1) O documento apresenta conceitos de análise combinatória como permutação, arranjo e combinação e lista 17 exercícios sobre o tema. 2) Os exercícios envolvem problemas como formar saladas, compor diretorias, escolher subgrupos respeitando restrições e calcular número de maneiras de realizar ações. 3) As respostas envolvem usar fórmulas de permutação, arranjo e combinação de acordo com se há ou não repetição e ordem nos elementos.

1. VETOR Pré-Vestibular Matemática II
Análise Combinatória c) De quantas maneiras podemos retirar 2 bolas
simultaneamente?
Conceitos
7. Quantos números de 4 algarismos podem ser
1. Permutação Simples feitos com os dígitos de 1 a 7?
P(n) = Pn = n! = n.(n-1).(n-2).....3.2.1 8. Com 8 professores, de quantos modos diferentes
2. Permutação com Repetição podemos formar uma banca com 3 membros em que
figure sempre um determinado professor?
n!
Pn n1 , n2 ,..., n k = 9. Dentre 6 números positivos e 6 números
n1 ! n2 !.... nk !
negativos, de quantos modos podemos escolher
onde n1 + n2 + ... + nk = n quatro números cujo produto seja positivo?
3. Permutação Circular 10. Qual o número de diagonais de um octógono? E
de um polígono qualquer?
PC(n) = PCn = (n-1)!
11. Uma organização dispõe de 8 economistas e 5
4. Arranjo Simples engenheiros. De quantos modos podemos formar
uma comissão com 6 membros, se cada comissão
n!
A n, p = deve ter, no mínimo, 3 engenheiros?
( n − p)! 12. No Hall de um prédio existem 7 lâmpadas, 4 de
5. Arranjo com Repetição 20W e 3 de 40W. Devido ao racionamento
pretende-se consumir 60W. De quantas maneiras
An,p = np distintas pode-se iluminar o hall?
6. Combinação 13. Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4
n! pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um
C n, p = único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores
( n − p)! p!
distintas, dos quais somente um foi fabricado no
Lista de Exercícios Brasil. Sabendo-se que obrigatoriamente ela deve
1. Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou
salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser um carro brasileiro, determine o número de
feitas? inscrições diferentes que ela pode fazer para uma
2. Em uma empresa há 6 sócios brasileiros e 4 corrida onde irá participar com 3 carros.
japoneses. A diretoria será composta por 5 sócios, 14. Dos 35 alunos de uma turma, 4 serão escolhidos
sendo 3 brasileiros e 2 japoneses. De quantos para tirar uma foto a ser publicada. Os inseparáveis
modos essa composição poderá ocorrer? Luiz Eduardo, Rafael e Max (os três mosqueteiros),
3. Numa reunião de sete pessoas há nove cadeiras. só vão tirar a foto se forem juntos; de tal forma que
De quantos modos se podem sentar as pessoas? Max fique entre o Luiz Eduardo e o Rafael. De
4. Quantos são os anagramas da palavra quantas maneiras podem posicionar-se para tirar a
UNIVERSAL que começam por consoante e foto?
terminam por vogal? 15. Dos 35 alunos serão escolhidos seis para irem a
5. Numa cidade, os números dos telefones têm 7 uma viagem. Dentre eles o Marco e a Lívia só irão
algarismos e não podem começar por 0. Os três se forem juntos. De quantas maneiras distintas
primeiros constituem o prefixo. Sabendo-se que em podemos montar o grupo que irá viajar?
todas as farmácias os quatro últimos dígitos são 16. Um conjunto tem k elementos. O número de
zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, seus subconjuntos de p elementos é 136, e o número
determine o número de telefones que podem ser de seus subconjuntos ordenados de p elementos
instalados nas farmácias. distintos é 272. Determinar k e p.
6. Uma urna tem 5 bolas numeradas. 17. Um químico possui 10 tipos de substâncias. De
a) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, quantos modos possíveis poderá associar 6 dessas
sem reposição? substâncias se, entre as dez, duas somente não
b) De quantas maneiras podemos retirar 3 bolas, podem ser misturadas porque produzem mistura
com reposição? explosiva?
Prof. Ricardo (9/6/2006)