IVO BARBITEORIAFUNDAMENTAL DOMOTOR DE INDUÇÃOdqEDIÇÃO DOAUTOR
CAPÍTULO1INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONVERSÃOELETROMECÂNICA DE ENERGIA1.1 INTRODUÇÃOEste capítulo pode ser considerado introdu...
2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comv...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 3Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com2Ri → potência instantânea dissip...
4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comO...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 5Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( ) ( ) ( )22 2 21d L x idL x dL ...
6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comi...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 7Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( ) 22e2dL x1 dx d xi - D - m = F...
8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comR...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 9Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comsistema apresentado, o torque dep...
10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 11Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comResta-nos ainda representar o mo...
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 13Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )( )2 SRS RS S S S S S S R S S...
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 15Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comcomo o motor de indução, o motor...
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 17Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com1.6 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA C...
18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 19Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comVamos em seguida reescrever a eq...
20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 21Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com1.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOSI = 2APS...
22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 23Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comθviiFig. 1.18 – Instrumento do t...
24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com...
CAPÍTULO2 ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA2.1 INTRODUÇÃOA máquina de indução trifásica com rotor bobinado é simétrica...
26 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com2.2 HIPÓTESES DE ESTU...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 27Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com(b) os enrolamentos do estator e...
28 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comS1S2S3R1R2R3θθFig. 2....
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 29Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com2.3 EQUAÇÕES DOS FLUXOSAdotando ...
30 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )( ) ( )( ) ( )( ) ...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 31Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( ) ( )( )dd ddt dt dtθ= +SR RS ...
32 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )dTdt= SRS RMi iθ(2...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 33Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )( )tT∂=∂θSRS RLi iθ(2.33)Tran...
34 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )( )( ) =   ...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 35Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPois:=RSRRR00(2.48)( )( ...
36 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( ) ( )tt1 d 1 d2 dt ...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 37Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comQuando•θ = 0 , ou seja, quando o...
38 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com2.9 EXERCÍCIOS PROPOS...
CAPÍTULO3 ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ03.1 INTRODUÇÃOO primeiro passo a ser dado na obtenção de modelos mais adequados para ...
40 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comS1S2S3F2F1F3n3n3n3iS2iS1iS3Fig....
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 41Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comSubstituindo-se as expressões (3...
42 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comsendo I a matriz identidade, ou...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 43Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com=βααβSSSiii 00Si (3.20...
44 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com0 1 2 3αβ−= 1i A i (3.27)Assim:...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 45Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comAs novas indutâncias são definid...
46 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com123 123 123p= +v Ri Li (3.37)Pr...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 47Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comConstata-se que a matriz impedân...
48 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com3.5 EMPREGO DA TRANSFORMAÇÃO αβ...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 49Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comd ddt dtdddt dt= + += + +S RS S ...
50 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comAs expressões (3.53) e (3.54) p...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 51Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comS S SL M= −L ⇒ indutância cíclic...
52 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comiSαiRαvSαvRα+-Fig. 3.8 – Seqüên...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 53Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comAplicando-se a transformação A-1...
54 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comtSS Aiitt0αβ= (3.80)( )00tT αβα...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 55Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPois( ) ( )N Nt=RS SRL Lθ θ (3.8...
56 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com00RSR S S S RRi0 0 0T m i i i 0...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 57Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com3.7 INTERPRETAÇÃO DA INDUTÂNCIA ...
58 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )0 1 2 3S S S S1i i i i3= + +...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 59Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comComo as correntes 1Si , 2Si e 3S...
60 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com3.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOSvR ii i...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 61Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comi 1v1+-i 2v2+-i 3v3+-Fig. 3.16 –...
62 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com123v Vcos t2v Vcos t34v Vcos t ...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 63Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com123v Vcos t2v Vcos t34v Vcos t -...
CAPÍTULO4A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINASIMÉTRICA4.1 INTRODUÇÃOA transformação de PARK tem uma importância muito grand...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 65Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comVamos definir um novo conjunto d...
66 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com1 00 1 =  ...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 67Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPortanto a transformação de PARK...
68 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPode-se estab...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 69Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com4.5 TENSÕES DA MÁQUINA SOB A FOR...
70 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comd d d dq q q ...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 71Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPortanto:SRT = mtαβαβ−∂∂θ1S RBi ...
72 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comd dq qdqS S S...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 73Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comSSRR ββααdqisβisαiRαiRβisiRddisq...
74 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comI ) Referenci...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 75Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com4.9 EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRIC...
76 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comLevando-se (4...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 77Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )d d q dSR R S R ST = m i i -i...
78 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPorém, quando...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 79Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com1 1− −= SR SRv PS ZPS i (4.83)on...
80 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com3)2R 2 1 Ra m...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 81Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com4.11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS1) Seja...
82 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com3) Obter o mo...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 83Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comb) Determinar as tensões 0Rv , d...
84 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )SR Sq Rd S...
TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 85Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com10) Considere uma máquina de ind...
CAPÍTULO5AS COMPONENTES SIMÉTRICASINSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA5.1 INTRODUÇÃOO emprego das componentes simétricas ins...
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  1. 1. IVO BARBITEORIAFUNDAMENTAL DOMOTOR DE INDUÇÃOdqEDIÇÃO DOAUTOR
  2. 2. CAPÍTULO1INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONVERSÃOELETROMECÂNICA DE ENERGIA1.1 INTRODUÇÃOEste capítulo pode ser considerado introdutório. Nele são estabelecidos osprincípios sobre os quais serão desenvolvidos os capítulos seguintes.Serão modelados alguns sistemas simples, nos quais ocorre transformação deenergia elétrica em mecânica ou vice-versa.O estudo desses sistemas permitirão estabelecer os princípios básicos queexplicam os fenômenos associados à conversão eletromecânica de energia.Os resultados obtidos serão genéricos e serão empregados nodesenvolvimento dos demais capítulos, nos quais serão estabelecidos os modelos damáquina de indução.As máquinas cuja conversão eletromecânica de energia dependa da presençade campos elétricos serão excluídas deste texto, visto que não apresentam interessepara o estudo da máquina de indução.1.2 CIRCUITO R - LConsideremos a Fig. 1.1. Nela está representado um sistema constituído poruma bobina enrolada sobre um bastão de material magnético. Na Fig. 1.2 estárepresentado o circuito equivalente do sistema. Nela aparece a indutância da bobina ea resistência do fio.
  3. 3. 2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comvFig. 1.1 – Circuito magnético simples.LvRi+-vR+ -vLFig. 1.2 – Circuito elétrico equivalente.Empregando a teoria de circuitos elétricos, pode-se estabelecer as equações(1.1) e (1.2) que relacionam as tensões e a corrente do circuito.R Lv v v= + (1.1)div Ri Ldt= + (1.2)Multiplicando-se todos os membros da equação (1.2) por i, obtém-se aequação (1.3)2 divi Ri Lidt= + (1.3)mas21d Lidi 2Lidt dt   = (1.4)Assim221d Li2vi Ridt   = + (1.5)Na expressão (1.5) tem-se as seguintes grandezas:Vi → potência instantânea fornecida pela fonte ao circuito;
  4. 4. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 3Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com2Ri → potência instantânea dissipada na resistência docircuito;2Li21→ energia instantânea armazenada no campomagnético;21d Li2dt    → velocidade instantânea de crescimento da energia nocampo magnético. Esta grandeza tem a dimensão depotência.É preciso ter em mente que no sistema apresentado na Fig. 1.1, não existeconversão eletromecânica de energia. Toda energia fornecida pela fonte étransformada em calor e acumulada no campo magnético. Neste caso, somente aequação (1.5) representa o comportamento do sistema apresentado.1.3 MÁQUINA ELEMENTAR A DESLOCAMENTO LINEARConsiderando-se a Fig. 1.3, semelhante a Fig. 1.1, mas com uma diferençafundamental: possibilidade de haver movimento relativo entre a bobina e o seu núcleo.Desta forma existe a possibilidade de variação do valor da indutância. A indutância dabobina é função de x, posição relativa entre ela e o seu núcleo.vxiL(x)Fig. 1.3 – Circuito magnético sujeito a uma forçamecânica externa.L(x)vRi+-vR+ -vLFig. 1.4 – Circuito elétrico equivalente.
  5. 5. 4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comO circuito equivalente encontra-se representado na Fig. 1.4. Empregando-se ateoria de circuitos elétricos, obtém-se a expressão (1.6)R Lv v v= + (1.6)dv Ridtφ= + (1.7)( )ixL=φ (1.8)Assim:( )( )d L x iv Ridt= + (1.9)como L(x) e i são variáveis, obtém-se:( )( )dL xdiv Ri L x idt dt= + + (1.10)Multiplicando-se todos os membros da expressão (1.10) por i obtém-se aexpressão (1.11)( )( )2 2 dL xdivi = Ri + L x i +idt dt(1.11)( )( )( )221d L x idL xdi 12= L x i + idt dt 2 dt    (1.12)( )( ) ( )221d L x idL xdi 12L x i = - idt dt 2 dt    (1.13)Levando-se a expressão (1.13) na expressão (1.11) obtém-se a expressão(1.14):
  6. 6. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 5Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( ) ( ) ( )22 2 21d L x idL x dL x12vi = Ri + - i +idt 2 dt dt    (1.14)Assim:( )( )22 2L x id2 dL x1vi = Ri + + idt 2 dt    (1.15)Observamos que a expressão (1.15) possui o termo( )dtxdLi21 2a mais emrelação a expressão (1.5). Esse termo existe como conseqüência da variação daindutância do sistema e representa a diferença entre a potência fornecida pela fonte eas potências dissipadas na resistência do circuito e armazenada no campo magnético.Assim:( ) ( ) 22 21d L x idL x1 2i = vi - Ri +2 dt dt         (1.16)Este termo corresponde à potência elétrica convertida em potência mecânica.Portanto:( )dtxdLi21dtdxFP 2cme == (1.17)( ) ( )dL x dL x dx=dt dx dt(1.18)Assim:( )2 dL x1F = i2 dx(1.19)A expressão (1.19) é muito importante e estabelece o princípio básico daconversão eletromecânica de energia. Estabelece que uma força é produzida quando a
  7. 7. 6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comindutância é variável com o deslocamento. Este princípio explica o funcionamento detodos os sistemas nos quais ocorre conversão eletromecânica de energia.O sistema representado na Fig. 1.1 possui uma só variável dependente, acorrente do circuito. Por isto o seu comportamento é representado apenas pelaexpressão (1.2). O sistema representado na Fig. 1.3 possui duas variáveisdependentes, a corrente e a posição relativa entre o núcleo e a bobina. Por esta razãoa equação (1.10) não basta para representar o seu comportamento.Deve-se obter a equação mecânica do sistema para completar o modelo.Considerando-se a Fig. 1.5vxiL(x)RFFFFieaFig. 1.5 – Circuito magnético simples com possibilidade de deslocamento do núcleo.dtdxDFa = ⇒ é a força de atrito.22idtxdmF = ⇒ é a força de inércia.eF ⇒ é a força externa aplicada sobre o núcleo( )2 dL x1F = i2 dx⇒ é a força elétrica.O equilíbrio mecânico estabelece que:aie FFFF ++= (1.20)Reunindo-se as equações elétrica e mecânica, obtém-se o modelo completorepresentado pelas equações (1.21) e (1.22):
  8. 8. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 7Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( ) 22e2dL x1 dx d xi - D - m = F2 dx dt dt(1.21)( ) ( ) VdtxdLidtdixLRi =++ (1.22)Como entradas ou variáveis independentes temos a tensão e a força externa.Como saídas ou variáveis dependentes temos a posição relativa x e a corrente i.Como parâmetros do sistema temos o coeficiente de atrito D, a massa donúcleo m, a resistência da bobina R e a sua indutância L(x).Podemos representar o sistema de acordo com a Fig. 1.6.- Parâmetros- ModeloSISTEMAv(t)Fe(t)x(t)i(t)Fig. 1.6 – Representação por bloco do sistema de equações.O sistema estudado, com a sua aparente simplicidade é representado por ummodelo relativamente complexo, na medida em que é não-linear e de difícil, senãoimpossível, tratamento analítico.1.4 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM UM ROLAMENTO.TORQUE DE RELUTÂNCIAConsideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.7:
  9. 9. 8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comRL( )Rotor0dqθθ+-vFig. 1.7 – Representação da máquina elétrica elementar de um enrolamento.O rotor desta máquina elementar pode girar em torno do eixo “O”. Quando orotor se desloca em relação à bobina, a indutância da bobina L(θ) varia.Por analogia com o sistema apresentado na Fig. 1.5, podemos obter a equaçãoelétrica do sistema, representado pela expressão (1.23):( ) ( )dtdLidtdiLRiVθ+θ+= (1.23)Do mesmo modo podemos estabelecer a expressão do torque elétricoproduzido pelo sistema( )dtdLi21dtdTP 2mecθ=θ= (1.24)Assim:( )2 dLd 1 dT = idt 2 d dtθθ θθ(1.25)Portanto:( )2 dL1T = i2 dθθ(1.26)A expressão (1.26) estabelece uma relação entre o torque produzido sobre orotor e a variação da indutância própria do enrolamento. É preciso enfatizar que para o
  10. 10. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 9Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comsistema apresentado, o torque depende da variação da indutância própria doenrolamento.A variação da indutância é decorrente da variação da relutância segundo o eixoda bobina, com o deslocamento angular do rotor. Por isto é denominado torque derelutância.Analisando-se a variação da indutância própria da bobina com a posição,constata-se que ela assume valores máximos quando θ é igual a 0oe 180o, assumevalores mínimos quando θ é igual a 90oe 270o.Pode-se representar ( )θL de acordo com a Fig. 1.8:90 135 1800 2702 LmL045L( )θθLqLdFig. 1.8 – Variação da indutância própria da bobina em função do ângulo θ.Tal função pode geralmente ser representada com boa precisão pelaexpressão (1.27):( ) 0m L2cosLL +θ=θ (1.27)Neste caso, em que a função L( )θ é conhecida, a expressão do torque podeser obtida numa forma mais adequada ao uso.Levando-se a expressão (1.27) em (1.26) obtém-se a expressão (1.28):( )0m2L2cosLdtdi21T +θ= (1.28)Assim, em módulo:θ= 2seniLT 2m (1.29)
  11. 11. 10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comDe acordo com a Fig. 1.8, as indutâncias de eixo direto e quadratura assumemos valores representados pelas expressões (1.30) e (1.31):m0d LLL += (1.30)m0q LLL +−=− (1.31)Assim:2LLLqdm−= (1.32)( )θ−= seni2LLT 2qd(1.33)A expressão (1.33) traduz o fato de que o torque só existe na medida em queas indutâncias de eixo direto e quadratura sejam diferentes. Pode-se ainda representara expressão do torque em função da relutância de eixo direto e quadratura, Rd e Rq.Sabe-se que:d2dRnL = (1.34)q2qRnL = (1.35)onde n representa o número de espiras da bobina. Assim:θ⋅−= 2seniR1R12nT 2qd2(1.36)Deste modo:θ⋅⋅−= 2seniRRRR2nT 2qddq2(1.37)Se o rotor for cilíndrico, tem-se que Rd = Rq e o torque produzido é nulo.
  12. 12. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 11Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comResta-nos ainda representar o modelo completo da máquina elementarrepresentada na Fig. 1.7.A equação mecânica é representada pela expressão (1.38):iea TTTT ++= (1.38)Assim, o modelo completo fica representado pelas equações (1.39) e (1.40).( ) 22e2dL1 d di - D - J = T2 d dt dtθ θ θθ(1.39)( )( )dLdiRi + L +i = vdt dtθθ (1.40)A representação do sistema em bloco aparece na Fig. 1.9.MÁQUINAv(t)Te(t)i(t)ELEMENTAR (t)θFig. 1.9 – Representação de máquina elementar de um enrolamento com as variáveis de entrada e saída.A tensão de alimentação e o torque externo de carga são variáveisindependentes. A corrente e a posição angular são as variáveis dependentes.O princípio aqui exposto é de grande importância prática. Basta lembrar oelevado número de equipamentos que nele se baseiam: motores a relutância,instrumentos de medição do tipo ferro móvel, etc.1.5 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS.TORQUE DE EXCITAÇÃOConsiderando a máquina elementar representada na Fig. 1.10. Admitindo queos dois enrolamentos S e R estejam situados sobre peças cilíndricas de sorte que as
  13. 13. 12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comsuas indutâncias próprias sejam independentes da posição. Em tal estrutura, somentea indutância mútua entre os dois enrolamentos depende da posição.SRv+-SvR+-i SiRθFig. 1.10 – Representação física de máquina elementar relativa de dois enrolamentos.As equações elétricas deste sistema, estabelecidas por inspeção estãorepresentadas a seguir:( ) ( )( )SR RS SS S Sd M id L iv = R i + +dt dtθ(1.41)( ) ( )( )SR SR RR R Rd M id L iv = R i + +dt dtθ(1.42)LS e LR são as indutâncias próprias.MSR é a indutância mútua existente entre os enrolamentos.Desenvolvendo-se as expressões (1.41) e (1.42), obtém-se as expressões(1.43) e (1.44).( )( )SRS RS S S S R SRdMdi div = R i + L +i + Mdt dt dtθθ (1.43)( )( )SR SRR R R R S SRdM didiv = R i + L +i + Mdt dt dtθθ (1.44)Multiplicando-se a expressão (1.43) por iS e (1.44) por iR, obtém-se asexpressões (1.45) e (1.46).
  14. 14. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 13Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )( )2 SRS RS S S S S S S R S SR SdMdi diP = v i = R i + L i +i i + M idt dt dtθθ (1.45)( )( )2 SR SRR R R R R R R S R SR RdM didiP = v i = R i + L i +i i + M idt dt dtθθ (1.46)PS e PR representam as potências instantâneas fornecidas pelas fontes dosenrolamentos.A potência total será:SR PPP += (1.47)Assim:( )( )( )( )2 SRS RS S S S R S SR S2 SR SRR R R R S R SR RdMdi diP = R i + L i +i i + M i +dt dt dtdM didi+R i + L i +i i + M idt dt dtθθθθ(1.48)Sabemos que:( )( ) ( )( )2 2S S R R SR S RSRS SR RS S R R SR S SR R S Rd 1 1L i + L i + M i i =dt 2 2dMdi didi di= L i + L i + M i + M i + i idt dt dt dt dt θ  θθ θ(1.49)Portanto:( ) ( )( )( ) ( )SRS SR RS S R R SR S SR R S R2 2S S R R SR S RSRS RdMdi didi diL i + L i + M i + M i + 2i i =dt dt dt dt dt1 1d L i + L i + M i idM2 2= + i idt dtθθ θ θ  θ (1.50)Portanto a potência total passa a ser representada pela expressão (1.51):( ) ( )2 2S S R R SR S R2 2 SRS S R R S R1 1d L i + L i + M i idM 2 2P = R i + R i + i i +dt dt θ θ   (1.51)
  15. 15. 14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comSeja:2 2r S S R RP =R i +R i (1.52)( )2 2S S R R SR S RL1 1d L i + L i + M i i2 2P =dt θ   (1.53)rP representa a potência dissipada nos resistores.LP representa a potência acumulada no campo magnético.Assim:( )SRmec S RdMP = i idtθ(1.54)mecP representa a quantidade de potência elétrica convertida em potênciamecânica. Isto decorre do fato que a potência fornecida é igual à potência dissipada,mais a potência acumulada, mais a potência convertida.Por outro lado:dtdTPmecθ= (1.55)Assim:( )SRS RdMd dT = i idt d dtθθ θθ(1.56)Então a expressão do torque será:( )SRS RdMT = i idθθ(1.57)A expressão (1.57) traduz o fato de que há torque eletromagnético se aindutância mútua variar com o deslocamento angular.O torque originado pela variação de indutância mútua é denominado torque deexcitação. É ele que explica o funcionamento da maior parte das máquinas elétricas,
  16. 16. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 15Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comcomo o motor de indução, o motor síncrono com excitação e o motor de correntecontínua.A indutância mútua entre os enrolamentos representados na Fig. 1.10, podeser estabelecida de diversas maneiras. A simples inspeção indica que ela é máximapara θ = 0 , nula para θ = π/2 e θ = 3π/2 e mínima para θ = π. A sua variação podeentão ser representada graficamente segundo Fig. 1.11.32Mπ2 ππ2π0θM ( )SR θFig. 1.11 – Variação da indutância mútua entre os enrolamentos em função de θ.É possível representá-la com boa precisão pela expressão (1.58).( ) θ=θ cosMM 0SR (1.58)Portanto o torque, em módulo, fica representado pela expressão (1.59).θ= seniiMT RS0 (1.59)A representação gráfica é mostrada na Fig. 1.12:2M i iπ2 π π32 π0θTR SFig. 1.12 – Variação do torque em função do ângulo θ.
  17. 17. 16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comCom as informações até aqui conseguidas, podemos estabelecer o modelocompleto do sistema em questão. Basta para isto agrupar as equações elétrica emecânica.Seja:iae TTTT ++= (1.60)Assim o modelo completo é representado pelas expressões (1.61), (1.62) e(1.63):( ) 2SRe S R 2dM d dT = i i - D - Jd dt dtθ θ θθ(1.61)( )( )SRS RS S S S R SRdMdi div = R i + L +i + Mdt dt dtθθ (1.62)( )( )SR SRR R R R S SRdM didiv = R i + L +i + Mdt dt dtθθ (1.63)A máquina possui como variáveis independentes, vS, vR e Te. Como variáveisdependentes as correntes iS , iR e o deslocamento angular θ.A representação em bloco está mostrada na Fig. 1.13.MÁQUINAv (t)Te(t)v (t)SR i (t)(t)θi (t)SRFig. 1.13 – Representação da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos com as variáveis de entrada esaída.
  18. 18. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 17Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com1.6 MÁQUINA ELEMENTAR ROTATIVA COM 2 ENROLAMENTOS.ROTOR COM PÓLOS SALIENTESConsideremos a máquina elementar representada na Fig. 1.14. A indutânciaprópria do enrolamento estatórico e a mútua entre os dois enrolamentos dependem doângulo θ .+-+-vSvRiSiRθFig. 1.14 – Representação física da máquina elétrica elementar de dois enrolamentos de pólos salientes.Como já foi demonstrado, o torque de excitação é obtido pela expressão (1.64):( )SRexc S RdMT = i idθθ(1.64)O torque de relutância é representado pela expressão (1.65):( )2R SdL1T = i2 dθθ(1.65)O torque total produzido pela máquina será a soma dos torques de relutância ede excitação. É representado pela expressão (1.66):( ) ( )2 S SRS S RdL dM1T = i +i i2 d dθ θθ θ(1.66)Considerando a variação de LS e MSR em função de θ representada pelasexpressões (1.67) e (1.68):
  19. 19. 18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( ) 2θ 0s ML θ =L cos +L (1.67)( ) θ=θ cosMM 0SR (1.68)Obtém-se:θ+θ= seniiM2seniLT RS02Sm (1.69)A máquina síncrona de pólos salientes possui torque de relutância e excitaçãoe é um bom exemplo de máquina cujo comportamento é traduzido por uma expressãocom a forma da expressão (1.69).1.7 MÁQUINA COM TRÊS ENROLAMENTOSOs resultados até aqui obtidos serão estendidos para uma máquina de trêsenrolamentos. Neste caso o modelo é representado pelas equações (1.70) à (1.73).( ) ( ) ( )1 1 12 2 13 31 1 1d L i d M i d M iv = R i + + +dt dt dt(1.70)( ) ( ) ( )12 1 2 2 23 32 2 2d M i d L i d M iv = R i + + +dt dt dt(1.71)( ) ( ) ( )13 1 23 2 3 33 3 3d M i d M i d L iv = R i + + +dt dt dt(1.72)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 12 13 231 2 3 1 2 1 3 2 3dL dL dL dM dM dM1 1 1T = i i i i i i i i i2 d 2 d 2 d d d dθ θ θ θ θ θ+ + + + +θ θ θ θ θ θ(1.73)Pode-se compactar as expressões precedentes, usando-se a notação matricial,As equações elétricas passam a ser representadas pela expressão (1.74).1 1 1 1 12 13 12 2 2 12 2 23 23 3 3 13 23 3 3v R 0 0 i L M M idv = 0 R 0 i M L M idtv 0 0 R i M M L i                  +                           (1.74)
  20. 20. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 19Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comVamos em seguida reescrever a equação do torque:( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )11 12 131 1 1 23112 2 232 2 2 23113 23 33 3 3 23idL dM dM1T = i i i i2 d d diidM dL dM1i i i i2 d d diidM dM dL1i i i i2 d d di θ θ θ   + + +   θ θ θ     θ θ θ   + + + +   θ θ θ     θ θ θ   + + +   θ θ θ    (1.75)A expressão (1.75) pode ainda ser representada segundo a expressão (1.76):[ ]131 1212312 21 2 3 2313 23 3dMdL dMd d d idM1 dM dLT = i i i i2 d d didM dM dLd d d  θ θ θ       θ θ θ      θ θ θ (1.76)Seja:123i= ii     i (1.77)123R 0 00 R 00 0 R     R = (1.78)[ ]t1 2 3= i i ii (1.79)
  21. 21. 20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )131 122312 213 23 3dMdL dMd d dd dMdM dLd d d ddM dM dLd d d  θ θ θ  = θ θ θ θ   θ θ θ L θ(1.80)Assim, o torque passa a ser representado pela expressão (1.82). As tensõessão representadas pela expressão (1.81):( )d= +dtLv Ri iθ(1.81)( )t d1T =2 dθLi iθ(1.82)As expressões (1.81) e (1.82) foram estabelecidas para uma máquina com trêsenrolamentos. Contudo podem ser empregadas para qualquer sistema onde existaconversão eletromecânica de energia.1.8 CONCLUSÕESPode-se sintetizar os resultados obtidos no desenvolvimento deste capítulo, doseguinte modo:(a) O deslocamento relativo das partes de um sistema implica emconversão eletromecânica de energia, quando há indutâncias própriasou mútuas, desse sistema, que sofrem variação com o deslocamento.(b) A representação matricial dos sistemas nos quais ocorre conversãoeletromecânica de energia leva a obtenção de modelos compactos defácil interpretação física e de fácil manuseio.
  22. 22. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 21Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com1.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOSI = 2APS = 5cm2= 40cm+ -vFig. 1.15 – Representação física do eletroimã doproblema 1.1) Um eletroímã de manutenção tem umasecção reta uniforme de 5cm2e umcomprimento total médio de 40cm(incluindo a armadura). O enrolamento éexcitado por uma corrente de 2A; supõe-se que o núcleo e a armadura possuem amesma permeabilidade. A permeabilidaderelativa (µr) é igual a 2500. Calcular onúmero de espiras necessário para resistira uma massa de 50kg. (Fig. 1.15)2) O relé mostrado na Fig. 1.16 tem uma armadura móvel de secção quadrada, comlado d, guiado por dois suportes não magnéticos de espessura q e comprimento d/2. Acarcaça é excitada por duas bobinas percorridas pela mesma corrente i. Cada bobinapossui N espiras. Supõe-se que a carcaça e a armadura possuem permeabilidadeinfinita.(a) Calcular a indutância do relé em função de x.(b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a armadura, emfunção de i e x.(c) Calcular a força quando o relé está “colado”.(d) Fazer uma aplicação numérica para d = 4cm; g = 0,1cm, N = 1000 ei = 0,5A
  23. 23. 22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comd+-vdxd/2ggNNIFig. 1.16 – Representação física do relé do problema 2.3) Na Fig. 1.17 está representada umapeça de aço, de massa M, suspensa poruma mola de constante K (N/m) esubmetida a influência de uma bobina cujaresistência é desprezível. Supõe-se que aindutância da bobina varia em função daposição x da massa, segundo a expressãoL (x) = A + Bx, sendo A e B constantes.v(t)i(t)Mx(t)+-Fig. 1.17 – Representação física do problema 3.(a) Escrever a equação elétrica do sistema, estabelecendo a tensão V(t)em função de i(t) e de x(t).(b) Calcular a força eletromagnética que atua sobre a massa M.(c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema.
  24. 24. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 23Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comθviiFig. 1.18 – Instrumento do tipo bobina móvel.4) Na Fig. 1.18, as duas bobinas sãoligadas eletricamente em série; uma estáalojada no estator fixo e a outra no rotormóvel. As indutâncias próprias e mútuasvalem:L1 = 0,2mH,L2 = 0,1mH,L3 = 0,05cos θ mHAs duas bobinas são percorridas por umacorrente senoidal de valor eficaz igual a5A (i = 2 5 sen ωt).(a) Calcular o valor médio do torque eletromagnético exercido sobre abobina móvel em função de θ.(b) Supor que a bobina móvel seja mantida no ângulo θ = 900, poração de uma mola espiral que exerce um torque dado pelaexpressão T = K(θ - π/2) com K = 0,004J/rd2. Calcular o valor doângulo “θ“ de equilíbrio em graus.5) Considere a Fig. 1.19. O ferro-móvel pode sofrer deslocamento na direção x. Ao sedeslocar sofre a ação da mola, cuja constante é Ks. A posição do ferro-móvel emrelação ao ferro-fixo é D, quando não há corrente no enrolamento. A massa do ferro-móvel é M. O atrito é por hipótese nulo. Efeitos secundários, como dispersão de fluxosão ignorados. O enrolamento possui N espiras e resistência elétrica nula.O enrolamento é alimentado por uma fonte tal que a densidade de fluxo noentreferro é dada por B(t) = Bm sen ωt.(a) Encontrar a expressão da força eletromagnética exercida sobre oferro-móvel em função de Bm, ω e t.(b) Escrever a equação da tensão de alimentação do enrolamento emfunção de Bm, ω e t.
  25. 25. 24 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO A TEORIA DA CONVERSÃO ELETROMECÂNICA DE ENERGIAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com(c) Obter a equação diferencial mecânica do sistema em termos de Bm,ω e t.Molav(t)xDAFig. 1.19 – Instrumento do tipo ferro-móvel.6) Seja a estrutura representada a seguir:RL( )Rotor0dqθθ+-vFig. 1.20 – Máquina elétrica elementar com um enrolamento.(a) Obter a expressão geral do torque.(b) Explicar fisicamente a origem do torque.(c) Seja L (θ) = Lmcos 2θ + L0. Obter a expressão final do torque.(d) Estabelecer o modelo completo para o estudo do comportamentodinâmico da estrutura.
  26. 26. CAPÍTULO2 ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICA2.1 INTRODUÇÃOA máquina de indução trifásica com rotor bobinado é simétrica. Apresentaestruturas magnéticas cilíndricas tanto no rotor quanto no estator. Os enrolamentos,tanto do rotor quanto do estator são iguais entre si e igualmente defasados.A máquina de indução com rotor em gaiola também é simétrica, pelas mesmasrazões expostas. Porém o número de fases do rotor é superior a três. De fato, cadabarra da gaiola constitui uma fase.Neste capítulo será modelada apenas a máquina trifásica, porém sem perda degeneralidade. O método pode ser empregado para qualquer número de fases econseqüentemente para o rotor em gaiola.Um desenho ilustrativo da máquina simétrica trifásica está representado na Fig.2.1.vS3vS2vS1iS3iS1iS2+-+-+-+++-- -iR3i R1iR2vR1vR2vR3Fig. 2.1 – Representação da máquina simétrica trifásica.
  27. 27. 26 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com2.2 HIPÓTESES DE ESTUDO E CONVENÇÕESPara que se possa representar matematicamente a máquina em estudo, serãofeitas algumas hipóteses simplificativas, sem as quais a formulação, se não se tornasseimpossível, tornar-se-ia extremamente complexa.A) Hipóteses de estudo e conseqüências:(a) Os três enrolamentos estatóricos são iguais entre si.(b) Os três enrolamentos rotóricos são iguais entre si.(c) Os ângulos elétricos entre os enrolamentos são iguais, tanto noestator quanto no rotor.(d) O entreferro é considerado constante.(e) O circuito magnético é considerado ideal. A saturação não existe.(f) A distribuição da densidade de fluxo magnético no entreferro éradial e senoidal.(g) A máquina será considerada bipolar.(h) Não serão consideradas as perdas magnéticas.Como conseqüência das hipóteses de estudo adotadas, podemos estabelecerque:(a) Os fluxos podem ser superpostos. Assim:totalφ = ∑=φ31iRi+∑=φ31iSi(2.1)sendo iRφ o fluxo produzido pelo enrolamento “i” do rotor e iSφ o fluxo produzido peloenrolamento “i” do estator.
  28. 28. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 27Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com(b) os enrolamentos do estator e do rotor possuem indutâncias própriasconstantes. Assim:1SL , 2SL , 3SL , 1RL , 2RL e 3RL são constantes.(c) como conseqüência da igualdade dos enrolamentos tem-se:SSSS LLLL 321===RRRR LLLL 321===SSSS RRRR 321===RRRR RRRR 321===(d) como conseqüência do defasamento igual entre os enrolamentos tem-se:SSSS MMMM 132312===RRRR MMMM 132312===onde:SM = indutância mútua entre dois enrolamentos do estatorRM = indutância mútua entre dois enrolamentos do rotor(e) as indutâncias mútuas entre os enrolamentos estatóricos e rotóricos sãofunções senoidais do deslocamento angular θ. Os enrolamentos do estator e do rotorestão representados simbolicamente na Fig. 2.2:
  29. 29. 28 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comS1S2S3R1R2R3θθFig. 2.2 – Representação simbólica dos enrolamentos do estator e do rotor.( )( )3/4cosMM3/2cosMMcosMMSRRSSRRSSRRS312111π+θ=π+θ=θ=(2.2)( )( )3/2cosMMcosMM3/4cosMMSRRSSRRSSRRS322212π+θ=θ=π+θ=(2.3)( )( )θ=π+θ=π+θ=cosMM3/4cosMM3/2cosMMSRRSSRRSSRRS332313(2.4)B) Convenções:A máquina será tratada como um receptor e as equações das tensões terão aforma representada pela expressão (2.5)aa a adv R idtφ= + (2.5)onde φ representa o fluxo total que envolve o enrolamento “a”.
  30. 30. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 29Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com2.3 EQUAÇÕES DOS FLUXOSAdotando a superposição, os fluxos estatóricos serão descritos pelasexpressões (2.6), (2.7) e (2.8).3312211113211 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.6)3322221123122 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.7)3332231132133 RRSRRSRRSSSSSSSS iMiMiMiMiMiL +++++=φ (2.8)Representando-se as equações (2.6), (2.7) e (2.8) matricialmente, obtém-se aequação (2.9):+=φφφ321332313322212312111321321RRRRSRSRSRSRSRSRSRSRSSSSSSSSSSSSSSSSiiiMMMMMMMMMiiiLMMMLMMML(2.9)Generalizando-se para os enrolamentos rotóricos e compactando-se arepresentação obtém-se as expressões (2.10):( )( )= += +S SS S SR RR RS S RR RL i L iL i L iφ θφ θ(2.10)onde:S S SS S SS S SL M MM L MM M L  =    SSL (2.11)R R RR R RR R RL M MM L MM M L  =    RRL (2.12)
  31. 31. 30 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )SRcos cos 2 /3 cos 4 /3M cos 4 /3 cos cos 2 /3cos 2 /3 cos 4 /3 cosθ θ + π θ + π  = θ + π θ θ + π  θ + π θ + π θ SRL θ (2.13)( ) ( )t=RS SRL Lθ θ (2.14)As matrizes (2.11) e (2.12) são chamadas de matrizes circulantes simétricas.2.4 EQUAÇÕES DAS TENSÕESNa medida que for possível será mantida a representação matricial nodesenvolvimento deste capítulo.Das leis da física, podemos escrever as expressões das tensões como estãorepresentadas nas expressões (2.15) e (2.16):ddt= +SS S Sv R iφ(2.15)ddt= +RR R Rv R iφ(2.16)onde:=SSSR000R000RSR (2.17)=RRRR000R000RRR (2.18)A seguir serão desenvolvidas as expressões dos fluxos:( )( )dddt dt+ θ=SS S SR RS L i L iφ(2.19)
  32. 32. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 31Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( ) ( )( )dd ddt dt dtθ= +SR RS SS SL iL iφ(2.20)( )( )d dd ddt dt dt dtθ= + θ +S SRS RSS SR RLi iL L iφ(2.21)mas( ) ( )d ddt dtθ ∂ θ θ=∂θSR SRL L(2.22)Assim, a derivada do fluxo do estator é representada pela expressão (2.23).( )( )d d d ddt dt dt dt∂ θ θ= + θ +∂θS SRS RSS SR RLi iL L iφ(2.23)A derivada do fluxo do rotor, obtida de maneira análoga, é representada pelaexpressão (2.24):( )( )d dd ddt dt dt dt∂ θ θ= + θ +∂θR RSSRRR RS SLiiL L iφ(2.24)Levando-se as expressões das derivadas dos fluxos (2.23) e (2.24) nasexpressões (2.15) e (2.16), obtém-se as expressões das tensões, (2.25) e (2.26):( )( )d d ddt dt dt∂ θ θ= + + θ +∂θSRS RS S S SS SR RLi iv R i L L i (2.25)( )( )dd ddt dt dt∂ θ θ= + + θ +∂θRSSRR R R RR RS SLiiv R i L L i (2.26)2.5 EQUAÇÃO DO TORQUEComo foi estabelecido no capítulo 1, o torque de excitação, quando se trata dedois enrolamentos, é determinado pela expressão (2.27):
  33. 33. 32 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )dTdt= SRS RMi iθ(2.27)Na máquina simétrica trifásica há três enrolamentos no estator e três no rotor.Adicionando os torques produzidos pelos seis enrolamentos, obtém-se a expressão(2.28):3 11 1 2 11 1 2 33 21 2 2 22 1 2 31 3 2 3 3 33 1 2 3S RS R S RR S S SS RS R S RR S S SS R S R S RR S S SMM MT = i i +i +i +MM M+i i +i +i +M M M+i i +i +i∂∂ ∂  ∂θ ∂θ ∂θ ∂∂ ∂  ∂θ ∂θ ∂θ ∂ ∂ ∂  ∂θ ∂θ ∂θ (2.28)Representando-se na forma matricial, obtém-se a expressão (2.29):[ ]θ∂∂=321332313322212312111321RRRRSRSRSRSRSRSRSRSRSSSSiiiMMMMMMMMMiiiT (2.29)Seja:( )1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3S R S R S RS R S R S RS R S R S RM M MM M MM M M  =    SRL θ (2.30)123RRRiii  =    Ri (2.31)123SSSiii  =    Si (2.32)A expressão do torque será então representada pela expressão (2.33).
  34. 34. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 33Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )( )tT∂=∂θSRS RLi iθ(2.33)Transpondo-se a expressão (2.33), obtém-se a expressão (2.34):( )( )tT∂=∂θRSR SLi iθ(2.34)Adicionando-se as expressões (2.33) e (2.34) e dividindo-se por dois obtém-sea expressão (2.35).( )( ) ( )( )t t1T2 ∂ ∂= +  ∂θ ∂θ SR RSS R R SL Li i i iθ θ(2.35)A expressão (2.35) pode ser reescrita segundo a expressão (2.36).( )( )( )t t01T02   ∂ =      ∂θ    SSRS RRRSiLi iiLθθ(2.36)As matrizes LSS e LRR são formadas por termos independentes da posiçãoangular θ. Por isto:0∂ ∂= =∂θ ∂θSS RRL L(2.37)Pode-se consequentemente estabelecer que:( )( )( )( )00   ∂ ∂=      ∂θ ∂θ   SR SS SRRS RS RRL L LL L Lθ θθ θ(2.38)Seja:( )tttRS iii = (2.39)=RSiii (2.40)
  35. 35. 34 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )( )( ) =    SS SRRS RRL LLL Lθθθ(2.41)Assim o torque será representado pela expressão (2.42):( )t1T2∂=∂θLi iθ(2.42)2.6 EQUAÇÕES FINAIS DA MÁQUINAReunindo-se as expressões das tensões e do torque, (2.25) e (2.26) e (2.42)respectivamente, obtém-se o modelo completo da máquina, representado pelasexpressões (2.43), (2.44) e (2.45).( )( )d d ddt dt dt∂ θ θ= + + θ +∂θSRS RS S S SS SR RLi iv R i L L i (2.43)( )( )dd ddt dt dt∂ θ θ= + + θ +∂θRSSRR R R RR RS SLiiv R i L L i (2.44)( )t1T2∂=∂θLi iθ(2.45)As equações elétricas podem ser reescritas segundo a expressão (2.46):( )( )( )( )0 0 d0 0 dt0 0d d0 0dt dt        = + +                              ∂ θ+ +            ∂θ      S S S SS SR S R RR RS SSR SRR RRS RSv R i L iv R i L ii iL Li iL Lθ θθ θ(2.46)As expressões (2.46) podem ser reescritas de uma forma mais compacta,segundo a expressão (2.47):( )( )d ddt dt∂ θ= + +∂θLiv Ri L iθθ (2.47)
  36. 36. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 35Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPois:=RSRRR00(2.48)( )( )( )( )0 00 0    + =              SS SR SS SRRR RS RS RRL L L LL L L Lθ θθ θ(2.49)Reunindo-se as expressões (2.47) e (2.42) obtém-se o modelo da máquinasimétrica na sua forma mais compacta, representada pelas expressões (2.50):( )( )( )tp1T2•∂= + + θ∂θ∂=∂θLv Ri L i iLi iθθθ(2.50)2.7 OUTRA TÉCNICA PARA OBTENÇÃO DA EXPRESSÃO DOTORQUEConsideremos a expressão das tensões (2.51):( )( )p•∂= + + θ∂θLv Ri L i iθθ (2.51)Pré-multiplicando-se todos os termos da equação pelo vetor correntetransposto obtém-se a equação (2.52):( )( )t t t tp•∂= + + θ∂θLi v i Ri i L i i iθθ (2.52)Por outro lado:( ) ( )( )( )t t t1 1 d 1 1 dp2 2 dt 2 2 dt•∂ = + θ+ ∂θ tLi ii L i i L + i i L iθθ θ θ (2.53)mas:
  37. 37. 36 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( ) ( )tt1 d 1 d2 dt 2 dti ii L = L iθ θ (2.54)Assim:( )( )( )t t td 1 1pdt 2 2∂  = − θ+  ∂θ  Lii L i i i L iiθθ θ (2.55)Substituindo-se a expressão (2.55) em (2.52), obtém-se a expressão (2.56):( )( )t t t t1 1p2 2•∂ = + + θ ∂θ Li v i Ri i L i i iθθ (2.56)O último termo da expressão (2.56) representa a parcela de potência elétricaabsorvida pela máquina e convertida em potência mecânica. Assim:( )tm1P2•∂= θ∂θLi iθ(2.57)portanto:( )t1T2∂=∂θLi iθ(2.58)Fica assim estabelecida a equação do torque, com o emprego de um métododiferente daquele empregado no item 2.5.Os diversos termos das expressões (2.47) podem ser interpretadosfisicamente. Assim:(a) iR → Representa as quedas de tensão nas resistências dosenrolamentos da máquina.(b) ( )pL iθ → Representa as tensões geradas nos enrolamentos, causadaspela variação das correntes. São tensões variacionais.(c)( ) •∂θ∂θLiθ→ São as tensões geradas nos enrolamentos, quando hádeslocamento relativo entre eles. São denominadas tensões rotacionais.
  38. 38. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 37Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comQuando•θ = 0 , ou seja, quando o rotor estiver em repouso, o modelo passa aser representado pela expressão (2.59):( )p= +v Ri L iθ (2.59)que representa um transformador.2.8 CONCLUSÕESAs equações (2.50) são não lineares e de difícil solução. Em geral, não sãoempregadas no estudo do comportamento da máquina.Por isto, foram desenvolvidas técnicas baseadas em transformações lineares,com o objetivo de estabelecer modelos mais simples a partir do modelo originalestabelecido neste capítulo. Tais técnicas serão estudadas nos capítulos seguintes.Em alguns trabalhos, destinados a determinar o comportamento da máquina deindução associada a certos tipos de conversores estáticos, o modelo representadopelas equações (2.50) foram empregados. Tal tipo de estudo porém é muito particular esó pode ser realizado com o emprego de computadores.
  39. 39. 38 CAPÍTULO 2. ESTUDO DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com2.9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS1) Seja uma máquina simétrica trifásica, alimentada em corrente no estator e no rotor.As correntes estatóricas e rotóricas são dadas pelas expressões seguintes:( )1S S S Si I cos t= ω + θ( )2S S S Si I cos t 2 /3= ω + θ − π( )3S S S Si I cos t 4 /3= ω + θ − π( )1R R R Ri I cos t= ω + θ( )2R R R Ri I cos t 2 /3= ω + θ − π( )3R R R Ri I cos t 4 /3= ω + θ − πO rotor gira com velocidade mω em relação ao estator. Será considerada umamáquina de indução de dois pólos. Assim:mRS ω+ω=ωPede-se a expressão final do torque desenvolvido pela máquina.
  40. 40. CAPÍTULO3 ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ03.1 INTRODUÇÃOO primeiro passo a ser dado na obtenção de modelos mais adequados para aanálise da máquina de indução é o estudo da transformação 0αβ . Consiste numatransformação linear que diagonaliza as matrizes circulantes simétricas, que aparecemna formulação dos modelos da máquina trifásica simétrica.Fisicamente a transformação 0αβ transforma a máquina simétrica trifásicanuma máquina simétrica bifásica, com mesma potência mecânica, torque, velocidade enúmero de pólos. Por isto é também conhecida com o nome de transformação trifásica-bifásica.Esta transformação é muito útil também no estudo de transitórios detransformadores simétricos e reatores trifásicos.A alimentação pode ser não-simétrica e não-senoidal, desde que a máquinaseja simétrica.3.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Seja duas estruturas, uma trifásica e uma bifásica, representadas Fig. 3.1 eFig. 3.2:Os enrolamentos que compõem a estrutura trifásica possuem n3 espiras e osque compõem a estrutura bifásica possuem n2 espiras.Cada enrolamento, ao ser percorrido por uma corrente produz uma forçamagnetomotriz F.
  41. 41. 40 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comS1S2S3F2F1F3n3n3n3iS2iS1iS3Fig. 3.1 – Circuito trifásico simétrico.SSFn2iSF n2iSαααβββFig. 3.2 – Circuito bifásico simétrico.Será estabelecida uma transformação que permita encontrar Fα e Fβ em funçãode F1, F2 e F3, de sorte que a estrutura bifásica produza uma força magnetomotrizresultante com efeito semelhante à resultante da estrutura trifásica.Decompondo-se vetorialmente F1, F2 e F3 segundo os eixos Sα e Sβ encontra-se as expressões (3.1) e (3.2).( ) ( )1 2 3S S SF F + F cos 2 /3 F cosSα= π + 4π/3 (3.1)( ) ( )2 3S S SF = 0 + F sen 2 /3 + F sen 4 /3βπ π (3.2)Assim:123SSSSSFF 1 1 2 1 2FF 0 3 2 3 2Fαβ − −     =     −     (3.3)mas:S S2S SF inF iα αβ β   =      (3.4)e1 12 23 3S SS 3 SS SF iF n iF i      =         (3.5)
  42. 42. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 41Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comSubstituindo-se as expressões (3.4) e (3.5) na expressão (3.3) encontramos aexpressão (3.6):123SS 3SS 2Sii 1 -1 2 -1 2nii n 0 3 2 - 3 2iαβ      =          (3.6)Para que a matriz definida pela expressão (3.6) possa ser invertida, vamosdefinir a corrente i0 segundo a expressão (3.7):( )0 1 2 33S S S S2ni a i i in= + + (3.7)Levando-se (3.7) em (3.6) obtém-se (3.8):0 123S S3S S2S Si a a a ini 1 1 2 1 2 ini i0 3 2 3 2αβ           = − −            −    (3.8)Seja a matriz definida pela expressão (3.9):32a a an1 1 2 1 2n0 3 2 3 2−  = − −  − 1A (3.9)Para que a potência seja invariante (apêndice), deve-se satisfazer a seguinterelação:( ) 1t11AA−=−−(3.10)out1AA =−(3.11)ou− −=t1 1A A I (3.12)
  43. 43. 42 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comsendo I a matriz identidade, ou:1 0 00 1 00 0 1  =    I (3.13)Portanto:232a 1 0a a a 1 0 0n1 1 2 1 2 a 1 2 3 2 0 1 0n0 0 10 3 2 3 2 a 1 2 3 2         − − − =           − − −     (3.14)Assim:2232n3 a 1n =  (3.15)( ) 141411nn223=++(3.16)Portanto:32nn23= (3.17)e21a = (3.18)Assim a matriz torna-se:−−−=−2323021211212121321A (3.19)Seja:
  44. 44. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 43Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com=βααβSSSiii 00Si (3.20)e=321321SSSiiiSi (3.21)3210 S1S iAi −=αβ(3.22)αβ= 0321 SS iAi (3.23)A matriz 1A−define a transformação 0αβ ou trifásica-bifásica.3.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Consideremos um enrolamento trifásico simétrico (estator de um motor deindução com enrolamento rotórico aberto).Sejam nulas as resistências desse enrolamento. Consideremos a expressãodos fluxos, representada por (3.24):=φφφ321321iiiLMMMLMMML(3.24)ou1 2 3 1 2 3= Liφ (3.25)Seja:3210 φφ 1A−αβ = (3.26)
  45. 45. 44 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com0 1 2 3αβ−= 1i A i (3.27)Assim:321321 iLAA 11 −−=φ (3.28)αβ−αβ = 00 iALA 1φ (3.29)Seja:ALAL 1N−= (3.30)Assim:αβαβ = 00 iLNφ (3.31)Calculemos a matriz NL :−−−−−=2321212321210121LMMMLMMML23230212112121213232NL (3.32)−−+=ML000ML000M2LNL (3.33)Seja:0 L 2M= +L (3.34)S L M= −L (3.35)Assim:0 0 0SS0 0 i0 0 i0 0 iα αβ β     φ     φ =          φ     LLL(3.36)
  46. 46. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 45Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comAs novas indutâncias são definidas do seguinte modo:0L - indutância cíclica homopolarSL - indutância cíclicaComparando-se as expressões (3.24) e (3.36), verifica-se que a matrizindutância foi diagonalizada.A matriz indutância L original é do tipo circulante simétrica, que aparece naformulação dos modelos das máquinas elétricas. Daí a importância prática datransformação 0αβ .3.4 ESTUDO DO REATOR TRIFÁSICO SIMÉTRICOSerá empregada, a título de exemplo, a transformação 0αβ na análise de umreator trifásico simétrico, representado na Fig. 3.3:v1v2v3i1i2i3RLM222R3R1L3L13M13M12Fig. 3.3 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico.São conhecidos os parâmetros R, L e M e as tensões v1(t), v2 (t) e v3 (t).Deseja-se determinar as correntes i1 (t), i2 (t) e i3 (t).A equação das tensões é representada pela expressão (3.37).
  47. 47. 46 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com123 123 123p= +v Ri Li (3.37)Pré-multiplicando-se os termos de (3.37) por A-1obtém-se a expressão (3.38):321321321 p iLAiRAVA 111 −−−+= (3.38)Assim:0 0 0pαβ αβ αβ− −= +1 1v A RAi A LAi (3.39)Seja:−1NR = A RA (3.40)−1NL = A LA (3.41)Assim:0 N 0 N 0pαβ αβ αβ= +V R i L i (3.42)mas,=R000R000RNR (3.43)0SS0 00 00 0  =    NLLLL(3.44)O modelo do reator trifásico simétrico será então descrito pela expressão (3.45)0 0 0SSv R p 0 0 iv 0 R p 0 iv 0 0 R p iα αβ β   +     = +        +    LLL(3.45)
  48. 48. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 47Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comConstata-se que a matriz impedância fica diagonalizada. O reator é entãorepresentado por três equações diferenciais de 1ª ordem, representadas pelasexpressões (3.46).( )( )( )0 0 0SSv R p iv R p iv R p iα αβ β= += += +LLL(3.46)Fisicamente o reator trifásico é convertido em três reatores monofásicosindependentes, representados na Fig. 3.4.v0i0R L0vαiαR LαvβiβR LβFig. 3.4 – Modelo elétrico equivalente para o reator trifásico usando a transformada αβ0.Na solução de um problema particular do reator conhecendo-se v1, v2 e v3determina-se v0, vα e vβ. Com o emprego das equações (3.46) determina-se i0, iα e iβAplicando-se a transformação inversa, determina-se i1, i2 e i3.
  49. 49. 48 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com3.5 EMPREGO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0 NO ESTUDO DOTRANSFORMADORSeja um transformador trifásico simétrico, cuja estrutura está representada naFig. 3.5.MSRS1S2S3R1R3R2Fig. 3.5 – Estrutura do transformador trifásico simétrico.O circuito correspondente está representado na Fig. 3.6.vS1vS2vS3iS1iS2iS3RS1RS2RS3L S1L S2L S3iR3iR2iR1L R3L R2L R1RR3RR2RR1Fig. 3.6 – Circuito elétrico equivalente do transformador trifásico simétrico.O transformador é representado pelas equações (3.47).
  50. 50. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 49Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comd ddt dtdddt dt= + += + +S RS S S SS SRSRR R R RR RSi iv R i L Liiv R i L L(3.47)onde:=SSSR000R000RSR (3.48)=RRRR000R000RRR (3.49)=SSSSSSSSSLMMMLMMMLSSL (3.50)=RRRRRRRRRLMMMLMMMLRRL (3.51)−−−−−−==SRSRSRSRSRSRSRSRSRM2M2M2MM2M2M2MMRSSR LL (3.52)Aplicando-se a transformação 0αβ nas equações (3.47), obtém-se asequações (3.53) e (3.54):0 00 0d ddt dtαβ αβαβ αβ− − −= + +S R1 1 1S S S SS SRi iv A R Ai A L A A L A (3.53)0 00 0dddt dtαβ αβαβ αβ− − −= + +SR1 1 1R R R RR SRiiv A R Ai A L A A L A (3.54)
  51. 51. 50 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comAs expressões (3.53) e (3.54) podem ser reescritas segundo as expressões(3.55) e (3.56).0 0N N N0 0d ddt dtαβ αβαβ αβ= + +S RS S S SS SRi iv R i L L (3.55)0 0N N N0 0d ddt dtαβ αβαβ αβ= + +R RR R R RR RSi iv R i L L (3.56)As matrizes parâmetros transformados estão representadas pelas expressões(3.57), (3.58), (3.59), (3.60) e (3.61):SSSR 0 00 R 00 0 R  =    NSR (3.57)=RRRR000R000RNRR (3.58)SSS0 00 00 0  =    SSLLLL(3.59)RRR0 00 00 0  =    RRLLLL(3.60)==SRSRm000m0000RSSR LL (3.61)onde:S0 S SL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do primário.R0 R RL 2M= +L ⇒ indutância cíclica homopolar do secundário.
  52. 52. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 51Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comS S SL M= −L ⇒ indutância cíclica do primário.R R RL M= −L ⇒ indutância cíclica do secundário.SR SR3m = M2⇒ indutância mútua cíclica.O modelo completo do transformador é representado pelas expressões (3.62).0 0000 0S S SSS S S SRSS S S SRSRRR RSR RRR RSRRR Rv i p 0 0 0 0 0R 0 0 0 0 0v i 0 p 0 0 pm 00 R 0 0 0 0v i 0 0 p 0 0 pm0 0 R 0 0 00 0 0 pL 0 00 0 0 R 0 0v i0 pm 0 0 pL 00 0 0 0 R 0v i0 0 pm 0 0 p0 0 0 0 0 Rv iα αβ βα αβ β                   = +                     LLL00SSSRRR RiiiiiL iαβαβ                     (3.62)Como as matrizes parâmetros são diagonalizadas, o modelo (3.62) pode serreescrito segundo as equações (3.63), (3.64) e (3.65).0 0 0 00 0 0 0S S S SSRR R R Rv i 0 iR 0p0 Rv i 0 i        = +                       LL(3.63)00S S S SSRR R R Rv i 0 iR 0p0 Rv i 0 iα α αα α α        = +                       LL(3.64)00S S SSSRR R R Rv i i0R 0p0 Rv i 0 iβ β ββ β β       = +                     LL(3.65)As equações (3.63), (3.64) e (3.65) representam três transformadoresmonofásicos independentes, representados pela Fig. 3.7, Fig. 3.8 e Fig. 3.9.iS0iR0vS0vR0+-Fig. 3.7 – Seqüência 0.
  53. 53. 52 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comiSαiRαvSαvRα+-Fig. 3.8 – Seqüência α.iSβiRβvSβvRβ+-Fig. 3.9 – Seqüência β.Desse modo, a transformação 0αβ apresenta a importante propriedade deconverter um transformador trifásico simétrico em três transformadores monofásicosindependentes, tornando a análise muito simples.3.6 APLICAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO TRIFÁSICA-BIFÁSICA NASEQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA TRIFÁSICANo capítulo 2 foram estabelecidas as equações da máquina simétrica trifásica,representadas neste capítulo pelas expressões (3.66), (3.67) e (3.68).( )( )d d ddt dt dt∂ θ θ= + + θ +∂θSRS RS S S SS SR RLi iv R i L L i (3.66)( )( )dd ddt dt dt∂ θ θ= + + θ +∂θRSSRR R R RR RS SLiiv R i L L i (3.67)( )t1T2∂=∂θLi iθ(3.68)
  54. 54. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 53Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comAplicando-se a transformação A-1na expressão (3.66) obtém-se a expressão(3.69):( ) ( )0 000d d ddt dt dtαβ αβ− − − − −αβαβ∂ θ= + +∂θS R1 1 1 1 1S S S SS SR SR Ri iA v A R Ai +A L A A L A A L Aiθ θ (3.69)Definindo-se:N−= 1S SR A R A (3.70)N−= 1R RR A R A (3.71)N−= 1SS SSL A L A (3.72)N−= 1RR RRL A L A (3.73)( ) ( )N−= 1SR SRL A L Aθ θ (3.74)( ) ( )N−= 1SR SRL A L Aθ θ (3.75)Substituindo as últimas expressões em (3.69) e generalizando os resultadospara a expressão da tensão rotórica obtém-se as expressões (3.76) e (3.77), que sãoas equações elétricas da máquina nas variáveis 0αβ .( )( )0 0N N 00 0NNd d ddt dt dtαβ αβαβαβ αβ∂ θ= + + +∂θS R SRS S S SS SR Ri i Lv R i L L iθθ (3.76)( )( )0 0N N0 0 0Ndd ddt dt dtαβ αβαβ αβ αβ∂ θ= + + +∂θSR RS NR R R RR RS Sii Lv R i L L iθθ (3.77)Para se obter a expressão do torque, adota-se o prossedimento a seguir:( )tT∂=∂θSRS RLi iθ(3.78)0αβ= SS iAi (3.79)
  55. 55. 54 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comtSS Aiitt0αβ= (3.80)( )00tT αβαβ∂=∂θSRtS RLi A Aiθ(3.81)( )( )00tT αβαβ∂=∂θtSRS RA L Ai iθ(3.82)Assim:( )00t NT αβαβ∂=∂θSRS RLi iθ(3.83)As matrizes NSR , NRR , NSSL e NRRL são as mesmas obtidas no estudo dotransformador.No procedimento que segue, é estabelecida a matriz ( )NRSL θ .Substituindo-se as matrizes -1A , A e ( )SRL θ na expressão (3.75), obtém-se aexpressão (3.84).( ) SRN1 1 1 12 41 0cos cos cos2 2 2 23 32 1 1 4 2 1 1 3M 1 cos cos cos3 2 2 3 3 2 222 43 3 1 1 3cos cos cos03 32 2 2 22    π π   θ θ + θ+                  π π     = − − θ+ θ θ+ −              π π      θ + θ + θ− − −             SRL θ (3.84)Realizando-se os produtos matriciais obtém-se as matrizes (3.85) e (3.86):( ) SR SRNSR SR0 0 00 m cos m sen0 m sen m cos  = θ − θ  θ θ SRL θ (3.85)( ) SR SRNSR SR0 0 00 m cos m sen0 m sen m cos  = θ θ  − θ θ RSL θ (3.86)
  56. 56. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 55Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPois( ) ( )N Nt=RS SRL Lθ θ (3.87)Com:( )( ) ( )0 N N0 0Ndd ddt dt dtαβαβ αβ∂ θ+ =∂θSR SRRSR R RL LiL i iθ θθ (3.88)pode-se escrever o modelo final sob a forma de variáveis 0αβ da máquina simétricatrifásica, segundo as expressões (3.89):( )( )( )0 NN N 00 00 NN N0 0 0N00tdddt dtdddt dtTαβαβαβ αβαβαβ αβ αβαβαβ= + += + +∂=∂θSRSS S S SS RSRRR R R RR SSRS RLiv R i L iLiv R i L iLi iθθθ(3.89)O modelo desenvolvido, obtido a partir das expressões (3.89) é representadopelas expressões (3.90).Nelas verifica-se a presença do ângulo θ nas matrizes indutâncias mútuas. Poristo o modelo é não linear e de difícil solução analítica.0 00 000S SSS SSS SSRR RRR RRR RSS SR SRS SR SRRSR SR Rpv iR 0 0v i0 R 0 0v i0 0 RR 0 0v i0 0 R 0v i0 0 Rv i0 0 0 0 00 0 0 m cos m sen0 0 0 m sen m cos0 0 0 0 00 m cos m sen 0 0α αβ βα αβ β= ++                                         θ − θθ θθ θLLLLL00SSSRRSR SR RRiiiii0 m sen m cos 0 0iαβαβ                         − θ θ     L
  57. 57. 56 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com00RSR S S S RRi0 0 0T m i i i 0 sen cos i0 cos sen iα β αβ     = − θ − θ       θ − θ    (3.90)No capítulo seguinte será introduzida a transformação de PARK, destinada asimplificar mais o modelo da máquina simétrica trifásica.O efeito da transformação 0αβ aplicado á máquina simétrica trifásica pode sermelhor evidenciado com o auxílio da Fig. 3.10 e Fig. 3.11:S1S2S3R1R2R3θθS1iS2iS3iR1iR2iR3iFig. 3.10 – Motor trifásico.SβSαRβRαθRβi SβiRαiSαiFig. 3.11 – Motor bifásico equivalente.Portanto, a máquina trifásica real é transformada numa máquina bifásicaimaginária. A ausência dos enrolamentos de seqüência zero ou homopolar seráexplicada no item 3.7.
  58. 58. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 57Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com3.7 INTERPRETAÇÃO DA INDUTÂNCIA CÍCLICA HOMOPOLARSeja a máquina simétrica com enrolamentos rotóricos abertos e enrolamentosestatóricos submetidos a uma mesma tensão, de acordo com o que está representadona Fig. 3.12.iSiiSSiSvS123S1S2S3R1R2R3Fig. 3.12 – Máquina simétrica trifásica com enrolamentos rotóricos abertos sendo os estatóricos alimentadoscom a mesma tensão.1 2 3S S S Sv v v v= = = (3.91)Levando-se as tensões 1Sv , 2Sv e 3Sv da expressão (3.91) na expressão (3.92),obtém-se os resultados a seguir:0 1 2 3αβ−= 1S Sv A v (3.92)Sv 0α= (3.93)Sv 0β= (3.94)0S Sv 3 v= (3.95)Considerando a máquina em regime permanente, tem-se:00SS0vi2 f=π L(3.96)
  59. 59. 58 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )0 1 2 3S S S S1i i i i3= + + (3.97)Então3ii SS0= (3.98)Levando (3.98) e (3.95) em (3.96), obtém-se:S S0i 3 v2 f3=π L(3.99)Assim:SS03viX= (3.100)onde:0 0X 2 f= π L (3.101)Pode-se imediatamente concluir que a corrente que circula na fonte ficalimitada apenas pela reatância cíclica homopolar.Para facilitar a interpretação física, será considerada a Fig. 3.11:ROTORFS1FS3FS2iS1iS3iS2Fig. 3.13 – Estrutura de uma máquina simétrica trifásica.
  60. 60. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 59Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comComo as correntes 1Si , 2Si e 3Si , são iguais, as três forças magnetomotrizes,1SF , 2SF e 3SF são iguais em módulo e em fase no tempo. Assim os fluxos são nulos,com exceção dos fluxos de dispersão, que se fecham pelo ar e que estãorepresentados na Fig. 3.13.Pode-se então concluir que a indutância de seqüência zero ou cíclicahomopolar é uma imagem da indutância da dispersão.Consideramos as equações completas de seqüência zero, obtidas a partir dasequações (3.90).0 0 0 00 0 0 0S S S SSRR R R Rv i p 0 iR 00 Rv i 0 p i        = +                       LL(3.102)Segundo as expressões (3.102) não há indutância mútua entre ascomponentes de seqüência homopolar do estator e do rotor.Quando não há fio neutro na alimentação da máquina simétrica trifásica astensões e correntes homopolares não existem.Quando há neutro e a alimentação for balanceada, existem componenteshomopolares. Contudo elas não produzem torque, como pode ser constatado a partirdas expressões (3.90).
  61. 61. 60 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com3.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOSvR ii i12 3LSLSR RLSFig. 3.14 – Rotor trifásico com uma fase em aberto.1) Seja a estrutura representada na Fig.3.14, com os seguintes parâmetros:R = 1ΩSL = 0,280H (indutância cíclica)f = 60HzV = 380V (valor eficaz)O circuito é considerado em regimepermanente. Determinar as expressões eos valores das correntes nas fases daestrutura.2) Repetir os cálculos para a Fig. 3.15, representada a seguir:iv11LSLSLSRRRvi2v3v++ +- --+-3 2iFig. 3.15 – Rotor trifásico com duas fases em paralelo e em série com a terceira sendo alimentadas por umafonte de tensão única.3) Seja a estrutura representada na Fig. 3.16:
  62. 62. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 61Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comi 1v1+-i 2v2+-i 3v3+-Fig. 3.16 – Estrutura de um reator trifásico.onde: 50RRRR 321 ,==== Ω ,60LLLL 321 ==== mH (próprias)=M -30mH (mútuas)No instante t = 0 aplicam-se as seguintes tensões nos enrolamentos:1v 50V= ; 2v 30V= ; 3v 100V=Empregando a transformação 0αβ , determinar as correntes nos enrolamentosem função do tempo.4) Seja um reator trifásico, representado esquematicamente pela Fig. 3.17:vvvSSS iii123123RLSMFig. 3.17 – Circuito elétrico equivalente para o reator trifásico.Os parâmetros são os mesmos do exercício 3. Os interruptores 1S , 2S e 3S sãofechados simultaneamente.
  63. 63. 62 CAPÍTULO 3. ESTUDO DA TRANSFORMAÇÃO αβ0Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com123v Vcos t2v Vcos t34v Vcos t -3= ωπ = ω −  π = ω  onde377=ω rad/sv 2 220= voltsDeterminar as correntes ( )ti1 , ( )ti2 e ( )ti3 .5) Seja o transformador trifásico, representado na Fig. 3.18.S1 S2 S3R3R2R1iS1iS2iS3iR1iR2iR3v1 v2 v3Fig. 3.18 – Transformador trifásico com um curto-circuito na saída de duas fases.É estabelecido um curto circuito entre as fases 2 e 3 do secundário. Determinara expressão da corrente de curto circuito, empregando a transformação 0αβ , sabendoque:
  64. 64. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 63Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com123v Vcos t2v Vcos t34v Vcos t -3= ωπ = ω −  π = ω  
  65. 65. CAPÍTULO4A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINASIMÉTRICA4.1 INTRODUÇÃOA transformação de PARK tem uma importância muito grande no estudo dasmáquinas elétricas. Consiste de uma transformação linear que simplifica as equaçõesdas máquinas, introduzindo um conjunto de variáveis hipotéticas.Fisicamente, transforma a máquina bifásica com enrolamentos estatóricos fixose enrolamentos rotóricos girantes, em enrolamentos estatóricos fixos e rotóricospseudo-estacionários.4.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARKFoi demonstrado no capítulo 3, que sob a transformação 0αβ , os fluxos e ascorrentes ficam relacionados pelas equações (4.1).0 0000 0S SSS SS SR SRS SS SR SRRR RSR SR RR RSR SR RR Ri0 0 0 0 0i0 0 0 m cos m seni0 0 0 m sen m cos0 0 0 0 0 i0 m cos m sen 0 0 i0 m sen m cos 0 0iα αβ βα αβ βφ        φ   θ − θ    φ  θ θ   =     φ      θ θ   φ     − θ θ     φ   LLLLLL(4.1)Os fluxos estatóricos podem ser reescritos segundo a expressão (4.2).0 0 00S S RSS S S SR SR RS SR SRS S Ri i0 0 0 0 00 0 i 0 m cos m sen i0 0 0 m sen m cosi iα α αβ β β     φ            φ = + θ − θ                θ θφ             LLL(4.2)
  66. 66. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 65Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comVamos definir um novo conjunto de correntes rotóricas, segundo a expressão(4.3):φφφθθθ−θ=φφφβαRRRRRR 0qd0cossen0sencos0001(4.3)Assim:00dq αβ−= R1R iBi (4.4)onde:θθθ−θ=−cossen0sencos00011B (4.5)A matriz B-1define a transformação de PARK.4.3 PROPRIEDADES DA TRANSFORMAÇÃO DE PARKVamos representar a expressão (4.1) na forma compacta, segundo asexpressões (4.6) e (4.7), ignorando as componentes homopolares, que não serãoalteradas pela transformação de PARK.S SRmαβ αβ αβ−= + 1S S Ri B iL Iφ (4.6)R SRmαβ αβ αβ= +R R Si B iL Iφ (4.7)onde:θθ−θθ=cossensencosB (4.8)e
  67. 67. 66 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com1 00 1 =   I (4.9)Aplicando-se a transformação B-1na equação (4.7), obtém-se:dqSR Rmαβ αβ− − −= +1 1 1R S RB B B i B Biφ L (4.10)Assim:dq dqSR Rm αβ= +R S Ri iI L Iφ (4.11)A partir da expressão (4.6) obtém-se:dqSR Smαβ αβ= +S R Si iI L Iφ (4.12)Reunindo-se as equações (4.11) e (4.12) e representando-se na formamatricial, encontra-se a expressão (4.13).0 0000 0d dq qS SSS SS SRS SS SRRR RSR RR RSR RR Ri0 0 0 0 0i0 0 0 m 0i0 0 0 0 m0 0 0 0 0 i0 m 0 0 0 i0 0 m 0 0iα αβ βφ        φ       φ     =     φ         φ          φ   LLLLLL(4.13)A expressão (4.13) mostra que as submatrizes indutâncias são diagonalizadaspela transformação de PARK.Convém chamar atenção para o fato de que as variáveis estatóricas não foramtransformadas; somente as variáveis rotóricas sofreram a ação da transformação dePARK.Fazendo-se o produto BB 1−obtém-se:=θθ−θθθθθ−θ1001cossensencoscossensencos(4.14)
  68. 68. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 67Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPortanto a transformação de PARK, como foi definida é ortogonal. Por isto, sobesta transformação, a potência é invariante.4.4 INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA TRANSFORMAÇÃO DE PARKPara interpretarmos fisicamente a transformação de PARK, vamos consideraros sistemas de eixos representados na Fig. 4.1.•θRqR dRβRαθRβi RqiRαiRdiFig. 4.1 – Sistemas de eixo representando a transformada de Park.Os eixos βα RR giram no sentido anti-horário com velocidade•θ . Os eixosqd RR estão em repouso. Tem-se assim dois enrolamentos girando, com correntes αRie βRi e dois estacionários com correntes Rdi e qRi . Todos os enrolamentos sãoconsiderados idênticos.Decompondo-se as forças magnetomotrizes dos enrolamentos girantessegundo os eixos fixos e dividindo-se pelo número de espiras, encontra-se as relações(4.15) e (4.16).θ−θ= βαsenicosii RRRd(4.15)θ+θ= βαcosisenii RRRq(4.16)Na forma matricial obtém-se a expressão (4.17), que é a própria transformaçãode PARK:θθθ−θ=βαRRRRiicossensencosiiqd(4.17)
  69. 69. 68 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPode-se estabelecer assim que a transformação de PARK permite converterum conjunto de enrolamentos girantes num conjunto de enrolamentos fixos, produzindoos mesmos efeitos. As correntes dos enrolamentos fixos terão freqüência diferente dascorrentes dos enrolamentos girantes.A transformação de enrolamentos fixos em girantes coloca em evidência aseguinte questão: os enrolamentos do rotor são fixos, mas o rotor encontra-se emmovimento. Isto só é possível numa máquina a comutador. Assim, a transformação dePARK transforma enrolamentos comuns, alimentado através de anéis, emenrolamentos alimentados através de escovas e comutador, que são tambémconhecidos com o nome de enrolamentos pseudo-estacionários. Desse modo atransformação de PARK pode ser realizada fisicamente. Na Fig. 4.2 está representadaa transformação física.RRαβVRβVR α RqRdVR dVR qFig. 4.2 – Representação física da transformada de Park.Simbolicamente, a máquina antes e depois da transformação estárepresentada na Fig. 4.3 e Fig. 4.4.SβSαRβRαθFig. 4.3 – Máquina original.qdRRS = Sqdq βS = Sd αFig. 4.4 – Máquina transformada.
  70. 70. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 69Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com4.5 TENSÕES DA MÁQUINA SOB A FORMA DE VARIÁVEIS DE PARKO modelo elétrico em variáveis αβ é representado pelas equações (4.18) e(4.19).ddtαβ αβ αβ= +S S S Sv R i φ (4.18)ddtαβ αβ αβ= +R R R Rv R i φ (4.19)Aplicando-se a matriz B-1na expressão (4.19) obtém-se a expressão (4.20).( )dqdqddtαβ− − −= +R1 1 1R R RBB v B R Bi Bφ(4.20)dqdq dq dqd ddt dt− − ∂ θ= + +∂θR1 1R R R RBv R i B B Bφφ (4.21)cos sen sen cossen cos cos sen− θ − θ − θ θ   ∂=    θ θ − θ − θ∂θ    1 BB (4.22)Assim:0 11 0θ− − ∂=  ∂  1 BB (4.23)dqdq dq dqd 0 1d1 0dt dt− θ= + +   RR R R Rv R iφφ (4.24)dqdq dqddt= +SS S Sv R iφ(4.25)As expressões (4.25) e (4.24) podem ser reescritas segundo as expressões(4.26) e (4.27) respectivamente.
  71. 71. 70 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comd d d dq q q qS S S RS S SRS S SRS S S Rv i i iR 0 p 0 pm 00 R 0 p 0 pmv i i i            = + +                               LL(4.26)d dd d q qq q d dq qS SR R S SSR R SR RRSR R SR RRR R R RR Ri iv i i im 0 0 m 0 0R 0 0 1p0 m 0 0 m 00 Rv i i 1 0 ii i•             −      = + + θ                                     L LL L(4.27)Resumindo-se as expressões (4.26) e (4.27), encontra-se as equações (4.28).d dq qd dq qS S SRS SS SS S SRR RSR SR R R RR RSR SR R R RR p 0 pm 0v iv i0 R p 0 pmv ipm m R pv im pm R p• •• • +        +    =       θ + θ            − θ − θ + LLL LL L(4.28)As expressões (4.28) representam as equações elétricas da máquina simétricatrifásica (ou polifásica), com o referencial colocado no estator. Está sendo consideradauma máquina de dois pólos. A generalização para um número genérico de pares depólos será apresentada mais adiante. As componentes homopolares quando existirem,poderão ser adicionadas nas equações (4.28).Estas equações são muito importantes e são capazes de representar amáquina sob não importa qual condição de operação.4.6 EXPRESSÃO DO TORQUEFoi estabelecida a expressão do torque, com a seguinte forma:( )Ttαβαβ∂ θ=∂θSRS RLi i (4.29)mas,( ) 1SR BθL −= SRm (4.30)
  72. 72. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 71Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPortanto:SRT = mtαβαβ−∂∂θ1S RBi i (4.31)SRT = m dqdqtθ−∂∂1S RBi Bi (4.32)sen coscos sen−− θ − θ ∂=  θ − θ∂θ  1B(4.33)sen cos cos sencos sen sen cos−− θ − θ θ θ   ∂=    θ − θ − θ θ∂θ    1BB (4.34)0 11 0−− ∂=  ∂θ  1BB (4.35)Assim:dqdq0110mTtSR RS ii  −= (4.36)dd qqRSR S SRi0 1T m i i1 0 i −  =        (4.37)( )q d d qSR S R S RT m i i i i= − (4.38)4.7 EQUAÇÕES COMPLETAS DA MÁQUINAO modelo completo para a máquina de indução, com n pares de pólos érepresentado pelas equações (4.39) e (4.40). Será considerada uma máquina em qued qR Rv v 0= = (rotor em curto-circuito).
  73. 73. 72 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comd dq qdqS S SRS SS SS S SRRSR SR R R RRSR SR R R RR p 0 pm 0v iv i0 R p 0 pm0 ipm n m R p n0 in m pm n R p• •• • +        +    =       θ + θ            − θ − θ + LLL LL L(4.39)( )q d d qSR S R S RT = nm i i -i i (4.40)Snωω= (4.41)onde:ω ⇒ Pulsação das tensões de alimentação.Sω ⇒ Velocidade síncrona do motor.4.8 GENERALIZAÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO DE PARKNeste item será estabelecido o modelo de PARK da máquina simétrica, paraum sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer, representado naFig. 4.5.Os enrolamentos do estator, αS e βS estão em repouso. Os enrolamentos dorotor, αR e βR giram com velocidade•θ . Os eixos qd giram com velocidade•Ψ . Todosos enrolamentos possuem o mesmo número de espiras.
  74. 74. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 73Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comSSRR ββααdqisβisαiRαiRβisiRddisqiRqθΨωmFig. 4.5 – Sistema de eixos de referência girando com velocidade qualquer.Fazendo as projeções das forças magnetomotrizes do rotor e do estator sobreos eixos de referência qd , obtém-se as expressões a seguir:a)dSi i cos i senS Sα β= Ψ + Ψ (4.42)qS S Si i sen i cosα β= − Ψ + Ψ (4.43)Representando-se na forma matricial obtém-se as expressões (4.44).S SS Si icos seni sen cos idqαβ   Ψ Ψ =    − Ψ Ψ       (4.44)b)( ) ( )dR R Ri i cos i senα β= Ψ −θ + Ψ − θ (4.45)( ) ( )qR R Ri = -i sen i cosα βΨ −θ + Ψ −θ (4.46)( ) ( )( ) ( )R RR Ri icos sensen cosi idqαβ   Ψ −θ Ψ − θ =    − Ψ − θ Ψ −θ       (4.47)Os casos particulares, mais comumente empregados são os seguintes:
  75. 75. 74 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comI ) Referencial no estator ( )0Ψ ==βαSSSSii1001iiqd(4.48)θθθ−θ=βαRRRRiicossensencosiiqd(4.49)II ) Referencial no rotor ( )Ψ = θθθ−θθ=βαSSSSiicossensencosiiqd(4.50)=βαRRRRii1001iiqd(4.51)III ) Referencial no campo giranteStΨ = ω (4.52)tmω=θ (4.53)ωω−ωω=βαSSSSSSSSiitcostsentsentcosiiqd(4.54)( ) ( )( ) ( )d αq βR RS m S mS m S mR Ri icos ω -ω t sen ω -ω t=-sen ω -ω t cos ω -ω ti i               (4.55)
  76. 76. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 75Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com4.9 EQUAÇÕES DA MÁQUINA SIMÉTRICA NUM SISTEMA DE EIXOSGENÉRICOSSejam as transformações definidas pelas expressões (4.56) e (4.57).cos sensen cos− Ψ Ψ =  − Ψ Ψ 1SB (4.56)( ) ( )( ) ( )cos sensen cos− Ψ − θ Ψ − θ =  − Ψ −θ Ψ −θ 1RB (4.57)Sejam as equações elétricas da máquina, sob a forma de variáveis αβ ,representadas pelas expressões (4.58) e (4.59).ddtαβαβ αβ= +SS S Sv R iφ(4.58)ddtαβαβ αβ= +RR R Rv R iφ(4.59)Vamos aplicar a transformação BS-1na equação (4.58).ddtαβαβ αβ− − −= +S1 1 1S S S S S SB v B R i Bφ(4.60)( )dqdq dqddt− −= +S S1 1S S S S S SBv B R B i Bφ(4.61)SSS1S RBRB =−(4.62)dq dqdqd ddt dt•− − − ∂= + Ψ∂ΨS S S1 1 1 SS S S S SB BB B B Bφ φφ (4.63)0 1d1 0d− − =  Ψ  1 SSBB (4.64)
  77. 77. 76 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comLevando-se (4.62), (4.63) e (4.64) em (4.61) obtém-se:dqdq dq dqd 0 11 0dt•− = + + Ψ  SS S S Sv R iφφ (4.65)Adotando-se procedimento análogo para a equação elétrica do rotor, obtém-se:dqdq dq dqd 0 11 0dt• •−  = + + Ψ− θ    RR R R Rv R iφφ (4.66)Em seguida será deduzida a expressão do torque:( )tT αβαβ∂=∂θSRS RLi iθ(4.67)dqSSS iBi =αβ(4.68)Assim:tttdq SSS Bii =αβ(4.69)dqRRR iBi =αβ(4.70)Assim:( )dqdqt tT∂=∂θSRS S R RLi B B iθ(4.71)mas,( ) SRm −= 1SRL Bθ (4.72)Assim:dqdqSRT = mt t−∂∂θ1S S R RBi B B i (4.73)Assim:
  78. 78. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 77Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )d d q dSR R S R ST = m i i -i i (4.74)Reunindo-se as equações (4.65), (4.66) e (4.74), desenvolvendo-se egeneralizando-se para n pares de pólos, obtém-se o modelo representado pelasequações (4.75) e (4.76). Para o rotor em curto, basta fazer d qR Rv v 0= = .d dq qd dq qS S S SR SRS SS S S SR SRS SR RSR SR R R RR RSR SR R R RR p n pm m nv in R p m n pmv iv ipm m n R p nv im n pm n R p• •• •• • • •• • • • + − Ψ − Ψ         Ψ + Ψ    =        − Ψ−θ + − Ψ−θ                   Ψ−θ Ψ−θ +        L LL LL LL L(4.75)( )qddq RSRSSR iiiimnT −= (4.76)Quando a velocidade do motor varia com o tempo, as equações elétricas damáquina são não-lineares. Para velocidade constante, o modelo torna-se linear.Em qualquer das situações, a equação mecânica é não-linear, pois aparece oproduto de duas correntes.O modelo obtido representa a máquina para qualquer situação e para qualquerreferencial.4.10 MODELO DQ REFERIDO AO PRIMÁRIOAo se estabelecer as equações da máquina simétrica representadas pelasequações (4.75) e (4.76), não se fez referências à relação de transformação entre osenrolamentos estatóricos e rotóricos. Assim, ao se empregar as referidas equações,deve-se empregar os parâmetros do estator medidos no estator e os do rotor medidosno lado do rotor.
  79. 79. 78 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comPorém, quando se trata de uma máquina com rotor em gaiola, não se temacesso ao rotor. Todos os parâmetros são referidos ao estator. Por isto as equações damáquina devem ser desenvolvidas para permitir o emprego desses parâmetrosmedidos em relação a um só lado.Para realizar tal modificação, será aplicada a transformação primária-secundária, que será apresentada com detalhes no capítulo 7, e que aqui estárepresentada pela expressão (4.77):ddqqddqqSSSSRRRRvv 1 0 0 0vv 0 1 0 00 0 a 0 vv0 0 0 a vv            =                  (4.77)Assim:[ ]SR SRv v−  = 1PS (4.78)Onde a é a relação entre o número de espiras do estator e o número de espirasdo rotor.A matriz PS-1refere todas as tensões ao estator.Para as correntes, a transformação é dada pela expressão (4.79).=qdqdqdqdRRSSRRSSiiiia10000a10000100001iiií(4.79)SRSR iSPi = (4.80)Em seguida a transformação será aplicada nas equações da máquina.=SR SRv Z i (4.81)1−= SR SRPS v ZPS i (4.82)
  80. 80. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 79Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com1 1− −= SR SRv PS ZPS i (4.83)onde Z é dada pela expressão (4.84).S S S SR SRS S S SR SRSR SR R R RSR SR R R RR p n pm m nn R p m n pmpm m n R p nm n pm n R p• •• •• • • •• • • • + − Ψ − Ψ   Ψ + Ψ  =    − Ψ−θ + − Ψ−θ            Ψ− θ Ψ− θ +        ZL LL LL LL L(4.84)Realizando o produto matricial determinado pela expressão (4.83),encontramos as equações representadas pela expressão (4.85).Quando os parâmetros são obtidos por ensaio, a relação de transformação édesconhecida. Isto não apresenta dificuldade na análise, uma vez que eles serãodeterminados em relação ao estator. Desse modo todas as grandezas rotóricas, comotensão e corrente, ficam determinadas também referidas ao estator.( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )d dqdqS S S SR SRS SS S S SR SRS2 2RSR SR R R RR2 2SR SR R R RR p n p am am nv in R p am n p amvvp am am n a R p n avam n p am n a a R p• •• •• • • •• • • • + − Ψ − Ψ      Ψ + Ψ     =      − Ψ−θ + − Ψ−θ                 Ψ−θ Ψ−θ +         L LL LL LL LqdqSRRiii        (4.85)Através de ensaios clássicos, a vazio e em curto-circuito, pode-se determinaros parâmetros elétricos.1) 1SR mma = ⇒ indutância magnetizante medida em relaçãoao estator.2) S 1 1m= +L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão doestator.
  81. 81. 80 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com3)2R 2 1 Ra m= + =L L ⇒ sendo 1 a indutância de dispersão do rotorreferida ao estator.4) SR ⇒ resistência do estator.5)RR2RRa = ⇒ resistência do rotor referida ao estator.Desse modo as equações elétricas passam a ser representadas pelaexpressão (4.86):d dq qd dq qS S S 1 1S SS S S 1 1S S R R1 1 R R R R R 1 1 R R RR p n pm m nv in R p m n pmv iv ipm m n R p nv im n pm n R p• •• •• • • •• • • • + − Ψ − Ψ        Ψ + Ψ      =      − Ψ−θ + − Ψ−θ                  Ψ−θ Ψ−θ +        L LL LL LL L(4.86)( )q d d d 1 S R S RT = nm i i -i i (4.87)O torque fica representado pela expressão (4.87).
  82. 82. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 81Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com4.11 EXERCÍCIOS PROPOSTOS1) Seja:( )1S Sv 2 Vsen t= ω + θ( )2S Sv 2 Vsen t 120= ω − ° + θ( )3S Sv 2 Vsen t 120= ω + ° + θDeterminar 0Sv , dSv e qSv para o referencial colocado no estator e colocado nocampo girante.2) Um motor de indução é alimentado por um inversor do tipo °180 . As formas de ondaimpostas em cada fase estão representadas abaixo. Obter e representar graficamenteas tensões 0Sv , dSv e qSv .vS1vS2vS3(2E/3)(E/3)(2E/3)(E/3)(2E/3)(E/3)O O O O0 60 120 180Fig. 4.6 – Formas de onda impostas as fases de um motor trifásico.
  83. 83. 82 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com3) Obter o modelo de estado do motor de indução, para um referencial genérico, emtermos de variáveis dq.4) Considere o modelo do motor de indução com referencial no campo girante. Seja:1S Sv 2Vsen t= ω( )2S Sv 2Vsen t 120= ω + °( )3S Sv 2Vsen t 120= ω − °Consideremos o motor em regime permanente.(a) As tensões dSv e qSv são funções do tempo? Por que?(b) As correntes dSi , qSi , dRi e qRi são funções do tempo? Por que?5) Seja o enrolamento trifásico rotórico de uma máquina de indução, girando no sentidoanti- horário em relação ao estator. Seja:( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆( )2R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆( )3R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆Seja SmR ω=ω+ω onde:mω ⇒ velocidade do rotorSω ⇒ pulsação das correntes do estatorRω ⇒ pulsação das correntes do rotora) Determinar as tensões 0Rv , Rv αe Rv β. Qual a freqüência dessas tensões?
  84. 84. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 83Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.comb) Determinar as tensões 0Rv , dRv e qRv para um referencial colocado no estator. Qual afreqüência dessas tensões?Supor em seguida que:( )1R R Rv 2V sen t= ω + ∆( )2R R Rv 2V sen t 120= ω + °+ ∆( )3R R Rv 2V sen t 120= ω − °+ ∆Repetir as questões a) e b). A freqüência das tensões mudou? Por que?6) Seja uma máquina de indução trifásica onde:m 0tθ = ω + θS m Rω = ω + ω( )1S S Si I sen t= ω + φ( )2S S Si I sen t 120= ω − ° + φ( )3S S Si I sen t 120= ω + ° + φ( )1R R Ri I sen t= ω + ∆( )2R R Ri I sen t 120= ω − °+ ∆( )3R R Ri I sen t 120= ω + °+ ∆Determinar a expressão do torque desenvolvido pela máquina, partindo daexpressão:
  85. 85. 84 CAPÍTULO 4. A TRANSFORMAÇÃO DE PARK E A MÁQUINA SIMÉTRICAProf. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com( )SR Sq Rd Sd RqT m i i i i= −7) Um motor de indução pode ser empregado como freio, impondo-se a seguintealimentação:(a) a fase α do estator é alimentada por uma corrente contínua ICC.(b) a fase β do estator é mantida aberta.Nessas condições, empregando o modelo de PARK com referencial no estator,determinar:(a) a expressão do torque desenvolvido pelo motor em função da velocidade.(b) a velocidade, em função dos parâmetros da máquina, para a qual o torque émáximo.(c) a expressão do torque máximo.8) Considere o modelo de PARK motor de indução com o referencial no campo girante.Seja uma fonte que imponha as correntes estatóricas do motor. Assim:dS S Si I sen t= ωqS S Si I cos t= ωDeterminar as expressões das correntes dRi e qRi e do torque desenvolvidopelo motor.9) Considere um motor de indução de rotor bobinado em repouso. No instante t 0= astrês fases do estator são subitamente alimentadas com tensões senoidaisbalanceadas. Determinar a evolução das tensões rotóricas em função do tempo.Considerar os enrolamentos rotóricos abertos.
  86. 86. TEORIA FUNDAMENTAL DO MOTOR DE INDUÇÃO 85Prof. Ivo Barbi, Dr. Ing. http://www.ivobarbi.com10) Considere uma máquina de indução bifásica com rotor em gaiola. A fase d éalimentada por uma tensão do tipo:dS Sv 2Vsen t= ωA fase q é mantida aberta. A máquina é acionada por um motor auxiliar.qdvSdωmFig. 8.7 – Máquina de indução bifásica com rotor emgaiola.Demonstrar que a tensão qSv é função davelocidade do rotor. Que condições devemser satisfeitas para que a relação entreqSv e mω seja linear ?Empregar as equações de PARK para oreferencial colocado no estator. Estesistema é conhecido como tacogerador deindução. A sua característica principal é ofato da tensão gerada qSv apresentarfreqüência constante, igual à freqüênciada tensão dSv de excitação.11) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d do estator éalimentado por uma fonte que lhe impõe uma corrente senoidal.12) Refazer o exercício número 10, supondo que o enrolamento d é alimentado poruma corrente contínua.
  87. 87. CAPÍTULO5AS COMPONENTES SIMÉTRICASINSTANTÂNEAS E A MÁQUINA SIMÉTRICA5.1 INTRODUÇÃOO emprego das componentes simétricas instantâneas permite a obtenção demodelos mais simples que aqueles obtidos com a transformação de PARK. Essesnovos modelos são adequados para estudos analíticos para as situações em que amáquina gira em velocidade constante.5.2 OBTENÇÃO DA TRANSFORMAÇÃO COMPONENTESSIMÉTRICAS INSTANTÂNEASVamos considerar o modelo estabelecido no capítulo IV e representado pelasequações (5.1).d dq qd dq qS S S SR SRS SS S S SR SRS SR RSR SR R R RR RSR SR R R RR p pm mv iR p m pmv iv ipm m R pv im pm R p• •• •• • • •• • • • + − Ψ − Ψ         Ψ + Ψ     =          − Ψ−θ + − Ψ−θ                     Ψ−θ Ψ−θ +         L LL LL LL L(5.1)Verifica-se que cada submatriz da matriz é do tipo representado pelaexpressão (5.2).a bb a− =   Z (5.2)

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