Analogia de-mohr-e-eq-3-momentos

Resistência dos Materiais II
Estruturas III
Universidade Federal de Pelotas
Centro de Engenharias
Capítulo 4
Analogia de Mohr e Equação
dos 3 Momentos

Estruturas III
Também conhecido como Método de Mohr ou Método da Viga Conjugada.
A analogia entre as equações diferenciais foi observada inicialmente por
Mohr (1835-1918)
4.1- Analogia de Mohr
     
3 2
3 2
d y d y dy
EI V x EI M x EI x
dx dx dx
  

Estruturas III
Exemplo 1 -
Utilizando a analogia de Mohr, determinar os valores máximos de deflexão
angular e flecha para a viga bi-apoiada esquematizada na figura.

Estruturas III
O traçado do diagrama de momentos fletores indica uma variação linear, à
esquerda e à direita do ponto de aplicação da carga P, onde atinge o valor
máximo Pab/L.

Estruturas III
Invertendo o desenho, dividindo suas ordenadas pelo produto de rigidez
EI e encarando a figura formada como uma distribuição de carga virtual
(q*) com dois trechos lineares, atingindo o valor máximo Pab/LEI,
aplicada a uma viga também fictícia, de mesmas dimensões.

Estruturas III
Vinculação

Estruturas III
Exemplos de vinculação

Estruturas III
O modelo do problema a ser resolvido é, a princípio, o mostrado abaixo,
uma viga hiperestática dita contínua, de eixo retilíneo e horizontal,
constituída de 2 ou mais vãos de comprimento quaisquer, cada um dele
podendo ter uma própria seção transversal (constante na extensão do vão)
e com todos os apoios capazes de oferecer reação vertical. Os
carregamentos devem ser constituídos de forças somente verticais
atuantes sobre o eixo da viga, e de momentos cujos planos de rotação é o
mesmo dessas forças.
No modelo adotado, além de não haver forças externas horizontais,
também não levamos em conta as reações horizontais que os apoios
possam apresentar, por qualquer que seja o motivo. Em outras palavras,
consideramos que a viga é indeformável quanto ao esforço axial.
4.2- Equação dos três momentos

Estruturas III
Nossas incógnitas hiperestáticas adotadas nesse modelo serão os
momentos atuantes nas seções transversais situadas sobre os apoios
internos. Nos externos são nulos.
Regras para numeração dos apoios:
 vãos são numerados da esquerda para direita, a partir de 0, bem como
os respectivos vãos L e momentos de inércia I de suas seções transversais;
 os apoios são numerados da esquerda para a direita, a partir de 0.
Em princípio, todos os momentos fletores incógnitos são supostos
positivos, ou seja, tracionam a parte superior das respectivas seções
transversais e comprimem a superior.

Estruturas III
Equação dos 3 momentos:
No caso particular – que ocorre com frequência na prática – em que todos
os vãos possuem a mesma seção transversal (e portanto mesmo momento
de inércia) a expressão simplifica-se:
* *
1
1 1
1 1 1 1
' ''
( 2 ) (2 ) 6( )i i i i
i i i i
i i i i i i i i
L L R R
M M M M
E I E I E I E I

 
   
     
* *
1 1 1( 2 ) (2 ) 6( ' '')i i i i i i i iM M L M M L R R       

Estruturas III
Momentos máximos:
2
max
8
qL
M 
max
4
PL
M 
max
Pab
M
L


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