Concepção Estrutural de Edifícios: Projeto de Estruturas

Concepção Estrutural de Edifícios
• de maneira geral, uma construção é concebida para
atender a determinadas finalidades.
• a sua implantação envolve a utilização dos mais diversos
materiais: o concreto armado, as alvenarias de tijolos ou
blocos, as esquadrias metálicas e de madeira, os
revestimentos, o telhado, as instalações elétricas e
hidráulicas, etc.
Figura 1 - Fachada de um edifício de concreto armado
Devem ser considerados vários aspectos no projeto de uma
construção:
• Projeto de Arquitetura
aspectos ligados à estética e à funcionalidade de uso;
• Projeto de Estruturas
aspectos relativos à sua segurança;
• Projeto das Instalações –
aspectos que envolvem instalações elétricas e hidráulicas.

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Projeto Estrutural
Normalmente, os materiais utilizados em uma construção
podem ser divididos em dois conjuntos:
• partes “resistentes” constituindo a estrutura da construção,
responsável pela resistência e estabilidade da construção;
• partes “consideradas não resistentes” constituindo o
enchimento da construção, responsáveis pela forma e pelo
aspecto da construção (as alvenarias, as esquadrias e os
revestimentos).
A estrutura é composta de elementos lineares (vigas e
pilares), bidimensionais (lajes) e tridimensionais (blocos
de estacas das fundações).
O projeto estrutural, normalmente, compõe-se das seguintes
etapas:
• concepção estrutural
• análise estrutural
• síntese estrutural
que se interagem para gerar o projeto da estrutura.

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Elementos Estruturais de Concreto Armado
Elementos estruturais básicos
• laje maciça
elemento estrutural bidimensional, geralmente horizontal,
constituindo os pisos de compartimentos; suporta diretamente
as cargas verticais do piso, e é solicitado predominantemente
à flexão (placa);
• viga
elemento unidimensional (barra), geralmente horizontal, que
vence os vãos entre os pilares dando apoio às lajes, às
alvenarias de tijolos e, eventualmente, a outras vigas, e é
solicitado predominantemente à flexão; e
• pilar
elemento unidimensional (barra), geralmente vertical, que
garante o vão vertical dos compartimentos (pé direito)
fornecendo apoio às vigas, e é solicitado predominantemente
à compressão.
As solicitações predominantes relacionadas acima estão
associadas ao que chamamos de comportamento principal ou
comportamento primário dos elementos estruturais.
As ligações rígidas existentes entre os diversos elementos
acarretam a presença de outras solicitações.

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Piso Elementar
composto de uma laje, quatro vigas e quatro pilares.
Figura 3.1 - Piso elementar

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Elementos estruturais de fundação
São elementos tridimensionais que transferem ao solo as cargas provenientes
dos pilares, considerando as características mecânicas envolvidas.
As fundações podem ser classificadas em:
• diretas ou rasas
quando a transferência de carga se der a pequena profundidade. Neste caso, o
elemento estrutural de fundação que distribui a carga do pilar para o solo
chama-se sapata direta;
• profundas
em estacas ou em tubulão, quando a transferência de carga se der a “grande”
profundidade. Neste caso, o elemento estrutural de fundação que transfere a
carga do pilar para as estacas ou tubulões chama-se bloco.
Figura 3.2 - Elementos de fundação
Elementos estruturais complementares
São os elementos estruturais que completam a estrutura do edifício e que,
normalmente, são formados por uma combinação dos elementos estruturais
básicos.
escadas, caixa d’água, muro de arrimo, vigas-paredes,...

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Concepção estrutural
Estabelecimento de um arranjo adequado dos vários elementos
estruturais anteriormente definidos, de modo a assegurar que o
mesmo possa atender às finalidades para as quais ele foi projetado.
Consiste em atender simultaneamente, sempre que possível, aos
aspectos de segurança, economia (custo e durabilidade) e aqueles
relativos ao projeto arquitetônico (estética e funcionalidade).
Na concepção estrutural é importante considerar o comportamento
primário dos elementos estruturais:
• laje
elemento plano bidimensional, apoiado em seu contorno nas
vigas, constituindo os pisos dos compartimentos; recebe as
cargas do piso transferindo-as para as vigas de apoio;
• viga
elemento de barra sujeita a flexão, apoiada nos pilares e,
geralmente, embutidas nas paredes; transfere para os pilares
o peso da alvenaria apoiada diretamente sobre ela e as
reações das lajes;
• pilares
elementos de barra sujeita a compressão, fornecendo apoio às
vigas; transfere as cargas para as fundações.

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Diretrizes gerais
• atender às condições estéticas definidas no projeto arquitetônico;
como, em geral, nos edifícios correntes, a estrutura é revestida, procura-se
embutir as vigas e os pilares nas alvenarias;
• o posicionamento dos elementos estruturais na estrutura da
construção pode ser feito com base no comportamento primário dos
mesmos;
as lajes são posicionadas nos pisos dos compartimentos para transferir as
cargas dos mesmos para as vigas de apoio; as vigas são utilizadas para
transferir as reações das lajes, juntamente com o peso das alvenarias, para os
pilares de apoio (ou, eventualmente, outras vigas), vencendo os vãos entre os
mesmos; e os pilares são utilizados para transferir as cargas das vigas para as
fundações;
• a tranferência de cargas deve ser a mais direta possível;
deve-se evitar, na medida do possível, a utilização de apoio de vigas importantes
sobre outras vigas (chamadas apoios indiretos), bem como, o apoio de pilares
em vigas (chamadas vigas de transição);
• os elementos estruturais devem ser os mais uniformes possíveis,
quanto à geometria e quanto às solicitações;
as vigas devem, em princípio, apresentar vãos comparáveis entre si;
• as dimensões contínuas da estrutura, em planta, devem ser, em
princípio, limitadas a cerca de 30 m para minimizar os efeitos da
variação de temperatura ambiente e da retração do concreto;
em construções com dimensões em planta acima de 30 m, é desejável a
utilização de juntas estruturais ou juntas de separação que decompõem a
estrutura original, em um conjunto de estruturas independentes entre si, para
minimizar estes efeitos;
• a construção está sujeita a ações (por exemplo o efeito do vento) que
acarretam solicitações nos planos verticais da estrutura; estas solicitações são,
normalmente, resistidas por “pórticos planos”, ortogonais entre si, os quais
devem apresentar resistência e rigidez adequadas; para isso, é importante a
orientação criteriosa das seções transversais dos pilares; também, é
importante lembrar, a necessidade da estrutura apresentar segurança

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adequada contra a estabilidade global da construção, em geral, conseguida
através da imposição de rigidez mínima às seções transversais dos pilares.
Pré-dimensionamento
dos elementos estruturais
Lajes
São, normalmente, de forma retangular de lados x e y ≥ x (vãos
teóricos correspondentes às distâncias entre os eixos das vigas
opostas de apoio da laje).
Os tipos usuais são: maciça, cogumelo, nervurada e mista (aqui
incluída a laje de vigotas premoldadas).
Apresentam-se, a seguir, as regras para as lajes maciças usuais de
edifícios sujeitas a cargas distribuidas uniformes.
A espessura da laje (h) pode ser estimada em h ≅≅≅≅ 2,5% x .
Recomenda-se a adoção de espessuras mínimas em função do uso
da laje:
5 cm para lajes de forro;
7 cm para lajes de piso;
12 cm para lajes sujeitas a passagem de veículos.
Essas espessuras mínimas sugerem vãos mínimos. Assim, para
lajes maciças de piso tem-se, em princípio, x ≥ 0,07 / 0,025 = 2,8 m.
Costuma-se adotar espessuras inteiras em cm (7 cm, 8 cm, etc.).
Pode-se ter paredes construidas diretamente sobre a laje,
principalmente quando estas paredes são pequenas e leves (paredes
internas). Esta situação ocorre em compartimentos pequenos.

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As lajes maciças podem ser ainda: normais ou rebaixadas (com
opcão para o emprego de forro falso e laje normal).
Figura 4.1
Laje maciça normal e rebaixada
Figura 4.2
Laje maciça normal com forro falso e
suportando o peso de alvenaria
Para as lajes da figura 4.1, tem-se:
Laje L2: x = 123 + 12 = 135 cm (o menor dos lados)
y = 378 + 12 = 390 cm
h ≅ (2,5%) x = 0,025 . 135 = 3,4 cm → 7 cm (piso).

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Laje L3: x = 213 + 12 = 225 cm (o menor dos lados)
y = 378 + 12 = 390 cm
h ≅ (2,5%) x = 0,025 . 225 = 5,6 cm → 7 cm (piso).
Vigas
São, normalmente, de seção transversal retangular
(bw x h) e posicionadas nas paredes, as quais suportam.
Em geral, a espessura da viga (bw) fica embutida na
parede.
Assim, tem-se a espessura bw , descontando-se as
espessuras de revestimento (crev, da ordem de 0,5 cm a
1,5 cm) da espessura da parede acabada (ealv).
bw = ealv - 2 crev
Normalmente, os tijolos cerâmicos e os blocos de
concreto tem espessuras (etij) de 9 cm, 14 cm e 19 cm
(ealv = etij + 2 crev).

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Figura 4.3 - Viga
A fig. 4.4 mostra a seção de viga embutida na alvenaria.
Figura 4.4 - Seção transversal de viga
A altura (h) da seção transversal da viga pode ser
estimada em )10/(! a )25/(! , onde !é o vão da viga
(normalmente, igual a distância entre os eixos dos
pilares de apoio).
Nas vigas contínuas de vãos comparáveis
(relação entre vãos adjacentes entre 2/3 e 3/2), costuma-
se adotar altura única estimada através do vão médio
médio! .
No caso de vãos muito diferentes entre si, deve-se
adotar altura própria para cada vão como se fossem
independentes.
ealv
h
PD
parede em
alvenaria:
pode
conter:
janelas e
vigabw

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No caso de apoios indiretos (viga apoiada em outra
viga), recomenda-se que a viga apoiada tenha altura
menor ou igual ao da viga de apoio.
Podem ser adotadas alturas múltiplas de 5 cm, com
um mínimo de 25 cm. A altura mínima induz a utilização
de vãos ≥ 2,5 m.
Em geral, não devem ser utilizados vãos superiores
a 6 m, face aos valores usuais de pé direito (em torno de
2,8 m) que permitem espaço disponível, para a altura da
viga, em torno de 60 cm.
As vigas podem ser normais ou invertidas, conforme a
posição da sua alma em relação à laje.
Figura 4.5 - Viga normal e viga invertida

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Pilares
São, normalmente, de seção retangular
posicionados nos cruzamentos das vigas, permitindo
apoio direto das mesmas, e nos cantos da estrutura
da edificação.
Figura 4.6 - Pilares
Os espaçamentos dos pilares constituem os vãos
das vigas, resultando, em geral, valores entre 2,5m a
6m.
No posicionamento dos pilares, devem ser
compatibilizados os diversos pisos, procurando manter a
continuidade vertical dos mesmos até a fundação de

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modo a se evitar, o quanto possível, a utilização de
vigas de transição (pilar apoiado em viga).
Nos pilares de seção retangular de dimensões (b x
h), recomenda-se b ≥ 20 cm com b ≤ h. Pode-se adotar,
também, seção retangular com b ≥ 12 cm (em geral nos
pilares internos) ou seções compostas de retângulos,
cada um com b ≥ 12 cm, em forma de “L”, “T”, etc.
Figura 4.7 - Viga de transição
Para efeito de pré-dimensionamento, a área da
seção transversal Ac pode ser pré-dimensionada através
da carga total (Ptot) prevista para o pilar.

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Esta carga pode ser estimada através da área de
influência total do pilar em questão, Atot .
No caso de andares-tipo, ela equivale à área de
influência em um andar multiplicada pelo número de
andares existentes acima do lance considerado.
A carga total média em edifícios (pméd) varia de
10 kN/m2
a 12 kN/m2
. Portanto, tem-se:
Ptot = Atot pmed .
Usualmente, a resistência admissível do concreto
(σadm) pode variar entre 1 kN/cm2
a 1,5 kN/cm2
. Assim,
Ac = Ptot / adm .
A partir de Ac tem-se as dimensões da seção
transversal do pilar.

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Figura 4.8 - Pilar interno (P5)
Como exemplo, considere-se o pilar P5:
área de influência no andar tipo = 3 m por 3 m;
número de andares = 10;
carga média de piso: pmed = 10 kN/m2
;
σadm= 1 kN/cm2
;
seção retangular com b = 20 cm.
Tem-se:
Atot = 10 x (3 x 3) = 90 m2
;
Ptot = Atot pmed = 90 x 10 = 900 kN
Ac = Ptot / σadm = 900 / 1,0 = 900 cm2
;
h = Ac / b = 900 / 20 = 45 cm.
Figura 4.9 - Predimensionamento da seção de pilar

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A seção do pilar deve ser mantida constante ao
longo de um lance (entre pisos consecutivos) e pode
variar ao longo de sua altura total.
Esta variação pode ser feita a cada grupo de 2 ou 3
andares.
Quando, por qualquer motivo, a seção for mantida
constante ao longo da altura total, ela pode ser
predimensionada no ponto mais carregado, adotando-se
σσσσadm em torno de 1,3 kN/cm2
.
Em princípio, adotam-se para as dimensões do pilar,
múltiplos de 5 cm (20 cm, 25 cm, etc.).
As seções dos pilares devem ser posicionadas de
modo a resistir aos esforços horizontais (provocados, por
exemplo, pelo vento, temperatura, etc) e a garantir uma
rigidez horizontal adequada, principalmente, contra a
instabilidade global da construção.
Particularmente, em edifícios altos, recomenda-se a
utilização de alguns pilares com a função de garantir a
estabilidade da estrutura.
Estes, constituem os pilares de contraventamento.

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Esquema da estrutura
É o resultado gráfico da concepção estrutural
imaginada. Convem identificar todos os elementos
estruturais envolvidos.
Nessas condições:
• as lajes são representadas pela letra L com índice
numérico sequencial e ordenado de modo a facilitar a
sua localização;
• as vigas, de modo análogo, são representadas pela
letra V;
• os pilares, de modo análogo, são representados pela
letra P.
Figura 4.10 - Esquema da estrutura

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Desenhos de Estrutura
Figura 5.1 - Planta de arquitetura do andar tipo
A representação gráfica da estrutura é feita por meio
de dois tipos de desenho:
• desenho de forma;
• desenho de armação.

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Desenho de Formas
Os desenhos de formas definem completamente as
características geométricas da estrutura.
As diretrizes específicas para a elaboração destes
desenhos são:
• locação da estrutura
a locação consiste na definição de eixos de referência,
principais e secundários, em relação aos quais a
estrutura se posicionará observando, rigorosamente,
as medidas prescritas no projeto arquitetônico. Os
eixos de locação da estrutura são, em geral, eixos
característicos da construção e as divisas do terreno
onde a mesma será implantada. Isto permitirá que,
pronta a estrutura, as vedações e os acabamentos da
construção possam ser implantados exatamente nos
locais previstos no projeto arquitetônico;
• definição dos elementos estruturais
com base no esquema da estrutura são detalhados
todos os elementos estruturais;
• cortes característicos
na elaboração dos desenhos de formas, é importante
que sejam bem definidas as posições relativas das lajes
e vigas. Esses cortes, portanto, mostram a existência de
lajes rebaixadas e vigas invertidas;

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• dimensões
deverão constar dos desenhos de formas todas a dimensões
necessárias para a localização da estrutura e as dimensões
relativas aos elementos estruturais quais sejam:
• distâncias entre eixos de locação e entre esses e
as divisas do terreno;
• espessuras das lajes;
• dimensões das seções transversais das vigas;
• dimensões das seções transversais dos pilares.
Figura 5.1.1 - Formas do andar tipo

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Desenhos de Armação
Os desenhos de armação definem inteiramente as
armaduras a serem utilizadas nos elementos estruturais
de concreto armado.
As diretrizes para a elaboração destes desenhos são:
• identificação individual das barras que compõem
as armaduras;
• definição das bitolas, formas e comprimentos das
barrras;
• definição do posicionamento das barras nas
seções transversais dos elementos estruturais.
Deverá constar dos desenhos de armação o cálculo
das quantidades de aço empregadas.

23
Figura 5.1.2 - Armação típica de lajes

24
Figura 5.1.3 - Armação típica de vigas

25
Figura 5.1.4 - Armação típica de pilares

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Análise Estrutural
Tratamento simplificado da estrutura, norteado pelo
comportamento primário dos elementos estruturais, é
denominado análise estrutural.
A análise estrutural será tanto mais eficaz quanto
mais os resultados do tratamento numérico simplificado
aproximarem-se dos valores reais esperados.
Hipóteses simplificadoras
Lajes
Esquema simplificado para as lajes

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Vigas
O comportamento primário das vigas de edifícios é o de vigas
isoladas.
As vigas suportam as lajes e alvenarias, e são ligadas
monoliticamente aos pilares. Entretanto, nos casos correntes, e para
as cargas verticais, os esforços solicitantes podem ser definidos
começando-se pela análise das vigas como apoiadas nos pilares.
Corte mostrando a V102 e os pilares associados
I. os pilares de extremidade (P4 e P6) são visivelmente solicitados
à flexão pelos vãos extremos da viga;
II.os pilares internos (neste caso, apenas o P5) são pouco
solicitados à flexão devido à interação entre as vãos adjacentes
da viga;
III. o encurtamento dos pilares são desprezíveis face às flechas
apresentadas pelas vigas;
IV. as seções das vigas V104 e V106 são visivelmente torcidas
junto aos pilares extremos de apoio da viga, contrariamente à
viga V105.

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Modelo simplificado para a viga
Pilares
Normalmente, pode-se classificar os pilares em contraventados e
de contraventamento.
O comportamento primário dos pilares contraventados é o de uma
barra comprimida.
Assim, costuma-se efetuar o cálculo dos pilares contraventados,
adotando-se o modelo simplificado de uma barra biarticulada
comprimida sujeita a momentos fletores de extremidade.
Já os pilares de contraventamento, exigem uma análise mais
complexa cuja abordagem será feita oportunamente.

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9. Ações características
Constituem ações tudo aquilo que produz solicitações na estrutura. São constituidos por:
• cargas provenientes de peso dos materiais, pressão de vento definida pela Norma NBR 6123,
empuxos de terra, de água, e de correnteza;
• e efeitos de temperatura, recalques diferenciais, protensão, retração e fluência do concreto estrutural.
As ações constituem variáveis aleatórias. Normalmente, considera-se a intensidade das ações
correspondentes ao valor característico superior, pksup, que apresenta 5% de probabilidade de ser
ultrapassado. Costuma-se representar pksup , simplesmente, por p.
As cargas podem ser classificadas em permanente
(g, G) e acidentais (q, Q). As letras maiúsculas
identificam cargas concentradas e as minúsculas,
cargas distribuidas por unidade de comprimento
(em vigas) ou, por unidade de área (em lajes). A
soma destas cargas pode ser representada por
p = g + q ou, P = G + Q.
9.1. Cargas permanentes
Estas cargas são constituidas pelo pêso próprio da estrutura e pelos pesos de todos os elementos
construtivos fixos e instalações permanentes. Na falta de determinação experimental, poderão ser usados
os valores abaixo transcritos.
a) cargas fornecidas por pêso especifico
• concreto simples 24 kN/m3
• concreto armado 25 kN/m3
• argamassa 19 kN/m3
• alvenaria:
de tijolo maciço 18 kN/m3
de tijolo furado (ceramico) 13 kN/m3
de blocos de concreto 13 kN/m3
• material de enchimento:
entulho 15 kN/m3
argila expandida 9 kN/m3
terra 18 kN/m3
valor da
carga (p)
pk,suppmedio
densidade de
probabilidade
distribuição
normal
5%
Figura 9.1

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b) cargas fornecidas por unidade de área (m2
)
• revestimentos de pisos 1 kN/m2
• telhados:
telha de barro 0,7 kN/m2
telha de fibro-cimento 0,4 kN/m2
telha de alumínio 0,3 kN/m2
• impermeabilização de pisos 1,0 kN/m2
• divisória de madeira 0,2 kN/m2
• caixilhos:
de ferro 0,3 kN/m2
de alumínio 0,2 kN/m2
9.2. Cargas variáveis ou acidentais
São as cargas que podem atuar sobre as estruturas de edificações em função de seu uso (pessoas, móveis,
materiais diversos, veículos, etc.). Estas cargas são fixadas pela Norma NBR-6120 - “Cargas para o
cálculo de estruturas de edificações”.
a) cargas verticais
As cargas verticais que se consideram atuando nos pisos das edificações, além das que se aplicam em
carater especial, referem-se a carregamentos devidos a pessoas, móveis, utensílios e veículos, e são
supostas uniformemente distribuidas. Os valores mínimos a serem adotados para eles são:
a.1) edifícios residenciais
• dormitórios, salas, cozinhas e banheiros 1,5 kN/m2
• despensas, áreas de serviço e lavanderias 2,0 kN/m2
• forros sem acesso a pessoas 0,5 kN/m2
• escadas sem acesso ao público 2,5 kN/m2
• corredores sem acesso ao público 2,0 kN/m2
• garagens (sem consideração de ψ) 3,0 kN/m2
• terraços sem acesso ao público 2,0 kN/m2
a.2) edifícios de escritórios
• salas de uso geral e banheiros 2,0 kN/m2
• escadas com acesso ao público 3,0 kN/m2
• corredores com acesso ao público 3,0 kN/m2
• terraços com acesso ao público 3,0 kN/m2
• forros e garagens ídem a.1
• restaurantes 3,0 kN/m2
a.3) escolas
• salas de aula 3,0 kN/m2
• auditórios 5,0 kN/m2
• escadas e corredores 4,0 kN/m2
• outras salas 2,0 kN/m2

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a.4) bibliotecas
• salas de leitura 2,5 kN/m2
• salas para depósito de livros 4,0 kN/m2
• sala com estantes de livros 6,0 kN/m2
a.5) bancos
• escritórios e banheiros 2,0 kN/m2
• salas de diretoria 1,5 kN/m2
a.6) cinemas e teatros
• palco 5,0 kN/m2
• platéia com assentos fixos 3,0 kN/m2
• platéia com assentos móveis 4,0 kN/m2
• banheiros 2,0 kN/m2
a.7) clubes
• salas de assembleias com assentos fixos 3,0 kN/m2
• salas de assembleias com assentos móveis 4,0 kN/m2
• salão de danças ou esporte 5,0 kN/m2
• banheiros 2,0 kN/m2
• ginásio de esportes 5,0 kN/m2
a.8) hospitais
• dormitórios, enfermarias, salas de cirurgia e banheiros 2,0 kN/m2
• corredores 3,0 kN/m2
b) Cargas em balcões
Ao longo dos parapeitos e balcões deverão ser consideradas aplicadas, uma carga horizontal de 0,8 kN/m
na altura do corrimão e uma carga vertical de 2 kN/m. A fig. 9.2 mostra estas cargas.
Figura 9.2 - Carga acidental em balcões
0,8 kN/m
2 kN/m
parapeito
cargas a serem
consideradas
nos parapeitos

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c) Cargas verticais especiais
c.1. casa de máquinas e poço dos elevadores
• casa de máquinas
laje sobre a caixa dos elevadores:
v (velocidade) ≤ 1 m/s 30 kN/m2
v > 1 m/s 50 kN/m2
laje adjacente à caixa dos elevadores:
v (velocidade) ≤ 1 m/s 5 kN/m2
v > 1 m/s 7 kN/m2
forro da casa de máquinas: 10 kN/m2
• poço de molas dos elevadores (laje inferior) 20 kN/m2
c.2. heliponto
Deverão ser consideradas uma carga vertical de 12 kN, concentrada na posição mais desfavorável, e uma
carga uniformemente distribuida de 5 kN/m2
d) Coeficiente de impacto ψ
O valor do coeficiente de impacto ψ de majoração das cargas acidentais, a serem consideradas no
projeto de garagens e estacionamentos para veículos, deve ser determinado do seguinte modo:
se l ≥ lo → ψ = 1,0
se l < lo → ψ = lo / l ≤ 1,43
onde
l é o vão da viga ou o vão menor da laje
lo = 3 m para o caso das lajes
lo = 5 m para o caso das vigas
O valor de ψ não precisa ser considerado no cálculo dos pilares.
e) Redução das cargas acidentais
No cálculo dos pilares e das fundações dos edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não
destinadas a depósitos, as cargas acidentais podem ser reduzidas de acordo com os valores indicados
abaixo.
no
de pisos que atuam
sobre o elemento
redução percentual das
cargas acidentais
1, 2 e 3 0
4 20%
5 40%
6 ou mais 60%
Para efeito de aplicação destes valores, o forro deve ser considerado como piso.

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10. Determinação das cargas atuantes nos elementos estruturais de edifícios
a) Cargas nas lajes
As lajes constituem elementos planos que suportam cargas transversais que podem ser definidas por
unidade de área. Normalmente, as lajes tem, em planta, forma retangular de dimensões lx por ly (vãos
teóricos), onde, convencionalmente, adota-se lx ≤ ly .
Figura 10.1
a.1) peso próprio (pp): 25 h (h em m) g1 = __ kN/m2
a.2) revestimento (rev): g2 = 1 kN/m2
a.3) enchimento: g3 = 15 hench (hench em m) = __ kN/m2
Quando a laje for rebaixada, o nivelamento necessita de
material de enchimento que, geralmente, é constituido de
entulho de obra cujo peso específico é da ordem de 15 kN/m3
.Tem-se, assim, a parcela g3 .
a.4) alvenaria direta sobre a laje: g4 = Gpar / (lx ly) = __ kN/m2
hench
ly
lx ≤ ly
1 m
1 m
1 m2
h
piso
contrapiso
laje
revestimento
inferior
enchimento
Figura 10.2

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Quando existir parede construida diretamente sobre a laje,
o seu peso pode ser considerado através de uma carga
distribuida equivalente aplicada sobre toda a área da laje.
Nesta parcela g4, tem-se:
Gpar = epar.(l1 + l2).PD.γalv
PD = pé direito
γalv = 18 kN/m3
(tijolo maciço)
13 kN/m3
(tijolo furado)
a.5) carga acidental sobre a laje: q = __ kN/m2
(definida pela NBR-6120).
Tem-se, assim, a carga permanente total: g = g1 + g2 + g3 + g4
e a carga acidental q .
Pode-se adotar a seguinte disposição prática (figura 10.4) para o levantamento das cargas pk:
Lajes L1 L2 ...
pêso próprio
revestimento
enchimento
alvenaria sobre
a laje
gk
qk
pk
Figura 10.4 - Cargas nas lajes
Exemplo
A figura 10.5 mostra um esquema estrutural onde se tem 3 lajes (L1 em balanço que recebe um parapeito
periférico em alvenaria de 1,2 m de altura de 15 cm de espessura, L2 com duas paredes de alvenaria de
15 cm de espessura e a L3 com rebaixo de 25 cm), 5 vigas e 4 pilares. As vigas suportam paredes de
alvenaria de 25 cm, exceto a V4 com parede de 15 cm. As alvenarias são de tijolo maciço com γalv = 16
kN/m3
.
l 1
l 2parede
l y
l x
epar
Figura 10.3

35
Figura 10.5
A tabela seguinte apresenta as cargas sobre as lajes, bem como, as suas diversas parcelas.
(cargas em kN/m2
)
(*)
=
015 12 126 2 4 5 16
126 4 5
357 2, , ( , , )
, ,
, /
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
⋅
= kN m
(**)
=
015 3 0 15 2 0 16
3 0 4 5
187 2, , ( , , )
, ,
, /
⋅ ⋅ + ⋅
⋅
= kN m
(***)
=
2 0 1 26 2 4 5
126 4 5
2 0 4 48 2, ( , , )
, ,
, , /
⋅ ⋅ +
⋅
+ = kN m
LAJE L1 L2 L3
lx (m) 1,26 3,00 2,00
ly (m) 4,50 4,50
h (m) 0,08 0,08 0,07
pp=25 h 2,00 2,00 1,75
revestimento 1,00 1,00 1,00
ench=15 hench - - 3,75
alvenaria 3,57 (*)
1,87(**)
-
g 6,57 4,87 6,50
q 4,48(***)
1,50 1,50
p = g + q 11,05 6,37 8,00
2 kN/m
(Pé direito = 3 m)

36
b) Cargas nas vigas
Normalmente, as cargas nas vigas são constituidas de cargas
distribuidas (por unidade de comprimento da viga); eventualmente,
pode-se ter cargas concentradas correspondentes às reações de outras
vigas (viga apoiada em viga).
As cargas distribuidas podem ser compostas de 3 parcelas:
b.1) peso próprio da viga g1 = 25 bw h (kN/m);
b.2) peso da alvenaria: g2 = epar (PD - h) γalv
γalv = 18 kN/m3
em tijolo maciço
13 kN/m3
em tijolo furado
Figura 10.7
Usualmente, desprezam-se os vazios correspondentes a portas e janelas. Em situações particulares (por
exemplo, na presença de uma grande janela de acesso à sacada ocupando quase todo o vão da parede),
pode-se descontar os vazios, adicionando-se, contudo, o peso das esquadrias.
b.3) reações das lajes: g3 + q
Estas reações podem ser estimadas através do seguinte modelo simplificado. A carga atuante na laje
retangular é subdividida em partes proporcionais às áreas das 4 figuras (2 triangulos e 2 trapézios); a
seguir, estas parcelas são aplicadas como cargas distribuidas uniformes sobre as vigas de apoio da laje
(as parcelas correspondentes aos triangulos sobre as vigas de apoio do lado menor da laje, e as dos
trapézios sobre os lados maiores). Para a carga total p atuando sobre a laje, tem-se:
py
0,8 kN/mparapeito
cargas a serem
consideradas
nos parapeitos
Figura 10.6
epar
h
PD
parede em
alvenaria:
pode
conter:
janelas e
vigabw

37
p
p p
x
x x
x
x
=
⋅
×
⋅ =
! !
!
!
2 2 4
p
p
p
p
y
y y x x
y
x x
y
x
x
y
=
+ −
⋅ ⋅
= −






= −






! ! ! !
!
! !
!
!
!
2 2
4
2
2
Figura 10.8
A parcela (b.3) é constituida de duas partes:
g3 = reação da carga permanente da laje
q = reação da carga acidental que atua sobre a laje
Para o exemplo, tem-se:
g b h
kN m V e V
kN m V e Vw1
1 2
3 4
25
25 0 12 0 50 150
25 0 12 0 45 1 35
= =
⋅ ⋅ = −
⋅ ⋅ = −



, , , /
, , , /
Adimitindo-se que as paredes sejam de tijolo maciço, as externas com 25 cm e as internas com 15 cm,
tem-se:
g2 = epar (PD - h) γalv =
0 25 3 0 0 50 16 10 0
0 25 3 0 0 45 16 10 2
0 15 3 0 0 45 16 6 12
1 2
3 5
4
, ( , , ) , /
, ( , , ) , /
, ( , , ) , /
⋅ − ⋅ = −
⋅ − ⋅ = −
⋅ − ⋅ = −





kN m V e V
kN m V e V
kN m V
As reações das lajes px e py (que consideram as parcelas g3 e q atuantes nas lajes) valem:
(cargas px e py em kN/m)
LAJE L1 L2 L3
lx (m) 1,26(*)
3,00 2,00
ly (m) 4,50 4,50
g(kN/m2
) 6,57 4,87 6,50
q(kN/m2
) 4,48 1,5 1,5
p = g + q 11,05 6,37 8,00
px = p lx / 4 (**)
4,78 4,00
py = px (2 - lx / ly) 13,92(**)
6,37 6,22
ly ≥ lx
lx
px
45

38
(*)
- a laje é em balanço, e o seu vão foi definido como lx ;
(**)
- por tratar-se de laje em balanço, a reação é dada por
p lbal = 11,05 . 1,26 = 13,92 kN/m.
A seguir, estão esquematizadas as cargas atuantes nas vigas V1 e V4.
Figura 10.9
Obs.: as condições de vínculo da laje podem ser consideradas na estimativa das reações da laje,
conforme ilustra a figura 10.10.
Conforme mostra a figura, a cada lado da laje
corresponde uma área carregada. A reação (carga
distribuida) é obtida, dividindo-se a resultante de carga
sobre esta área pelo respectivo comprimento do lado.
Resultam, assim, as reações:
px1, px2, py1, py2.
Figura 10.10 - Consideração dos
vínculos nas reações das lajes
c) Cargas nos pilares
As cargas nos pilares são obtidas somando-se as reações das vigas neles apoiadas.
11) Exemplo
py1, py2
ly ≥ lx
lx
px1 , px2
45
pp=1,50
alv=10,0
laje=4,78
tot=16,28 kN/m
pp=1,50
alv=10,0
laje=4,00
tot=15,50 kN/m
V4=45,14 kN
P1
P2
V1
45
pp=1,35
alv=6,12
L2=6,37
L3=6,22
tot=20,06 kN/m
60
60
V4
V2
V1=4,5.20,06/2 = 45,14 kN
4,50 m3 m 2 m
vão = 5 m V1

39
Dada a planta de arquitetura abaixo, pedem-se:
• o esquema estrutural do piso
• a planta de formas
• as cargas nas lajes
• as reações das lajes nas vigas
• as cargas nas vigas
Considerar:
• edifício residencial
• alvenaria de tijolo maciço (com γalv = 16 kN/m3
)
• pé direito de 2,7 m
• predimensionar os pilares para carga de 10 andares
• ealv = 25 cm (paredes mais espessas na planta) e 15 cm

40
Planta do andar tipo

41
Esquema estrutural I

42
Esquema estrutural II

43
Esquema estrutural III
11.2. Pre-dimensionamento das peças

44
Será adotado o esquema estrutural II.
Devem ser predimensionadas as lajes, vigas e pilares.
11.3. Planta de formas
Figura 11.5 - Planta de formas
11.4. Cargas nas lajes (kN/m2
)
LAJE L1-L3-L6 L2 L4 L5
h (m) 0,07 0,07 0,08 0,08
pp = 25.h 1,75 1,75 2,0 2,0
revestimento 1,0 1,0 1,0 1,0
enchimento - 0,25x15=3,75 - -
paredes - 1,48 1,90 -
gk 2,75 7,98 4,9 3,0
qk 1,5 1,5 2,0 1,5
pk 4,25 9,48 6,9 4,5
11.5. Reações das lajes (kN/m)

45
As reações das lajes serão determinadas, de maneira simplificada, considerando-se a distribuição de
cargas conforme as áreas delimitadas a partir das bissetrizes dos ângulos. O quadro seguinte apresenta os
resultados.
Laje lx ly gk qk lx
ly
gkx gky qkx qky pkx pky
L1 2,75 3,25 2,75 1,5 0,85 1,89 2,18 1,03 1,19 2,92 3,37
L2 1,35 3,9 7,98 1,5 0,35 2,69 5,39 0,51 1,02 3,20 6,41
L3 2,25 3,9 2,75 1,5 0,58 1,55 2,20 0,84 1,20 2,39 3,4
L4 3,15 3,25 4,9 2,0 0,97 3,86 3,98 1,58 1,62 5,44 5,6
L5 3,6 4,95 3,0 1,5 0,73 2,70 3,44 1,35 1,72 4,05 5,16
L6 2,95 3,25 2,75 1,5 0,91 2,03 2,22 1,11 1,21 3,14 3,43
Na fig. 11.6 estão indicadas as reações das lajes sobre as vigas.
Figura 11.6 - Reações das lajes
11.6. Cargas nas vigas (kN/m)

46
A determinação das cargas nas vigas está indicada no quadro seguinte.
g q pk
Viga Vão b h p.p alv. La Lb gk La Lb qk
1 12 40 1,2 9,2 2,18 - 12,58 1,19 - 1,19 13,77
V1 2a 12 40 1,2 9,2 2,69 - 13,09 0,51 - 0,51 13,60
2b 12 40 1,2 9,2 1,55 - 11,95 0,84 - 0,84 12,79
V2 1 12 40 1,2 5,52 2,18 3,98 12,88 1,19 1,62 2,81 15,69
V3 1a 12 40 1,2 5,52 2,69 2,7 12,11 0,51 1,35 1,86 13,97
1b 12 40 1,2 5,52 1,55 2,7 10,97 0,84 1,35 2,19 13,16
V4 1 12 40 1,2 5,52 3,98 2,22 12,92 1,62 1,21 2,83 15,75
V5 1 12 40 1,2 9,20 2,22 - 12,62 1,21 - 1,21 13,83
2 12 40 1,2 9,20 2,70 - 13,10 1,35 - 1,35 14,45
1 12 30 0,9 9,60 2,03 - 12,53 1,11 - 1,11 13,64
V6 2 12 30 0,9 9,60 3,86 - 14,36 1,58 - 1,58 15,94
3 12 30 0,9 9,60 1,89 - 12,39 1,03 - 1,03 13,42
1 12 40 1,2 9,20 2,03 3,44 15,87 1,11 1,72 2,83 18,70
V7 2a 12 40 1,2 9,20 3,86 3,44 17,70 1,58 1,72 3,30 21,00
2b 12 40 1,2 5,52 3,86 5,39 15,97 1,58 1,02 2,60 18,57
3 12 40 1,2 5,52 1,89 5,39 14,00 1,03 1,02 2,05 16,05
V8 1 12 40 1,2 5,52 5,39 2,20 14,31 1,02 1,20 2,22 16,53
V9 1 12 50 1,5 8,80 3,44 - 13,74 1,72 - 1,72 15,46
2 12 50 1,5 8,80 2,20 - 12,50 1,20 - 1,20 13,70

47
11.7. Esquemas de cargas nas vigas
Figura 11.7

48
Figura 11.8

Concepção Estrutural de Edifícios: Projeto de Estruturas

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