1) O documento discute o que são números primos, definindo-os como números inteiros maiores que 1 cujos únicos divisores são 1 e o próprio número. 2) Apresenta breve histórico sobre o estudo dos números primos desde a Grécia Antiga até matemáticos como Euclides, Fibonacci e Hermite. 3) Discutem propriedades e teoremas sobre a distribuição e infinitude dos números primos, como o Teorema Fundamental da Aritmética e o crivo de Eratóstenes.

1. Prof. Enio Lima
UECE-FECLI

2. O que é mesmo um número primo????O que é mesmo um número primo????
Um número inteiro p > 1 é dito ser um número
primo se seus únicos divisores positivos são o
1 e próprio p.
Exemplos (clássicos): 2,3,5,7,...,43,89 , etc...
Um número inteiro p > 1 que não é primo é dito
composto.

3. Pitágoras de Samos (580-497
a.C) Profeta, místico, filósofo,
astrônomo e matemático grego.
Possível origemPossível origem
1) O número 1 era chamado de
unidade (monad, do grego).
2) Demais números : 2 (dyad),3,4,8,
etc... arithmós, do grego.
3) 2,3,5,7,11, etc.. eram chamados de
protoi arithmói.
4) Deuterói arithmói: números que
podem ser gerados pelo produto
protoi arithmói: 4,6,24,66,etc..

4. Os Elementos de Euclides
cerca. 300 AC.
A Aritmética de Nicômaco
cerca de 100 dC.
Livros influentes

5. O De Institutione Arithmetica,
do romano Boécio cerca
de 500 dC.
O Liber Abacci, do italiano Fibonacci em
torno de 1200 dC.
Livros influentes

6. OO TeoremaTeorema Fundamental da AritméticaFundamental da Aritmética
“Todo inteiro positivo composto se fatora de
maneira única como um produto de números
primos.”
Euclides de Alexandria
(360 a.C. — 295 a.C.)

7. Os números primos são finitos?Os números primos são finitos?
“Há uma infinidade de números primos”
Euclides de Alexandria
(360 a.C. — 295 a.C.)

8. A demonstração de Hermite
Charles Hermite (1822 —1901) foi um
matemático francês.
Prova: para cada número natural n>1
defina x(n)=n!+1. Como x(n) é um número
natural (para cada n natural) , então existe
um primo p fator de x(n). Esse primo p não
pode dividir um número menor do que ou
igual a n, pois neste caso, dividiria n! e daí,
dividiria x(n)-n!=1
Conclusão: dado qualquer natural n>1,
sempre existe um primo p > n, ou seja :
Há uma infinidade de números
primos!

9. Descobrindo primos – O crivo deDescobrindo primos – O crivo de
Eratóstenes (276 a.C. —
194 a.C.), foi um matemático,
bibliotecário e astrônomo grego

11. Sobre a distribuição dos primosSobre a distribuição dos primos
2) Existem 9 números primos entre 9 999 900 e 10 000000
9 999 901 9 999 907 9 999 929 9 999 931
9 999 937 9 999 943 9 999 971 9 999 973
9 999 991
1) Como vimos no crivo existem 29 números primos entre 1 e
120
3) Mas já entre os cem números seguintes , 10 000000 até
10 000 100, existem apenas 2:
10 000 019 e 10 000 079

12. Sobre a distribuição dos primos Gauss e LegendreSobre a distribuição dos primos Gauss e Legendre
Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833)
foi um matemático francês
Johann Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
matemático alemão

13. Sobre a distribuição dos primos – O Teorema dosSobre a distribuição dos primos – O Teorema dos
números primosnúmeros primos
Charles Poussin (1866-1962 ) matemático
belga
Jacques Hadamard (1865-1963 ) matemático
francês.

14. Em 1949, Erdös (1913-1996) e Selberg (1917-),
independentemente , demonstraram o Teorema dos
Números Primos sem apelo à teoria analítica dos
números.

15. x pi(x) x/log x
1000 168 145
10000 1229 1086
100000 9592 8686
1000000 78498 72382
10000000 664579 620420
100000000 5761455 5428681
Sobre a distribuição dos primosSobre a distribuição dos primos
alguns valoresalguns valores

16. Um pouco sobre os números de:
Pierre Fermat (1601 – 1665)
matemático e cientista francês.

18. 1.238.926 .361.552.897 × 93.461.639 .715.357.977 .
769.163.558 .199.606.896 .584.051.237 .541.638.188 .
580.280.321

19. Um pouco sobre os primos de:
Marin Mersenne (1588 - 1648) foi um
matemático, padre ,teólogo e filósofo
francês.

20. Números perfeitos e os primos de Mersenne
Um número se diz perfeito se é igual à soma de seus divisores
próprios.
Exemplo: 6 é perfeito, pois 1+2+3=6.
• A última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides
prova que se 2n
-1 é um número primo então 2n-1 .
2n
-1 é um
número perfeito, e estes números são pares. Euler provou que
todo número perfeito par tem essa forma.
• Não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e
conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe
nenhum.

21. Alguns Primos de Mersenne
219
-1= 524287
2 ¹-1⁶ = 2305843009213693951
2 -1⁸⁹ = 618970019642690137449562111
2¹ -1⁰⁷ = 162259276829213363391578 010288127
2 ²¹-1⁵ =
68647976601306097149819007990813932172694353001
43305409394463459185543183397656052122559640661
454554977296311391480858037121987999716643812
574028291115057151

22. 2⁶⁰⁷-1= 531 137992816 767098689 588206552
468627329 593117727031923199444138200
403559860 852242739 162502265 229285668
889329486 246501015 346579337 652707239
409519978 766587351 943831270 835393219
031728127

23. 10 maiores primos de
Mersenne já encontrados até
2009

24. Primo de Mersenne Dígitos
1) 243112609
-1 12.978.189 47(2008)
2) 242643801
-1 12.837.064 46(2009)
3) 237156667
-1 11.185272 45(2008)
4) 232582657
-1 9.808.358 44(2006)
5) 230402457
-1 9.152.052 43(2005)
6) 225964951
-1 7.816.230 42(2005)
7) 224036583
-1 7.235.733 41(2004)
8) 220996011
-1 6.320.430 40(2003)
9) 213466917
-1 4.053.946 39(2001)
10) 26972593
-1 2.098.960 38(2007)

25. Sophie Germain (1776 —1831)
matemática francesa
Os primos de:
Um primo p é dito ser um primo
de Sophie Germain quando
p e 2p+1 são primos.
Exemplos:
1) 3 é um deles pois: 3 e 2 .
3+1=7 são
primos.
2) 5 é um deles pois: 5 e 2 .
5+1=11 são
primos

26. Dígitos
1) 48047305725·2172403
-1 51.910 47(2007)
2) 137211941292195·2171960
-1 51.780 46(2006)
3) 33759183·2123458
-1 37.173 45(2009)
4) 7068555·2121301
-1 36.523 44(2005)
5) 2540041185·2114729
-1 34.547 43(2003)
05 maiores primos de Sophie
Germain já encontrados até 2009

27. Alguns testes de primalidadeAlguns testes de primalidade

28. • 91 é composto
• 9901 é primo
• 999001 é composto
• 99990001 é primo
• 9999900001 é composto
• 999999000001 é primo
• 99999990000001 é composto
• 9999999900000001 é primo

29. 2000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000003000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0050000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000070 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000110000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0130000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000017
1) Um primo com 1240 dígitos1) Um primo com 1240 dígitos

31. Alguns problemas em aberto sobre Primos

32. Observem os primos: 13,17,29,37,41 e 341
Todos eles são da forma 4k+1, vejam:

33. Todos eles são soma de quadrados de dois inteiros,
vejam:

36. Demonstração:

37. c.q.d

38. Relembrem!!!
Conclusão:

40. é irracional!!

41. Vendo geometricamente:

42. Conclusões: