PROJETO DE GRADUAÇÃO
Não-lineariedades e controle em
uma treliça pseudoelástica
Marcel Vítor Santana dos Santos
Orientador...
Sumário
1– Motivação
2 – Contexto teórico
3 – Ferramentas de análise
4 – Implementação do controle

5 – Apresentação dos r...
Motivação e exemplos de aplicações

Sistemas
dinâmicos
não-lineares

Materiais
Inteligentes
(SMA)

Controle de caos

1 - C...
Treliça de Von Mises – modelo geral
Forçamento externo

Massa concentrada no
ponto de junção das barras



Sistema mecâni...
CONTEXTO
SMA – Comportamento geral

Efeito memória de forma

Efeito memória de forma
SMA – Comportamento geral
Diminuição da
temperatura
• Martensita (A-B)

Aumento da
temperatura
• Austenita (C-D)

Efeito m...
Modelagem matemática – movimento
Deformação (ε)
• Lei de Hooke
• E = EM + β3 (EA – EM)

Fração volumétrica
• β1 = M+ (não-...
Modelagem matemática – movimento
Modelagem matemática – movimento
Modelagem matemática – evolução
Procedimento numérico
Linguagem
• Programa C++

Simulações
• 3000 períodos
• Discretizados (1200
partes)

Runge Kutta
• 4ª...
ANÁLISE
Sistemas dinâmicos não-lineares

Espaço de fase

Hiperplano

Seção de Poincaré
Vibração forçada – resposta dinâmica
Forçamento
• Amplitude constante
• γ = 0,01

Variação (frequência)
• Variação de regi...
Dinâmica no espaço de fase
Dinâmica de transição de fases
CONTROLE
Órbitas periódicas instáveis


Seção de Poincaré


Varre-se todos os pontos
contidos na série temporal



Verifica-se q...
Método TDF (Time-Delay Feedback)
x(t)
variáveis de estado
Q(x,t)
dinâmica do sistema
B(t)
ação de controle

K é a matriz d...
Modelagem – termo de controle
Modelagem – termo de controle
RESULTADOS
Resultados (τ = 1 e K = 0)
Resultados (τ = 1 e K = 0,5)
Resultados (τ = 1 e K = 1)
Resultados (τ = 1 e K = 1) – transiente
Resultados (τ = 2 e K = 0,7)
Resultados (τ = 4 e K = 0,5)
Efeito Transiente

Convergência
• O método TDF apresenta
dificuldades para altas
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Mapa de resultados
Ganho (K)

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0,10 0,20 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,70 0,75 1,0

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PADRÕES E ANÁLISE
DE SENSIBILIDADE
Padrões – regime caótico
Espaço de fase
desorganizado
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bem definido
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Padrões – regime quase-periódico
Espaço de fase
organizado
Visita aos dois lados do
sistema com padrão
bem definido
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Padrões – regime periódico
Espaço de fase
organizado

NO SNAP-THROUGH

Presença do estado
livre de tensões
Laços de hister...
Análise de sensibilidade – frequência
Análise de sensibilidade – amplitude
CONCLUSÃO
E PERSPECTIVAS
Conclusões

1

• O sistema de treliça composto por SMA em regime
pseudoelástico apresenta comportamento bastante complexo
...
Perspectivas

1

• Alterações na aplicação do modelo de controle TDF,
e abordagens com outros métodos devem ser considerad...
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Não-linearidades e controle em uma treliça pseudo-elástica

  1. 1. PROJETO DE GRADUAÇÃO Não-lineariedades e controle em uma treliça pseudoelástica Marcel Vítor Santana dos Santos Orientadora: Aline Souza de Paula
  2. 2. Sumário 1– Motivação 2 – Contexto teórico 3 – Ferramentas de análise 4 – Implementação do controle 5 – Apresentação dos resultados 6 – Padrões e análise de sensibilidade 7 – Conclusão e perspectivas
  3. 3. Motivação e exemplos de aplicações Sistemas dinâmicos não-lineares Materiais Inteligentes (SMA) Controle de caos 1 - Controle de operação 2 - Novos produtos 3 - Otimização estrutural
  4. 4. Treliça de Von Mises – modelo geral Forçamento externo Massa concentrada no ponto de junção das barras  Sistema mecânico com duas barras  Comportamento bi-estável  Não-linearidades geométricas  Liga de memória de forma  Não-linearidades constitutivas  Dinâmica de transição de fase Deformação simétrica Presença do fenômeno snap-through
  5. 5. CONTEXTO
  6. 6. SMA – Comportamento geral Efeito memória de forma Efeito memória de forma
  7. 7. SMA – Comportamento geral Diminuição da temperatura • Martensita (A-B) Aumento da temperatura • Austenita (C-D) Efeito mudança de temperatura Efeito pseudoelástico • Somente austenita • Estado livre de tensões Efeito pseudoelástico • Analisado neste trabalho Efeito pseudoelástico
  8. 8. Modelagem matemática – movimento Deformação (ε) • Lei de Hooke • E = EM + β3 (EA – EM) Fração volumétrica • β1 = M+ (não-maclada) • β2 = M - (não-maclada) • β3 = A • β4 = 1−(β1+β2+β3) Temperatura (T) • Expansão térmica • Ω = ΩM + β3 (ΩA – ΩM)
  9. 9. Modelagem matemática – movimento
  10. 10. Modelagem matemática – movimento
  11. 11. Modelagem matemática – evolução
  12. 12. Procedimento numérico Linguagem • Programa C++ Simulações • 3000 períodos • Discretizados (1200 partes) Runge Kutta • 4ª ordem • ∆τ = π/1000ϖ Modelo constitutivo • Método de Projeção Ortogonal (Savi)
  13. 13. ANÁLISE
  14. 14. Sistemas dinâmicos não-lineares Espaço de fase Hiperplano Seção de Poincaré
  15. 15. Vibração forçada – resposta dinâmica Forçamento • Amplitude constante • γ = 0,01 Variação (frequência) • Variação de regimes • Diagrama de bifurcação • 200 períodos de forçamento Caso de estudo • Frequência •  = 0,3347 Regime caótico
  16. 16. Dinâmica no espaço de fase
  17. 17. Dinâmica de transição de fases
  18. 18. CONTROLE
  19. 19. Órbitas periódicas instáveis  Seção de Poincaré  Varre-se todos os pontos contidos na série temporal  Verifica-se quais os pares que satisfazem à condição:  Tolerância determinada  OPIs encontradas   Órbitas mostradas em detalhes Período 1 Período 2  Período 4
  20. 20. Método TDF (Time-Delay Feedback) x(t) variáveis de estado Q(x,t) dinâmica do sistema B(t) ação de controle K é a matriz de ganho e xτ é a defasagem do método Se a defasagem coincidir com a periodicidade da i-ésima OPI, a perturbação se anula para a solução do sistema que é correspondente a esta OPI.
  21. 21. Modelagem – termo de controle
  22. 22. Modelagem – termo de controle
  23. 23. RESULTADOS
  24. 24. Resultados (τ = 1 e K = 0)
  25. 25. Resultados (τ = 1 e K = 0,5)
  26. 26. Resultados (τ = 1 e K = 1)
  27. 27. Resultados (τ = 1 e K = 1) – transiente
  28. 28. Resultados (τ = 2 e K = 0,7)
  29. 29. Resultados (τ = 4 e K = 0,5) Efeito Transiente Convergência • O método TDF apresenta dificuldades para altas periodicidades (τ) Avaliação de resultados • Cuidado: caótico ou quase-periódico? Avaliação de resultados • Múltiplas perspectivas
  30. 30. Mapa de resultados Ganho (K) 0 0,10 0,20 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,70 0,75 1,0 Defasagem (τ = 1) C P4 Defasagem (τ = 2) C C C Defasagem (τ = 4) C C C QP QP P2 QP QP QP QP QP P1 P1 P1 C C C* C C C* QP Aplicação do método de controle pode ser considerada bem sucedida para todos os valores de ganho K aplicados para uma defasagem τ = 1 C C C C P2 C* C* C C C* C* C* C* A resposta de comportamento quase-periódico e periódico não apresenta correlação com o aumento do valor de ganho
  31. 31. PADRÕES E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
  32. 32. Padrões – regime caótico Espaço de fase desorganizado Visita os dois lados do sistema sem padrão bem definido Presença de estados livre de tensões Transições de fase com aspecto “borrado” Sinais de controle sem padrão bem definido no espaço
  33. 33. Padrões – regime quase-periódico Espaço de fase organizado Visita aos dois lados do sistema com padrão bem definido Nunca alcança um estado livre de tensões Coexistência de laços de histerese Sinal de controle com comportamento “ampulheta”
  34. 34. Padrões – regime periódico Espaço de fase organizado NO SNAP-THROUGH Presença do estado livre de tensões Laços de histerese claramente separados Sinais de controle com padrão bem definido no espaço
  35. 35. Análise de sensibilidade – frequência
  36. 36. Análise de sensibilidade – amplitude
  37. 37. CONCLUSÃO E PERSPECTIVAS
  38. 38. Conclusões 1 • O sistema de treliça composto por SMA em regime pseudoelástico apresenta comportamento bastante complexo 2 • O método TDF mostrou-se eficaz para controlar o sistema inicialmente caótico, especialmente para a utilização de valores de periodicidade baixos 3 • Após a aplicação do método de controle, foi possível identificar padrões muito fortes de comportamentos caóticos, quase-periódicos e periódicos 4 • O controle evitou o comportamento snap-through e reduziu significativamente os valores de tensão envolvidos
  39. 39. Perspectivas 1 • Alterações na aplicação do modelo de controle TDF, e abordagens com outros métodos devem ser consideradas 2 • Métodos de identificação de caos como o expoente de Lyapunov devem ser levados em consideração, apesar da dificuldade de implementação (cálculo do ganho) 3 • Investigações do comportamento da treliça em diferentes temperaturas podem revelar nuances interessantes e novos desafios para a abordagem de controle utilizada
  40. 40. Muito obrigado!

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