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1. Exame modelo de Matem´atica e Bioestat´ıstica
Mestrado Integrado em Ciˆencias Farmacˆeuticas
Nome:
Declaro que n˜ao entrego a resolu¸c˜ao da parte I do exame, pretendendo que seja usada a
classifica¸c˜ao que obtive no teste de Matem´atica e Bioestat´ıstica.
Declaro que entrego a resolu¸c˜ao da parte I do exame, ciente que ao fazˆe-lo, no caso de ter feito
o teste de Matem´atica e Bioestat´ıstica, a classifica¸c˜ao agora obtida substituir´a a classifica¸c˜ao
(eventualmente superior) que obtive no dito teste.
Parte I
1. (0.8 val.) Calcule tan 2 arccos
3
4
2. (4 val.) De entre os seguintes integrais, resolva apenas dois (se apresentar a resolu¸c˜ao
de mais de dois integrais, apenas ser˜ao consideradas as duas primeiras respostas):
(a) (2 val.)
ln 4
1
e2x
cos(e2x
) dx
(b) (2 val.)
+∞
1
2xe−3x
dx
(c) (2 val.)
+∞
1
cos(x)
1 + sin2
(x)
dx
3. (1.2 val.) Considere a regi˜ao do plano limitada pelos gr´aficos das fun¸c˜oes reais de
vari´avel real dadas por f(x) = x(x − 2) e g(x) = x − 1 para x ∈ [0, 1]. Fa¸ca um esbo¸co
dessa regi˜ao e determine a sua ´area.
4. (1 val.) Calcule o volume de uma pirˆamide altura 10 cm e raio da base 2 cm, usando
para isso t´ecnicas de integra¸c˜ao.

2. Exame modelo de Matem´atica e Bioestat´ıstica
Mestrado Integrado em Ciˆencias Farmacˆeuticas
Nome:
Parte II – Tipo B
5. (4 val.) Considere uma vari´avel aleat´oria (v.a.) X que tem fun¸c˜ao densidade de proba-
bilidade dada por:
f(x) =



1 − x se x ∈ [0, 1]
x − 1 se x ∈ (1, 2]
0 caso contr´ario
(a) (1 val.) Determine a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de probabilidade da v.a. X.
(b) (0.7 val.) Qual ´e o valor esperado (m´edia) de X:
(A) 1, (B)0, (C)
1
2
, (D)
3
4
.
(c) (0.7 val.) Qual das seguintes express˜oes n˜ao corresponde `a variˆancia de X.
(A) E(X2) − (E(X))2
, (B)
2
0 (x − E(X))2|x − 1| dx, (C) E(X − E(X))2,
(D)
2
0 x2|x − 1| dx.
(d) (0.8 val.) Calcule:
i. P(X = 3/2);
ii. P(1
2 ≤ X < 3
2).
(e) (0.8 val.) Sabendo que V(X) =
3
2
, determine:
i. E(4X − 6);
ii. V(3X + 120).
6. (3 val.) Considere um baralho de 52 cartas com 4 naipes, havendo respectivamente 13
cartas de cada naipe. Fizeram-se 15 extrac¸c˜oes com reposi¸c˜ao de cartas do respectivo
baralho.
(a) (1.5 val.) Calcule a probabilidade de pelo menos 5 dessas cartas serem de copas.
(b) (1.5 val.) Recorrendo a uma aproxima¸c˜ao de distribui¸c˜oes adequada, calcule a
probabilidade de, ao fim de 400 extrac¸c˜oes com reposi¸c˜ao, o n´umero de cartas de
copas observadas estar entre 90 e 120, inclusive.
7. (4.5 val.) A ASAE investigou uma m´aquina de bebidas de press˜ao de um determinado
estabelecimento. Para o efeito, encheu 51 copos e registou a quantidade de l´ıquido, em
cl, debitada em cada uma dessas 51 medi¸c˜oes. Uma an´alise breve aos valores registados,
revela que a m´edia das observa¸c˜oes foi 32,2 cl e o respectivo desvio padr˜ao observado
foi 2,4 cl. Admita que a quantidade de l´ıquido debitada pela m´aquina em cada ciclo de
utiliza¸c˜ao da mesma tem uma distribui¸c˜ao normal.

3. (a) (1.5 val.) Com num n´ıvel de significˆancia de 0.05, pode-se concluir que a m´aquina
est´a calibrada para debitar menos do que 33 cl?
(b) (1 val.) Calcule uma aproxima¸c˜ao para o valor de prova ou valor p do teste.
(c) (1.2 val.) Construa um intervalo de confian¸ca unilateral da forma [a, +∞) para a
por¸c˜ao m´edia de l´ıquido para a qual a m´aquina est´a calibrada. Considere que o
grau de confian¸ca ´e 95%.
(d) (0.8 val.) Usando a al´ınea anterior pode concluir, com 95% de confian¸ca, que a
m´aquina est´a calibrada para uma por¸c˜ao inferior a 33 cl?
A indica¸c˜ao de uma resposta de op¸c˜ao errada na pergunta que se segue
implicar´a a atribui¸c˜ao de -0.1 val. (cota¸c˜ao negativa) por cada resposta
incorrecta assinalada.
8. (1.5 val.) Assinale a op¸c˜ao correcta:
(a) (0.5 val.) A amplitude de um intervalo de confian¸ca bilateral para a m´edia de uma
popula¸c˜ao normal (com variˆancia desconhecida) diminui quando
i. a m´edia amostral aumenta
ii. se diminui o n´ıvel de confian¸ca
iii. se diminui a dimens˜ao da amostra
iv. a variˆancia da amostra aumenta
(b) (0.5 val.) Na realiza¸c˜ao de um teste de hip´oteses obteve-se um valor de prova
p = 0.032. Ent˜ao devemos:
i. rejeitar H1 com um n´ıvel de significˆancia 0.05
ii. aceitar H1 com um n´ıvel de significˆancia 0.05
iii. rejeitar H0 com um n´ıvel de significˆancia 0.01
iv. aceitar H0 com um n´ıvel de significˆancia 0.01
(c) (0.5 val.) Admitindo que o n´umero de chamadas telef´onicas que chega a um de-
terminado servidor num minuto segue uma distribui¸c˜ao de Poisson de m´edia 20,
ent˜ao, admitindo que o n´umero de chamadas que chegam em per´ıodos diferentes
s˜ao independentes, podemos afirmar que no per´ıodo de 5 minutos, o numero de
chamadas registadas no servidor tem uma distribui¸c˜ao
i. Poisson de m´edia 100
ii. Binomial com n=100 e p=0.4
iii. Poisson de m´edia 4
iv. Binomial com n=20 e p=0.4
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