Rema i círculo de mohr para tensões

Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
prof.douglas.pucgo@gmail.com
Resistência dos Materiais I – SLIDES 07
Capítulo 6
Círculo de Mohr para
tensões

SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
6.4 Círculo de Mohr - Tensão no
plano
 Consiste na solução gráfica das equações de
transformação de tensão no plano
 Permite a “visualização” das componentes de
tensão de acordo com a orientação do plano
em que agem.
2
    )
1
.
6
(
2
sin
2
cos
2
2
' 






 





 xy
y
x
y
x
x
    )
2
.
6
(
2
cos
2
sin
2
'
' 




 




 xy
y
x
y
x

6.4 Círculo de Mohr - Tensão no
plano
 Permite a “visualização” das componentes de tensão de
acordo com a orientação do plano em que agem.
3

Dedução do Círculo de Mohr
 As equações (6.1) e (6.2) podem ser reescritas:
4
   
    (6.10)
2
sin
2
cos
2
2
(6.1)
2
sin
2
cos
2
2
'
'


























 








 








xy
y
x
y
x
x
xy
y
x
y
x
x
   
    )
11
.
6
(
2
cos
2
sin
2
)
2
.
6
(
2
cos
2
sin
2
'
'
'
'






















 








xy
y
x
y
x
xy
y
x
y
x

 Elevando ao quadrado as eqs. (6.10) e (6.11) e
somando-as, tem-se:
5
    (6.10)
2
sin
2
cos
2
2
' 






 









 








 
 xy
y
x
y
x
x
    )
11
.
6
(
2
cos
2
sin
2
'
' 




 









 

 xy
y
x
y
x
2
2
2
'
'
2
'
2
2
xy
y
x
y
x
y
x
x 





 







 















 


 A eq. anterior pode ser colocada em uma
forma mais compacta:
6
2
2
2
'
'
2
'
2
2
xy
y
x
y
x
y
x
x 





 







 















 

  )
12
.
6
(
2
2
'
'
2
' R
y
x
med
x 

 









 

2
y
x
med


 2
2
2
xy
y
x
R 










 


Se definirmos eixos coordenados com σ positiva para
a direita e τ positiva para baixo e então construirmos
o gráfico da eq. (6.12), veremos que essa equação
representa um círculo de raio R e centro no eixo σ no
ponto C(σmed,0).
7

8
Qual a orientação
dos eixos
positivos???
σ positiva
para a direita e
τ positiva para
baixo

9
  )
12
.
6
(
2
2
'
'
2
' R
y
x
med
x 

 



Construção do Círculo de Mohr
1. Estabelecer um sistema de coordenadas com σ positiva
para a direita e τ positiva para baixo
2. Utilizar a convenção mostrada
ao lado para os valores positivos
de σ e de τ
3. Marcar o centro do círculo C, que está
localizado no eixo σ a uma distância de
σméd=(σx+ σy)/2 da origem
4. Marcar o ponto de referência A cujas coordenadas são
A(σx, τxy), referente ao ângulo θ=0º, ou seja, alinhado
com o eixo σx do estado de tensões dado
10

11
med


5. Unir o ponto A ao centro
C, determinando a
hipotenusa CA, que
representa o raio R do
círculo. Um ponto G de
coordenadas (σy, -τxy),
diametralmente oposto
ao ponto A também pode
ser marcado
6. Traçar o círculo
utilizando o raio
encontrado
12

Análise com o Círculo de Mohr
13
 As tensões principais σ1 e σ2 são apresentadas pelos dois pontos B e D,
onde o círculo intercepta o eixo σ
 As tensões principais agem nos planos definidos por 2θp1 e 2θp2 (sentido
anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB

14
 As componentes de tensão de cisalhamento máxima e
de tensão normal média são determinadas pelo círculo
com as coordenadas dos pontos E e F
 O ângulo 2θs1 é determinado por trigonometria. Aqui a
rotação é em sentido horário (ver figura)
 As componentes σx’ e τx’y’ num ponto qualquer P
atuantes em um plano definido por um ângulo θ, medido
no sentido anti-horário, são obtidos por trigonometria
 Para localizar P, o ângulo θ de um plano (no sentido
anti-horário) é medido no círculo como 2θ (no mesmo
sentido anti-horário) da linha CA para CP

15

16

17
 Exemplo 9.7 (Hibbeler)
 A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Figura 9.18
Pela Figura:
0
0 

 xy
y
x 



Centro do círculo:
2
2
0
2




 




y
x
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(σ,0).
O Raio do Círculo CA é R = σ/2.

18
Pela Figura:
0
0 

 xy
y
x 



Centro do círculo:
2
2
0
2




 




y
x
med
referência para θ = 0º são A(σ,0).
O Raio do Círculo CA é R = σ/2.

19
Tensões principais (Pontos A e D):
0
2
1 
 


Tensão de cisalhamento máxima
e Tensão normal média:
2
max

 
Dadas pelo ponto E na figura:
2

 
med

20
Por observação, o ângulo em sentido horário
2θs1 = 90º. Portanto, θs1 = 45º, de modo que o
eixo x’ está orientado a 45º em sentido horário
em relação ao eixo x.
Como E tem coordenadas positivas, então σmed
e τmax agem nas direções x’ e y’ positivas,
respectivamente.

21
 A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra
Figura 9.19
Pela Figura:



 


 xy
y
x 0
0
Centro do círculo:
0
2
0
0
2





y
x
med



referência para θ = 0º são A(0,-τ).
O Raio do Círculo CA é R = τ.

22
Pela Figura:



 


 xy
y
x 0
0
Centro do círculo:
0
2
0
0
2





y
x
med



referência para θ = 0º são A(0,-τ).
O Raio do Círculo CA é R = τ.

23
Tensões principais (Pontos B e D):







2
1

 

max
Dadas pelo ponto A na figura:
0

med


24
 As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
Figura 9.20a
Pela Figura:
MPa
6
0
MPa
12





xy
y
x



Centro do círculo:
MPa
6
2
0
12
2







y
x
med



referência para θ = 0º são A(-12,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
  MPa
49
,
8
2
'
'
2
' 


 y
x
med
x
R 



25
Pela Figura:
MPa
6
0
MPa
12





xy
y
x



Centro do círculo:
MPa
6


med

  MPa
49
,
8
2
'
'
2
' 


 y
x
med
x
R 



26
Tensões principais (Pontos B e D):
MPa
49
,
14
49
,
8
6
MPa
49
,
2
6
49
,
8
2
1










Orientação das tensões principais:
º
45
6
12
6
tan
2 1
2 

 
p
 º
5
,
22
2 
p


27
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Figura 9.21a
Centro do círculo:
MPa
35
2
90
20




med

referência para θ = 0º são A(-20,60).
  MPa
4
,
81
2
'
'
2
' 


 y
x
med
x
R 


Pela Figura:
MPa
60
MPa
90
MPa
20




xy
y
x




28
Centro do círculo:
MPa
35
2
90
20




med

referência para θ = 0º são A(-20,60).
  MPa
4
,
81
2
'
'
2
' 


 y
x
med
x
R 



29
Orientação do elemento:
º
3
,
21
1 
s

MPa
4
,
81
max 

Dadas pelos pontos E e F na figura:
MPa
35

med

º
5
,
42
60
35
20
tan
2 1
1 





 
 
s


30
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Figura 9.22a
Centro do círculo:
MPa
2
2
12
8




med

  MPa
66
,
11
2
'
'
2
' 


 y
x
med
x
R 


Pela Figura:
MPa
6
MPa
12
MPa
8





xy
y
x




31
Centro do círculo:
MPa
2
2
12
8




med

  MPa
66
,
11
2
'
'
2
' 


 y
x
med
x
R 



32
Como o elemento deve sofrer
rotação de 30º em sentido anti-
horário, deve-se traçar a linha
radial CP, 2(30º) = 60º em
sentido anti-horário, medida
em relação a CA (θ = 0º).
Tensões no elemento a 30º

33
Coordenadas do Ponto P:
º
96
,
30
10
6
tan 1

 

º
04
,
29
º
96
,
30
º
60 



MPa
20
,
8
04
,
29
cos
66
,
11
2
' 




x

MPa
66
,
5
04
,
29
sin
66
,
11
'
' 


y
x


34
MPa
20
,
8
' 

x

MPa
66
,
5
'
' 
y
x


35
Tensões no elemento a -60º
Coordenadas
do Ponto Q:
MPa
2
,
12
04
,
29
cos
66
,
11
2
' 



x

MPa
66
,
5
04
,
29
sin
66
,
11
'
' 




y
x


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