O documento apresenta três exemplos de funções que modelam situações reais, solicitando o cálculo de derivadas, taxas de variação, máximos, mínimos e comparação com a variação real estimada pela integral. Os exercícios propõem analisar afirmações sobre essas funções e corrigir valores incorretos.

1. 2016-1 D E R I V A D A S
- Prof Julio Cezar
D E R I V A D A S
Aplicações
Taxa de Variação
Máximos e Mínimos.

2. D E R I V A D A S .
OBTENÇÃO DA TAXA DE VARIAÇÃO MARGINAL E
DE MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES.
Exemplos aplicativos.
1. Um empresa observou que seu Lucro líquido mensal (em milhares de
reais) , depende do preço aplicado a seu produto, e pode ser calculado por:
L = 200 + 15 p – 2 p² ,
onde L é o Lucro mensal líquido , em milhares de reais
e x é o preço aplicado ao produto, em reais, que pode variar de 3 a 5 reais.
(utilize 3 casas decimais em seus cálculos).
a) Calcule o lucro obtido ao serem aplicados, respectivamente os preços
mínimos e máximos aos produto. Apresente a variação do lucro estimada
nessas condições (valor em reais e em percentual).
b) Apresente a expressão matemática que calcula a taxa de variação marginal
do Lucro dessa empresa (DERIVADA) , em função do preço do produto.
c) Qual será a taxa de variação marginal do lucro dessa empresa estimada
(por Derivadas), se o preço variar o mínimo possível, a partir de R$ 3,00?
d) Qual será a variação real do lucro, estimada pela função Integral, se o
preço variar de R$ 3,00 para R$ 3,10? (dê o valor e o % de variação)
e) Com os valores obtidos nos itens (c;d) determine a margem de erro (%)
entre o valor estimado pela Derivada e a taxa de variação real)
f) Qual deve ser o preço aplicado ao produto para se obter o lucro líquido
mensal máximo? E qual será esse lucro máximo?
g) Qual deve ser o preço aplicado ao produto para se obter o lucro líquido
mensal mínimo? E qual será esse lucro mínimo?
h) Construa o gráfico cartesiano dessa função.
2. Seja S = 300 - 20t + 4t² a fórmula que calcula o valor do
Saldo de investimentos de uma empresa (em milhares de reais) , em função do
tempo (t trimestres a partir de 01/07/2015 – momento zero). Considere o
período de análise de 01/07/2015 a 01.01/2017.
a) Apresente a expressão matemática que calcula a taxa de variação
marginal do Saldo de investimentos dessa empresa, em função do tempo.
b) Qual será a taxa de variação marginal do saldo estimada (por Derivadas)
a partir de 01/07/2016?
c) Qual será a variação real do saldo, estimada pela função Integral, no
período de 01/07/2016 a 01/10/2016?
(apresente o valor e o percentual de variação)
d) Com os valores obtidos nos itens (b;c) determine a margem de erro (%)
entre o valor estimado pela Derivada e a taxa de variação real
(pela regra da função)
e) Considerando o período de análise, calcule o valor mínimo e máximo do
Saldo de investimentos dessa empresa e apresente a data em que esses
valores serão ( ou foram) atingidos.
f) Construa o gráfico cartesiano respeitando o Domínio dessa função.

3. 3. O gerente de um provedor de serviços da Internet observou que o número
de usuários de num determinado período do dia, pode ser calculado e registrado
em função do tempo ( nº de horas), no período das 9 horas até às 14 horas . Esse
cálculo é realizado pela fórmula: N = 300 + 21 h² - 4 h³
N é o nº de usuários que utilizam o a Internet ( milhares de pessoas) e
h é o número de horas , das 9 horas da manhã (momento 0) às 14 horas .
Nessas condições: (utilize 3 casas decimais em seus cálculos)
a) Apresente a expressão matemática que calcula a taxa de variação
marginal do número de usuários da Internet (DERIVADA) , em função do
tempo (nº de horas de análise do evento).
b) Qual será a taxa de variação marginal do número de usuários de Internet
desse provedor (por Derivadas), às 11h?
c) Qual será a variação real do número de usuários desse provedor de
internet, (pela função Integral), das 11h às 12 horas?
(apresente o valor e o percentual de variação)
d) Com os valores obtidos nos itens (b;c) determine a margem de erro (%)
entre o valor estimado pela Derivada e a taxa de variação real (pela regra
da função)
e) Em que momento (horário) se registra a quantidade máxima de usuários
que utilizam a Internet num dia normal de atividades?
E qual é esse número máximo de usuários?
f) Em que momento (horário) se registra a quantidade mínima de usuários de
Internet num dia normal de atividades?
E qual será esse número mínimo de usuários?
g) Construa o gráfico cartesiano, apresentando os pontos críticos do evento,
respeitando o Domínio da função.

4. Exercícios propostos.
1. Um empresa, distribuidora de chocolates, observou que o total de produtos
vendidos por mês (em milhares de unidades), numa determinada região do país, é
registrado em função do tempo (t = nº de bimestres, a partir de 01 de janeiro deste ano
= momento zero). Sabe-se que a regra da função que calcula o total de produtos
vendidos é expressa por:
V = 300 - 40 t + 2 t²
onde V é o Total de caixas de chocolates vendidas (em milhares ) e
t é o nº de bimestres de análise, a partir do dia 01/06/2015 ; t = 0).
Sabe-se que o evento será analisado até o dia 01/06/2016. Nessas condições,
Sabe-se que as proposições apresentadas a seguir sobre o mesmo evento são todas
INCORRETAS (Falsas) . Analise-as e, apresentando os respectivos cálculos, faça as
devidas correções aos valores que estão em NEGRITO.
I) O mínimo de produtos vendidos no período analisado será de 120 mil
produtos.
II) O máximo de produtos vendidos no período analisado será de 1 milhão e 200
mil produtos.
III) A variação marginal do total de vendas prevista pela Derivada para
16/05/2016 é de ( + 72 ), ou seja, haverá um aumento nas vendas, de 72
mil caixas de chocolates, a partir dessa data.
IV ) Tomando-se por base o Domínio dessa função, podemos afirmar que a
Variação Real do total de vendas de chocolates, do início ao final do evento
será de ( + 400 mil unidades), correspondendo a um aumento de 40 % ao
longo do ês de abril.
2. Um empresa observou que sua Receita mensal ( em milhares de reais) ,
depende do preço aplicado a um determinado produto, e pode ser calculada por:
R = 4 x3
- 9 x2
+ 100
onde R é a Receita mensal , em milhares de reais
x é o preço aplicado ao produto, em reais, que pode variar de 1 a 3 reais.
a) Calcule a Receita obtida ao serem aplicados, respectivamente os preços
mínimos e máximos aos produto. Apresente a variação da receita
estimada nessas condições (valor em reais e em percentual).
b) Apresente a expressão matemática que calcula a taxa de variação marginal
da receita dessa empresa (DERIVADA) , em função do preço do produto.
c) Qual será a taxa de variação marginal da receita dessa empresa estimada
(por Derivadas), se o preço variar o mínimo possível, a partir de R$ 1,00?
d) Qual será a variação real da receita, estimada pela função Integral, se o
preço variar de R$ 1,00 para R$ 1,50? (dê o valor e o % de variação)
e) Com os valores obtidos nos itens (c;d) determine a margem de erro (%) entre
o valor estimado pela Derivada e a taxa de variação real )
f) Qual deve ser o preço aplicado ao produto para se obter a receita mensal
máximo? E qual será essa receita máxima?
g) Qual deve ser o preço aplicado ao produto para se obter a receita mensal
mínimo? E qual será essa receita mínima?
h) Construa o gráfico cartesiano dessa função.

5. 3. Uma empresa abriu uma conta corrente num banco em 02/03/2016,
depositando 40 mil reais. Sabe-se que S = 20m² - 70m + 40
é a fórmula que calcula o valor do Saldo dessa conta corrente (em milhares de reais),
em função do tempo (t meses a partir de 01/03/2016. (momento zero). Considere o
período de análise de 01/03/2015 a 01/10/2016.
Sabe-se que as proposições apresentadas a seguir são todas INCORRETAS. Analise-as
e apresentando os respectivos cálculos faça as devidas correções aos valores que estão
em NEGRITO.
a) A taxa de variação marginal do saldo dessa conta corrente, estimada a partir
do dia 01/06/2016 será de ( + 12,5) representando um aumento de
R$ 12.500,00 no saldo
b) A variação real do saldo dessa conta corrente (em reais e em porcentagem) no
período de 01/06/2016 até 01/07/2016 será de (+ 8,5) ou seja, um aumento
de R$ 8.500,00 representando um acréscimo de 12,5 % .
c) O Saldo da conta corrente dessa pessoa, registrado em 08/09/2016 será de
R$ 2.710,00
d) Considerando o período dado podemos afirmar que o Saldo Mínimo
apresentado nessa conta foi negativo, no valor de – R$ (- 7.500,00) e ele
ocorreu em 01/05/2016.
e) Considerando o período de análise podemos afirmar que o Saldo Máximo
apresentado nessa conta será de R$ 420.000,00 e ocorrerá em
01/06/2016.
Nesse item, responda ao que se pede, apresentando os respectivos cálculos.
f) Em que período (entre quais datas) o Saldo da conta corrente foi NEGATIVO?

6. 3. Uma empresa abriu uma conta corrente num banco em 02/03/2016,
depositando 40 mil reais. Sabe-se que S = 20m² - 70m + 40
é a fórmula que calcula o valor do Saldo dessa conta corrente (em milhares de reais),
em função do tempo (t meses a partir de 01/03/2016. (momento zero). Considere o
período de análise de 01/03/2015 a 01/10/2016.
Sabe-se que as proposições apresentadas a seguir são todas INCORRETAS. Analise-as
e apresentando os respectivos cálculos faça as devidas correções aos valores que estão
em NEGRITO.
a) A taxa de variação marginal do saldo dessa conta corrente, estimada a partir
do dia 01/06/2016 será de ( + 12,5) representando um aumento de
R$ 12.500,00 no saldo
b) A variação real do saldo dessa conta corrente (em reais e em porcentagem) no
período de 01/06/2016 até 01/07/2016 será de (+ 8,5) ou seja, um aumento
de R$ 8.500,00 representando um acréscimo de 12,5 % .
c) O Saldo da conta corrente dessa pessoa, registrado em 08/09/2016 será de
R$ 2.710,00
d) Considerando o período dado podemos afirmar que o Saldo Mínimo
apresentado nessa conta foi negativo, no valor de – R$ (- 7.500,00) e ele
ocorreu em 01/05/2016.
e) Considerando o período de análise podemos afirmar que o Saldo Máximo
apresentado nessa conta será de R$ 420.000,00 e ocorrerá em
01/06/2016.
Nesse item, responda ao que se pede, apresentando os respectivos cálculos.
f) Em que período (entre quais datas) o Saldo da conta corrente foi NEGATIVO?