Introdução à Transferência de Calor

Transferência de Calor
Introdução à Transferência de Calor
Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
v. 2.6
1

• Introdução;
• Mecanismos de transferência de calor;
Sumário
• Identificação de processos;
• Balanços de energia.
2

Introdução
Quais são as habilidades necessárias a um "Engenheiro de
Transferência de Calor”?
•Aquecer, resfriar e isolar;
3
•Modelar e simular;
•Selecionar materiais;
•Medir: temperatura e fluxo de calor;
•Controlar: temperatura, taxa de aquecimento ou
refrigeração, gradiente de temperatura.

O começo...
4
?

O começo...
5

Resfriamento de componentes
eletrônicos
6

7
Resfriamento de componentes
eletrônicos

8
Processos de fabricação
Extrusão

9
Processos de fabricação
Fundição

10
Resfriamento de MCI

11
Ablação térmica a laser

12
Traje espacial

Atividade & Projeto #1
•Objetivo: medir a temperatura do ar da sala
13
10 mV / oC ⟹ 100 oC / V
Fonte: Make: Sensors, Cap. 12 - Weather and Climate
Vamos usar um circuito integrado (LM 35Z) com exatidão de ±¼°C a
temperatura ambiente, sem a necessidade de calibração.

Atividade 1: Medição de
temperatura do ar da sala
•Configuração do LM 35:
14
Fonte: datasheet do LM35
•Montagem do LM 35:

•Montagem do LM 35:
15
// temperature_lm35.ino - measure temperature (Celsius) with LM35 and print it
// (c) BotBook.com - Karvinen, Karvinen, Valtokari
int lmPin = A0;
void setup()
{
Serial.begin(115200);
pinMode(lmPin, INPUT);
}
float tempC()
{
float raw = analogRead(lmPin); // <1>
float percent = raw/1023.0; // <2>
float volts = percent*5.0; // <3>
return 100.0*volts; // <4>
return raw;
}
void loop()
{
Serial.println(tempC());
delay(200); // ms
}
•Código em C++:
Fonte: Make: Sensors, Cap. 12 - Weather and Climate

Vamos realizar a medição!
16

Perguntas:
17
•Estamos medindo a temperatura do ar da sala?
•Qual temperatura estamos medindo então?
•Como é a resposta dinâmica do sensor?
•Qual a relação do processo de medição com transferência de calor?
•Quais fatores interferem no valor medido?

•Antigos termômetros de rua:
18
Situação similar

Vamos aplicar um balanço de energia em regime permanente
considerando o LM35 como o sistema:
19
balanço de energia:
dE
dt
= !
Q − !
W
!
Q = !
W
Q
W

Tviz
Vamos detalhar o balanço considerando a Transferência de Calor:
20
TLM
Tar
qrad − qconv + qcond + Pdiss = 0
qconv
qrad
Pdiss
qcond

Introdução
O que é Transferência de Calor?
O que é Energia Térmica?
Trânsito de energia térmica ocasionado por uma diferença
de temperatura.
Aquela associada à translação, rotação, vibração e estado
eletrônico dos átomos e moléculas que compõe a matéria.
Representa o efeito cumulativo das atividades
microscópicas e está diretamente ligada à temperatura.
Existe redundância no termo Transferência de Calor?
Sim.
21

Mecanismos de transferência de calor
Mecanismos
Condução – transferência em sólidos ou líquidos
estacionários devido ao movimento aleatório de
átomos, moléculas e/ou elétrons constituintes;
Convecção – transferência devido ao efeito
combinado do movimento global e aleatório de um
fluido sobre uma superfície;
Radiação – energia emitida pela matéria devido a
mudanças na configuração de seus elétrons e
transportada por ondas eletromagnéticas (ou
fótons).
22

Mecanismos de transferência de calor
Condução
Convecção
Radiação
23

sólido
Condução
T1
T2
q
A
L
Lei de Fourier:
ou
k - Condutividade térmica
Joseph Fourier
(1768-1830)
′′
q = −k
ΔT
L
= −k
T2 − T1
L
Fluxo de calor
Taxa de transferência de calor
q
24

Condutividade térmica
Material k, W/(m.K)
Cobre 401
Alumínio 240
Ferro 80,2
Aço (AISI 1010) 63,9
Aço inox (AISI 304) 14,9
Vidro 1,4
Tijolo, comum 0,72
Solo 0,52
Pele 0,50
Tijolo refratário (Si) 0,25
Ar 0,0263
Condutividade térmica de alguns materiais a temperatura ambiente
Material k, W/(m.K)
Fibra de vidro (placa) 0,058
Placa de fibra mineral 0,049
Fibra de vidro (manta) 0,038
Poliestireno, expandido 0,027
Uretana, espuma 0,026
Materiais em camadas,
Folhas de alumínio, 0,0016
vácuo
Fonte: Incropera, F.P., DeWitt, D.P., Bergman, T.L., Lavine, A.S. Fundamentos de Transferência de Calor e de
Massa, 6a ed., Rio de Janeiro, LTC, 2008.
25

Convecção
A,Ts
Fluido,T∞
Lei de Newton do
resfriamento:
ou
h Coeficiente de transferência
de calor por convecção
Isaac Newton
(1643-1727)
Placa aquecida
fluido
Ts > T∞
q
26

Convecção
Convecção Natural
Quente
Quente
Convecção Mista
gravidade
Convecção Forçada
Frio
27

Convecção
Valores típicos de coeficiente de transferência de
calor por convecção
Processo h, W/(m2K)
Convecção natural
Gases 2 – 25
Líquidos 50 – 1.000
Convecção forçada
Gases 10 – 300
Líquidos 100 – 2.000
Convecção com mudança de fase
Ebulição e condensação 2.500 – 100.000
28

Radiação
Stefan-Boltzmann: corpo negro
ou
σ Constante de Stefan-Boltzmann
5,67x10-8 W/m2K4
Joseph Stefan
(1835-1893)
Ludwig Boltzmann
(1844-1903)
29

Radiação
Branco 1200oC
Amarelo 1000oC
Laranja 900oC
Vermelho 680oC
Vermelho escuro 550oC
Cores de superfícies metálicas aquecidas
30

Radiação
Transferência de calor entre uma pequena e uma grande superfície envolvente:
Emissividade: ε
Absortividade: α
Ts
Tviz
31
Poder emissivo (W/m2): E = εσTs
4
′′
qrad = εσTs
4
−ασTviz
4
Corpo cinza: ε = α
Irradiância (W/m2): G = ασTviz
4

Radiação
Muitas vezes é conveniente fazer:
32
qrad = hr A Ts −Tsup
( )
Sendo hr o coeficiente linearizado de transferência de calor por convecção:
hr = εσ Ts +Tsup
( ) Ts
2
+Tsup
2
( )
Quando Tsup ≃ Tviz, podemos escrever:
hr = 4εσT 3
, T =
Tsup +Tviz
2

Radiação
Superfície ε
Alumínio anodizado 0,82
Alumínio polido 0,04
Concreto 0,90
Vidro 0,88
Tinta branca, acrílica 0,90
Tinta preta, Parsons 0,98
Emissividade normal de
algumas superfícies a
temperatura ambiente
Superfície α
Alumínio anodizado 0,14
Alumínio polido 0,09
Concreto 0,60
Vidro* (transmissividade) 0,88
Tinta branca, acrílica 0,26
Tinta preta, Parsons 0,98
Propriedades radiativas solares
* 2 a 3 mm de espessura -
vidro comum ou temperado
33

Balanço de energia superficial
Serve para determinação da temperatura da superfície:
0
(volume de controle sem massa)
0
EXEMPLO #5:
vizinhança
Superfície de
controle
34

Tviz
Vamos detalhar o balanço considerando a Transferência de Calor:
35
TLM
Tar
qrad − qconv + qcond + Pdiss = 0
qconv
qrad
Pdiss
εσ As Tviz
4
−TLM
4
( )− hAs TLM −Tar
( )+ Pdiss = 0
qcond

36
Tviz
TLM
Tar
qconv
qrad
Pdiss
εσ As Tviz
4
−TLM
4
( )+ Pdiss = 0
Tar = TLM −
εσ As Tviz
4
−TLM
4
( )+ Pdiss
hAs
Como podemos melhorar nossa medida?
⇒ ΔT =
εσ As Tviz
4
−TLM
4
( )+ Pdiss
hAs

37
Como podemos melhorar nossa medida?
εσ As Tviz
4
−TLM
4
( )+ Pdiss = 0
hr As Tviz −TLM
( )+ Pdiss = 0
Tar =
hr + h
( )
h
TLM −
hr
h
Tviz −
Pdiss
hAs
<0,1 oC (datasheet)

38
Tar =
hr + h
( )
h
TLM −
hr
h
Tviz −
Pdiss
hAs
<0,1 oC (datasheet)
hr = εσ TLM +Tviz
( ) TLM
2
+Tviz
2
( )
ε = 1
σ = 5,67 ×10−8
W / m2
K4
TLM = 25o
C
15o
C ≤ Tviz ≤ 35o
C
⇒ 5,72 ≤ hr ≤ 6,32W / m2
K

39
Tar =
hr + h
( )
h
TLM −
hr
h
Tviz − 0,1
TLM = 25o
C
Tviz = 35o
C
hr = 6,32W / m2
K
2 ≤ h ≤ 300W / m2
K
⇒ −6,70 ≤ Tar ≤ 24,69o
C

Ex. 1: Identificação de processos
qconv,1
água
Al
qconv,2
qconv,1 = convecção forçada da chama para o fundo da panela;
qcond,1
qcond,1 = condução através do fundo de alumínio da panela;
qconv,2 = convecção natural do fundo da panela para a água.
•Aquecendo água em uma
panela
40

•Cozinhando ovos
qconv,1
qconv,1 = convecção forçada da água para a superfície do ovo;
qcond = condução através da casca do ovo;
qcond
qconv,2 = convecção natural no interior do ovo?
(no final por condução).
41

•Carne na brasa
qconv,1
qconv,1 = convecção mista da superfície superior para os gases;
qconv,2
qconv,2 = convecção forçada dos gases para a superfície inferior;
qrad,1
qrad,1 = radiação (líquida) entre a vizinhança e a superfície inferior;
qrad,2
qrad,2 = radiação (líquida) entre a superfície inferior e a vizinhança.
42

•Rinoceronte na savana
Radiação
solar direta
Partículas
Radiação espalhada
Vento
Radiação refletida
Radiação refletida
Radiação
emitida
Radiação
emitida pela
atmosfera
Radiação
emitida pela
vegetação
Radiação
emitida pela
solo
Evaporação
Condução
43

Balanços de energia
Balanço de energia térmica para volume de controle: para um instante de tempo
VC
Ein
Eg
Eac
Eout
•Durante um intervalo de tempo (ΔT)
˙
Ein
Taxa com que energia térmica/mecânica entra no volume de controle;
˙
Eout
Taxa com que energia térmica/mecânica sai no volume de controle;
˙
Eg
Taxa com que energia térmica é gerada no volume de controle a partir da
conversão de outra forma de energia (elétrica, química ou nuclear);
˙
Eac
Taxa de acúmulo de energia térmica no volume de controle.
44

Ex. 6: Balanço superficial
Reentrada na atmosfera
de nave espacial
Base
Material ablativo
qrad
qconv
qcond
qsublimação
45

Exercício
Processamento de
“wafer”de silício
Hipóteses:
•Temperatura uniforme na placa;
•Temperaturas uniformes em cada
zona;
•T.C. por radiação entre uma pequena
e uma grande envoltória;
•Perda de calor pequena pela base.
Determinar: A taxa inicial de variação da temperatura e a temperatura
em regime permanente.
46

Exercício
•
Esquema:
Análise:
47
– –

Não dá pra seguir em frente sem:
48
• Saber identificar os mecanismos de transferência de calor
relevantes ao problema;
• Memorizar e saber aplicar a Lei de Fourier, a Lei de Newton do
Resfriamento e a Lei de Stefan-Boltzmann;
• Memorizar a ordem de grandeza da condutividade térmica das
categorias de materiais, do coeficiente de transferência de calor por
convecção e da emissividade e absortividade de superfícies;
• Saber linearizar a transferência de calor por radiação, usando o
conceito de coeficiente de transferência de calor por radiação;
• Saber aplicar balanços de energia em regime permanente e transitório;
• Saber aplicar um balanço de energia superficial com o intuito de
determinar a temperatura de uma superfície.

Introdução à Condução de Calor
v. 2.4
1

Tviz
Calibração do termômetro
•Na aula anterior buscamos medir a temperatura do ar:
2
TLM
Tar
Como nos certificamos que o transdutor funciona adequadamente?
Devemos comparar com uma temperatura “conhecida" e
eventualmente calibrar o transdutor se necessário.

ITS 90
3
e-H2
TP
–259.3467
13.8033
e-H2
VP
–256.15
17
e-H2
VP
–252.85
20.3
Ne TP
–248.5939
24.5561
O2
TP
–218.7916
54.3584
Ar TP
–189.3442
83.8058
Hg TP
–38.8344
234.3156
H2
O TP
0.01
273.16
Ga MP
29.7646
302.9146
In FP
156.5985
429.7485
Sn FP
231.928
505.078
Zn FP
419.527
692.677
Al FP
660.323
933.473
Ag FP
961.78
1234.93
t90
°C
T90
K
H
y
d
r
o
g
e
n
T
r
i
p
l
e
P
o
i
n
t
S
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v
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l
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M
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c
u
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P
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W
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G
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l
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M
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g
P
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F
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g
P
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n
t
Z
i
n
c
F
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i
n
g
P
o
i
n
t
Capsule SPRT
Long Stem SPRT
G
o
l
d
F
r
e
e
z
i
n
g
P
o
i
n
t
C
o
p
p
e
r
F
r
e
e
z
i
n
g
P
o
i
n
t
Au FP
1064.18
1337.33
Cu FP
1084.62
1357.77
Suitable interpolation
thermometer range
ITS-90 subrange
Calibration points
Subrange 1
Subrange 2
Subrange 3
5
11
Subrange 10
Subrange 9
Subrange 8
Subrange 7
Subrange 6
Subrange 4
Radiation Thermometer
High Temperature SPRT

Célula de ponto triplo (H2O)
4
TPT = 0,01 oC vapor
água
gelo
Fonte: http://www.npl.co.uk/temperature-humidity/products-services/supply-of-temperature-
fixed-point-for-the-calibration-of-standard-platinum-resistance-thermometers-and-thermocouples
Imperdível: https://www.youtube.com/watch?v=EkFmrWsSzgA
± 0.0001 °C!

•Podemos usar um calibrador de bloco seco
5
bloco de
calibração
Poço de
medição
Medimos a temperatura em um dos poços com o nosso transdutor e a de
outro poço com um instrumento padrão e comparamos as medidas.
± 0.2 °C
Existe diferença de temperatura entre os poços? Como podemos
avaliar? Como podemos projetor um bloco em que as variações
sejam pequenas?

6
bloco de
calibração
Poço de
medição
Existe diferença de temperatura entre os poços?
Como podemos avaliar a diferença?
Como podemos projetar um bloco em que as variações de temperaturas
sejam pequenas?
Podemos projetar se formos capazes de determinar o campo de
temperaturas no interior do bloco de alumínio.

Lei de Fourier
7
O que é a Lei de Fourier?
Qual é sua forma geral?
Equação que permite o cálculo do fluxo de calor por condução a partir do
conhecimento da distribuição de temperatura no meio.
Então o fluxo de calor é um vetor?
Sim, pois o gradiente de temperatura também é um vetor.
′′
!
q = −k∇T = −k
∂T
∂x
,
∂T
∂y
,
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Qual o significado do sinal negativo na expressão acima ?
Ele indica que o fluxo de calor é da superfície de maior para a de menor
temperatura, isto é, contrário ao do gradiente.

Equação geral da condução e
coordenadas cartesianas
8
Lei de Fourier:
Partimos de um volume de controle diferencial:
′′
q
→
= − k
∂T
∂x
!
i + k
∂T
∂y
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

9
Balanço de energia:
qx − qx+dx + qy − qy+dy + qz − qz+dz + !
Eg = !
Est
!
Eg = !
qdxdydz
!
Est = ρcp
∂T
∂t
dxdydz
Expansão em série de Taylor:
qx+dx = qx +
∂qx
∂x
dx +
∂2
qx
∂x2
dx
2!
2
+
∂3
qx
∂x3
dx
3!
3
+....

10
qx − qx+dx + qy − qy+dy + qz − qz+dz + !
qdxdydz = ρcp
∂T
∂t
dxdydz (1)
Expansão em série de Taylor:
qx+dx = qx +
∂qx
∂x
dx +
∂2
qx
∂x2
dx
2!
2
+
∂3
qx
∂x3
dx
3!
3
+....
No limite desprezamos os termos de ordem superior:
qx+dx = qx +
∂qx
∂x
dx (2)

11
Substituindo 2 em 1, e aplicando o mesmo procedimento para as direções x e y:
−
∂qx
∂x
dx −
∂qy
∂y
dy −
∂qz
∂z
dz + !
qdxdydz = ρcp
∂T
∂t
dxdydz (3)
Aplicando a Lei de Fourier em (3):
−
∂
∂x
−k
∂T
∂x
dydz
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dx −
∂
∂y
−k
∂T
∂y
dxdz
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dy −
∂
∂z
−k
∂T
∂z
dxdy
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dz +
+ !
qdxdydz = ρcp
∂T
∂t
dxdydz
Dividindo pelo volume, obtém-se:
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q= ρcp
∂T
∂t

Equação geral da condução em
12
Chegamos em:
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
O que significa cada termo na equação acima?
Taxa líquida de transferência de energia por condução para o interior de
um volume de controle unitário;
Taxa volumétrica de geração de energia térmica;
Taxa de variação da energia térmica acumulada no interior do volume de
controle.
Faça a análise dimensional de cada um dos termos da equação anterior!

13
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Observações:
Trata-se de uma equação diferencial parcial de segunda ordem no
espaço e primeira ordem no tempo;
Para sua solução precisamos de duas condições de contorno para cada
direção;
Para sua solução precisamos, adicionalmente, de uma condição inicial.

coordenadas cilíndricas
14
1
r
∂
∂r
kr
∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Deduza a expressão anterior a título de exercício!
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂r
!
i + k
∂T
r ∂φ
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

coordenadas esféricas
15
1
r2
∂
∂r
kr2 ∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
sen2
θ
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
senθ
∂
∂θ
k sinθ
∂T
∂θ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Deduza a expressão anterior a título de exercício!
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂r
!
i + k
∂T
r ∂θ
!
j + k
∂T
rsenθ ∂φ
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

Tipos de condição de contorno
16
Temperatura superficial constante
T 0,t
( )= Ts
−k
∂T
∂x x=0
= ′′
qs
Fluxo de calor constante
∂T
∂x x=0
= 0
Superfície adiabática
−k
∂T
∂x x=0
= h T∞ −T 0,t
( )
⎡
⎣
⎤
⎦
Convecção na superfície

Propriedades termofísicas
17
Condutividade térmica: medida da habilidade do material em
transferir energia térmica por condução.
Difusividade térmica: medida da habilidade de uma material em
responder a mudanças no ambiente térmico.
Tabela de propriedades:
Sólidos: Tabelas A.1 – A.3
Gases: Tabelas A.4
Líquidos: Tabelas A.5 – A.7

Propriedades termofísicas de alguns
metais sólidos (Tab. A.1)
k cp
= 26,6 x 10–6

Propriedades termofísicas de alguns
isolantes (Tab. A.3)

Propriedades termofísicas de gases
(Tab. A.4)
= 57,3 x 10–3

Propriedades termofísicas de líquidos
saturados (Tab. A.5)

Propriedades termofísicas da água
saturada (Tab. A.6)

Forma enxuta
23
Podemos escrever a expressão abaixo de uma forma mais enxuta:
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
∇⋅ k∇T
( )+ !
q = ρcp
∂T
∂t
Qual a vantagem de escrevermos a equação nesse formato?
A equação fica independente do sistema de coordenadas!
ou
div⋅ kgradT
( )+ !
q = ρcp
∂T
∂t

Quadro resumo: operador nabla
24
Em coordenadas cartesianas:
!
∇ =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Em coordenadas cilíndricas:
!
∇ =
∂
∂r
,
1
r
∂
∂φ
,
∂
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Em coordenadas esféricas:
ou
!
∇ =
∂
∂x
!
i +
∂
∂y
!
j +
∂
∂z
!
z
ou
!
∇ =
∂
∂r
!
i +
1
r
∂
∂φ
!
j +
∂
∂z
!
k
!
∇ =
∂
∂r
,
1
r
∂
∂θ
,
1
rsenθ
∂
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
∇ =
∂
∂r
!
i +
1
r
∂
∂θ
!
j +
1
rsenθ
∂
∂φ
!
k
ou

Quadro resumo: operações com o
vetor nabla (Cartesiano)
25
Divergente:
!
∇⋅
!
v =
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ u,v,w
( )=
∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
Gradiente:
!
∇T =
∂T
∂x
,
∂T
∂y
,
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Rotacional:
!
∇ ×
!
v =
!
i
!
j
!
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
u v w
=
∂w
∂y
−
∂v
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
i −
∂w
∂x
−
∂u
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
j +
∂v
∂x
−
∂u
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
!
k

Equação geral da condução –
casos particulares
26
Em coordenadas cartesianas:
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Condutividade térmica constante:
k
∂2
T
∂x2
+
∂2
T
∂y2
+
∂2
T
∂z2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Em uma forma mais enxuta:
k ∇2
T
( )+ !
q = ρcp
∂T
∂t

casos particulares
27
Condutividade térmica constante:
k
∂2
T
∂x2
+
∂2
T
∂y2
+
∂2
T
∂z2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Condução unidimensional em x:
k
∂2
T
∂x2
+ !
q = ρcp
∂T
∂t

casos particulares
28
Condução unidimensional em x:
k
∂2
T
∂x2
+ !
q = ρcp
∂T
∂t
Condução unidimensional, em regime permanente e sem geração de calor:
d2
T
dx2
= 0
A integração revela um perfil linear:
T x
( )= ax + b
As constantes são determinadas pelas condições de contorno.

29
• Saber deduzir a equação da condução de calor em coordenadas
cartesianas e cilíndricas;
• Entender o significado de cada um dos termos que aparece na
equação da condução de calor;
• Entender os tipos de condição de contorno e sob quais condições
práticas podem ser representadas por cada uma das condições;
• Saber escrever a equação da condução em termos do operador nabla;
• Saber simplificar as equações para o caso de meio isotrópico, regime
permanente e condução unidimensional.

Exercício 2.28 (6 ed.)
30
Um material semitransparente, com condutividade térmica k e espessura L, quando
exposto à radiação laser, apresenta, em regime permanente, a seguinte distribuição
de temperatura:
em que A, B e C são constantes conhecidas. Para essa situação, a absorção de
radiação no material é representada por um termo de geração de calor distribuída.
(a) Obtenha expressões para os fluxos de calor por condução nas superfícies superior
e inferior.
(b) Deduda uma expressão para q(x).
(c) Desenvolva uma expressão para a taxa de radiação absorvida em todo o material,
por unidade de área superficial. Expresse seu resultado em termos das constantes
conhecidas para a distribuição de temperatura, a condutividade térmica do material e
sua espessura.
T x
( )= −
A
ka2
e−ax
+ Bx + C

Exercício 2.28
31
Distribuição de temperatura em um meio semi-transparente
sujeito a um fluxo radiativo
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução
unidimensional em r, (3) propriedades constantes, (4) toda a
radiação é absorvida e pode ser representada por uma geração
interna.

Exercício 2.28
32
(a) Fluxos de calor nas faces:
lei de Fourier:
Superfície superior (x = 0):
Superfície inferior (x = L):

Exercício 2.28
33
(b) Geração interna
Eq. geral da condução:
(c) Energia absorvida

Exercício 2.28
34
(c) Energia absorvida
Por integração:

Condução de Calor Unidimensional em
Regime Permanente sem Geração Interna
v. 2.3
1

2
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂x
!
i + k
∂T
∂y
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

3
1
r
∂
∂r
kr
∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂r
!
i + k
∂T
r ∂φ
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

coordenadas esféricas
4
1
r2
∂
∂r
kr2 ∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
sen2
θ
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
senθ
∂
∂θ
k sinθ
∂T
∂θ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂r
!
i + k
∂T
r ∂θ
!
j + k
∂T
rsenθ ∂φ
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

• Especifique a forma apropriada da equação da condução;
• Resolva-a para determinar a distribuição de temperatura;
Metodologia da análise de
condução
• Aplique a Lei de Fourier para determinar o fluxo de calor.
5

• Parede plana – descrita em coordenadas cartesianas
pela coordenada x. Área transversal invariável;
• Parede de tubo – condução radial (r)
Metodologia da análise de
condução
• Casca esférica – condução radial.
Caso mais simples: regime permanente, condução de
calor unidimensional sem geração térmica.
6
Situações comuns:
Conseguem imaginar exemplos representativos de cada
situação?

Condução unidimensional em regime
permanente sem geração de calor e k constante
7
d2
T
dx2
= 0
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
1
r
∂
∂r
kr
∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
1
r2
∂
∂r
kr2 ∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
sen2
θ
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
senθ
∂
∂θ
k sinθ
∂T
∂θ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
1
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 0
1
r2
d
dr
r2 dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 0

Parede plana
8
T x
( )= ax + b
T 0
( )= Ts,1, T L
( )= Ts,2
Condições de contorno:
T x
( )= Ts,1 + Ts,2 −Ts,1
( )x
L

Analogia elétrica
9
T x
( )= Ts,1 + Ts,2 −Ts,1
( )x
L
Taxa de transferência de calor:
qx = −kA
dT
dx
=
kA
L
Ts,1 −Ts,2
( )
Podemos escrever:
qx =
ΔT
Rcond
Rcond =
L
kA
Resistência térmica à
condução:

Analogia elétrica
10
Note que:
qx =
kA
L
Ts,1 −Ts,2
( )
Podemos escrever:
qx =
ΔT
Rconv
Rconv =
1
h1A
Resistência térmica à
convecção (lado quente):
qx = h1A T∞,1 − Ts,1
( )
qx = h2 A Ts,2 − T∞,2
( )

Analogia elétrica
11
qx =
T∞,1 −T∞,2
Rtot
Rtot =
1
h1A
+
L
kA
+
1
h2 A

Parede composta
12
qx =
T∞,1 −T∞,2
Rtot
∑ Rt =
1
h1A
+
LA
kAA
+
LB
kB A
+
LC
kC A
+
1
h4 A

Circuito térmico: radiação
13
Circuito equivalente:
Tviz
Tviz
Com:
qrad
qconv
Conservação da energia:
qx = qrad + qconv
e:

Resistência de contato
14
Tabelas 3.1 e 3.2: valores dependem dos materiais A e B, da
pressão de contato, das condicões intersticiais e do
acabamento superficial.
Observação:

15

16

Parede composta
17
Problema bidimensional!
Superfícies verticais
isotérmicas.
Superfícies horizontais
adiabáticas.
Solução!

Parede cilíndrica
18
Equação do calor, T(r):
Tubo:
T2
T1
r1
r2
Integrando uma vez:
Integrando novamente:
1
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = 0

Parede cilíndrica
19
Aplicando as condições de contorno:
Perfil:
Resolvendo:
T(r1) = T1 e T(r) = T2
Perfil logarítmico!
T2
T1
r1
r2
T r
( )=
T1 −T2
ln r1 / r2
( )
ln
r
r2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +T2

Parede cilíndrica
20
Fluxo, taxa por unidade de comprimento e e taxa de transferência
de calor:
Podemos definir resistências térmicas?
′′
qr = −k
dT
dr
=
k
r ln r2 / r1
( )
T1 −T2
( )
′
qr = 2πr ′′
qr =
2πk
ln r2 / r1
( )
T1 −T2
( )
qr = 2πrL ′′
qr =
2π Lk
ln r2 / r1
( )
T1 −T2
( )

Parede cilíndrica
21
Sim, podemos definir resistências térmicas:
Note que não faz sentido R’’
t,cond
Rt,cond =
ln r2 / r1
( )
2π Lk

Parede cilíndrica composta
22

Parede esférica
23
Equação do calor, T(r):
Integrando uma vez:
Integrando novamente:
T2
T1
r1
r2

Parede esférica
24
Aplicando as condições de contorno:
T(r1) = T1 e T(r2) = T2
Resolvendo:

Parede esférica
25
Fluxo, taxa por unidade de comprimento e e taxa de transferência
de calor:
Podemos definir resistências térmicas?

Parede esféricas
26
Sim, podemos definir resistências térmicas:
Note que não faz sentido R’
t,cond e R’’
t,cond
Rt,cond =
1/ r1
( )− 1/ r2
( )
4πk

Resumo: fórmulas de resistências
térmicas comuns
27
Situação Resistência
Parede plana
Cilindro
Esfera
Contato
Convecção
Radiação
Radiação (aproximada)
Rt,cond =
ln rout / rin
( )
2π Lk
Rt,cond =
1/ rin
( )− 1/ rout
( )
4πk
Rconv =
1
hAc
Rcond =
L
kAc
Rc =
′′
Rc
As
Rrad =
1
hr Ac
Rrad =
1
hr Ac
hr = εσ Ts + Tviz
( ) Ts
2
+ Tviz
2
( )
hr ≈ 4εσT 3
T =
Ts +Tviz
2

28
• Saber que o perfil de temperatura é linear em uma placa plana
sem geração e logarítmico em uma casca cilíndrica;
• Saber quais são as limitações na aplicabilidade da analogia termo-
elétrica;
• Memorizar as expressões das resistências térmicas em coordenadas
cartesianas e cilíndricas;
• Memorizar ou saber inferir quais são as unidades das resistências
térmicas (por área, comprimento e de contato)
• Entender e aplicar o conceito de resistência térmica de contato;
• Construir e resolver circuitos térmicos nos três sistemas de
coordenadas valendo-se da analogia termo-elétrica;
• Saber quando utilizar fontes de corrente em circuitos equivalentes.

29
Em um processo de fabricação, um filme transparente está sendo fixado a um
substrato, conforme mostrado no esquema. Para curar a fixação a uma temperatura T0,
uma fonte radiante é utilizada para fornecer um fluxo de calor q’’
0 (W / m2), que é
totalmente absorvida pela superfície fixada. A parte posterior do substrato é mantida a
T1 enquanto a superfície livre do filme é exposta ao ar a T∞, com um coeficiente de
transferência de calor por convecção h.
(a) Mostre o circuito térmico representando a situação de transferência de calor em
regime permanente. Identifique todos os elementos, nós e as taxas de transferência de
calor.
(b) Considere as seguintes condições: T∞ = 20 oC, h = 50 W/m2.K e T1 = 30 oC. Calcule
o fluxo de calor q’’
0 necessário para manter T0 = 60 oC.

Exercício 3.4
30
Cura de um filme transparente por aquecimento radiativo com
substrato e filme sujeitos a condições térmicas conhecidas
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional em
x, (3) propriedades constantes, (4) transferência de calor por radiação
desprezível nas superfícies e (5) resistências de contato desprezíveis.

Exercício 3.4
31
Balanço de energia no nó 0:
Cálculo das resistências:
b)

32
O desempenho de turbinas a gás pode ser melhorado pelo aumento da tolerância das pás aos
gases quentes que deixam o combustor. Um procedimento que permite atingir temperaturas de
operação mais elevadas envolve a aplicação de um revestimento de barreira térmica (TBC) sobre a
superfície externa da pá, enquanto ar de resfriamento passa pelo lado interno da pá. A pá é de uma
superliga resistente a altas temperaturas, como o Inconel (kin = 25 W / m.K), e uma cerâmica, como
a zircônia (kzr = 1,3 W/ m.K), é utilizada como TBC. Considere condições nas quais os gases
quentes a T∞,e = 1700K e o ar a T∞,i = 400 K fornecem coeficientes de convecção nas superfícies
externa e interna de he = 1000 W/m2
.K e hi = 500 W/m2
.K, respectivamente.
Caso um TBC à base de zircônia, com 0,5 mm de espessura, for fixado sobre a parede de uma pá
de Inconel com 5 mm de espessura, por meio de um adesivo metálico, com resistência térmica
interfacial de R’’t,c = 10-4
m2
.K/W, deseja-se saber se o Inconel pode ser mantido a uma temperatura
inferior a 1250 K. Os efeitos da radiação podem ser desprezados, e a pá da turbina pode ser
aproximada como uma parede plana. Represente graficamente a distribuição de temperatura com e
sem o TBC. Existem limites para a espessura do TBC?

Exercício 3.23
33
Avaliação de uma TBC para proteção térmica de uma pá.
Determinar a máxima temperatura da pá com e sem TBC.
unidimensional em x, (3) propriedades constantes e (4)
transferência de calor por radiação desprezível nas superfícies.

Exercício 3.23
34
Solução (com TBC):
O fluxo de calor é dado por:
′′
Rtot = ho
−1
+ L k
( )zr
+ ′′
Rt,c + L k
( )in
+ hi
−1
′′
Rtot = 10−3
+ 3.85×10−4
+10−4
+ 2 ×10−4
+ 2 ×10−3
( )= 3,69 ×10−3
m2
⋅ K W
′′
q =
T∞,o − T∞,i
′′
Rtot
=
1700− 400
3,69 ×10−3
= 3,52 ×105
W m2
Ts,o = T∞,i + 1 hi
( )+ L k
( )in
⎡
⎣ ⎤
⎦ ′′
q = 1147K
Temperatura externa da pá:

Exercício 3.23
35
Solução (sem TBC):
O fluxo de calor é dado por:
′′
Rtot = ho
−1
+ L k
( )In
+ hi
−1
= 3,20 × 10
−3
m
2
⋅K W
′′
q =
T∞,o − T∞,i
′′
Rtot
=
1700− 400
3,2 ×10−3
= 4,06 ×105
W m2
Ts,o = T∞,o − 1 ho
( ) ′′
q = 1293K >1250K
Temperatura externa da pá:
Quanto maior for a espessura do TBC, maior será sua temperatura e menor a sua durabilidade.

36
Uma parede esférica composta de raio interno r1 = 0,25 m é
construída com uma camada de chumbo de raio externo
r2 = 0,30 m e uma camada de aço inoxidável AISI 302 de raio
externo r3 = 0,31 m. No seu interior há rejeitos radioativos que
geram calor a uma taxa de 5 x 105 W/m3. É proposto submergir o
recipiente em águas oceânicas que estão a T∞ = 10 oC e
propiciam um coeficiente convectivo h = 500 W/(m2.K) na
superfície externa do recipiente. Há algum problema associado à
proposta?

Exercício 3.62
37
Adequação de um recipiente esférico para armazenar material
radioativo no oceano.
unidimensional em r, (3) propriedades constantes (300K), (4)
resistências de contato desprezíveis e (5) transferência de calor
desprezível na superfície externa.

Exercício 3.62
38
Propriedades: Tabela A-1, chumbo, k = 35,3W/mK e Ponto de
Fusão 601K; aço inox, k = 15,1W/mK.
Resistências:

Exercício 3.62
39
Taxa:
Temperatura:
Proposta adequada!

Condução de Calor Unidimensional em
Regime Permanente com Geração Interna
v. 2.4
1

2
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
Lei de Fourier:
′′
q
→
= − k
∂T
∂x
!
i + k
∂T
∂y
!
j + k
∂T
∂z
!
k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟

Condução unidimensional em regime
permanente com geração de calor e k constante
5
k
d2
T
dx2
+ !
q = 0
∂
∂x
k
∂T
∂x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂y
k
∂T
∂y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
1
r
∂
∂r
kr
∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂
∂z
k
∂T
∂z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
1
r2
∂
∂r
kr2 ∂T
∂r
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
sen2
θ
∂
∂φ
k
∂T
∂φ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
1
r2
senθ
∂
∂θ
k sinθ
∂T
∂θ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = ρcp
∂T
∂t
k
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0
k
r2
d
dr
r2 dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0

Geração interna de energia térmica
6
• Fonte (ou sorvedouro) de energia térmica – conversão a
partir de outra forma de energia;
• Fonte pode ser uniformemente distribuída.
Exemplo (aproximação) – Efeito Joule: q =
I2.Rel
∀
• Fonte pode ser não uniforme.
Exemplo – Absorção de radiação em
meio semi-transparente (parede plana):
q ∝ exp(–αx)

Parede plana com geração
7
Equação do calor, T(x):
Regime permanente, condução
de calor unidimensional com
geração térmica uniforme.
Solução geral:
Observe que qx varia com x. Assim,
não se aplica o conceito de
resistência térmica!

Parede plana com geração
8
Condições de contorno simétricas:
Balanço superficial:

Sistemas radiais
9
Parede cilíndrica
Cilindro maciço
Casca esférica
Esfera maciça
k
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0 k
r2
d
dr
r2 dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0

Sumário: equações 1D com geração
10
Parede Plana Cilindro Esfera
Equação
diferencial
Gradiente de
temperatura
Solução
Geral
k
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0
k
r2
d
dr
r2 dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0
k
d2
T
dx2
+ !
q = 0
dT
dx
= −
!
q
k
x + C1
dT
dr
= −
!
q
2k
r +
C1
r
dT
dr
= −
!
q
3k
r −
C1
r2
T = −
!
q
2k
x2
+ C1x + C2 T = −
!
q
4k
r2
+ C1 lnr + C2
T = −
!
q
6k
r2
+
C1
r
+ C2

11
• Saber que o perfil de temperatura é parabólico em uma placa plana
com geração;
• Saber que no ponto de máxima ou mínima temperatura em sólido com
geração é interceptada por uma superfície que se comporta como
adiabática;
• Saber calcular o perfil de temperatura em parede composta com pelo
menos um sólido com geração nos três sistemas de coordenadas;
• Saber aplicar o conceito de raio crítico.
• Saber esboçar o perfil de temperatura em parede composta com pelo
menos um sólido com geração nos três sistemas de coordenadas,
respeitando os aspectos físicos relevantes.

12
Um elemento de combustível nuclear, com espessura 2L, é coberto com revestimento de
aço com espessura b. O calor gerado no interior do combustível nuclear, a uma taxa q, é
removido por um fluido a T, que se encontra em contato com uma das superfícies e é
caracterizado por um coeficiente convectivo h. A outra superfície encontra-se isolada
termicamente. O combustível e o aço possuem condutividade térmicas kc e ke,
respectivamente.
(a) Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas T(x) no combustível
nuclear. Expresse seu resultado em termos dos parâmetros conhecidos.
(b) Esboce a distribuição de temperaturas para o sistema inteiro.

Exercício 3.77
13
Geometria e condições de contorno de um elemento combustível
unidimensional em r, (3) propriedades constantes, (4)
resistências de contato desprezíveis e (5) geração interna
uniforme.

Exercício 3.77
14
Para x = – L a superfície se comporta como adiabática:
(a) Para o elemento de combustível nuclear:

Exercício 3.77
15
Para determinarmos C2 precisamos antes determinar TS,2 e TS,1,
o que pode ser feito pela aplicação de um balanço de energia:
Para x = L, T = TS,1:

Exercício 3.77
16
Assim, a distribuição de temperatura para o elemento:
(b) Distribuição de temperatura:

17
Um reator nuclear de alta temperatura com resfriamento a gás é formado por uma parede
cilíndrica composta, na qual um elemento combustível de tório (kt = 57 W/m.K) encontra-
se envolto em grafite (kg = 3 W/m.K) e hélio gasoso escoa através de um canal anular de
resfriamento. Considere condições nas quais a temperatura do hélio é de T∞ = 600 K e o
coeficiente convectivo na superfície externa do grafite é h = 2000W/m2.K .
(a) Se energia térmica é gerada uniformemente no elemento combustível a uma taxa de
108 W/m3, quais são as temperaturas T1 e T2 nas superfícies interna e externa,
respectivamente.
(b) Calcule e represente a distribuição de temperaturas na parede composta para alguns
valores da taxa de geração. Qual é o valor máximo permitido para essa taxa?

Exercício 3.62
18
Determinação das temperaturas máximas em duas paredes
esféricas.
unidimensional em r, (3) propriedades constantes, (4)
resistências de contato desprezíveis.

Exercício 3.62
19
T2 pode ser
determinada por :
′
q =
T2 −T∞
′
Rtot
′
Rtot =
1n r3 / r2
( )
2πkg
+
1
2πr3h
= 0,0185 m⋅K/W
Taxa de geração por unidade de comprimento do elemento:
′
q = !
qπ r2
2
− r1
2
( )= 17907 W/m
Assim: T2 = ′
q ′
Rtot +T∞ = 17,907⋅0,0185+ 600K = 931K<2000K
Propriedades – Tabela A-1, Tório: Tfus = 2000 K e Tabela A-2,
Grafite: Tfus = 2300 K

Exercício 3.62
20
T1 pode ser determinada a partir da integração de:
kt
r
d
dr
r
dT
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + !
q = 0
r
dT
dr
= −
!
q
2kt
r2
+ C1
Integrando:
T = −
!
q
4kt
r2
+ C1 lnr + C2
Quais são as condições de contorno aplicáveis?

Exercício 3.62
21
Perfil:
T = T2, r = r2
dT
dr r1
= 0
c.c.:
T = −
!
q
4kt
r2
+ C1 lnr + C2
dT
dr r1
= −
!
q
2kt
r +
C1
r
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
r1
= 0
C1 =
!
qr1
2
2kt

Exercício 3.62
22
Perfil:
T = T2, r = r2
dT
dr r1
= 0
c.c.:
T = −
!
q
4kt
r2
+ C1 lnr + C2
T2 = −
!
q
4kt
r2
2
+ C1 lnr2 + C2
C2 = T2 +
!
q
4kt
r2
2
− C1 lnr2

Exercício 3.62
23
Perfil:
T = T2 +
!
qr2
2
4kt
1−
r2
r2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
!
qr1
2
2kt
ln
r
r2
(a) T1
= 931K + 25K −18K = 938K<2000K

Exercício 3.62
24
Perfil no Tório:
(b) T = T2 +
!
qr2
2
4kt
1−
r2
r2
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
!
qr1
2
2kt
ln
r
r2
Note que devemos determinar novos valores de T2 em função
das outras taxas de geração interna!

Exercício 3.62
25
Perfil na Grafite:
Podemos determinar T3 a partir de um balanço superficial na
superfície correspondente (temos um valor de T3 para cada taxa
de geração):
T r
( )=
T2 −T3
ln r2 / r3
( )
ln
r
r3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +T3
′
q =
T3 −T∞
′
Rt
′
Rt =
1
2πr3h
T3 = T∞ + ′
q ′
Rt =
= 600 +17805⋅0,00568 = 708K

Perfis de temperatura
26
T / oC
r / mm
q = 108 W/m3
q = 3x108 W/m3
q = 5x108 W/m3
500#
700#
900#
1100#
1300#
1500#
1700#
1900#
2100#
2300#
8,0# 9,0# 10,0# 11,0# 12,0# 13,0# 14,0#
acima do permitido

Exemplo: ablação magnética
27
A ablação térmica é uma técnica empregada no tratamento do câncer que consiste no
aquecimento do tecido atingido até uma temperatura letal. Todos as técnicas
existentes devem tratar apenas a região afetada e poupar o tecido saudável
adjacente. Uma técnica interessante utiliza pequenas esferas metálicas inseridas de
forma precisa no interior do tumor. A região é então exposta a um campo magnético
oscilante que promove o aquecimento das esferas e consequentemente do tecido. O
conceito é explicado na figura a seguir.
É necessário determinar o campo de temperatura associado à implantação de apenas
uma esfera em um meio infinito de tecido. A temperatura longe da perturbação é a
temperatura corporal interna Tb. Os demais dados são apresentados na figura.
(a) Prepare um gráfico mostrando o perfil de temperatura no interior do tumor e no
tecido;
(b) Determine a máxima temperatura e extensão da lesão em função da geração de
energia térmica na esfera. A extensão da lesão é definida como a região delimitada
pela esfera cuja temperatura é a temperatura letal, aproximadamente 50 o
C.

28
Te
Tumor
kt = 0,5W/mK
Campo
magnético
oscilante
Material ferromagnético
kts =10W/mK
gts = 1W
rts = 1mm
Tecido
kt = 0,5W/mK
Tb = 37oC
t = tecido;
ts = semente (“thermal seed”);
b = sangue (blood).

29
Deseja-se:
- Distribuição de temperatura no interior da esfera e tecido;
- Temperatura máxima no tecido e tamanho da lesão
(Tletal=50oC) em função da potência.
Hipóteses:
- Regime permanente;
- Condução de calor unidimensional;
- Sem geração de calor pelo metabolismo no tecido;
- Sem transferência de calor entre sangue e tecido.

30
Equação diferencial - tecido: Equação diferencial - esfera:
condições de contorno: condições de contorno:

31
Solução - tecido: Equação diferencial - esfera:
C3 = 0,1592K ⋅m C2 = 473K
C2 e C3 foram determinados numericamente.
d
dr
ktsr2 dTts
dr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′′
gtsr2
= 0
Tt =
C3
r
+ C4
Tts = −
′′′
gts
6kts
r2
+
C1
r
+ C2

32
Solução: temperatura em função da posição
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
50
75
100
125
150
175
200
225
Posição Radial / mm
Temperatura
/
o
C

33
Temperatura máxima
Extensão da lesão
Tmax,t =
C3
rts
+ C4
Tletal =
C3
rlesão
+ C4 ⇒ rlesão =
Tletal − C4
C3
Como variaremos a taxa de geração de energia térmica, devemos recalcular C2 e C3.

34
Solução: Temperatura máxima e tamanho da lesão
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Taxa de Geração [W]
Temperatura
Máxima
/
o
C
Extensão
da
Lesão
/
mm

Extra #1
35
Um aquecedor elétrico (kM = 5 W/m.K) gera energia térmica
uniformemente entre um bastão cilíndrico maciço A (k = 0,2 W/m.K,
rA = 20 mm) e um tubo concêntrico B (k = 2,0 W/m.K), de raio
interno riB = 40 mm e externo reB = 60 mm. O ambiente está a
-20 oC, sendo o coeficiente de película igual a 50 W/m2.K. Pede-se:
a) Qual a potência por unidade de comprimento a ser dissipada no
aquecedor para manter a temperatura externa em 5 oC? Qual a
potência por unidade de volume?
b) Qual a temperatura no centro do bastão A?
c) O uso de um revestimento com kR = 4 W/m.K poderia diminuir
essa potência? Com que espessura? Admitir o mesmo h.

Extra #1
36
Hipóteses:
1) Regime permanente;
2) Condução 1D na direção radial;
3) Resistências de contato desprezíveis;
4)Trans. Cal. por radiação na superfície desprezível em face da convecção;
5) Condutividades térmicas constantes;
6) Geração de calor uniforme no aquecedor.
Bastão
rA
riB
reB
aquecedor
tubo

Extra #1
37
sendo T3 a temperatura na superfície externa.
(a) potência por unidade de comprimento (q’):
q = h.2πreBL T3 −T∞
( )⇒ ′
q = h.2πreB T3 −T∞
( )
q = 50.2π0,06 5 + 20
( )⇒ ′
q = 471W / m
(a) potência por unidade de volume (q’):
!
q =
′
q
π riB
2
− rA
2
( )
⇒ !
q =
′
q
π 0,042
− 0,022
( )
= 125.000W / m3

Extra #1
38
perfil de temperatura no interior do aquecedor
(b) Temperatura no centro T(rA) :
T(r) =
− !
q
4k
r2
+ C1 lnr + C2
A Eq. anterior está sujeita às
seguintes condições de contorno:
dT
dr r=rA
= 0 ⇒ C1 =
!
q
2k
rA
2
T riB
( ) = T2 ⇒ C2 = 46,3o
C

Extra #1
39
T2 foi determinado a partir da relação:
′
q =
2πkb T2 −T3
( )
ln
reB
riB
=
2π.2 T2 − 5
( )
ln
60
40
= 471⇒ T2 = 20,2o
C
Assim, o perfil no aquecedor é dado por:
T(r) =
− !
q
4k
r2
+
!
qrA
2
2k
lnr + C2
Para o cilindro maciço, dT/dt = 0 em sua super7ície externa e considerando a
eq. diferencial que fornece o per7il de temperatura neste domínio (sem
geração de calor), conclui-se que a temperatura é constante. Portanto, a
temperatura no centro é 24,3 oC.
Com o per7il de temperatura no interior do aquecedor, calculamos a
temperatura em sua super7ície interna: T(rA) = 24,3 oC

Extra #1
40
T2 foi determinado a partir da relação:
′
q =
2πkb T2 −T3
( )
ln
reB
riB
=
2π.2 T2 − 5
( )
ln
60
40
= 471⇒ T2 = 20,2o
C
Assim, o perfil no aquecedor é dado por:
T(r) =
− !
q
4k
r2
+
!
qrA
2
2k
lnr + C2
Para o cilindro maciço, dT/dt = 0 em sua super7ície externa e considerando a
eq. diferencial que fornece o per7il de temperatura neste domínio (sem
geração de calor), conclui-se que a temperatura é constante. Portanto, a
temperatura no centro é 24,3 oC.
Com o per7il de temperatura no interior do aquecedor, calculamos a
temperatura em sua super7ície interna: T(rA) = 24,3 oC

Extra #1
41
Calculemos o raio crítico:
(b) Espessura do isolamento para diminuir a potência no aquecedor (t):
rc = kR / h = 4 / 50 = 0,08 m ou 80 mm
q’ (W/m)
r (mm)
80
471
′
q =
T3 −T∞
ln
rR
*
reB
2πkR
+
1
h2πrR
*
⇒ rR
*
= 0,11m
rR
*
A espessura é do revestimento deve ser de no mínimo 0,11 – 0,06 m, ou 50 mm.

Superfícies estendidas
v. 3.1
1

Superfícies estendidas
2
—Introdução;
—Exemplos;
—Configurações de aleta;
—Aletas – análise geral;
—Condições de contorno em aletas;
—Eficiência de aletas;
—Exercícios.

Introdução
3
O que é uma Superfície Estendida?
Prolongamento de uma superfície base em que
internamente há transferência de calor por condução e
externamente por convecção na direção transversal com
temperatura superficial variável.
Qual é a aplicação mais freqüente?
A aplicação mais frequente tem por objetivo aumentar a
taxa de transferência de calor por convecção (e/ou
radiação) de um sólido para a vizinhança. Nesse caso a
superfície é chamada de aleta.

Exemplos de superfícies estendidas
4
Colher no café
Eixo em motor elétrico
Cabo de panela

Exemplos de aletas
5
Dissipadores de calor de chips

Exemplos de aletas
6
Tubo aletado de trocador de calor

Exemplos de aletas
7
Trocadores de calor compactos

Exemplos de aletas
8
Aletas em seres vivos
Stegosaurus
Elefante

Exemplos de aletas
9
Cilindros de moto
Motor elétrico

Configuração de aleta
10
Aleta plana
Seção uniforme
Aleta plana
Seção não-uniforme
Aleta anular
Aleta piniforme

Aletas – análise geral
11
Hipóteses:
•Regime permanente;
•Condução unidimensional;
•Condutividade térmica
constante;
•Sem geração de calor;
•Radiação desprezível em
face da convecção.

Dedução
12
qx − qx+dx − dqconv = 0
qx − qx +
dqx
dx
dx − hP T −T∞
( )dx = 0
Usando uma série de Taylor truncada:
−
d
dx
−kAc
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dx − hP T −T∞
( )dx = 0
Usando a lei de Fourier:

Dedução
13
−
d
dx
−kAc
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ dx − hP T −T∞
( )dx = 0
Chegamos em:
Podemos melhorar:
k
d
dx
Ac
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − hP T −T∞
( )= 0
k
dAc
dx
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + kAc
d2
T
dx2
− hP T −T∞
( )= 0

Aleta de seção uniforme
14
EDO:
Define-se:

Solução
15
Ou:
θ = C3
senh mx
( )+ C4
cosh mx
( )

Funções hiperbólicas
16
Seno hiperbólico: Cosseno hiperbólico: Tangente hiperbólica:
Propriedades:
senh x =
ex
− e−x
2
cosh x =
ex
+ e−x
2
tanh x =
ex
− e−x
ex
+ e−x
sinh0 = 0 x → ∞, sinh x = ∞
cosh0 = 1 x → ∞, cosh x = ∞
tanh0 = 0 x → ∞, tanh x →1
sin ′
h x = cosh x cos ′
h x = sinh x

Funções hiperbólicas
17
cosh x − y
( )= cosh x
( )cosh x
( )− senh x
( )senh y
( )
senh x − y
( )= senh x
( )cosh y
( )− senh y
( )cosh x
( )

Condições de contorno possíveis
18
Na base: θ 0
( )= Tb
−T∞
≡ θb
Na ponta: A. Convecção: − kdθ / dx |x=L
= hθ L
( )
B. Adiabática: − kdθ / dx |x=L
= 0
C. Temperatura especificada: θ L
( )= θL
D. Aleta infinita (mL > 2,65): θ L
( )= 0

Soluções
19
Caso
Condição da
extremidade (x = L)
Distribuição de temperatura (θ / θb) Taxa de transferência de calor (qa)
A Convecção
B Adiabática
C
Temperatura
prescrita
D Aleta infinita
coshm(L − x)+ (h / mk)senhm(L − x)
coshmL + (h / mk)senhmL
M
senhmL + (h / mk)coshmL
coshmL + (h / mk)senhmL
coshm(L − x)
coshmL
M tanhmL
θL /θb
( )senhmx + senhm(L − x)
senhmL
M
(coshmL −θL /θb )
senhmL
e−mx
M
m2
= hP / kAc
M = θb hPkAc
θ = T −T∞
θb = θ(0) = Tb −T∞

Calor transferido pela aleta
20
Podemos calcular o calor transferido pela aleta de dois modos:
qa
= Af
∫ hθ x
( )dAs
Convecção
qa
= −kAc
dθ
dx
|x=0
Condução

Perfis adimensionais para o caso B
21

Dedução do caso A
22
Partimos da solução:
θ = C1
senh mx
( )+ C2
cosh mx
( ) (1)
Apliquemos as condições de contorno:
θ x = 0
( )= θb ⇒ C2
= θb
−k
dT
dx x=L
= h TL
−T∞
( )= hθL
⇒ −k C1
mcosh mx
( )+ C2
msenh mx
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦x=L
= hθL
−km C1
cosh mL
( )+θb
senh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦ = h C1
senh mL
( )+θb
cosh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦

Dedução do caso A
23
−km C1
cosh mL
( )+θb
senh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦ = h C1
senh mL
( )+θb
cosh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦
− C1
cosh mL
( )+θb
senh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦ = h
km
C1
senh mL
( )+θb
cosh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦
C1
h
km
senh mL
( )+ cosh mL
( )+
⎡
⎣
⎤
⎦
= −θb
senh mL
( )− h
km
θb
cosh mL
( )
C1
= −θb
senh mL
( )+ h
km
cosh mL
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )

Dedução do caso A
24
Substituindo em (1):
θ = −θb
senh mL
( )+ h
km
cosh mL
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
senh mx
( )+θb
cosh mx
( )
θ
θb
= −
senh mL
( )+ h
km
cosh mL
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
senh mx
( )+ cosh mx
( )
θ
θb
=
−senh mL
( )senh mx
( )− h
km
senh mx
( )cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )cosh mx
( )+ cosh mL
( )cosh mx
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )

Dedução do caso A
25
θ
θb
=
−senh mL
( )senh mx
( )− h
km
senh mx
( )cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )cosh mx
( )+ cosh mL
( )cosh mx
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
θ
θb
=
−senh mL
( )senh mx
( )+ h
km
senh mL
( )cosh mx
( )− senh mx
( )cosh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦ + cosh mL
( )cosh mx
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Podemos usar a relação: senh x − y
( )= senh x
( )cosh y
( )− senh y
( )cosh x
( )
θ
θb
=
−senh mL
( )senh mx
( )+ h
km
senhm L − x
( )+ cosh mL
( )cosh mx
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )

Dedução do caso A
26
Podemos usar a relação: cosh x − y
( )= cosh x
( )cosh x
( )− senh x
( )senh y
( )
θ
θb
=
−senh mL
( )senh mx
( )+ h
km
senhm L − x
( )+ cosh mL
( )cosh mx
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
θ
θb
=
coshm L − x
( )+ h
km
senhm L − x
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Nossa solução fica:
θ
θb
=
coshm L − x
( )+ h
km
senhm L − x
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )

Dedução do caso A
27
Vamos calcular o calor total transferido a partir da aleta:
qa
= −kAc
dT
dx x=0
qa
= −kAc
θb
−msenhm L − x
( )− m h
km
coshm L − x
( )
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
x=0
qa
= mkAc
θb
senhmL + h
km
coshmL
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )

Dedução do caso A
28
qa
= M
senhmL + h
km
coshmL
cosh mL
( )+ h
km
senh mL
( )
Obtemos:

Dedução do caso B
29
θ = C1
senh mx
( )+ C2
cosh mx
( ) (1)
θ x = 0
( )= θb ⇒ C2
= θb
−kAc
dT
dx x=L
= 0 ⇒ C1
mcosh mL
( )+ C2
msenh mL
( )= 0
Combinando as duas condições de contorno:
⇒ C1
mcosh mL
( )+θb
msenh mL
( )= 0
⇒ C1
= −θb
tanh mL
( )

Dedução do caso B
30
θ = −θb
tanh mL
( )senh mx
( )+θb
cosh mx
( )
θ
θb
= −
senh mL
( )
cosh mL
( )
senh mx
( )+ cosh mx
( )
θ
θb
=
cosh mL
( )cosh mx
( )− senh mL
( )senh mx
( )
cosh mL
( )
θ
θb
=
coshm L − x
( )
cosh mL
( )

Dedução do caso B
31
qa
= −kAc
dT
dx x=0
qa
= −kAc
−θb
m
senhm L − x
( )
cosh mL
( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥x=0
qa
= θb
mkAc
senh mL
( )
cosh mL
( )
qa
= θb
kPkAc
tanh mL
( )
qa
= M tanhmL

Dedução do caso C
32
θ = C1
senh mx
( )+ C2
cosh mx
( ) (1)
θ x = 0
( )= θb ⇒ C2
= θb
θ x = L
( )= θL ⇒θL
= C1
senh mL
( )+θb
cosh mL
( )
⇒ C1
=
θL
−θb
cosh mL
( )
senh mL
( )

Dedução do caso C
33
θ =
θL
−θb
cosh mL
( )
senh mL
( )
senh mx
( )+θb
cosh mx
( )
θ =
θL
senh mx
( )−θb
senh mx
( )cosh mL
( )+θb
senh mL
( )cosh mx
( )
senh mL
( )
θ =
θL
senh mx
( )+θb
senh mL
( )cosh mx
( )− senh mx
( )cosh mL
( )
⎡
⎣ ⎤
⎦
senh mL
( )
θ
θb
=
θL
/θb
senh mx
( )+ senhm L − x
( )
senh mL
( )

Dedução do caso C
34
qa
= −kAc
dT
dx x=0
qa
= −kAc
mθb
θL
/θb
cosh mx
( )− coshm L − x
( )
senh mL
( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥x=0
qa
= M
coshmL −θL
/θb
senhmL

Dedução do caso D
35
θ = C1
emx
+ C2
e−mx
θ x → ∞
( )→ 0 ⇒ C1
= 0
θ x = 0
( )= θb ⇒ C2
e−m0
= θb
∴C2
= θb
θ
θb
= e−mx

Dedução do caso D
36
qa
= −kAc
dT
dx x=0
θ
θb
= e−mx
qa
= −kAc
−mθb
e−mx
⎡
⎣
⎤
⎦x=0
qa
= θb
mkAc
= θb
hP
kAc
kAc
qa
= θb
kAc
hP
qa
= M

Parâmetros de desempenho
37
Efetividade =
calor transferido pela aleta
calor transferido sem a aleta
ε =
qa
hAcθb
ε =
θb hPkAc
hAcθb
ε =
Pk
hAc
aleta infinita
Efeciência =
calor transferido pela aleta
máximo calor que pode ser transferido
ηa =
qa
hAsθb
ηa =
M tanh mL
( )
hAsθb
ηa =
θb hPkAc tanh mL
( )
hPLθb
aleta adiabática
ηa =
tanh mL
( )
mL

Eficiência de aleta
38
ηa =
tanh mLc
( )
mLc
Ap = Lct
Lc = L + t / 2
Lc = L + D / 4
Para compensar a convecção na ponta:
ht
k
ou
hD
2k
≤ 0,0625
Validade da aproximação:

Eficiência de aleta (gráficos)
39

Eficiência de aletas (gráficos)
40

Circuito elétrico equivalente
41
Calor transferido pela aleta
qa = ηahAsθb
qa = ηahAs Tb − T∞
( )
Rt,a =
1
ηahAs
Rt, b =
1
hAb
Resistência introduzida pela base:
Resistência introduzida pela aleta:

Circuito elétrico equivalente
42
A introdução da aleta deve diminuir a resistência à transferência de calor:
Rt,b
Rt,a
=
1
hAb
θb
qa
=
qa
hAbθb
εa =
Rt,b
Rt,a
Critério de projeto: εa ≥ 2

Superfície aletada
43
Área total
At
= NAa
+ Ab
Rt, b =
1
hAb
Taxa total de transferência de calor: qt
= Nηa
hAa
θb
+ hAb
θb
Eficiência de toda a
superfície:
qt
= ηo
hAt
θb ηo
= 1−
NAa
At
1−ηa
( )

Dedução da eficiência da superfície
afetada
44
qt
= Nηa
Aa
At
+
Ab
At
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ hAt
θb
Chegamos em: qt
= Nηa
hAa
θb
+ hAb
θb
qt
= Nηa
Aa
At
+
At
− NAa
At
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ hAt
θb
ηo
= 1−
NAa
At
(1−ηa
)

Superfície aletada
45
Resistência térmica da
superfície:
qt
= ηo
hAt
θb
=
θb
Rt,o
Rt,o
=
1
ηo
hAt

Superfície aletada
46
Resistência térmica da
superfície (com resistência
de contato):
Rt,o(c)
=
1
ηo(c)
hAt
ηo c
( ) = 1−
NAa
At
1−
ηa
C1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ C1
= 1+ηa
hAa ′′
Rt,c
/ Ac,b
( )

47
• Saber identificar uma superfície estendida;
• Entender porque não podemos utilizar a equação da condução de
calor para representar um aleta unidimensional;
• Saber deduzir a equação diferencial da aleta para os casos sem
geração, com geração e fluxo de calor uniforme na superfície;
• Saber diferenciar entre as quatro condições de contorno possíveis para
a ponta da aleta, especialmente a diferença entre os casos C e D;
• Saber resolver a equação diferencial da aleta, sendo ela homogênea
ou não-homogênea;
• Saber calcular o calor perdido apela aleta para o ambiente;
• Saber aplicar o conceito de eficiência de aleta.

48
Um motor recebe potência elétrica Pelec de uma linha de força e transmite potência mecânica
Pmec para uma bomba através de um eixo rotativo de condutividade térmica ke, comprimento L
e diâmetro D. O motor está montado sobre uma base quadrada com lado de comprimento W,
espessura t e condutividade térmica kb. A superfície da carcaça do motor, exposta ao ar
ambiente a T∞, possui uma área Ah e o coeficiente convectivo correspondente é hh. As
extremidades opostas do eixo estão a temperaturas de Th e T∞, e a transferência de calor do
eixo para o ar ambiente é caracterizada por um coeficiente convectivo hs. A superfície inferior
da base do motor está a T∞. Expressando o seu resultado em termos dos parâmetros
fornecidos, obtenha uma expressão para (Th – T∞). Demais dados fornecidos na figura da
próxima página.

Exercício 3.105
49
unidimensional no eixo e na base, (3) propriedades constantes,
(4) resistências de contato desprezíveis e (5) transferência de
calor por radiação desprezível.

Exercício 3.105
50
Substituindo cada termo:

Exercício 3.105
51
Combinando as expressões
anteriores
Obtemos:

Exercício 3.105
52
Substituindo os valores:
Poderíamos ter considerado aleta infinita?
mL = 3,87 > 2,65
Sim, poderíamos ter considerado aleta infinita.

Exercício 3.105
53
Poderíamos ter desprezado a radiação? Veja que obtivemos
uma temperatura de 347,1 oC (620 K). Vamos considerar uma
emissividade de 0,8:
Não poderíamos desprezar a radiação!
Comparemos com o calor transferido por convecção:

54
Uma operação de união utiliza um laser para fornecer um fluxo de calor constante, q"o,
através da superfície superior de uma fina película de plástico revestida com adesivo para ser
afixada a uma tira de metal como mostrado no esboço. A tira de metal tem uma espessura
d = 1,25 mm, e sua largura é grande em relação à do filme. As propriedades termofísicas da
tira são ρ = 7850 kg / m3, cp = 435 J / kg K e k = 60 W / m K. A resistência térmica da película
plástica de largura w1 = 40 mm é insignificante. As superfícies superior e inferior da tira
(incluindo a película plástica) experimentam uma convecção com ar a 25 oC e um coeficiente
de convecção de 10 W / m2K. A tira e a película são muito longas na direção normal da
página. Suponha que as bordas da tira de metal estão à temperatura do ar (T∞).
(a) Derive uma expressão para a distribuição de temperatura na porção da tira de aço com a
película de plástico (w1 / 2 ≤ x ≤ w1 / 2).
(b) Se o fluxo de calor fornecido pelo laser for de 10.000 W / m2, determine a temperatura da
película plástica no centro (x = 0) e suas bordas (x = ± w1 / 2).

Exercício 3.115
55
Hipóteses: (1) Regime permanente, (2) condução unidimensional
em x, (3) propriedades constantes, (4) resistências térmica da
película desprezível, (5) transferência de calor por radiação
desprezível, (6) a fita comporta-se como uma aleta infinita, (7)
todo o fluxo radiativo é absorvido pelo filme e (8) o coeficiente
convectivo é uniforme ao longo das superfícies superior e inferior.

Exercício 3.115
56
(a) distribuição de temperatura na região 1 (0 ≤ x ≤ w1 / 2).
Balanço de energia em VC diferencial por unidade de largura:
dx
′
qx ′
qx+dx
′′
qo
dx 2hdx T −T∞
( )
⇒ ′
qx − ′
qx +
d ′
qx
dx
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q dx − 2hdx T −T∞
( )= 0

Exercício 3.115
57
(a) distribuição de temperatura na região 1 (0 ≤ x ≤ w1 / 2).
⇒ ′
qx − ′
qx +
d ′
qx
dx
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q dx − 2hdx T −T∞
( )= 0
−
d ′
qx
dx
+ ′′
q − 2h T −T∞
( )= 0
d
dx
k ′
Ac
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q − hrad T −T∞
( )= 0
kd
d2
T
dx2
+ ′′
q − 2h T −T∞
( )= 0
d2
T
dx2
−
2h
kd
T − T∞
( )= −
′′
q
kd

Exercício 3.115
58
d2
T
dx2
−
2h
kd
T − T∞
( )= −
′′
q
kd
d2
θ
dx2
− m2
θ = −
′′
q
k d
θ = T − T∞
m2
=
2h
k d
Equação homogênea:
d2
θ
dx2
− m2
θ = 0 θ = C1emx
+ C2e−mx

Exercício 3.115
59
d2
θ
dx2
− m2
θ = 0 θ = C1emx
+ C2e−mx
Equação não-homogênea:
d2
θ
dx2
− m2
θ = −
′′
q
k d
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
m2
k d
θ1 = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
2h

Exercício 3.115
60
Distribuição de temperatura na região 2 (x ≥ w1 / 2).
θ2
= C3
e−mx

Exercício 3.115
61
1
dT
dx x=0
= 0
2 T1 w1 / 2
( )= T2 w1 / 2
( )
3 − k
dT1
dx x=w1/2
= −k
dT2
dx x=w1/2
4 T2 → T∞ para x → ∞ ( já usamos)

Exercício 3.115
62
Condições de contorno na variável θ:
1
dθ1
dx x=0
= 0
2 θ1 w1 / 2
( )= θ2 w1 / 2
( )
3
dθ1
dx x=w1/2
=
dθ2
dx x=w1/2
4 θ2 → 0 para x → ∞ ( já usamos)

Exercício 3.115
63
1
dθ1
dx x=0
= 0
2 θ1 w1 / 2
( )= θ2 w1 / 2
( )
3
dθ1
dx x=w1/2
=
dθ2
dx x=w1/2
4 θ2 → 0 para x → ∞ ( já usamos)
θ1 = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
2h
θ2
= C3
e−mx
⇒ C1m − C2m = 0 ⇒ C1 = C2
⇒ C1 emw1/2
+ e−mw1/2
( )+
′′
q
2h
= C3e−mw1/2
⇒ C1m emw1/2
− e−mw1/2
( )= −C3me−mw1/2

Exercício 3.115
64
C1 emw1/2
+ e−mw1/2
( )− C3e−mw1/2
= −
′′
q
2h
C1 emw1/2
− e−mw1/2
( )+ C3e−mw1/2
= 0
Precisamos resolver o sistema linear de equações (2 x 2):
+
C1 emw1/2
( )+ C1 emw1/2
( )= −
′′
q
2h
C1 = −
′′
q / 2h
2emw1/2

Exercício 3.115
65
C1 emw1/2
− e−mw1/2
( )+ C3e−mw1/2
= 0
C1 = −
′′
q / 2h
2emw1/2
C3 =
′′
q / 2h
2emw1/2
emw1/2
− e−mw1/2
e−mw1/2
C3 = ′′
q / 2hsenh mw1 / 2
( )

Exercício 3.115
66
θ1 = −
′′
q / 2h
2emw1/2
emx
+ e−mx
( )+
′′
q
2h
θ2
= ′′
q / 2hsenh mw1
/ 2
( )e−mx
Obtemos:
θ1 =
′′
q
2h
1− e−mw1/2
coshmx
( ) p / 0 ≤ x ≤
w1
2
θ2
=
′′
q
2h
senh mw1
/ 2
( )e−mx
p / x ≥
w1
2

Exercício 3.115
67
(a) temperatura da película plástica no centro (x = 0) e suas bordas (x = ± w1 / 2).
θ1 =
′′
q
2h
1− e−mw1/2
coshmx
( )
′′
q
2h
=
10.000
2.10
= 500K m =
2h
k d
=
2⋅10
60⋅1,25 ×10−3
= 16,33m−1
θ1 0
( )=
′′
q
2h
1− e−mw1/2
( )= 500 1− e−16,33⋅0,02
( )= 139,3K
θ1 0
( )=
′′
q
2h
1− e−mw1/2
( )= 500 1− e−16,33⋅0,02
( )= 139,3o
C
T1 0
( )= 164,3o
C

Exercício 3.115
68
(a) temperatura da película plástica no centro (x = 0) e suas bordas (x = ± w1 / 2).
θ1(w1 / 2) = 500 1− e−16,33w1/2
coshmw1 / 2
( )= 119,9o
C
OU
θ2
(w1
/ 2) = 500senh 16,33w1
/ 2
( )e
−16,33.w1
/2
= 119,9o
C
T1(w1 / 2) = T1(w2 / 2) = 144,9o
C

Medidor de fluxo de calor
69
Uma fina placa de um medidor de fluxo de calor é fixada em ambos os lados em uma
carcaça mantida a Tc = 20o
C. Há uma resistência de contato entre a placa e a carcaça de
R" = 10-4
K.m2
/W. A espessura da placa é th = 1 mm e a metade do comprimento, L = 2cm.
A condutividade térmica da placa é k = 10 W/m.K. A superfície inferior da placa é isolada
termicamente e a superior está voltada para um espaço evacuado. A radiação emitida
pela superfície superior pode ser calculada usando um coeficiente de transferência de
calor por radiação calculado pela expressão h = 4εσ , em que é a temperatura média em
kelvin entre a temperatura ambiente (T∞) e a temperatura da placa. O fluxo de calor por
radiação incidente sobre a superfície superior da placa é qʹ′ = 900 W /m2
. Assuma que a
placa comporta-se como um corpo negro. O medidor de fluxo opera correlacionando a
diferença de temperatura entre o centro da placa e a carcaça.
T 3
T
1.7-5 A flux meter is illustrated in Figure P1.7-5.
2
900 W/m
! evacuated
space
" = 2 cm
-4 2
1x10 K-m /W
#
$% = 1 mm
& = 10 W/m-K
20 C
'
(
20 C
)
'

70
A.Obtenha a equação diferencial que descreve a variação de temperatura da placa
em função da posição. Apresente as condições de contorno.
B.Obtenha a solução da equação diferencial sujeita às condições de contorno do
problema.
C.Esboce a distribuição de temperatura na placa e calcule a temperatura máxima.
D.Obtenha uma expressão para a curva de calibração, que relaciona o fluxo de
calor com a diferença de temperatura entre o centro e a borda da placa. Assuma
que a resistência de contato R é nula (como isso afeta as expressões obtidas
nos itens a e b?) .
1.7-5 A flux meter is illustrated in Figure P1.7-5.
2
900 W/m
! evacuated
space
" = 2 cm
-4 2
1x10 K-m /W
#
$% = 1 mm
& = 10 W/m-K
20 C
'
(
20 C
)
'
Figure P1.7-5: Flux meter.

71
a) Equação diferencial e condições de contorno
Hipóteses:
•Regime permanente;
•Condução unidimensional em x;
•Condutividade térmica constante;
•Sem geração interna de energia térmica;
•Sem convecção na face superior;
•Transferência de calor por radiação entre uma
pequena superfície e outra muito maior que a envolve.

72
Balanço de energia em VC diferencial
x
dx
qx
qx+dx
′′
q wdx hwdx T −T∞
( )
qx − qx +
dqx
dx
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q wdx − hwdx T −T∞
( )= 0
−
dqx
dx
+ ′′
q w − hw T −T∞
( )= 0
d
dx
kAc
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
q W − hradW T −T∞
( )= 0

73
Balanço de energia em VC diferencial
x d
dx
kAc
dT
dx
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + ′′
( )= 0
kW th
d2
T
dx2
+ ′′
( )= 0
d2
T
dx2
−
hrad
kth
T −T∞
( )= −
′′
q
kth

74
d2
T
dx2
−
hrad
kth
T −T∞
( )= −
′′
q
kth
−k
dT
dx x=0
=
Tc −T(0)
R
dT
dx x=L
= 0

75
d2
T
dx2
−
hrad
kth
T − T∞
( )= −
′′
q
kth
b) Solução da equação diferencial
d2
θ
dx2
− m2
θ = −
′′
q
k ⋅th
θ = T −T∞
m2
=
h
kth
d2
θ
dx2
− m2
θ = 0 θ = C1emx
+ C2e−mx

76
Equação não-homogênea:
d2
θ
dx2
− m2
θ = −
′′
q
kth
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
m2
kth
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
hrad

77
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
hrad
Condições de contorno
−k
dT
dx x=0
=
Tc −T(0)
R
dθ
dx
= C1memx
− C2me−mx
−kmR C1 − C2
( )= Tc −T∞ − C1 − C2 −
′′
q
hrad
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )C2 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad

78
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
hrad
dT
dx x=L
= 0
dθ
dx
= C1memx
− C2me−mx
C1memL
− C2me−mL
= 0

79
C1memL
− C2me−mL
= 0
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )C2 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
C2 = e2mL
C1
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )e2mL
C1 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )e2mL
C1 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad

80
C1memL
− C2me−mL
= 0
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )C2 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
C2 = e2mL
C1
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )e2mL
C1 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
1− kmR
( )C1 + 1+ kmR
( )e2mL
C1 = Tc −T∞ −
′′
q
hrad
C1 =
Tc −T∞ −
′′
q
hrad
1− kmR
( )+ 1+ kmR
( )e2mL
C2 =
Tc −T∞ −
′′
q
hrad
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ e2mL
1− kmR
( )+ 1+ kmR
( )e2mL

81
h = 4εσT 3
= 6,309W
m2
K4
c) Esboço do perfil de temperatura e temperatura máxima
Coeficiente de radiação (hip. = 30oC)
T
m =
′′
qrad
kth
= 25,12m−1
C1 = −37,79o
C
C2 = −103,2o
C
θ = −37,79emx
−103,2e−mx
+
′′
q
h

82
c) Esboço do perfil de temperatura e temperatura máxima
T / oC
x / m
Tmax = 37,5o
C

83
d) Curva de calibração (q" por Tmax – Tc) para R = 0
θ = C1emx
+ C2e−mx
+
′′
q
hrad
dT
dx x=L
= 0 C1memL
− C2me−mL
= 0
T (0) = Tc
Tc −T∞ = C1 + C2 +
′′
q
hrad

84
C1memL
− C2me−mL
= 0
Tc −T∞ = C1 + C2 +
′′
q
hrad
C1 + C2 +
′′
q
hrad
= 0
C2 = e2mL
C1
C1 = −
′′
q
h
e−mL
2coshmL
C2 = −
′′
q
h
emL
2coshmL
θ =
′′
q
h
1−
cosh m(L − x)
[ ]
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭

85
θ =
′′
q
h
1−
cosh m(L − x)
[ ]
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
θmax (L) =
′′
q
h
1−
1
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= Tmax −T∞
′′
q = hrad 1−
1
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−1
Tmax − T∞
( )
Linear!

86
θ =
′′
q
h
1−
cosh m(L − x)
[ ]
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
θmax (L) =
′′
q
h
1−
1
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
= Tmax −T∞
′′
q = hrad 1−
1
cosh mL
[ ]
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
−1
Tmax − T∞
( )
Linear!

Análise concentrada
v. 1.3
1

Introdução
2
Regime Permanente: temperatura não varia com o tempo (não há variação da energia
térmica)
1-D: T(x)
2-D: T(x,y)
3-D: T(x,y,z)
Regime Transiente ou Transitório: temperatura varia com o tempo (há variação da
energia térmica)
0-D: T(t)
1-D: T(x,t)
2-D: T(x,y,t)
Problemas 0-D são ideais para começar (resultam em uma EDO)
• objeto de interesse apresenta temperatura uniforme que varia com o tempo;
• análise concentrada.

Experimento
3
Ti (oC)
LM35
Qual é a “cara” da função T x t ?

Experimento
4
Ti = 25,9 oC
T∞ = 57,0 oC
T∞ = 25,9 oC
Forma esperada: T(t) = T∞ + (Ti – T∞)exp(– t / 𝝉)

Experimento
5
T
/
o
C
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
t (s)
6,3 s
5,6 s

Introdução
6
Ti
T∞
Para um volume de controle em
torno do bloco:
dEst
dt
= ρ∀c
dT
dt
= !
Ein
− !
Eout
+ !
Eg
ρ∀c
dT
dt
= −hAs
T −T∞
( )

Introdução
7
EDO: ρ∀c
dT
dt
= −hAs
T −T∞
( )
dθ
dt
= −
hAs
ρ∀c
θ com θ = T −T∞
dθ
θ
= −
hAs
ρ∀c
dt
dθ
θ
θi
θ
∫ = −
hAs
ρ∀c
dt
0
t
∫
ln
θ
θi
= −
hAs
ρ∀c
t
θ
θi
= e
−
hAs
ρ∀c
t

Introdução
8
θ
θi
=
T −T∞
Ti
−T∞
= e
−
hAs
ρ∀c
t
θ
θi
=
T −T∞
Ti
−T∞
= e
−
t
RtCt
Rt
=
1
hAs
Ct
= ρ∀c
em termos de uma constante de tempo:
θ
θi
=
T − T∞
Ti
− T∞
= e
−
t
τ
τ = Rt
Ct
=
ρ∀c
hAs

Introdução
9
θ
θi
=
T −T∞
Ti
−T∞
= e
−
hAs
ρ∀c
t

Constante de tempo
10
O cálculo da constante de tempo fornece “insight” sobre o
comportamento do sistema.
A constante de tempo é, aproximadamente, o tempo requerido
para que o sistema responda a uma mudança no ambiente.
Sem resolver o problema é possível compreender,
aproximadamente, como o objeto comporta-se em resposta a
diversos estímulos.
Por exemplo, para um degrau positivo na temperatura
ambiente, a constante é o tempo necessário para que o objeto
atinja 67 % da sua temperatura em regime permanente.

Constante de tempo
11
Time
Temperature
object temperature
ambient temperature
!
temperatura do objeto
Temperatura
Tempo
t

Medição da temperatura de um fluido
12
Time
Temperature
object temperature
ambient temperature
temperatura do sensor
Temperatura
Tempo
τ << período do oscilação
Time
Temperature
object
temperature
ambient temperature
Tempo
temperatura
do sensor
Temperatura
τ >> período do oscilação

Validade do método
13
Balanço de energia superficial:
qcond
= qconv
kA
L
Ts,1
−Ts,2
( )= hA Ts,2
−T∞
( )
Bi =
Ts,1
−Ts,2
Ts,2
−T∞
=
L
kA
1
hA
=
Rt,cond
Rt,conv

Biot e os meteoritos
14

Validade do método
15
Bi =
hL
k
<<1

Análise Geral
16
dEst
dt
= ρ∀c
dT
dt
= !
Ein
− !
Eout
+ !
Eg
Obtemos:
ρ∀c
dT
dt
= ′′
qs
As,h
− h T −T∞
( )− εσ T4 −Tsur
4
( )
⎡
⎣
⎤
⎦ As,(c,r)
+ !
Eg

Caso particular: apenas radiação
17
Integrando:
ρ∀c
dT
dt
= −εσ As
T4 −Tsur
4
( )
εσ As
ρ∀c
dt
0
t
∫ =
dT
Tsur
4 −T4
Ti
T
∫
t =
ρ∀c
4εσ As
Tsur
3
ln
Tsur
+T
Tsur
−T
− ln
Tsur
+Ti
Tsur
−Ti
+ 2 arctan
T
Tsur
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − arctan
Ti
Tsur
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
obtém-se:

Caso particular: radiação desprezível
18
mudança
de variável:
θ ≡ T −T∞
ρ∀c
dT
dt
= ′′
qs
As,h
− hAs,c
T −T∞
( )+ !
Eg
a = hAs,c
/ ρ∀c
b = ′′
qs
As,h
+ !
Eg
( )/ ρ∀c
dT
dt
= −a T −T∞
( )+ b
mudança
de variável:
dθ
dt
= −aθ + b
mudança
de variável: ′
θ ≡ θ −
b
a
d ′
θ
dt
= −a ′
θ

19
integrando
d ′
θ
dt
= −a ′
θ
′
θ
′
θi
= e−at
θ −
b
a
θi
−
b
a
= e−at
θ = θi
e−at +
b
a
1− e−at
( )
θ
θi
= e−at +
b
a
1− e−at
( )/θi
T −T∞
Ti
−T∞
= e−at +
b / a
Ti
−T∞
1− e−at
( )
a =
hAs,c
ρ∀c
b =
′′
qs
As,h
+ !
Eg
ρ∀c

20
T −T∞
Ti
−T∞
= e−at +
b / a
Ti
−T∞
1− e−at
( ) a =
hAs,c
ρ∀c
b =
′′
qs
As,h
+ !
Eg
ρ∀c
Vamos determinar a temperatura de equilíbrio (Tf):
Tf
−T∞
Ti
−T∞
= lim
t→∞
e−at +
b / a
Ti
−T∞
1− e−at
( )
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
0 1
Tf
−T∞
Ti
−T∞
=
b / a
Ti
−T∞
Tf
= T∞
+
b
a
Tf
= T∞
+
′′
qs
As,h
+ !
Eg
hAs,c

Situação original
21
Radiação desprezível e
sem termos fonte: h >> hr
, !
Eg
= 0, ′′
qs
= 0
θ
θi
=
T −T∞
Ti −T∞
= e
−
hAs
ρ∀c
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟t
= e
−
t
τ
Calor total transferido: ΔEst
= −Q = − !
Eout
0
t
∫ dt
ΔEst
= −hAs
θ dt
0
t
∫
ΔEst
= ρ∀c
( ) T∞
−Ti
( ) 1− e
−
t
τ
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

Na forma adimensional
22
θ
θi
=
T −T∞
Ti −T∞
= e
−
hAs
ρ∀c
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟t T −T∞
Ti −T∞
= e
−
h
ρLcc
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟t
Lc =
∀
As
T −T∞
Ti −T∞
= e
−
hLc
k
kt
Lc
2
ρc
T −T∞
Ti −T∞
= e−Bi⋅Fo
número de Biot: Bi =
hLc
k
número de Fourier: Fo =
αt
Lc
2
α =
k
ρc
Difusividade
térmica:

Validade do método
23
Lc =
∀
As
vimos que Bi << 1 Bi =
hLc
k
vamos adotar Bi < 0,1 como critério!
Para uma placa de espessura 2L: Lc =
2LAs
2As
= L
Para um cilindro de raio r: Lc =
πr2L
2πrL
=
r
2
Para uma esfera de raio r: Lc =
4 / 3πr3
4πr2
=
r
3

24
• Saber escrever um balanço de energia para um problema
transitório;
• Entender o significado do número de Biot;
• Saber calcular o número de Biot para geometrias comuns;
• Saber identificar se o método da análise concentrada se aplica a um
problema;
• Entender o significado da constante de tempo de um sistema de 1a
ordem;
• Saber calcular o calor transferido / armazenado;
• Saber modelar a presença de finas camadas de revestimento (conceito
de coeficiente global de transferência de calor.

Exemplo do picolé
25
a) Caixas de picolés de fruta foram removidos de um armazém frigorífico
para transporte em caminhão refrigerado. Durante o procedimento
algumas caixas caíram, derrubando os picolés no chão da doca. Até que
os picolés fossem recolhidos, passaram-se 5 min. Os picolés têm formato
aproximadamente cilíndrico e são embalados com papel. Admitida que
durante esse período eles ficaram expostos à convecção, transferindo
calor apenas com o ar ambiente da doca. Determine a temperatura
máxima atingida no picolé.
b) Quanto de energia por picolé deve ser removida pelo refrigerador do
caminhão para que o sorvete retorne ao estado inicial?
c) Por quanto tempo o sorvete pode permanecer na doca antes de
começar a derreter?

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