1. O documento apresenta um estudo comparativo entre o filtro digital simples e o filtro Kalman aplicados a dados de um acelerômetro. 2. Dois algoritmos de filtragem são desenvolvidos: um utilizando média móvel e outro o algoritmo de Kalman. 3. Os sinais filtrados do acelerômetro acoplado a um pêndulo amortecido são analisados para comparar os desempenhos dos filtros.

1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Curso de Engenharia Mecânica (ênfase em Mecatrônica)
Bernardo Peterson Sarmento e Silva
Daniel de Castro Ribeiro Resende
Nicolas Ives Roque Pacheco
Paulo Henrique Andrade Freitas
AVALIAÇÃO DA PEFORMANCE DE FILTROS DIGITAIS:
Uma Comparação Entre O Filtro Digital Simples E O Filtro Kalman
Belo Horizonte
2013

2. Bernardo Peterson Sarmento e Silva
Daniel de Castro Ribeiro Resende
Nicolas Ives Roque Pacheco
Paulo Henrique Andrade Freitas
APLICAÇÃO DE FILTROS DIGITAIS EM UM ACELERÔMETRO:
uma comparação entre o filtro digital simples e o filtro Kalman
Trabalho apresentado à disciplina de Trabalho
de Integração de Curso no curso de Engenharia
Mecânica (ênfase em Mecatrônica) da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais.
Orientadora: Cristiana Brasil Maia
Belo Horizonte
2013
RESUMO

3. Neste trabalho propõe-se o desenvolvimento de dois algoritmos de filtragem no tempo
discreto. O filtro Kalman é um filtro digital recursivo que utiliza da teoria de espaço de
estados, onde o modelo dinâmico e o estocástico são uma combinação linear no
tempo, permitindo uma estimação do próximo estado baseado nos prévios. Esta
característica do filtro permite uma adaptação contínua do ganho, e assim atenua os
sinais indesejados devidamente. O primeiro filtro proposto utiliza uma média móvel,
calculando as covariâncias dos erros, construindo vários conjuntos com 40 amostras
e realizando a filtragem do sinal obtido do acelerômetro. No segundo filtro o algoritmo
calcula os valores de Q e R como a covariância normalizada gaussiana branca destes
valores obtidos pelo primeiro filtro. Aplicando-se este segundo filtro com estes
parâmetros fixos o valor de P é calculado continuamente pelo algoritmo. O sinal filtrado
obtido do acelerômetro acoplado no pêndulo amortecido é analisado comparando-se
então os pontos fortes e fracos de cada técnica.
Palavras-chave: Filtragem digital. Filtro Kalman. Acelerômetro.

4. ABSTRACT
This paper proposes the development of two algorithms for filtering in the discrete time.
The digital Kalman filter is a recursive discrete filter that can that use the theory of
space of states, where the dynamic model and the stochastic model are a linear
combination in the time. Allowing an estimation of the next state based on the previous
ones. This characteristic of the filter allows a continuous adaptation of the gain, and
therefore attenuating the de undesirable signals accordingly. The first proposed filter
utilizes a moving average, calculating the errors covariance, making groups with 40
samples and realizing the filtering on the sampled signal of the accelerometer. The
second algorithm calculates the values of Q and R as the normalized white Gaussian
covariance of the values obtained in the first filter. Appling this second filter with these
fixed parameters the valued of P is continuously calculated through the algorithm. The
obtained filtered signal of the accelerometer fixed on the damped pendulum is
compared pointing the strong and weak points of each technic.
Keywords: Digital filtering. Kalman filter. Accelerometer.

5. LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Esquema de uma malha de controle fechada ................................12
Figura 2 - Esquema de um acelerômetro........................................................14
Figura 3 - Modelo Massa mola amortecedor do acelerômetro........................15
Figura 4 - Circuito do acelerômetro capacitivo................................................16
Figura 5 - Pêndulo simples .............................................................................24

6. LISTA DE SIGLAS
MEMS - Sistemas eletrônicos micro-mecânicos
MOSFET - Transistor de efeito de campo
MATLAB - Matrix Laboratory

7. SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO........................................................................................................11
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA................................................................................12
2.1 Acelerômetro......................................................................................................14
2.2 Filtros analógicos e digitais...........................................................................16
2.3 Filtro por transformada Z................................................................................17
2.4 Filtro Kalman......................................................................................................20
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...........................................................................21
3.1 Filtro Kalman......................................................................................................21
3.1.1 Algoritmo do filtro de Kalman...................................................................22
3.2 Transformada Z ......................................................Erro! Indicador não definido.
4 METODOLOGIA.....................................................................................................24
4.2 Esquema..............................................................................................................25
4.3 Características...................................................................................................26
5 RESULTADOS .......................................................................................................27
REFERÊNCIAS..........................................................................................................31
ANEXO A.........................................................................Erro! Indicador não definido.

8. 1 INTRODUÇÃO
Com o avanço da eletrônica e o aumento do fator de empacotamento de
CI s (circuitos integrados), permitiu-se a criação de uma categoria de sensores
denotados de sistemas micromecânicos, ou simplesmente MEMS
(Microelectromechanical systems).
A vantagem de se utilizar um sensor MEMS está no seu tamanho
relativamente pequeno e no seu baixo consumo de energia, e seu preço
relativamente baixo. Dentro desta categoria de sensores encontra-se o
acelerômetro, que é um sensor que mede a componente da aceleração em um
eixo, proveniente da força resultante sobre ele.
Como em qualquer sistema de medição, as medidas provenientes de um
acelerômetro são acompanhadas de erros, estes que em sistemas de controles
com realimentação causam sinais de controle inadequados para a atuação na
planta, muitas vezes levando o sistema a instabilidade e a saturação. Para evitar
que tal situação ocorra utiliza-se um filtro que atenua o erro deixando o valor
medido pelo sensor o mais próximo possível do verdadeiro.
O objetivo deste trabalho é desenvolver técnicas de projeto de um filtro
para um acelerômetro e exercitá-las na síntese de filtros com especificações
usadas em aplicações de interesse prático. Baseando-se na técnica mais
utilizada encontrada na revisão da literatura encontrada que é a filtragem através
do método de Kalman. A compreensão dos algoritmos de projeto requer a
aplicação dos conceitos de sistemas e de transformadas adquiridos na revisão
bibliográfica e nos estudos, e isso contribuirá para a sedimentação desses
conceitos.
Na parte de implementação do projeto será feita uma comparação
qualitativa e quantitativa em relação a amplitude. Com estas análises de
resultados será obtido qual filtro a ser utilizado que terá melhor condição de
trabalho e sucesso quanto a sua utilização.

9. 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
A realização do controle de um sistema se torna relativamente simples se
o modelo da planta for conhecido e o controlador deter a capacidade de realizar
o comando relativo a este modelo. No entanto na maioria dos casos o modelo
completo não está disponível e o controle de estruturas mecânicas nunca ocorre
com a devida precisão. Para resolver este problema utiliza-se de sensores, que
permitem a obtenção de informações sobre o estado da planta e das suas
vizinhanças, permitindo construir um controle capaz de compensar estes erros,
realizado um o controle por malha fechada cujo esquema está ilustrado na figura
1.
Figura 1 - Esquema de uma malha fechada de controle.
Fonte: Elaborado pelo autor
Apesar de se poder compensar estes erros do atuador com um sensor,
tem-se o problema da incerteza de medição, presente na própria medida
fornecida pelo sensor, o que pode gerar um sinal de controle errado, ou ainda
levar a planta a saturação ou inadaptabilidade. A natureza do erro medido pode
ser divido em duas parcelas, a primeira é o erro sistemático e afeta a medida de
maneira constante e previsível, a segunda é o erro aleatório que ocorre devido
a variabilidade dos processos físicos envolvidos em um sistema de medição,
cujo valor é sempre imprevisível.
Segundo HERNÁNDEZ (2000) existe um método de cancelamento de
ruído recursivo menos adaptativa é aplicada para estimar os sinais elétricos
provenientes de um acelerômetro embutido em um ônibus em um teste de
desempenho. O ruído e/ou as interferências podem corromper o sinal obtido, e
é necessário diminuir o ruído na medição com a aceleração do ônibus. O

10. algoritmo utilizado tem a vantagem de simplicidade computacional e é bem
adequado para representar o tempo de diferentes características em medições
em tempo real da aceleração. Como o sinal de interesse e o ruído têm muito
próxima as bandas de frequência é muito difícil diminuir o ruído usando simples
filtros. Os resultados demonstram a importância da utilização tanto de
condicionamento de sinal analógico e processamento de sinal digital quando
temos de lidar com os sinais corrompidos pelos ruídos.
Tais erros são inerentes à medição e não podem ser eliminados, porém
podem ser minimizados de modo que a medida se aproxime à máxima possível
do valor real. Para tal utiliza-se uma filtragem no sinal de medição. O filtro permite
a atenuação de ruídos ou erros, até que seu valor seja desprezível.
Segundo TAVAKOLI (2010) o desenvolvimento de um novo pólo de
desenvolvimento de um robô com a capacidade de manipulação de estruturas
que possam fornecer dados que são lidos e interpretados. O robô pode operar
em perfis circulares com diâmetros variando entre 200 mm a 350 milímetros e é
capaz de varrer a superfície exterior do poste. Permite também a aplicação de
várias pinças de formas diferentes perfis e tamanhos, sem qualquer alteração no
mecanismo de escalada. Tais dificuldades tornam-se ainda mais problemática
quando a base do braço do robô móvel. Este problema foi abordado por uma
solução com a implementação do filtro Kalman implementado para o robô
através da integração de sensores, bem como a compensação de erros e
algoritmos de auto- calibração. Os sensores e os algoritmos propostos melhorou
significativamente a precisão da manipulação do robô.

11. 2.1 Acelerômetro
Acelerômetros são sensores que capturam o vetor aceleração linear.
Aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, e, pode ser
monitorada em um, ou em até dois ou três eixos, com acelerômetros uniaxiais,
biaxiais ou tri axiais, respectivamente.
De forma geral, os acelerômetros têm sua estrutura básica composta pelo
monitoramento de uma massa conhecida suspensa por uma estrutura
estacionária, como molas de flexão. Este sistema pode ser entendido como um
transdutor massa-mola, que compõe o sensor.
O conjunto adquirindo variação de movimento, a massa suspensa terá
uma reação contrária a aceleração devida à inércia. A reação exercida pela
massa é equilibrada pela mola, e através do deslocamento da mola pode-se
calcular por proporcionalidade a força aplicada e a aceleração do corpo.
Além da força e da aceleração, é possível também mensurar rotação,
inclinação, colisão e gravidade. Um esquema de funcionamento de um
acelerômetro genérico está exemplificado na figura 2.
Figura 2 - Esquema de um acelerômetro.
Fonte: Elaborado pelo autor.

12. O acelerômetro MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems) faz a união
do transdutor mecânico na figura 2 e de uma circuitaria elétrica, e seu uso tem
se estendido a aplicações automotivas, na área de bio-médicas, e em sistemas
militares. Estima-se que o acelerômetro juntamente com giroscópio ocupe cerca
de 20% do mercado de MEMS. (DONG, 2012).
Acelerômetros MEMS têm recebido atenção devido ao seu baixo custo e
tamanho pequeno. Preciso medição de vibração de amplitude e fase, na
frequência de medição gama, são importantes para a análise da vibração de
confiança. No entanto, uma série de acelerômetros MEMS de diferentes
fabricantes mostram algum desvio, em amplitude e fase, quando examinada
usando medições em laboratório de vibração controladas. O trabalho do BADRI
(2010) apresenta um método para melhorar o desempenho acelerômetros
MEMS. Através as medições em laboratório, uma função característica para um
acelerômetro MEMS típico foi calculada com referência a um acelerômetro
padrão.
Na modelagem de um acelerômetro MEMS (DONG,2012) pode-se
considerar que a parte do transdutor pode ser simplificada, através de um
sistema massa mola amortecedor, como ilustrado na figura 3.
Figura 3 - Modelo Massa mola amortecedor do acelerômetro.
Fonte: DONG, 2012.
Na figura 4, compondo o circuito do acelerômetro, há duas fontes
senoidais de alta frequência, defasadas de 180º uma da outra, que passam por
dois capacitores variáveis (C1 e C2). Os valores de capacitância destes

13. capacitores vão depender da posição da massa sísmica. O circuito termina, com
sua saída, em um filtro analógico de primeira ordem.
Figura 4 - Circuito genérico do acelerômetro capacitivo.
Fonte: DONG, 2012.
A fonte de erro nas medidas de um acelerômetro segundo DONG (2012)
pode provir tanto de forças aleatórias do movimento das moléculas de ar, quanto
por ruídos eletrônicos provindos dos MOSFET's (Transistor de campo de óxido
de metal silício) de amplificação.
Ambas as fontes de erro podem ser modeladas como ruídos de média
zero e uma variância conhecida em uma possível filtragem.
2.2 Filtros analógicos e digitais
A filtragem de sinais tem como objetivo alterar o conteúdo espectral do
sinal, removendo sinais indesejados, como ruído, de forma que possa ser
realizada melhor conformidade do sinal para aplicação desejada. Existem dois
tipos principais de filtros que são os filtros digitais e analógicos.

14. Os filtros analógicos usam circuitos analógicos, que podem ser
constituídos de componentes passivos como resistores, indutores e capacitores
ou ativos. Estes filtros, que também possuem amplificadores operacionais para
produzir amplificação de tensão, também têm como objetivo a realização da
filtragem do sinal. Dentre esses filtros podemos citar quarto tipos básicos, que
são: os que só permitem a passagem de frequências abaixo da frequência
predeterminada, ou, os filtros passa baixas; os que só permitem a passagem das
frequências acima de uma frequência predeterminada, ou, filtros passa altas; os
que só permitem a passagem das frequências situadas numa faixa delimitada,
ou, filtros passa faixas; e os que só permitem a passagem das frequências
situadas abaixo de uma frequência de corte inferior ou acima de uma frequência
de corte superior, os filtros rejeita faixas.
Na filtragem digital os processos de formação do espectro das forma de
onda ocorrem usando componentes digitais na implementação. Em seu trabalho,
RADER(1968) notou, que havia uma crescente tendência no aumento da
velocidade e diminuição de custo e tamanho nos CI's digitais, tornando-os uma
vertente crescente na técnica de filtragem de sinal.
RADER (1968) explicita as vantagens da filtragem digital e sua
performance estável para uma precisão arbitrariamente alta. A ausência do
problema do casamento de impedâncias, e a flexibilidade presente no qual pode-
se alterar os parâmetros do filtro para modificar sua resposta, são características
intrínsecas à filtragem digital.
2.3 Filtro por transformada Z
Um aspecto fundamental do processamento digital de sinais é que ele é
baseado no processamento de sequências de amostras. Para tanto, o sinal
contínuo no tempo é convertido nessa sequência de amostras, convertido em
um sinal discreto no tempo. Após o processamento digital, a sequência de saída
pode ser convertida de volta a um sinal contínuo no tempo.

15. Baseado no contexto de redução de ruído e mínima distorção para um
sinal reconstituído a partir de sua contaminação, a implementação de técnicas e
estudo de filtros se torna muito frequente na minimização da distorção.
A maior parte do processamento de sinais envolve processar um sinal
para obter outro sinal. Normalmente, isso é conseguido por um processo
conhecido como filtragem. A transformada de Laplace relaciona-se com filtros
analógicos, equações diferenciais no domínio s e plano s. A transformada Z
relaciona-se com filtros digitais recursivos, equações diferencias no domínio Z
e ao plano Z.
Semelhante ao apresentado anteriormente, entre a relação das
transformadas, a generalização da representação senoidal complexa de um sinal
de tempo discreto é realizada em termos de sinais exponenciais complexos pela
transformada Z. O objetivo do projeto é aplicar propriedades de álgebra linear ao
tratamento de sinais, aos circuitos e aos sistemas sujeitos a ruídos e incertezas
paramétricas. A similaridade das técnicas aplicadas na análise de sinais e de
sistemas aproximou essas áreas de pesquisa, tradicionalmente tratadas
separadamente. O uso comum de transformadas (Laplace, Fourier, Z) e de
métodos numéricos (desigualdades matriciais, cálculo simbólico, algoritmos de
otimização) permite que uma dualidade entre sinais e sistemas seja
estabelecida, aproximando problemas e soluções. Os tópicos principais no
estudo dos filtros são: estabilidade e controle de sistemas dinâmicos, tratamento
de sinais para estimação da direção de chegada de sinais usando arranjo de
sensores e medida objetiva de qualidade das respostas.
Sistemas de tempo contínuo são transformados em sistemas discretos
usando a transformada Z. Embora o processo físico seja um sistema de tempo
contínuo, o sistema em tempo discreto é utilizado para obter um modelo
matemático que dá o comportamento do um processo físico nos pontos de
amostragem. Uma transformada de Laplace é utilizada para a análise de sistema
de controle no domínio da frequência. Na maioria dos casos, o desenho de
controladores e filtros são feitos utilizando ferramentas no MATLAB
(QISHUANG, 2013). Para obter resultados satisfatórios, o código de

16. programação dos controladores, recebem os algoritmos destes filtros projetados
no domínio da frequência.
A maioria dos algoritmos usados em computação científica está em forma
de equações diferenciais. Poder prever o que a atuação dos controladores,
quando submetidos ao trabalho, é o grande interesse dos desenvolvedores de
algoritmos de simulação. De acordo FAZARINC (2013) a transformada Z pode
representar um recurso para prever o comportamento do sistema, por isso a
predileção pelo uso de equações diferenciais na maior parte dos problemas de
modelagem. As equações diferenciais clássicas são então obtidas a partir do
comportamento, deixando apenas as variáveis independentes que se
aproximam de zero, por sua pequena transitoriedade.
Utilizando no caso um filtro digital, este usa um processador digital para
executar cálculos numéricos em valores amostrados do sinal de entrada. O
processador pode ser um computador. Isto quer dizer que, a cada intervalo de
tempo previamente definido é retirada uma amostra do sinal de entrada que vai
ser codificada em forma binária e este procedimento é aplicado sucessivamente
a cada novo intervalo de tempo. Esta amostragem é transferida ao processador
que efetuar os cálculos numéricos utilizando a transformada Z. Estes cálculos
são produzidos pelo processador e representam valores do sinal filtrado e podem
ser reconstituídos, o qual irá converter o sinal filtrado em um sinal na forma
analógica.
Segundo BROWN (2012), tem-se como um exemplo de utilização da
transformada Z o filtro de Kalman, que funciona no domínio do tempo, em vez
do domínio da frequência. Uma das vantagens do filtro de Kalman é a sua
capacidade para acomodar os parâmetros de tempo variáveis. No entanto, há
algumas aplicações em que o filtro, depois de muitas etapas recursivas se
aproxima de uma condição de estado estacionário. Quando isso acontece, a taxa
de amostragem é fixa, o filtro de Kalman se comporta da mesma forma como
qualquer outro filtro digital, a principal diferença é a entrada / saída de
propriedade vetor do filtro de Kalman. A estabilidade de filtros digitais
convencionais é facilmente analisada com métodos transformada Z.

17. 2.4 Filtro Kalman
O nome do sistema de filtragem foi nomeado com o sobrenome de Rudolf
Kalman, mas Thorvald Nicolai Thiele e Peter Swerling já haviam chegado a
conclusões semelhantes. Rudolf Kalman teve a oportunidade de acompanhar a
implementação de sua teoria na estimação de trajetórias usado no projeto Apollo,
na NASA.
O filtro Kalman é um estimador discreto das variáveis do espaço de
estados de um sistema dinâmico contínuo. Sua aplicação se torna muito útil
especialmente em casos onde as perturbações do sistema são aleatórias, e os
erros provenientes tanto da planta quando da medição podem ser tratadas como
variáveis adicionais (KOWNACKI, 2011).
Um dos grandes motivos do sucesso da implementação do filtro Kalman
está na sua versatilidade e na capacidade de sua aplicação em sistemas cuja a
dinâmica ocorre mais rapidamente, suprindo a deficiência dos filtros estatísticos
por média variável e média variável ponderada exponencialmente, cujo o uso até
então encontra-se limitado ao uso do estado estacionário, ou onde a dinâmica
ocorre de maneira mais lenta (BAI, 2006).

18. 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo encontra-se toda a conceituação teórica referente ao
trabalho desenvolvido.
3.1 Filtro Kalman
Baseando-se na teoria de controle, têm-se que o filtro Kalman no tempo
discreto, para a k-ésima amostra de um sinal digital, assume a seguinte equação
de sistema linear em espaço de estados:
𝒙̇(𝑘) = 𝑭(𝑘). 𝒙(𝑘 − 1) + 𝑩(𝑘). 𝒖(𝑘) + 𝑮(𝑘). 𝒗(𝑘)̇ (1)
Onde:
 𝒙(𝑘) e 𝒙̇(𝑘): São os vetores com as variáveis de estado de
interesse e sua derivada, respectivamente.
 𝑭(𝑘): Matriz que descreve o estado do sistema.
 𝑩(𝑘): Matriz de estado da variável de controle.
 𝒖(𝑘): Vetor das variáveis de controle conhecidas.
 𝑮(𝑘): Matriz de estado do ruído ou erro.
 𝒗(𝑘): é uma variável aleatória que descreve a incerteza na
evolução do estado devido a perturbações existentes na planta.
A saída do sistema para uma variável observado é descrita pela equação
seguinte como:
𝒚(𝑘) = 𝑪(𝑘). 𝒙(𝑘) + 𝑫(𝑘). 𝒘(𝑘) (2)
Onde:
 𝒚(𝑘): é o vetor com as variáveis observadas
 𝑪(𝑘): é a matriz que descreve a contribuição do estado para a o
vetor

19.  𝑫(𝑘): matriz que descreve a contribuição do erro de observação no
estado.
 𝒘(𝑘): vetor de variáveis aleatórias que descrevem a incerteza da
vairável observada devido ao erro de medição
No modelo do filtro Kalman as variáveis de erro tanto de estado 𝒗(𝑘)
quanto a observável 𝒘(𝑘), ambas apresentam uma distribuição Gaussiana e
elas são temporalmente não realcionadas, e possuindo uma média de valor nulo
e uma covariância de valor conhecido.
𝐸[𝒗(𝑘)] = 𝐸[𝒘(𝑘)] = 𝟎, ∀ 𝑘 (3)
𝐸[𝒗(𝑖), 𝒗⊤(𝑗)] = 𝛿𝑖𝑗 𝑸(𝑖); 𝐸[𝑤(𝑖), 𝒘⊤(𝑗)] = 𝛿𝑖𝑗 𝑹(𝑖) (4)
3.1.1 Algoritmo do filtro de Kalman
O filtro Kalman utiliza de métodos estatísticos em uma quantidade de
amostras para estimar o próximo estado do sistema. A expressão para um valor
médio condicional é expressa pela seguinte relação:
𝒙(𝑖 ∣ 𝑗) ≜ 𝐸[𝒙(𝑖) ∣ 𝒚(1), 𝒚(2), … , 𝒚(𝑗)] ≜ 𝐸[𝒙(𝑖)
∣ 𝒀 𝑗
]
(5)
A variância estimada é definida como o erro médio quadrado, e sua
estimativa é determinada por:
𝑷( 𝑖 ∣∣ 𝑗 ) = 𝐸{[𝒙(𝑖) − 𝒙( 𝑖 ∣∣ 𝑗 )][𝒙(𝑖) − 𝒙( 𝑖 ∣∣ 𝑗 )] 𝑇
∣ 𝒀 𝑗
} (6)
A primeira etapa do algoritmo do filtro é a estimativa do valor de 𝒙 a um
momento no tempo discreto k e a sua covariância. Essas predições são
computadas através das equações 7 e 8.

20. 𝒙( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 ) = 𝑭(𝑘). 𝒙( 𝑘 − 1 ∣ 𝑘 − 1 ) + 𝑩(𝑘). 𝒖(𝑘) (7)
𝑷( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 ) = 𝑭(𝑘). 𝑷( 𝑘 − 1 ∣ 𝑘 − 1 ). 𝑭 𝑻(𝑘)
+ 𝑮(𝑘). 𝑸(𝑘)𝑮 𝑻(𝑘)
(8)
A segunda etapa do filtro é a atualização da estimativa de 𝒙 juntamente
com a sua covariância no tempo k baseado na variavel observada 𝒚(𝑘). Logo o
valor de 𝒙 será:
𝒙( 𝑘 ∣ 𝑘 ) = 𝑭(𝑘). 𝒙( 𝑘 − 1 ∣ 𝑘 − 1 ) + 𝑾(𝑘).[ 𝒚(𝑘)-
𝑪(𝑘). 𝒙( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 )]
(9)
𝑷( 𝑘 ∣ 𝑘 ) = 𝑷( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 ) − 𝑾(𝑘). 𝑺(𝑘). 𝑾⊤
(𝑘)
(10)
Onde a matriz de ganho 𝑾(𝑘) é determinada por:
𝑾(𝑘) = 𝑷( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 ). 𝑪(𝑘) 𝑺−𝟏
(𝑘) (11)
A covariância da inovação 𝑺(𝑘) é equacionado por:
𝑺(𝑘) = 𝑹(𝑘) + 𝑪(𝑘). 𝑷( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 ). 𝑪(𝑘) (12)
A inovação ou residual 𝒗(𝑘)é um medidor da eficiência entre as
estimativas do filtro e a sequência de observação, já que os estados reais não
estão disponíveis para comparação. O valor da inovação pode ser analisado
por:
𝒗(𝑘)
= 𝒚(𝑘) − 𝑪(𝑘). 𝒙( 𝑘 ∣ 𝑘 − 1 )
(13)

21. 4 METODOLOGIA
Para realizar a filtragem do acelerômetro MMA 7360, produzido pela
Freescale, será utilizado um sistema de pêndulo simples, como ilustrado na
figura 5.
Figura 5 - Pêndulo simples.
Fonte: Elaborado pelo autor.

22. O acelerômetro será acoplado à massa do pêndulo de tal forma que um
dos eixos corresponda à aceleração radial. Tomando como base a forma de
onda teórica deste sistema, iremos realizar uma comparação entre os valores
medidos pelo sensor, na forma direta, isto é sem filtro, e posteriormente
aplicando o algoritmo desenvolvido na linguagem do microcontrolador
Atmeg328P na plataforma de desenvolvimento do Arduino UNO. A aquisição das
formas de onde será feita através de um osciloscópio.
4.1 Interface
O acelerômetro MMA 7260 trabalha com um rateio de medições linear,
admitindo como offset de funcionamento, sua amplitude de tensão de referência.
Assim, suas respostas em tensão elétrica, são convertidas em uma escala de
acuracidade binária, de acordo com a interface de conversão A/D do
microcontrolador. Estas leituras são salvas e plotadas graficamente para
visualização e comparação das diversas tentativas de aplicação do filtro Kalman.
4.2 Esquema
O shield (estrutura física de suporte composta por simples circuitos e
pinagem para funcionamento básico do CI) do acelerômetro foi então, polarizado
com uma diferença de potencial de cinco Volts à partir do terra, configurado com
sinal baixo para a sensibilidade de leitura de 1.5 atmosferas, e teve seu canal de
saída do eixo ‘z’ ligado ao canal de entrada analógica do osciloscópio, e,
finalmente fixado ao pêndulo mecânico. A disposição esquemática do shield
fabricado pela LC Soft permite que os demais pinos não utilizados permaneçam
desconectados pelo pull-down interno pré-inserido à estes.

23. 4.3 Características
As características de funcionamento do acelerômetro referentes à
montagem deste trabalho são:
- Tensão de alimentação: 5,0 V;
- Amplitude de leitura de aceleração: -5000 à 5000g;
- Sensibilidade: 206 +/- 0,03 mV/g;
- Densidade espectral de ruído: 350ug/(Hz)1/2;
- Corrente de alimentação: 400 à 700 uA;
- Amplitude térmica de funcionamento: -40 à 85 °C;
-Frequência máxima de resposta: 400Hz;
-Impedância de saída: 32kΩ.

24. 5 RESULTADOS
Um dos maiores desafios do filtro Kalman está em conseguir calcular os
parâmetros de Q, R e P aposteriori. Para isto utilizou-se um algoritmo que pelo
método de cálculo da covariância ponderada exponencial, utilizando uma média
variável dos valores medidos Z.
Utilizando um intervalo de 40 amostras, o algoritmo retornou os valores
para Q, R e P aposteriori no tempo K ilustrados nos gráficos das figuras 6, 7 e
8.
Figura 6 - Gráfico com os valores obtidos de Q

25. Figura 7 - Valores obtidos para R
Figura 8 – Valores obtidos para P

26. Utilizando estes valores para realizar a filtragem do sinal a partir do tempo
discreto k=41, obteve-se que o seguinte sinal resultante da figura N.4
Figura 9 - Sinal filtrado com os valores estimados ponto a ponto
Observa-se no gráfico do sinal filtrado que os primeiros 40 tempos k não
sofrem ação do sinal filtrado, e ainda está muito longe de ser aproximado
daquele de um sistema subamortecido.
Outra desvantagem que se percebe ao analisar o algoritmo é o tempo
computacional gasto, sendo sua aplicabilidade à um sistema limitada pelo tempo
de processamento do unidade de controle digital.
Para consertar este problema utilizou-se das considerações dos valores
R e Q são distribuições normais gaussianas de média zero e covariância
conhecida. Para os valores de P aposteriori considerou-se que as considerações
feitas a Q e R.
Considerando que os valores de Q e R são na verdade os valores do erros
de medição e do processo e possuem Qf e Rf como as verdadeiras covariâncias

27. do sinal, obteve-se os valores para estes parâmetros de 0,00717672608140421
e 3,32132550758649*10-7.
Para P o valor de covariância obtido foi de 0,000447836603137485. Neste
ponto é importante observar que devido a natureza iterativa do filtro o valor de P
pode ser qualquer número real positivo não nulo, que ele irá convergira para o
valor real. Porém ao começarmos com o valor estimado da covariância têm-se
que a qualidade do filtro aumenta, pois os primeiros valores já estarão filtrados
corretamente.
Utilizando os valores de Q, R e P obtidos anteriormente, e utilizando o
algoritmo do filtro construído, disponível no anexo B, obteve-se os seguintes sinal
filtrado, da figura n.5
Figura 10 - Sinal filtrado pelo algoritmo
Observa-se então, que, com os valores estimados dos parâmetros Q, R e
P, o sinal filtrado aproxima-se muito mais do que o esperado de um sistema
amortecido com variações menores do que o método anterior.

28. REFERÊNCIAS
BADRI, Abdellatef E.; SINHA, Jyoti K.; ALBARBAR, Alhussein. A typical filter
design to improve the measured signals from MEMS accelerometer.
Measurement, United Kingdom,vol.43, p. 1425-1430, ago. 2010.
BROWN, Robert Grover; HWANG, Patrick Y. C. Introduction to random
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