Automacaoe controlei

Universidade Presbiteriana Mackenzie
Curso de Engenharia El´etrica
Automa¸c˜ao e Controle I
Notas de Aula
Prof. Marcio Eisencraft
Segundo semestre de 2006

Curso de Engenharia El´etrica
Automa¸c˜ao e Controle I
TEORIA
Prof. Marcio Eisencraft
Segundo semestre de 2006

Automação e Controle I – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2006
1
Automação e Controle I
Professor Marcio Eisencraft (marcioft@mackenzie.br)
2º Semestre 2006
1. Objetivos
Introduzir os fundamentos matemáticos de Automação e Controle e ilustrar al-
gumas de suas aplicações à Engenharia de Produção.
2. Aulas de Teoria e Prática
Nas aulas de prática serão vistas aplicações dos assuntos abordados nas aulas
de teoria. Serão utilizados kits didáticos e a ferramenta computacional Ma-
tlab, principalmente seu ferramental (toolbox) para a área de controle.
Aulas de exercícios serão realizadas próximo das datas das provas.
3. Avaliação
Serão realizadas três avaliações versando sobre o conteúdo visto nas aulas de
teoria e de prática.
O aluno estará aprovado caso consiga média maior ou igual a 7,0 e estará re-
provado caso consiga média inferior a 5,5. Se a média ficar entre 5,5 e 6,9 o
aluno será aprovado caso possua mais de 80% de presença em aula, caso con-
trário estará reprovado.
Cada avaliação será constituída de duas notas:
o Nota da Prova – 0,0 a 9,0
o Nota de Relatórios da Aula Prática e Trabalhos– 0,0 a 1,5

2
Nas aulas de prática os alunos formarão grupos de um ou dois alunos. Ao
final de todas as aulas será passada uma atividade a ser entregue pelo grupo
no início da aula prática seguinte. A tolerância para entrega desta atividade é
de 10 minutos.
Importante: O relatório deve ser entregue em folha de papel A4 cons-
tando dos nomes, números de matrículas e número da aula à qual a ati-
vidade se refere. FORA DESSAS CONDIÇÕES, O RELATÓRIO NÃO
SERÁ ACEITO.
Os relatórios das aulas de prática formarão uma nota indo de 0,0 a 1,0. Antes
de cada prova será passado um trabalho envolvendo tópicos da ementa do
curso que valerá 0,5 ponto complementando 1,5 pontos.
Será considerado presente o aluno que estiver em sala no momento em que é
realizada a chamada. Não serão abonadas faltas (exceto casos previstos em
lei). A tolerância para entrada na aula é de 30min.
Para que o grupo tenha presença nas aulas de prática é indispensável que pelo
menos um dos componentes tenha a apostila da aula.
As provas serão realizadas no horário das aulas de teoria nos seguintes dias:
PROVA Turma F (3ª feira) Peso
P1 05/09 Peso 1
P2 10/10 Peso 1
P3 A ser definida Peso 2
4. Conteúdo Programático
1. Introdução (NISE, 2002, pp. 2-25)

3
1.1. Introdução
1.2. História dos Sistemas de Controle
1.3. O Engenheiro e sistemas de controle e automação
1.4. Características da resposta e configurações de sistemas
1.5. Objetivos de análise e de projeto
1.6. Procedimento de projeto
1.7. Projeto assistido por computador (CAD)
2. Modelagem no domínio da freqüência (NISE, 2002, pp. 27-88).
2.1. Revisão sobre transformada de Laplace
2.2. Função de transferência
2.3. Modelagem de circuitos elétricos
2.4. Modelagem de sistemas mecânicos em translação
2.5. Modelagem de sistemas mecânicos em rotação
2.6. Modelagem de sistemas com engrenagens
2.7. Modelagem de sistemas eletromecânicos
2.8. Estudo de caso
3. Modelagem no domínio do tempo (NISE, 2002, pp. 90-122).
3.1. Introdução
3.2. Observações
3.3. Representação geral no espaço de estados
3.4. Aplicando a representação no espaço de estados
3.5. Conversão de função de transferência para espaço de estados
3.6. Conversão de espaço de estados para função de transferência
3.7. Estudo de caso
4. Resposta no domínio do tempo (NISE, 2002, pp. 123-177).
4.1. Introdução
4.2. Pólos, zeros e resposta do sistema.
4.3. Sistemas de primeira ordem
4.4. Sistemas de segunda ordem: Introdução
4.5. Sistemas de segunda ordem geral

4
4.6. Sistemas de segunda ordem sub-amortecidos
4.7. Solução das equações de estado pela transformada de Laplace
4.8. Estudos de caso
5. Redução de sistemas múltiplos (NISE, 2002, pp. 179-233).
5.1. Introdução
5.2. Diagramas de blocos
5.3. Análise e projeto de sistemas com retroação
5.4. Diagramas de fluxo de sinal
5. Bibliografia
A cada aula (de teoria e de prática), notas de aula serão disponibilizadas
no site http://meusite.mackenzie.com.br/marcioft/ . Além disso, listas de exercí-
cios serão fornecidas.
A principal referência que será utilizada durante todo o curso é
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC,
c2002. 695 p. ISBN 8521613016.
Outras referências disponíveis em vários exemplares na biblioteca:
CHAPMAN, Stephen J. Programação em MATLAB para engenheiros.
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 477 p. ISBN 8522103259.
DISTEFANO, J. J.; STUBBERUD, A. R.; WILLIAMS, I. J. Schaum´s out-
line of theory and problems of feedback control systems. 2nd
edition, New
York: McGraw-Hill, 1990. 496p. ISBN 0070170525.
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2001. 659 p. ISBN 0201308649.
HAYKIN, Simon; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto alegre: Bo-
okman, 2001. 668 p. : il. (algumas ISBN 8573077417).
LATHI, Bhagwandas Pannalal. Signal processing and linear systems. Cali-
fornia: Berkeley, c1998. 734 p. ISBN 0941413357.

5
Manual for Model 730 – Magnetic Levitation System. ECP, 1999.
MATSUMOTO, Élia Yathie. Simulink 5. São Paulo: Érica, 2003. 204 p. : il.
; 25 cm ISBN 8571949379.
MITRA, Sanjit K. Digital signal processing : a computer-based approach.
2nd ed. Boston: McGraw-Hill, c2001. 866 p. : il. ; 24 cm ISBN 0072321059.
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janei-
ro: LTC, c2002. 695 p. ISBN 8521613016.
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo:
Prentice-Hall do Brasil, 2003. 788 p. ISBN 8587918230
PAZOS, Fernando. Automação de sistemas & robótica. Rio de janeiro:
Axcel Books, c2002. 377 p. : il. ; 23 cm ISBN 8573231718.
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e reali-
mentação. São Paulo ; Rio de Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN
8534605963.
SILVEIRA, Paulo Rogério da; SANTOS, Winderson E. dos. Automação e
controle discreto. 2. ed. São Paulo: Érica, 1999. 229 p. : il. ; 24 cm ISBN
85-7194-591-8
6. Monitoria e atendimento
O monitor da disciplina e seu horário serão disponibilizados no site da disci-
plina assim que possível.
Atendimento pelo professor pode ser agendado por e-mail.

1
Aula 1T - Introdução aos sistemas de controle
Bibliografia
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p. ISBN
8521613016. Páginas 1-10.
DORF, Richard C. Sistemas de controle modernos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. 659 p. ISBN
0201308649. Páginas 1-14.
CAPÍTULO 1 – Introdução
Objetivos:
Definição e aplicações de sistemas de controle
Histórico
Benefícios
Características e configurações básicas
Projetos
1.1. Introdução
• Definição: um sistema de controle consiste em subsistemas e processos (ou
plantas) reunidos com o propósito de controlar as saídas dos processos. Isto é
mostrado esquematicamente na Figura 1.
Figura 1 – Descrição simplificada de um sistema de controle (NISE, 2002).
Exemplos:
(a) Controle de uma caldeira: calor produzido pelo fluxo de combustível. Ter-
mostatos (sensores) medem temperatura da sala e válvulas de combustível e atu-
adores de válvulas de combustível são usadas para regular a temperatura da sala
controlando a saída de calor da caldeira.

2
(b) Pâncreas – regula açúcar no sangue.
(c) Olhos seguindo um objeto
(d) Peças mecânicas usinadas automaticamente.
Figura 2 - a. Os elevadores primitivos eram controlados por cabos manuais ou
por um operador de elevador. Aqui, uma corda é cortada para demonstrar o freio
de segurança, uma inovação nos elevadores primitivos; b. os modernos elevado-
res de transporte duplo fazem sua subida no Grande Arche em Paris, conduzido
por um motor, com cada carro contrabalançando o outro. Hoje, os elevadores
são completamente automáticos, usando sistemas de controle para regular posi-
ção e velocidade. (NISE, 2002).
Razões para se utilizar sistemas de controle:
(a) Amplificação de potência
Elevador hidráulico em postos de combustíveis.
(b) Controle remoto

3
Robôs úteis em localidades remotas ou perigosas.
Figura 3 - O Rover foi construído para trabalhar nas áreas contaminadas de
Three Mile Island em Middleton, PA, onde ocorreu um acidente nuclear em
1979. O longo braço do robô de controle remoto pode ser visto na frente do veí-
culo (NISE, 2002).
(c) Facilidade de uso da forma de entrada
Sistemas de controle de temperatura.
(d) Compensação de perturbações
Exemplo: antena apontando para direção comandada. Se um vento força a ante-
na a se deslocar de sua posição comandada, o sistema deve ser capaz detectar a
perturbação e corrigir o problema.

4
1.2. Histórico
Controle de nível de líquidos: 300 a.C. – relógio de água, lampião a óleo.
Controle de pressão de vapor e temperatura: século XVII – válvula de segu-
rança, controle de temperatura para chocar ovos.
Controle de velocidade: século XVIII – moinho de vento, máquinas a vapor.
Estabilidade, estabilização, condução: século XIX – controle de embarca-
ções.
Desenvolvimentos no século XX: projeto no domínio da freqüência (Bode,
Nyquist).
Aplicações contemporâneas: meios de transporte, plantas industriais, ônibus
espaciais, entretenimento, etc.
Importância dos computadores.
1.3. O Engenheiro de Controle e Automação
Percorre inúmeras áreas do conhecimento e inúmeras funções dentro dessas
áreas. Engenheiro de A&C pode ser encontrado no nível mais elevado de
grandes projetos, envolvido na fase conceitual de determinar ou implementar
os requisitos globais do sistema.
Engenheiro de A&C interage com inúmeros ramos da Engenharia e das ciên-
cias. Expansão de horizontes da Engenharia além do currículo universitário.
Vantagem a um estudante (além de se graduar he he...):
o Ênfase no projeto de cima para baixo (top-down)
o Abordagem sistêmica diferentemente dos outros cursos até aqui
o A abordagem de baixo para cima é usada nos cursos anteriores
principalmente por causa do alto nível matemático necessário.
o Este curso esclarecerá os procedimentos de análise e planejamento
e mostrará a você como o conhecimento adquirido se encaixa den-
tro do projeto do sistema.

5
Figura 4 - a. Reprodutor de disco de vídeo a laser; b. lentes objetivas lendo de-
pressões no disco; c. trajetória óptica para reprodução mostrando o espelho de
rastreamento acionado angularmente por um sistema de controle para manter o
feixe de laser posicionado nas depressões (NISE, 2002).

6
1.4. Características de resposta e configuração de sistema
Entrada e saída
Sistema de controle fornece uma saída ou resposta para uma dada entrada ou
estímulo. A entrada representa a resposta desejada, a saída é a resposta real.
Exemplo: botão do quarto andar de um elevador é pressionado do térreo.
Elevador deve subir com uma velocidade e uma precisão de nivelamento
projetados para o conforto do passageiro. Estas características são, respecti-
vamente, a resposta transitória e o erro de estado estacionário.
Figura 5 - Entrada e saída do elevador (NISE, 2002).
Sistema a malha aberta
Figura 6 - Diagrama de blocos dos sistemas de controle: a. sistema a malha aber-
ta (NISE, 2002).

7
Transdutor de entrada – converte a forma de entrada na usada pelo controla-
dor.
Controlador – age sobre o processo ou planta.
Característica que distingue sistemas a malha aberta: não pode compensar a
ação de quaisquer perturbações que sejam adicionadas.
Exemplos: torradeira simples; digitação de texto sem se olhar na tela.
Sistema a malha fechada (controle com retroação)
Figura 7 - Diagrama de blocos dos sistemas de controle: b. sistema a malha fe-
chada (NISE, 2002).
Transdutor de entrada: converte forma de onda de entrada na forma usada
pelo controlador.
Transdutor de saída ou sensor: mede a resposta de saída e a converte na
forma usada pelo controlador.
Vantagem: compensa perturbações medindo o sinal de saída. Maior precisão,
menos sensível a ruídos.
Desvantagem: mais complexos e caros.
Exemplos: torradeira “automática” (mede cor do pão); digitação de texto
conferindo-se o resultado na tela.
Exercícios
1. (NISE, 2002, p. 21) Cite três aplicações de sistemas de controle com retroa-
ção.

8
2. (NISE, 2002, p. 21) Cite três razões para o uso de sistemas de controle com
retroação e pelo menos uma razão para não usá-los.
3. (NISE, 2002, p. 21) Dê três exemplos de sistemas a malha aberta.
4. (NISE, 2002, p. 21) Um resistor variável, chamado potenciômetro, é mostra-
do a seguir:
Figura 8 – Potenciômetro (NISE, 2002).
A resistência é variada pelo movimento de um cursor de contato deslizante ao
longo de uma resistência fixada. A resistência entre A e C é fixa, mas a resistên-
cia entre B e C varia com a posição do cursor. Se forem necessárias 10 voltas
para mover o cursor de contato deslizante de A para C, desenhe um diagrama de
blocos do potenciômetro mostrando a variável de entrada, a variável de saída e
(dentro do bloco) o ganho, que é uma constante e é a quantidade pela qual a en-
trada deve ser multiplicada para se obter a saída.

9
5. (NISE, 2002, p. 24) Resolva a seguinte equação diferencial usando os méto-
dos clássicos. Suponha que as condições iniciais sejam iguais a zero.
tx
dt
dx
2cos57 =+

1
Aula 2T - Projeto de um sistema de controle
Bibliografia
8521613016. Páginas 10-26.
0201308649. Páginas 14-24.
1.5. Objetivos de análise e de projeto
Objetivos de análise e de projeto de sistemas:
Produzir resposta transitória desejada;
Reduzir erro de estado estacionário;
Garantir estabilidade;
Minimizar Custo;
Minimizar sensibilidade de desempenho a mudanças nos parâmetros.
Resposta transitória
Muito importante. Exemplos: elevador; em um computador contribui para o
tempo necessário para leitura ou gravação no disco rígido (HD).
Figura 1 - Acionador de disco rígido de computador, mostrando discos e cabeça
de leitura/gravação (NISE, 2002).

2
Resposta de estado estacionário
Resposta que permanece depois que a componente transitória se reduz a zero.
Figura 2 - Entrada e saída do elevador (NISE, 2002).
Estabilidade
Resposta total de um sistema é a soma da resposta natural e da resposta for-
çada. Quando você estudou equações diferenciais lineares, provavelmente se
referiu a estas respostas como soluções homogênea e particular, respectiva-
mente.
Resposta total = Resposta natural + Resposta forçada
Para que um sistema de controle seja útil, a resposta natural deve:
o Tender a zero, deixando somente a resposta forçada, ou,
o Oscilar.
Em alguns sistemas, a resposta natural cresce sem limites em vez de diminuir
até zero ou oscilar. Finalmente, a resposta natural é tão maior que a resposta
forçada que o sistema não é mais controlado. Esta condição, chamada insta-
bilidade pode conduzir à autodestruição do dispositivo físico se não houver
batentes limitadores como parte do projeto.

3
Outras considerações
Seleção de hardware: dimensionamento do motor para atender os requisitos
de potência e escolha de sensores de acordo com precisão necessária.
Custos: se o projeto for usado para fazer muitas unidades, pequeno acréscimo
no custo unitário pode-se traduzir em muito mais dólares para sua empresa
propor num contrato de licitação.
Robustez: desempenho deve variar pouco com mudança nos parâmetros.
Introdução a um estudo de caso
Uma introdução aos sistemas de posicionamento de uma antena em azimute
Os sistemas de controle de posição encontram aplicações muito difundidas
em antenas, braços robóticos e acionamento de disco rígido de computador.
A antena de radiotelescópio da figura a seguir é um exemplo de sistema que
utiliza controle de posição.
Figura 3 – Antena de radioastronomia.
1.6. Procedimento de projeto
Passo 1: Transformar requisitos em um sistema físico

4
Figura 4 - Sistema de controle de posição da antena em azimute: a. conceito do
sistema; b. leiaute detalhado. (NISE, 2002)
Passo 2: Desenhar um diagrama de blocos funcional
Descreve as partes componentes do sistema (isto é, função e/ou hardware) e
mostra suas interconexões.

5
Figura 5 - Sistema de controle de posição da antena em azimute: diagrama de
blocos funcional (NISE, 2002).
Passo 3: Criar um diagrama esquemático.
Figura 6 - Sistema de controle de posição da antena em azimute: diagrama es-
quemático (NISE, 2002).
Passo 4: Desenvolver um Modelo Matemático (Diagrama de blocos)
Usar leis físicas para modelar matematicamente o sistema.
Leis mais importantes:

6
o Lei de Kirchhoff das tensões: A soma das tensões ao longo de um
caminho fechado é igual a zero.
o Lei de Kirchhoff das correntes: A soma das correntes elétricas que
fluem por um nó é igual a zero.
o Leis de Newton: A soma das forças aplicadas a um corpo é igual a
zero; a soma dos momentos aplicados a um corpo é igual a zero.
Descrições possíveis:
o Equação diferencial
o Função de transferência (Transformada de Laplace)
o Espaço de estados
Passo 5: Reduzir o diagrama de blocos
Figura 7 - Diagrama de blocos equivalente para o sistema de controle de posição
da antena em azimute (NISE, 2002).
Passo 6: Analisar e projetar
O engenheiro analisa o sistema para ver se as especificações de resposta e os
requisitos de desempenho podem ser alcançados através de simples ajustes
nos parâmetros do sistema. Se as especificações não puderem ser atendidas, o
projetista então projeta hardware adicional a fim de obter o desempenho de-
sejado.

7
Figura 8 - Resposta de um sistema de controle de posição mostrando o efeito de
valores grande e pequeno para o ganho do controlador na resposta de saída (NI-
SE, 2002).

8
Entradas utilizadas:
Tabela 1 - Formas de onda de teste usadas em sistemas de controle (NISE,
2002).
1.7. Projeto de assistido por computador (CAD)
Computador tem importante papel no projeto de sistemas de controle moder-
nos.
Com a capacidade de simular um projeto rapidamente, pode-se facilmente
fazer mudanças e imediatamente testar um novo projeto.

9
Matlab
Parte integrante do projeto de sistemas de controle moderno.
Sumário
A metodologia do projeto de sistemas de controle foi apresentada. A partir da
próxima aula, aprenderemos como usar o esquema para obter um modelo ma-
temático.
Exercícios
1. (NISE, 2002; p. 21) Um sistema de controle de temperatura opera sentindo a
diferença entre o ajuste do termostato e a temperatura real e em seguida a-
brindo uma válvula de combustível de uma quantidade proporcional a esta
diferença. Desenhe um diagrama de blocos funcional a malha fechada seme-
lhante ao da Figura 5, identificando os transdutores de entrada e de saída, o
controlador e a planta. Além disso, identifique os sinais de entrada e saída
para todos os subsistemas descritos anteriormente.
2. (NISE, 2002; p. 21) A altitude de uma aeronave varia em rolamento, arfagem
e guinada conforme definido na figura a seguir. Desenhe um diagrama de
blocos funcional para um sistema de malha fechada que estabilize o rolamen-
to como a seguir: o sistema mede o ângulo de rolamento real com um dispo-
sitivo giroscópico e compara o ângulo de rolamento real com o ângulo de ro-
lamento desejado. Os ailerons respondem ao erro de ângulo de rolamento
efetuando uma deflexão angular. A aeronave responde a esta deflexão angu-
lar produzindo uma velocidade angular de rolamento. Identifique os transdu-
tores de entrada e de saída, o controlador e a planta. Além disso, identifique a
natureza de cada sinal.

10
Figura 9 - Definição de atitude da aeronave (NISE, 2002).
3. (NISE, 2002; p. 24) Dado o circuito elétrico da figura a seguir:
Figura 9 – Rede RL (NISE, 2002).
(a) Escreva a equação diferencial para o circuito se ( ) ( )tutv = , um degrau unitá-
rio.
(b) Resolva a equação diferencial para a corrente ( )ti , se não há energia inicial
no circuito.
(c) Faça um gráfico da solução se 1=
L
R
.
4. (NISE, 2002; p. 24) Repita o problema 3 para o circuito elétrico mostrado na
Figura a seguir. Suponha 1=R Ω, 5,0=L H e 30
1
=
LC
.

11
Figura 10 - Circuito RLC (NISE, 2002).
5. (NISE, 2002; p. 24) Resolva a seguinte equação diferencial usando os méto-
dos clássicos. Suponha que as condições iniciais sejam iguais a zero.
( )tux
dt
dx
dt
xd
10258
2
=++

1
Aula 3T - Revisão sobre transformada de Laplace
Bibliografia
8521613016. Páginas 28-36.
LATHI, Bhagwandas Pannalal. Signal processing and linear systems. California: Berkeley, c1998. 734 p.
ISBN 0941413357. Páginas 361-394.
CAPÍTULO 2 – Modelagem no domínio da freqüência
Objetivos do capítulo
Rever a transformada de Laplace;
Função de transferência
Próximo passo no curso: desenvolver modelos a partir de diagramas de sis-
temas físicos.
Dois métodos: (1) funções de transferência no domínio da freqüência e (2)
equações de estado no domínio do tempo.
Queremos encontrar o que colocar dentro das caixas marcadas “sistema” e
“subsistema” na figura a seguir.
Figura 1 - a. Representação em diagrama de blocos de um sistema; b. represen-
tação em diagrama de blocos de uma interconexão de subsistemas (NISE, 2002).

2
2.1. Revisão sobre Transformadas de Laplace
Definição:
( )[ ] ( ) ( )
0
st
f t F s f t e dt
−
∞
−
= = ∫L
em que s é uma variável complexa. ( )sF é chamada de transformada de Lapla-
ce de ( )tf .
A Tabela 2.1 mostra alguns exemplos de transformadas obtidas a partir da
definição. A Tabela 2.2 mostra uma série de propriedades bastante importan-
tes.
Exercícios
1. (NISE, 2002; p. 29) Obter a transformada de Laplace de ( ) ( )tuAetf at−
= .
2. (NISE, 2002; p. 30) Obter a transformada de Laplace inversa de:
( )
( )21
3
1
+
=
s
sF .
Ou seja, encontre ( )tf1 cuja transformada de Laplace seja ( )sF1 .
Expansão em frações parciais
Para obter a transformada inversa de uma função complicada, podemos con-
verter a função em uma soma de parcelas mais simples para cada uma das
quais se conhece a transformada de Laplace.
O resultado é chamado de expansão em frações parciais.
Caso 1: Raízes do denominador de ( )sF reais e distintas
Por exemplo,
( )
( )( )21
2
++
=
ss
sF .

3
Tabela 2.1 – Principais transformadas de Laplace (LATHI, 1998).

4
Tabela 2.2 – Propriedades da Transformada de Laplace (LATHI, 1998).

5
Neste caso, o denominador tem duas raízes reais e distintas (-1 e -2). Para
obtermos a transformada inversa, o procedimento é o seguinte:
Decompomos ( )sF numa soma de frações com tantas parcelas quantas forem
as raízes do denominador:
( )
( )( ) 2121
2 21
+
+
+
=
++
=
s
K
s
K
ss
sF .
As constantes 1K e 2K são usualmente chamas de resíduos. Para obter 1K , subs-
titui-se a raiz correspondente ( 1−=s ) em ( )sF sem o termo ( )1+s . Assim,
( )
2
1
2
2
2
1
1 ==
+
=
−=s
s
K .
De forma análoga,
( )
2
1
2
1
2
2
2 −=
−
=
+
=
−=s
s
K .
Assim,
( )
2
2
1
2
+
−
+
+
=
ss
sF .
Agora, usando a linha (5) da Tabela 2.1 e a linearidade,
( ) ( ) ( )tueetf tt 2
22 −−
−= ou
( ) ( ) 0,22 2
≥−= −−
teetf tt
.
Observação: na aplicação deste processo, caso o grau do numerador seja
maior ou igual ao do denominador, é necessário efetuar a divisão primeiro.
Exercício
3. (NISE, 2002; p. 32) Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução ( )ty
se todas as condições iniciais forem zero. Usar a transformada de Laplace.
( )tuy
dt
dy
dt
yd
3232122
2
=++ .

6
Caso 2: Raízes do denominador de ( )sF reais e repetidas
Neste caso, deve-se lembrar que, no caso de raízes reais, o número de parce-
las distintas na expansão é sempre igual ao grau do denominador. Assim, ca-
da raiz múltipla gera termos adicionais com fatores no denominador de mul-
tiplicidade reduzida.
Por exemplo, se:
( )
( )( )
,
21
2
2
++
=
ss
sF
as raízes são -1, -2 e -2 (diz-se que -2 tem multiplicidade 2). A expansão em fra-
ções é:
( )
( ) 221
3
2
21
+
+
+
+
+
=
s
K
s
K
s
K
sF .
Os resíduos 1K e 2K podem ser obtidos como anteriormente. Assim,
( )
2
2
2
1
21 =
+
=
−=s
s
K e
( )
2
1
2
2
2 −=
+
=
−=s
s
K .
Já 3K pode ser obtido substituindo-se s por um valor conveniente. Por exemplo,
substituindo-se 0=s em:
( )( ) ( ) 22
2
1
2
21
2 3
22
+
+
+
−
+
=
++ s
K
ssss ,
obtém-se:
2
22
1
2
4
2
3
3
−=⇒+−= K
K
e assim,
( )
( ) 2
2
2
2
1
2
2
+
−
+
+
−
+
+
=
sss
sF .
Usando as linhas (5) e (6) da Tabela 2.1,
( ) 0,222 22
≥−−= −−−
teteetf ttt
.

7
Caso 3: Raízes do denominador de ( )sF complexas
Exemplo:
( )
( )52
3
2
++
=
sss
sF .
Neste caso, não é possível fazer a expansão em parcelas de 1º grau. Esta ex-
pressão deve ser expandida da seguinte forma:
( )
522
321
++
+
+=
ss
KsK
s
K
sF .
O resíduo 1K pode ser obtido como anteriormente:
5
3
52
3
0
21 =
++
=
=sss
K .
2K e 3K podem ser obtidos por substituição conveniente de valores de s em:
( ) 52
5
3
52
3
2
32
2
++
+
+=
++ ss
KsK
ssss .
Para 1=s ,
85
3
8
3 32 KK +
+= e
para 1−=s ,
45
3
4
3 23 KK −
+−=− .
Resolvendo o sistema, obtém-se:
5
3
2 −=K e
5
6
3 −=K .
Assim,

8
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) 41
2
10
3
41
1
5
31
5
3
41
2
5
35
3
52
5
6
5
3
5
3
22
22
++
−
++
+
−=
⇒
++
+
−=
++
−−
+=
ss
s
s
sF
s
s
sss
s
s
sF
.
Utilizando-se então as linhas (2), (9a) e (9b) da Tabela 2.1 chega-se a:
( ) ( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−= −
ttetutf t
2sin
2
1
2cos
5
3
5
3
.
Exercícios
4. (NISE, 2002; p. 35) Obter a transformada de Laplace de ( ) t
tetf 5−
= .
5. (NISE, 2002; p. 36) Obter a transformada de Laplace inversa de:
( )
( )( )2
32
10
++
=
sss
sF .

1
Aula 4T – Função de transferência
Bibliografia
8521613016. Páginas 36-38.
0201308649. Páginas 37-48.
2.2 Função de transferência
Vamos empregar na aula de hoje os conceitos relacionados à Transformada
de Laplace para simplificar a representação de sistemas dinâmicos.
Um sistema pode ser representado pela equação diferencial genérica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trb
dt
trd
b
dt
trd
btca
dt
tcd
a
dt
tcd
a m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n 01
1
101
1
1 +++=+++ −
−
−−
−
− ……
em que ( )tc é a saída, ( )tr é a entrada e os ia , os ib e a forma da equação dife-
rencial representa o sistema. Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os
lados da equação e supondo condições iniciais nulas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )sRbsbsbsCasasa
sRbsRsbsRsbsCasCsasCsa
m
m
m
m
n
n
n
n
m
m
m
m
n
n
n
n
0
1
10
1
1
0
1
10
1
1
+++=+++
⇒+++=+++
−
−
−
−
−
−
−
−
……
……
A partir da expressão acima, chegamos a:
( )
( )
( )
0
1
1
0
1
1
asasa
bsbsb
sG
sR
sC
n
n
m
n
m
m
m
m
+++
+++
=≡ −
−
−
−
…
…
.
Esta expressão:
( ) ( )
( )sR
sC
sG =
é chamada de função de transferência do sistema. Relaciona, de forma algébri-
ca, a entrada e a saída de um sistema. Dado ( )sG e a transformada da entrada
( )sR podemos calcular a saída:
( ) ( ) ( )sRsGsC = .
A função de transferência é representada pelo diagrama de blocos a seguir:

2
Figura 1 - Diagrama de Blocos de uma Função de Transferência (NISE, 2002).
Nas próximas aulas, aprenderemos a representar, através de funções de trans-
ferência, circuitos elétricos, sistemas mecânicos de translação, sistemas me-
cânicos em rotação e sistemas eletromecânicos.
Exercícios
1. (NISE, 2002; p. 37) Obter a função de transferência representada por:
( ) ( ) ( )trtc
dt
tdc
=+ 2 .
2. (NISE, 2002; p. 37) Usar o resultado do Exercício 1 para obter a resposta ( )tc
a uma entrada ( ) ( )tutr = a um degrau unitário supondo condições iniciais i-
guais a zero.
3. (NISE, 2002; p. 37) Obter a função de transferência,
( ) ( )
( )sR
sC
sG = ,
correspondente à equação diferencial
r
dt
dr
dt
rd
c
dt
dc
dt
cd
dt
cd
34573 2
2
2
2
3
3
++=+++
4. (NISE, 2002; p. 38) Obter a equação diferencial correspondente à função de
transferência:
( )
26
12
2
++
+
=
ss
s
sG .

3
5. (NISE, 2002; p. 38) Obter a resposta a uma rampa de um sistema cuja função
de transferência é:
( )
( )( )84 ++
=
ss
s
sG .

1
Aula 5T – Modelagem de circuitos elétricos (1ª parte)
Bibliografia
8521613016. Páginas 38-48.
0201308649. Páginas 25-92.
2.3 Função de transferência de circuitos elétricos
Componentes passivos (ver Tabela 1).
Princípios-guias: Leis de Kirchhoff: somando tensões ao longo de malhas ou
correntes em nós o resultado é zero.
Circuitos simples via método das malhas
I. Redesenhe o circuito original mostrando todas as variáveis no domínio do
tempo, como ( )tv , ( )ti e ( )tvC como transformadas de Laplace ( )sV , ( )sI e
( )sVC respectivamente.
II. Substitua os valores de componentes por seus valores de impedância.
III.Some as tensões ao longo da malha e use a lei de Kirchhoff das tensões.
Exercício
1. (NISE, 2002; p. 39) Obter a função de transferência relacionando a tensão
( )sVC no capacitor à tensão de entrada ( )sV na Figura a seguir.
Figura 1 – Circuito RLC (NISE, 2002).

2
Tabela 1 – Elementos passivos de circuitos elétricos (NISE, 2002).

3
Circuito simples via Método dos nós
As funções de transferência também podem ser obtidas usando a lei de Kirc-
hhoff das correntes e somando as correntes que fluem nos nós. Chamamos
este método de método dos nós.
Exercício
2. (NISE, 2002; p. 41) Repetir o Exercício 1 usando o método dos nós sem es-
crever a equação diferencial.
Circuito simples via divisão de tensão
O Exercício 1 pode ser resolvido diretamente usando divisão de tensão no
circuito transformado.
Exercício
3. (NISE, 2002; p. 41) Repetir o Exercício 1 usando divisão de tensão e o cir-
cuito transformado.
Circuitos mais complicados via Método das Malhas
I. Substituir todos os valores dos elementos passivos por sua impedância.
II. Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas
respectivas transformadas de Laplace.
III. Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha.
IV. Escrever a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha.
V. Resolver o sistema de equações em termos da saída.
VI. Elaborar a função de transferência.
Exercício
4. (NISE, 2002; p. 42) Dado o circuito da figura a seguir, obter a função de
transferência
( )
( )sV
sI2
.

4
Figura 2 – Circuito elétrico com duas malhas (NISE, 2002).
Circuitos mais complicados via Método dos Nós
Usa-se a Lei de Kirchhoff das correntes e somam-se as correntes que deixam
cada nó.
Exercício
5. (NISE, 2002; p. 44) Obter a função de transferência
( )
( )sV
sVC
para o circuito da
Figura 2. Usar o método dos nós.
Uma técnica para solução de problemas
Os mesmos procedimentos podem ser usados em circuitos elétricos com mais
malhas.
Exercício
6. (NISE, 2002; p. 45) Escrever, mas não resolver, as equações de malha do cir-
cuito mostrado na Figura a seguir.

5
Figura 3 – Circuito elétrico com três malhas (NISE, 2002).

1
Aula 6T – Modelagem de circuitos elétricos (2ª parte)
Bibliografia
8521613016. Páginas 48-50.
0201308649. Páginas 23-92.
Exercícios
1. (NISE, 2002, p.82) Obter a função de transferência ( )
( )
( )sV
sV
sG
i
O
= para o cir-
cuito mostrado a seguir.
Figura 1 – Circuito do Exercício 1 (NISE, 2002).
2. (NISE, 2002; p. 50) Obter a função de transferência ( ) ( )
( )sV
sV
sG L
= no circuito a
seguir. Solucionar o problema de duas formas: pelo método das malhas e pe-
lo método dos nós. Mostrar que os dois métodos conduzem ao mesmo resul-
tado.
Figura 2 - Circuito elétrico para o Exercício 2. (NISE, 2002).

1
Aula 7T – Modelagem de sistemas mecânicos em translação
Bibliografia
8521613016. Páginas 50-56.
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2003.
788 p. ISBN 8587918230 Páginas 71-74.
2.4 Função de transferência de sistemas mecânicos em translação
Sistemas mecânicos se assemelham muito com circuitos elétricos: existem
analogias entre componentes e variáveis elétricos e mecânicos.
Sistemas mecânicos possuem três componentes passivos lineares. Dois deles,
a mola e a massa são elementos armazenadores de energia; um deles, o a-
mortecedor viscoso, dissipa energia.
A Tabela 1 mostra os elementos utilizados num sistema mecânico e suas re-
lações força-deslocamento e força-velocidade. A Tabela 2, já apresentada,
mostra os elementos elétricos para comparação.
Tabela 1 – Componentes de sistemas mecânicos (NISE, 2002).
Tabela 2 – Componentes de sistemas elétricos (NISE, 2002).

2
Na Tabela 1, K , Vf e M são chamados, respectivamente de constante de mo-
la, coeficiente de atrito viscoso e massa.
Comparando as tabelas, percebe-se a seguinte analogia:
Sistema elétrico Sistema mecânico de translação
Tensão ( )tv Força ( )tf
Corrente elétrica ( )ti Velocidade ( )tv
Carga ( )tq Deslocamento ( )tx
Resistência R Amortecimento viscoso Vf
Indutância L Massa M
Capacitância C Constante de mola K
Para obtermos funções de transferência em sistemas mecânicos, desenha-se
um diagrama de corpo livre para cada massa presente no sistema posicionan-
do nela todas as forças que agem sobre ela no sentido do movimento ou no
sentido oposto. Em seguida, utilizamos a lei de Newton para construir a e-
quação diferencial do movimento somando as forças e igualando a zero.
Finalmente, supondo condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de
Laplace à equação diferencial, separamos as variáveis e chegamos à função
de transferência desejada.

3
Quando mais de um deslocamento estiver presente, desenhamos o diagrama
de corpo livre para cada um dos corpos e, em seguida, usamos a superposi-
ção. Para cada um dos diagramas de corpo livre, começamos fixando todos
os outros corpos e determinamos as forças que atuam sobre o corpo devido
somente ao próprio movimento. Em seguida, mantemos o corpo parado e ati-
vamos, um a um, os outros corpos, colocando no corpo original as forças cri-
adas pelo movimento adjacente.
Exercícios
1. (NISE, 2002, p. 51) Obter a função de transferência, ( ) ( )sFsX para o sistema
da Figura 1.
Figura 1 - Sistema massa, mola e amortecedor (NISE, 2002).
2. (NISE, 2002, p. 83) Obter a função de transferência ( ) ( ) ( )sFsXsG 1= para o
sistema mecânico mostrado na Figura 2.
Figura 2 – Sistema do Exercício 2 (NISE, 2002).

4
3. (NISE, 2002; p. 53) Obter a função de transferência ( ) ( )sFsX 2 para o siste-
ma da Figura 3.
Figura 3 - Sistema mecânico com dois graus de liberdade (NISE, 2002).
4. (NISE, 2002, p. 56) Obter a função de transferência ( ) ( ) ( )sFsXsG 2= para o
sistema mecânico em translação mostrado na Figura 4.
Figura 4 – Sistema mecânico em translação do Exercício 4 (NISE, 2002).
5. (NISE, 2002, p. 55) Escrever, mas não resolver, as equações de movimento
da estrutura mecânica da Figura 5.
Figura 5 – Sistema mecânico com três graus de liberdade (NISE, 2002).

1
Aula 8T – Modelagem de sistemas mecânicos em rotação
Bibliografia
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p.
ISBN 8521613016. Páginas 56-60.
0201308649. Páginas 23-92.
2.5 Função de transferência de sistemas mecânicos em rotação
Os sistemas mecânicos em movimento de rotação são manipulados da
mesma forma que os sistemas mecânicos em translação, exceto que o
torque substitui força e deslocamento angular substitui deslocamento de
translação.
Os componentes mecânicos dos sistemas em rotação são os mesmos dos
sistemas em translação. Veja a Tabela 1 a seguir.
Tabela 1 - Relações para sistemas mecânicos em rotação. (NISE, 2002).

2
O termo associado a massa foi substituído por inércia. Os valores de K ,
D e J são chamados constante de mola, coeficiente de atrito viscoso e
momento de inércia, respectivamente.
Escrever as equações de movimento para sistemas em rotação é seme-
lhante a escrevê-las para os sistemas em translação. Obtemos os torques
por superposição.
Primeiro giramos um corpo mantendo parados todos os demais e pondo
no diagrama de corpo livre todos os torques devido ao próprio movi-
mento. Em seguida, mantendo o corpo parado, giramos os pontos adja-
centes, um a um, e acrescentamos os torques devidos ao movimento ad-
jacente ao corpo livre. O processo é repetido para cada um dos pontos
em movimento.
Exercício
1. (NISE, 2002, p. 57) Obter a função de transferência ( ) ( )sTs2Θ para o
sistema em rotação mostrado na Figura 1a a seguir. O eixo elástico é
suspenso por meio de mancais em cada uma das extremidades e é sub-
metido a torção. Um torque é aplicado à esquerda e o deslocamento an-
gular é medido à direita. O esquema equivalente deste sistema físico é
mostrado na Figura 1b.
Figura 1 a. Sistema físico; b. esquema (NISE, 2002).

3
2. (NISE, 2002, p. 60) Obter a função de transferência ( ) ( ) ( )sTssG 2Θ=
para o sistema em rotação mostrado na Figura 2.
Figura 2 - Sistema em rotação para o Exercício 2 (NISE, 2002).
3. (NISE, 2002, p. 59) Escrever, mas não resolver, a transformada de La-
place das equações de movimento para o sistema mostrado na Figura 3.
Figura 3 - Sistema em rotação com três graus de liberdade (NISE, 2002).
4. (NISE, 2002, p. 84) Para cada um dos sistemas mecânicos em rotação
mostrados na Figura 4, escreva, mas não resolva as equações de movi-
mento.
Figura 4 – (NISE, 2002).

1
Aula 9T – Modelagem de sistemas com engrenagens
Bibliografia
8521613016. Páginas 60-64.
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Prentice-Hall do Brasil, 2003.
788 p. ISBN 8587918230. Páginas 71-74.
2.6 Funções de transferência de sistemas com engrenagens
Sistemas em rotação raramente são vistos sem trens de engrenagens acionan-
do a carga. É necessário estudar como modelá-los.
A interação entre duas engrenagens é mostrada a seguir.
Figura 1 – Sistema de engrenagens (NISE, 2002).
À medida que as engrenagens giram, a distância percorrida ao longo de cada
circunferência das engrenagens é a mesma. Portanto,
2211 θθ rr = ou
2
1
2
1
1
2
N
N
r
r
==
θ
θ
.
A relação entre os deslocamentos angulares das engrenagens é inversamente
proporcional à razão do número de dentes.

2
Como não há perdas, a energia fornecida à primeira engrenagem é a mesma
obtida na segunda. Assim,
2211 θθ TT = ou
1
2
2
1
1
2
N
N
T
T
==
θ
θ
.
Os torques são diretamente proporcionais à relação do número de dentes. Es-
tes resultados são resumidos a seguir:
Figura 2 - Funções de transferência a. entre deslocamentos angulares de engre-
nagens sem perdas e b. entre torques de engrenagens sem perdas (NISE, 2002).
Vejamos o que acontece com as impedâncias mecânicas acopladas às engre-
nagens. A Figura 3 mostra engrenagens acionando uma inércia, uma mola e
um amortecedor viscoso. Para maior clareza, as engrenagens são mostradas
por meio de uma vista em corte simplificada.
Figura 3 - Sistema em rotação acionado por engrenagens (NISE, 2002).
Deseja-se representar esta figura como um sistema equivalente referido a 1θ
sem engrenagens.

3
É possível refletir 1T na saída multiplicando-o por
1
2
N
N
. O resultado está mos-
trado na Figura 4, a partir do qual se escreve a equação do movimento como:
Figura 4 – Sistema referido à saída após reflexão do torque (NISE, 2002).
( ) ( ) ( )
1
2
12
2
N
N
sTsKDsJs =Θ++ .
Como 1
2
1
2 θθ
N
N
= , temos:
( ) ( ) ( )
( ) ( )sTs
N
N
Ks
N
N
Ds
N
N
J
N
N
sTs
N
N
KDsJs
11
2
2
1
2
2
12
2
2
1
1
2
11
2
12
=Θ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⇒
⇒=Θ++
.
Este sistema equivalente é mostrado na Figura 5.
Figura 5 - Sistema referido à entrada após reflexão das impedâncias (NISE,
2002).
Generalizando os resultados, podemos elaborar o seguinte enunciado: As im-
pedâncias mecânicas em rotação podem ser refletidas por meio de trens de
engrenagens multiplicando-se a impedância mecânica pela relação:

4
2
origemdeeixodo
engrenagemdadentesdeNúmero
destinodeeixodo
engrenagemdadentesdeNúmero
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
.
Exercícios
1. (NISE, 2002, p. 62) Obter a função de transferência
( )
( )sT
s
1
2Θ
para o sistema da
Figura 6 a seguir.
Figura 6 – Sistema mecânico em rotação com engrenagens (NISE, 2002).
2. (NISE, 2002, p. 64) Obter a função de transferência ( ) ( )
( )sT
s
sG 2Θ
= para o sis-
tema mecânico em rotação com engrenagens mostrado na Figura 7.
Figura 7 - Sistema mecânico do Exercício 2 (NISE, 2002).
Usa-se um trem de engrenagens para implementar valores elevados de rota-
ção de transmissão. O diagrama esquemático de um trem de engrenagens é
mostrado na Figura 8.

5
Figura 8 - Trem de engrenagens (NISE, 2002).
Concluímos que nos trens de engrenagens a relação de engrenagens equiva-
lente é o produto das relações de engrenagens individuais.
Exercícios
3. (NISE, 2002, p. 63) Obter a função de transferência
( )
( )sT
s
1
1Θ
para o sistema da
Figura 9.
Figura 9 - Sistema usando um trem de engrenagens (NISE, 2002).
4. (NISE, 2002, p. 84) Para o sistema mecânico em rotação com engrenagens da
Figura 10, calcule a função de transferência ( )
( )
( )sT
s
sG 3Θ
= . As engrenagens
possuem inércia e atrito, como mostrado.

6
5. (NISE, 2002, p. 84) Para o sistema mecânico em rotação mostrado na Figura
11, calcule a função de transferência ( ) ( )
( )sT
s
sG 2Θ
= .

1
Aula 11T – Modelagem de sistemas eletromecânicos
Bibliografia
8521613016. Páginas 64-69.
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo ; Rio de
Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 8534605963. Páginas 43-48.
2.7 Funções de transferência de sistema eletromecânico
Vamos nos deslocar agora para sistemas em que há mistura de variáveis elé-
tricas e mecânicas, os sistemas eletromecânicos.
Exemplos de aplicações: controle de posicionamento de uma antena em azi-
mute, controle de robôs, rastreadores do Sol e estelares, controle de posição
de acionadores de fita e de discos para computadores, etc. Um exemplo é
mostrado na Figura 1.
Figura 1 - Braço robótico de simulador de vôo da NASA com componentes do
sistema de controle eletromecânico (NISE, 2002).

2
Um motor é um componente eletromecânico que fornece um deslocamento
de saída para uma tensão de entrada, isto é, uma saída mecânica gerada por
uma entrada elétrica.
Aqui, consideraremos apenas o servo motor de corrente contínua controlado
pela armadura mostrado na Figura 2.
Figura 2 - Motor CC: a. esquema; b. diagrama de blocos. (NISE, 2002).
As equações físicas que regem o comportamento deste sistema são:
aiBF = (1)
ai = corrente elétrica circulando pelo condutor
= comprimento do condutor
B = campo magnético em que o condutor está imerso
vBe = (2)
v = velocidade do condutor
= comprimento do condutor
e = tensão contra-eletromotriz
Assim, ao aplicarmos a tensão ( )tea , aparece um torque ( )tTm e uma velocida-
de angular ( ) ( )tt θω = e, em compensação uma tensão contra-eletromotriz
( )tvb .

3
Baseando-se na Eq. (2), podemos escrever que:
( ) ( ) ( )ssKsV
dt
d
Ktv mbb
m
bb Θ=⇒=
θ
(3)
Escrevendo a equação da malha para o circuito da armadura,
( ) ( ) ( ) ( )sEsVssILsIR abaaaa =++ .
Em motores de corrente contínua, pode-se considerar que 0≈aL . Assim,
( ) ( ) ( )sEsVsIR abaa =+ . (4)
Da Eq. (1), vemos que o torque produzido pelo motor é proporcional à cor-
rente de armadura, assim,
( ) ( ) ( ) ( )sT
K
sIsIKsT m
T
aaTm
1
=⇒= . (5)
Substituindo (3) e (5) em (4),
( ) ( ) ( )sEssKsT
K
R
ambm
T
a
=Θ+ . (6)
Para deduzir a função de transferência
( )
( )sE
s
a
mΘ
, precisamos agora relacionar
( )sTm com ( )smΘ . Isto pode ser feito utilizando-se o modelo da Figura 3 para
o motor carregado. Nesta, aJ e aD são respectivamente a inércia e o amorte-
cimento da armadura e LJ e LD a inércia e o amortecimento da carga (load).
Figura 3 - Motor acionando uma carga mecânica em rotação. (NISE, 2002).

4
Daí,
( ) ( ) ( )ssDsJsT mmmm Θ+= 2
(7)
com
2
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
N
N
JJJ Lam e
2
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
N
N
DDD Lam .
Substituindo agora a Eq. (7) na Eq. (6),
( ) ( ) ( )⇒=Θ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++ sEssKDsJ
K
R
ambmm
T
a
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
=
Θ
b
a
T
m
m
ma
T
a
m
K
R
K
D
J
ss
JR
K
sE
s
1
1
.
Pode-se mostrar que as constantes do motor
a
T
R
K
e bK podem ser obtidas a
partir das curvas torque-velocidade do motor, como as mostradas na Figura
4.
Figura 4 - Curvas de torque-velocidade tendo como parâmetro a tensão de arma-
dura ae (NISE, 2002).

5
Pode-se mostrar que:
a
bloq
a
T
e
T
R
K
=
e
vazio
a
b
e
K
ω
=
.
Exercícios
1. (NISE, 2002, p. 68) Dado o sistema e a curva torque-velocidade das Figuras
5(a) e (b), obter a função de transferência
( )
( )sE
s
a
LΘ
.
Figura 5 - a. Motor CC e carga; b. curva torque-velocidade. (NISE, 2002).
2. (NISE, 2002, p. 69) Obter a função de transferência ( ) ( )
( )sE
s
sG
a
LΘ
= de um mo-
tor e carga mostrados na Figura 6. A curva torque-velocidade é dada por
2008 +−= mmT ω quando a tensão de entrada for 100 volts.

6
Figura 6 - Sistema eletromecânico para o Exercício 2 (NISE, 2002).
3. (NISE, 2002, p. 85) Para o motor, a carga e uma curva torque velocidade
mostrados na Figura 7, obter a função de transferência ( ) ( )
( )sE
s
sG
a
LΘ
= .
4. (NISE, 2002, p. 86) O motor cuja característica torque-velocidade está mos-
trada na Figura 8 aciona a carga mostrada no diagrama. Algumas das engre-
nagens possuem inércia. Obter a função de transferência ( ) ( )
( )sE
s
sG
a
LΘ
= .

7
5. (NISE, 2002, p. 86) Nesta aula, deduzimos a função de transferência de um
motor CC relacionando o deslocamento angular de saída com a tensão de ar-
madura como entrada frequentemente se deseja controlar o torque em vez do
deslocamento angular. Deduza a função de transferência do motor que rela-
ciona o torque de saída com a tensão de armadura na entrada.

1
Aula 12T – Estudos de casos: Modelos de sistemas
Bibliografia
8521613016. Páginas 78-88.
0201308649. Páginas 76-92.
2.8 Estudos de caso
Controle de antena: Função de transferência
Este capítulo mostrou que os sistemas físicos podem ser modelados matemati-
camente como funções de transferências. De um modo geral, os sistemas são
compostos de subsistemas de diferentes tipos, como os elétricos, os mecânicos e
os eletromecânicos.
Atividade 1: Obter a função de transferência de cada subsistema do sistema de
controle de posicionamento de uma antena em azimute, mostrado nas Figuras 1,
2 e na Tabela 1. Use a Configuração 1. Os subsistemas individuais do sistema
estão resumidos na Tabela 2.
Figura 1 – Arranjo físico – Controle de antena (NISE, 2002).

2
Figura 2 – Esquema – Controle de antena (NISE, 2002).
Tabela 1 – Parâmetros do Esquema – Controle de antena (NISE, 2002).

3
Tabela 2 - Subsistemas do sistema de controle de posição de uma antena em a-
zimute (NISE, 2002).
Respostas:

4
Atividade 2 (desafio): Consultando o diagrama esquemático do sistema de con-
trole de posicionamento de uma antena em azimute mostrado na Figura 1, calcu-
lar a função de transferência de cada subsistema. Use a Configuração 2.
Sumário
• Neste capítulo, discutimos como obter um modelo matemático, chamado
função de transferência, para os sistemas lineares e invariantes no tempo,
de natureza elétrica, mecânica e eletromecânica. A função de transferên-
cia é definida como ( ) ( )
( )sR
sC
sG = , ou seja, a relação da transformada de La-
place da saída pela transformada de Laplace da entrada. Esta relação é al-
gébrica e também se adapta à modelagem de sistemas interconectados.
Exercício
1. (NISE, 2002, p. 87) O Problema 4 da Lista 1 discute o controle ativo de um
mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade. O di-
agrama para o acoplamento do pantógrafo e da catenária está mostrado na
Figura 5(a).
Figura 5 - a. Acoplamento do pantógrafo com a catenária; b. representação sim-
plificada mostrando a força de controle ativa (NISE, 2002).

5
Admita o modelo simplificado mostrado na Figura 5(b), em que a catenária é
representada pela mola, medK .
(a) Obtenha a função de transferência, ( ) ( )
( )sF
sY
sG
up
cat
=1 , em que ( )tycat é o desloca-
mento da catenária e ( )tfup é a força para cima aplicada ao pantógrafo sob con-
trole ativo.
(b) Obtenha a função de transferência ( ) ( )
( )sF
sY
sG
up
h
=2 , em que ( )tyh é o desloca-
mento da parte superior do pantógrafo.
(c) Obtenha a função de transferência ( ) ( ) ( )( )
( )sF
sYsY
sG
up
cath −
= .

1
Aula 13T – Modelagem no domínio do tempo: Introdução
Bibliografia
8521613016. Páginas 90-96.
0201308649. Páginas 93-96.
3 Modelagem no domínio do tempo
Obter um modelo matemático, chamado representação no espaço de estados,
de sistemas lineares e invariantes no tempo.
Transformar modelos sob a forma de função de transferência em modelos no
espaço de estados.
Objetivos do estudo de caso
Dado o sistema de controle de posicionamento da antena em azimute, você
deverá ser capaz de obter a representação no espaço de estados de cada sub-
sistema.
3.1 Introdução
Para a análise e o projeto de sistemas de controle com retroação há duas a-
bordagens.
A primeira, que começamos a estudar no Capítulo 2, é conhecida como téc-
nica clássica, ou no domínio da freqüência. Esta abordagem é baseada na
transformação de uma equação diferencial em uma função de transferência,
gerando assim um modelo matemático do sistema que relaciona algebrica-
mente uma representação da saída a uma representação da entrada.
Principal desvantagem: aplicabilidade limitada – só pode ser usada em sis-
temas lineares e invariantes no tempo ou em sistemas que possam ser apro-
ximados como tal.

2
Principal vantagem: fornecem rapidamente informações sobre a estabilidade
e sobre a resposta transitória.
Com o advento da exploração espacial, os requisitos dos sistemas de controle
aumentaram de escopo. A modelagem de sistemas usando equações diferen-
ciais lineares e invariantes no tempo e as funções de transferência subseqüen-
tes se tornaram inadequadas.
A abordagem no espaço de estados (também referida como abordagem mo-
derna ou no domínio do tempo) constitui um método unificado de modela-
gem, análise e projeto de uma gama ampla de sistemas.
Por exemplo, a abordagem no espaço de estados pode ser usada para repre-
sentar sistemas não-lineares dotados de folga, saturação e zona morta.
Além disso, ela pode manipular, de forma adequada, sistemas com condições
iniciais não-nulas.
Sistemas variantes no tempo (exemplo: mísseis com níveis de combustível
variantes) podem ser representados no espaço de estados bem como sistemas
com múltiplas entradas e saídas.
Também permite representar um computador digital na malha e também é
atraente devido à disponibilidade de inúmeros pacotes de software que utili-
zam modelos no espaço de estados.
Desvantagem: não é tão intuitivo quanto a abordagem clássica. O projetista
deve se envolver com muitos cálculos antes que a interpretação física do mo-
delo se torne aparente.
3.2. Algumas observações
Nesta seção, vamos mostrar a partir de exemplos como obter a representação
por espaço de estados para um sistema.
Devem-se seguir os seguintes passos:
I. Selecionamos um subconjunto particular de todas as variáveis do sistema e
chamamos as variáveis deste conjunto de variáveis de estado.

3
II. Para um sistema de ordem n , escrevemos n equações diferenciais de primei-
ra ordem, simultâneas em termos das variáveis de estado.
III. Se conhecermos a condição inicial de todas as variáveis de estado em 0t
bem como a entrada do sistema para 0tt ≥ , poderemos resolver as equações
diferenciais simultâneas em função das variáveis de estado para 0tt ≥ .
IV. Combinamos algebricamente as variáveis de estado com a entrada e ob-
temos todas as variáveis do sistema para 0tt ≥ . Chamamos esta equação algé-
brica de equação de saída.
V. Consideramos as equações de estado e as equações de saída uma representa-
ção viável do sistema. Chamamos esta representação de representação do
sistema no espaço de estados.
Exercícios
1. (NISE, 2002, p. 91) Para o circuito elétrico de primeira ordem da Figura 1,
pede-se:
(a) Considerando como variável de estado ( )ti escreva a equação de estado para
este circuito.
(b) Repita utilizando a tensão no resistor ( )tvR como variável de estado.
(c) Considerando ( )tvR como variável de saída e ( )ti como variável de estado,
escreva a equação de saída.
(d) Repita para a tensão no indutor ( )tvL como variável de saída.
(e) Repita para a derivada da corrente como variável de saída.
Figura 1 – Circuito RL (NISE, 2002).

4
2. (NISE, 2002, p. 93) Para o circuito elétrico de 2ª ordem mostrado na Figura
2, pede-se:
Figura 2 – Circuito RLC (NISE, 2002).
(a) Escreva as equações de estado considerando a carga ( )tq e a corrente ( )ti co-
mo variáveis de estado.
(b) Escreva a equação de saída para a tensão sobre o indutor ( )tvL .
(c) Escreva a representação no espaço de estados considerando as variáveis dos
itens (a) e (b).
(d) Reescreva as equações de estado considerando como variáveis de estado
( )tvR e ( )tvC , as tensões sobre o resistor e sobre o capacitor, respectivamente.
As equações de estado podem ser escritas na forma matricial se o sistema for
linear. Ou seja, para um sistema com uma entrada e uma saída (SISO – single
input single output), podem ser escritas como:
⎩
⎨
⎧
+=
+=
Duy
u
Cx
BAxx
(1)
Exercício
3. (NISE, 2002, p. 91) Para a representação no espaço de estado do Exercício
2(c), determine quem representa cada uma das variáveis na Eq. (1).
3.3. A representação geral no espaço de estados
Agora vamos definir formalmente os conceitos ilustrados na seção anterior.

5
Combinação linear: uma combinação linear de n variáveis, ix , para 1=i a n
é dada pela seguinte soma, S :
1111 xkxkxkS nnnn +++= −− …
em que cada ik é uma constante.
Independência linear: diz-se que um conjunto de variáveis é linearmente in-
dependente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como uma combina-
ção linear das outras. Por exemplo, dados 1x , 2x e 3x , se 312 65 xxx += , então
as variáveis não são linearmente independentes, uma vez que uma delas pode
ser escrita como combinação linear das demais.
Variável de sistema: qualquer variável que responda a uma entrada ou a con-
dições iniciais de um sistema.
Variáveis de estado: o menor conjunto linearmente independente de variáveis
de sistema tal que os valores dos membros do conjunto no instante 0t , junta-
mente com as funções forçantes conhecidas, determinam completamente o
valor de todas as variáveis do sistema para todos os instantes de tempo 0tt ≥ .
Vetor de estados: um vetor cujos elementos são as variáveis de estado.
Espaço de estados: o espaço n -dimensional cujos eixos são as variáveis de
estado (Figura 3). Uma trajetória pode ser imaginada como sendo o mapea-
mento do vetor ( )tx para uma faixa de valores de t . Na Figura 3 está mostra-
do também o vetor de estados no instante particular 4=t .
Equações de estado: Um conjunto de n equações diferenciais de primeira
ordem, simultâneas, com n variáveis em que as n variáveis a serem resolvi-
das são as variáveis de estado.
Equações de saída: A equação algébrica que exprime as variáveis de saída de
um sistema linear como combinações lineares das variáveis de estado e das
entradas.
Um sistema é representado no espaço de estados pelas seguintes equações:

6
Figura 3 – Representação gráfica do espaço de estados e de um vetor de estado
(NISE, 2002).
DuCxy
BuAxx
+=
+=
em que:
x = vetor de estado
x = derivada do vetor de estado em relação ao tempo.
y = vetor de resposta
u = vetor de entrada ou de controle
A = matriz de sistema
B = matriz de entrada
C = matriz de saída
D = matriz de ação avante.
Exercícios
4. (NISE, 2002, p. 116) Dê duas razões para modelar sistemas no espaço de es-
tados.
5. (NISE, 2002, p. 116) Assinale uma vantagem da abordagem em função de
transferência sobre a representação no espaço de estados.

1
Aula 14T – Aplicando a representação no espaço de estados
Bibliografia
8521613016. Páginas 96-104.
0201308649. Páginas 94-98.
3.4 Aplicando a representação no espaço de estados
Nesta seção, vamos aplicar a formulação no espaço de estados à representa-
ção de sistemas físicos mais complicados.
O primeiro passo para representar um sistema consiste em selecionar o vetor
de estado, que deve ser escolhido com as seguintes considerações:
o Devemos selecionar um número mínimo de variáveis de estado
como componentes do vetor de estado.
o Os componentes do vetor de estado (isto é, este número mínimo de
variáveis de estado) devem ser linearmente independentes.
Variáveis de estado linearmente independentes
Os componentes do vetor de estado devem ser linearmente independentes.
Por exemplo, seguindo a definição de independência linear da Seção 3.3, se
1x , 2x e 3x forem escolhidas como variáveis de estado, mas 213 45 xxx += , en-
tão 3x não é linearmente independente de 1x e 2x , uma vez que o conheci-
mento dos valores de 1x e 2x produz o conhecimento do valor de 3x .
Número mínimo de variáveis de estado
Como saber qual o número de variáveis de estado a selecionar? Geralmente,
o número mínimo necessário é igual à ordem da equação diferencial que des-
creve o sistema.
Segundo a perspectiva da função de transferência, a ordem da equação dife-
rencial é a ordem do denominador da função de transferência depois do can-
celamento dos fatores comuns ao numerador e ao denominador.

2
Na maioria dos casos, uma outra forma de determinar o número de variáveis
de estado é contar o número de elementos armazenadores de energia inde-
pendentes existentes no sistema.
No caso de circuitos elétricos, nossa abordagem consiste em escrever a equa-
ção simples da derivada para cada um dos elementos armazenadores de ener-
gia (capacitores e indutores) e expressar a derivada como uma combinação
linear das variáveis de sistema e de entrada presentes na equação.
Nos sistemas mecânicos, mudamos a escolha de variáveis de estado para po-
sição e velocidade de cada ponto com movimento linear independente.
Exercícios
1. (NISE, 2002, p 97) Dado o circuito elétrico da Figura 1, obter uma represen-
tação no espaço de estados se a saída for a corrente através do resistor.
Figura 1 - Circuito elétrico para representação no espaço de estados (NISE,
2002).
2. (NISE, 2002, p. 101) Obter as equações de estado para o sistema mecânico
em translação mostrado na Figura 2. Qual a equação de saída se a variável de
saída for ( )tx2 ?
Figura 2 - Sistema mecânico em translação (NISE, 2002).

3
3. (NISE, 2002, p. 101) Obter a representação no espaço de estados do circuito
elétrico mostrado na Figura 3. A saída é ( )tvo .
Figura 3 - Circuito elétrico para o Exercício 3 (NISE, 2002).
4. (NISE, 2002, p. 102) Obter a representação no espaço de estados do sistema
mecânico mostrado na Figura 4 em que a saída é ( )tx3 .
Figura 4 - Sistema mecânico em translação para o Exercício 4 (NISE, 2002).
5. (NISE, 2002, p. 99) Obter as equações de estado e de saída do circuito elétri-
co mostrado na Figura 5 se o vetor de saída for [ ]T
RR iv 22=y , em que T sig-
nifica a transposta do vetor.
Figura 5 - Circuito elétrico para o Exercício 5.

1
Aula 15T – Convertendo uma função de transferência para o espaço de estados
Bibliografia
8521613016. Páginas 102-107.
0201308649. Páginas 96-103.
3.5 Convertendo uma função de transferência para o espaço de estados
Nesta seção vamos aprender como passar de uma representação em função
de transferência para uma representação no espaço de estados.
Uma vantagem da representação no espaço de estados é que ela pode ser u-
sada para simular sistemas físicos num computador digital.
Desta forma, se quisermos simular um sistema representado por uma função
de transferência, devemos primeiro converter a representação por função de
transferência em representação no espaço de estados.
Vamos dividir o problema em dois casos.
1º caso: Função de transferência com numerador constante
Seja a função de transferência:
( )
( ) 01
1
1
0
asasas
b
sR
sC
n
n
n
++++
= −
− …
.
Esta função representa a equação de diferenças:
( )trbca
dt
dc
a
dt
cd
a
dt
cd
n
n
nn
n
0011
1
1 =++++ −
−
− … .
Um jeito simples de obter a representação no espaço de estados é escolher
um conjunto de variáveis de estado chamadas de variáveis de fase, em que
cada variável de estado subseqüente é a derivada de estado anterior. Assim,
tomamos:

2
1
1
2
2
3
2
1
−
−
=
=
=
=
n
n
n
dt
cd
x
dt
cd
x
dt
dc
x
cx
.
A entrada é ( )tru = e a saída é ( )tcy = .
Com esta escolha, temos as seguintes equações de entrada e de saída:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+−−−−−=
=
=
=
−−
1
011322110
43
32
21
xy
ubxaxaxaxax
xx
xx
xx
nnn …
Na forma matricial:
[ ]⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−−−
=
−
uy
u
baaaaaaa n
00001
0
0
0
0
1000000
0001000
0000100
0000010
01543210
x
xx
…
…
…
…
…
…
(1)
A Eq. (1) é a forma em variáveis de fase das equações de estado. Essa forma
é reconhecida facilmente pelo padrão exclusivo de 1´s e 0´s e do negativo
dos coeficientes da equação diferencial, escritos em ordem inversa, na última
linha da matriz de sistema.
Exercício
1. (NISE, 2002, p. 104) Obter a representação no espaço de estados sob a forma
de variáveis de fase da função de transferência mostrada na Figura 1. Dese-

3
nhar também um diagrama de blocos com integradores, somadores e ganhos
que implementem este sistema.
Figura 1 - Função de transferência (NISE, 2002).
2º caso: Função de transferência com polinômio no numerador
Seja, por exemplo, a função de transferência mostrada na Figura 2(a).
Figura 2 – Decompondo uma função de transferência (NISE, 2002).
Neste caso, primeiro separamos a função de transferência em duas, associa-
das em cascata, como mostrado na Figura 2(b). A primeira é o denominador
e a segunda, o numerador.
A primeira função de transferência com apenas o denominador é convertida
na representação por variáveis de fase no espaço de estados como feito ante-
riormente. Portanto, a variável de fase 1x é a saída e as outras variáveis de fa-
se são variáveis internas do primeiro bloco, como mostrado na Figura 2(b).
A segunda função de transferência com apenas o numerador conduz a
( ) ( ) ( ) ( )sXbsbsbsCsY 101
2
2 ++==

4
em que, depois de obtida a transformada de Laplace inversa com condições ini-
ciais nulas,
( ) 10
1
12
1
2
2 xb
dt
dx
b
dt
xd
bty ++=
Mas os termos com derivadas são as definições das variáveis de fase obtidas
no primeiro bloco. Assim, escrevendo-se os termos em ordem inversa para
dar a forma de uma equação de saída,
( ) 322110 xbxbxbty ++= .
Portanto, o segundo bloco forma simplesmente uma combinação linear espe-
cífica das variáveis de fase desenvolvidas no primeiro bloco.
Segundo uma outra perspectiva, o denominador da função de transferência
conduz às equações de estado enquanto o numerador fornece a equação de
saída.
Exercício
2. (NISE, 2002, p. 106) Obter a representação no espaço de estados da função
de transferência mostrada na Figura 3. Desenhar também um diagrama de
blocos com integradores, somadores e ganhos que implementem este sistema.
Figura 3 - Função de transferência (NISE, 2002).
3. (NISE, 2002, p. 107) Obter as equações de estado e a equação de saída da
representação em variáveis de fase da função de transferência
( )
97
12
2
++
+
=
ss
s
sG .
4. (NISE, 2002, p. 119) Um míssil em vôo, como mostrado na Figura 4, está
submetido a diversas forças: empuxo, sustentação, arrasto e ação da gravida-

5
de. O míssil voa com um ângulo de ataque, α , em relação ao eixo longitudi-
nal, criando sustentação. Para manobrar o míssil, controla-se o ângulo φ do
corpo do míssil em relação à vertical, movendo angularmente o motor pro-
pulsor da parte traseira. A função de transferência relacionando o ângulo φ
ao deslocamento δ do motor é da forma:
( )
( ) 01
2
2
3
3 KsKsKsK
KsK
s
s ba
+++
+
=
Δ
Φ
.
Representar o controle de manobra do míssil no espaço de estados.
Figura 4 – Míssil (NISE, 2002).
5. (NISE, 2002, p. 118) Represente a seguinte função de transferência no espa-
ço de estados. Dê sua resposta na forma matricial vetorial.
( ) ( )
( )( )451
73
2
2
+++
++
=
sss
ss
sT

1
Aula 16T – Convertendo do espaço de estados para função de transferência
Bibliografia
8521613016. Páginas 108-109.
0201308649. Páginas 107-108.
3.6 Convertendo do espaço de estados para a função de transferência
Nos Capítulos 2 e 3 exploramos dois métodos para representar sistemas: (1) a
representação em função de transferência e (2) a representação no espaço de
estados.
Na aula anterior, unificamos as duas representações convertendo funções de
transferência em representações no espaço de estados.
Agora, vamos mover na direção contrária e converter a representação no es-
paço de estados em função de transferência.
Dadas as equações de estado e de resposta:
DuCxy
BuAxx
+=
+=
,
aplicando a transformada de Laplace, obtemos:
( ) ( ) ( )ssss BUAXX += (1)
( ) ( ) ( )sss DUCXY += (2)
Explicitando ( )sX na Eq. (1),
( ) ( ) ( )sss BUXAI =−
ou
( ) ( ) ( )sss BUAIX
1−
−= (3)
em que I é a matriz identidade.
Substituindo a Eq. (3) na Eq. (2), resulta:
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )ss
ssss
UDBAIC
DUBUAICY
+−=
=+−=
−
−
1
1

2
Chamamos a matriz ( )[ ]DBAIC +−
−1
s de matriz função de transferência,
uma vez que ela relaciona o vetor de saída, ( )sY , ao vetor de entrada ( )sU .
Quando ( ) ( )sUs =U e ( ) ( )sYs =Y forem escalares, podemos obter a função de
transferência:
( ) ( )
( )
( ) DBAIC +−==
−1
s
sU
sY
sT
Exercícios
1. (NISE, 2002, p. 109) Converter as equações de estado e a equação de saída
mostradas a seguir em função de transferência:
[ ]x
xx
625,05,1
0
2
04
5,14
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
=
y
u
2. (NISE, 2002, p. 108) Dado o sistema definido pelas equações a seguir, obter
a função de transferência ( ) ( )
( )sU
sY
sT = em que ( )sU é a entrada e ( )sY a saída.
[ ]x
xx
001
0
0
10
321
100
010
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=
y
u
3. (NISE, 2002, p. 118) Obtenha a função de transferência ( ) ( )
( )sR
sY
sG = , para ca-
da um dos sistemas representados no espaço de estados:
(a)
[ ]x
xx
001
10
0
0
523
100
010
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
=
y
r

3
(b)
[ ]x
xx
631
6
4
1
453
350
832
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−
=
y
r
(c)
[ ]x
xx
341
2
3
5
263
781
253
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
y
r

1
Aula 17T – Estudos de caso: Robótica
Bibliografia
8521613016. Páginas 112-122.
0201308649. Páginas 121-139.
3.7. Estudo de caso
Atividades
1. (NISE, 2002, p. 120) O retorno de robôs a um ponto de referência, baseado
em imagens, pode ser implementado gerando-se os comandos de entrada de
rumo para um sistema de manobra baseado no seguinte algoritmo de guia-
mento: suponha que o robô mostrado na Figura 1(a) deve ir do ponto R para
um alvo, o ponto T , como mostrado na Figura 1(b). Se XR , YR e ZR são ve-
tores do robô a cada marco de referência, X , Y , Z , respectivamente, e XT ,
YT e ZT são vetores do alvo a cada marco de referência, respectivamente, en-
tão os comandos de rumo devem acionar o robô para minimizar XX TR − ,
YY TR − e ZZ TR − simultaneamente, uma vez que as diferenças tenderão a
zero se o robô alcançar o alvo. Se a Figura 1(c) representa o sistema de con-
trole de manobra do robô, represente cada bloco – controlador, roda e veículo
– no espaço de estados.

2
Figura 1 - a. Robô com sistema de imagem por televisão (©1992 IEEE); b. dia-
grama vetorial mostrando o conceito por trás do acompanhamento automático
baseado em imagem (©1992 IEEE); c. sistema de controle de rumo. (NISE,
2002).
2. (NISE, 2002, p. 121) Os manipuladores robóticos modernos que atuam dire-
tamente sobre o ambiente-alvo devem ser controlados de modo que as forças
de impacto bem como as forças de estado estacionário não danifiquem o al-
vo. Ao mesmo tempo, o manipulador deve fornecer força suficiente para e-
xecutar a tarefa. Para desenvolver um sistema de controle para regular estas
forças, há necessidade de modelar o manipulador robótico e o ambiente-alvo.
Supondo o modelo mostrado na Figura 2, represente, no espaço de estados, o
manipulador robótico e o ambiente sob as seguintes condições:
(a) O manipulador não está em contato direto com o ambiente-alvo.

3
(b) O manipulador está em contato constante com o ambiente-alvo.
Figura 2 - Manipulador robótico e ambiente-alvo (©1997 IEEE) (NISE, 2002).
3. (NISE, 2002, p. 120) Considerar a aeronave militar F4-E mostrada na Figura
3(a), em que a aceleração normal, na , e a velocidade angular de arfagem, q ,
são controladas pela deflexão do profundor, eδ , sobre os estabilizadores hori-
zontais, e pela deflexão das superfícies aerodinâmicas dianteiras (canards),
Cδ . Um comando de deflexão COMδ , como mostrado na Figura 3(b) é usado
para efetuar uma alteração em ambas as deflexões eδ e Cδ . As relações são:
( )
( )
( )
( ) τ
τ
δ
δ
τ
τ
δ
δ
1
1
1
+
=
+
=
s
K
s
s
ss
s
C
COM
C
COM
e
Estas deflexões produzem, através da dinâmica longitudinal da aeronave, na e
q . As equações de estado descrevendo os efeitos de COMδ sobre na e q são dadas
por:
COM
e
n
e
n
q
a
q
a
δ
δδ ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
14
0
06,272
1400
99,31418,122,0
38,26372,50702,1
.
Obter as seguintes funções de transferência:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )s
sQ
sG
s
sA
sG
COM
COM
n
δ
δ
=
=
2
1

4
Figura 3 - a. F4-E com canards (© 1992 AIAA); b. sistema de controle de vôo a
malha aberta (© 1992 AIAA). (NISE, 2002).
4. (NISE, 2002, p. 121) A Figura 4(b) mostra um modelo de sistema mecânico
em translação relativo a um pantógrafo para ferrovia de alta velocidade, usa-
do para fornecer energia elétrica a um trem a partir de uma catenária suspen-
sa. Representar o pantógrafo no espaço de estados, onde a saída é o desloca-
mento da parte superior do pantógrafo ( ) ( )tyty cath − .

5
Figura 4 - a. Acoplamento do pantógrafo com a catenária; b. representação.
Simplificada mostrando a força de controle ativa (NISE, 2002).
5. (NISE, 2002, p. 117) Represente o sistema mecânico em rotação mostrado na
Figura 5 no espaço de estados em que ( )t1θ é a saída.

1
Aula 18T – Resposta no domínio do tempo - Introdução
Bibliografia
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, c2002. 695 p.
ISBN 8521613016. Páginas 123-126.
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo ; Rio
de Janeiro: Makron, c1997. 558 p. ISBN 8534605963. Páginas 134-135.
CAPÍTULO 4 – RESPOSTA NO DOMÍNIO DO TEMPO
Neste capítulo iremos aprender o seguinte:
o Como obter a resposta no domínio do tempo a partir da função
de transferência;
o Como usar pólos e zeros para determinar quantitativamente a
resposta de um sistema de controle;
o Como descrever quantitativamente a resposta transitória de
sistemas de primeira e segunda ordem;
o Como aproximar sistemas de ordem maior por sistemas de
primeira e segunda ordem;
o Como visualizar os efeitos de não-linearidades na resposta de
sistemas no domínio do tempo;
o Como obter a resposta no domínio do tempo a partir da repre-
sentação no espaço de estados.
4.1 Introdução
No Cap. 2 mostramos como as funções de transferência podem repre-
sentar sistemas lineares e invariantes no tempo.
No Cap. 3 os sistemas foram representados diretamente no domínio do
tempo por intermédio das equações de estado e de saída.

2
Depois que o engenheiro obtém uma representação de um subsistema,
este é analisado através das respostas transitória e de estado estacionário
para ver se estas características conduzem ao comportamento desejado.
Este capítulo se destina à análise da resposta transitória de sistemas.
Depois de descrever uma ferramenta valiosa de análise e de projeto, pó-
los e zeros, começaremos a analisar nossos modelos para obter a respos-
ta ao degrau de sistemas de primeira e de segunda ordem.
A ordem se refere à ordem da equação diferencial equivalente que re-
presenta o sistema – a ordem do denominador da função de transferên-
cia depois do cancelamento de fatores comuns com o numerador ou o
número de equações diferenciais de primeira ordem simultâneas neces-
sárias para a representação no espaço de estados.
4.2 Pólos, zeros e resposta do sistema.
A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas: a respos-
ta forçada ou em regime estacionário e a resposta natural ou transitó-
ria.
Embora diversas técnicas, como a solução de equações diferenciais ou a
aplicação da transformada de Laplace inversa, permitam calcular essas
respostas, tais técnicas são trabalhosas e consomem muito tempo.
A produtividade é favorecida pelas técnicas de análise e projeto que
produzam resultados com um mínimo de tempo.
Se a técnica for tão rápida que seja possível obter o resultado desejado
por inspeção, usamos algumas vezes o atributo qualitativo para descre-
ver o método.
O uso de pólos e zeros e de sua relação com a resposta de sistemas no
domínio do tempo é uma dessas técnicas.

3
Pólos de uma função de transferência
Os pólos de uma função de transferência são os valores da variável, s ,
da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferên-
cia se torne infinita.
Zeros de uma função de transferência
Os zeros de uma função de transferência são os valores da variável, s ,
da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferên-
cia se torne igual a zero.
Pólos e zeros de um sistema de primeira ordem: um exemplo
Exercício
1. (NISE, 2002, p. 124) Dada a função de transferência ( )sG da Figura 1,
pede-se:
Figura 1 - Sistema mostrando entrada e saída (NISE, 2002).
(a) Determine os pólos e zeros deste sistema.
(b) Localize os pólos e zeros no plano complexo. Usa-se um ‘×’ para loca-
lizar pólos e ‘ο’ para localizar zeros.
(c) Utilizando a transformada de Laplace inversa, determine a resposta ao
degrau do sistema.
(d) Especifique a resposta em regime estacionário e a resposta transitória.
Com base no desenvolvimento do Exercício 1, resumido na Figura 2,
pode-se concluir que:

4
Figura 2 - Evolução de uma resposta de sistema. Siga as setas voltadas para
baixo para ver a evolução dos componentes da resposta gerada pelo pólo ou
pelo zero. (NISE, 2002).
I. Um pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada ou em
regime permanente (isto é, o pólo na origem gerou a função degrau na
saída).
II. Um pólo da função de transferência gera a forma da resposta natural ou
transitória (isto é, o pólo em -5 gerou t
e 5−
).
III. Um pólo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma
t
e α−
, em que α− é a localização do pólo sobre o eixo real. Assim, quan-
to mais a esquerda fique situado o pólo sobre o eixo real negativo, tanto
mais rápido será o decaimento da resposta transitória exponencial para
zero.
IV. Os pólos e zeros geram as amplitudes para ambas as respostas, natu-
ral e forçada.

5
Exercícios
2. (NISE, 2002, p. 126) Dado o sistema da Figura 4, escrever a saída ( )tc ,
em termos genéricos. Especificar as partes forçada e natural da solução.
Figura 3 - Sistema para o Exercício 2 (NISE, 2002).
3. (NISE, 2002, p. 126) Um sistema possui uma função de transferência
( ) ( )( )
( )( )( )( )10871
6410
++++
++
=
ssss
ss
sG . Escrever, por inspeção, a saída, ( )tc , em
termos genéricos, se a entrada for um degrau unitário.
4. (NISE, 2002, p. 169) Em um sistema com uma entrada e uma saída, que
pólos geram a resposta em estado estacionário?
5. (NISE, 2002, p. 169) Em um sistema com uma entrada e uma saída, que
pólos geram a resposta transitória?

1
Aula 19T – Sistemas de primeira ordem
Bibliografia
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científi-
cos, c2004. 695 p. ISBN 8521613016 Páginas 127-129.
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo: Makron
Books, c1997. 558 p. : il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3 Páginas 135-140.
4.3. Sistemas de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem sem zeros pode ser descrito pela função de
transferência mostrada na Figura 1(a).
Figura 1 - a. Sistema de primeira ordem; b. gráfico do pólo (NISE, 2002).
Se a entrada for um degrau unitário, ou seja, ( )
s
sR
1
= , a transformada da saí-
da, ( )sC , será:
( ) ( ) ( )
( )ass
a
sGsRsC
+
=⋅= .
Aplicando a transformada de Laplace inversa, obtemos a resposta ao degrau
que é dada por:
( ) ( ) ( ) at
nf etctctc −
−=+= 1 (1)
em que o pólo da entrada situado na origem gerou a resposta forçada 1=fc e o
pólo do sistema em a− , gerou a resposta natural ( ) at
n etc −
−= .
A Figura 2 mostra um gráfico de ( )tc .

2
Figura 2 - Resposta de um sistema de primeira ordem a um degrau unitário (NI-
SE, 2002).
Observe que quando
a
t
1
= ,
63,037,0111
1 1
1
=−=−=−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
ee
a
c a
a
. (2)
Usamos agora as equações acima para definir três especificações da resposta
transitória.
Constante de tempo
Chamamos
a
1
de constante de tempo da resposta.
Com base na Eq.(2), a constante de tempo é o tempo necessário para que a
resposta ao degrau alcance 63% do seu valor final.

3
Como a derivada de ( )tc é igual a a para 0=t , a é a taxa inicial de variação
da exponencial em 0=t .
Portanto, a constante de tempo pode ser considerada uma especificação da
resposta transitória de um sistema de primeira ordem, uma vez que está rela-
cionada com a velocidade com que o sistema responde a uma entrada em de-
grau.
Tempo de subida, ( RT )
O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de
onda vá de 0,1 a 0,9 do seu valor final.
O tempo de subida é obtido resolvendo a Eq. (2) para a diferença entre os
valores de t para os quais ( ) 9,0=tc e ( ) 1,0=tc . Portanto,
aaa
TR
2,211,031,2
=−= (3)
Exercício
1. A partir da definição de RT , deduza a Eq. (3).
Tempo de assentamento ( ST )
O tempo de assentamento é definido como o tempo necessário para que a
resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valor final e aí
permaneça. Fazendo ( ) 98,0=tc na Eq. (1), obtemos o tempo de assentamento
como:
a
TS
4
= (4)
Exercício
2. Demonstre a Eq. (4) a partir da definição de ST .

4
Funções de transferência de primeira ordem obtidas experimentalmente
Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de
transferência de um sistema.
Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identifi-
cáveis facilmente.
Com uma entrada degrau, podemos medir a constante de tempo e o valor do
estado estacionário, a partir de cujos valores podemos calcular a função de
transferência.
Considere um sistema de primeira ordem,
( )
as
K
sG
+
= ,
cuja resposta ao degrau é:
( )
( ) as
a
K
s
a
K
ass
K
sC
+
−=
+
= .
Se pudermos identificar os valores de K e de a a partir de ensaios em labora-
tório, poderemos obter a função de transferência do sistema.
Exercício
3. Suponha que um sistema de primeira ordem tenha a resposta dada na Figura
3. Determine sua função de transferência.
Figura 3 - Resultados de laboratório de um ensaio com resposta de um sistema
ao degrau (NISE, 2002).

5
4. (NISE, 2002, p. 129) Um sistema possui uma função de transferência
( )
50
50
+
=
s
sG . Obter a constante de tempo, CT , o tempo de assentamento ST e
o tempo de subida, RT .
5. (NISE, 2002, p. 170) Determine a tensão no capacitor do circuito mostrado
na Figura 4 quando a chave fechar em 0=t . Admita condições iniciais nulas.
Determine também a constante de tempo, o tempo de subida e o tempo de as-
sentamento para a tensão no capacitor.

1
Aula 21T – Sistemas de segunda ordem: Introdução
Bibliografia
NISE, Norman S. Engenharia de sistemas de controle. 3. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científi-
cos, c2004. 695 p. ISBN 8521613016. Páginas 129-133.
PHILLIPS, Charles L.; HARBOR, Royce D. Sistemas de controle e realimentação. São Paulo: Makron
Books, c1997. 558 p. : il. 24 cm ISBN 85-346-0596-3. Páginas 140-143.
4.4. Sistemas de segunda ordem: introdução
Comparando com a simplicidade dos sistemas de primeira ordem, os siste-
mas de segunda ordem apresentam uma ampla gama de respostas que deve
ser analisada e descrita.
Enquanto nos sistemas de primeira ordem a variação de um parâmetro muda
simplesmente a velocidade da resposta, as mudanças nos parâmetros do sis-
tema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta.
Exemplos numéricos das respostas dos sistemas de segunda ordem são mos-
trados na Figura 1.
Todos os exemplos são deduzidos a partir da Figura 1(a), o caso geral que
tem dois pólos finitos e nenhum zero.
A resposta ao degrau pode ser encontrada usando ( ) ( ) ( )sRsGsC = , em que
( )
s
sR
1
= , seguida de uma expansão em frações parciais e da aplicação da
transformada de Laplace inversa.
Resposta superamortecida, Figura 1(b).
Para esta resposta,
( )
( ) ( )( )146,1854,7
9
99
9
2
++
=
++
=
ssssss
sC .
Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada degrau unitário e
dois pólos reais provenientes do sistema.
A saída é escrita como

2
Figura 1 - Sistemas de segunda ordem, gráficos de pólos e respostas ao degrau
(NISE, 2002).
Subamortecido
Superamortecido

3
( ) tt
eKeKKtc 146,1
3
854,7
21
−−
++= .
Esta resposta, mostrada na Figura 1(b) é chamada superamortecida.
Resposta subamortecida, Figura 1(c).
Para esta resposta,
( )
( )92
9
2
++
=
sss
sC .
Esta função possui um pólo na origem em degrau unitário e dois pólos com-
plexos provenientes do sistema.
Os pólos que geram a resposta natural são 81 js +−= . Assim, ( )sC pode ser
expandida como:
( )
8181 js
C
js
B
s
A
sC
++
+
−+
+= .
A linha (10b) da Tabela 2.1 da Aula 4T fornece o seguinte par transformado:
( )
jbas
re
jbas
re
btre
jj
at
++
+
−+
↔+
−
−
θθ
θ
5,05,0
cos . (1)
Assim, a forma geral da resposta ao degrau será:
( ) ( )θ++= −
teKKtc t
8cos21 .
A parte real do pólo coincide com o decaimento exponencial da senóide en-
quanto a parte imaginária do pólo coincide com a freqüência da oscilação se-
noidal.
A esta freqüência da senóide é dado o nome de freqüência amortecida, dω .
A Figura 2 mostra uma resposta senoidal amortecida genérica de um sistema
de segunda ordem.

4
Figura 2 - Componente da resposta ao degrau de sistema de segunda ordem ge-
rados por pólos complexos (NISE, 2002).
Chamamos este tipo de resposta de resposta subamortecida.
Exercício
1. (NISE, 2002, p. 131) Escreva, por inspeção, a forma da resposta ao degrau do
sistema da Figura 3.
Figura 3 – Sistema para o Exercício 1 (NISE, 2002).
Voltaremos à resposta subamortecida do sistema nas próximas aulas em que
iremos generalizar a discussão e deduzir alguns resultados que relacionam a
posição do pólo a outros parâmetros da resposta.

5
Resposta sem amortecimento, Figura 1(d).
Para esta resposta,
( )
( )9
9
2
+
=
ss
sC .
Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitá-
rio e dois pólos imaginários puros provenientes do sistema. Expandindo,
( )
33 js
C
js
B
s
A
sC
−
+
+
+= .
Usando novamente (1) com 0=a , obtemos a resposta genérica neste caso:
( ) ( )θ++= tAtc 3cos
Este tipo de resposta, mostrado na Figura 1(d) é chamado sem amortecimen-
to.
Resposta criticamente amortecida, Figura 1(e).
Para esta resposta,
( )
( ) ( )22
3
9
96
9
+
=
++
=
sssss
sC .
Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitá-
rio e dois pólos reais e iguais provenientes do sistema.
Expandindo,
( )
( )2
321
33 +
+
+
+=
s
K
s
K
s
K
sC .
Assim,
( ) tt
teKeKKtc 3
3
3
21
−−
++=
Este tipo de resposta, mostrado na Figura 1(e) é chamada criticamente amor-
tecido.
Respostas criticamente amortecida são as mais rápidas possíveis sem a ultra-
passagem que é característica da resposta subamortecida.
Resumindo:

6
1. RESPOSTAS SUPERAMORTECIDAS
Pólos: reais e diferentes: 1σ− e 2σ−
Resposta natural: ( ) tt
n eKeKtc 21
21
σσ −−
+=
2. RESPOSTAS SUBAMORTECIDAS
Pólos: complexos com parte real não-nula: dd jωσ +−
Resposta natural: ( ) ( )φωσ
+= −
tAetc d
t
n
d
cos
3. RESPOSTAS SEM AMORTECIMENTO
Pólos: imaginários puros: 1ωj±
Resposta natural: ( ) ( )φω += tAtcn 1cos
4. RESPOSTAS CRITICAMENTE AMORTECIDAS
Pólos: reais e iguais: 1σ− e 1σ−
Resposta natural: ( ) tt
n teKeKtc 11
21
σσ −−
+=
As respostas ao degrau para os quatro casos de amortecimento discutidos na
aula estão superpostas na Figura 4.
Figura 4 - Respostas ao degrau de sistemas de segunda ordem para os casos de
amortecimento (NISE, 2002).

7
Observe que o caso criticamente amortecido caracteriza a separação entre os
casos superamortecidos e subamortecidos e constitui a resposta mais rápida
sem ultrapassagem.
Exercício
2. (NISE, 2002, p. 133) Escreva, por inspeção, a forma geral da resposta ao de-
grau para cada uma das seguintes funções de transferência:
(a) ( )
40012
400
2
++
=
ss
sG
(b) ( )
90090
900
2
++
=
ss
sG
(c) ( )
22530
225
2
++
=
ss
sG
(d) ( )
625
625
2
+
=
s
sG

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