O documento discute o conceito de crescimento populacional e apresenta três modelos matemáticos para descrever a dinâmica populacional: crescimento linear, exponencial e logístico. O crescimento linear é caracterizado por um aumento constante na população a cada período, enquanto o crescimento exponencial resulta em taxas de crescimento proporcionais ao tamanho da população, levando a um crescimento contínuo e acelerado.
3. “Crescimento
populacional”
O que significa este termo?
• No seu uso moderno o termo “crescimento
populacional” tornou-se muito vago devido,
principalmente, aos extensos significados
dados, nos nossos dias, a “populacional” e
“crescimento”.
4. Daqui concluímos que, na sua
interpretação original, a palavra refere-se
a populações humanas.
Por essa razão quando se fala em
crescimento populacional muitas vezes
se pensa em populações humanas.
Raiz latina do termo "Populacional"
Populacional
Populus
(Latim)
Significa POVO
(Pessoas)
5. Entretanto, este campo de ação expandiu-
se de modo a incluir qualquer coleção de
objetos (animados ou inanimados) acerca
das quais nós queremos
elaborar um estudo quantitativo.
Assim podemos falar,
por exemplo, da
população dos
pinguins, pneus,
bactérias, reais e
centavos.
6. A palavra “crescimento”
• Pensamos normalmente nesta palavra
como aplicada a coisas que crescem, que
se tornam maiores... mas...
• ATENÇÃO!!...nem sempre é assim!!
Mapa 1
CRESCIMENTO ANUAL MÉDIO (%)
FONTE: INE - Recenseamento Geral da População em Portugal
9. Ao analisarmos a história,
vimos que a evolução da matemática sempre teve
um papel fundamental no desenvolvimento
científico-cultural das sociedades.
10. Desde o início da
civilização que
existe uma
ligação entre a matemática e
o estudo das
populações.
Uma das razões pela qual os humanos
inventaram os sistemas numéricos foi a
sua necessidade de manejar os princípios
de contagem de populações.
11. Sentiram necessidade de, por exemplo,
contar as ovelhas do seu rebanho, o número
de pessoas da sua tribo, etc.
12. Hoje em dia, os modelos matemáticos
de crescimento populacional são uma
ferramenta fundamental para o nosso
esforço de perceber o fluxo e
refluxo das populações selvagens em
perigo,
locais piscícolas, pragas agrícolas,
doenças infecciosas, estrago radioativo,
lixo comum, etc.
13. Disciplinas atuais, tais como “Ecologia
Matemática”, “Biologia Populacional”, e
“Bioestatística” são
construídas à base da matemática do
crescimento populacional.
15. Nesta etapa, daremos alguns exemplos
elucidativos do tipo de problemas de
“crescimento populacional”que podem
surgir.
Vamos apresentar alguns dos modelos
mais simples que podem ser usados no
estudo da sua dinâmica:
modelo de crescimento linear
modelo de crescimento exponencial
modelo de crescimento logístico.
17. O crescimento de uma população é um processo
dinâmico; logo, quer dizer que a situação muda ao
longo do tempo.
Podem distinguir-se dois tipos de situação:
Crescimento contínuo
Crescimento discreto
18. No crescimento contínuo :
as mudanças ocorrem permanentemente.
(Ex.: contas de poupança, de juros compostos continuamente.)
No crescimento discreto :
as mudanças efetuam-se periodicamente
(transições).
19. O nosso foco será o crescimento discreto.
Este tipo de crescimento é o caminho mais
comum e natural pelo qual as populações
mudam.
As mudanças - transições -
efetuam-se periodicamente, isto é, as alterações
não ocorrem sistematicamente, havendo
intervalos de tempo em que a população
se mantém constante.
20. Por uns tempos nada acontece ; depois, existe uma
mudança repentina na população, e assim
sucessivamente.
O período entre as transições tanto pode ser
frações de segundos, minutos, horas, dezenas de
anos ou séculos.
Para o nosso estudo, este período de tempo entre
as transições não nos interessa.
O problema principal do crescimento populacional
é prever o que acontecerá a uma dada população
ao longo do tempo.
21. A forma mais comum para lidar com esta
questão é descobrir as regras pelas quais se
regem as transições .
Para estudar o que acontece entre dois
períodos de tempo, analisam-se as regras de
transição, ou seja, as regras que determinam as
transições.
22. Se soubermos como se altera uma certa
população em cada transição podemos,
geralmente, determinar como se altera a mesma
após muitas transições.
Neste sentido, podemos associar
convenientemente o declínio ou o aumento de
uma população ao longo do tempo a uma lista
infinita de números chamada sequência
populacional.
23. Como se gera a sequência
populacional?
Toda a sequência populacional começa com a
população inicial (geração “zero”).
Vamos denominar por a população inicial.
A sequência continua com , etc.
Onde é o tamanho da população na n-ésima
geração.
0
P
n
P
2
1,P
P
25. O modelo de crescimento linear é o mais simples
de todos.
Neste modelo, em cada geração a população
muda (aumenta ou diminui) por uma quantidade
fixa, uma constante.
Vamos ver como este modelo funciona, através de
um exemplo.
27. • A “Fuleiros” esteve em atividade durante 6 meses.
• Durante o primeiro mês de negócio, a empresa
teve 80 encomendas.
– Durante o segundo mês, teve 205
encomendas.
– 3º mês : 330 encomendas
– 4º mês : 455 encomendas
– 5º mês : 580 encomendas
28. Atividades propostas:
(utilize o papel milimetrado fornecido)
1) Crie uma tabela que descreva esta sequência.
2) Crie um gráfico de linha que descreva a
sequência:
a) Faça do eixo horizontal o eixo dos meses:
b) Faça do eixo vertical o eixo das
encomendas.
3) Crie um gráfico de barras que descreva a
mesma informação.
29. Crescimento da empresa nos
primeiros 5 meses
Três modos de descrever os mesmos dados.
CRESCIMENTO da Empresa
0
100
200
300
400
500
600
700
1 2 3 4 5
MÊS #
#
ENCOMENDAS
CRESCIMENTO da Empresa
0
100
200
300
400
500
600
700
1 2 3 4 5
MÊS #
#
ENCOMENDAS
meses # (N): 1 2 3 4 5
# encomendas: 80 205 330 455 580
30. 4) Encontre a diferença entre o número de
encomendas, em meses consecutivos.
• Nn - Nn-1
(onde Nn = mês da venda e Nn-1 = mês anterior)
• Ex.: 2º mês – 1º mês
• 205 - 80 = 125
• 330 - 205 = 125
• 455 - 330 = 125
• 580 - 455 = 125
Este valor é
chamado de
diferença
comum.
O que pode ser concluído em relação a estas
diferenças?
31. 5) Em não havendo mudanças de mercado,
quais seriam as três próximas quantidades
de encomendas da fábrica de biscoitos?
• Quando as diferenças entre valores consecutivos
da “sequência populacional” (aqui, a nossa
“população” são as “encomendas feitas”) são
sempre iguais (ou muito aproximadas), um
modelo de crescimento linear pode ser utilizado
para descrever o crescimento da população.
Atividade proposta:
32. Este é um exemplo típico do modelo de
crescimento linear, que se caracteriza pelo fato de,
em cada transição, se adicionar um valor
constante, que designaremos por d, à população
anterior.
Descrevamos, então, este modelo
matematicamente:
Modelo de Crescimento Linear
População Inicial: N0
Nn = Nn-1 + d
população na geração n população na geração n-1 razão da sequência
33. A equação anterior dá-nos uma descrição da
sequência da população pois através dela é
possível obter valores da sequência usando valores
anteriores a esses.
Embora esta fórmula seja simples, tem uma grande
desvantagem:
Para se obter um determinado termo da
sequência, é necessário calcular primeiro todos os
termos anteriores.
34. No entanto, podemos descrever a sequência da
população de uma outra forma:
Modelo de Crescimento Linear
Nn = N0 + (n-1) . d
Esta equação dá-nos uma descrição explícita da
sequência da população, já que através dela é
possível obter qualquer termo da sequência
conhecendo apenas o primeiro termo (primeira
amostra) e a razão da sequência.
Primeira amostra
35. Obtivemos assim uma progressão aritmética
de razão d cuja equação geral é:
Nn = N0 + (n-1) . d
Nota (regra da matemática):
A soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética é
dada por:
onde N1 e Nn são o primeiro e o último termo, respectivamente, e
n é o número de termos.
n
2
N
N n
1
n
S
36. • Esse processo utiliza valores prévios da
sequência para calcular um novo valor.
• Neste exemplo, uma descrição simples da
sequência seria:
“O número de encomendas feitas durante o
próximo mês será de mais 125 do que as
feitas durante o mês corrente.”
Matematicamente, a descrição matemática é:
• Nn = N0 + Nn-1 . 125
onde n = o número do mês
Nn = o número de encomendas feitas no mês n
e No = 80
Número de encomendas
feitas durante o mês
anterior.
Número de
encomendas feitas
durante o n-ésimo mês. O valor inicial tem de
estar especificado.
37. Para este exemplo a equação geral da descrição
será:
Nn = 80 + (n-1) x 125
onde n e Nn são definidos como anteriormente.
Deverá notar que 80 é o número inicial de encomendas
feitas e que em cada mês posterior acrescenta-se 125.
Isto é, no segundo mês 125 é adicionado uma vez…
No terceiro mês 125 é adicionado duas vezes…
O valor inicial
está especificado
na fórmula.
38. Note que:
N1 = 80 + (1-1)x125
N2 = 80 + (2-1)x125
N5 = 80 + (5-1)x125
6) Se o crescimento da empresa continuar a seguir
estes parâmetros, quantas encomendas serão
feitas depois de 100 meses em atividade?
.
.
.
Atividade proposta:
.
.
.
Nn = N0 + Nn-1x125
41. O economista e demógrafo britânico Thomas
Malthus ficou conhecido sobretudo pela teoria
segundo a qual o crescimento da população tende
sempre a superar a produção de alimentos, o que
torna necessário o controle da natalidade.
Malthus era um pessimista que considerava a
pobreza como um destino ao qual o homem não
pode fugir.
42. Thomas Robert Malthus nasceu entre 14 e 17 de
fevereiro de 1766, em Rookery, Surrey, Inglaterra.
Malthus morreu em Saint Catherine, Somerset, em
23 de dezembro de 1834.
43. A ideia de Malthus era que a taxa de
crescimento de uma população é diretamente
proporcional ao seu tamanho. Isto deve-se ao
fato que as populações crescem porque as
pessoas têm bebês. Quanto mais pessoas houver,
mais bebês elas terão. Ou seja, o
número de bebês nascido é um
múltiplo constante do número de
pessoas presentes na população.
44. Obviamente, as pessoas
também morrem; logo,
existe também uma taxa de
mortalidade.
Essa taxa será simplesmente uma certa
porcentagem do tamanho da população em
qualquer tempo dado, pois quanto maior for a
população de um local, maior número de pessoas
morrerá por motivos naturais desse local.
Assim, deve-se combinar a taxa positiva de
natalidade com a taxa negativa de mortalidade, de
modo que a diferença entre elas seja constante.
47. A quantia de R$1.000,00 é depositada numa
conta poupança, que paga 10% de juros anuais
(isto é, o juro é pago uma vez por ano, no final do
ano).
7) Quanto dinheiro estará na conta após 30 anos, se os
juros forem deixados na mesma porcentagem?
Atividade proposta:
48. Continuando, no final do 2º ano, teremos:
(Quantia do início do 2º ano) × 1,1 = 1.100 × 1,1,
ou seja, R$ 1.210,000.
Lembre que a quantia do início do 2º ano é a do
final do 1º ano (já que os juros são pagos apenas
no final de cada ano).
Sendo a quantia inicial de R$1.000,00 no final
desse ano, ela será adicionada de 10% do seu total,
isto é, 10% de 1.000, ou seja, no final desse ano
ficaremos com 110% dos R$1.000,00 iniciais
(1,1 × 1.000), ou seja, R$ 1.100,00.
49. De outra forma, podemos mostrar:
Ao fim do 1º ano temos 1.000 + 0,1x1.000 =
1.000 x 1,1 = R$1.100,00
Ao fim do 2º ano, 1.000 x 1,12 = R$1.210,00;
Ao fim de 15 anos, 1.000 x 1,115 = R$ 4.177,00.
Assim, o balanço da conta após 30 anos (ou seja,
a quantia no início do 31º ano) será:
1.000 × (1,1)30 = R$17.449,40
50. Neste exemplo, cada transição (que ocorre no final
do ano) corresponde a tomar 110% do balanço do
início desse ano.
Podemos ainda dar uma regra geral para obter o
balanço na conta deste exemplo: no início do n-
ésimo ano, a conta tem a seguinte quantia, em
Reais,
Pn+1 = 1000 × (1,1)n.
Este atividade proposta é um exemplo clássico de
crescimento exponencial: o dinheiro inicial rende
juros; depois, os juros sobre o dinheiro inicial
adicionado de juros são também capitalizados, e
por aí adiante...
51. O fundamental do crescimento exponencial é a
multiplicação repetida: cada transição consiste
em multiplicar o tamanho da população por um
fator constante.
52. A sequência definida por esta propriedade, ou seja,
em que cada termo é obtido, multiplicando o
anterior por um valor fixo r, é chamada de
progressão geométrica, sendo r designado por
razão da progressão.
O modelo de crescimento exponencial pode ser
assim descrito:
Modelo de Crescimento Exponencial
Pn = Pn-1 × r
53. Ou, de outra forma, por:
Modelo de Crescimento Exponencial
Pn = P1 × rn-1
Observação: Uma ideia errada e frequente é que
o crescimento exponencial implica que a
população se torna sempre maior. Mas isso pode
não acontecer. De fato, se r>1, temos o
crescimento real; mas, se r<1, temos uma
diminuição da população; para r=1, temos uma
população constante.
54. Termo geral de uma progressão geométrica
de razão r e 1º termo P1:
1
-
n
1
n r
P
P
Nota:
A soma de n termos consecutivos de uma
progressão geométrica é:
r
-
1
r
-
1 n
1
P
Sn
56. Comparação entre o modelo linear e o
modelo exponencial
O crescimento da população no modelo linear é
em progressão aritmética, enquanto que no
modelo exponencial o crescimento faz-se em
progressão geométrica.
O crescimento no modelo exponencial é muito
mais rápido do que no modelo linear.
58. Os modelos apresentados anteriormente são
insatisfatórios quando se trata de resolver, por
exemplo, problemas de crescimento populacional
em que a população é de animais.
59. De fato, no caso de uma população biológica, a
taxa de crescimento da mesma não é fixa, pois
depende do tamanho relativo das populações que
interagem com ela (é o caso dos predadores) e,
sobretudo, do seu próprio tamanho.
Quando o tamanho relativo de uma população é
pequeno, e há muito espaço onde ela possa
crescer, então a taxa de crescimento será alta.
Mas, à medida que a população vai crescendo, o
espaço vai sendo menor, pelo que a taxa de
crescimento começa a diminuir.
Por vezes, a população cresce demasiado, o que
leva à sua diminuição e poderá, até, levar à sua
extinção.
60. De entre os muitos modelos matemáticos que se
esforçam por lidar com uma taxa de crescimento
variável num hábitat fixo, o mais simples é o
modelo de crescimento logístico. A ideia base
deste modelo é o fato de a taxa de crescimento ser
diretamente proporcional ao espaço disponível no
hábitat da população.
61. Assim, se houver muito espaço, a população tem
uma taxa de crescimento alta;
se houver pouco espaço, essa taxa será baixa
(eventualmente inferior a 1, o que significa,
como já foi visto, que a população está
diminuindo);
e, finalmente, se o hábitat vier a estar saturado,
a população morrerá.
62. Descrevamos este modelo matematicamente:
se C for uma constante que represente o ponto de
total saturação do habitat, então, para uma
população de tamanho PN, o espaço livre é a
diferença entre a capacidade do habitat e o
tamanho da população, ou seja,
(C-PN).
Assim, como a taxa de crescimento é
proporcional ao espaço livre, temos:
taxa de crescimento para o período
N = R(C-PN)
sendo R a constante de proporcionalidade, a qual
depende da população em estudo.
63. Usando o seguinte fato: (população no período N) ×
(taxa de crescimento para o período N) = população
no período (N+1),
obtemos a seguinte regra de transição para o
modelo de crescimento logístico:
PN+1 = R (C - PN) PN
64. Podemos ainda reescrever esta equação de uma
forma mais agradável: considerando que o máximo
da população é 1(isto é, 100% do habitat é
ocupado pela população), o mínimo é 0 (isto é, a
população está extinta) e todos os tamanhos
possíveis da população são representados por
frações entre 0 e 1, que serão denotadas por pN, o
espaço disponível relativo é, então, (1-pN):
Equação Logística
pN+1 = r(1-pN)pN
65. Nesta equação, o valor pN representa a fração da
capacidade do habitat que já foi ocupada pela
população, ou seja, pN = PN/C, e a constante r, que
se designa por parâmetro de crescimento,
depende da taxa de crescimento, R, e da
capacidade do habitat, C.
67. Suponhamos que temos um tanque no qual
pretendemos criar uma determinada variedade de
truta. Consideremos que o parâmetro de
crescimento da dita espécie é r=2,5.
Decidimos iniciar o negócio de cultura de
peixe colocando trutas no tanque de forma a
ocupar 20% da sua capacidade máxima, ou seja,
p1 = 0,2.
Atividade proposta:
Vejamos o que o modelo de crescimento logístico
prevê para o nosso futuro negócio.
68. Depois da 1ª época de procriação, temos
p2 = 2,5 × (1-0,2) × (0,2) = 0,4.
(A população do tanque duplicou!).
Continuando com este programa, obtemos depois
da 2ª época de procriação,
p3 = 2,5 × (1-0,4) × (0,4) = 0,6
Depois da 3ª época, obtemos
p4 = 2,5 × (1-0,6) × (0,6) = 0,6
69. O número de trutas mantém-se constante nestas
duas gerações e podemos observar que assim se
mantém ao calcularmos indefinidamente a
percentagem da capacidade do tanque ocupada
pelos peixes. Isto significa que a população de
trutas estabilizaria aos 60%.
71. ·
No modelo linear de crescimento populacional,
a sequência da população é descrita por uma
progressão aritmética, e em cada período de
transição a população cresce pela adição de uma
constante (a razão da sucessão).
Este modelo é usado vulgarmente para
populações de objectos inanimados.
72. · No modelo exponencial de crescimento
populacional, a população é descrita por uma
progressão geométrica.
Aqui, em cada período de transição a população é
multiplicada por uma constante (a razão da
sucessão).
Este modelo é utilizado sobretudo quando há uma
produção ilimitada.
73. · O modelo logístico de crescimento
populacional representa situações em que a taxa
de crescimento varia de uma estação para a
seguinte, dependendo do espaço disponível no
habitat da população.
Muitas populações de animais se regem pelo
modelo logístico ou por variações simples do
mesmo.
