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Vantagens e aplicações dos valores “por unidade”

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Vantagens e aplicações dos valores “por unidade”

  1. 1. A S E – ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE 2B 1 ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE 2 B VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE Os valores percentuais e por unidade (pu) ou, ainda, normalizados, correspondem simplesmente a uma mudança de escala nas grandezas principais (tensão, corrente, potência e impedância). Para relacionarmos o módulo dessas quatro grandezas elétricas em circuitos monofásicos dispomos de duas relações físicas independentes: V = Z.I e S = V.I Por esta razão, ao trabalharmos com valores em pu devemos sempre definir duas grandezas fundamentais dentre as quatro grandezas, atribuindo-lhes correspondentes valores que designaremos por valores de base. Os valores de base para as duas outras grandezas resultam imediatamente das relações acima. Normalmente os valores percentuais e por unidade (pu) são representados por letra minúscula enquanto que as grandezas reais são representadas por letra maiúscula. Se fixarmos valores de base para tensão e potência, qualquer outra tensão ou potência será expressa como uma porcentagem ou uma fração dessa grandeza (valor pu). Vbase = V1 e Sbase = S1 Assim, uma tensão qualquer, V, é expressa por: 100% baseV V v = (v percentual) pu V V v base = (v por unidade) Analogamente, uma potência qualquer S, é expressa por: 100% baseS S s = (s percentual) pu S S s base = (s por unidade) Para corrente e impedância teremos os seguintes valores de base: base base base V S I = , base base base base base S V I V Z 2 == E qualquer corrente ou impedância será expressa por: pu V S Z Z Z z base base base 2 == e zz 100% = pu S V I I I i base base base == e ii .100% =
  2. 2. A S E – ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE 2B 2 REPRESENTAÇÃO DE MÁQUINAS ELÉTRICAS EM VALORES POR UNIDADE Os transformadores também são considerados como máquinas elétricas. Os fabricantes de transformadores devem especificar os seguintes valores, que são conhecidos como “valores nominais”, “dados de chapa”, ou, ainda, “valores de plena carga” do transformador: 1- Potência nominal: SN 2- Tensão nominal do enrolamento de alta tensão: VNA 3- Tensão nominal do enrolamento de baixa tensão: VNB 4- Impedância equivalente ou de curto-circuito percentual ou por unidade: zE A impedância equivalente por unidade independe do lado que está referido, desde que as bases adotadas sejam para o enrolamento de alta: VNA e SN e para o enrolamento de baixa: VNB e SN. Um transformador monofásico pode ser representado por um modelo elétrico equivalente como mostra o figura abaixo. Figura 1 A utilização de base conveniente permite a eliminação do transformador ideal de relação 1:1 e para tanto devemos ter: a) potência aparente de base do primário = potência aparente de base do secundário. Sbase =S’base b) sendo tensão de base do primário: Vbase = VNA, então a tensão de base do secundário: V’base = VNB. Aplicando ao primário do transformador ideal uma tensão V1, teremos no secundário, uma tensão V2 cujo valor é NA NB V V VV 12 = Em pu: base V V v 1 1 = e baseNA NB base VV V V V V v ' 1 1 2 2 == Como queremos que a relação de espiras, em pu, seja 1:1, deverá ter v1 = v2 Logo: NB NA base base V V V V = ' Para as outras grandezas, corrente e impedância teremos: base base base V S I = e NB NA base base base base V V I V S I == ' ' '
  3. 3. A S E – ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE 2B 3 sendo I1 a corrente que circula no primário do transformador ideal, a corrente no secundário seria: NB NA B A BA V V I N N IIININ 11221 ==⇒= em pu: base I I i 1 1 = e 11 2 2 1 ' i V V IV V I I I i NA NB baseNB NA base === base base base S V Z 2 = e 22 ' ' '       == NA NB base base base base V V Z S V Z Analogamente: z1 = z2 MUDANÇA DE BASE Em muitas aplicações, conhecemos o valor de uma grandeza em por unidade numa determinada base e necessitamos conhecer seu valor em outra base. O procedimento que se segue é sempre o de determinar o valor da grandeza, multiplicando seu valor em “por unidade” pela base na qual foi dada e dividir esse valor pelo valor da nova base. Assim, sejam, v, i, p e z respectivamente os valores de uma tensão, uma corrente, uma potência e uma impedância, em pu; nos valores de base Vbase e Sbase. Queremos determinar seus valores, em pu, nas novas bases V’base e S’base. a) Tensão: V = v.Vbase ⇒ base base base V V v V V v '' ' == b) Corrente: base base base base base base base base basebase base base S S V V i S V V S i I I i V S iIiI ' ' ' ' ' '. ===⇒== c) Potência: base base base base S S s S S sSsS '' '. ==⇒= d) Impedância: 2 2 22 ' ' ' ' ' '.       ===⇒== base base base base base base base base basebase base base V V S S z V S S V z Z Z z S V zZzZ TRANSFORMADORES DE 3 ENROLAMENTOS Em sistemas de potência, são de emprego muito difundido os transformadores de três enrolamentos, razão pela qual vamos determinar um circuito equivalente. A representação de um transformador monofásico de 3 enrolamento e seu circuito equivalente em p.u são dados na figura 2. Figura 2 Onde zP = ½ (zPS + zPT – zST) ; zS = ½ (zPS + zST – zPT) e zT = ½ (zPT + zST – zPS) Sendo:
  4. 4. A S E – ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE 2B 4 zPS = impedância de curto-circuito obtida de ensaio com alimentação pelo enrolamento do primário com secundário em curto e o terciário em aberto. zPT = impedância de curto-circuito obtida de ensaio com alimentação pelo enrolamento do primário com secundário em aberto e o terciário em curto zST = impedância de curto-circuito obtida de ensaio com alimentação pelo enrolamento do secundário com primário em aberto e o terciário em curto REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADOR QUANDO HÁ CHOQUE DE BASE Quando estudamos uma rede que forma uma malha contendo transformadores, nem sempre é possível fixar arbitrariamente os valores de base para todos os transformadores, pois a rede formando uma malha, haverá um último transformador no qual as bases já foram fixadas pelos precedentes. Considere o circuito em malha da figura 3. Figura 3 A representação da rede está dividida em três áreas. Para a área I, podemos adotar valores de base quaisquer. Em particular, adotamos Vb1 e Sb1. Na área II, secundário de T1, o valor da tensão de base está fixado pela relação de espiras de T1, VN1 – VN2 : 1 2 12 N N bb V V VV = e Sb1 = Sb2 Na área III, secundário de T2, a tensão de base está fixada pela relação de espiras : V’N1 – V’N2 do transformador T2, isto é 1 2 13 ' ' . N N bb V V VV = e Sb3 = Sb1. Portanto os valores de base para o primário e o secundário do T3, cuja relação de espiras é V”1 – V”2, estão fixados, ou seja Primário de T3 Tensão de base: 1 2 13 ' ' . N N bb V V VV = e Potência de base: Sb3 = Sb1 Secundário de T3 Tensão de base: 1 2 12 . N N bb V V VV = e Potência de base: Sb2 = Sb1 Para a potência de base, não há nenhum problema, mas quanto às tensões de base, estas somente estarão na relação de espiras do transformador T3, quando subsistir a igualdade 2 1 2 3 " " N N b b V V V V = , isto é, quando for 2 1 2 1 1 2 " " . ' ' N N N N N N V V V V V V = .
  5. 5. A S E – ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE 2B 5 Nas aplicações usuais, a igualdade acima nem sempre é verificada e, assim sendo, o transformador T3, em p.u, não poderá ser representado pela sua impedância de curto-circuito em série com um transformador ideal de relação de espiras 1 : 1, ou seja, o transformador T3 permanecerá no circuito em p.u Como poderemos representar em p.u, um transformador quando os valores de base das tensões no primário e secundário não estiverem na relação 1 : 1. Consideremos um transformador , com tensões nominais VN1 – VN2, potência nominal SN e impedância equivalente em z em p.u, representado na figura 4. (a) (b) (c) Figura 4 (a) circuito (b) Circuito em p.u (c) circuito em p.u utilizando autotrafo Para o primário, os valores de base são: Vb1 e Sb e para o secundário, os valores de base são Vb2 ≠ 1 2 1. N N b V V V e Sb. Se aplicarmos ao primário uma tensão tal que, no transformador ideal, tenhamos tensão V1. No secundário a tensão será V2 = V1. 1 2 N N V V Exprimindo em p.u, teremos: 1 1 1 b V V v = e 21 2 1 2 2 2 1 .. bN N b VV V V V V v == Dividindo e multiplicando por Vb1, vem 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 ... N N N N b b b v v v V V V V V V v == , onde 1 1 1 b N N V V v = e 2 2 2 b N N V V v = Portanto o transformador dado na representação em p.u pode ser substituído por sua impedância de curto-circuito em série com um transformador ideal que tenha k 1Nv espiras no enrolamento primário e k 2Nv espiras no enrolamento secundário. Em particular, terá relação 1 : α desde que seja α = 1 2 N N v v REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADOR COM COMUTAÇÃO DE DERIVAÇÃO Em sistema de potência, é usual utilizarem-se, com o intuito de melhorar a regulação, transformadores com relação de espiras variável sob carga (tap changing). Para esses casos, fixamos as tensões de base pelos valores nominais do transformador com o comutador de derivação ajustado para a posição zero e, quando alterarmos a derivação, mantemos as bases e representamos no diagrama
  6. 6. A S E – ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE 2B 6 de impedâncias, em p.u, o transformador por sua impedância de curto-circuito em série com um autotransformador ideal. Seja um transformador com o comutador de derivação no enrolamento de baixa tensão e com tensões nominais V1 e V2 (primário e secundário, respectivamente). A posição do comutador de derivação é definida por um número a que exprime o aumento ( a > 0) ou a diminuição (a < 0) do número de espiras do enrolamento em relação ao número de espiras que corresponde à tensão nominal. Exemplificando, seja um transformador com N2 espiras, em correspondência à tensão nominal, e atuemos no comutador de derivação de modo tal que o número de espiras desse enrolamento seja N2 + ∆N2. Neste caso 100.(%) 2 2 N N a ∆ = ou 2 2 ).( N N upa ∆ = Um transformador com tensões nominais V1 – V2 e relação de espiras 2 1 N N e variador de ta± p.u. Para um ajuste de a p.u, teremos: Número de espiras no primário: N1 Número de espiras no secundário: N2 (1 ± a ) Portanto, aplicando-se ao primário uma tensão V1, teremos no secundário, V’2 = V2(1 + a ) ou em p.u, adotando-se V2 como tensão de base, teremos av += 1'2 . Portanto a = 1'2 −v REPRESENTAÇÃO DO TRANSFORMADOR COM ENROLAMENTO FORA DA DERIVAÇÃO NOMINAL. Seja um transformador com tensões nominais V1 – V2 e com o comutador de derivação no enrolamento cuja tensão é V2 com n pontos até o valor limite de ± a t, que está ajustado para um determinado valor a . Adotando-se V1 e V2 como valores de base para o primário e secundário e aplicando-se ao primário uma tensão V, teremos tensão no secundário dada por 1 2 )1( .' V aV VV + = , em p.u, teremos: )1()1(. ' ' 2 2 121 ava V V V V V V v V V v +=+==⇒= Portanto o autotransformador ideal que será inserido no circuito terá relação de espiras 1 : (1 + a ), como mostra a figura 5 Circuito equivalente Circuito em p.u Figura 5
  7. 7. A S E – ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE 2B 7 Nas aplicações computacionais, interessa-nos representar o transformador por parâmetros sem utilizar o autotransformador. Para tanto, seja um quadripolo da figura 6, que mostram transformador fora de derivação em p.u e circuito passivo equivalente. Transformador fora de derivação em p.u circuito passivo equivalente Figura 6 Os dois circuitos são equivalentes por imposição. Equacionando os dois circuitos e comparando as variáveis de entrada e saída, teremos (dispensaremos o desenvolvimento matemático): αα z z . 1 1 1 − = α z z =2 zz . 1 1 3 α− = onde α = 1 + a APLICAÇÃO DE VALORES “POR UNIDADE” A CIRCUITOS 3φ COM CARGA EQUILIBRADA. Escolha das Bases: Consideremos um circuito 3φ qualquer no qual tenhamos todos os elementos ligados em estrela, sendo: V = tensão de linha; VF = tensão de fase; I = corrente de linha ou de fase; S = potência aparente fornecida ao trifásico; SF = potência aparente fornecida a uma fase; Z = impedância de fase. Sendo: VF = Z.I SF = VF.I V = 3 VF S = 3.SF Adotando: VbF e SbF , obtemos: bF bF bF V S I = e bF bF bF bF bF S V I V Z 2 == Os módulos das grandezas de fase em pu são: bF F bF V V v = bF F F S S s = bF bF bF F S V I I I i == 2 bF bF bF V S Z Z Z z == e ainda em termos de valores de linha: bFb VV .3= e bFb SS 3= bF bF bF bF bF b b b I V S V S V S I ==== .3 3 .3 bF bF bF b b b b b b b b Z S V S V V S V I S Z ===== 22 .3 33 Resultando, para os valores em pu das grandezas de linha, em módulo: F bF F bF F b v V V V V V V v ==== .3 .3 F bF F bF F b s S S S S S S s ==== .3 .3
  8. 8. A S E – ANÁLISE DE SISTEMAS DE ENERGIA – REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA EM REGIME PERMANENTE 2B 8 F bFb i I I I I i === z Z Z Z Z z bFb === Com a escolha conveniente dos valores de base, os módulos das grandezas de linha e de fase, expressos em pu, tem o mesmo valor. Quanto à fase, valem as relações já conhecidas para o estudo de redes trifásicas. VANTAGENS E APLICAÇÕES DOS VALORES “POR UNIDADE” A utilização de valores pu em sistemas elétricos de potência apresenta diversas vantagens, das quais destacamos as que se seguem: a) A simplificação no cálculo de circuitos com vários transformadores, pois eliminamos a necessidade de converte tensões e correntes, quando passamos de um enrolamento a outro em cada transformador; b) Os valores pu fornecem uma visão melhor do problema de vez que, em circuitos com vários transformadores, as quedas de tensão em volt diferem enormemente quando se passa de um circuito de alta tensão par um de baixa, o que não ocorre quando se utilizam valores pu; c) Na resolução de circuitos através de algoritmos computacionais, valores numéricos dos parâmetros da rede, das excitações e das respostas são de mesma ordem de grandeza. Esse fato permite obter resultados numéricos de melhor qualidade quando se utiliza uma aritmética de precisão finita, como é o caso dos computadores; d) Os valores das impedâncias de máquinas elétricas, se bem que em ohm são muito variáveis de máquina para máquina, em pu são praticamente iguais, independentemente da tensão e da potência da máquina.

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