Circuitos magnéticos: fluxo, FMM e indutância

CES-CL
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DE CONSELHEIRO LAFAIETE
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Conversão de Energia e Transformadores
Circuitos Magnéticos
CES- CL Conversão de Energia Prof. Guilherme Amorim Gomes

→ As máquinas elétricas são constituídas por circuitos elétricos e magnéticos
acoplados entre si;
→ Um circuito magnético consiste em uma estrutura composta em sua maior
parte por material magnético de permeabilidade elevada, que tende a fazer com
que o fluxo magnético seja confinado aos caminhos delimitados pela estrutura;
→ Nas máquinas elétricas, os condutores percorridos por correntes interagem
com os campos magnéticos (originados ou por correntes elétricas em condutores
ou de imãs permanentes), resultando na conversão eletromecânica de energia.

Lei de Ampére: Determina a relação entre corrente elétrica e campo magnético
C
H dl = J da
S
Esta equação afirma que a integral de linha da componente tangencial da
intensidade de campo magnético H ao longo de um contorno fechado C é igual à
corrente que passa através de qualquer superfície S delimitada por esse contorno.
→ No circuito magnético mostrado, a fonte do campo magnético é o produto NI
[A.e], que na terminologia dos circuitos magnéticos é a força magnetomotriz
(FMM) F que atua no circuito magnético.
→ O fluxo magnético que atravessa uma superfície S é a integral da
componente normal de B:
 = Bda
S
→ A densidade de fluxo magnético é uniforme em uma seção reta de um circuito
magnético, neste caso a equação reduz-se a:
C = BC  AC

→ A relação entre a FMM que atua em um circuito magnético e a intensidade de
campo magnético no circuito é:
 = Ni = H dl
→ As dimensões do núcleo são tais que o comprimento do caminho de qualquer
linha de fluxo é aproximadamente igual ao comprimento médio do núcleo lc. Como
resultado, a integral de linha torna-se o produto escalar Hclc do módulo de H
vezes o comprimento médio lc do caminho de fluxo:
 = Ni = HClC

Circuitos Magnéticos – Permeabilidade Magnética

Circuitos Magnéticos – Relação B x H
→ A relação entre a intensidade de campo magnético H e a densidade de fluxo
magnético B é uma propriedade do material em que se encontra o campo magnético.
Costuma-se supor uma relação linear, assim:
B =   H
→ A intensidade do campo magnético é dada em [wb/m2] ou simplesmente tesla [T].
é a permeabilidade do material magnético, tal que
[wb/Am] é a permeabilidade do vácuo e é a permeabilidade relativa ao
r 0
 =   0
−7
 = 4 10
r
valor para o vácuo.
Para condutores de alumínio ou cobre, o valor der é igual a unidade, e para
materiais ferromagnéticos, tais como ferro, cobalto e níquel,r varia entre 2.000 e
6.000.

Circuitos Magnéticos – Relação B x H
A intensidade do campo H e aumentada pelo aumento da corrente, ja que H = Ni/l e a
indução magnética B varia de acordo com a curva da figura abaixo. Esta curva
característica B x H é chamada de curva de magnetização e é fornecida pelo fabricante.

Circuitos Magnéticos – Domínios Magnéticos

Circuitos Magnéticos – Ciclo de Histerese

Circuitos Magnéticos – Perdas Magnéticas

→ Os transformadores são enrolados em núcleos fechados como mostrado
anteriormente. No entanto, os dispositivos de conversão de energia que contêm
um elemento móvel devem incluir entreferros de ar em seus circuitos magnéticos.
→ Um circuito magnético com um entreferro de ar está mostrado abaixo. Quando
o comprimento do entreferro g for muito menor do que as dimensões das faces
adjacentes do núcleo, o fluxo magnético seguirá o caminho definido pelo núcleo e
pelo entreferro. Neste caso, as técnicas de análise de circuitos magnéticos
poderão ser usadas.
→ Quando o comprimento do entreferro torna-se excessivamente grande,
observa-se que o fluxo “dispersa-se” pelas laterais do entreferro, e as técnicas de
análise de circuitos magnéticos não são mais estritamente aplicáveis.

→ Assim, desde que o comprimento do entreferro g seja suficientemente
pequeno, a configuração do circuito pode ser analisada com dois componentes
em série: um núcleo magnético de permeabilidade
μ
e, no entreferro,
C
, área de seção reta A e
comprimento médio lC , e um entreferro de permebilidade0 , área de seção reta g
A
C
C
=

A
e comprimento lg . No núcleo, a densidade de fluxo pode ser suposta uniforme:
B
B =

g
g
A
a força magnetomotriz neste circuito será
 = HClC + Hglg
e, usando a relação linear B-H, obtêm-se
g
C
0
 
 =
BC
l +
Bg
l


A A
Portanto,
→ FMM aplicada ao circuito magnético;
→ C = HClC necessária para produzir campo magnético no núcleo;
→ g = Hglg
Relacionando,
necessária para produzir campo magnético no entreferro.
 = Ni
B B
=
 =

podemos deduzir em termos do fluxo total:
C
C g
g g
C
 =
BC
l +
Bg
l
0
 





 C
lg
 lC
0 g
A  A
 =  +

→ Os termos que multiplicam o fluxo na equação anterior são conhecidos como
sendo as relutâncias R do núcleo e do entreferro, respectivamente,
e, assim,
 = (C + g )
isolando-se o fluxo,
0 g
g
C
lg
lC
A
C
 A
; =
 =
ser encontrado por
Portanto, para qualquer circuito magnético de relutância total,tot o fluxo pode
lC
lg
AC 0 Ag
C + g
→ =
 =
+


tot

 =


→ O termo que multiplica a FMM é conhecido com permeância P e é o inverso
da relutância. A permeância de um circuito magnético é:
→ Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos
tot
tot
P =

1

→ A fração de FMM necessária para impulsionar o fluxo através de cada parte do
circuito magnético, comumente referida como queda de FMM naquela parte do
circuito magnético, varia proporcionalmente à sua relutância (em analogia direta
com a queda de tensão em um elemento resistivo de um circuito elétrico). Da
equação
vemos que uma alta permeabilidade no material pode resultar em uma baixa
relutância de núcleo, esta pode se tornar muito inferior à do entreferro: isto é, para
( Ac /lC )  (0 Ag /lg ),C  g
e assim,
C
lC
A
C
 =
Nesse caso, a relutância do núcleo pode ser desprezada e o fluxo, e portanto B,
podem ser obtidos como abaixo:
 g
tot
lg
= Ni
0 Ag
 

=
0 Ag
g lg

dt S
Fluxo Concatenado e Indutância
→ Quando um campo magnético varia no tempo, produz-se um campo elétrico no
espaço de acordo com a lei de Faraday:
E ds = −
d
Bda
C
A equação afirma que a integral de linha da intensidade de campo elétrico E ao
longo de um contorno fechado C é igual à razão, no tempo, da variação de fluxo
magnético que concatena (passa através) aquele contorno. O campo E no fio é
extremamente pequeno podendo ser desprezado, de modo que o primeiro
membro da equação reduz-se ao negativo da tensão induzida e nos terminais do
enrolamento. No segundo membro da equação predomina o fluxo do núcleo,
como o enrolamento concatena o fluxo do núcleo N vezes, a equação reduz-se a:
e = N
d
=
d
Onde 
dt dt
é o fluxo concatenado do enrolamento definido como:
 = N

→ Em um circuito magnético, composto de material magnético de permeabilidade
constante ou que inclua um entreferro dominante, a relação entre  e i será linear
e poderemos definir a indutância L como:

A substituição das equações
i
L =
tot
 = Ni = Hdl; =

; = N
na equação anterior nos dá:
tot
Dessa equação, podemos ver que a indutância de um enrolamento em um circuito
magnético é proporcional ao quadrado de espiras e inversamente proporcional à
relutância do circuito magnético associado a esse enrolamento.
L =

N2

lg
= Ni
0 Ag
 

=
0 Ag
g lg
A partir de
supondo que a relutância do núcleo seja desprezível em comparação com a do
entreferro, a indutância do enrolamento será igual a:
lg
0 g
N 2
L =
2
N  A
)
(
lg
0 Ag
=

→ A figura abaixo mostra um circuito magnético com um entreferro e dois
enrolamentos. Neste caso, observe que a FMM do circuito magnético é dada pelo
total de ampéres-espiras que atua no circuito magnético (ambos os enrolamentos) e
que os sentidos de referência das correntes foram escolhidos de modo a produzirem
fluxos no mesmo sentido. A FMM total é
 = N1i1 + N2i2

0 g 0 g
 A  A
g lg lg

  = = Ni
→ Da equação,
desprezando a relutância do núcleo e assumindo que Ac = Ag, o fluxo do núcleo é:
g
l
0 C
 A
 = (N1i1 + N2i2 )
Nesta equação é o fluxo resultante no núcleo, produzido pela FMM total dos dois
enrolamentos. É esse fluxo resultante que determina o ponto de operação do
material do núcleo. Se esta equação for decomposta em termos relacionados
individualmente com cada corrente, o fluxo concatenado resultante da bobina 1 pode
ser expresso como:
l
l g
g

i2




i1 + N1N2




  A    A 
2 0 C 0 C
1 = N1 = N1

Que pode ser escrita como:
1 = L11i1 + L12i2

→ Da equação,
é a indutância própria da bobina 1 e é o fluxo
concatenado da bobina 1 devido à sua própria corrente i1 .
A indutância mútua entre as bobinas 1 e 2 é:
1 = L11i1 + L12i2
g
2 0 AC
l
L11 = N1 11 1
L i
g
l
0 AC
L12 = N1N2
e L12i2 é o fluxo concatenado da bobina 1 devido à corrente i2 na outra bobina.

→ Do mesmo modo, o fluxo concatenado da bobina 2 é
ou
onde é a indutância mútua e
l
l g
g

i2




i1 + N2




  A 
2 0 C
 0 AC

2 = N2 = N1N2

2 = L21i1 + L22i2
L21 = L12
g
l
0 C
2
2
22
é a indutância própria da bobina 2.
 A
L = N

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