O Volume e a Área da Superfície de uma Esfera
Todo mundo sabe que decorar fórmulas é  chato . Isso ocorre, em especial se não entendemos o relacionamento entre uma fórm...
Como podemos compreender o relacionamento entre diversas fórmulas? Estudando se existe alguma ligação entre elas.  Deduzin...
Conhece a fórmula do volume da esfera? Vamos ver um Exemplo?
A partir dessa fórmula podemos deduzir a fórmula da área da superfície esférica. Como fazemos isto?? Vamos ver um Exemplo?
Imagine duas esferas. Uma de raio  r  e outra de raio  r +d . Comparando as duas vemos que a segunda é um pouquinho maior ...
Coloquemos a menor (de raio  r ), dentro da maior  (de raio  r + d ), de forma que os centros coincidam. Entre as duas esf...
O volume da região entre as duas esferas é como se fosse  a “casca” de nosso melão.  Esse volume é a diferença entre o vol...
Quanto mais fina for esta “casca” mais os raios das duas esferas se aproximam. Isto é, a  diferença entre os raios das esf...
A  razão  entre estes dois valores aproxima-se da  área da superfície esférica  quando  diminuímos  a diferença entre os r...
Diferença entre o volume das duas esferas Diferença entre os raios das duas esferas se aproxima da Área da superfície esfé...
A razão entre os dois valores Portanto, a  razão  entre a   diferença do volume das duas esferas  e a  diferença entre seu...
Cálculo da Razão Para encontrar a área da superfície esférica basta, então, calcular esta  razão  e ver de onde ela se apr...
O volume da esfera maior (a de raio  r + d ) é dado por Volume da Esfera Maior
O volume da esfera menor (de raio  r ) é dado por Volume da Esfera Menor
Subtraindo os dois volumes obtemos a diferença entre eles, isto é, Diferença entre os volumes
Subtraindo os dois raios obtemos a diferença entre eles, isto é, r + d – r = d Diferença entre os raios
Para encontrar a  razão  basta dividir a  diferença entre os volumes  pela  diferença entre os raios , isto é, por  d . A ...
Observe o lado direito desta última fórmula Diminuindo a diferença entre os raios (d)
Vamos agora diminuir a diferença entre os raios das duas esferas aproximando cada vez mais o raio  r + d  do raio  r , ist...
Quanto mais 3rd e d 2  se aproximam de zero mais diminui a espessura de nossa “casca de melão”. Numa situação limite, quan...
Então para calcular esta área basta substituir 3rd e d 2  em nossa fórmula por zero :  Área da Superfície Esférica
Portanto:  é a fórmula da  área da superfície esférica Área da Superfície Esférica
Talvez alguém diga: “ Ora, é mais fácil decorar a fórmula” Realmente, mas aprendemos mais se conseguimos entender de onde ...
Obrigado pela atenção FIM
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Volume e Área da Superfície Esférica

73.221 visualizações

Publicada em

Dedução da fórmula da Área da Superfície Esférica

Publicada em: Educação
1 comentário
5 gostaram
Estatísticas
Notas
Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
73.221
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
11
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
204
Comentários
1
Gostaram
5
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Volume e Área da Superfície Esférica

  1. 1. O Volume e a Área da Superfície de uma Esfera
  2. 2. Todo mundo sabe que decorar fórmulas é chato . Isso ocorre, em especial se não entendemos o relacionamento entre uma fórmula e outra. Deduzindo Fórmulas
  3. 3. Como podemos compreender o relacionamento entre diversas fórmulas? Estudando se existe alguma ligação entre elas. Deduzindo Fórmulas
  4. 4. Conhece a fórmula do volume da esfera? Vamos ver um Exemplo?
  5. 5. A partir dessa fórmula podemos deduzir a fórmula da área da superfície esférica. Como fazemos isto?? Vamos ver um Exemplo?
  6. 6. Imagine duas esferas. Uma de raio r e outra de raio r +d . Comparando as duas vemos que a segunda é um pouquinho maior do que a primeira. Encontrando a Fórmula
  7. 7. Coloquemos a menor (de raio r ), dentro da maior (de raio r + d ), de forma que os centros coincidam. Entre as duas esferas teremos uma pequena região, semelhante a obtida quando tiramos toda a parte interna de um melão. Encontrando a Fórmula
  8. 8. O volume da região entre as duas esferas é como se fosse a “casca” de nosso melão. Esse volume é a diferença entre o volume das duas esferas. Volume da “Casca do Melão”
  9. 9. Quanto mais fina for esta “casca” mais os raios das duas esferas se aproximam. Isto é, a diferença entre os raios das esferas se aproxima de zero . Volume da “Casca do Melão”
  10. 10. A razão entre estes dois valores aproxima-se da área da superfície esférica quando diminuímos a diferença entre os raios das esferas, ou seja, A razão entre os valores
  11. 11. Diferença entre o volume das duas esferas Diferença entre os raios das duas esferas se aproxima da Área da superfície esférica quando a diferença entre os raios das duas esferas diminui. A razão entre os valores
  12. 12. A razão entre os dois valores Portanto, a razão entre a diferença do volume das duas esferas e a diferença entre seus raios (nosso d ) aproxima-se da área da superfície da esfera menor quando a diferença entre os raios das duas esferas diminui .
  13. 13. Cálculo da Razão Para encontrar a área da superfície esférica basta, então, calcular esta razão e ver de onde ela se aproxima quando diminuímos a diferença entre os raios das duas esferas.
  14. 14. O volume da esfera maior (a de raio r + d ) é dado por Volume da Esfera Maior
  15. 15. O volume da esfera menor (de raio r ) é dado por Volume da Esfera Menor
  16. 16. Subtraindo os dois volumes obtemos a diferença entre eles, isto é, Diferença entre os volumes
  17. 17. Subtraindo os dois raios obtemos a diferença entre eles, isto é, r + d – r = d Diferença entre os raios
  18. 18. Para encontrar a razão basta dividir a diferença entre os volumes pela diferença entre os raios , isto é, por d . A Razão entre as diferenças
  19. 19. Observe o lado direito desta última fórmula Diminuindo a diferença entre os raios (d)
  20. 20. Vamos agora diminuir a diferença entre os raios das duas esferas aproximando cada vez mais o raio r + d do raio r , isto é, vamos diminuir d . Isso fará com que 3rd e d 2 fiquem cada vez menor. Diminuindo a diferença entre os raios (d)
  21. 21. Quanto mais 3rd e d 2 se aproximam de zero mais diminui a espessura de nossa “casca de melão”. Numa situação limite, quando tomamos estes valores como iguais a zero não temos mais espessura nenhuma e as duas esferas se tornam uma única esfera de raio r . E nossa razão pode ser usada para calcular a área da superfície esférica . Área da Superfície Esférica
  22. 22. Então para calcular esta área basta substituir 3rd e d 2 em nossa fórmula por zero : Área da Superfície Esférica
  23. 23. Portanto: é a fórmula da área da superfície esférica Área da Superfície Esférica
  24. 24. Talvez alguém diga: “ Ora, é mais fácil decorar a fórmula” Realmente, mas aprendemos mais se conseguimos entender de onde ela veio. Achou difícil? Assista novamente. Área da Superfície Esférica
  25. 25. Obrigado pela atenção FIM

×