analise de areas

1. Tópicos de Estatística Espacial
Areas
Anderson Castro Soares de Oliveira
Notes

2. Análise de dados de area
Em algumas situações práticas a localização geográfica
dos eventos (pontos) não está disponível.
Mas pode-se encontrar dados aglomerados por de área,
como um estado, município, bairro, distrito, setor censitário,
etc.
Nestes casos os dados em geral, são contagens por uni-
dade de área tais como: número de nascimentos, número
de crimes, número de arvores, etc.
Os dados de área também podem ser expressos em forma
de taxas, médias, medianas, por exemplo: taxa de morta-
lidade, percentual de adultos analfabetos; renda média do
chefe da familia, mediana etária em mulheres.
Notes

3. Análise de dados de area
A forma usual de apresentação de dados de áreas é por
meio dos mapas temáticas,
Figura 1: Renda média mensal dos municípios de Mato Grosso
(Fonte: IBGE)
Notes

4. Análise de dados de area
Os mapas temáticos representam padrão espacial do fenô-
meno nas areas
A análise estatística permite além de visualizar o fenômeno
nas areas:
definir se o padrão é aleatório ou não
verificar se existe tendência
Notes

5. Análise de dados de area
Para analisar dados de area em geral utiliza-se o modelo
de variação espacial discreta.
Considere-se a existência de um processo estocástico Zi
i = 1, ..., n , em que:
Zi é a realização do processo espacial na área i e
n é o total de áreas (A1, ...An
O objetivo principal da análise é construir uma aproxima-
ção para a distribuição conjunta de variáveis aleatórias Z =
{Z1, ...Zn}.
Em geral supões que Zi segue uma distribuição Poisson,
mas quando a variável é taxas ou médias, pode-se supor
que Zi segue uma distribuição normal
Notes

6. Análise de dados de area
Um dos problemas básicos com dados agregados por área
é que, para uma mesma população estudada, a definição
espacial das fronteiras das áreas afeta os resultados obti-
dos.
As estimativas obtidas dentro de um sistema de unidades
de área são função das diversas maneiras segundo as quais
essas unidades podem ser agrupadas.
Pode-se obter resultados diferentes simplesmente alterando
as fronteiras entre essas áreas.
Este problema é conhecido como "problema da unidade de
área modificável"
Notes

7. Vizinhança
É importante estabelecer quais áreas estão conectadas en-
tre si;
Tipos de vizinhança
Notes

8. Vizinhança
Inicialmente deve-se escolher o critério de vizinhança a ser
utilizado;
Em seguida deve-se atribuir pesos para a ligações entre os
vizinhos identificados.
Notes

9. Vizinhança
A vizinhança é representada por uma matriz de proximi-
dade espacial, também chamada matriz de vizinhança.
Dado um conjunto de n áreas (A1, ..., An), a matriz de vi-
zinhança de primeira ordem é represetando porW
(1)
(nxn), e
cada um dos elementos wij representa uma medida de pro-
ximidade entre Ai e Aj.
Existem vários critérios para escolha de wij
wij = 1 se Ai faz fronteira com Aj e wij = 0 caso contrário
wij = 1 se Ai está a uma certa distância de Aj e wij = 0
caso contrário
wij = 1/d representa inverso da distância d entre Ai e Aj
wij = 1/d2
representa inverso do quadrado da distância d
entre Ai e Aj
Notes

10. Vizinhança
Considere um gride regular com 9 observações em x e y
são as coordenadas de cada área
y x
0,2 0,5 1,2
0,5 Z1 = 1 Z4 = 3 Z7 = 3
1,5 Z2 = 3 Z5 = 10 Z8 = 1
2,5 Z3 = 5 Z6 = 8 Z9 = 3
Notes

11. Vizinhança
Como temos 9 áreas a matrix W terá ordem 9
Considerando como vizinhos apenas as areas que fazem
fronteiras norte, sul, leste e oeste
Assim, teriamos por exemplo:
A1 tem como vizinhos A2 e A4
A5 tem como vizinhos A2, A4, A6 e A8
Matriz de pesos
W =














0 1 0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 0 1
0 0 0 0 0 1 0 1 0














Notes

12. Vizinhança
Para utilizar a distância para definir vizinhança é necessário
obter a matriz de distâncias,
A matriz de distância é uma matriz simétrica em que cada
dij pode ser obtido pela distância euclidiana entre as áreas
Temos a seguinte matriz de distância
D =














0, 00 1, 00 2, 00 0, 50 1, 12 2, 06 1, 00 1, 00 1, 41
1, 00 0, 00 1, 00 1, 12 0, 50 1, 12 1, 41 1, 41 1, 00
2, 00 1, 00 0, 00 2, 06 1, 12 0, 50 2, 24 2, 24 1, 41
0, 50 1, 12 2, 06 0, 00 1, 00 2, 00 0, 50 0, 50 1, 12
1, 12 0, 50 1, 12 1, 00 0, 00 1, 00 1, 12 1, 12 0, 50
2, 06 1, 12 0, 50 2, 00 1, 00 0, 00 2, 06 1, 12 0, 50
1, 00 1, 41 2, 24 0, 50 1, 12 2, 06 0, 00 1, 00 2, 00
1, 00 1, 41 2, 24 0, 50 1, 12 1, 12 1, 00 0, 00 1, 00
1, 41 1, 00 1, 41 1, 12 0, 50 0, 50 2, 00 1, 00 0, 00














Notes

13. Vizinhança
Considerando como vizinhos apenas as areas que tem dis-
tância menor que 1, 5
Assim, a matrix de vizinhança é dada por:
W =














0 1 0 1 1 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 0 0 1 0
1 1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 0 1 0














Notes

14. Vizinhança
Considerando todos como vizinhos e os pesos dados pelo
inverso da distância
A matrix de vizinhança é dada por:
W =














0, 00 1, 00 0, 50 2, 00 0, 89 0, 49 1, 00 1, 00 0, 71
1, 00 0, 00 1, 00 0, 89 2, 00 0, 89 0, 71 0, 71 1, 00
0, 50 1, 00 0, 00 0, 49 0, 89 2, 00 0, 45 0, 45 0, 71
2, 00 0, 89 0, 49 0, 00 1, 00 0, 50 2, 00 2, 00 0, 89
0, 89 2, 00 0, 89 1, 00 0, 00 1, 00 0, 89 0, 89 2, 00
0, 49 0, 89 2, 00 0, 50 1, 00 0, 00 0, 49 0, 89 2, 00
1, 00 0, 71 0, 45 2, 00 0, 89 0, 49 0, 00 1, 00 0, 50
1, 00 0, 71 0, 45 2, 00 0, 89 0, 89 1, 00 0, 00 1, 00
0, 71 1, 00 0, 71 0, 89 2, 00 2, 00 0, 50 1, 00 0, 00














Notes

15. Vizinhança
A matriz W é conhecida como matriz de vizinhança não
normalizada, pode-se trabalhar com matrizes normalizadas
em que os todos os elementos estão entre 0 e 1
A matriz W∗, designada de matriz normalizada por linha
Esta matriz é construída a partir da matriz W original, dividindo-
se todos os elementos de cada linha de W pela soma da
linha
Portanto, a matriz W∗
possui todas as linhas com a soma
igual a 1 e não é simétrica
Notes

16. Vizinhança
A matriz Wn, designada de matriz normalizada global
Esta matriz é construída a partir da matriz W original:
Wn =
n
n
i=1
n
j=1
wij
W
em que n é o numero de áreas e wij são os pesos da matrix
W
Wn esta matriz é simétrica
Notes

17. Média Movel Espacial
A média móvel espacial pode ser utilizada para analisar a
existência de tendência espacial
Para calcular a média móvel espacial utiliza-se a expres-
são:
µi =
n
j=1
wijzi
n
j=1
wij
em que
wij são os pesos da matriz de vizinhança
zi é o valor da variável na area i
Notes

18. Média Movel Espacial
Zi
n
j=1
wij


























1 0, 00 1, 00 0, 50 2, 00 0, 89 0, 49 1, 00 1, 00 0, 71 7, 6
3 1, 00 0, 00 1, 00 0, 89 2, 00 0, 89 0, 71 0, 71 1, 00 8, 2
5 0, 50 1, 00 0, 00 0, 49 0, 89 2, 00 0, 45 0, 45 0, 71 6, 5
3 2, 00 0, 89 0, 49 0, 00 1, 00 0, 50 2, 00 2, 00 0, 89 9, 8
10 0, 89 2, 00 0, 89 1, 00 0, 00 1, 00 0, 89 0, 89 2, 00 9, 6
8 0, 49 0, 89 2, 00 0, 50 1, 00 0, 00 0, 49 0, 89 2, 00 8, 3
3 1, 00 0, 71 0, 45 2, 00 0, 89 0, 49 0, 00 1, 00 0, 50 7, 0
1 1, 00 0, 71 0, 45 2, 00 0, 89 0, 89 1, 00 0, 00 1, 00 7, 9
3 0, 71 1, 00 0, 71 0, 89 2, 00 2, 00 0, 50 1, 00 0, 00 8, 8
Notes

19. Média Movel Espacial
wi1z1 wi2z2 wi3z3 wi4z4 wi5z5 wi6z6 wi7z7 wi8z8 wi9z9
n
j=1
wij zi
0, 00 3, 00 2, 50 6, 00 8, 93 3, 88 3, 00 1, 00 2, 13 30, 44
1, 00 0, 00 5, 00 2, 68 20, 00 7, 14 2, 13 0, 71 3, 00 41, 66
0, 50 3, 00 0, 00 1, 46 8, 93 16, 00 1, 34 0, 45 2, 13 33, 80
2, 00 2, 68 2, 43 0, 00 10, 00 4, 00 6, 00 2, 00 2, 68 31, 78
0, 89 6, 00 4, 46 3, 00 0, 00 8, 00 2, 68 0, 89 6, 00 31, 93
0, 49 2, 68 10, 00 1, 50 10, 00 0, 00 1, 46 0, 89 6, 00 33, 01
1, 00 2, 13 2, 23 6, 00 8, 93 3, 88 0, 00 1, 00 1, 50 26, 67
1, 00 2, 13 2, 23 6, 00 8, 93 7, 14 3, 00 0, 00 3, 00 33, 43
0, 71 3, 00 3, 55 2, 68 20, 00 16, 00 1, 50 1, 00 0, 00 48, 43
Notes

20. Média Movel Espacial
Zi
n
j=1
wijzi
n
j=1
wij ˆµi
1 30,44 7,59 4,01
3 41,66 8,20 5,08
5 33,80 6,48 5,22
3 31,78 9,77 3,25
10 31,93 9,57 3,34
8 33,01 8,26 4,00
3 26,67 7,03 3,79
1 33,43 7,94 4,21
3 48,43 8,81 5,50
Notes

21. Média Movel Espacial
Figura 2: Taxa de homicídio por 1000 habitantes do estado de mato
grosso. À esquerda valores observados. À direita média móvel local,
considerando uma vizinhança do tipo Queen.
Notes

22. Dependência Espacial
Na análise de dados de area um dos objetivos é verifica o
tipo de interação entre as áreas, surgindo questões do tipo
Se em uma área existe um alto numero de ocorrências de
um evento, em uma área vizinha a ocorrência também será
alta?
Se em uma área existe um alto numero de ocorrências de
um evento, em uma área vizinha a ocorrência será baixa?
Neste contexto é importante estudar a dependência espa-
cial, mostrando como os valores estão correlacionados no
espaço
Notes

23. Dependência Espacial
A dependência espacial pode ser expressa pela autocor-
relação espacial que indica quanto uma variável varia em
função dos seus vizinhos
Para estimar a dependencia espacial pode-se utilizar dois
indices
Indice de Moran
Indice de Geary
Notes

24. Índice de Moran
O Índice de Moran é um coeficiente muito útil para medir a
correlação espacial.
Este índice mede a relação do desvio padronizado de uma
variável Z numa área i com o desvio padronizado das
áreas vizinhas para a mesma variável Z.
I =
n
n
i=1
n
j=1
wij(zi − ¯z)(zj − ¯z)
S0(zi − ¯z)2
n é total de áreas;
zi e zj os valores da variável nas áreas i e j;
¯z é média geral ;
wij é a matriz de pesos
S0 é o somatório dos elementos wij da matriz de pesos
Notes

25. Índice de Moran
A interpretação deste índice é:
I > 0 correlação positiva indicando presença de conglome-
rados ou agrupamentos.
I = 0 ausência de correlação indicando que a distribuição
espacial é aleatória
I < 0 correlação negativa indicando a existência de regula-
ridade
Notes

26. Índice de Moran
Após calcular o índice de Moran é importante testar as se-
guintes hipóteses
H0 : I = 0 não existe correlação espacial
H1 : I = 0 existe correlação espacial
A significância do índice de Moran por duas suposições bá-
sicas
Normalidade
Aletadoriedade
Notes

27. Índice de Moran
Sob a suposição de normalidade temos que
µI é o valor esperado do índice de Moran dado por:
µI = −
1
n − 1
σ2
I é a variância do índice de Moran dada por:
σ2
I =
n3
− n2
S1 + n − n2
S2 + (2 − 4n) S2
0
(n3 − n2 − n + 1) S2
0
em que
S1 =
1
2
n
i=1
n
j=1
(wij + wji )
2
S2 =
n
i=1
(wi. + w.i )
2
wi. =
n
j=1
wij
Notes

28. Índice de Moran
Sob hipótese de aleatoriedade a distribuição de probabili-
dade é desconhecida e assim, temos que:
µIR
é o valor esperado do índice de Moran dado por:
µIR
= −
1
n − 1
σ2
I é a variância do índice de Moran dada por:
σ
2
IR
=
n 3S0
2
+ n2
− 3n + 3 S1 − nS2 − k 6S0
2
+ n2
− n S1 − 2nS2
(n − 3) (n − 2) (n − 1) S0
2
−
1
(n − 1)2
em que
k =
n
i=1
(zi − z)
4
n
n
i=1
(zi − z)
2
2
Notes

29. Índice de Moran
Em ambos os casos a significância do índice de Moran uti-
lizado a estatística
zc =
I − µ
√
σ2
em que µ e σ2 são o valor esperando e variância
Rejeita-se H0 se valor − p ≤ α ou zc > zα, em que zα é
obtido da distribuição normal padrão
Notes

30. Índice de Geary
O índice de Geary é utilizado para medir a correlação es-
pacial
Este índice se baseia na diferença entre os pares de áreas
C =
(n − 1)
n
i=1
n
j=1
wij(zi − zj)2
S0
n
i=1
z2
i
n é total de áreas;
zi e zj os valores da variável nas áreas i e j;
wij é a matriz de pesos
S0 é o somatório dos elementos wij da matriz de pesos
Notes

31. Índice de Geary
A interpretação deste índice é:
I < 1 correlação positiva indicando presença de conglome-
rados ou agrupamentos.
I = 1 ausência de correlação indicando que a distribuição
espacial é aleatória
I > 1 correlação negativa indicando a existência de regula-
ridade
Notes

32. Índice de Geary
Para verificar a significância do índice de Geary pode-se
utilizar duas suposições básicas
Normalidade
Aletadoriedade
Notes

33. Índice de Geary
Para ambas as suposições temos que µc = 1
Sob suposição de normalidade temos que
σ2
C =
(n − 1)(2S1 + S2)) − 4S2
0
2(n + 1)S2
0
Sob suposição de alaetoriedade temos que
σ
2
C =
(n − 1)S1(n2
− 3n + 3 − (n − 1)k − 1
4
(n − 1)S2(n2
+ 3n − 6 − (n2
− n + 2)k) + S2
0 (n2
− 3 − (n − 1)2
k)
n(n − 2)(n − 3)S2
0
Notes

34. Índice de Geary
Em ambos os casos a significância do índice de Moran uti-
lizado a estatística
zc =
I − 1
√
σ2
em que µ e σ2 são o valor esperando e variância
Rejeita-se H0 se valor − p ≤ α ou zc > zα, em que zα é
obtido da distribuição normal padrão
Notes

35. Exemplo
Utilizando taxa homicídios no ano de 2012 em mato grosso,
e considerando vizinhança tipo Queen
Índice de Moran
I=0,0027, suposição normal valor-p=0.4228, suposição de
aleatoriedade valor-p=0,4240
Como valor-p>0,05 temos evidências de que não existe
correlação entre as areas.
Índice de Grey
I=0,9559, suposição normal valor-p=0,2514, suposição de
aleatoriedade valor-p=0,2173
Como valor-p>0,05 temos evidências de que não existe
correlação entre as areas.
Notes

36. Correlograma Espacial
Os índices de Moran e Geary são utilizados para estimar a
dependência espacial
Para cada classe de distância d pode-se estabelecer uma
matriz de vizinhança W(d) permitindo o cálculo diferentes
valores destes índices para a mesma variável.
Isso permite avaliar o comportamento de autocorrelação
espacial como uma função de distância, em um gráfico cha-
mado de correlograma espacial, que fornece um descritor
do padrão espacial nos dados.
Notes

37. Correlograma Espacial
O número e o tipo de classes de distância a ser condisera-
das são em principio, arbitrários e podem ser consideradas
diferentes possibilidades a partir de um mesmo conjunto de
dados.
Pode-se utilizar a fórmula de Sturges para determinar o nú-
mero k de classe de distância, em que
k = 1 + log2n
sendo n é numero de distâncias na área amostral.
Notes

38. Correlograma Espacial
Neste caso, os valores obtidos pelo correlograma podem
ser considerados significativos a um determinado nível de
significância α, utilizando o critério de correção de Bonfer-
roni
Esta correção consiste em ajustar o nível de probabilidade
α em que se avalia a significância, dividindo pelo numero
de classes de distância k de maneira que α = α/k.
Notes

39. Correlograma Espacial
Figura 3: Correlograma de Moran (circulos em preto correspondem a
correlações significativas)
Notes

40. Correlograma Espacial
Figura 4: Padrão de dados com gradiente linear - Correlograma apre-
senta correlações positiva em distâncias curtas e correlações negati-
vos em grandes distâncias
Notes

41. Correlograma Espacial
Figura 5: Padrão de grandes manchas - Correlograma apresenta cor-
relações positiva em pequenas e grandes distâncias e correlações
negativos distâncias intermediárias
Notes

42. Correlograma Espacial
Figura 6: Padrão de pequenas manchas e regulares - Correlograma
apresenta correlações positiva e negativas significativas oscilando em
função das distâncias
Notes

43. Correlograma Espacial
Figura 7: Padrão aleatório - Correlograma apresenta a maioria das
correlações não significativas oscilando em torno de zero
Notes

44. Correlograma Espacial
Vários outros padrões podem ser encontrados no correlo-
gramas
Notes

45. Correlograma Espacial
Figura 8: Renda média mensal dos municípios de Mato Grosso e cor-
relogramas de Moran e Geary
Notes

46. Correlograma Espacial
Figura 9: Taxa de homicídio por 1000 habitantes do estado de mato
grosso e correlogramas de Moran e Geary
Notes

47. Diagrama de Espalhamento de Moran
O diagrama de espalhamento de Moran é uma maneira adi-
cional de visualizar a dependência espacial.
Para construir esse gráfico utiliza-se os valores normaliza-
dos da variável
a =
z − µ
σ
Em seguida é plotado os valores normalizados a da variável
com a média do seu vizinho com a média dos seus vizinhos
Wa
Notes

48. Diagrama de Espalhamento de Moran
O diagrama de espalhamento de Moran é é dividido em
quatro quadrantes, que são interpretados da seguinte forma
Áreas que que encontram-se no Q1 (valores positivos, mé-
dias positivas) e Q2 (valores negativos, médias negativas)
apresentam associação espacial positiva, no sentido que
uma localização possui vizinhos com valores semelhantes.
Áreas que que encontram-se no Q3 (valores positivos, mé-
dias negativas) e Q4 (valores negativos, médias positivas)
apresentam associação espacial negativa, no sentido que
uma localização possui vizinhos com valores distintos
Notes

49. Diagrama de Espalhamento de Moran
Figura 10: Diagrama de Espalhamento de Moran
Notes

50. Diagrama de Espalhamento de Moran
O diagrama reflete a estrutura espacial nas duas escalas
de análise: vizinhança e tendência
O índice de Moran I e equivalente ao coeficiente de regres-
são linear entre a e Wa
A regressão linear entre a e Wa permite identificar valo-
res extremos (outliers), para isso localiza-se pontos no dia-
grama de Moran que são extremos em relação à tendência
central, refletida pela inclinação da reta de regressão.
A presença de valores extremos pode significar:
problemas com a especificação da matriz de proximidade
ou com a escala espacial de observação dos dados.
a existência de regiões de transição entre regimes
espaciais distintos, os quais geralmente pertencem aos
quadrantes Q3 e Q4
O diagrama de espalhamento de Moran também pode ser
apresentado na forma de um mapa temático, no qual cada
area é apresentada com a cor do respectivo quadrante
Notes

51. Diagrama de Espalhamento de Moran
O diagrama de espalhamento de Moran também pode ser
apresentado na forma de um mapa temático, no qual cada
area é apresentada com a cor do respectivo quadrante
As areas que se encontram nos quadrantes 3 e 4 (correla-
ção negativa), podem podem ser entendidos como regiões
de transição entre as áreas que se encontram nos quadran-
tes 1 e 2 (correlação positiva)
Notes

52. Diagrama de Espalhamento de Moran
Figura 11: Diagrama de Espalhamento de Moran para renda média
mensal dos municípios de Mato Grosso
Notes

53. Diagrama de Espalhamento de Moran
Figura 12: Diagrama de Espalhamento de Moran para taxa de homi-
cídio por 1000 habitantes dos municípios de Mato Grosso
Notes

54. Indicadores Locais de Associação Espacial (LISA)
A estatística espacial local quantifica o grau de associação
espacial a que cada localização está submetida em função
de um modelo de vizinhança preestabelecido
Para este tipo de análise utilizas-e os Indicadores Locais
de Associação Espacial (LISA)
O LISA para cada observação dá uma indicação da exten-
são da aglomeração espacial significativa de valores simi-
lares em torno de que a observação
Um LISA será qualquer estatística que satifaça a dois crité-
rio:
Um indicador LISA deve possuir, para cada observação,
uma indicação de clusters espaciais significantes de valo-
res similares em torno da observação (e.g. região)
O somatório dos LISAs, para todas as regiões, é proporcio-
nal ao indicador de autocorrelação espacial global.
Notes

55. Índice local de Moran
O índice local de Moran é um indicador LISA baseado na
índice de Moran.
Ii =
(zi − ¯z)
S2
i
n
j=1
wij(zj − ¯z)
n é total de áreas;
zi e zj os valores da variável nas áreas i e j;
¯z é média geral ;
wij é a matriz de pesos
S2
i =
n
j=1,i=j
wij
n−1 − ¯z2
Notes

56. Índice local de Moran
O valor esperado para o índice local de Moran
µIi
= −
n
j=1
wij
n − 1
A variância é dada por:
σ2
Ii
=
(n − k)
n
j=1,i=j
w2
ij
n − 1
+
(2k − n)
n
j=1,i=j
n
k=1,i=j,j=k
wij wik
(n − 1)(n − 2)
−





n
j=1
wij
n − 1





2
Notes

57. Índice local de Moran
A significância do índice local de Moran é testada utilizado
a estatística
zc =
Ii − µIi
σ2
Ii
Rejeita-se H0 se valor − p ≤ α ou zc > zα, em que zα é
obtido da distribuição normal padrão
Notes

58. Índice local de Moran
A análise do índice local de Moran é muito semelhante ao
do índice de Moran.
I > µIi
correlação positiva
I = µIi
ausência de correlação
I < µIi
correlação negativa
Determinada a significância estatística do índice local de
Moran, em geral é apresentado um mapa temático indi-
cando as regiões que apresentam correlação local signi-
ficativamente diferente do resto do dados
Notes

59. Índice local de Moran
Figura 13: Indice local de Moran para renda média mensal dos muni-
cípios de Mato Grosso
Notes

60. Índice local de Moran
Figura 14: Indice local de Moran para taxa de homicídio por 1000
habitantes dos municípios de Mato Grosso
Notes

61. Regressão Espacial
A análise de regressão é uma técnica que estuda a relação
entre duas ou mais variáveis quantitativas estabelecendo
uma equação matemática
Por meio do modelos de regressão é possível o investigar o
efeito de variáveis explicativas (X) na mudança da variável
resposta (Y)
Existem diversos modelos de regressão
regressão linear
regressão linear múltipla
regressão não linear
Notes

62. Regressão Espacial
Quando é ajustado um modelo de regressão tem-se a pres-
suposição são:
Os erros tem distribuição normal
Os erros tem variância constante
Os erros são independentes
Quando os dados são distribuídos espacialmente em areas,
em geral a hipótese de independência dos erros não é aten-
dida
Notes

63. Regressão Espacial
Em dados distribuídos espacialmente em areas deve-se ve-
rificar a presença da autocorrelação espacial no resíduos
da regressão
A autocorrelação ou dependência espacial pode afetar o
erro, a variável dependente ou ambos
Notes

64. Regressão Espacial
Quando detectada a presença de autocorrelação espacial,
é necessário ajustar modelos de regressão espacial
Os principais modelos de regressão espacial são:
Modelo SAR
Modelo SEM
Modelo SARMA
Notes

65. Modelo SAR
O modelo autorregressivo espacial (SAR) é utilizado para
modelar o efeito a interação espacial entre uma área e seus
vizinhos
É um modelo que considera o efeito de defasagem espacial
ou lag espacial.
O modelo SAR é dada por:
y = ρWy + Xβ +
em que:y é o vetor de observações
ρ é o coeficiente de autocorrelação espacial
W é a matriz de vizinhança
X é matriz de regressão
β é vetor de covariáveis
é o vetor de erros, em que i são independentes e
identicamente distribuídos com i ∼ N(0, σ2
)
Notes

66. Modelo SAR
A estimação do modelo SAR é feita assumindo que o vetor
de erros tem distribuição normal multivariada com média
zero e covariância σ2I
O modelo SAR pode ser escrito da seguinte forma:
y = (I − ρW)−1
Xβ + (I − ρW)−1
O vetor de observações y possui distribuição condicional a
X normal multivariada, com média e variância condicional,
dadas por:
E[Y|X] = (I − ρW)−1
Xβ
Σ[Y|X] = σ2
(I − ρW)−1
(I − ρW)−1
Notes

67. Modelo SAR
A partir da distribuição de y obtém-se a verosimilhança
condicional e estimação dos parâmetros (ρ, β, σ2) é feita
por método iterativos.
Notes

68. Modelo SEM
O modelo de erro espacial (SEM) considera um processo
espacial autoregressivo em termo de erro
O modelo SEM é dada por:
y = Xβ + u
u = λWu +
em que:
y é o vetor de observações
λ é o coeficiente de autocorrelação espacial de erro
W é a matriz de vizinhança
X é matriz de regressão
β é vetor de covariáveis
é o vetor de erros, em que i são independentes e
identicamente distribuídos com i ∼ N(0, σ2
)
Notes

69. Modelo SEM
A variável u é uma variável latente não observada
Essa variável latente pode representar uma observação não
medida como por exemplo: cultura, capital social, violência,
etc
A variável u também pode se entendida como uma variável
que expressa a heterogeneidade espacial
Notes

70. Modelo SEM
O modelo SEM pode ser escrito da seguinte forma
y = Xβ + (I − ρW)−1
A estimação do modelo SEM é feita assumindo que o vetor
de erros tem distribuição normal multivariada com média
zero e covariância σ2I
Notes

71. Modelo SEM
O vetor de observações y possui distribuição condicional a
X normal multivariada, com média e variância condicional,
dadas por:
E[Y|X] = Xβ
Σ[Y|X] = σ2
(I − ρW)−1
(I − ρW)−1
A estimação é feita por maxima verosimilhança condicional
Notes

72. Modelo SARMA
O modelo de autoregressivo de médias móveis espcial (SARMA)
é uma combinação dos modelos SAR e SEM
O modelo SARMA é dada por:
y = ρW1yXβ + u
u = λW2u +
em que:
y é o vetor de observações
ρ λ são coeficientes de autocorrelação espacial de
defasagem e de erro
W1 e W2 é a matriz de vizinhança, em que W1 pode ser
diferente de W2
X é matriz de regressão
β é vetor de covariáveis
é o vetor de erros, em que i são independentes e
identicamente distribuídos com i ∼ N(0, σ2
)
Notes

73. Modelo SARMA
A estimação do modelo é feita por máxima verossimilhança,
assumindo que o ∼ N(0, σ2I), e reescrevendo o modelo
y = (I − ρW1)−1
Xβ + (I − ρW1)−1
(I − λW2)−1
O vetor de observações y possui distribuição condicional a
X normal multivariada, com média e variância condicional,
dadas por:
E[Y|X] = (I − ρW1)−1
Xβ
Σ[Y|X] = σ2
(I − ρW)−1
(I − λW2)−1
(I − ρW)−1
(I − λW2)−1
Notes

74. Teste de Autocorrelação Espacial
Os principais testes utilizados para detectar a autocorrela-
ção espacial são:
1. Teste de Moran
2. Teste de Multiplicador de Lagrange para a dependência
espacial de erro (LMe)
3. Teste de Multiplicador de Lagrange para a dependência
espacial de defasagem (LMlag)
4. Teste de Multiplicador de Lagrange para a dependência
espacial de defasagem e erro (LMsarma)
Notes

75. Teste de Moran
O teste de Moran consiste em aplicar o indice de Moran
aos resíduos da regressão
O problema deste teste é que ele não identifica o tipo de
efeito (erro ou defasagem espacial)
A estatística do teste é dada por
I =
n
S0
e We
e e
em que
n é total de áreas;
e é o vetor de erros
W á matriz de vizinhança ;
S0 é o somatório dos elementos wij da matriz de vizinhança
Notes

76. Teste de Moran
Sob a suposição de normalidade temos que
µI é o valor esperado do índice de Moran dado por:
µI = −
tr(MW)
n − k
σ2
I é a variância do índice de Moran dada por:
σ2
I =
tr(MWMW ) + tr(MWMW) + (tr(MW))2
(n − k)(n − k + 2)
− µ2
I
em que
M = I − X(X X)−1
X
sendo X a matriz do modelo
Notes

77. Teste de Moran
A significância do índice de Moran pode ser testada utili-
zando a estatística
zc =
I − µI
σ2
I
em que µ e σ2 são o valor esperando e variância
Rejeita-se H0 se valor − p ≤ α ou zc > zα, em que zα é
obtido da distribuição normal padrão
Notes

78. Teste de Moran
A significância do índice de Moran pode ser testada utili-
zando a estatística
zc =
I − µI
σ2
I
em que µ e σ2 são o valor esperando e variância
Rejeita-se H0 se valor − p ≤ α ou zc > zα, em que zα é
obtido da distribuição normal padrão
Notes

79. Teste de LMe
O Teste de Multiplicador de Lagrange para a dependência
espacial de erro (LMe) é utilizado para detectar efeitos de
autocorrelação espacial no termo no erro do modelo
Este teste verifica a existência de componente λ que ex-
pressa a dependência espacial
As hipóteses do teste são
H0 : λ = 0 não existe correlação espacial no erro
H1 : λ = 0 existe correlação espacial no erro
Notes

80. Teste de LMe
A significância pode ser testada utilizando a estatística
LMe =
e We
S2
2
tr(W W + W2)
em que
n é total de áreas;
e é o vetor de erros
W á matriz de vizinhança ;
S2
=
e e
n
A estatística LMe tem distribuição assintótica χ2
(1)
Rejeita-se H0 se valor − p ≤ α ou χ2
c > χ2
α
Notes

81. Teste de LMlag
O teste de Multiplicador de Lagrange para a dependên-
cia espacial de defasagem (LMlag) é utilizado para detectar
efeitos de autocorrelação espacial é proveniente da variá-
vel observada
Este teste verifica a existência de componente ρ que ex-
pressa a dependência espacial
As hipóteses do teste são
H0 : ρ = 0 não existe correlação espacial
H1 : ρ = 0 existe correlação espacial
Notes

82. Teste de LMlag
A significância pode ser testada utilizando a estatística
LMlag =
e Wz
S2
2
(WX ˆβ) MWX ˆβ
S2 + tr(W W + W2)
em que
n é total de áreas;
e é o vetor de erros
z é o vetor de observações
W á matriz de vizinhança ;
S2
=
e e
n
M = I − X(X X)−1
X sendo X a matriz do modelo
ˆβ são os coeficientes estimados no modelo de regressão
Notes

83. Teste de LMlag
A estatística LMlag tem distribuição assintótica χ2
(1)
Rejeita-se H0 se valor − p ≤ α ou χ2
c > χ2
α
Notes

84. Teste de LMSARMA
O teste de Multiplicador de Lagrange para a dependência
espacial de defasagem e erro (LMSARMA) é utilizado para
detectar efeitos de autocorrelação espacial é no erro e na
variável observada
Este teste verifica a existência de duas componentes λ evρ
que expressa a dependência espacial
As hipóteses do teste são
H0 : λ = 0 ρ = 0 não existe correlação espacial
H1 : λ = 0 ρ = 0 existe correlação espacial
Notes

85. Teste de LMSARMA
A significância pode ser testada utilizando a estatística
LMSARMA =
e Wz−e We
S2
2
(WX ˆβ) MWX ˆβ
S2 + tr(W W + W2)
+
e We
S2
2
tr(W W + W2)
em que
n é total de áreas;
e é o vetor de erros
z é o vetor de observações
W á matriz de vizinhança ;
S2
=
e e
n
M = I − X(X X)−1
X sendo X a matriz do modelo
ˆβ são os coeficientes estimados no modelo de regressão
Notes

86. Teste de LMlag
A estatística LMSARMA tem distribuição assintótica χ2
(2)
Rejeita-se H0 se valor − p ≤ α ou χ2
c > χ2
α
Notes

87. Procedimento para Regressão Espacial
Para ajustar uma regressão de dados distribuídos espaci-
almente deve-se seguir os seguintes passos:
1. Ajustar o modelo de regressão
2. Estabelecer uma matriz de vizinhança
3. Testar a presença da autocorrelação espacial utilizando o
teste de Moran
4. Se for detectada a presença da autocorrelação espacial ajus-
tar um novo modelo SAR, SEM ou SARMA
Para escolha do modelo a ser ajustado utilizar os testes LM
Quando mais de um teste LM for significativo, ajustar os mo-
delos e escolher o melhor modelo pelos critérios de Akaike
ou Schwartz.
Notes