5 2 funcoes de transferencia

Função de Transferência
Circuitos Elétricos Análogos
Não-Linearidade e Linearidade
Aula 5
Fonte: Cristiano Quevedo Andrea
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Curitiba, 03/012.
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle

Resumo
1 Função de Transferência
Função de Transferência para Circuitos Elétricos
Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais
Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação
Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação
Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens
Função de Transferência de Sistema Eletromecânico
2 Circuitos Elétricos Análogos
2 Não-Linearidade e Linearidade

É uma função que relaciona algebricamente a saída de um
dado sistema à sua entrada.
Considere a equação diferencial de ordem n abaixo:
an
∂n
c(t)
∂tn
+ an−1
∂n−1
c(t)
∂tn−1
+ · · · + a0c(t)
= bm
∂m
r(t)
∂tm
+ bm−1
∂m−1
r(t)
∂tm
+ · · · + b0r(t)
sendo c(t) a saída e r(t) a entrada. Os coef cientes ai e bi
formam a equação diferencial.
Aplicando-se a transformada de Laplace em ambos os lados
da equação anterior, temos:
ansn
C(s) + an−1sn−1
C(s) + · · · + a0C(s) + C. I.
= bmsm
R(s) + bm−1sm−1
R(s) + · · · + b0R(s) + C. I. (1)

Reorganizando a expressão (1), obtém-se:
(ansn
+ an−1sn−1
+ · · · + a0)C(s) = (bmsm
+ bm−1sm−1
+ · · · + b0)R(s)
Assim, podemos obter a função de transferência
manipulando-se a equação anterior:
C(s)
R(s)
=
(bmsm
+ bm−1sm−1
+ · · · + b0)
(ansn + an−1sn−1 + · · · + a0)
(2)
sendo n ≥ m. Neste caso, foram considerado as condições
iniciais nulas para simplif cação da expressão.
Podemos ainda chamar C(s)/R(s) = G(s), então,
C(s) = R(s)G(s)
R(s) (bmsm
+ bm−1sm−1
+ · · · + b0)
(ansn
+ an−1sn−1
+ · · · + a0)
C(s)
G(s)

Exemplo
Obter a função de transferência da equação diferencial
representada por:
˙c(t) + 2c(t) = r(t). (3)
Aplicando-se a transformada de Laplace em (3), temos:
sC(s) + 2C(s) = R(s),
G(s) =
C(s)
R(s)
=
1
s + 2
,
neste caso foi suposto condições iniciais nulas.
Para obter a resposta degrau da função de transferência G(s),
fazemos,
C(s) =
1
s
1
s + 2
, sendo R(s) = 1/s. (4)

Expandindo em frações parciais a equação (4), obtém-se:
C(s) =
1/2
s
−
1/2
s + 2
. (5)
Aplicando a transformada de Laplace inversa em (5),
c(t) =
1
2
−
1
2
e−2t
.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Step Response
Time (sec)
Amplitude

Resumo
1 Função de Transferência
2 Circuitos Elétricos Análogos
2 Não-Linearidade e Linearidade

Os circuitos elétricos trabalham basicamente com 3
componentes: resistor, capacitor e indutor.
Componente Tensão Corrente Tensão Carga Z(s) = V(s)/R(s)
v(t) = τ
0 i(τ)∂τ i(t) =
C∂v(t)
∂t
v(t) = 1
C
q(t) 1
Cs
v(t) = Ri(t) i(t) = 1
R
v(t) v(t) = R
∂q(t)
∂t
R
v(t) = L
∂i(t)
∂t
i(t) = 1
L
t
0 v(τ)∂τ v(t) = L
∂2
q(t)
∂t2
Ls

Exemplo 1: Considere o circuito elétrico simples ilustrado a
seguir:
+
-
+
-
v(t)
L R
vC(t)
i(t)
C
Aplicando-se a lei de somatório de tensão de malha do circuito
ilustrado acima, temos:
v(t) = L
∂i(t)
∂t
+ Ri(t) + vC(t). (6)

Aplicando-se a transformada de Laplace em (6),
considerando-se as condições iniciais nulas, tem-se:
V(s) = LsI(s) + RI(s) + VC(s), (7)
mas I(s) = VC(s)/ 1
Cs , assim temos,
V(s) = Ls
VC(s)
1
Cs
+ R
VC(s)
1
Cs
+ VC(s). (8)
Portanto, de (8), a função de transferência entre a entrada e
saída do circuito elétrico abordado é:
VC(s)
V(s)
=
1
LCs2 + RCs + 1
.

Agora, considere um circuito elétrico mais complexo,
+
-
+
-
v(t)
R1 R2
vC(t)CLi1(t) i2(t)
sendo i1(t) e i2(t) correntes de malha.
As equações diferenciais do somatório de tensão de malha do
circuito elétrico ilustrado anteriormente são:
Ri i1(t) + L
∂(i1(t) − i2(t))
∂t
= v(t), (9)
L
∂i2(t)
∂t
+ R2i2(t) +
1
C
t
0
i2(τ)∂τ − L
∂i1(t)
∂t
= 0. (10)

Aplicando-se a transformada de Laplace em (9) e (10),
considerando-se as condições iniciais nulas, obtém-se:
R1I1(s) + LsI1(s) − LsI2(s) = V(s), (11)
LsI2(s) + R2I2(s) +
1
Cs
I2(s) − LsI1(s) = 0. (12)
Organizando (11) e (12) na forma matricial,
R1 + Ls −Ls
−Ls Ls + R2 + 1
Cs
I1(s)
I2(s)
=
V(s)
0
.
Neste exemplo podemos encontrar várias funções de
transferência, tais como: VC(s)/I2(s), VC(s)/I1(s) e
VC(s)/V(s). Neste caso abordaremos a função de
transferência entre a entrada de tensão e a tensão no
capacitor.

Inicialmente obteremos I2(s).
I2(s) =
det
R1 + Ls V(s)
−Ls 0
det
R1 + Ls −Ls
−Ls Ls + R2 + 1
Cs
,
I2(s) =
LCs2
(R1 + R2)LCs2 + (R1R2C + L)s + R1
V(s), (13)
mas I2(s) = VC(s)
1
Cs
, então,
I2(s) = CsVc(s). (14)
Portanto, substituindo-se (14) em (13), obtém-se:
VC(s)
V(s)
=
Ls
(R1 + R2)LCs2 + (R1R2C + L)s + R1
.

Considere o seguinte circuito eletrônico,

O Circuito anterior também pode ser representado por:
A função de transferência da tensão de entrada Vi(s) para a
tensão de saída Vo(s) é dada por:
Vo(s)
Vi(s)
= −
Z2
Z1
. (15)

Então, considere outro circuito eletrônico, conforme ilustrado a
seguir,
Inicialmente, calcula-se a impedância Z1(s),
Z1(s) =
R1
R1C1s + 1
=
360 × 103
2,016s + 1
.

O próximo passo é determinar o valor de Z2(s),
Z2(s) = R2 +
1
C2s
= 220 × 103
+
107
s
.
Portanto, temos que:
Vo(s)
Vi (s)
= −
Z2(s)
Z1(s)
= −1,232
s2
+ 45,95s + 22,55
s
. (16)

Resposta
Vo(s)
Vi(s)
=
C2C1R2R1s2 + (C2R2 + C1R2 + C1R1)s + 1
C2C1R2R1s2 + (C2R2 + C1R1)s + 1

Considere o circuito ilustrado abaixo:
Neste caso objetiva-se determinar a função de transferência
X(s)/F(s), assim tem-se,
FM = 0.

A f gura seguinte ilustra a ação das forças no objeto de massa M, tanto no
domínio do tempo quanto no domínio da frequência,
Então, podemos escrever,
Ms2
X(s) + fv sX(s) + KX(s) = F(s),
X(s)(Ms2
+ fv s + K) = F(s),
logo,
X(s)
F(s)
=
1
Ms2 + fv s + K
.

Considere agora outro sistema mecânico, conforme ilustrado
abaixo:
Atuação das forças em M1:

Atuação das forças em M2

Da análise das forças em M1 e M2 temos:
[M1s2
+ (fv1 + fv3)s + (K1 + K2)]X1(s) − (fv3s + K2)X2(s) = F(s),
−(fv3s + K2)X1(s) + [M2s2
+ (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]X2(s) = 0.
Organizando matricialmente as expressões acima,
[M1s2
+ (fv1 + fv2)s + (K1 + K2)] −(fv3s + K2)
−(fv3s + K2) [M2s2
+ (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]
X1(s)
X2(s)
=
F(s)
0
. (17)
De (17) podemos, por exemplo, encontrar a função de
transferência X2(s)/F(s) da seguinte maneira:
X2(s) =
det
[M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K2)] F(s)
−(fv3s + K2) 0
det
[M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K2)] −(fv3s + K2)
−(fv3s + K2) [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]
.

Portanto,
X2(s)
F(s)
=
(fv3s + K2)
Φ
, (18)
sendo
Φ = det
[M1s2
+ (fv1 + fv2)s + (K1 + K2)] −(fv3s + K2)
−(fv3s + K2) [M2s2
+ (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]
.
Em sistemas mecânicos, a sugestão é analisar separadamente
os blocos. Por exemplo, considere M2 parado e movimente M1
para direita, e depois realize a análise inversa.

Considere o seguinte exemplo: Obter a função de transferência, θ2(s)/T(s),
para o sistema de rotação ilustrado abaixo:
Observando-se a f gura acima, nota-se que o eixo elástico é
suspenso por meio de mancais em cada uma das
extremidades e é submetido à torção. Um torque é aplicado à
esquerda e o deslocamento angular é medido à direita.

Outro modo de verif car a operação dos sistemas rotativos é
ilustrado a seguir:

Então, se submetemos um objeto na forma cilíndrica a um torque, o
mesmo tende a ter deslocamento angular. Adicionalmente se existir
uma força de resistência ao movimento angular causado pela aplicação
do torque, consideramos que o objeto é submetido a torção
(movimentos angulares em um corpo cilíndrico com sentidos opostos
nas extremidades).
Para obter a função de transferência desejada, primeiramente devemos
obter um diagrama esquemático do sistema físico ilustrado
anteriormente.
Embora a torção ocorra ao longo do eixo, consideramos
que ela ocorre como uma mola concentrada em um ponto
particular do eixo.
A mola que representa a torção no corpo cilíndrico
apresenta uma inércia J1 a esquerda e uma inércia J2 a
direita.
Admite-se que o amortecimento no interior do eixo elástico
é insignif cante.

Diagrama esquemático do sistema girante analisado,
Análise em J1

Análise em J2
O somatório de torques em J1 e J2 pode ser descrito como,
(J1s2
+ D1s + K)θ1(s) − Kθ2(s) = T(s), (19)
−Kθ1(s) + (J2s2
+ D2s + K)θ2(s) = 0.

Reorganizando (19) na forma matricial, obtém-se:
(J1s2
+ D1s + K) −K
−K (J2s2
+ D2s + K)
θ1(s)
θ2(s)
=
T(s)
0
. (20)
Logo,
θ2(s) =
det
(J1s2
+ D1s + K) T(s)
−K 0
det
(J1s2
+ D1s + K) −K
−K (J2s2
+ D2s + K)
. (21)
Então,
θ2(s)
T(s)
=
K
Ψ
,
sendo,
Ψ = det
(J1s2 + D1s + K) −K
−K (J2s2 + D2s + K)
.

Determinem G(s) = θ2(s)/T(s) para o seguinte sistema
ilustrado a seguir:
Resposta:
G(s) =
1
2s2 + s + 1
.
Ө1

Determinem G(s) = θ2(s)/T(s) para o seguinte sistema
ilustrado a seguir:
Resposta:
G(s) =
1
2s2 + s + 1
.
Ө1
G(s) =
(

Considere o sistema com engrenagens ilustrado a seguir:
Para o sistema ilustrado acima temos:
r1θ1 = r2θ2,
ou
θ2
θ1
=
r1
r2
=
N1
N2
.

Observações
Sistemas acionados por motores raramente são vistos sem trens de
engrenagens acionando a carga.
As engrenagens proporcionam vantagens mecânicas ao sistema de
rotação. Ex: A bicicleta de macha, ladeira a cima, por meio de uma
troca de macha, fornece mais torque e menos velocidade. Em linha
reta pode-se obter menos torque e mais velocidade.
Em muitas aplicações, as engrenagens apresentam folgas (backlash),
que ocorrem devido a um ajustamento inadequado entre os dentes da
engrenagem.
Se admitirmos que as engrenagens não absorvam nem armazenam energia,
podemos escrever,
T1θ1 = T2θ2, ou,
T2
T1
=
θ1
θ2
=
N2
N1
.

Exemplo: Considere o sistema girante baseado em
engrenagens ilustrado a seguir:
Será possível ref etir as impedâncias da entrada do eixo na
saída?

Em sistemas girantes baseados em engrenagens temos as
situações ilustradas abaixo:
Assim, considerando-se o caso (b) da f gura anterior, podemos ref etir T1na
saída multiplicando-se por N2/N1. O resultado é ilustrado a seguir:

O sistema anterior é conhecido (já discutido anteriormente) e
as equações de movimento são,
(Js2
+ Ds + K)θ2(s) = T1(s)
N2
N1
. (22)
Mas podemos descrever θ2(s) = N1
N2θ1(s), deste modo (22)
torna-se,
(Js2
+ Ds + K)
N1
N2
θ1(s) = T1(s)
N2
N1
. (23)
Simplif cando-se (23), obtém-se;
J
N1
N2
2
s2
+ D
N1
N2
2
s + K
N1
N2
2
θ1(s) = T1(s). (24)

A equação de movimento mostrada em (24) pode ser
representada pela seguinte f gura.
Observação
As impedâncias mecânicas em rotação podem ser ref etidas
por meio de trens de engrenagens multiplicando-se a
impedância mecânica pela relação,
2Cristiano, Curitiba Sistema de Controle

Exemplo: Obter a função de transferência, θ2(s)/T1(s), para o sistema
ilustrado abaixo:
Ref itamos primeiramente as impedâncias J1 e D1 e o torque T1 do eixo de
entrada para a saída conforme mostrado a seguir:

Portanto, para este exemplo, a equação de torques pode ser
descrita como,
(Jes2
+ D2s + Ke)θ2(s) = T1(s)
N2
N1
. (25)
sendo,
Je = J1
N2
N1
2
+ J2; De = D1
N2
N1
2
+ D2; K = Ke.
De (25), obtemos a função de transferência θ2(s)
T1(s) ,
G(s) =
θ2(s)
T1(s)
=
N2/N1
Jes2 + Des + Ke
.

Estes sistemas podem ser utilizado para controle de
posição de uma antena em azimute, por exemplo.
Outras aplicações: controle de robôs, rastreadores de sol
e rastreadores estelares, etc.

Motor Eletromecânico
Um motor é um componente eletromecânico que fornece um deslocamento
de saída para uma tensão de entrada, isto é, uma saída mecânica gerada
por uma entrada elétrica. No curso iremos abordar um particular sistema
eletromecânico, o servomotor de corrente contínua controlada pela
armadura.

O campo magnético é produzido por ímãs permanentes estacionários
ou por meio de um eletroímã estacionário chamado de campo fixo.
um circuito rotativo denominado armadura, através do qual circula a
corrente ia(t), corta o campo magnético segundo um ângulo reto e
experimenta uma força, F = Blia(t), sendo B a intensidade do campo
magnético e l o comprimento do condutor.
O torque resultante aciona o rotor, o qual é o elemento girante do motor
Para o motor CC temos,
vb(t) = Kb
∂θm(t)
∂t
, (26)
sendo vb(t) a força contra-eletromotriz (fcem), Kb a constante de fcem e
∂θm(t)/∂t = ωm(t) é a velocidade angular.

Aplicando-se a transformada de Laplace em (26),
considerando-se as condições iniciais nulas, tem-se
Vb(s) = Kbsθm(s). (27)
A descrição da transformada de Laplace, considerando-se as
condições iniciais nulas, da equação de malha do circuito de
armadura é:
RaIa(s) + LasIa(s) + Vb(s) = Ea(s). (28)
Neste contexto, o torque produzido pelo motor é proporcional à
corrente de armadura, assim,
Tm(s) = Kt Ia(s). (29)
sendo Kt uma constante de torque do motor.

Assim, podemos escrever a corrente de armadura como,
Ia(s) =
Tm(s)
Kt
. (30)
Substituindo-se (27) e (30) em (28), obtemos,
(Ra + Las)Tm(s)
Kt
+ Kbsθm(s) = Ea(s). (31)
A f gura a seguir mostra um carregamento típico de um motor
sendo Jm é o momento de inércia equivalente na armadura e
Dm o amortecimento viscoso equivalente na armadura.

Como já discutidos anteriormente, a equação de movimento do
sistema típico de um motor ilustrado anteriormente é,
Tm(s) = (Jms2
+ Dms)θm(s). (32)
Substituindo-se (32) em (31),
(Ra + Las)(Jms2 + Dms)
Kt
θm(s) + Kbsθm(s) = Ea(s). (33)
considerando-se Ra >> La
Ra
Kt
(Jms + Dm) + Kb sθm(s) = Ea(s). (34)

Depois das simplif cações, determina-se a função de
transferência desejada, θm(s)/Ea(s),
θm(s)
Ea(s)
=
Kt /(RaJm)
s s + 1
Jm
Dm + Kt Kb
Ra
. (35)
A equação (35) pode ser simplif cada por:
θm(s)
Ea(s)
=
K
s(s + α)
.
Considere o caso,

Na f gura anterior é ilustrado um motor de inércia Ja e de
amortecimento Da na armadura acionando uma carga de
inércia JL e amortecimento DL.
Ref etindo-se as impedâncias da carga para a entrada temos,
Jm = Ja + JL
N1
N2
2
; Dm = Da + DL
N1
N2
2
. (36)
Considere novamente a expressão (31), com Ra >> La:
Ra
Kt
Tm(s) + Kbsθm(s) = Ea(s). (37)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (37)
obtemos,
Ra
Kt
Tm(t) + Kbωm(t) = ea(t). (38)

Isolando-se Tm(t) em (38),
Tm(t) = −
KbKt
Ra
ωm +
Kt
Ra
ea(t). (39)
De (39) podemos ter,
Tbloq =
Kt
Ra
ea(t) ⇒ torque de partida ou torque de rotor bloqueado
ωvazio =
ea(t)
Kb
⇒ velocidade sem carga ou velocidade a vazio

As constantes elétricas da função de transferência do motor
podem ser determinadas a partir de,
Kt
Ra
=
Tbloq
ea(t)
.
e
Kb =
ea(t)
ωvazio
.
As constantes elétricas, Kt /Ra e Kb, podem ser determinadas
como um teste dinamométrico do motor CC, o qual forneceria
Tbloq e ωvazio para um dado valor de ea(t).

Exemplo: Considere o sistema abaixo,

Para o sistema ilustrado anteriormente, obter a função de
transferência θL(s)/Ea(s).
Inicialmente iremos referir as impedâncias da carga a
armadura do motor, assim,
Jm = Ja + JL
N1
N2
2
= 5 + 700
1
700
2
= 12.
Dm = Da + DL
N1
N2
2
= 2 + 800
1
10
2
= 10.
Do gráf co de torque versus velocidade,
Tbloq = 500,
ωvazio = 50,
ea(t) = 100.

Portanto, as constantes elétricas são:
Kt
Ra
=
Tbloq
ea(t)
=
500
100
= 5.
e
Kb =
ea(t)
ωvazio
=
100
50
= 2.
Assim, a função de transferência θm(s)/Ea(s) resulta,
θm(s)
Ea(s)
=
5/12
s s + 1
12 (10 + (5)(2))
. (40)
Objetivando-se determinar θL(s)
Ea(s), usamos a relação N1
N2
= 1/10,
e encontramos,
θL(s)
Ea(s)
=
0,0417
s(s + 1,667)
.

Análogo Série

Análogo Paralelo

Para um sistema linear temos as seguintes propriedades,
Aditividade: f(a + b) = f(a) + f(b)
Homogeneidade: f(α1a + α2b) = α1f(a) + α2f(b)
Abaixo apresentamos exemplos: (a) linear, (b) não-linear

Exemplos de Sistemas Não-lineares
Pergunta: Este sistema é linear?
0 2 4 6 8 10
−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
16

Linearização
x0 é um ponto de equilíbrio.Cristiano, Curitiba Sistema de Controle

Procedimento de linearização
No processo de linearização supõe que o sistema próximo
a um ponto de um ponto de operação, também
denominado de ponto de equilíbrio (P.I.). ( ˙y(x) = 0).
A idéia é expandir y = f(x) em uma série de Taylor deste
ponto, assim teremos:
y = f(x) = f(x) |P.I. +
∂f(x)
∂x
|P.I. (x − xi ) +
∂2
f(x)
∂x22!
|P.I. (x − xi )2
+ · · · (4
sendo P.I. = (xi, yi)
Como x f cará próximo a xi, então (x − xi) será pequeno, e
quando elevado a 2, 3, 4, . . ., será menor ainda.
Logo a equação (41) torna-se,
y = f(x) = f(x) |P.I. +
∂f(x)
∂x
|P.I. (x − xi) (42)

Procedimento de linearização
Podemos escrever a expressão (42) da seguinte maneira,
y = f(x) = f(x)
yi
|P.I. +
∂f(x)
∂x
|P.I.
m
(x − xi)
∆x
(43)
logo temos,
y = yi + m∆x
y − yi = m∆x
∆y = m ∆x (44)
sendo ∆y = y − yi

Análise Gráf ca do Procedimento de Linearização

Exercícios
Linearize as seguintes funções abaixo em torno do ponto de
operação xi = 1
y(x) = 5x + 2
y(x) = 3
√
x + 1
y(x) = 2x3

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