Este documento discute sombras de sólidos geométricos, definindo sombras próprias, produzidas e projetadas e descrevendo como determinar as sombras de pontos, segmentos, polígonos, círculos, prisma, cilindro, pirâmide e cone através da identificação de contornos aparentes e linhas separatrizes.

1. 1
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
4.6 Sombras de sólidos
geométricos
Geometria Descritiva
2006/2007
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombras de sólidos geométricos
„ Os corpos opacos produzem sombras
quando expostos a uma fonte luminosa
„ Fonte luminosa
„ A posição da fonte luminosa pode ser qualquer
ponto do espaço
„ A fonte luminosa pode ser:
„ uma fonte de raios divergentes
„ Situada a uma distância finita
„ uma fonte de raios paralelos
„ Situada a uma distância infinita

2. 2
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombras de sólidos geométricos
„ Fonte luminosa convencional
„ Situada a uma distância infinita
„ Fonte de raios paralelos
„ Direcção convencional dos raios
luminosos:
„ Paralela à diagonal de um cubo com duas
faces de nível e duas faces de frente,
orientada da esquerda para a direita, de cima
para baixo e do primeiro para o terceiro
quadrante
„ A sua projecção horizontal faz um ângulo de
45º com o eixo X com abertura para a
esquerda
„ A sua projecção frontal faz um ângulo de 45º
com o eixo X com abertura para a esquerda
X
45º
45º
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombras de sólidos geométricos
„ A sombra pode ser:
„ Sombra própria
„ Sombra dos sólidos sobre si
próprios (zonas não iluminadas
dos sólidos)
„ Sombra produzida
„ Zona espacial privada de luz
pelo sólido
„ Sombra projectada
„ Sombra dos sólidos sobre outros
corpos ou superfícies

3. 3
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombras de sólidos geométricos
„ A identificação das sombras provocadas por
sólidos é feita a partir da identificação dos
contornos aparentes, substituindo o observador
por uma fonte luminosa
„ O contorno aparente corresponde à linha que separa a parte
iluminada da parte não iluminada e designa-se por linha de
separação da sombra e luz ou linha separatriz
„ A linha separatriz
„ Limita a sombra própria do sólido
„ Limita a sombra projectada pelo sólido sobre outro
sólido ou superfície
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um ponto
„ Sombra real de um ponto
corresponde ao traço do raio
luminoso que passa pelo ponto
no plano de projecção que
encontrar primeiro
„ Sombra virtual de um ponto
corresponde ao traço do raio
luminoso que passa pelo ponto
no plano de projecção que
encontrar em último lugar
„ Corresponde à sombra do ponto
se o primeiro plano de projecção
fosse retirado
X
P2
P1
Ps2
Ps1 Pv2
Pv1

4. 4
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um segmento
„ Determinar a sombra do segmento
AB
„ A sombra real do ponto A está no plano
horizontal de projecção
„ A sombra real do ponto B está no plano frontal
de projecção
„ Como as sombras reais de A e B estão em
planos de projecção diferentes é necessário
mais um ponto que determine a direcção das
sombras em ambos os planos de projecção
„ Determina-se a sombra virtual por exemplo do
ponto B (ou do ponto A), que determina sobre o
eixo X um ponto a que se chama ponto de
quebra (P)
„ É neste ponto que a sombra flecte do plano
horizontal de projecção para o plano frontal de
projecção
X As2
As1
Bv2
A2
B2
A1
B1
Bs2
Bs1
Bv1
Ps1
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um polígono
„ Determinar a sombra do
polígono ABCD
„ As sombras reais dos pontos A, B e D
estão no plano frontal de projecção
„ A sombra real do ponto C está no plano
horizontal de projecção
„ Como as sombras reais de dos pontos que
definem os segmentos BC e CD estão em
planos de projecção diferentes é
necessário determinar os pontos de quebra
sobre o eixo X
X As1
Ds1
A2
B2
A1 B1
D2
C2
D1
C1
As2
Ds2
Bs1
Bs2
Cs2
Cs1 Cv2
Cv1

5. 5
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um círculo
„ Determinar a sombra do
círculo de nível
„ A sombra do círculo no plano horizontal de
projecção é circular
„ A sombra do circulo no plano frontal de
projecção é uma elipse e pode ser obtida
identificando a sombra de vários pontos do
círculo
X
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um círculo
X
„ Determinar a sombra do
círculo de nível
„ A sombra do circulo no plano horizontal de
projecção é circular
„ A sombra do circulo no plano frontal de
projecção é uma elipse e pode ser obtida
identificando a sombra de vários pontos do
círculo

6. 6
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um círculo
X
„ Determinar a sombra do
círculo de nível
„ A sombra do circulo no plano horizontal de
projecção é circular
„ A sombra do circulo no plano frontal de
projecção é uma elipse e pode ser obtida
identificando a sombra de vários pontos do
círculo
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um prisma
„ Determinar a sombra de um
prisma hexagonal com
bases de nível
„ As faces iluminadas são:
„ AA’B’B
„ BB’C’C
„ FF’A’A
„ A base superior (A’B’C’D’E’F’)
„ A sombra própria é constituída pela
base inferior e pelas faces não
iluminadas
„ A linha separatriz é ABCC’D’E’F’FA
„ A sombra projectada é limitada pela
sombra da linha separatriz
X
A1≡A’1
D’s1
E’s2
Cs1
As1
B1≡B’1
C1≡C’1
D1≡D’1
E1≡E’1
F1≡F’1
A1
A’1
B1 C1
D1
E1
F1
B’1 C’1 D’1
E’1
F’1
Bs1
Fs1
F’s2
C’s1
E’v1
F’v1

7. 7
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um cilindro
„ Determinar a sombra de um
cilindro com bases de frente
„ A sombra própria do cilindro é
constituída pela base posterior e pela
face lateral delimitada pelas geratrizes
AA’ e EE’ e pelo arco de círculo
A’B’C’D’E’ pertencente à base anterior
„ A sombra projectada do cilindro é
limitada pela sombra da linha separatriz
„ As geratrizes do cilindro são de topo
logo não é necessário determinar
sombras virtuais de quaisquer pontos
pois:
„ as sombras de segmentos de topo no plano
horizontal de projecção fazem ângulos de 90º
com o eixo X
„ As sombras de segmentos de topo no plano
frontal de projecção fazem ângulos de 45º com
o eixo X.
X As2
Es2
D’s1
C’s1
E2≡E’2
A2 ≡A’2
E1
E’1
A1
A’1
A’s2
O’1
O1
O2≡O’2
Os2
O’s1
C’2
B’2
B’s1
D’2
D’1
D1
E’s1
≡C’1
≡B’1
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de uma pirâmide
„ Determinar a sombra de
uma pirâmide com base
de nível
„ No caso de pirâmides nem sempre é
fácil determinar quais são as faces
iluminadas
„ As faces iluminadas são
determinadas analisando qual a
sombra produzida
„ Como a sombra do vértice está no
plano frontal e a sombra de todos os
vértices da base da pirâmide estão
no plano horizontal é necessário
determinar pontos de quebra sobre
o eixo X
X

8. 8
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Sombra de um cone
„ Determinar a sombra
de um cone com base
de nível
„ A linha separatriz determina-se
analisando a sombra produzida
„ Como a sombra do vértice está
no plano frontal e a sombra da
maioria dos pontos da base do
cone estão no plano horizontal é
necessário determinar pontos de
quebra sobre o eixo X
X
O1
O2
V2
≡V1
Os1
Vs2
Vv1
As1
Bs1
B1
A1
A2
B2
Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Bibliografia
„ [1] Vaz, Manuel (1983/1984) Geometria Descritiva.
Textos de apoio da FCTUC
„ [2] Castro, Luís; Soares, Óscar,Geometria Descritiva B.
Texto Editora.
„ [3] Ricca, Guilherme (1992) Geometria Descritiva.
Fundação Calouste Gulbenkian.
„ [4] Ribeiro, Carlos (1991) Geometria projectiva.
Conceitos, Metodologias, Aplicações. Europress.
„ [5] Standiford, Kevin; Standiford, Debbie (2000).
Descriptive Geometry. Delmar Learning.
„ [6] Albuquerque, Luís (1969) Elementos de Geometria
Projectiva e Geometria Descritiva. Livraria Almedina.