ESTUDO DE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA FECHADA APLICADOS A PROCESSOS INDUSTRIAIS BUSCANDO A OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS MAIS EXATOS

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS – UNILESTE-MG
Curso de Engenharia Elétrica
PATRICK PIRES ALVIM
ESTUDO DE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA
FECHADA APLICADOS A PROCESSOS INDUSTRIAIS BUSCANDO A
OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS MAIS EXATOS
Coronel Fabriciano
2010

1
PATRICK PIRES ALVIM
ESTUDO DE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA
FECHADA APLICADOS A PROCESSOS INDUSTRIAIS BUSCANDO A
OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS MAIS EXATOS
Monografia submetida à banca examinadora
designada pelo Conselho de Curso de
Engenharia Elétrica do Centro Universitário do
Leste de Minas Gerais (CEE/Unileste-MG),
como parte dos requisitos necessários à
obtenção do título de Engenheiro Eletricista.
Professor Orientador: MSc. Fabrício de Souza
Fernandes
Coronel Fabriciano
2010

2
PATRICK PIRES ALVIM
ESTUDO DE MÉTODOS DE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS EM MALHA FECHADA
APLICADOS A PROCESSOS INDUSTRIAIS BUSCANDO A OBTENÇÃO DE
MODELOS MATEMÁTICOS MAIS EXATOS
Monografia submetida à banca examinadora designada pelo Conselho de Curso de
Engenharia Elétrica do Centro Universitário do Leste de Minas Gerais (CEE/Unileste-MG),
como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro Eletricista.
Aprovada em 26 de junho de 2010
Por:
__________________________________________________
Fabrício de Souza Fernandes, MSc.
Prof. Coord. CEE/Unileste-MG - Orientador.
__________________________________________________
Ronaldo Neves Ribeiro (Examinador), MSc.
Prof. CEE/Unileste-MG – Examinador.

3
Primeiramente a Deus, para meus pais,
amigos e professores.

4
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais Antônio e Neuza, pela educação e o apoio ao longo desta caminhada.
Agradeço também aos meus amigos pelo incentivo e bons momentos que vivenciamos juntos
e, em especial, aos meus amigos do curso de Engenharia Elétrica do Unileste-MG, Rafael,
Reinaldo, Paulo, Wellington, Clesjue, Ramon, José Penha, Antônio, Victor, Gleidson e
Samuel.
Gostaria de agradecer a todos os professores pela disciplina e conhecimento transmitido.
Agradeço em especial meu Orientador MSc. Fabrício de Souza Fernandes que contribuiu
muito para a realização deste trabalho.
Agradeço a Deus por todos os momentos vividos e por ter me guiado nesta caminhada, que
sem dúvida, não se completaria sem a Sua direção.

5
RESUMO
Neste trabalho são apresentados os principais métodos de identificação em malha fechada
para a obtenção de modelos matemáticos mais exatos do processo. Como contribuição é
proposto a aplicação do método em uma planta real didática. Inicialmente é realizado o ensaio
da planta em malha aberta e então projetado um controlador do tipo PI discreto para o
controle do nível. Com a planta operando em malha fechada controlada foi aplicado o método
de identificação em malha fechada denominado método de entrada-saída conjunta em três
diferentes ensaios, com diferentes sinais de excitação e então, estimado os possíveis modelos
matemáticos da planta. Para a estimativa dos modelos foram testadas as estruturas ARX,
ARMAX e OE no qual a OE foi a que apresentou melhores resultados. Com a realização dos
ensaios foi possível concluir que o controlador PI projetado em malha aberta obteve bom
desempenho, porém o método de identificação em malha fechada não obteve bom resultado,
podendo este estar relacionado à dificuldade da estimativa da função de sensibilidade do
sistema, às componentes de alta freqüência existentes nos sinais utilizados para identificação,
ou aos zeros de fase não mínima dos controladores e funções de transferência estimadas.
Palavras-chave: Malha Fechada, Identificação, Modelagem, Projeto de Controlador.

6
ABSTRACT
This paper presents the main methods of identification in closed loop to obtain more accurate
mathematical models of the process. Contribution is proposed as the method in a real plant
didactic. Initially the test is performed in open loop plant and then designed a discrete PI
controller to control the level. With the plant operating in controlled closed loop method was
applied in closed loop identification method called join input-output method in three different
trials with different excitation signals and then estimated the possible mathematical models of
the plant. To estimate the models were tested structures ARX, ARMAX and OE in which the
OE showed the best results. With the tests it was concluded that the PI controller designed
open-loop achieved good performance, but the method of identification in closed loop did not
get good results, which may be related to the difficulty of estimating the sensitivity function
of the system, components high frequency signals present in used for identification, or not
minimum phase zeros of the controllers and transfer functions estimated.
Keywords: Closed Loop, Identification, Modeling, Project Controller.

7
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Planta em malha fechada....................................................................................... 18
Figura 2: Método Direto X Método Indireto – Visualização das variáveis coletadas por cada
método................................................................................................................................. 19
Figura 3: Curva de resposta em forma de S........................................................................... 22
Figura 4: Oscilação sustentada com período crítico Pu.......................................................... 23
Figura 5: Gerador de PRBS com n igual a 6 ......................................................................... 28
Figura 6: Exemplo de PRBS................................................................................................. 29
Figura 7: Sinótico da planta didática 3 - Smar ...................................................................... 33
Figura 8: Resposta ao degrau de 60% na válvula FY-31....................................................... 35
Figura 9: Resposta ao degrau – Sistema Real X Sistema Estimado....................................... 36
Figura 10: Lugar das raízes do sistema (comando rlocus MATLAB®
).................................. 37
Figura 11: Resposta ao degrau – Sistema em Malha Fechada Controlado X Sistema em Malha
Aberta.................................................................................................................................. 38
Figura 12: Resposta ao degrau de 60% - PI discreto X PI contínuo....................................... 39
Figura 13: Resposta ao degrau em malha fechada – Sistema Real X Sistema Simulado........ 40
Figura 14: PRBS inserido em r2(k) e autocorrelação ............................................................. 42
Figura 15: Resposta do sistema ao método de entrada-saída conjunta................................... 43
Figura 16: T12 - Resposta do modelo real X estimado........................................................... 44
Figura 18: PRBS inserido em r2(k) e autocorrelação ............................................................. 47
Figura 22: Sinal aleatório inserido em r2(k) e autocorrelação................................................ 50
Figura 24: T12 - Resposta do modelo Real X Estimado ......................................................... 51
Figura 25: T22 - Resposta do modelo Real X Estimado ......................................................... 52
Figura 26: Resposta do 1º Modelo Ĝ estimado pelo método e Local das raízes (z)................ 53
Figura 27: Resposta em freqüência do 1º Modelo Ĝ ............................................................. 54

8
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada na resposta ao degrau da planta.... 22
Tabela 2 – Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada no ganho crítico Ku e no período
crítico Pu.............................................................................................................................. 23
Tabela 3 – Sintonia do PID segundo Rivera et al. (1986) para sistemas de primeira ordem com
atraso L................................................................................................................................ 24
Tabela 4 – Sintonia do PID segundo Rivera et al. (1986) ..................................................... 25
Tabela 5 – Equações de diferenças para controladores PID discretos.................................... 27
Tabela 6 – Conexões para gerar sinais de seqüência m – Aguirre (2004).............................. 28

9
LISTA DE SÍMBOLOS
C(s) – Controlador no domínio da freqüência.
e(k) – Ruído branco.
G0(q) – Modelo Matemático da planta do processo.
Ĝ – Modelo Matemático estimado da planta do processo.
Gmf – Ganho do sistema em malha fechada.
K – Ganho do sistema (∆PV/∆MV).
K(q) – Controlador do processo.
Kp – Ganho proporcional.
Ki – Ganho integral.
Kd – Ganho derivativo.
Ku – Ganho crítico.
L – Atraso de transporte.
λ – Constante de tempo da sintonia Lambda.
Pu – Período crítico.
q – Operador de atraso: qf(k) = f(k + 1), q-1
f(k) = f(k - 1).
r1(k) – Entrada de referência do processo.
r2(k) – Entrada de referência inserida diretamente na ação de controle.
s – Domínio da freqüência contínuo.
S0 – Função de sensibilidade do sistema: S0 = 1/(1+G0K).
Ŝ – Função de sensibilidade do sistema estimada.
τ – Constante de tempo do processo.
T(G0,K) – Matriz de representação do sistema.
Ti – Tempo de integração.
Td – Tempo de derivação.
Ts – Tempo de amostragem.
u(k) – Sinal de saída do controle.
v(k) - Sinal de ruído do processo.
y(k) – Sinal de saída do processo.
z – Domínio discreto.

10
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ARX – Modelo auto-regressivo com entradas externas (AutoRegressive with eXogenous).
ARMAX – modelo auto-regressivo com média móvel e entradas externas (AutoRegressive
Moving Average with eXogenous inputs).
LTI - Linear Invariante no Tempo (Linear Time Invariant).
OE – modelo de erro na saída (Output Error).
P – Proporcional.
PD – Proporcional e derivativo.
PI – Proporcional e integral.
PID – Proporcional, integral e derivativo.
PRBS – Sinais binários pseudo-aleatórios (Pseudo Random Binary Signals).
SISO – Única entrada e única Saída (Single Input Single Output).

11
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO..............................................................................................................14
1.1 Problema .....................................................................................................................15
1.2 Objetivos .....................................................................................................................15
1.3 Justificativa .................................................................................................................15
1.4 Organização dos capítulos..........................................................................................16
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .................................................................................17
2.1 Revisão Histórica ........................................................................................................17
2.2 Principais métodos de identificação em malha fechada ............................................18
2.2.1 Método Direto ...........................................................................................................19
2.2.2 Método Indireto.........................................................................................................20
2.2.3 Método de Entrada-Saída Conjunta..........................................................................20
2.3 Métodos analíticos para sintonia de controladores PID............................................21
2.3.1 Método de Ziegler-Nichols em malha aberta ............................................................22
2.3.2 Método de Ziegler-Nichols em malha fechada..........................................................23
2.3.3 Sintonia Lambda (λ)..................................................................................................24
2.4 PID Discreto................................................................................................................25
2.5 Sinais Binários Pseudo-Aleatórios (PRBS) ................................................................28
2.6 Representação de sistemas Lineares Invariantes no Tempo .....................................29
2.6.1 ARX (AutoRegressive with eXogenous inputs) .........................................................31
2.6.2 ARMAX (AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs) ........................31
2.6.3 OE (Output Error) ....................................................................................................31
3 METODOLOGIA..........................................................................................................33
3.1 Procedimento – Colocação da planta em operação em malha fechada.....................33
3.1.1 Identificação do modelo em malha aberta ................................................................34

12
3.1.2 Projeto do controlador K estabilizante ......................................................................36
3.1.3 Projeto do controlador K do tipo PI discreto.............................................................38
3.2 Procedimento - Aplicação do método entrada-saída conjunta..................................40
3.2.1 1º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador PI................................41
3.2.2 2º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador P .................................46
3.2.3 3º Ensaio - Método utilizando Sinal Aleatório em r2(k) e controlador PI .................49
4 RESULTADOS ..............................................................................................................53
4.1 Resultados do 1º ensaio...............................................................................................53
4.2 Resultados do 2º ensaio...............................................................................................55
4.3 Resultados do 3° ensaio...............................................................................................56
5 CONCLUSÕES..............................................................................................................59
5.1 Identificação em Malha Aberta..................................................................................59
5.2 Identificação em Malha Fechada................................................................................59
REFERÊNCIAS................................................................................................................61
ANEXO A – FUNÇÃO GERADORA DE PRBS – AGUIRRE 1995 (PRBS.M) ............63
ANEXO B – FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO (MYCCF.M).................................64
APÊNDICE A – PROCEDIMENTO DE IDENTIFICAÇÃO EM MALHA ABERTA
(MATLAB®) .....................................................................................................................67
APÊNDICE B – SIMULAÇÃO SISTEMA EM MALHA FECHADA COM
CONTROLADOR LAMBDA (SIMULINK) ...................................................................68
APÊNDICE C – SIMULAÇÃO SISTEMA EM MALHA FECHADA COM
CONTROLADOR PI DISCRETO (SIMULINK) ...........................................................69
APÊNDICE D – PROCEDIMENTO CONTROLE PI DICRETO APLICADO A
PLANTA (MATLAB®) ....................................................................................................70

13
APÊNDICE E – MÉTODO DE ENTRADA E SAÍDA CONJUNTA APLICADO AO
SISTEMA CONTROLADO EM MALHA FECHADA ..................................................72

14
1 INTRODUÇÃO
A modelagem de um sistema tem como meta à identificação aproximada de um
modelo matemático que expressa os comportamentos dinâmicos do processo em análise. Para
Tulleken (1993 apud Rodrigues, 2007) e Sjöberg et al. (1995), os métodos de modelagem de
um sistema podem ser classificados como:
Modelagem caixa branca (modelo físico ou fenomenológico): os parâmetros que
descrevem o comportamento estático e dinâmico do sistema são determinados através das leis
básicas da física que o regem;
Modelagem caixa preta (modelo empírico): os parâmetros que descrevem o
sistema são determinados através dos dados de entrada e saída do sistema, sendo que tal
massa de dados, em geral, não tem significado físico;
Modelagem caixa cinza: os parâmetros que descrevem o comportamento estático e
dinâmico do sistema são determinados pela junção Equações físicas que descrevem o sistema
(modelagem caixa branca) e pelos dados de entrada e saída de um sistema (modelagem caixa
preta).
Segundo Aguirre (2004), nem sempre é viável modelar o sistema partindo das leis
físicas que o regem devido à falta de conhecimento e o elevado tempo necessário para a
identificação do modelo.
A modelagem por métodos de identificação em malha fechada é do tipo empírica
ou modelagem caixa preta é uma alternativa bem interessante, pois é necessário pouco ou
nenhum conhecimento do processo em análise exigindo apenas conhecimento da massa de
dados de entrada e saída, e em alguns métodos, como veremos posteriormente, será necessário
o conhecimento do controlador do processo. Para este tipo de modelagem, algumas estruturas
são importantes, tais como ARX, ARMAX e OE que serão apresentadas porteriormente, pois
parametrizam os dados permitindo assim converter dados em funções que poderão ser
trabalhadas.
Os modelos matemáticos gerados dos sistemas geralmente são empregados para o
projeto ou otimização de controladores que visam a otimização do sistema tais como na
segurança, qualidade e outros aspectos.

15
1.1 Problema
Em muitos processos industriais o método de identificação por modelagem caixa
branca exige um amplo conhecimento da física do processo, utiliza muito tempo para
identificação e em muitos casos é impossível a determinação do modelo matemático devido à
alta complexidade. Outros métodos exigem que a planta trabalhe em malha aberta eliminando
assim o elemento de controle (controlador do sistema) o que pode ser impossível devido a
alguns processos se tornarem instáveis causando danos físicos ao sistema em análise. Além do
prejuízo financeiro, a operação em malha aberta pode significar perda de qualidade do
processo.
Uma alternativa bastante viável para identificação de sistemas é a identificação em
malha fechada, pois elimina tais problemas da identificação em malha aberta e além disto não
é necessário conhecimento das leis físicas que regem o sistema. Além do mais, segundo
Campos (2007), tal identificação pode ser feita com o sistema em operação e à medida que o
sistema adquire mais dados, maior conhecimento se obtém do sistema.
Portanto, este estudo tem como problema aplicar um método de identificação em
malha fechada em um processo industrial e com isto obter o modelo matemático
representativo do sistema.
1.2 Objetivos
Estudar e aplicar o método de identificação de sistemas em malha fechada
denominado Entrada-Saída Conjunta (Join Input-Output method) na malha de controle de
nível do tanque 1 da planta didática Smar 3 com a mesma operando em malha fechada
controlada.
1.3 Justificativa
Neste estudo, será possível constatar que, segundo Campos (2007, p. 3): “[...] à
medida que mais dados do processo são disponibilizados, o conhecimento do sistema aumenta
e novos (e possivelmente melhores) controladores podem ser projetados [...]”.

16
Através da identificação em malha fechada é possível a obtenção de um modelo
matemático para o projeto de controladores que podem com isto melhorar o desempenho de
determinados sistemas aumentando sua confiabilidade.
A segurança é um item bem relevante já que o método de identificação em malha
fechada não necessita expor a planta em malha aberta para a obtenção do modelo matemático
tal exposição esta que diminui, segundo Campos (2007), o nível de segurança do sistema e
pode gerar prejuízos físicos, financeiros e outros.
Outro ponto importante para a aplicação dos métodos de malha fechada é que não
é preciso, como exemplo em indústrias, parar o processo nem sempre é possível ou até mesmo
controlar o sistema em malha aberta podendo com isto ter perda de qualidade, pelo contrário,
o método poderá ser feito com o sistema operando.
Desta forma, pode-se dizer que a identificação em malha fechada de processos é
um meio bem viável e seguro para obtenção de modelos matemáticos de sistemas.
1.4 Organização dos capítulos
Este trabalho está dividido em 5 capítulos, sendo o capítulo 1 a introdução, o
capítulo 2 a fundamentação teórica, o capítulo 3 a metodologia, o capítulo 4 os resultados e o
capítulo 5 as conclusões.

17
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 Revisão Histórica
Inicialmente, segundo Gevers (2004), trabalhos de pesquisa de identificação de
sistemas foram direcionados para o projeto de controladores ótimos baseado no fato que o
modelo é tratado como se fosse a representação sistema real (certainty equivalence principle).
Porém, os modelos encontrados, por melhores que sejam, nunca expressarão perfeitamente às
características do sistema devido ao fato da existência de ruídos e distúrbios do processo e
também pelo fato de que informações relevantes podem ser omitidas dos dados coletados.
Segundo Rodrigues (2007, p. 2): “[...] um controlador projetado para atingir um determinado
desempenho, a partir deste modelo, poderá falhar quando for aplicado no processo real”.
Em Anderson e Gevers (1998 apud Gevers, 2004) são citadas algumas orientações
para o trabalho de pesquisa:
Primeiro: o modelo é considerado bom para o projeto de controladores se, em
malha fechada, o desempenho do controlador aplicado ao modelo é próximo ao do
controlador aplicado à planta real;
Segundo: o modelo deve ser orientado ao projeto de controladores e que as
condições experimentais de identificação se assemelhem às condições quando o controlador
projetado é aplicado ao sistema real.
Estas orientações fizeram com que diversos autores Forssell (1997), Forssell e
Ljung (2000), Codrons et al. (2000) e Landau (2001) concluíssem que a identificação do
sistema deve ser feita em malha fechada, como constatado em Rodrigues (2007):
[...] pesquisas de diversos autores (Forssell, 1997; Forssell e Ljung, 2000; Codrons
et al., 2000; Landau, 2001) chegaram a mesma conclusão, indicando que o
experimento de identificação deve ser conduzido com a planta sob-controle, ou
seja, em malha fechada. Segundo Forssell e Ljung (2000), essa abordagem foi
rapidamente absorvida pela indústria, uma vez que utilizava as mesmas
informações que já estavam sendo coletadas pelos computadores durante a
operação normal da planta. (RODRIGUES, 2007, p. 4).
Tais conclusões quebraram o paradigma de que a identificação do modelo da
planta devesse ser feito com a planta operando em malha aberta.

18
2.2 Principais métodos de identificação em malha fechada
Vários métodos de identificação em malha fechada podem ser encontrados em
Fernandes (2006), Rodrigues (2007), Campos (2007), Forssell e Ljung, (1999), Van den Hof
(1998), Van den Hof e Bombois (2004).
Segundo Fernandes (2006) e Rodrigues (2007), os métodos de identificação em
malha fechada consistem em identificar um sistema real quando o mesmo está sendo
controlado por um controlador estabilizante. Na Figura 1 é mostrado um sistema G0(q1
) LTI2
controlado por um controlador K(q) em malha fechada onde r1(k) e r2(k) podem ser
entendidos como set point (referência) ou distúrbio na entrada u(k) e na saída y(k), e r1(k) e
r2(k) não têm correlação com v(k).
Figura 1: Planta em malha fechada
Aplicando-se o teorema da superposição tal sistema da Figura 1 pode ser expresso
pelas Equações 2.1 e 2.2:
)k(v
KG1
K
KG1
1
)k(r
)k(r
KG1
1
KG1
K
KG1
G
KG1
KG
)k(u
)k(y
0
0
2
1
)K,G(T
00
0
0
0
0
0









































 (2.1)
)k(v)k(uG)k(y 0  (2.2)
De acordo com Fernandes (2006) e Rodrigues (2007), os métodos de identificação
em malha fechada podem ser divididos em três grupos: métodos diretos, métodos indiretos e
métodos denominados Entrada-Saída Conjunta (Joint Input-Output).
1
O operador q será omitido posteriormente para facilitar a compreensão.
2
LTI - Linear Invariante no Tempo (do inglês Linear Time Invariant)

19
2.2.1 Método Direto
Segundo Fernandes (2006), Rodrigues (2007) e Campos (2007), os parâmetros do
sistema Ĝ3
são estimados através das medições u(k) e y(k) com o sistema operando em malha
fechada conforme visto na Figura 2.
Figura 2: Método Direto X Método Indireto – Visualização das variáveis coletadas por cada método
Neste tipo de identificação, segundo Forssell et al. (1999 apud Rodrigues, 2007)
não há necessidade do conhecimento do controlador K nem da realimentação, também não é
necessário o uso de nenhum algoritmo especial e são obtidos parâmetros bem consistentes
(tanto da planta como do ruído da mesma).
O problema existente com este tipo de método é, segundo Ljung (1999 apud
Fernandes, 2006), a necessidade de bons modelos de ruído devido ao sinal u(k) estar
correlacionado com o ruído de saída.
De acordo com Campos (2007), este tipo de método extrai diretamente os
parâmetros de malha aberta da planta, por isso o nome de método direto.
3
Ĝ é o mesmo G0 estimado.

20
2.2.2 Método Indireto
Segundo Fernandes (2006), este método foi proposto originalmente por
Söderström, T. e Stoica, P. em 1989. Fernandes (2006), Rodrigues (2007) e Campos (2007)
informam que, os parâmetros do sistema Ĝ são estimados através das medições r1(k) e y(k)
com o sistema operando em malha fechada conforme visto na Figura 2. Esta etapa é
vantajosa, pois como conhecido a priori, r1(k) e r2(k) não têm correlação com v(k) isto faz
com que o problema de estimar uma função T(G0,K) possua as mesmas característica de um
problema em malha aberta.
Neste método, Fernandes (2006) considera que os parâmetros de G0 podem ser
estimados através de uma das quatro funções de transferência da matriz T(G0,K), conforme a
Equação 2.3.
KG1
1
T;
KG1
K
T;
KG1
G
T;
KG1
KG
T
0
22
0
21
0
0
12
0
0
11







 (2.3)
Conhecendo K, os parâmetros estimados de Ĝ para T11 são, conforme Equação
2.4:
)TK(1
T
G ^
11
^
11
^

 (2.4)
Conforme Rodrigues (2007) os inconvenientes neste método são, conforme visto
na Equação 2.4 a ordem de Ĝ será o somatório da ordem de T11 e K e também que, neste caso,
o controlador K obrigatoriamente deve ser conhecido e se seus parâmetros apresentarem não
linearidade isto afetará diretamente no modelo estimado.
2.2.3 Método de Entrada-Saída Conjunta
Segundo Fernandes (2006) e Rodrigues (2007), este método utiliza as funções de
transferência r(k) para y(k) e r(k) para u(k) e através destas estimativas efetua-se o cálculo de
G0. Reescrevendo a Equação 2.1 temos (Equação 2.5):

21
)k(eH
SK
S
)k(r
)k(r
SSK
SGSKG
)k(u
)k(y
0
0
0
2
1
)K,G(T
00
0000
0


























 (2.5)
Onde S0 = 1/(1+G0K) é denominada função de sensibilidade do sistema.
Desenvolvendo a Equação 2.5 e como refere Fernandes (2006) considerando apenas r2(k),
temos (Equações 2.6 e 2.7):
)k(eHT)k(rT)k(u
)k(eHKS)k(rS)k(u
),k(eHT)k(rT)k(y
)k(eHS)k(rSG)k(y
021222
0020
022212
00200



 (2.6)
(2.7)
Nas Equações 2.6 e 2.7 podem-se obter os coeficientes T12 e T22 respectivamente
resolvendo um problema de identificação em malha aberta já que os mesmos não estão
relacionados com e(k). Através dos coeficientes determinados temos que a função de
transferência estimada para o modelo G0 será o quociente da divisão abaixo (Equação 2.8):
^
^
12
^
22
^
12
^
S
T
T
T
G  (2.8)
Assim sendo, neste método não é necessário conhecimento do controlador K do
processo e, como referem Fernandes (2006) e Rodrigues (2007), os inconveniente neste
método é que, como já visto no método indireto, a ordem de Ĝ4
será o somatório da ordem de
T12 e T22.
2.3 Métodos analíticos para sintonia de controladores PID
Diversos métodos analíticos podem ser utilizados para a determinação de um
controlador do tipo P, PI ou PID. Os métodos descritos a seguir podem ser encontrados em
Ogata (2003), Aström e Hägglund (1995) e em Fernandes (2009). O modelo de PID paralelo é
descrito na Equação 2.9, onde Kp, Ki e Kd são os ganhos proporcional, integrau e derivativo
respectivamente, e Ti e Td são os tempos de integração e derivação.
4
Ĝ é o mesmo G0 para fins matemáticos, porém Ĝ um é o modelo estimado e G0 é um modelo definido. O
mesmo se aplica para os termos Ŝ e S0.

22
sK
s
K
KsT
sT
1
1K(s)G d
i
pd
i
pC 





 (2.9)
2.3.1 Método de Ziegler-Nichols em malha aberta
Também conhecido como Método de Resposta ao Degrau (The Step Response
Method). Este método consiste em obter os parâmetros do controlador PID através da resposta
ao degrau em malha aberta da planta. Segundo Ogata (2003), se a planta não possuir
integradores nem pólos complexos conjugados dominantes a curva de resposta ao degrau
pode ter um formato de S, conforme pode ser visto na Figura 3.
Figura 3: Curva de resposta em forma de S
Conforme Ogata (2003) a curva em S pode ser caracterizada por duas constantes,
o atraso L e a constante de tempo T. Através destas constantes são determinados os
parâmetros Kp, Ti e Td da Equação 2.9 conforme a Tabela 1:
Tabela 1 – Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada na resposta ao degrau da
planta
Tipo de Controlador Kp Ti Td
P
L
T
 0
PI
L
T
9,0
3,0
L
0

23
PID
L
T
2,1 L2 L5,0
2.3.2 Método de Ziegler-Nichols em malha fechada
Também conhecido como método de resposta em freqüência (Frequency
Response Method). Neste método é colocado em série com a planta operando em malha
fechada um controlador proporcional K, conforme a Figura 1 (com r2(k) = 0 e v(k) = 0), no
qual K varia de 0 até o ganho crítico Ku
5
que é o ganho no qual a saída exibe uma oscilação
sustentada, conforme Ogata (2003) e Aström e Hägglund (1995). O período crítico Pu
6
é
determinado conforme a Figura 4.
Figura 4: Oscilação sustentada com período crítico Pu
Conforme Ogata (2003), através destas constantes são determinados os parâmetros
Kp, Ti e Td da Equação 2.9 conforme a Tabela 2:
Tabela 2 – Regra de sintonia de Ziegler-Nichols baseada no ganho crítico Ku e no
período crítico Pu
Tipo de Controlador Kp Ti Td
P uK5,0  0
PI uK45,0 uP
2,1
1
0
PID uK6,0 uP5,0 uP125,0
5
Ku do inglês Ultimate Gain ou Ganho Crítico.
6
Pu do inglês Ultimate Period ou Período Crítico.

24
2.3.3 Sintonia Lambda (λ)
De acordo com Aström e Hägglund (1995) o método chamado Sintonia Lambda
foi desenvolvido para processos com grande atraso de transporte. Segundo Fernandes (2009):
“A sintonia Lambda pertence à classe de métodos baseados na estratégia de Controle por
Modelo Interno (IMC) [...]”.
Neste método, conforme Aström e Hägglund (1995), assume-se que o
desempenho desejado do sistema em malha fechada (Td) com atraso de transporte L seja dado
pela Equação 2.10:
sL
d e
1s
1
T 



(2.10)
Neste método o único parâmetro a ser ajustado é o λ, e este parâmetro será a nova
constante de tempo do sistema em malha fechada controlada.
Considerando um sistema conforme a Figura 1 (com r2(k) = 0 e v(k) = 0) temos
que o ganho em malha fechada (Gmf) do sistema é (Equação 2.11):
0
0
mf
KG1
KG
G

 (2.11)
Considerando um sistema com atraso de transporte L igual a 0, e igualando as
Equações 2.10 e 2.11, temos (Equação 2.12):
0
0
KG1
KG
1s
1



(2.12)
Desenvolvendo o K da Equação 2.12 temos que o controlador desejado é
(Equação 2.13):
sG
1
K
0
 (2.13)
Substituindo G0 na Equação 2.13 obtemos o tipo de controlador a ser
implementado ao sistema. Na Tabela 3 são descritos controladores a partir da Sintonia
Lambda (λ) para modelos de primeira ordem com constante de tempo τ, ganho K e tempo de
atraso L segundo Rivera et al. (1986 apud Fernandes 2009):
Tabela 3 – Sintonia do PID segundo Rivera et al. (1986) para sistemas de primeira
ordem com atraso L

25
Tipo de
Controlador
Kp Ti Td Sugestão
PID
)L2(K
L2




2
L

L2
L




8,0
L


PI


2K
L2


2
L
 - 7,1
L


Na Tabela 4 temos a Sintonia Lambda (λ) para diversos modelos segundo Rivera
et al. (1986 apud Fernandes 2009):
Tabela 4 – Sintonia do PID segundo Rivera et al. (1986)
Modelos de
Processo
Kp Ti Td
1s
K
 

K
 -
  1s1s
K
21   

K
21 
21  
21
21



1s2s
K
22
  

K
2
2


2
s
K
K
1
- -
 1ss
K
 K
1
- 
Para este tipo de sintonia, o sistema em malha fechada responderá mais rápido
para λ<1 e mais lento para λ>1 com relação ao sistema em malha aberta de acordo com
Fernandes (2009) e Aström e Hägglund (1995).
Segundo Fernandes (2009): “Uma forma conservativa de escolher λ é fazê-lo igual
à maior constante de tempo do processo”.
2.4 PID Discreto
Seja o controlador C(s) do tipo PID descrito na Equação 2.14:
sK
s
K
KsT
sT
1
1K(s)C d
i
pd
i
p 





 (2.14)
Aplicando o mínimo múltiplo comum (MMC), temos (Equação 2.15):

26
s
KsKsK
(s)C
ip
2
d 
 (2.15)
Aguirre (2004) apresenta algumas formas de mapear funções no domínio s para o
dominio z e vice-versa. Na Equação 2.16 é apresentado a “aproximação implícita de Euler” no
qual a mesma é baseada em aproximações discretas para a derivada com tempo de
amostragem igual a Ts.
szT
1z
s

 (2.16)
Substituindo s da Equação 2.16 na Equação 2.15 temos (Equação 2.17):
   
1z
1z2z
zT
K
zTK1zK
1Z
zT
1z
zTKzTK
zT
1z
zTK
zT
1z
zT
1z
KK
zT
1z
K
(z)C
2
S
d
Sip
2
s
SdSi
S
Sp
S
2
s
di
S
p










 





 








 





 

(2.17)
Considerando um sistema conforme a Figura 1 (com r2(k) = 0 e v(k) = 0) onde
C(z) é o mesmo K(q), podemos escrever o controlador C(z) em função da saída U(z) e a
entrada (erro) E(z) (Equação 2.18):
)(
)(
)(
zE
zU
zC  (2.18)
Substituindo o C(z) da Equação 2.17 pelo C(z) da Equação 2.18, temos (Equação
2.19):
 
 
   
1
1
2
S
d
Sip
z
z
1z
1z2z
zT
K
zTK1zK
zE
zU






(2.19)
Resolvendo a Equação 2.19 temos (Equações 2.20 e 2.21):

27
 
   
    E(z)z
T
K
z
T
K
2
T
K
TKzKKzzU-zU
z1
z2z
zT
K
TKz1K
E(z)
zU
2
S
d1
S
d
S
d
Si
1
pp
1-
1
1
S
d
Si
1
p













(2.20)
(2.21)
Escrevendo na forma de equação de diferenças temos que o PID discreto será,
conforme pode ser visto nas Equações 2.22 e 2.23:
         
     2-kE
T
K
1-kE
T
K
2kE
T
K
kETK1-kEKkEK1kUkU
S
d
S
d
S
d
Sipp


(2.22)
       
 2-kE
T
K
1-kE
T
K
2KkE
T
K
TKK1kUkU
S
d
S
d
p
S
d
sip














(2.23)
A Equação 2.23 descreve a equações de diferenças de um controlador PID
discreto e pode ser encontrada em Palhares (2008). Na Tabela 5 são exibidas as equações de
diferenças dos controladores PID, PI e PD:
Tabela 5 – Equações de diferenças para controladores PID discretos
Tipo de Controlador Equação de Diferenças
PID
     
   2-kE
T
K
1-kE
T
K
2K
kE
T
K
TKK1kUkU
S
d
S
d
p
S
d
sip














PI            1-kEKkETKK1kUkU psip 
PD
     
   2-kE
T
K
1-kE
T
K
2K
kE
T
K
K1kUkU
S
d
S
d
p
S
d
p















28
2.5 Sinais Binários Pseudo-Aleatórios (PRBS)
Segundo Aguirre (2004), Sinais Binários Pseudo-Aleatórios, do inglês Pseudo
Random Binary Signals (PRBS), são sinais bastantes populares e fáceis de gerar e excitam
uma ampla faixa de freqüências. Tais sinais só possuem dois valores possíveis, +V e –V, por
isto são denominados binários, são periódicos com período T = NTb sendo N um número
impar.
O tipo mais comum de Sinal Binário Pseudo-Aleatório é o denominado
“sequência de comprimento máximo” ou simplesmente “sinais de sequência m”. De acordo
com Aguirre (2004), tais sinais podem ser gerados usando um registro de deslocamento, uma
porta lógica E e outra porta lógica OU Exclusivo conforme pode ser visto na Figura 5 no qual
cada pulso de temporização do circuito define um valor (+V ou –V) na saída e os PRBS de
sequência m têm período igual a T = NTb para N=2n
-1 onde n7
é o número de bits do registro
de deslocamento que no caso da Figura 5 é 6 e portanto o número de amostras N=63 e Tb
8
é o
intervalo entre bits.
Figura 5: Gerador de PRBS com n igual a 6
A Tabela 6 abaixo determina as conexões para um circuito conforme Figura 5 de
PRBS de sequência m.
Tabela 6 – Conexões para gerar sinais de seqüência m – Aguirre (2004)
n N = 2n-1 Bits usados pela porta OU Exclusivo
2 3 1 e 2
3 7 2 e 3
4 15 3 e 4
5 31 3 e 5
6 63 5 e 6
7 127 4 e 7
8 255 2,3,4 e 8
7
n – Número de bits do registro. Também representado como b.
8
Tb – Intervalo entre bits.Também representado por m.

29
9 511 5 e 9
10 1023 7 e 10
11 2047 9 e 11
Em Aguirre (2004), um resultado heurístico normalmente oferece bons resultados
sugere Tb conforme a Equação 2.24 onde τmin é a menor constante de tempo de interesse:
3
T
10
min
b
min 
 (2.24)
Um exemplo de PRBS pode ser visto na Figura 6.
Figura 6: Exemplo de PRBS
2.6 Representação de sistemas Lineares Invariantes no Tempo
Segundo Aguirre (2004) uma representação matemática de um sistema é dita
linear se as equações do modelo satisfazem o “princípio da superposição”. A Equação 2.25
satisfaz o princípio da superposição, se e somente se as Equações 2.26, 2.27 e 2.28 sejam
satisfeitas para quaisquer constates a e b, e portanto é linear.
 xfy  (2.25)
 11 xfy  (2.26)
 22 xfy  (2.27)
 2121 bxaxfbyay  (2.28)
Um sistema é considerado “Linear Invariante no Tempo” (LTI) se seus parâmetros
são conservados ao longo do tempo.

30
A representação de sistemas lineares invariantes no tempo de uma entrada e uma
saída (SISO9
), conforme Aguirre (2004) podem ser descritas como (Equação 2.29):
               keqHkuqGkvkuqGky 000  (2.29)
Onde q representa o operador de atraso no domínio discreto, conforme Equação
2.30:
    11
zu1kukuq 
 (2.30)
Na Equação 2.29 temos que y é a saída do sistema, u a entrada de controle e v é
um distúrbio que entra no processo. Como constatado em Aguirre (2004), temos também que
G0(q) e H0(q) são funções de transferência racionais discretas.
Como em Aguirre (2004), as funções de transferências G0(q) e H0(q) podem ser
parametrizadas em termos de frações de polinômios em q e reescritas conforme Equação 2.31:
     
 
   
 
 ke
qD
qC
ku
qF
qB
kyqA  (2.31)
Os polinômios da Equação 2.31 são definidos como (Equação 2.32):
 
 
 
 
  .qf...qf1qF
,qd...qd1qD
,qc...qc1qC
,qb...qbqB
,qa...qa1qA
f
f
d
d
c
c
b
b
a
a
n
n
1
1
n
n
1
1
n
n
1
1
n
n
1
1
n
n
1
1










(2.32)
Onde na é o número de coeficientes de A, nb é o número de coeficientes de B e
assim por diante.
Segundo Aguirre (2004), da Equação Geral 2.31 podem ser definidas estruturas
diferentes bastando considerar algum ou alguns dos polinômios iguais a 1.
Varios métodos de determinação da estrutura do modelo foram desenvolvidos
como visto em Aguirre (2004), Forssell e Ljung, (1999), Fernandes (2006) e Rodrigues
(2007).
Aseguir serão apresentadas três estruturas: a ARX, ARMAX e OE. Estas estruturas
serão utilizadas para identificação de modelos posteriormente.
9
SISO - Do inglês Single Input Single Output que caracteriza um sistema de uma única entrada e uma única
saída.

31
2.6.1 ARX (AutoRegressive with eXogenous inputs)
A representação do modelo “auto-regressivo com entradas externas” é mostrada
na Equação 2.33:
         kekuqBkyqA  (2.33)
O mesmo foi determinado da Equação Geral 2.31 fazendo C(q)=1, D(q)=1 e
F(q)=1.
Segundo Aguirre (2004) o modelo ARX pertence à classe de modelos de “erro na
equação”. Pelo fato desta estrutura ser linear nos parâmetros o que reduz consideravelmente o
custo computacional para a obtenção dos parâmetros do modelo evitando assim a utilização
de métodos iterativos.
2.6.2 ARMAX (AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs)
O modelo “auto-regressivo com média móvel e entradas externas” possui a
representação mostrada na Equação 2.34:
           
   
 
   
 
 ke
qA
qC
ku
qA
qB
ky
keqCkuqBkyqA


(2.34)
O mesmo foi determinado da Equação Geral 2.31 fazendo D(q)=1 e F(q)=1.
Segundo Aguirre (2004) a dinâmica do processo é representada independente da
dinâmica do distúrbio.
2.6.3 OE (Output Error)
O modelo “erro na saída”, cuja representação é mostrada na Equação 2.35:
   
 
   keku
qF
qB
ky  (2.35)
O mesmo foi determinado da Equação Geral 2.31 fazendo C(q)=1, D(q)=1 e
A(q)=1.

32
Segundo Aguirre (2004) este modelo descreve apenas a dinâmica do sistema e o
ruído adicionado à saída é branco.

33
3 METODOLOGIA
3.1 Procedimento – Colocação da planta em operação em malha fechada
A planta didática Smar 3 fica localizada no laboratório de controle e
instrumentação do Centro Universitário do Leste de Minas Gerais (campus Cel. Fabriciano) e
é composta por 2 circuitos hidráulicos. A comunicação com os instrumentos da planta á feita
através de Foundation Fieldbus.
Na Figura 7 é exibido o sinótico da planta. A malha de controle é composta por
uma válvula proporcional, um reservatório de água, uma bomba centrífuga que é acionado por
partida direta e um tanque no qual será feito a medição e o controle do nível. Também é
composta por diversos instrumentos de medição e para a medição do nível será utilizado o
transdutor de nível LIT-31. No processo em questão, será utilizado a primeira malha de
controle da planta didática que será acessada e controlada pela estação de controle localizada
ao lado da planta atuando diretamente na válvula FY-31. A válvula manual de retorno do
fluido ao reservatório permaneceu com 50% abertura.
Figura 7: Sinótico da planta didática 3 - Smar

34
A princípio, por se tratar de uma planta didática e a mesma não possuir uma malha
de controle fechada já estabilizada, foi preciso fazer a identificação do modelo da planta em
malha aberta através do método de resposta ao degrau segundo Ogata (2003) e com tal
modelo em malha aberta foi implementado um controlador K discreto estabilizante. Com a
planta operando em malha fechada foi aplicado o método de identificação proposto. Para
realização das etafas foi utilizado os softwares MATLAB®
, System Identification Tool e Data
Acquisition Toolbox, ambos da The Mathworks. Segue abaixo as etapas executadas:
Identificação do modelo em malha aberta;
Projeto do controlador K estabilizante;
Projeto do controlador K do tipo PI discreto;
3.1.1 Identificação do modelo em malha aberta
Com a bomba centrífica ligada, com a planta operando em malha aberta, foi
aplicado um degrau, u(k), de 60% de abertura na válvula FY-31 e coletado com um período de
amostragem igual a 0,2 segundos através do transmissor de nível LIT-31 o nível y(k). Este
tempo de amostragem foi adotado por não se conhecer as constantes de tempo da planta. A
resposta ao degrau pode ser visto na Figura 8 e o código no MATLAB®
utilizado na
identificação em malha aberta pode ser visto no Apêndice A.

35
Figura 8: Resposta ao degrau de 60% na válvula FY-31
De acordo com a Figura 8 é possível observar que se trata aproximadamente de
um sistema de primeira ordem e para isto foi feito a estimação do modelo de primeira ordem
como a Equação 3.1:
1s137
8667,0
1s137
60
52
1s
MV
PV
1s
K
G
^












(3.1)
Através do modelo estimado Ĝ da Equação 3.1, foi verificado a relação entre o
modelo real e o modelo estimado na resposta ao degrau de 60% o que pode ser visto na Figura
9. O modelo estimado se aproxima bem do modelo real para esta situação e para o projeto do
controlador K foi considerado que o modelo é LTI.

36
Figura 9: Resposta ao degrau – Sistema Real X Sistema Estimado
3.1.2 Projeto do controlador K estabilizante
Para o projeto do controlador estabilizante K, foram verificados 3 métodos
analíticos.
O primeiro método, Método de Ziegler-Nichols em malha aberta, não pode ser
aplicado pois necessitaria de uma curva tipo S para obtenção dos parâmetros do controlador.
O segundo método, Método de Ziegler-Nichols em malha fechada, foi feito o
gráfico do lugar das raízes do sistema em malha fechada conforme Ogata (2003) e visto que o
sistema não apresentou pólos com parte real positiva nem apresentou pólos com partes
complexas conjugadas que são necessários para a geração da oscilação sustentada que é citada
no método e portanto não foi possível a utilização do método. O gráfico pode ser visto na
Figura 10.

37
Figura 10: Lugar das raízes do sistema (comando rlocus MATLAB®
)
O terceiro método, Sintonia Lambda (λ), foi verificado e visto que é possível o
projeto do controlador PI através deste método. O projeto do controlador foi feito conforme a
Tabela 4 considerando que o sistema em malha fechada tenha uma constante de tempo nova
λ=60 segundos e os parâmetros encontrados para Kp e Ti foram conforme Equações 3.2 e 3.3:
6346,2
60
158,0770
60
52
137





K
K p (3.2)
137Ti   (3.3)
O controlador PI encontrado foi (Equação 3.4):
s
102306,19s6346,2
s137
1
16346,2
sT
1
1K(s)G
3
i
pC














 (3.4)
Conforme o PI encontrado na Equação 3.4, foi feito a simulação do sistema
operando em malha fechada controlado (ver Apêndice B) e visto que o controlador otimizou a
resposta do sistema. A resposta do sistema controlado está na Figura 11:

38
Figura 11: Resposta ao degrau – Sistema em Malha Fechada Controlado X Sistema em Malha Aberta
(a) Resposta ao degrau de 60% em malha aberta;
(b) Resposta ao degrau de 60% em malha fechada controlada X malha aberta;
(c) % Abertura da válvula de controle FY-31 para o sistema em malha fechada.
3.1.3 Projeto do controlador K do tipo PI discreto
Para a implementação do controlador no MATLAB®
faz-se necessário a
discretização do mesmo. O controlador PI discreto encontrado conforme a Tabela 5 pode ser
visto na Equação 3.5, e para o projeto do mesmo foi considerado um tempo de amostragem Ts
igual a 1 segundo:
           1-kE6346,2kE102306,196346,21kUkU 3
 
(3.5)
A resposta deste novo controlador PI discreto pode ser visto na Figura 12 no qual
foi possível observar que a resposta do PI discreto simulado é equivalente a do PI contínuo
simulado resultando e variações mínimas. A simulação do sistema controlado por controlador
PI discreto pode ser visto no Apêndice C.

39
Figura 12: Resposta ao degrau de 60% - PI discreto X PI contínuo
(a) Resposta ao degrau de 60% em malha aberta com PI discreto X PI contínuo;
(b) % Abertura válvula de controle FY-31.
Após os ensaios realizados, foi então implementado o algoritmo de controle do PI
discreto no MATLAB®
que pode ser visto no Apêndice D e a resposta do sistema real
controlado equiparada com o sistema simulado pode ser visto na Figura 13:

40
Figura 13: Resposta ao degrau em malha fechada – Sistema Real X Sistema Simulado
(a) Resposta ao degrau de 60% abertura válvula – Sistema em malha fechada controlado;
(b) % Abertura válvula FY-31.
Foi possível observar que o controlador K estabilizante controlou o nível do
tanque com variações menores que 1% em regime estacionário. Outro fato relevante é que o
modelo foi estimado para uma abertura de válvula igual a 60% e com a introdução do
controlador o sistema passou a atuar dentro de regiões que variam de 74% a 100% que pode
ser um dos fatores que causaram um desvio da variável manipulada em relação ao simulado.
3.2 Procedimento - Aplicação do método entrada-saída conjunta
Com intuito de obtenção de um modelo que aproximasse as características
estáticas e dinâmicas do sistema real foram feitos então 3 ensaios de identificação:
1º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador PI;
2º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador P;
3º Ensaio - Método utilizando Sinal Aleatório em r2(k) e controlador PI.

41
Para o primeiro ensaio, a planta é colocada em operação com o controlador PI já
projetado anteriormente e então é aplicado o sinal PRBS10
em r2(k). A variação do PRBS de
+10% a -10% foi escolhida para aumentar a relação entre entrada e saída do sistema e por
consequência obter um modelo mais aproximado. Em uma planta real não é viável a aplicação
de um sinal de interferência desta proporção como pode ser visto no ensaio feito em
Rodrigues (2007).
Para o segundo ensaio, é colocada a planta em operação somente com o
controlador P, algo que não é viável para uma planta real pois estaria comprometendo
significantemente a qualidade final do processo, e então é aplicado o sinal PRBS em r2(k).
Segundo Codrons (2000), se o controlador K têm zeros de fase não mínima, que é o caso do
nosso controlador PI visto na Equação 3.4, a estimativa dos modelos de T11 e por
consequência T12 fica comprometida devido ao fato dos zeros do controlador K serem os pólos
de tais modelos a serem estimados o que poderá levar, no caso da não eliminação deste pólo
instável no processo de estimação, a instabilidade do modelo da planta estimado Ĝ. Por este
motivo foi então aplicado método com o controlador K do tipo P.
No terceiro ensaio, foi então aplicado um sinal em r2(k) aleatório com variação
entre +10% e -10% e controlador K do tipo PI. Assim como no primeiro ensaio, o objetivo é
melhorar a relação entrada saída do modelo.
3.2.1 1º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador PI
Foi aplicado o procedimento para identificação em malha fechada pelo método de
entrada-saída conjunta (Joint Input-Output). Este método deverá determinar funções de
transferência r(k) para y(k) e r(k) para u(k) e, considerando apenas r2(k)11
, as únicas funções
de transferência a serem determinadas são r2(k) para y(k) e r2(k) para u(k), variáveis estas que
podem ser vistas na Figura 2. Encontrado as funções de transferência, G0 pode ser
determinado conforme a Equação 2.8.
Através deste método foi seguido o seguinte procedimento:
10
PRBS: Sigla em inglês para Pseudo Random Binary Signal.
11
Qualquer que seja a escolha do sinal referência, r1(k) ou r2(k), o resultado final será o mesmo já que a função
de transferência estimada G0 é o quociente das funções de transferências determinadas pelas amostras – Ver item
2.2.3.

42
Projetado o procedimento experimental. O mesmo pode ser visto no Apêndice E,
para isto foi necessário gerar um PRBS em r2(k) a ser somado à ação do controlador K com
nome de prbs2.mat de 10% iniciado no instante t = 500 segundos (este tempo se fez
necessário para a estabilização da planta didática) com N = 4000, n ou b = 12 e m ou Tb = 50,
o que implica dizer que o PRBS terá 4000 pontos (1 ponto por segundo), o b determina que o
sinal será aleatório com 4095 pontos e repetirá a sequência após estes pontos e também
determina que o sinal permanecerá com o mesmo valor num total de 50 pontos ou 50
segundos que é o intervalo entre as amostras. O função para a geração do PRBS pode ser visto
no Anexo A. Na Figura 14 é mostrado o sinal gerado para o experimento.
Para a utilização do PRBS faz se necessário verificar sua autocorrelação para que
seja determinado que o PRBS utilizado é um sinal aleatório ou se existe dentro do intervalo
utilizado alguma repetição de sinais o que faria com que o sinal não fosse aleatório e a
amostra dos dados obtidos não contivesse as mais variadas frequências de excitação para o
experimento. Por este motivo, foi feito a autocorrelação do PRBS (função de autocorrelação,
ver Anexo B) e o resultado pode ser visto na Figura 14:
Figura 14: PRBS inserido em r2(k) e autocorrelação
Como foi possível observar através da autocorrelação do PRBS da Figura 14 o
sinal utilizado é bom para o ensaio, devido ao valor de correlação do vetor, para t≠0, estar
dentro do intervalo de confiança (≤ 0,4).

43
Foi aplicado a excitação PRBS com o sistema operando em malha fechada
controlada através do algorítimo descrito no Apêndice E e coletado as variáveis do processo.
Na Figura 15 são mostrados os comportamentos das variáveis.
Figura 15: Resposta do sistema ao método de entrada-saída conjunta
(a) % Nível método de entrada e saída conjunta devido ao PRBS em r2(k);
(b) % Abertura válvula FY-31 em função da ação de controle e ação do PRBS.
Como foi possível observar, o PRBS interferiu no % de nível medido pelo LIT-31
no qual teve valores entre 53,88% a 66,01%. Outro ponto importante é que o % Abertura da
válvula em regime estacionário trabalhou próximo dos 60% de média, diferente do que pode
ser visto na Figura 13 no qual o % Abertura do sistema real em regime estacionário ficou
próximo dos 75% de média, o que indica a presença de um ruído no processo, ruido este que
pode estar relacionado ao nível do reservatório de água do processo.
Para a próxima etapa foram determinados, através dos sinais obtidos, os modelos
(funções de transferências) que descrevem o relacionamento de r2(k) para y(k) e de r2(k) para
u(k), também conhecidos, conforme as Equações 2.6 e 2.7, como T12 e T22 respectivamente.
Para a estimativa do modelo foi utilizado o software MATLAB®
através da
ferramenta System Identification Toolbox da The MathWorks. Para a estimativa dos
parâmetros foram desconsiderandos os 500 segundos iniciais utilizados para estabilização do

44
sistema e foi retirado dos dados a média dos dados e também foi considerado o desempenho
do modelo devido à sua ordem sendo que quanto maior o desempenho para uma menor ordem
melhor.
Identificando T12
Para a identificação da função de tranferência T12 foram feitas diversas tentativas
de modelos com variadas ordens dos tipos ARX, ARMAX e OE e o modelo matemático que
mais aproximou sua resposta com a do sistema real, com menor erro igual a 8,24%, utilizado
para a identificação foi o de predição do erro estimada do “erro na saída” (OE) do tipo
OE(2,2,1)12
com tempo de amostragem igual a 1 segundo. Os parâmetros dos polinômios da
Equação 2.35 foram (Equação 3.6):
 
  .q9464,01,946q-1qF
;0,0199qq01992,0qB
2-1-
-2-1


(3.6)
A resposta do modelo matemático equiparada com a do sistema real foi (Figura
16):
Figura 16: T12 - Resposta do modelo real X estimado
12
Esta nomenclatura é utilizada no System Identification Toolbox (SITB) Ljung (1995 apud Rodrigues, 2007),
OE(nb,nf,nk) significa que será estimado um modelo OE com nb parâmetros no numerador, nf parâmetros no
denominador e nk atrasos.

45
A equação da função de transferência T12, vista na Equação 3.8, pode ser extraída
da Equação 2.35 (modelo OE) no qual a entrada é r2(k) e a saída é y(k) com os parâmetros
B(q) e F(q) da Equação 3.6, como visto nas Equações 3.7 e 3.8:
   
 
       kekrTkekr
qF
qB
ky 2122  (3.7)
 
  2-1-
-2-1
12
q9464,01,946q-1
0,0199qq01992,0
qF
qB
T



 
  
s1T
9552,0z9907,0z
9995,0z
019915,0T s12 



(3.8)
Identificando T22
Para a identificação da função de tranferência T22 foram feitas as mesmas
tentativas de tipos de modelos para a identificação da função de tranferência T12 e o tipo
modelo escolhido por apresentar o menor erro com o menor grau possível foi o o de predição
do erro estimada do “erro na saída” (OE) do tipo OE(2,2,1) com menor erro igual a 31,42%.
Os parâmetros dos polinômios da Equação 2.35 para esta função de transferência dados pela
Equação 3.9:
 
  .0,3707q1,325q-1qF
;0,818q0,8159qqB
2-1-
-2-1


(3.9)
A resposta do modelo matemático comparada com a do sistema real foi (Figura
17):

46
A equação da função de transferência T22, vista na Equação 3.11, pode ser extraída
da Equação 2.35 (modelo OE) no qual a entrada é r2(k) e a saída é u(k) com os parâmetros
B(q) e F(q) da Equação 3.9, como visto na Equação 3.10:
 
  2-1-
-2-1
22
0,3707q1,325q-1
0,818q0,8159q
qF
qB
T



 
  
s1T
4011,0z9243,0z
003,1z
81587,0T s22 



(3.10)
Estimando o modelo da planta G0
Estimado o modelo da planta G0 conforme Equação 2.8 através das funções de
transferências obtidas no item anterior. Também foi feita análise para possível redução do
modelo a um de menor grau que seja satisfatório (Equação 3.11).
   
   
s1T
003,1z9552,0z9907,0z
4011,0z9243,0z9995,0z
02440,0
T
T
Gˆ
s
22
12



 (3.11)
Uma redução é feita ao modelo da Equação 3.10 devido à existência de um polo
que causa uma instabilidade no sistema. Logo, o modelo estimado foi (Equação 3.12):
   
  
  
s1T
9552,0z9907,0z
4011,0z9243,0z
02440,0
T
T
Gˆ
003,1z9995,0z
s
22
12





(3.12)
3.2.2 2º Ensaio - Método utilizando PRBS em r2(k) e controlador P
Para este 2º ensaio, foi utilizado o algoritmo para aplicação do método de
identificação em malha fechada, que pode ser visto no Apêndice E com ação integral igual a
zero (Ki=0). Para este ensaio foi utilizado um PRBS em r2(k) com os mesmos parâmetros do
utilizado no 1º ensaio. O PRBS utilizado pode ser visto na Figura 18 e a resposta do sistema
operando em malha fechada com controlador K do tipo P pode ser visto na Figura 19. Na
Figura 18 é possível observar que o PRBS utilizado é bom para o ensaio, devido ao valor de
correlação do vetor, para t≠0, estar dentro do intervalo de confiança (≤ 0,4).
Na Figura 19 observamos que a ação de controle sem a componente integral não é
viável para a aplicação em um processo real pois afetou diretamente o desempenho final do
controle.

47
Figura 18: PRBS inserido em r2(k) e autocorrelação
(a) % Nível método de entrada e saída conjunta devido ao PRBS em r2(k);
(b) % Abertura válvula FY-31 em função da ação de controle e ação do PRBS.
Identificando T12

48
Para a identificação da função de tranferência T12 o modelo matemático que mais
aproximou sua resposta com a do sistema real, com menor erro igual a 4,57%, utilizado para a
identificação foi o de predição do erro estimada do “erro na saída” (OE) do tipo OE(2,2,1)
com tempo de amostragem igual a 1 segundo. Os parâmetros dos polinômios da Equação 2.35
e a resposta do modelo estimado com o sistema real podem ser vistos na Equação 3.13 e na
Figura 20 respectivamente:
 
  2-1-
-2-1
12
q7374,01,73q-1
q02012,00,01404q-
qF
qB
T



 
  
s1T
7614,0z9685,0z
433,1z
01404,0T s12 



(3.13)
Identificando T22
aproximou sua resposta com a do sistema real, com menor erro igual a 23,16%, utilizado para
a identificação foi o de predição do erro estimada do “erro na saída” (OE) do tipo OE(2,2,1)
e a resposta do modelo estimado com o sistema real podem ser vistos na Equação 3.14 e na
 
  2-1-
-2-1
22
q1169,01,091q-1
q9666,00,9708q
qF
qB
T


 (3.14)

49
 
  
s1T
1205,0z9703,0z
9957,0z
97083,0T s22 



modelo a um de menor grau que seja satisfatório.
O modelo estimado pode ser visto na Equação 3.15:
   
  
  
s1T
9557,0z7614,0z
1205,0z433,1z
0144,0
T
T
Gˆ
9703,0z9685,0z
s
22
12





(3.15)
3.2.3 3º Ensaio - Método utilizando Sinal Aleatório em r2(k) e controlador PI
Para este 3º ensaio, foi utilizado o algoritmo para aplicação do método de
identificação em malha fechada, que pode ser visto no Apêndice E. Um Sinal Aleatório foi
utilizado e inserido em r2(k) com amplitute variando entre +10% e -10%. O sinal utilizado
pode ser visto na Figura 22 (sinal bom para o ensaio, devido ao valor de correlação do vetor,

50
para t≠0, estar dentro do intervalo de confiança (≤ 0,4)) e a resposta do sistema operando em
malha fechada com controlador K do tipo PI pode ser visto na Figura 23.
Figura 22: Sinal aleatório inserido em r2(k) e autocorrelação
(a) % Nível método de entrada e saída conjunta devido ao sinal aleatório em r2(k);
(b) % Abertura válvula FY-31 em função da ação de controle e ação do sinal aleatório.

51
Identificando T12
aproximou sua resposta com a do sistema real, com menor erro igual a 40,91%, utilizado para
a identificação foi o de predição do erro estimada do “erro na saída” (OE) do tipo OE(1,1,1)
e a resposta do modelo estimado com o sistema real podem ser vistos na Equação 3.16 e
 
  1-
-1
12
0,9162q-1
0,02867q
qF
qB
T 
 
s1T
9162,0z
02866,0
T s12 


(3.16)
Figura 24: T12 - Resposta do modelo Real X Estimado
Identificando T22
aproximou sua resposta com a do sistema real e que não possuia zero com fase não mínima,
com menor erro igual a 39,21%, utilizado para a identificação foi o de predição do erro
estimada do “erro na saída” (OE) do tipo OE(2,1,1) com tempo de amostragem igual a 1
segundo. Os parâmetros dos polinômios da Equação 2.35 e a resposta do modelo estimado
com o sistema real podem ser ser vistos na Equação 3.17 e Figura 25 respectivamente:

52
 
  2-1-
-1
22
q9404,01,939q-1
0,0006309q-
qF
qB
T


  s1T
9404,0z939,1z
z
0006308,0T s222 


(3.17)
Figura 25: T22 - Resposta do modelo Real X Estimado
modelo a um de menor grau que seja satisfatório mas não foi possível a anulação de nenhum
pólo com zero.
O modelo estimado pode ser visto na Equação 3.18:
 
  s1T
z9162,0z
9404,0z939,1z
4381,45
T
T
Gˆ
s2
2
22
12



 (3.18)

53
4 RESULTADOS
4.1 Resultados do 1º ensaio
Na Figura 26 estão apresentados os resultados para o 1º Ensaio - Método
utilizando PRBS em r2(k) e controlador PI.
Figura 26: Resposta do 1º Modelo Ĝ estimado pelo método e Local das raízes (z)
(a) Resposta ao degrau 60% - modelo estimado;
(b) Lugar das raízes do modelo estimado.
Na Figura 26 temos a resposta ao degrau de 60% do modelo Ĝ estimado pelo
Método de entrada e Saída Conjunta (MESC) da Equação 3.12 em relação ao modelo
estimado pelo Método de Resposta ao Degrau visto na Figura 9. É observado na Figura 26
que o modelo em z é estável pois possui polos dentro do do círculo unitário.
A análise da função de transferência do modelo estimado no domínio da
frequência pode ser extraído através da Equação 3.12, sendo que a mesma é vista na Equação
4.1:

54
  
  009344,0s04583,0s
07887,0s5908,0s
02441,0Gˆ


 (4.1)
Analisando a Equação 4.1 temos que o modelo real estimado possui um ganho de
2,65 para quanto t→∞ (s→0), ou seja, para uma entrada de 60% o modelo terá um % Nível de
159% como pode ser visto na Figura 26. Se aproximarmos o modelo estimado Ĝ a um modelo
de primeira ordem temos que o mesmo apresenta constante de tempo igual a 102 segundos.
Uma análise feita no diagrama de Bode da Figura 27, observa-se que o modelo
estimado começa a reduzir o gradiente de atenuação em uma freqüência 0,07 rad/s ao
contrário do modelo estimado pela resposta ao degrau que funciona puramente como um filtro
passa baixas.
Figura 27: Resposta em freqüência do 1º Modelo Ĝ
(a) Diagrama de Bode - Magnitude;
(b) Diagrama de Bode - Fase.
Como pode ser observado, o maior erro do modelo estimado Ĝ foi o ganho que
fez com que o modelo exiba uma resposta ao degrau inválida para a planta em questão.

55
4.2 Resultados do 2º ensaio
Na Figura 28 estão apresentados o resultado para o 2º Ensaio - Método utilizando
PRBS em r2(k) e controlador P.
O modelo estimado Ĝ em z pode ser visto na Equação 3.15 e este mesmo modelo
em s pode ser visto na Equação 4.2.
  
  004309,0s2726,0s
3872,0s126,1s
014462,0Gˆ


 (4.2)
Pode-se observar que o modelo é de fase não mínima, mas possui um ganho a
altas frequências negativo. Devido a esta características o modelo possui um ganho em regime
estacionário igual a 5,36, o que implica dizer que para uma degrau de 60% o % Nível do
modelo será aproximadamente 322% o que não aproxima ao modelo real da planta que é de
52%.

56
Também é possível observar na Figura 29 que o sistema possui um
comportamento semelhante ao do 1º modelo estimado com um ganho a baixas frequências um
pouco superior.
4.3 Resultados do 3° ensaio
Na Figura 30 estão apresentados o resultado para o 3º Ensaio - Método utilizando
Sinal Aleatório em r2(k) e controlador PI.

57
Convertendo o modelo em z da Equação 3.18 para um modelo em s (Equação
4.3):
 
  08746,0s2s
001444,0s0645,0s
9907,91Gˆ
2


 (4.3)
Na Figura 30 observa-se que o ganho inicial do modelo é negativo muito elevado,
o que já nos mostra que o modelo não possui uma boa representação do modelo real. Uma
razão para este ganho negativo elevado pode ser visto no diagrama de bode da Figura 31, no
qual tem se que o modelo estimado se comporta como um filtro passa altas, sendo o degrau
um ponto crítico no qual a freqüência s→∞.
Se observado o ganho deste modelo em regime estacionário temos que o mesmo
será -0,75 o que nos mostra um valor final para uma entrada em degrau de 60% de -45% no
nível da planta.
Pode-se então afirmar que o modelo não é considerado um modelo válido para o
processo em questão.
O diagrama de Bode do modelo estimado Ĝ pode ser visto na Figura 31.

58

59
5 CONCLUSÕES
5.1 Identificação em Malha Aberta
Pode-se concluir que, para a planta em questão, o modelo estimado da planta
encontrado pela resposta ao degrau foi um bom modelo para o projeto do controlador
utilizando a Sintonia Lambda (λ).
Também foi possível observar que o sistema operando em malha fechada pelo
controlador PI projetado se comportou conforme o esperado e simulado anteriormente o que
reafirma que apesar de simples, o método da Sintonia Lambda (λ) é bem eficiente e preciso
para este caso.
5.2 Identificação em Malha Fechada
Como foi possível constatar nos modelos estimados anteriormente o Método de
Entrada-Saída Conjunta não obteveram bons resultados e que, a estrutura que apresentou
melhor desempenho na identificação dos modelos foi a de “erro na saída” (OE) superando
assim, para este caso, outras estruturas testadas que foram ARX e ARMAX.
Um dos possíveis problemas encontrados na estimativa do modelo é a obtenção de
bons modelos para T22 pois, como podemos constatar na Equação 2.5, T22 é função de
sensibilidade do sistema (S0) e a mesma afeta todos os outros elementos da Matriz T(G0,K)
(Equação 2.5) o que faz com que modelos ruins de T22 afetem a estimativa de todo o sistema.
Outro possível problema encontrado é que como a função T22 é que a mesma é a
relação do sinal aplicado ao processo r2(k) com a saída de controle u(k), obterá um sinal com
frequência elevada, o que dificultará a identificação do modelo, sendo que, uma boa
identificação em alguns casos somente será possível com um modelo de grau elevado.
Também foi possível observar que os métodos de predição de erro obtiveram melhores
resultados para modelos de baixa ordem.
Outra razão para este possível problema pode ser visto em Codrons (2000),
quando o controlador K têm zeros de fase não mínima, que é o caso do nosso controlador PI
visto na Equação 3.4, a estimativa dos modelos de T11 e por consequência T12 fica

60
comprometida devido ao fato dos zeros do controlador K serem os pólos de tais modelos a
serem estimados o que poderá levar, no caso da não eliminação deste pólo instável no
processo de estimação, a instabilidade do modelo da planta estimado Ĝ.
Também foi observado que os zeros da função T22 se tornam pólos do modelo
estimado Ĝ, o que se torna um problema que, caso existam zeros de fase não mínima e os
mesmos não sejam anulados, o que é mais comum, acabam gerando um Ĝ instável.
Outro possível problema é a aplicabilidade do método em uma planta real. Para
boas estimativas se faz necessário uma boa relação entrada/saída o que pode não ser suficiente
caso seja inserido uma excitação de pequena amplitude. Uma boa alternativa é utilizar os
dados já coletados pelo processo ao longo dos anos em busca de um modelo melhor para o
ajuste do controlador já inserido no processo.

61
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lineares aplicadas a sistemas reais. 2ª Edição. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2004.
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OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição. São Paulo: Editora
Prentice Hall, 2003. 788p.
PALHARES, Reinaldo M. Apresentação: Controle de Sistemas Lineares. Universidade
Federal de Minas Gerais – UFMG, 2008.
RIVERA, Daniel E. et al. Internal Model Control. 4.PID Controller Design. Industrial and
Engineering Chemistry Process Design and Development, V. 25, p.252 - p.265. 1986.
RODRIGUES, Cid Jorge Interaminense. Projeto de Controladores Robustos a partir de
modelos identificados em malha fechada: Aplicação a um sistema industrial. 2007, 115f.
Dissertação (Mestrado em Engenharia Industrial) - Centro Universitário do Leste de Minas
Gerais - Unileste-MG, Coronel Fabriciano, 2007.
SJÖBERG, Jonas et al. Nonlinear black-box modeling in system identification: a unified
overview. Automatica, 31(12):1691–1724, 1995.
VAN DEN HOF, Paul. Closed-loops issues in system identification. Anual reviews in
control, p. 173-186, Delf University of Technology, The Netherlands, 1998.
VAN DEN HOF, Paul; BOMBOIS, Xavier. System Identification for Control. 2004. Deft
Center for Systems and Control Delft University of Technology, The Netherlands, 2004.

63
ANEXO A – FUNÇÃO GERADORA DE PRBS – AGUIRRE 1995 (PRBS.M)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Função Geradora de PRBS
%% Autor: Luiz A. Aguirre 1995
%% Função: Gera um PRBS com comprimento N e com o número de bits b
%% repetidos por um período de amostragem m.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function y=prbs(N,b,m);
% y=prbs(N,b,m)
% generates a PRBS signal with length N and with b
% bits each value is held during m sampling times.
% For b=8 the PRBS will not be an m-sequence.
% Luis A. Aguirre - BH 18/10/95
% - revision 01/02/1999
y=zeros(1,N);
x=rand(1,b)>0.5;
j=1; % for most cases the XOR of the last bit is with the
% one before the last. The exceptions are
if b==5
j=2;
elseif b==7
j=3;
elseif b==9
j=4;
elseif b==10
j=3;
elseif b==11
j=2;
end;
for i=1:N/m
y(m*(i-1)+1:m*i)=x(b)*ones(1,m);
x=[ xor(y(m*(i-1)+1),x(b-j)) x(1:b-1) ];
end;

64
ANEXO B – FUNÇÃO DE AUTOCORRELAÇÃO (MYCCF.M)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Função de autocorrelação
%% Autor: Luiz A. Aguirre 1991
%% Função: Correlaciona um vetor c de 2 colunas.
%% Para autocorrelação o vetor é inserido nas 2 colunas do vetor c
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
function [t,r,l,B]=myccf(c,lag,flag1,flag2,cor);
% [t,r,l]=myccf(c,lag,flag1,flag2,cor);
% c1=c(:,1); c2=c(:,2);
% the ccf are calculated from -lag/2 to lag/2 if flag1 = 1;
% the ccf are calculated from 0 to lag if flag1 = 0;
% plots the ccf between c1 and c2 if flag2 = 1;
% if flag2=0 the ccf is returned in r (with respective
% lags in t), but not plotted;
% l is a scalar, the 95% confidence interval is +-l;
% if cor='w', white lines are used. If cor='k', black.
% r*B is the unnormalized value of r.
%
% in case of intending the FI(eu) plot c MUST be =[e u]
% Luis Aguirre - Sheffield - may 91
% - Belo Horizonte - Jan 99, update
if flag1==1,
lag=floor(lag/2);
end;
c1=c(:,1);
c1=c1-mean(c1);
c2=c(:,2);
c2=c2-mean(c2);
cc1=cov(c1);
cc2=cov(c2);
m=floor(0.1*length(c1));
r12=covf([c1 c2],lag+1);
t=0:1:lag-1;
l=ones(lag,1)*1.96/sqrt(length(c1));
% ccf
% Mirror r12(3,:) in raux
raux=r12(3,lag+1:-1:1);
%for i=1:lag+1

65
% raux(i)=r12(3,lag+2-i);
%end;
B=sqrt(cc1*cc2);
r=[raux(1:length(raux)-1) r12(2,:)]/B;
% if -lag to lag but no plots
if flag1 == 1,
t=-(lag):1:lag;
else
t=0:lag;
r=r12(2,1:lag+1)/B;
end;
% if plot
if flag2 == 1,
% if -lag to lag
if flag1 == 1,
t=-(lag):1:lag;
l=ones(2*lag+1,1)*1.96/sqrt(length(c1));
if cor=='w'
plot(t,r,'w-',t,l,'w:',t,-l,'w:',0,1,'w.',0,-1,'w.');
else
hold on
plot(t,r,'k',t,l,'b:',t,-l,'b:',0,1,'k.',0,-1,'k.');
plot(t,r,'k-',t,l,'b:',t,-l,'b:',0,1,'k.',0,-1,'k.');
hold off
end;
xlabel('lag');
else
t=0:lag;
l=ones(lag+1,1)*1.96/sqrt(length(c1));
if cor=='w'
plot(t,r12(2,1:lag+1)/B,'w-',t,l,'w:',t,-l,'w:',0,1,'w.',0,-1,'w.');
else
plot(t,r12(2,1:lag+1)/B,'k-',t,l,'b:',t,-l,'b:',0,1,'k.',0,-1,'k.');
end;
xlabel('lag');
end;
else
% if -lag to lag, but no plots
if flag1 == 1,
t=-(lag):1:lag;
else
t=0:lag;
r=r12(2,1:lag+1)/B;
end;

67
APÊNDICE A – PROCEDIMENTO DE IDENTIFICAÇÃO EM MALHA ABERTA
(MATLAB®)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Ensaio em Malha Aberta Planta Smar - 2010
%% Aluno: Patrick Pires Alvim
%% Orientador: Fabrício de Souza Fernandes
%% Função: Aplica degrau em malha aberta na planta e coleta os dados de saída
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;
close all;
clc;
da = opcda('localhost','Smar.DfiOleServer.0') % Criando cliente OPC para DFI
connect(da); % Conectando com o servidor OPC da DFI
grp = addgroup(da,'CallbackTest') % Criando o grup 'grp' no servidor 'da'
itm = additem(grp,{'LIT-31_AI1.OUT.VALUE','FIT-31_AI1.OUT.VALUE','FY-
31_AO1.OUT.VALUE','TY-31_AO1.OUT.VALUE','TIT-31_AI1.OUT.VALUE'});
%Adicionando item(variável)OPC
pause(10); % Aguarda 10 segundos até que as variaveis opc estejam disponíveis.
%%Início Código
write(itm(3),0) %fecha a válvula
Ts = 0.2; %Tempo de amostragem
N = 10000; %Numero de amostras para o teste do controlador
NivelRef = 60; %Sinal de referencia em %
r1 = ones (1,N);
r1 = r1*NivelRef;
t(1) = 0;
y(1)= itm(1).value;
k=2;
while k<=N,
%Bloco +/-
r(k) = r1(k);
%Entrada/saída para controlador
m(k) = r(k);
%Bloco +/+ Ruído
u(k) = m(k);
%Escreve o sinal de controle do PI na válvula
write(itm(3),u(k));
%Recebe o sinal de referência do nível
y(k) = itm(1).value;
t(k) = t(k-1)+Ts;
k = k+1;
pause (Ts);
end
plot(t,y);
save Ensaio2MalhaAberta15092009

68
APÊNDICE B – SIMULAÇÃO SISTEMA EM MALHA FECHADA COM
CONTROLADOR LAMBDA (SIMULINK)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Simulação em malha fechada com controlador PI - 2010
%% Função: Simula sistema controlado em malha fechada por controlador PI
%% contínuo devido à resposta ao degrau de entrada
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

69
APÊNDICE C – SIMULAÇÃO SISTEMA EM MALHA FECHADA COM
CONTROLADOR PI DISCRETO (SIMULINK)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Simulação em malha fechada com controlador PI discreto - 2010
%% Função: Simula sistema controlado em malha fechada por controlador PI
%% discreto devido à resposta ao degrau de entrada
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

70
APÊNDICE D – PROCEDIMENTO CONTROLE PI DICRETO APLICADO A
PLANTA (MATLAB®)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Ensaio em Malha Fechada Planta Smar
%% Função: Controla planta em malha fechada com controlador PI discreto.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;
close all;
clc;
da = opcda('localhost','Smar.DfiOleServer.0'); % Criando cliente OPC para DFI
grp = addgroup(da,'CallbackTest'); % Criando o grup 'grp' no servidor 'da'
31_AO1.OUT.VALUE','TY-31_AO1.OUT.VALUE','TIT-31_AI1.OUT.VALUE'});%
Adicionando item(variável)OPC
%%Parâmetros
Ts = 1; %Tempo de amostragem
Kp = 2.6346; %Ganho Proporcional
Ki = 19.2306e-3; %Ganho Integral
%%
%Numero de amostras para o teste do controlador
N = 1300;
NivelRef = 60;
r1 = ones (1,N);
r1 = r1*NivelRef;
t(1) = 0;
y(1)= (itm(1).value);
u(1)= 0;
e(1)= 0;
k=2;
i=20; %usado para plotar com tempo de i*Ts segundos
while k<=N,
y(k) = (itm(1).value);
e(k) = r1(k)-y(k);
%Controlador PI
u(k) = u(k-1)+((Kp+Ki*Ts)*e(k))-(Kp*e(k-1));

71
%Saturaçao
if u(k)>100
u(k)=100;
end
write(itm(3),u(k))
t(k) = t(k-1)+Ts;
k = k+1;
i = i+1;
if i>=20
plot(t,y)
i=0;
end
pause(Ts); %Aguarda Ts para reiniciar o laço while;
end
t=0:1:(N-1);
save EnsaioMalhaFechada -V6

72
APÊNDICE E – MÉTODO DE ENTRADA E SAÍDA CONJUNTA APLICADO AO
SISTEMA CONTROLADO EM MALHA FECHADA
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% Metodo Entrada-Saída Conjunta - PRBS com Malha Fechada - Planta Smar
%% Função: Aplica método de identificação em malha fechada (entrada-saída
%% conjunta) em plana controlada por PI discreto e coleta dados.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear all;
close all;
clc;
da = opcda('localhost','Smar.DfiOleServer.0'); % Criando cliente OPC para DFI
grp = addgroup(da,'CallbackTest'); % Criando o grup 'grp' no servidor 'da'
31_AO1.OUT.VALUE'});% Adicionando item(variável)OPC
%%Parâmetros do Controlador PI
Ts = 1; %Tempo de amostragem
Kp = 2.6346; %Ganho Proporcional
Ki = 19.2306e-3; %Ganho Integral
%Numero de iteraçoes para o teste do controlador
TempoEstabilizacao = 500; %Tempo para Estabilizaçao do Sistema em segundos
TempoPRBS = 4000; %Tempo para iteraçao do PRBS em segundos
NIteracoes = (TempoEstabilizacao+TempoPRBS)/Ts;
%Referencia entrada
NivelRef = 60;
r1 = ones(NIteracoes,1);
r1 = r1*NivelRef;
%Alocando os vetores
VetorZeros = zeros(NIteracoes,1);
u = VetorZeros;
e = VetorZeros;
uk = VetorZeros;
y = VetorZeros;
t = [0:Ts:(NIteracoes-1)]'*Ts;
%Determinando as condiçoes iniciais
y(1) = double(itm(1).value);

73
%open PRBS.mat; %Este arquivo carrega o r2(k) com valores entre -5% e +%5 do nivel.
%Este valor sera somado a açao do controlador.
load prbs2.mat;
k=2;
while k<=(NIteracoes),
y(k) = double(itm(1).value);
%Calculo do erro e(k)
e(k) = r1(k)-y(k);
%Controlador PI Discreto - Saida/Entrada = uk(k)/e(k)
uk(k) = uk(k-1)+((Kp+Ki*Ts)*e(k))-(Kp*e(k-1));
%Somando o PRBS r2(k) ao parametro do controlador
u(k)=uk(k)+r2(k);
%Saturaçao
if u(k)>100
u(k)=100;
end
write(itm(3),u(k));
%Apenas escreve na tela para acompanhamento
nivel = y(k)
u_pid = uk(k)
s_prbs = r2(k)
u_valvula = u(k)
%Numero de Iterações
k = k+1
pause(Ts); %Aguarda Ts para reiniciar o laço while;
end
dados = [t y u r2 uk e];
save MetodoEntradaSaidaConjunta -V6
save dados -v6 dados
%plot (t,y,t,u);
%figure;
%plot (t,r2,t,y,t,u);

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