Esta apresentação dedica-se a aprofundar o tema « Corda Média Aerodinâmica » (CMA). Muitos autores e professores são demasiadamente sucintos e diretos ao apresentar este assunto. Entretanto, o uso da CMA nos cálculos do Momento de Arfagem e da posição do Centro de Gravidade, da aeronave, demonstram sua importância. Este material apresenta explicações, deduções detalhadas e exemplos resolvidos objetivando ampla compreensão da CMA e calculo para qualquer geometria de asa.

1. Corda Média Aerodinâmica
(CMA)
deduções das expressões empregando integrais
« Mean Aerodynamic Chord »
(« MAC »)
por
Luis Fernando G. de Moraes
Jan/2021

2. Autor: Luis Fernando Gouveia de Moraes
Formação Acadêmica:
-Docteur en Aérodynamique (ENSMA);
-Eng. Mecânico e de Armamento (IME);
-Mestre en Eng. Aeronáutica (ITA) - Aerodinâmica;
-Mastère Spécialisé en Aéronautique (ISAE/Sup’Aero).
luis.fmoraes@hotmail.com

3. Sumário:
1- Definição de Corda Média Aerodinâmica (CMA);
2- Definições Adicionais Importantes;
3- Corda Média Aerodinâmica " Mean Aerodynamic Chord – MAC ";
4- Cálculo da CMA para Asas Trapezoidais;
5- Obtenção da Posição - via Geometria Plana - da CMA para Asas Trapezoidais;
6- Enflechamento da linha c/4 para asas trapezoidais;
7- Referências Bibliograficas;
Prólogo:
Esta apresentação dedica-se a aprofundar o tema « Corda Média Aerodinâmica »
(CMA). Muitos autores e professores são demasiadamente sucintos e diretos ao apresentar este
assunto. Entretanto, o uso da CMA nos cálculos do Momento de Arfagem e da posição do Centro
de Gravidade, da aeronave, demonstram sua importância.
Este material apresenta explicações, deduções detalhadas e exemplos resolvidos
objetivando ampla compreensão da CMA e calculo para qualquer geometria de asa.

4. 4
A Corda Média Aerodinâmica, comumente notada "CMA” (“Mean Aerodynamic Chord –
MAC”) – e simbolizada por - é empregada nos cálculos de balanceamento (“posicionamento do
C.G”) e adimensionalização do momento de arfagem (M) da aeronave (anv.).
O peso da aeronave e a posição do seu centro de gravidade são parâmetros importantes na
estabilidade longitudinal da aeronave. Esta estabilidade refere-se ao giro da anv. no plano
longitudinal.
1- Definição de Corda Média Aerodinâmica :
c
« Weight and Balance » = Peso e Balanceamento
CG
Eixo Lateral
eixo de giro

5. 5
O momento de arfagem (M) é o momento ao redor do centro de gravidade (C.G) da aeronave
(anv.) no plano longitudinal da mesma. O uso/movimento do profundor gera uma força na
empenagem horizontal a qual produz o giro da aeronave em torno de seu C.G. Normalmente
considera-se o C.G como o ponto no qual os 3 eixos (longitudinal, lateral, vertical) interceptam-se.
O ato de girar/rotacionar – em torno do eixo lateral - para cima denomina-se “cabrar” (“pitch
up”) e para baixo “picar” (“pitch down”).
Definição de Corda Média Aerodinâmica (cont.):
Cabrar
+
Profundor
para cima
Força
CG
Picar -
Profundor
para baixo
Força
CG
“Pitch” = Arfagem “Pitch Moment” = Momento de Arfagem
“Pitch Up” = Cabrar “Pitch Down” = Picar
+ -

6. XBA = 22860 XBF = 27432
CMA = 4572
XBA = 22860
XBF = 27432
XCG = 24003
1143
CG da
anv.
CMA
da
ou
CMA
XCG
%
25
25
,
0
4572
1143


6
Medidas em mm
22860
27432
22850
24003



CMA
XCG
Como dito anteriormente, a CMA também é utilizada na realização do cálculo do posicionamento
longitudinal do CG.
Em uma anv. equilibrada, o CG (na vista superior) está físicamente sobre seu eixo longitudinal.
Entretanto, o CG é normalmente apresentado em termos da posição relativa na CMA. Isto é uma
norma! A posição do C.G varia em função da carga, combustivel e numero de passageiros – portanto
deve ser determinada a cada voo. Ela tem uma posição limitante dianteira e traseira e que nunca
depassam a CMA. A DATUM é uma linha (ou plano de referência) à partir da qual as distâncias
indicadas na figura são medidas.
Definição de Corda Média Aerodinâmica (cont.):

7. 7
Afilamento (“Taper ratio”) = λ = Ct / Cr
cr – Corda na raiz da asa (root chord)
ct – Corda na ponta da asa (tip chord)
2- Definições Adicionais Importantes:
LE – Bordo de ataque (« Leading Edge »)
TE – Bordo de Fuga (« Trailing Edge »)
A corda na raiz da asa (cr) é medida no eixo de simetria ∟.
O LE e TE de cada semi asa são prolongados até se
interceptarem no eixo de simetria ∟.
Não importa se a asa não for continua, ou seja, se parte
dela não esta contida dentro da fuselagem.
F-35
LIGHTNING
CORDA E AFILAMENTO:
LE LE
TE TE
∟
∟

 - ângulo de enflechamento

8. c c
8
Alongamento / Aspect Ratio (AR)
S
b
AR
2

b – envergadura
S – Área, em planta (projetada), da asa.
- Corda Média Aerodinâmica
Envergadura / Span (b)
A área em planta da asa (S) inclui a região no interior
da fuselagem (existindo físicamente ou não). A area em
planta é a área plana, ou seja, não considera curvas
(como uma sombra projetada numa parede).
ÁREA DA ASA e ALONGAMENTO:
F-35
LIGHTNING
Definições Adicionais Importantes (cont.):
c

9. 9
Ponto de fixação semi asa-fuselagem
Semi asa
esquerda
Semi asa
direita
Área da Asa (S)
S

10. Para obter a CMA, a idéia é dividir a asa (ou semi asa) em varias tiras (« strips ») de
mesma largura (y) mas cujo comprimento (c(i)) varia em função da corda local. Em
seguida empregar a expressão da média ponderada* em relação à area das tiras.







 



N
i
N
semi y
i
c
S
1
.
)
(
lim
 
























N
i
N
N
i
N
y
i
c
y
i
c
i
c
c
1
1
.
)
(
lim
)
(
.
)
(
lim
discretização
3- Corda Média Aerodinâmica " Mean Aerodynamic Chord" :
n  numero de tiras
y  largura da tira = constante
c(i)  comprimento da tira « i »
y
N
b



2
Semi Asa
* Conceito semelhante ao centro de massa
ou centro de gravidade. 10
2
b
0
c(i)
i=1
i=N
y

11. 11




 2
/
2
/
2
/
2
/
.
)
(
b
b
b
b
dS
dS
y
c
c mas dS = c(y).dy então
Portanto, considerando uma asa de envergadura b (ou seja, de –b/2 a b/2) e área total S. A média
ponderada expressa como integrais definidas será:
2
b
0

 


2
/
2
/
2
/
2
/
.
)
(
b
b
b
b
dy
y
c
dS
o limite da soma pode ser transformado em uma integral definida 
 










2
0
1
.
)
(
.
)
(
lim
b
dy
y
f
y
i
f
n
i
n
Corda Média Aerodinâmica " Mean Aerodynamic Chord" (cont.):
Semi Asa

12. 12
Corda Média Aerodinâmica " Mean Aerodynamic Chord" (cont.):
 




 2
/
2
/
2
/
2
/
).
(
.
)
(
.
)
(
b
b
b
b
dy
y
c
dy
y
c
y
c
c
resultando para a asa toda,
ou




 2
/
2
/
2
/
2
/
2
).
(
.
)
(
b
b
b
b
dy
y
c
dy
y
c
c 



2
/
2
/
2
)
(
1
b
b
dy
y
c
S
c
CMA
Ou, considerando uma asa simétrica, 


2
/
0
2
)
(
2
b
dy
y
c
S
c
CMA

13. 13
4- Cálculo da CMA para asas trapezoidais:
1
2
x
y
cr
- b/2


1
tg
xLE
LE
y
yTE
r
TE c
x
tg


2
r
r
TE
TE
c
x
tg
c
x
y 



;
2
para o bordo de ataque (LE) (1)
assim, para o bordo de fuga (2)
A corda da asa, para cada seção y (definida), será:
ct
    r
LE
TE
c
tg
tg
y
y
c x
x 




 
 1
2
Dados: cr, ct, b e 1 e 2
  
 




 1
2
tg
y
c
tg
y r
LE
TE x
x
para o bordo de fuga (TE)
(3)
então
asa
semi
S
S 
 2
A área da asa é
yLE = yTE
xLE
xTE
(4)










2
2
.
2
b
C
C
S r
t
   dy
S
dy
S
c
CMA
b
b
b y
c
y
c 
 



2
0
2
2
2
2
)
(
)
(
2
1
por definição,

14. 14
1
2
x
y
cr
- b/2
ct
Calculo da CMA para asas trapezoidais (cont.):
 






 2
0
2
1
2 )
)
(
(
2 b
r dy
c
tg
tg
y
S
c
k
tg
tg 


 1
2
Para facilitar, seja
 



 2
0
2
)
(
2 b
r dy
c
k
y
S
c

















 2
0
2
2
0
2
2
b
0
3
2
2
2
3
2 b
r
b
r y
c
y
c
k
y
k
S
c










   
2
0
2
0
2
0
2
2
2
.
.
2
2 b b b
r
r dy
c
dy
y
c
k
dy
y
k
S
c

















2
8
2
24
)
(
4 2
2
3
2 b
c
b
c
k
b
k
b
c
c
c r
r
r
t
da expressão (3),
(5)
fazendo
2
b
y 
  r
t c
tg
tg
b
c 



 
 1
2
2
)
(
2
1
2 r
t c
c
b
tg
tg 






comparando (7) e (5), tem-se )
(
2
r
t c
c
b
k 


(6)
(7)
    r
c
tg
tg
y
y
c 


 
 1
2
(8)

15. 15
1
2
x
y
cr
- b/2














r
t
r
t
r
t
c
c
c
c
c
c
c
3
2
ct
fornecendo
t
r
t
r
c
c
c
c
b
Y




.
2
6
r
t
c
c


Introduzindo o afilamento (),
1
1
2
6 






b
Y
É usual empregar o afilamento (). Que é definido por:








 2
2
1
.
3
2
t
c
c
r
t
c
c


(9)
Chega-se à expressão alternativa: (10)
A localização da CMA é determinada substituindo (9) na equação que resulta da substituição de (8) em (3)
  r
r
t c
c
c
b
y
y
c
c 



 )
(
2
. (11)
(12)
c
Y
Estas CMA estão - logicamente - dispostas nas duas semi asas!
Substituindo (8) em (6) obtém-se:
Assim,
  r
r
t c
c
c
b
y
y
c 


 )
(
2
.
Calculo da CMA para asas trapezoidais (cont.):

16. 16
5- Obtenção da posição - via geometria plana - da CMA para asas
trapezoidais :
b/2
cr
ct


b/2
cr
cr
ct ct
E
B
D
A


1
Prolongue a vertical que contém a corda na raiz, para baixo, de um comprimento
de valor igual ao comprimento da corda na ponta. Marque o ponto A.
Prolongue a vertical que contém a corda na ponta, para cima, de um comprimento
de valor igual ao comprimento da corda na raiz. Marque o ponto D.
B
E
Marque os pontos médios da corda na raiz (B) e na ponta (E). Una-os!
inicio

17. 17
Obtenção da posição -via geometria plana- da CMA para asas trapezoidais (cont.) :
b/2
cr
cr
ct ct
E
B
D
A


2
Una o ponto A ao D.
A interseção desta reta com a reta EB
define o ponto C.

18. 18
b/2
cr
cr
ct ct
Y
E
B
D
C
A




3
final
A reta vertical passando por C define a corda média aerodinâmica.
Isto sera provado abaixo…
Obtenção da posição da CMA -via geometria plana- para asas trapezoidais (cont.) :
18

19. 19
b/2
cr
cr
ct ct
Y
E
B
D
C
A




EDC
ABC 
 ~
Y
b
Y
ED
AB



2 2
2
t
r
r
t
c
c
ED
c
c
AB




mas
2
2
2
t
r
r
t
c
c
c
c
Y
b
Y





r
t
t
r
c
c
c
c
b
Y





.
2
6
Com base na figura anterior ,reproduzida abaixo, emprega-se semelhança de triângulos
Uma vez que geométrico é igual ao calculado, a CMA obtida
geométricamente tera o mesmo comprimento da calculada analiticamente.
Y Y
Obtenção da posição -via geometria plana- da CMA para asas trapezoidais (cont.) :
Caso AAA
(13)

20. 6- Enflechamento da linha c/4 para asas trapezoidais :
A linha que une os pontos situados a c/4 (linha azul) une os centros aerodinâmicos (em regime
subsônico) de cada aerofólio que compõe a asa. Para uma asa trapezoidal, o enflechamento do bordo
de ataque e da linha a um quarto da corda estão relacionados por:
)
1
(
1
4 





 
 AR
tg
tg c
LE
= DEMONSTRAÇÃO =
2
1
b
tg x
LE

 


 LE
tg
b
x 2
1
Para o bordo de ataque em vale,
2
4
2
4 b
c
tg
r
c
x 

 4
2 4
2
r
c
c
tg
b
x 

 

Para a linha situada a um quarto da corda em vale
4
1
2
t
c
x
x 

Mas b
c
c
tg
tg t
r
c
LE
1
2
4




 
 r
t c
c .


b
c
c
tg
tg r
r
c
LE
1
2
4




 


b
c
tg
tg r
c
LE




 
 2
1
4

Mas b
c
c
b
c
c
S t
r
t
r













2
2
2
2
  b
c
c
b
AR
t
r 



2
2
S
b
AR
2

  r
t
r c
b
c
c
b
AR







1
2
2
  AR
b
cr





1
2
  AR
tg
tg c
LE




 
 

1
1
4
daí ,
ou seja,
como dai
LE
c/4
x
y
cr
- b/2
como
2
b
y 
2
b
y 

21. 


2
/
2
/
2
)
(
1
b
b
dy
y
c
S
c
c(y)
)
(
)
(
)
( 1 y
f
y
f
y
c 

















 1
5
4
,
0
1
5
4
,
0
)
( y
y
y
c
2
5
8
,
0
)
( 

 y
y
c
portanto, ²
16
5
.
2
2
2
,
1
.
2 m
Sasa 





 












5
5
2
.
2
5
8
,
0
16
1
dy
y
c CMA
m
c 
 633
,
1
Para a obtenção da posição ( ) da CMA ( ) na envergadura faz-se:
2
5
8
,
0
)
( 

 y
y
c 2
5
8
,
0
)
( 

 y
y
c 2
5
8
,
0
633
,
1 

 y
y c
m
y 29
,
2

c c
y
= SOLUÇÃO =
4
25
16
100
²



 AR
S
b
AR
O alongamento da asa é
Afilamento
r
t
c
c

 6
,
0


Ex. 1: Determine a CMA , o alongamento (AR)
e afilamento () da asa ao lado.
http://www.gsal.org/tools/cgcalc/centerofgravitycalculator.htm
21
EXEMPLOS:

22. c c
y



2
/
2
/
2
)
(
1
b
b
dy
y
c
S
c  
















2
/
0
2
2
4
1
2
b
r dy
b
y
c
S
c















2
0
3
2
2
b
0
3
4
2
b
y
b
y
S
c
2
3
2
r
c
b
S
c 


 2
3
)
4
(
2
r
r
c
b
c
b
c 





 
3
8 r
c
c




















2
2
2
4
1
b
y
c
c r

















2
2
2
4
1
)
(
b
y
c
y
c r
²
4
1
)
(
2
2
2
c
b
y
c
y
c r 

















2
2
2
2
9
64
4
1 r
r c
b
y
c


























6
64
9 2
b
y
Para obter a posição da CMA ( ) faz-se
y c y
y
e
c
c 

)
(y
c
y
= SOLUÇÃO =
Ex.2: A area em planta e a distribuição da corda de uma asa elitica - com envergadura
e corda na raiz cr - são dadas por:
a) Mostre que a CMA é dada por:
b) Derive em cada semi asa em função de b.
r
c
b
S 


4



















2
2
2
4
1
b
y
c
c r

3
8 r
c
c


22
EXEMPLOS (cont.):

23. 4
b
4
b
r
c
3
r
c
y
b
c
x
b
y
x
c
b
y
f r
r









2
2
0
;
2
:
4
b
4
b
r
c
3
r
c
f
1
f
2
f

1

y
x
4
0
;
:
1 b
y
c
x
f r 


r
r
r
r c
b
c
b
y
x
b
y
b
b
c
b
c
x
y
f 














3
4
)
4
(
2
4
;
4
4
3
)
(
:
2
y
b
c
c
y
c
f
f r
r 




2
)
(
:
1
y
b
c
c
b
c
b
y
y
c
f
f r
r
r















.
2
3
4
)
4
(
)
(
:
2
= SOLUÇÃO =
Ex.3: Determine a CMA e o alongamento (AR) da asa
– cuja semi asa direita é apresentada na figura ao lado.
b
c
tg r



2
b
c
tg r




3
4
1
23
EXEMPLOS (cont.):

24. y
b
c
c
y
c
f
f r
r 




2
)
(
:
1 y
b
c
y
b
c
c
y
c r
r
r








 



2
2
2
2
4
2
)
²( dy
y
b
c
y
b
c
c
dy
y
c
b
r
r
b
r

 















 



4
4
0
2
2
2
2
0
4
2
)
²(
2
0
48
7
)
²(
4
r
c
b
dy
y
c
b



 
y
b
c
c
b
c
b
y
y
c
f
f r
r
r















.
2
3
4
)
4
(
)
(
:
2
9
4
9
8
3
2
)
²(
2
2
2
2
r
r
c
y
b
c
y
b
c
y
c r

















dy
c
y
b
c
y
b
c
dy
y
c
b
b
r
r
b
b
r

 






 
















2
4
2
4
9
4
9
8
3
2
)
²(
2
2
2
2
324
23
)
²(
2
2
4
b
c
dy
y
c r
b
b



 
(
*)
(
**)
Area total da asa: 
















4
3
2
4
2 b
c
b
c
c
S r
r
r
b
c
S r 



48
13
(
***) assim,
 
 
*
*
*
*
*
*

c
b
c
b
c
c
r
r






48
13
1296
281 2
CMA
c
c r 



351
281
b
c
b
c
c
r
r













48
13
324
23
48
7 2
r
c
b
AR
S
b
AR 



13
48
²
O alongamento da asa é
Ex. 3 (cont.)
24
c c

25. 7- REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS:
Vogeltanz, T. - Application for Calculation of Mean Aerodynamic Chord of Arbitrary
Wing Planform – International Conference of Numerical Analisys (ICNAAM) 2015, AIP
Publishing.
Diehl, W. - The Mean Aerodynamic Chord and the Aerodynamic Center of a Tapered
Wing – NACA TR 751, 1942
Schlichting, H.; Truckenbrodt, E. – Aerodynamics of the Airplane – Mc Graw Hill, USA, 1979.
Hurt Jr., H. H. – Aerodynamics for Naval Aviators – NAVAIR 00-80T-80, 1960.
https://rcplanes.online/cg2_wing.htm
Calculo on line da CMA
Para citação favor utilizar: Moraes, L. F. G. – Corda Média Aerodinâmica (CMA) deduções
das expressões utilizando integrais - Janeiro 2021.
Adicionar o link da apresentação.

26. F I M