Análise de sistemas de energia elétrica em regime permanente

A S E – ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM
REGIME PERMANENTE 2B
1
ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME
PERMANENTE 2 B
VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE
Os valores percentuais e por unidade (pu) ou, ainda, normalizados,
correspondem simplesmente a uma mudança de escala nas grandezas principais
(tensão, corrente, potência e impedância).
Para relacionarmos o módulo dessas quatro grandezas elétricas em circuitos
monofásicos dispomos de duas relações físicas independentes:
V = Z.I e S = V.I
Por esta razão, ao trabalharmos com valores em pu devemos sempre definir
duas grandezas fundamentais dentre as quatro grandezas, atribuindo-lhes
correspondentes valores que designaremos por valores de base.
Os valores de base para as duas outras grandezas resultam imediatamente
das relações acima.
Normalmente os valores percentuais e por unidade (pu) são representados
por letra minúscula enquanto que as grandezas reais são representadas por letra
maiúscula.
Se fixarmos valores de base para tensão e potência, qualquer outra tensão ou
potência será expressa como uma porcentagem ou uma fração dessa grandeza
(valor pu).
Vbase = V1 e Sbase = S1
Assim, uma tensão qualquer, V, é expressa por:
100%
baseV
V
v = (v percentual)
pu
V
V
v
base
= (v por unidade)
Analogamente, uma potência qualquer S, é expressa por:
100%
baseS
S
s = (s percentual)
pu
S
S
s
base
= (s por unidade)
Para corrente e impedância teremos os seguintes valores de base:
base
base
base
V
S
I = ,
base
base
base
base
base
S
V
I
V
Z
2
==
E qualquer corrente ou impedância será expressa por:
pu
V
S
Z
Z
Z
z
base
base
base
2
== e zz 100% =
pu
S
V
I
I
I
i
base
base
base
== e ii .100% =

2
REPRESENTAÇÃO DE MÁQUINAS ELÉTRICAS EM VALORES POR
UNIDADE
Os transformadores também são considerados como máquinas elétricas.
Os fabricantes de transformadores devem especificar os seguintes valores,
que são conhecidos como “valores nominais”, “dados de chapa”, ou, ainda, “valores
de plena carga” do transformador:
1- Potência nominal: SN
2- Tensão nominal do enrolamento de alta tensão: VNA
3- Tensão nominal do enrolamento de baixa tensão: VNB
4- Impedância equivalente ou de curto-circuito percentual ou por unidade: zE
A impedância equivalente por unidade independe do lado que está referido,
desde que as bases adotadas sejam para o enrolamento de alta: VNA e SN e para o
enrolamento de baixa: VNB e SN.
Um transformador monofásico pode ser representado por um modelo elétrico
equivalente como mostra o figura abaixo.
Figura 1
A utilização de base conveniente permite a eliminação do transformador ideal
de relação 1:1 e para tanto devemos ter:
a) potência aparente de base do primário = potência aparente de base do
secundário.
Sbase =S’base
b) sendo tensão de base do primário: Vbase = VNA, então a tensão de base do
secundário: V’base = VNB.
Aplicando ao primário do transformador ideal uma tensão V1, teremos no
secundário, uma tensão V2 cujo valor é
NA
NB
V
V
VV 12 =
Em pu:
base
V
V
v 1
1 = e
baseNA
NB
base
VV
V
V
V
V
v
'
1
1
2
2 ==
Como queremos que a relação de espiras, em pu, seja 1:1, deverá ter v1 = v2
Logo:
NB
NA
base
base
V
V
V
V
=
'
Para as outras grandezas, corrente e impedância teremos:
base
base
base
V
S
I = e
NB
NA
base
base
base
base
V
V
I
V
S
I ==
'
'
'

3
sendo I1 a corrente que circula no primário do transformador ideal, a corrente no
secundário seria:
NB
NA
B
A
BA
V
V
I
N
N
IIININ 11221 ==⇒= em pu:
base
I
I
i 1
1 = e
11
2
2
1
'
i
V
V
IV
V
I
I
I
i
NA
NB
baseNB
NA
base
===
base
base
base
S
V
Z
2
= e
22
'
'
' 





==
NA
NB
base
base
base
base
V
V
Z
S
V
Z
Analogamente: z1 = z2
MUDANÇA DE BASE
Em muitas aplicações, conhecemos o valor de uma grandeza em por unidade
numa determinada base e necessitamos conhecer seu valor em outra base.
O procedimento que se segue é sempre o de determinar o valor da grandeza,
multiplicando seu valor em “por unidade” pela base na qual foi dada e dividir esse
valor pelo valor da nova base.
Assim, sejam, v, i, p e z respectivamente os valores de uma tensão, uma
corrente, uma potência e uma impedância, em pu; nos valores de base Vbase e Sbase.
Queremos determinar seus valores, em pu, nas novas bases V’base e S’base.
a) Tensão: V = v.Vbase ⇒
base
base
base
V
V
v
V
V
v
''
' ==
b) Corrente:
base
base
base
base
base
base
base
base
basebase
base
base
S
S
V
V
i
S
V
V
S
i
I
I
i
V
S
iIiI
'
'
'
'
'
'. ===⇒==
c) Potência:
base
base
base
base
S
S
s
S
S
sSsS
''
'. ==⇒=
d) Impedância:
2
2
22
'
'
'
'
'
'. 





===⇒==
base
base
base
base
base
base
base
base
basebase
base
base
V
V
S
S
z
V
S
S
V
z
Z
Z
z
S
V
zZzZ
TRANSFORMADORES DE 3 ENROLAMENTOS
Em sistemas de potência, são de emprego muito difundido os
transformadores de três enrolamentos, razão pela qual vamos determinar um circuito
equivalente.
A representação de um transformador monofásico de 3 enrolamento e seu
circuito equivalente em p.u são dados na figura 2.
Figura 2
Onde zP = ½ (zPS + zPT – zST) ; zS = ½ (zPS + zST – zPT) e zT = ½ (zPT + zST – zPS)
Sendo:

4
zPS = impedância de curto-circuito obtida de ensaio com alimentação pelo
enrolamento do primário com secundário em curto e o terciário em aberto.
zPT = impedância de curto-circuito obtida de ensaio com alimentação pelo
enrolamento do primário com secundário em aberto e o terciário em curto
zST = impedância de curto-circuito obtida de ensaio com alimentação pelo
enrolamento do secundário com primário em aberto e o terciário em curto
REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADOR QUANDO HÁ CHOQUE DE BASE
Quando estudamos uma rede que forma uma malha contendo
transformadores, nem sempre é possível fixar arbitrariamente os valores de base
para todos os transformadores, pois a rede formando uma malha, haverá um último
transformador no qual as bases já foram fixadas pelos precedentes.
Considere o circuito em malha da figura 3.
Figura 3
A representação da rede está dividida em três áreas.
Para a área I, podemos adotar valores de base quaisquer. Em particular,
adotamos Vb1 e Sb1.
Na área II, secundário de T1, o valor da tensão de base está fixado pela
relação de espiras de T1, VN1 – VN2 :
1
2
12
N
N
bb
V
V
VV = e Sb1 = Sb2
Na área III, secundário de T2, a tensão de base está fixada pela relação de
espiras : V’N1 – V’N2 do transformador T2, isto é
1
2
13
'
'
.
N
N
bb
V
V
VV = e Sb3 = Sb1.
Portanto os valores de base para o primário e o secundário do T3, cuja
relação de espiras é V”1 – V”2, estão fixados, ou seja
Primário de T3
Tensão de base:
1
2
13
'
'
.
N
N
bb
V
V
VV = e Potência de base: Sb3 = Sb1
Secundário de T3
Tensão de base:
1
2
12 .
N
N
bb
V
V
VV = e Potência de base: Sb2 = Sb1
Para a potência de base, não há nenhum problema, mas quanto às tensões
de base, estas somente estarão na relação de espiras do transformador T3, quando
subsistir a igualdade
2
1
2
3
"
"
N
N
b
b
V
V
V
V
= , isto é, quando for
2
1
2
1
1
2
"
"
.
'
'
N
N
N
N
N
N
V
V
V
V
V
V
= .

5
Nas aplicações usuais, a igualdade acima nem sempre é verificada e, assim
sendo, o transformador T3, em p.u, não poderá ser representado pela sua
impedância de curto-circuito em série com um transformador ideal de relação de
espiras 1 : 1, ou seja, o transformador T3 permanecerá no circuito em p.u
Como poderemos representar em p.u, um transformador quando os valores
de base das tensões no primário e secundário não estiverem na relação 1 : 1.
Consideremos um transformador , com tensões nominais VN1 – VN2, potência
nominal SN e impedância equivalente em z em p.u, representado na figura 4.
(a) (b) (c)
Figura 4
(a) circuito (b) Circuito em p.u (c) circuito em p.u utilizando autotrafo
Para o primário, os valores de base são: Vb1 e Sb e para o secundário, os
valores de base são Vb2 ≠
1
2
1.
N
N
b
V
V
V e Sb.
Se aplicarmos ao primário uma tensão tal que, no transformador ideal,
tenhamos tensão V1. No secundário a tensão será V2 = V1.
1
2
N
N
V
V
Exprimindo em p.u, teremos:
1
1
1
b
V
V
v = e
21
2
1
2
2
2
1
..
bN
N
b
VV
V
V
V
V
v ==
Dividindo e multiplicando por Vb1, vem
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2 ...
N
N
N
N
b
b
b
v
v
v
V
V
V
V
V
V
v == ,
onde
1
1
1
b
N
N
V
V
v = e
2
2
2
b
N
N
V
V
v =
Portanto o transformador dado na representação em p.u pode ser substituído
por sua impedância de curto-circuito em série com um transformador ideal que tenha
k 1Nv espiras no enrolamento primário e k 2Nv espiras no enrolamento secundário.
Em particular, terá relação 1 : α desde que seja α =
1
2
N
N
v
v
REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADOR COM COMUTAÇÃO DE DERIVAÇÃO
Em sistema de potência, é usual utilizarem-se, com o intuito de melhorar a
regulação, transformadores com relação de espiras variável sob carga (tap
changing).
Para esses casos, fixamos as tensões de base pelos valores nominais do
transformador com o comutador de derivação ajustado para a posição zero e,
quando alterarmos a derivação, mantemos as bases e representamos no diagrama

6
de impedâncias, em p.u, o transformador por sua impedância de curto-circuito em
série com um autotransformador ideal.
Seja um transformador com o comutador de derivação no enrolamento de
baixa tensão e com tensões nominais V1 e V2 (primário e secundário,
respectivamente).
A posição do comutador de derivação é definida por um número a que
exprime o aumento ( a > 0) ou a diminuição (a < 0) do número de espiras do
enrolamento em relação ao número de espiras que corresponde à tensão nominal.
Exemplificando, seja um transformador com N2 espiras, em correspondência à
tensão nominal, e atuemos no comutador de derivação de modo tal que o número de
espiras desse enrolamento seja N2 + ∆N2. Neste caso
100.(%)
2
2
N
N
a
∆
= ou
2
2
).(
N
N
upa
∆
=
Um transformador com tensões nominais V1 – V2 e relação de espiras
2
1
N
N
e
variador de ta± p.u. Para um ajuste de a p.u, teremos:
Número de espiras no primário: N1
Número de espiras no secundário: N2 (1 ± a )
Portanto, aplicando-se ao primário uma tensão V1, teremos no secundário,
V’2 = V2(1 + a ) ou em p.u, adotando-se V2 como tensão de base, teremos av += 1'2 .
Portanto a = 1'2 −v
REPRESENTAÇÃO DO TRANSFORMADOR COM ENROLAMENTO FORA DA
DERIVAÇÃO NOMINAL.
Seja um transformador com tensões nominais V1 – V2 e com o comutador de
derivação no enrolamento cuja tensão é V2 com n pontos até o valor limite de ± a t,
que está ajustado para um determinado valor a . Adotando-se V1 e V2 como valores
de base para o primário e secundário e aplicando-se ao primário uma tensão V,
teremos tensão no secundário dada por
1
2 )1(
.'
V
aV
VV
+
= , em p.u, teremos:
)1()1(.
'
'
2
2
121
ava
V
V
V
V
V
V
v
V
V
v +=+==⇒=
Portanto o autotransformador ideal que será inserido no circuito terá relação
de espiras 1 : (1 + a ), como mostra a figura 5
Circuito equivalente Circuito em p.u
Figura 5

7
Nas aplicações computacionais, interessa-nos representar o transformador
por parâmetros sem utilizar o autotransformador.
Para tanto, seja um quadripolo da figura 6, que mostram transformador fora
de derivação em p.u e circuito passivo equivalente.
Transformador fora de derivação em p.u circuito passivo equivalente
Figura 6
Os dois circuitos são equivalentes por imposição. Equacionando os dois
circuitos e comparando as variáveis de entrada e saída, teremos (dispensaremos o
desenvolvimento matemático):
αα
z
z .
1
1
1
−
=
α
z
z =2 zz .
1
1
3
α−
= onde α = 1 + a
APLICAÇÃO DE VALORES “POR UNIDADE” A CIRCUITOS 3φ COM CARGA
EQUILIBRADA.
Escolha das Bases:
Consideremos um circuito 3φ qualquer no qual tenhamos todos os elementos
ligados em estrela, sendo:
V = tensão de linha; VF = tensão de fase;
I = corrente de linha ou de fase; S = potência aparente fornecida ao trifásico;
SF = potência aparente fornecida a uma fase; Z = impedância de fase.
Sendo: VF = Z.I SF = VF.I V = 3 VF S = 3.SF
Adotando: VbF e SbF , obtemos:
bF
bF
bF
V
S
I = e
bF
bF
bF
bF
bF
S
V
I
V
Z
2
==
Os módulos das grandezas de fase em pu são:
bF
F
bF
V
V
v =
bF
F
F
S
S
s =
bF
bF
bF
F
S
V
I
I
I
i == 2
bF
bF
bF V
S
Z
Z
Z
z ==
e ainda em termos de valores de linha:
bFb VV .3= e bFb SS 3=
bF
bF
bF
bF
bF
b
b
b I
V
S
V
S
V
S
I ====
.3
3
.3
bF
bF
bF
b
b
b
b
b
b
b
b Z
S
V
S
V
V
S
V
I
S
Z =====
22
.3
33
Resultando, para os valores em pu das grandezas de linha, em módulo:
F
bF
F
bF
F
b
v
V
V
V
V
V
V
v ====
.3
.3
F
bF
F
bF
F
b
s
S
S
S
S
S
S
s ====
.3
.3

8
F
bFb
i
I
I
I
I
i === z
Z
Z
Z
Z
z
bFb
===
Com a escolha conveniente dos valores de base, os módulos das grandezas
de linha e de fase, expressos em pu, tem o mesmo valor.
Quanto à fase, valem as relações já conhecidas para o estudo de redes
trifásicas.
VANTAGENS E APLICAÇÕES DOS VALORES “POR UNIDADE”
A utilização de valores pu em sistemas elétricos de potência apresenta
diversas vantagens, das quais destacamos as que se seguem:
a) A simplificação no cálculo de circuitos com vários transformadores, pois
eliminamos a necessidade de converte tensões e correntes, quando passamos
de um enrolamento a outro em cada transformador;
b) Os valores pu fornecem uma visão melhor do problema de vez que, em circuitos
com vários transformadores, as quedas de tensão em volt diferem enormemente
quando se passa de um circuito de alta tensão par um de baixa, o que não ocorre
quando se utilizam valores pu;
c) Na resolução de circuitos através de algoritmos computacionais, valores
numéricos dos parâmetros da rede, das excitações e das respostas são de
mesma ordem de grandeza. Esse fato permite obter resultados numéricos de
melhor qualidade quando se utiliza uma aritmética de precisão finita, como é o
caso dos computadores;
d) Os valores das impedâncias de máquinas elétricas, se bem que em ohm são
muito variáveis de máquina para máquina, em pu são praticamente iguais,
independentemente da tensão e da potência da máquina.

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