menos que se especifique o contrário. CONDIÇÕES COM VALORES DE CONTORNO DO PROBLEMA O problema da corda vibrante com extremidades fixas, consiste em determinar uma função 𝑢(𝑥; 𝑡), para 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 e 𝑡 ≥ 0, que satisfaça a equação das ondas, as condições de fronteira e as condições iniciais. Um problema desse tipo é conhecido como um problema de valores inicial e de fronteira, ou abreviadamente, um PVIF. Suponhamos que a corda tenha um comprimento L, e que, quando em sua posição de repouso, ela ocupe a porção do eixo dos x (no plano x ,u) entre 0 e L. Assim, a hipótese de extremidades fixas implica que 𝑢(0; 𝑡) = 𝑢( 𝐿; 𝑡) = 0,Para 𝑡 ≥ 0. Que são chamadas condições de fronteiras. Sob o ponto de vista matemático não interessa a natureza do processo que provoca o início das vibrações. O que importa, é o deslocamento inicial da corda, representado por u (x,0) e o modo como a corda é abandonada nesta posição, o que é traduzido pela velocidade inicial 𝑢 𝑡( 𝑥;0). Assim devem ser dados 𝑢( 𝑥; 𝑡) = 𝑓( 𝑥), 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 𝑢 𝑡( 𝑥; 0) = 𝑔( 𝑥), 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿; que são chamadas de condições iniciais. EXEMPLOS 1. Resolva a equação da onda sujeita as condições citadas acima: 𝑢(0; 𝑡) = 𝑢( 𝐿; 𝑡) = 0, Para 𝑡 > 0 𝑎) 𝑢( 𝑥; 0) = 𝑓( 𝑥), 𝜕𝑢 𝜕𝑡 | 𝑡 = 0 = 𝑔( 𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿 𝑢(0; 𝑡) = 0, 𝑢( 𝐿; 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 𝑏) 𝑢( 𝑥;0) = 1 4 𝑥(𝐿 − 𝑥), 𝜕𝑢 𝜕𝑡 | 𝑡 = 0 = 0 Solução 𝑢(0; 𝑡) = 0, 𝑢( 𝐿; 𝑡) = 0 𝑎) 𝑢( 𝑥; 0) = 𝑓( 𝑥), 𝜕𝑢 𝜕𝑡 | 𝑡 = 0 = 𝑔( 𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿
  • 15. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 15 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑎 é 𝜕2 𝑢 𝜕𝑡2 = 𝑎2 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥2 Separando as variáveis tem-se: 𝜕2 𝑢 𝜕𝑡2 = 𝑇´´𝑥 ⋀ 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥2 = 𝑋´´𝑡 𝑇´´𝑥 = 𝑎2 𝑋´´𝑡 ⇒ 𝑇´´ 𝑎2 𝑡 = 𝑋´´ 𝑥 = −𝜆2 𝑇´´ = −𝜆𝑎2 𝑡 ⋀ 𝑋´´ = −𝜆2 𝑇´´ + 𝜆2 𝑎2 𝑡 = 0 ⋀ 𝑋´´ + 𝜆2 𝑥 = 0 Onde as suas equações auxiliares são: 𝑟2 + 𝜆2 𝑎2 = 0 ∧ 𝑟2 + 𝜆2 = 0 Resolvendo estas equações auxiliares, tem-se: 𝑟 = ±𝜆𝑎𝑖 ⋀  𝑟 = ±𝜆𝑖, 𝑇 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑎𝑡 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑎𝑡 𝑒 𝑋 = 𝐶3 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑥 Atendendo as condições de fronteira, temos 𝑋(0) = 0 ∧ 𝑋( 𝐿) = 0 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐶3 = 0 ∧ 𝐶4 𝑠𝑒𝑛𝜆 𝐿 =0 Esta última equação define os valores próprios 𝜆 = 𝑛𝜋 𝐿 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 = 1, 2, 3, … As funções próprias respectivas são 𝑋 = 𝐶4 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜆𝑥 𝐿 , 𝑛 = 1, 2, 3, … As soluções da equação da onda que satisfazem as condições na fronteira são 𝑢 𝑛 = (𝐴 𝑛 cos 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑡 + 𝐵 𝑛 sem 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥𝑒 𝑢( 𝑥, 𝑡) = ∑ (𝐴 𝑛 cos 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑡 + 𝐵 𝑛 sen 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑡) ∞ 𝑛=1 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 Como t=0 na última expressão, obtemos então 𝑢( 𝑥,0) = ∑ 𝐴 𝑛 ∞ 𝑛=1 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 𝑞𝑢𝑒 é 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓( 𝑥) 𝑒𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟 . Sendo que 𝐴 𝑛= 𝐵 𝑛e que 𝐴 𝑛 = 2 𝐿 ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥𝑑𝑥 𝐿 0 E para determinar 𝐵 𝑛, apenas derivamos 𝑢( 𝑥, 𝑡) em ordem a t e fazemos t=0: 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = ∑ (𝐴 𝑛 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 +𝐵 𝑛 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑎 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑡 | 𝑡 = 0 = 𝑔( 𝑥) = ∑ (𝐵 𝑛 𝑛𝜋𝑎 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 Para que a última série seja desenvolvida de g em senos da metade do intervalo no intervalo, o coeficiente total (𝐵𝑛 𝑛𝜋𝑎 𝐿 )deve estar na forma 𝐵 𝑛 𝑛𝜋𝑎 𝐿 = 2 𝐿 ∫ 𝑔(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥𝑑𝑥 𝐿 0 𝐵 𝑛 = 2 𝑛𝜋𝑎 ∫ 𝑔(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥𝑑𝑥 𝐿 0
  • 16. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 16 A solução do problema está formada por série, com 𝐴 𝑛 𝑒 𝐵 𝑛 definidos respectivamente. E é importante notar que quando a corda se solta partindo de repouso, 𝑔( 𝑥) = 0, para todo 𝑥 em 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, em consequência, 𝐵 𝑛 = 0. 𝑢(0; 𝑡) = 0, 𝑢( 𝐿; 𝑡) = 0, 𝑡 > 0 𝑏) 𝑢( 𝑥;0) = 1 4 𝑥(𝐿 − 𝑥), 𝜕𝑢 𝜕𝑡 | 𝑡 = 0 = 0 Vimos no exemplo anterior que resolvendo a equação da onda pelo método de separação de variáveis obtém-se: 𝑋 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑥𝑒𝑇 = 𝐶3 𝑐𝑜𝑠𝜆𝑎𝑡 + 𝐶4 𝑠𝑒𝑛𝜆𝑎𝑡, então atendendo as condições de fronteira e iniciais vem: 𝑋(0) = 𝐶1 = 0Λ𝑋( 𝐿) = 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝜆𝐿 = 0 Em que as funções próprias correspondentes são: 𝑋 = 𝐶2 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥𝑒𝑇 = 𝐶3 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋 𝐿 𝑡 + 𝐶4 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1,2, 3, … Então, 𝑢 = ∑ (𝐴 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑡 + 𝐵 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥∞ 𝑛=1 Impondo 𝑢( 𝑥; 0) = 1 4 𝑥( 𝐿 − 𝑥) = ∑ 𝐴 𝑛 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥∞ 𝑛=1 𝜕𝑢 𝜕𝑡 = ∑ (−𝐴 𝑛 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 +𝐵 𝑛 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑎 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 𝑢 𝑡(𝑥, 0) = 0 = ∑ 𝐵 𝑛 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑎 𝐿 ∞ 𝑛=1 ⇒ 𝐵 𝑛 = 0 𝑢( 𝑥; 𝑡) = ∑ (𝐴 𝑛 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑎 𝐿 𝑡)∞ 𝑛=1 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋 𝐿 𝑥𝑛 = 1, 2, 3, … EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver a equação da onda pelo método de Fourier de modo que satisfaça as condições citadas: a) 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢( 𝐿, 𝑡) = 𝑢 𝑡( 𝑥,0) = 0, 𝑢( 𝑥,0) = 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥 𝐿 b) 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢( 𝜋, 𝑡) = 𝑢 𝑡( 𝑥,0) = 0, 𝑢( 𝑥,0) = 𝑠𝑒𝑛5𝑥
  • 17. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 17 CONCLUSÃO Portanto, é de salientar que uma EDP na forma, 𝐴𝑈𝑥𝑥 + 𝐵𝑈𝑥𝑦 + 𝐶𝑈 𝑦𝑦 + 𝐷𝑈𝑥 + 𝐸𝑈 𝑦 + 𝐹𝑈 + 𝐺 = 0 Onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F são funções que dependem das variáveis 𝑥 𝑒 𝑦 em que pelo menos um dos coeficientes A, B, C é não nulo; é do Tipo Hiperbólico se, ∆= 𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0. E para resolver as EDP do tipo hiperbólico, aplicam-se alguns métodos tais como: método da integração básica directa, método de mudança de variáveis, separação de variáveis e o princípio de superposição. Ainda nesta abordagem, aparece as séries Fourier, a equação de oscilação de uma corda pelos métodos de Fourier. Assim incide a imensa preponderância das equações diferenciais do tipo hiperbólico nos diversos problemas físicos.
  • 18. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 18 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS  BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C., Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley and sons ,Inc., (2001), 7th ed, USA.  BRONSON, Richard, COSTA, Gabriel, Equações Diferenciais, ColeçãoSchaum, McGraw- Hill do Brasil, (2006), 3ªed, São Paulo.  FARLOW, Stanley J. , Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover Publications Inc., (1993), New York, USA.  FIGUEIREDO, Djairo Guedes, Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, coleção Euclides, IMPA/CNPq, (1986), Rio de Janeiro , Brasil.  Hispanoamericana, S. A, (1983), México.  KAPLAN, wilfred, Cálculo Avançado ,vol 1 e 2, EdgardBlucher Editora e EDUSP, (1972), São Paulo , Brasil.  KREYSZIG, Erwin., Matemáticas Avanzadas Para Ingenieríavol 2, LimusaWiley, (2003), 3 ªed, México.  PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol I  PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral, Vol II  SOLDRÉ ,Ulysses, Equações Diferenciais Parciais, 2003.  SPIEGEL, MurrayR. , Equaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall
  • 19. EQUAÇÕES DIFERÊNCIAIS PARCIAIS DO TIPO HIPERBÓLICO 2016 19 INTEGRANTES DO GRUPO  Emília Muteca  Evaristo Hakombo Oliveira  Mateus das Neves Bango  Paulo dos Santos Cambinda  Francisco Javela Pereira  Samuel José Domingos Maquengo