2 BIM EM_3Ano_Matematica.pdf

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SUMÁRIO
MATEMÁTICA
Planejamento 1: Lugares geométricos .....................................................pág 01
Planejamento 2: Funções definidas por partes..........................................pág 09
Planejamento 3: Transformações gráficas ................................................pág 17
Planejamento 4: Funções trigonométricas................................................pág 26

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2023
REFERÊNCIA
Ensino Médio
MATERIAL DE APOIO PEDAGÓGICO PARA APRENDIZAGENS MAPA S
TÓPICO:
Lugares geométricos.
OBJETO(S) DE
CONHECIMENTO:
HABILIDADE(S):
Geometria Plana.
Geometria Analítica.
Reconhecer a mediatriz, a bissetriz e a circunferência como lugares geométricos.
Reconhecer a parábola como um lugar geométrico.
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Lugares geométricos.
DURAÇÃO: 4 aulas.
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
A) CONTEXTUALIZAÇÃO/ABERTURA:
Comece explorando coletivamente a ideia de que os estudantes têm sobre ponto, reta, semirreta, segmento
de reta, ângulo, região angular e plano. Assim, pode-se perceber o conhecimento prévio que eles possuem
para direcionar as discussões e o modo como será conduzida a abordagem do conteúdo. É importante os
estudantes compreenderem que temos apenas noções primitivas sobre esses elementos que passam pela
nossa percepção imediata quando observamos o mundo, e que não existe uma definição precisa para eles.
Pode-se associá-los a um conjunto de estrelas, aos grãos de areia, aos fios de uma cerca de arame, ao fio
de luz de um poste, ao tampo da carteira do estudante, etc.. Utilize objetos e desenhos como recursos para
auxiliá-lo nesse processo de consolidação de noções geométricas tão importantes. Incentive os estudantes a
desenhar e fazer associações às ideias que estão sendo trabalhadas.
B) DESENVOLVIMENTO:
Defina para os estudantes lugar geométrico:
− Lugar geométrico é um conjunto, bem definido, de pontos.
− Se um ponto P possui uma propriedade p podemos imaginar o conjunto de todas as posições que P
pode assumir.
− O conjunto de todos os pontos (do plano ou do espaço) que possuem a propriedade p é chamado de
lugar geométrico da propriedade p.
Realce que lugar geométrico pode ser dados por retas, curvas e superfícies, ou seja, pode ser definido tanto
no plano como no espaço e que vamos abordar apenas lugares geométricos no plano.
Apresente aos estudantes um exercício simples de geometria onde eles devem chegar a conclusão que se
trata de uma circunferência de centro C e raio x cm em um plano ɑ. Conclua com os estudantes que as
circunferências são exemplos simples do que chamamos na matemática de lugar geométrico de um plano.
COMPONENTE CURRICULAR
Matemática Matemática e suas Tecnologias

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Use o seguinte exemplo: Se C é um ponto do plano ɑ, determine todos os pontos P de ɑ que estão a
uma distância de 3 cm de C?
Imagem 1 - Ponto no plano
Fonte: (SAMPAIO, 2023)
Forneça aos estudantes pedaços de barbantes de tamanhos diferentes e peça a eles que amarre em
cada uma de suas pontas lápis de cores diferentes (construindo um compasso de lápis).
Imagem 2 - Compasso de lápis
Fonte: (BLOGSPOT, [2023])
Solicite a eles que marque na folha de caderno um ponto C e que fixe um dos lápis nesse ponto (este
lápis fica parado e firme) e com o barbante bem esticado deslocar o outro lápis contornando o ponto
fixo (giro de 360o
) fazendo uma linha curva fechada no papel. Em seguida peça que cada estudante
marque sobre a linha curva vários pontos registrando, com o auxílio de uma régua a distância entre
eles e o ponto fixo C como no desenho abaixo:
Imagem 3 - Circunferência
Fonte: (WIKIA NOCOOKIE, [2023])
Abra a discussão com as seguintes questões: Qual figura vocês obtiveram? A distância dos pontos
marcados são iguais ou diferentes em relação ao ponto fixo C? Estes pontos estão de acordo com a
definição de lugar geométrico?
Finalize a discussão relembrando aos estudantes a diferença entre circunferência e círculo e que ambos
são um lugar geométrico no plano.
Defina mediatriz: A mediatriz é uma reta que passa de forma perpendicular pelo ponto médio de um
segmento de reta. Dessa forma, ela divide um segmento de reta pela metade.

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Imagem 4 - Mediatriz
Com o mesmo material anterior (compasso de lápis) oriente os estudantes a construir a mediatriz e em
seguida peça que cada estudante marque sobre a mediatriz vários pontos registrando, com o auxílio de
uma régua a distância entre eles e cada um dos extremos do segmento da reta como no desenho
abaixo:
Imagem 5 - Mediatriz LG
Fonte: (CURSO ENEM GRATUITO, [2023])
Abra a discussão com as seguintes questões: A distância dos pontos marcados são iguais ou diferentes
em relação aos pontos A e B? Estes pontos estão de acordo com a definição de lugar geométrico?
Levando-os a concluir que a mediatriz também é um lugar geométrico.
Finalize a discussão com a propriedade mais importante das mediatrizes: Sejam A e B pontos distintos
de um plano ɑ. A mediatriz do segmento determinado pelos pontos A e B é o lugar dos pontos do
plano ɑ que equidistam de A e de B.
Defina bissetriz: É a semirreta interna de um ângulo traçada a partir do vértice deste, dividindo-o em
dois ângulos congruentes.
Imagem 6 - Bissetriz
Fonte: (EDUCA MAIS BRASIL, [2023])
Ainda com o mesmo material anterior (compasso de lápis) oriente os estudantes a construir a bissetriz
de um ângulo agudo qualquer e em seguida peça que cada estudante marque sobre a bissetriz vários
pontos registrando, com o auxílio de uma régua a distância entre eles e cada um dos lados ângulo
como no desenho abaixo:

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Imagem 7 - Bissetriz LG
Fonte: (SLIDESERVE, [2023])
Relembre aos estudantes que a distância de uma reta a um ponto fora dela é medida como sendo a
“menor” distância, isto é, a distância desse ponto a um ponto da reta de maneira que o segmento
cujos extremos são esses dois pontos seja perpendicular à reta.
Abra a discussão com as seguintes questões: A distância dos pontos marcados são iguais ou diferentes
em relação aos lados do ângulo? Estes pontos estão de acordo com a definição de lugar geométrico?
Levando-os a concluir que a bissetriz também é um lugar geométrico.
Finalize a discussão a definição de bissetriz como lugar geométrico: Bissetriz é o lugar geométrico dos
pontos equidistantes de duas retas concorrentes, ou o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos
lados de um ângulo dado.
Utilizando um aplicativo para celular adequado, sugestões abaixo, proponha o seguinte problema de
lugar geométrico: Fixe um plano ɑ. Desenhe uma circunferência C sobre uma reta r, e tente imaginar
o que acontecerá quando essa circunferência rolar sobre a reta, sem deslizar. Faça os seguintes
questionamentos: Que conjunto de pontos obteve? Enquanto a circunferência rolava, o seu centro
passou por algum ponto fora de seu rastro? Qual é, então, o lugar geométrico encontrado?
No plano cartesiano, são fixados uma reta e um ponto fora dela. Apresente aos estudantes esta
questão: qual é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dessa reta e desse ponto?
Imagem 8 - Parábola
A discussão deve necessariamente envolver uma figura no quadro ou lousa, com a reta e o ponto
fixados. Para ajudar, desenhe na figura um segmento perpendicular à reta passando pelo ponto fixado
e convença a turma que o ponto médio desse segmento deve fazer parte do lugar geométrico. Usando
uma régua grande, localize outro ponto do lugar geométrico, distinto desse. Peça a um estudante de
cada vez para fazer o mesmo, até que haja diversos pontos do lugar geométrico e finalmente ligue-os.
Pergunte à turma se “reconhece” esse lugar geométrico. Termine definindo formalmente a parábola
com seus elementos associados: reta diretriz, foco e vértice.
Também utilizando um aplicativo para celular adequado mostre aos estudantes que a parábola é um
lugar geométrico.

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Imagem 9 - Parábola LG
Fonte: (GGPHT [2023])
RECURSOS:
Quadro ou lousa, caderno, objetos e desenhos convenientes, atividades impressas, barbante, lápis,
régua.
Aplicativos para celular, tais como: Algeo; FXAlgebra; Calculator++; GeoGebra; Kal; MalMath; MathPix;
MyScript; MathGraph; MathStudio; Mathway; Number Empire; PhotoMath; RECHNER online; Symbolab;
Wolfram Alpha; etc.
PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO:
Observar os raciocínios e as estratégias que os estudantes utilizam para resolver os problemas
propostos em aula e como socializam com os seus colegas os seus resultados.
O estudante deve ser capaz de definir, reconhecer e resolver problemas de aplicação dos conceitos dos
lugares geométricos explorados durante as aulas.

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ATIVIDADES
1 – Dado r e os pontos A e B, determine C equidistante de A e B.
2 – Encontre o ponto P que é equidistante de A e B, e que equidista também de C e D.
3 – (PUC-RJ) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo, o ponto B é:
a) (3, 1).
b) (3, 6).
c) (3, 3).
d) (3, 2).
e) (3, 0).
4 – Dados os pontos A e B, que formam um segmento de reta, foi escolhido um ponto C, tal que a
distância entre o ponto A e o ponto C e a distância entre o ponto B e o ponto C são iguais, logo,
podemos afirmar que:
a) C é um ponto pertencente à bissetriz do ângulo ABC.
b) C é um ponto pertencente ao segmento de reta AB.
c) C é um ponto não pertencente ao segmento de reta AB.
d) C é necessariamente o ponto médio do segmento AB.
e) C é um ponto pertencente à mediatriz do segmento AB.
5 – (Enem — adaptada) Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em
termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se
deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam
com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão
pretende construir uma nova torre de transmissão que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes
nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

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A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a
construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas
a) (65, 35).
b) (53, 30).
c) (45, 35).
d) (50, 20).
e) (50, 30).

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REFERÊNCIAS
BLOGSPOT. Compasso de lápis. [s. l.], Disponível em: https://4.bp.blogspot.com/-
MxYyYySp6tg/Vwk-28qDPAI/AAAAAAAAFc0/wI_uvTMiei8t-
CflECiICdoRjHw9Hk_6w/s1600/compasso%2Bcaseiro.jpg. Acesso em 10 mar. 2023.
BLOGSPOT. Mediatriz. [s. l.]. Disponível em: https://2.bp.blogspot.com/-
mVWpLYgdIXw/TlL2DGorvwI/AAAAAAAAAC4/jQn3Y_XiJNU/s1600/mediatriz+4.png. Acesso em 10
mar. 2023.
BLOGSPOT. Parábola. [s. l.]. Disponível em:http://2.bp.blogspot.com/-
hzlE9YCq5rY/T0FHw5zXjDI/AAAAAAAAADc/y5rqHFYAsTE/s1600/g4.jpg. Acesso em 10 mar. 2023.
CURSO ENEM GRATUITO. Mediatriz LG. [s. l.]. Disponível
em:https://cursoenemgratuito.com.br/ponto-medio-de-um-segmento. Acesso em 10 mar. 2023.
EDUCA MAIS BRASIL. Bissetriz. [s. l.]. Disponível
em:https://images.educamaisbrasil.com.br/content/banco_de_imagens/guia-de-estudo/D/bissetriz.jpg.
Acesso em 10 mar. 2023.
IEZZI, Gelson, et.al. Fundamentos de Matemática Elementar. 7.ed. São Paulo: Atual, 1993. 1-10
v.
IEZZI, Gelson, et. al. Matemática – Volume único. Ensino Médio. 6.ed. São Paulo: Atual, 2015.
GGPHT. Parábola LG. [s. l.]. Disponível em: http://lh6.ggpht.com/-dOIb0lOfx-
8/Te5FKFMPJsI/AAAAAAAANYc/mMTxxHltkfo/image_thumb%25255B1%25255D.png?imgmax=800.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Plano de Curso: ensino médio. Escola de
Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.], 2022. Disponível em:
https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/plano-de-cursos-crmg. Acesso em: 05 fev.
2023.
MINAS GERAIS. Secretaria do Estado de Educação. Currículo Referência de Minas Gerais: Ensino
Médio. Escola de Formação e Desenvolvimento Profissional de Educadores de Minas Gerais, [s. l.],
2022. Disponível em:
https://www2.educacao.mg.gov.br/images/documentos/Curr%C3%ADculo%20Refer%C3%AAncia%20
do%20Ensino%20M%C3%A9dio .pdf. Acesso em: 05 fev. 2023.
SLIDESERVE. Bissetriz LG. [s. l.]. Disponível em: https://image2.slideserve.com/4834046/bissectriz-
de-um-ngulo1-n.jpg. Acesso em 10 mar. 2023.
WIKIA NOCOOKIE. Circunferência. [s. l.]. Disponível em:
https://static.wikia.nocookie.net/olimpedia/images/f/f4/Circunfer%C3%AAncia_como_lugar_geom%C3
%A9trico.png/revision/latest?cb=20200904233954&path-prefix=pt-b . Acesso em 10 mar. 2023.

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TÓPICO:
Estudo de funções.
OBJETO(S) DE
CONHECIMENTO:
HABILIDADE(S):
Álgebra.
Funções.
Função afim.
Plano cartesiano.
Reconhecer funções definidas por partes em situações-problema.
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Funções definidas por partes.
DURAÇÃO: 4 aulas.
Revise os conceitos teóricos básicos de função, domínio, contradomínio, imagem e lei de formação, por
meio conjuntos representados pelo diagrama de Venn. Use exemplos e contra-exemplos para reforçar
que, para cada valor pertencente a seu domínio, a função tem que associar um e somente um valor
correspondente no contradomínio. Relembre, em seguida, as funções já estudadas nos anos anteriores
através dos resumos das definições e gráficos. Explique aos estudantes que raramente uma função útil
será definida por alguma lei de formação, havendo casos nos quais é difícil ou mesmo impossível
estabelecer tal lei, a respeito de haver um gráfico empírico ou experimental. Termine a apresentação
informando que agora serão estudadas funções, presentes no nosso dia a dia, definidas por partes, ou
seja, mais de uma lei de formação.
B) DESENVOLVIMENTO:
Comece a aula exemplificando funções definidas por partes apresentando alguns gráficos que possui
pontos onde ocorre a mudança brusca do gráfico, onde o ponto limite entre uma expressão e outra
pode coincidir ou não.
Imagem 1 - Gráfico da função Imagem 2 - Gráfico
Fonte: (NEUROCHISPAS, [2023]) Fonte: (BLOGSPOT, [2023])

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Defina para os estudantes funções definidas por partes:
− Uma função definida por partes é uma função construída a partir de partes de diferentes
funções em intervalos diferentes.
Apresente aos estudantes o seguinte exemplo do nosso dia a dia:
Todo mês, ao receber seu salário, muitos trabalhadores brasileiros do mercado formal de trabalho
notam, em seu contracheque, que há um desconto de parte desse salário, um tributo sobre o
rendimento (imposto de renda) pago ao Governo Federal.
Peça aos estudantes para trazerem de algum familiar o contracheque (holerite).
Mostre para eles a tabela de imposto de renda atual (IRRF), conforme abaixo.
Imagem 3 - Alíquotas
Fonte: (IRPF, [2023])
Analise com os estudantes as informações presentes no contracheque, em especial, a linha referente a
rubrica IRRF e chame atenção dos mesmos para os valores que aparecem na coluna referência e
desconto dessa rubrica. Realce que esses valores são obtidos de acordo com a tabela de IRRF que
mostra a alíquota de imposto e a parcela a deduzir para cada faixa de rendimento mensal. Para se
calcular o imposto de renda (IR), é necessário calcular uma porcentagem do salário e, do valor obtido,
subtrair uma parcela.
Induza aos estudantes a verificar que, se o salário do trabalhador é x, seu imposto de renda mensal
y é assim calculado:
• Se 0 , x ≤ 1 903,98, então y = 0.
• Se 1 903,99 < x ≤ 2 826,65, então y = 0,075 . x - 142,80.
• Se 2 826,66 < x ≤ 3 751,05, então y = 0,15 . x - 354,80.
• Se 3 751,06 < x ≤ 4 664,68, então y = 0,225. x - 636,13.
• Se x > 4 664,68, então y = 0,275 . x - 869,36.
Observando que y é função de x e essa relação é estabelecida por cinco sentenças. Usa-se uma
sentença ou outra dependendo do intervalo em que o valor de x se enquadra.
Construa o gráfico juntamente com os estudantes.
Esse é um exemplo de função definida por mais de uma sentença e sua representação gráfica pode
ser dada por:

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Imagem 4 -Tabela progressiva mensal do IRPF.
Fonte: Washington, A.D. Reis, T.L.B. (2022).
Ou, se preferir:
Complemente a aula usando a função modular, já estudada em anos anteriores, como exemplo de
uma função definida por partes, realçando que nessa função temos expressões diferentes para
intervalos do domínio. Aproveite para falar um pouco mais sobre o domínio de funções como parte
fundamental para o entendimento delas, sendo ou não definidas por partes.
Imagem 5 - Função Modular.
Fonte: (MUNDO EDUCAÇÃO, [2023])

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Após o término das atividades, esclareça possíveis dúvidas que ainda restem sobre função definida por
uma sentença. Enfatiza a importância dessa habilidade no cotidiano e em diversas profissões.
RECURSOS:
Quadro ou lousa, caderno, calculadora, atividades impressas.
Utilize todos os instrumentos de avaliações disponíveis: prova escrita, prova em duas fases, portfólio,
trabalho em grupo e seminário. Para o trabalho em grupo sugiro o uso de conta de consumo (água e
luz) onde os estudantes devem identificar a estratificação, escrever a função definida por partes e
representá-la graficamente.

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ATIVIDADES
1 – Um jogo de arcade cobra os seguintes preços, dependendo da duração:
1. Até 6 minutos custa R$ 10,00.
2. Mais de 6 e até 15 minutos custam R$ 15,00.
3. Mais de 15 minutos custa R$ 15,00 mais R$ 1,00 por minuto acima de 15 minutos.
Apresente os dados como uma função e informe o preço cobrado se Anil jogou o jogo por 13 minutos
e Raju jogou por 20 minutos.
2 – Cálculo do Imposto Predial e Territorial Urbano (IPTU)/2013 – Cidade de São Paulo. Desde 2001,
as alíquotas de IPTU são progressivas, para que imóveis mais caros paguem um percentual maior.
Observe a tabela a seguir, referente aos imóveis residenciais.
Qual é a lei da função que relaciona o valor do IPTU (y) e o valor venal do imóvel (x)? Que tipo de
função é essa?
3 – (ENEM 2020 PPL) Um reservatório de água é abastecido por uma torneira ao mesmo tempo que,
por um ralo, escoa água de seu interior. Os gráficos representam as vazões Q, em litro por minuto, da
torneira e do ralo, em função do tempo t, em minuto.

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Nos primeiros 25 minutos, o(s) intervalo(s) de tempo em que o volume de água nesse reservatório
decresce é(são)
a) entre 15 e 20 minutos.
entre 15 e 25 minutos.
entre 0 e 5 minutos e entre 15 e 20 minutos.
entre 5 e 15 minutos e entre 20 e 25 minutos.
entre 0 e 5 minutos, entre 10 e 15 minutos e entre 20 e 25 minutos.
4 – Qual das seguintes opções representa o gráfico da função f(x) = |x + 1| - 1, definida como .
5 – (UFCE-2019) Seja uma função modular, representada pelo gráfico a seguir:

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A função f pode ser representada por:
a) │𝑥│ + │𝑥 + 7│.
b) │3 − 𝑥│ + │𝑥 − 4│.
c) −│𝑥│ + │𝑥 − 7│.
d) │𝑥 + 2│ + │𝑥 + 5│.
e) │𝑥 + 9│ − │3𝑥 + 2│.
6 – A figura abaixo mostra o gráfico de uma função definida por partes. Escreva a expressão dessa
função.

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REFERÊNCIAS
BLOGSPOT. Gráfico. [s. l.]. Disponível em: https://1.bp.blogspot.com/-nMoM8glo_-
4/UHjrDAL3R0I/AAAAAAAAA8U/bJsu4i5pjgo/s1600/fun%C3%A7%C3%A3o+por+partes.png. Acesso
em 10 mar. 2023.
v.
IRPF. Alíquotas. [s. l.]. Disponível em: https://irpf2023.net.br/wp-content/uploads/aliquotas-irpf.png.
https://curriculoreferencia.educacao.mg.gov.br/index.php/plano-de-cursos-crmg. Acesso em: 10 mar.
2023.
do%20Ensino%20M%C3%A9dio .pdf. Acesso em: 10 mar. 2023.
MUNDO EDUCAÇÃO. Função Modular. [s. l.]. Disponível
em:https://static.mundoeducacao.uol.com.br/mundoeducacao/2021/07/grafico-de-uma-funcao-
modular.jpg. Acesso em 10 mar. 2023.
NEUROCHISPAS. Gráfico da função. [s. l.]. Disponível em: https://neurochispas.com.br/wp-
content/uploads/2021/06/grafico-da-funcao-definida-por-partes-300x286.png. Acesso em 10 mar.
2023.
REIS, T. L. B.; WASHINGTON, A. D. Um Novo Modelo para o Imposto de Renda Pessoa Física
no Brasil. Abakós, v. 7, n. 2, p. 73-89, 28 maio 2019. Disponível em:
http://periodicos.pucminas.br/index.php/abakos/article/view/17910. Acesso em 10 mar. 2023.

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TÓPICO:
Estudo de funções.
OBJETO(S) DE
CONHECIMENTO:
HABILIDADE(S):
Álgebra.
Funções.
Função afim.
Plano cartesiano.
Reconhecer os efeitos de uma transição ou mudança de escala no gráfico
de uma função.
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Transformações gráficas.
DURAÇÃO: 4 aulas.
Introduza o assunto explicando que quando se estudam as transformações que podem ocorrer no
gráfico de uma função, temos como objetivo, desenvolver a percepção de que o conhecimento do
gráfico de uma função bastante simples, nos permitirá descobrir os gráficos de outras funções, que
sendo do mesmo tipo, resultam da aplicação de uma dessas transformações. Esse tipo de raciocínio é
tão útil que pode ser utilizado no estudo de funções mais complexas.
B) DESENVOLVIMENTO:
Explique os vários tipos de transformação de funções: a Reflexão (vertical ou horizontal); a Translação
(vertical ou horizontal); a Expansão e a Contração. Mostre que na matemática, o uso destas
transformações no plano constitui um instrumento valioso, como auxílio para a construção de gráficos
de funções. Conhecendo um conjunto de "gráficos fundamentais" e aplicando alguns conhecimentos de
transformações, podemos obter diversos outros gráficos a partir dos originais.
Imagem 1 - Transformações de funções
Fonte: (GÊNIO DA MATEMÁTICA, [ 2023])

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O ideal para ver estes tipos de transformações ocorrerem em tempo real, é necessário a utilização de
algum aplicativo. Sugiro o Geogebra, que tem a capacidade de mostrar simultaneamente todas as
transformações a partir do gráfico original.
Primeiro momento:, peça aos estudantes para esboçar graficamente a função: y = f(x) = x2
.
Eles podem fazer no caderno ou no aplicativo.
Peça a eles que façam a seguinte transformação: y = 2.f(x – 1).
Observe que a função f sofreu duas transformações:
1º) y = f(x – 1) → g(x) = (x - 1)2
→ faz com que o gráfico da função seja deslocado
uma unidade para a direita.

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2º) y = 2.f(x – 1) → h(x) = 2(x - 1)2
→ faz com que o gráfico da função seja “esticado”
na vertical na proporção 2:1.
Após o término das atividades, esclareça possíveis dúvidas que ainda restem sobre a construção dos
gráficos e sobre a análise dessas transformações.
Segue aqui um resumo das principais transformações que ocorrem nas funções, caso não seja possível
o uso da tecnologia em sala de aula, poderá ser reproduzido e disponibilizado aos estudantes para
análise e compreensão.

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Imagem 2 - Transformações básicas

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Fonte: (MATEMÁTICA, [2023])
RECURSOS:
Aplicativo: Geogebra
trabalho em grupo e seminário. Para o trabalho em grupo sugiro aplicar transformações gráficas
usando tecnologia, por exemplo, fazendo uso do aplicativo gratuito Geogebra e que cada grupo
trabalhe com pelo menos duas das funções matemáticas conhecidas (função modular; função
polinomial de primeiro grau (reta); função polinomial de segundo grau (parábola); função polinomial
de grau superior a dois; função recíproca (hipérbole); funções exponencial e logarítmica; funções
trigonométricas) e posterior apresentação dos grupos.

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ATIVIDADES
1 – (UP). A figura abaixo exibe o gráfico de uma função y = f(x). Então o gráfico de y = 2.f(x – 1) é
dado por
2 – (UFU-MG) Se f é uma função cujo gráfico é dado a seguir, então o gráfico da função g, tal que g(x)
= f(x – 1), será dado por:

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a) c)
b) a)
3 – (CEFET-MG–2009) Sejam a função real f, do segundo grau, definida graficamente por:
e k uma constante real tal que k > 0. O gráfico que MELHOR representa a função g tal que g(x) = f(x
– k) + k é:
a) d)
b) e)
c)

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4 – (UFRGS 2017) Considere a função y = f (x) representada no sistema de coordenadas cartesianas
abaixo.
O gráfico que pode representar a função y = |f (x + 2)| + 1 é:
a) d)
b) e)
c)
5 – A partir do gráfico de y = x , esboce o gráfico de y = 2x.

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REFERÊNCIAS
GÊNIO DA MATEMÁTICA.Transformações de função. [s. l.]. Disponível em:
https://geniodamatematica.com.br/wp-content/uploads/2019/08/transla%C3%A7%C3%A3o-vertical-e-
horizontal-das-fun%C3%A7%C3%B5es.png. Acesso em 10 mar. 2023.
IEZZI, Gelson, et.al. Fundamentos de Matemática Elementar. 7.ed. São Paulo: Atual, 1993. 1-10 v.
MATEMÁTICA. Transformações básicas. [s. l.]. Disponível em:
https://www.matematica.pt/util/resumos/transformar-funcoes.php. Acesso em 10 mar. 2023.
2023.
https://www2.educacao.mg.gov.br/images/documentos/Curr%C3%ADculo%20Refer%C3%AAncia%20d
o%20Ensino%20M%C3%A9dio .pdf. Acesso em: 10 mar. 2023.
SAMPAIO, Lucimar. Ponto do Plano, Belo Horizonte, 2023. Arquivo Pessoal.
SAMPAIO, Lucimar. Reflexão de funções no eixo x e no eixo y, Belo Horizonte, 2023. Arquivo
Pessoal.

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TÓPICO:
Funções trigonométricas.
OBJETO(S) DE
CONHECIMENTO:
HABILIDADE(S):
Trigonometria.
Funções.
Funções trigonométricas.
Identificar o gráfico das funções seno, cosseno e tangente.
Reconhecer o período de funções trigonométricas.
Resolver equações trigonométricas simples.
Resolver problemas que envolvam a lei dos senos.
Resolver problemas que envolvam a lei dos cossenos.
Identificar os gráficos das funções seno e cosseno.
PLANEJAMENTO
TEMA DE ESTUDO: Funções trigonométricas.
DURAÇÃO: 6 aulas.
Comece os estudos do tema informando aos estudantes que a grande quantidade de fenômenos
periódicos no nosso dia a dia e sua relação com as funções trigonométricas nos remete a importância
de sua abordagem e completa compreensão. Que é um ramo da Matemática que se desenvolveu na
Antiguidade, devido aos problemas relacionados à Astronomia e Navegação. Que podemos perceber no
nosso dia a dia várias aplicações, sendo o modelo matemático de vários fenômenos periódicos, como o
movimento das marés e dos pêndulos, em medicina a pressão sanguínea do coração, na música as
ondas sonoras, na astronomia o movimento dos planetas.
B) DESENVOLVIMENTO:
Antes de iniciar o estudo da trigonometria apresente aos estudantes o significado da palavra
trigonometria e um pouco da história do desenvolvimento desta importante área da Matemática.
Estabeleça a forma de como ocorrerá a abordagem da trigonometria: o estudo dos triângulos
retângulos em que aparecem as razões trigonométricas; o estudo dos triângulos não retângulos
(acutângulos e obtusângulos); o estudo das funções trigonométricas (ou circulares), em que aparecem
os movimentos periódicos.
Um pouco de história!
“A trigonometria é um ramo da matemática que estuda os elementos de um triângulo, ou seja, os
lados e ângulos de um triângulo. A palavra Trigonometria deriva da união de três radicais gregos: tri
(três) + gonos (ângulos) + metron (medidas) e é a partir dessa união de radicais gregos que podemos
compreender o objetivo principal da trigonometria que é o de estudar medições em triângulos.
A princípio a Trigonometria era utilizada em problemas que envolviam astronomia, agrimensura,
cartografia e navegação. Não se sabe ao certo, mas acredita-se que a Trigonometria surgiu por volta
de 300 a. C. mas foi somente por volta de 180 a 125 a.C. que o astrônomo Hiparco de Nicéia ganhou o
direito de ser considerado o "pai da trigonometria" por suas contribuições que fez durante a segunda
metade do século II a.C., por ter construído a primeira tabela trigonométrica da história e inclusive
uma tabela de cordas.”

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Fonte: (VIVENDO ENTRE SÍMBOLOS, [2023])
Faça a retomada dos conteúdos dos anos anteriores, tais como: Teorema de Pitágoras; semelhança de
triângulos, principalmente as caso AA, LLL e LAL; relações métricas no triângulo retângulo. Realce
também que a proporcionalidade das medidas de comprimento dos lados homólogos de triângulos
semelhantes possibilita a obtenção de medidas de comprimento inacessíveis.
Faça a retomada do conceito de ângulos, suas classificações e unidades de medidas (grau, grado e
radianos) e as regras de conversão entre elas.
Para que o estudante tenha um ótimo entendimento das relações básicas dos estudos trigonométricos,
defina de forma intuitiva os conceitos de seno, cosseno e tangente. Sugiro o seguinte modelo de
apresentação e explicação das relações trigonométricas:
Projeta ou distribua cópia aos estudantes das figuras abaixo:
Imagem 1 - Relações Trigonométricas
Depois peça aos estudantes para observarem que a rampa de entrada do carro para casa pode ser
associada ao triângulo abaixo. Realçando que o ângulo α representa a inclinação da rampa e que
quanto maior a medida do ângulo α mais íngreme será a rampa, e quanto menor o ângulo menos
íngreme a rampa (faça a simulação no quadro ou lousa o desenho de ângulos de amplitudes maiores e
menores de 30o
, para a visualização desse efeito).
Imagem 2- Triângulo
Fonte: a autora, 2023
Mostre que todas as medidas estão relacionadas entre si, da seguinte forma: altura x percurso, altura
x afastamento e afastamento x percurso. Destaque que para cada valor do ângulo de inclinação existe
uma determinação para os elementos, percurso, altura e afastamento. A partir dessa definição de

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relação existente no modelo apresentado, mostre aos estudantes que a situação se assemelha a um
triângulo retângulo, dessa forma temos que em relação ao ângulo α:
− altura = cateto oposto
− afastamento = cateto adjacente
− percurso = hipotenusa
No segundo momento construa com eles um astrolábio, conforme o vídeo “Oficina Astrolábio”,
disponível em: https://youtu.be/J0yxVoY2tdA. Depois de construído, solicite aos estudantes que meça
a altura do que tem na quadra de esporte da escola, como o travessão, rede de volei, cesta de
basquete, etc.
Certifique-se que os estudantes são capazes de notar a relação existente entre os elementos do
triângulo retângulo e as situações cotidianas, utilizando, se necessário, novas metodologias e
ferramentas auxiliares.
Avança um pouco mais apresentando os conceitos trigonométricos básicos na circunferência até a
abordagem das funções trigonométricas, enfatizando-se o conceito de período de uma função e
revisando-se outros conceitos como paridade, conjunto imagem etc.
Recomenda-se a utilização do software GeoGebra, ferramenta de geometria dinâmica, para
representar o gráfico das funções trigonométricas. O dinamismo deste programa caracteriza-se pela
manipulação direta sobre o gráfico, por exemplo, sendo que as alterações no gráfico imediatamente
são visíveis na janela de álgebra.
Após o término das atividades, esclareça possíveis dúvidas que ainda restem sobre trigonometria e
enfatiza a importância dessa habilidade no cotidiano e em diversas profissões.
RECURSOS:
Aplicativo: Geogebra.
trabalho em grupo e seminário. Para o trabalho em grupo sugiro aplicar transformações gráficas
usando tecnologia, por exemplo, fazendo uso do aplicativo gratuito Geogebra e que cada grupo
trabalhe com pelo menos duas das funções matemáticas conhecidas (função modular; função
polinomial de primeiro grau (reta); função polinomial de segundo grau (parábola); função polinomial
de grau superior a dois; função recíproca (hipérbole); funções exponencial e logarítmica; funções
trigonométricas) e posterior apresentação dos grupos.

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ATIVIDADES
1 – Durante uma partida de futebol, o jogador 1 faz um lançamento para o jogador 2 com um ângulo
de 48°. Qual a distância que a bola deverá percorrer até chegar ao jogador 2?
Considere:
sen 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
tan 48° = 1,11
2 – Uma pessoa quer conhecer a largura de um rio antes de atravessá-lo. Para isso, ela fixa um ponto
de referência na outra margem, como uma árvore, por exemplo (ponto C). Na posição em que se
encontra (ponto B), caminha 10 metros para a esquerda, até que se forme um ângulo de 30° entre o
ponto A e o ponto C. Calcule a largura do rio.
Considere .
3 – (ENEM) Em escolas infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorregador, constituído
de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada. No
pátio da escolinha Casa Feliz, há um escorregador, apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada
tem 8 degraus espaçados de 25 cm e forma um ângulo de 60º com o piso.

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O comprimento da rampa, sabendo-se que ela forma com o chão um ângulo de 45º, é de:
4 – (Unesp 2012) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivo. Para otimizar a
construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada
pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do
estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes
com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto
A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α
mínima de 30o
e máxima de 45o
.
Nestas condições e considerando calcule os valores máximo e mínimo, em metros, do
comprimento dessa rampa de acesso.
5 – (UDESC 2010-Adaptada) Considerando as funções f(x) = sen x e g(x) = cos x , relacione a
segunda coluna de acordo com a primeira, estabelecendo identidades trigonométricas:
6 – (Enem 2018) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do mundo, a High Roller, situada em
Las Vegas. A figura representa um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma de
suas cadeiras:

31
A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra paralelo ao plano do solo, rotaciona-
se a High Roller no sentido anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado pelo
segmento OA em relação à sua posição inicial e f a função que descreve a altura do ponto A, em
relação ao solo, em função de t. Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:
A expressão da função altura é dada por:
a) f(t) = 80sen(t) + 88.
b) f(t) = 80cos(t) + 88.
c) f(t) = 88cos(t) + 168.
d) f(t) = 168sen(t) + 88cos(t).
e) f(t) = 88sen(t) + 168cos(t).

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REFERÊNCIAS
BLOGSPOT. Ciclo. [s. l.]. Disponível em: https://2.bp.blogspot.com/-
yXzYuvom3vI/VXeAMO87ksI/AAAAAAAAAiE/FsQelPQKDyw/s1600/ciclo_trigonometrico.jpg. Acesso em:
10 mar. 2023.
BLOGSPOT. Relações Trigonométricas. [s. l.]. Disponível em: https://1.bp.blogspot.com/-
MVSabtMcvfc/T7MDtiUMyGI/AAAAAAAAADA/67pYcjM3U5k/s1600/Digitalizar0010.jpg. Acesso em 04
abr. 2023.
BLOG DO ENEM. Triângulo. [s. l.]. Disponível em: https://blogdoenem.com.br/wp-
content/uploads/2016/09/2-3.gif. Acesso em: 10 mar. 2023.
DANTE, Luiz Roberto, et.al. Matemática em Contexto: Trigonometria e Sistemas Lineares.
1.ed. São Paulo: Ática, 2020.
GEOGEBRA. Triângulo retângulo. [s. l.]. Disponível em:
https://www.geogebra.org/resource/ga8JkrZh/Vf0fA7QGsuTFQEte/material-ga8JkrZh.png. Acesso em:
10 mar. 2023.
v.
2023.
do%20Ensino%20M%C3%A9dio .pdf. Acesso em: 10 mar. 2023.
OFICINA ASTROLÁBIO. [s. l.: s. n.], 29 de out. de 2013. 1 vídeo (2min47seg). Publicado pelo canal
Oficina de Astronomia e mais! Disponível em: https://youtu.be/J0yxVoY2tdA Acesso em: 10 mar.
2023.
SLIDESERVE. Ângulos. [s. l.]. Disponível em: https://image1.slideserve.com/2254547/slide29-l.jpg.
Acesso em: 10 mar. 2023.
VIVENDO ENTRE SÍMBOLOS. Um pouco de história. [s. l.]. Disponível em:
https://www.vivendoentresimbolos.com/2014/02/introducao-a-trigonometria-um-pouco-de-
historia.html. Acesso em: 10 mar. 2023.
YTIMG. Seno e cosseno. [s. l.]. Disponível em:
https://i.ytimg.com/vi/EOH0fVCZKjA/maxresdefault.jpg. Acesso em: 10 mar. 2023.
YTIMG, Trigonometria. [s. l.]. Disponível em: https://i.ytimg.com/vi/XbWNr47AGQM/hqdefault.jpg.
Acesso em: 10 mar. 2023.

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