A proporcionalidade na história e no currículo

1
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
INSTITUTO NOROESTE FLUMINENSE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR
ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA
DENISE GOMES DA SILVA
A PROPORCIONALIDADE COMO IDEIA FUNDAMENTAL
Rio de Janeiro
2017

2
Trabalho de conclusão de curso
apresentado ao curso de Especialização
em Educação Matemática, como requisito
parcial para conclusão do curso.
Orientador:
Prof. Dr. Carlos Eduardo Mathias Motta
Rio de Janeiro
2017

3
[Espaço para inserir a ficha catalográfica]

4
Trabalho de conclusão de curso
apresentado ao curso de Especialização
em Educação Matemática, como requisito
parcial para conclusão do curso.
Aprovada em 03 de julho de 2017.
BANCA EXAMINADORA
_____________________________________________
Prof. Dr. Carlos Eduardo Mathias Motta (Orientador) - UFF
_____________________________________________
Prof. Dr.. Wanderley Moura Resende (Coorientador) - UFF
_____________________________________________
Prof.ª Dra. Eulina Coutinho do Nascimento - UFRRJ
Rio de Janeiro
2017

5
Ao meu orientador e professor, Carlos Eduardo Mathias Motta, pela sua atenção e sua
paciência.
À minha avó, dona Dirlene, pela segunda monografia em sua companhia.

6
AGRADECIMENTOS
Às minhas irmãs Dirlene Gomes e Adriana Gomes, por todo companheirismo, amor e
amizade nos momentos mais difíceis.
À minha vovó Dirlene Augusta, por me ensinar a ter paciência.
Aos amigos espirituais, por entender minhas fraquezas e acompanhar-me nessa jornada.
Aos meus amigos, pela verdadeira amizade, e, em especial aos que estavam sempre ao meu
lado.
Ao meu professor e orientador, Carlos Eduardo Mathias Motta, pela sabedoria, paciência e
estímulo na realização da pesquisa.
Aos membros da banca examinadora, pela assistência, disposição e contribuições.
Por fim, a todos contribuíram direta ou indiretamente para que esse trabalho fosse realizado
meu eterno agradecimento.

7
“Você só sabe realmente um assunto se
consegue explicá-lo à sua avó”.
Albert Einstein

8
RESUMO
Este trabalho apresenta um estudo histórico e curricular do conceito de proporcionalidade, a
fim de promover uma aprendizagem significativa. Para isso, usa a contribuição teórica de
Nilson José Machado, edificado em seus trabalhos sobre as “Ideias Fundamentais da
Matemática”. Nesse ponto, o subsídio de MACHADO tem efeito transversal sobre as
discussões históricas e curriculares apresentadas. Documentos e diretrizes curriculares (como
a proposta mais recente da BNCC) foram considerados em tais discussões, já que buscam
orientar quanto à utilização da ideia fundamental proporcionalidade proposta para a Educação
Básica. Ao final, são construídos exemplos integradores ao quais a proporcionalidade é
transversal.
Palavras-chave: Ideia fundamental. Proporcionalidade. Currículo. Aprendizagem
significativa.

9
ABSTRACT
This work presents a historical and curricular study about the concept of proportionality in
order to instigate and develop meaningful learning. It considers the contributions of Nilson
José Machado on the "Fundamental Ideas of Mathematics", as the mainframe of the
articulations and discussions proposed. National Curricular documents and guidelines (such as
the most recent BNCC proposal) were also considered, since they estabilish important
parameters on how the fundamental ideas of Mathematics are bound to be set on the
forthcoming brazilian curriculum. All around examples on how proportionality can be used to
build relations among different mathematical topics are also given.
Keywords: Fundamental ideas of Mathematics. Proportionality. Curriculum. Learning.

10
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Quadro 1 – Algoritmo da divisão egípcio ........................................................................ 16
Quadro 2 – Algoritmo da multiplicação egípcio ............................................................. 17
Quadro 3 – Regra da “falsa posição” .............................................................................. 18
Quadro 4 – Regra da “falsa posição” .............................................................................. 18
Quadro 5 – Regra da “falsa posição” ............................................................................... 19
Figura 1 – Segmentos comensuráveis............................................................................ 19
Figura 2 – Pirâmide de Quéops ...................................................................................... 20
Figura 3 – Semelhança de triângulos ............................................................................. 20
Figura 4 – Retas paralelas cortadas por transversais ..................................................... 21
Figura 5 – Representação da diagonal do quadrado de lado unitário ............................ 22
Figura 6 – Grandezas incomensuráveis ......................................................................... 23
Figura 9 – Demonstração do teorema de Tales ............................................................. 25
Figura 13 – Corte de Dedekind ....................................................................................... 29
Figura 14 – Curva para o método geral de Fermat .......................................................... 29
Figura 15 – Técnica usada por Leibniz para o cálculo de área ....................................... 30
Figura 16 – Taxa de variação .......................................................................................... 31
Figura 17 – Equação da reta e a proporcionalidade ........................................................ 31
Quadro 6 – Ideias fundamentais ...................................................................................... 34
Quadro 7 – Cálculo da proporcionalidade ....................................................................... 41
Quadro 8 – Cálculo da proporcionalidade ....................................................................... 41
Figura 18 – Isomorfismo de medidas .............................................................................. 42
Figura 19 – Co-variação e invariância ............................................................................ 42
Figura 20 – Exemplo de co-variação e invariância ......................................................... 43
Quadro 9 – Variação proporcional x proporcionalidade direta ...................................... 44
Gráfico 1 – Desenvolvimento da corrida entre o pai e o filho......................................... 45
Quadro 10 – Ensino Fundamental I ................................................................................... 49
Quadro 11 – Ensino Fundamental II ................................................................................. 50
Quadro 12 – Ensino Médio ................................................................................................ 53
Figura 21 – Dimensões de uma televisão de 26 polegadas .............................................. 57
Figura 22 – Dimensões de uma televisão de 52 polegadas .............................................. 58
Figura 23 – Decolagem de um avião ............................................................................... 59
Figura 24 – Volume do cilindro ....................................................................................... 63
Gráfico 2 – Volume do cilindro em função da altura ...................................................... 63

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
BNCC Base nacional Comum Curricular
CEMSO Centro de Ensino Médio Setor Oeste
IMLNA Improving Mathematics Learning in Numbers and Algebra
IMPA Instituto de Matemática Pura e Aplicada
PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PNLD Programa Nacional do Livro Didático
PNE Plano Nacional de Educação
SEMA Seminário de Ensino de Matemática
ULBRA Universidade Luterana do Brasil
UNIÓN Revista Iberoamericana de Educación Matemática

12
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................. 13
2 HISTÓRIA DA PROPORCIONALIDADE................................................ 16
2.1 Regra da “falsa posição”................................................................................18
2.2 Grandezas incomensuráveis ......................................................................... 19
3 IDEIAS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA...................................... 33
4 A PROPORCIONALIDADE E A ESCOLA............................................... 39
5 CURRÍCULO ................................................................................................ 46
6 UMA PROPOSTA AO PROFESSOR ACERCA DAS IDEIAS
FUNDAMENTAIS ........................................................................................ 57
7 CONCLUSÃO ............................................................................................... 65
8 REFERÊNCIAS ............................................................................................ 67

13
1 INTRODUÇÃO
Nesse presente momento, mais especificamente durante a elaboração desse trabalho,
vivenciamos uma reforma curricular em âmbito nacional, cuja a preocupação é de propor
direitos e traçar metas para que a aprendizagem e o desenvolvimento dos alunos da Educação
Básica estejam em conformidade com todos os estados e municípios da federação brasileira.
Muitas contribuições foram recebidas, mas uma delas, dentro da área da Educação
Matemática, nos chama a atenção por defender o ensino com base nas ideias fundamentais. A
proposta da qual o educador Nilson José Machado fala visa minimizar o excesso de
fragmentação dos currículos atuais. Dentre essas ideias está a da proporcionalidade, da qual
discorreremos nesse trabalho.
A decisão em falar sobre esse assunto veio efetivamente de uma aula ministrada pelo
orientador, na disciplina de Tópicos de Educação Matemática, do Curso de Especialização em
Matemática, sobre o conceito de proporcionalidade estar ligada às áreas de conhecimento
dentro e fora da matemática. Outra justificativa foi a de não encontrar trabalhos que tratem
desse assunto nesse sentido. Muito se fala sobre a didática no ensino da proporcionalidade, o
conceito proporcional e sobre os processos cognitivos envolvidos, no entanto, não
encontramos trabalhos que mostrem a proporcionalidade ligada à vários conteúdos
matemáticos e da interdisciplinaridade desse conceito, apenas ligados a um conteúdo
específico, como por exemplo, a proporcionalidade e a ideia de função. Outro fato
interessante é que os livros didáticos já trazem uma abordagem na qual a proporcionalidade
perpassa os anos escolares, não se limitando ao 7º ano do Ensino Fundamental. Diante disso,
indagamos: Qual a importância de se lecionar com o foco nas ideias fundamentais? E qual a
relevância do conceito da proporcionalidade como ideia fundamental?
É inegável que nossos alunos questionem o porquê precisam aprender certos
conteúdos já que depois disso não os utilizarão em conteúdos posteriormente aprendidos. Isso
se deve ao fato de se apropriarem do conteúdo, mas não de seu significado. Podemos dizer,
com a pouca experiência, que a ideia que fazem é que basta decorar a matemática e fazer
igual na avaliação, resultados este da própria conduta dos professores que ignoram essas
relações existentes nos conteúdos e permanecem na zona de conforto ensinando de forma que
seja mais fácil para o aluno, sem se preocuparem com o embasamento teórico. Nesse sentido,
o documento oficial, em elaboração, BNCC traz como competência específica a ser
trabalhada pela área da matemática: “estabelecer relações entre conceitos e procedimentos dos
diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e

14
Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento e comunicá-las por meio de representações
adequadas” (BRASIL, 2017, p.223). É importante que os conteúdos e as disciplinas escolares
se relacionem entre si e tragam significado para o aluno, caso contrário, o desinteresse pela
instituição escolar será inevitável.
Outro caso a ser considerado é a formação docente, já que essa reforma de
reformular o ensino dos conteúdos sob uma nova perspectiva, nada mais justo que discutir
esse assunto. Utilizamos materiais de apoio, como por exemplo, o livro didático ou um
material cedido pelo governo, no caso das escolas públicas, cujos os conteúdos são ensinados
de forma sequencial como se apresentam nos mesmos. Dessa forma a BNCC visa a revisão da
formação inicial e continuada dos professores para que fique coerente com a reforma, que
propõe uma educação que desenvolva competências necessárias para que o indivíduo interaja
com o mundo de forma segura e argumentativa. E determina que essa é uma condição
indispensável para colocar em prática do BNCC (BRASIL, 2017, p.15).
A formação dos professores precisa ser revisada já que deixam a desejar quanto nos
referimos à prática docente. Os cursos de formação privilegiam o ensino conteudista e não
discutem a importância dos conteúdos fundamentais.
O estudo e a análise dos processos e movimentos de mudança das práticas
curriculares docentes, no âmbito da escola atual, visam construir referenciais
que contribuam com os cursos de formação docente que estão mais próximos
das problematizações e questões contemporâneas postas à escola atual.
(HAGEMEYER, 2011, p.234)
O resultado disso são professores que desdenham os conceitos mais básicos que tanto
são usados ao longo da vida escolar e constituem uma base sólida para o desenvolvimento
dessa ciência.
[...] tais discursos revelam que alguns professores recém-formados veem a
matemática de forma elitista, não conseguem relacionar o que aprenderam na
universidade às suas práticas profissionais, nem tampouco possuem um olhar
crítico em relação ao uso das tecnologias computacionais, ou sequer
conseguem articular conhecimentos em diferentes “áreas”. (MATHIAS,
2017, p.1)
Muito se fala em modificar a prática com uma abordagem que não seja linear, mas
uma prática que desenvolva a capacidade crítica e a proatividade do indivíduo. Como muitos
conhecimentos, o conceito da proporcionalidade surgiu devido às necessidades cotidianas,
tendo seu ápice com a discussão acerca dos segmentos incomensuráveis. E, por isso, o
capítulo que se segue, o segundo capítulo, tratará brevemente da história da
proporcionalidade, a fim de verificar como essa ideia fundamental foi desenvolvida pelos
povos antigos, de que forma foi usada e em quais tipos de resoluções de problemas.

15
No terceiro capítulo dissertaremos sobre as ideias fundamentais difundidas por
Nilson Machado, a fim de verificar, de modo sucinto, como elas se relacionam dentro dos
conteúdos matemáticos e qual sua importância, sem deixar de evidenciar a ideia fundamental
da proporcionalidade. Depois de verificar o contexto histórico e nos informar sobre as ideias
fundamentais discorreremos, no quarto capítulo, como o conceito de proporcionalidade é
tratado na prática e como a proposta de Nilson Machado e a história da matemática podem
agregar valor à prática pedagógica.
Depois do contexto didático, no quinto capítulo, analisaremos como a ideia da
proporcionalidade se apresenta na elaboração atual do currículo nacional e quais conteúdos a
trazem em seu fundamento. E terminaremos com o sexto capítulo, quando serão observadas
situações problemas retiradas de dois livros didáticos atuais, que visa ajudar o professor de
matemática a identificar a ideia proporcional dentro dos conteúdos matemáticos.

16
2 HISTÓRIA DA PROPORCIONALIDADE
Segundo Costa Junior (2011, p.42), na Grécia antiga o conceito de justiça era muito
ligado ao conceito de proporcionalidade, seja ela nas relações jurídicas ou nos problemas
práticos decorrentes da solução de problemas cotidianos da época. Pois, nos conta a história
que as inundações do Rio Nilo provocavam reduções de terras e essas eram mensuradas para
que houvesse um abatimento proporcional nos impostos. Nesse sentido, o conceito de
proporção está atrelado ao conceito de número e ao conceito da geometria. Um exemplo
famoso, foi a medição da altura das pirâmides do Egito, por Tales de Mileto (625 – 547 a.C.),
mediante semelhança construída com as alturas e as sombras entre o que se queria medir e as
pessoas. Naquela época a Matemática ganha uma estrutura teórica com a explicação detalhada
e lógica dos "porquês" dos métodos e dos processos matemáticos. Com isso, tem início uma
Matemática mais abstrata que faz uso de postulados, de axiomas, de demonstrações por
redução ao absurdo.
Dois famosos papiros são fontes referenciais na matemática Egípcia, o Papiro de
Rhind (ou de Ahmes) e o Papiro de Moscou (ou Golonishev). O primeiro contém 85
problemas e o segundo contém 25 problemas. Ambos os papiros trazem problemas
envolvendo a regra da "falsa posição", equações lineares e problemas relacionados à
equivalência de frações. Muitos desses problemas podem ser descritos, segundo Costa Junior
(apud Boyer, 1974, p. 42, 2010), como problemas aritméticos ou algébricos. Os problemas
descritos como aritméticos seriam aqueles cuja ideia é a da regra de três, enquanto os
descritos como algébricos seriam aqueles cujas ideias são os problemas que envolvem
quantidades desconhecidas, que nos dias atuais, identificamos como equações lineares, mas
resolvidas pela regra da "falsa posição". Essa regra também foi usada por outras civilizações e
será explicada nesse capítulo.
Há indícios do raciocínio proporcional nas operações fundamentais de divisão e
multiplicação da matemática Egípcia. Vamos ilustrar um exemplo (SILVA, 2012, p. 50):
"Dividiremos 120 por 7.
Quadro 1 – Algoritmo da divisão egípcio.
120 7
1 7
2 14
4 28
8 56
16 112
Fonte: Próprio autor

17
Dobramos os valores do divisor começando por ele mesmo (7) e dobramos os valores
do dividendo começando por 1, até que a soma dos valores da coluna do divisor seja superior
ao dividendo. Observe: 7 14 28 56 112 217
     . Na coluna do divisor escolhemos os
números que somados cheguem próximo, ou seja, igual ao valor do dividendo. Observe:
112 7 119
  . Logo 120 119 1
  é o resto. Calcule a soma dos valores da coluna do
dividendo que correspondem ao 112 e ao 7 que são 16 e 1, respectivamente. Observe:
16 1 17
  é o quociente. Logo: 17 7 1 120
   . Vale lembrar que podemos usar esse método
para a multiplicação. Vamos utilizar o exemplo anterior 17 7 119
  .
Quadro 2 – Algoritmo da multiplicação egípcio.
17 7
1 7
2 14
4 28
8 56
16 112
31 217
Faça a mesma tabela da divisão até que a soma dos valores da coluna do dividendo
ultrapasse o valor do dividendo (17). Escolha os valores da coluna do dividendo cuja soma é
17 e pegue os valores correspondentes dessa linha na coluna do divisor, que é igual a 119.
Logo: 112 7 17 7 119
    ."
Observe que nas tabelas construídas as colunas são proporcionais, ou seja, as
relações entre as colunas nos permitem observar o conceito proporcional contido no princípio
multiplicativo.
7 14 28 56 112
7
1 2 4 8 16
    
Essa observação é importante visto que resolver problemas de proporcionalidade não
se resumem apenas na aplicação algoritmos como a famosa "regra de três", mas, sobretudo, ao
raciocínio proporcional que pudemos verificar em operações básicas. A exploração desse
raciocínio é fundamental para que se alcance o conceito de proporcionalidade efetivamente.
Essa concepção é corroborada pela BNCC (BRASIL, 2017, p. 224) diz que: “a
proporcionalidade, por exemplo, deve estar presente no estudo das operações com os números

18
naturais, da representação fracionária dos números racionais, de áreas, de funções,
probabilidade etc.”
2.1 REGRA DA “FALSA POSIÇÃO”
Na matemática grega dois aspectos se destacavam. A primeira é a regra da "falsa
posição" que é uma aplicação da ideia de proporcionalidade. É uma técnica de resolução
aritmética que consistia em atribuir um valor qualquer a situação proposta no qual gerava-se
uma solução incorreta. Partindo-se dessa falsa solução encontrava-se a solução correta do
problema por meio de comparações proporcionais. Considere o seguinte problema, por Sá
(2014):
1
A idade de Ana, somada de outro tanto como ela, somada com a sua metade,
com a sua terça parte e com a sua quarta parte, dá o resultado 148. Qual a idade de
Ana?
Solução: Usaremos o número 12, como número falso para a idade de Ana, pois ele é
divisível por 2, 3 e 4, que são frações envolvidas no problema. Usando o número 12 e
seguindo as indicações do problema: 12 (idade) + 12 (outro tanto como ela) + 6 (sua metade)
+ 4 (terça parte) + 3 (quarta parte) = 37. Veja que o resultado final de 37 e não 148 como
estava no enunciado, então, vamos organizar da seguinte forma:
Quadro 3 – Regra da “falsa posição”
Número (idade) Resultado
Falso 12 37
Verdadeiro X 148
Ao dobrarmos a idade escolhida, o resultado também dobrará.
Falso 12 37
Dobro 24 74
Verdadeiro X 148
Notemos que 74 é a metade de 148, dessa forma, ao dobrarmos novamente os valores
obteremos o resultado correto.

19
Falso 12 37
Verdadeiro 48 148
Essa regra foi usada outrora por outros povos, entre eles os indianos cuja a história
relata serem os primeiros a utilizá-la (posterior ao século VII). Essa técnica, mais tarde, seria
conhecida como técnica de resolução de equações lineares. Observemos que o problema
acima pode ser escrito na forma ax b
 . Ressaltamos que não existia o conceito de função
que fora desenvolvido depois do século XVIII.
2.2 GRANDEZAS INCOMENSURÁVEIS
O outro aspecto adveio da mensuração, que para os gregos significava cotição entre
grandezas, ou seja, a comparação de medidas da mesma espécie. Costa Junior (2010, p.61)
nos elucida que “a questão da proporcionalidade era de grande importância para os gregos,
principalmente na arquitetura e agrimensura”.
O conceito de grandezas comensuráveis é ilustrado abaixo. Veja que AB está para
CD na mesma razão em que 2 está para 3.
Figura 1 – Segmentos comensuráveis
AB 2
3
CD

Isso significa dizer que existe um segmento OO' u
 e dois números naturais 2 e 3,
por exemplo, tais que AB 2u
 e CD 3u
 . Ou seja, o segmento OO' é uma subunidade de
medida que cabe um número exato de vezes nos segmentos AB e CD.
1
Problema retirado do site www.magiadamatematica.com (slide 4).
D
C
O’
O
A
A B

20
Outro exemplo muito estudado nos dias atuais vem de Tales de Mileto que, se
encontrava no Egito a cerca de 600 anos a.C., recebeu a incumbência de calcular a altura da
pirâmide. “Conta-nos a tradição que Tales teria trazido a Geometria para do Egito para a
Grécia. Há relatos de que Tales mediu a altura da pirâmide do Egito, observando os
comprimentos das sombras no momento em que a sombra do bastão vertical era igual à sua
altura”, Costa Junior (2010, p.61).
Figura 2 - Pirâmide de Quéops
Fonte2
: http://semelhancadetriangulos.blogspot.com.br/2012/02/historia-da-semelhanca-de-triangulos.html
Figura 3 – Semelhança de triângulos
Fonte: http://semelhancadetriangulos.blogspot.com.br/2012/02/historia-da-semelhanca-de-triangulos.html
Tales sabia que os triângulos semelhantes possuíam os ângulos correspondentes
iguais e que os lados correspondentes proporcionais. Ele admitiu que a incidência dos raios
solares é paralela devido a sua distância em relação à Terra. Então, para calcular a altura da
pirâmide ele mensurou um bastão e o colocou perpendicular ao chão. E quando a sombra
projetada pelo bastão mediu exatamente o seu tamanho, Tales rapidamente mediu a sombra
projetada pela pirâmide e adicionou a metade da medida do lado da sua base, como na figura
acima. Logo:
AB RS
BC ST

2
Acesso em 03/01/2017.

21
Outra contribuição deste fabuloso matemático foi o que denominamos hoje de
Teorema de Tales, que usa os conceitos fundamentais de semelhança de figuras: lados
proporcionais, ângulos iguais e mesma forma, mas tamanhos diferentes e o conceito de
paralelismo. Esses conceitos relacionados com a ideia de comensurabilidade fez com que
Tales demonstrasse o teorema.
Temos t e t', duas retas transversais que cortam as retas s, r e v, paralelas entre si.
Construamos um segmento de reta auxiliar, AC', sendo I o ponto de intersecção entre o
segmento de reta auxiliar construído e a reta paralelas r.
Figura 4 – Retas paralelas cortadas por transversais
Fonte: próprio autor
Observemos que os triângulos ABI ~ ACC', temos que:
AB AI
BC IC'
 . Observemos
agora que os triângulos C'A'A ~ C'B'I, temos que:
AI A'B'
IC' B'C'
 . Então, pela propriedade
transitiva, se
AB AI
BC IC'
 e
AI A'B'
IC' B'C'
 , logo
AB A'B'
BC B'C'
 .
É pertinente lembrar que os estudos dos números racionais se davam por meio da
geometria. E foi através dela, com o cálculo da diagonal do quadrado, que se deu a descoberta
de um novo número. Dado um quadrado de lado igual à unidade, quanto mede a sua diagonal?
t’
t
I
C’
B’
A’
C
A
B
s
r
v

22
Figura 05 – Representação da diagonal do quadrado de lado unitário
2
Nesse segmento não foi possível determinar uma subunidade que coubesse um
número exato de vezes nele, ou seja, a sua razão não poderia ser expressa por um número
racional. A descoberta da incomensurabilidade é atribuída ao matemático grego Hipasus de
Metapontum (470 – 400 a.C.). Há relatos de que ele tenha feito demonstrações por absurdo
sobre o valor da diagonal do quadrado de lado unitário.
Existem muitas versões sobre o tema, mas o que ninguém nega foi a crise gerada por
essa descoberta. Haja vista que para os gregos todas as figuras geométricas eram
perfeitamente construídas com segmentos comensuráveis, portanto admitir a existência de
uma segmento que eles não podiam determinar o tamanho com precisão causou uma
perturbação, uma vez que sua matemática era fundamentada no que se conhecia dos números
racionais e na própria geometria. Ou seja, para eles todas as grandezas como comprimento,
área e volume poderiam ser expressas por um número inteiro ou por uma razão entre dois
números inteiros positivos.
Diante disso, a teoria das proporções, cujas demonstrações eram todas
fundamentadas em grandezas indivisíveis, deveria ser revisada para que tanto os segmentos
comensuráveis quanto os incomensuráveis fossem atendidos. Durante algum tempo muito se
tentou, mas a história nos aponta que, Eudoxo de Cnido, resolvera tal problema que invalidara
axiomas e teoremas. Esses fundamentavam da visão geométrica da matemática pelos gregos.
Eudoxo foi um discípulo contemporâneo de Platão nascido em 408 a.C. e é apontado
como o homem que demonstrou e resolveu o problema das grandezas incomensuráveis. Sua
teoria se encontra no V livro dos Elementos de Euclides. A definição 3 desse livro traz um
significado de razão na visão de Eudoxo. “Uma razão é um tipo de relação que diz respeito ao
tamanho de duas grandezas do mesmo tipo” (Roque, 2014).
Essa definição diz que duas grandezas são comparáveis desde que tenham
características peculiares, ou seja, comprimentos devem ser comparadas com comprimentos,
assim como superfícies comparadas com superfícies e assim por diante.
1
1

23
A contribuição de Eudoxo é trazida na definição 4. “Diz-se que duas grandezas
possuem uma razão entre elas se estas grandezas, quando multiplicadas, podem se ultrapassar
mutuamente. (Roque3
, 2014).
Essa teoria é possível se as grandezas são do mesmo tipo e que o seu significado é de
que existem m e n inteiros tais que as grandezas A e B satisfazem mA > nB. Ou seja, se temos
duas grandezas A e B, cada uma delas, multiplicadas por dois inteiros diferentes n e m, temos
que uma grandeza pode superar o tamanho da outra e vice-versa. Nesse sentido, sejam A e B
duas grandezas do mesmo tipo:
Figura 6 – Segmentos incomensuráveis.
Se tomarmos:
Figura 7 – Segmentos incomensuráveis
Então, mA< nB. E se tomarmos:
Figura 8 – Segmentos incomensuráveis
Temos que mA > nB.
Na definição 5 do V livro dos Elementos de Euclides temos:
3
Vídeoaula.
Grandeza A:
Grandeza B:
3A:
5B:
2A:
3B:

24
Diz-se que grandezas estão na mesma razão, a primeira para a segunda e a
terceira para a quarta, quando, se quaisquer equimúltiplos da primeira e da
terceira, e outros quaisquer equimúltiplos da segunda e da quarta, são tais
que os primeiros equimúltiplos ultrapassam, um a um, os segundos ou são
iguais a estes ou são menores, que os últimos equimúltiplos considerados na
ordem correspondentes aos primeiros. (Roque4
, 2014)
Isso significa que dadas quatro grandezas A, B, C e D estarão em proporção, ou seja,
A:B::C:D, que em notação atual escrevemos
A C
B D
 , para todo m e n inteiros temos três
situações a serem consideradas:
i) mA = nB e mC = nD
ii) mA > nB e mC > nD
iii) mA < nB e mC < nD
Quando multiplicamos o número inteiro m pela grandeza A e o outro número inteiro
n pela grandeza B, uma das três situações é verificada. E quando multiplicamos o número
inteiro m pela grandeza C e o outro número inteiro n pela grandeza D, a desigualdade,
necessariamente, será a mesma verificada anteriormente, as desigualdades serão mantidas. A
igualdade apenas é verificada para situações em que as grandezas são comensuráveis, isso
significa uma igualdade entre razões (definição 4).
Veremos como essas definições ajudaram na demonstração5
do Teorema de Tales
para segmentos comensuráveis e incomensuráveis.
1º Caso: AB e BC são comensuráveis, ou seja, a razão das medidas dos segmentos
é um número racional.
Sejam a, b e c três retas paralelas e t1 e t2 duas retas transversais às retas a, b e c,
conforme figura.
4
Vídeoaula
5
Demonstração adaptada da UNIÓN

25
Figura 9 – Demonstração do teorema de Tales
Como AB e BC são comensuráveis, então existe um segmento de comprimento u
que divide o comprimento do segmento AB em p partes e o segmento BC em q partes, em
que p e q são números inteiros. Assim, temos que AB pu
 e BC qu
 . Então:
AB pu p
qu q
BC
  .
Os segmentos MN e NP também são comensuráveis, então existe um segmento de
comprimento v que divide o comprimento do segmento MN em p partes e o segmento NP
em q partes, em que p e q são números inteiros. Assim, temos que MN pv
 e NP qv
 .
Então:
MN pv p
qv q
NP
  . Logo,
AB MN
BC NP
 . Portanto, AB , BC , MN e NP são proporcionais e
mA = nB e mC = nD.
2º Caso: Os segmentos AB e BC são incomensuráveis, ou seja, a razão das medidas
dos segmentos é um número irracional.
Sejam q, r e s três retas paralelas e t e t’ duas retas transversais às retas q, r e s,
conforme figura.
M
N
P
C
A
B
v
v
v
v
v
v
v
v
u
u
u
u
u
u
u
u
c
b
t2
t1
p p
q q
a

26
A A’
B’
B
C C’
t’
t
P’
P
r
q
s
Fonte6
: Unión (adaptada)
Vimos que as situações ii) mA > nB e mC > nD e iii) mA < nB e mC < nD são
aplicadas quando as grandezas forem incomensuráveis. Visto isso, podemos reescrever as
proporções da seguinte forma:
ii)
A n
B m
 e
C n
D m

iii)
A n
B m
 e
C n
D m

Isso significa que existem infinitos números racionais à esquerda de
A
B
e à esquerda
de
C
D
, conforme item ii). O mesmo ocorre com
A
B
e
C
D
à esquerda, conforme item iii). Como
eles estão em proporção, entre
A
B
e
C
D
não existe nenhum racional (são a mesma razão) pela
definição 5 de Eudoxo.
Na figura observamos as grandezas (segmentos) AB , BC , A'B' e B'C' . Temos que
P e P’ está contido no segmento BC e B'C' ou C e C’ está contido no segmento BP e B'P',
respectivamente. Com isso, teremos dois casos a considerar:
6
Disponível em: < http://www.fisem.org/www/union/revistas/2005/2/Union_002_008.pdf. Acesso: 01/01/2017.
C
A A’
B’
B
t’
t
C’
P’
P
r
q
s

27
A A’
B’
B
C C’
t’
t
P’
P
r
q
s
1º caso: P e P’ está contido no segmento BC e B'C'
Fonte: Unión (adaptada)
Temos que AB nu
 . Se multiplicarmos o inteiro m ficamos com mAB mnu
 . O
mesmo fazemos com BP mu
 , contudo, usamos um outro inteiro n. Ficamos com
nBP nmu
 . Observe que mAB nBP
 . E como BP BC
 , temos mAB nBP nBC
  .
Então, mAB nBC
 . Logo,
AB n
m
BC
 .
Temos que A'B' nv
 . Se multiplicarmos o inteiro m ficamos com mA'B' mnv
 .
O mesmo fazemos com B'P' mv
nB'P' nmv
 . Observe que mA'B' nB'P'
 . E como B'P' B'C'
 , temos
mA'B' nB'P' nB'C'
  . Então, mA'B' nB'C'
 . Logo,
A'B' n
m
B'C'

Concluímos que mAB nBC
 e mA'B' nB'C'
 . E reescrevendo,
AB n
m
BC
 e
A'B' n
m
B'C'
 .
2º Caso: C e C’ está contido no segmento BP e B'P'

28
Fonte: Unión (adaptada)
Temos que AB nu
 . Se multiplicarmos o inteiro m ficamos com mAB mnu
 . O
mesmo fazemos com BP mu
nBP nmu
 . Observe que mAB nBP
 . E como BP BC
 , temos mAB nBP nBC
  .
Então, mAB nBC
 . Logo,
AB n
m
BC
 .
Temos que A'B' nv
 . Se multiplicarmos o inteiro m ficamos com mA'B' mnv
 . O
mesmo fazemos com B'P' mv
nB'P' nmv
 . Observe que mA'B' nB'P'
 . E como B'P' B'C'
 , temos
mA'B' nB'P' nB'C'
  . Então, mA'B' nB'C'
 . Logo,
A'B' n
m
B'C'

Concluímos que mAB nBC
 e mA'B' nB'C'
 . E reescrevendo,
AB n
m
BC
 e
A'B' n
m
B'C'
 . Portanto,
AB A'B'
BC B'C'
 , isto é, são proporcionais.
Essa teoria das proporções de Eudoxo permitiu trabalhar com as relações de
proporcionalidade, sem a necessitada de verificar a comensurabilidade entre as grandezas.
Antes dos gregos, a matemática dos egípcios e babilônios se resumia a resolver
problemas de cunho empírico com todas as etapas de resoluções descritas. Percebemos que a
matemática grega trouxe um rigor tanto na linguagem quanto na forma de escrever e pensar a
C
A A’
B’
B
t’
t
C’
P’
P
r
q
s

29
matemática aplicada. Para os gregos a matemática era sinônimo de demonstração para que a
solução fosse generalizada e não apenas para casos isolados.
Vinte séculos depois, relata a história, que essa teoria foi usada como inspiração para
começar a entender e a manipular os números reais, visto que se a e b são duas grandezas
incomensuráveis, isso implica numa partição no conjunto dos números racionais, em dois
conjuntos disjuntos, definindo assim o conjunto dos números reais (BICUDO, 2010).
Figura 13 – Corte de Dedekind
Toda a matemática contida nos 13 livros dos Elementos de Euclides é base da
matemática que estudamos nos dias atuais. Mas, no século XIX, conhecido como o século da
razão, traria à matemática grande contribuição, o cálculo diferencial e integral. Tudo começou
com o cálculo das tangentes. E mais uma vez, a teoria da proporcionalidade foi importante,
uma vez foi usada para o cálculo da taxa de variação de uma curva nesses estudos. Esse
conceito foi de suma importância para o desenvolvimento das funções e dos cálculos de área
dentro do cálculo diferencial e integral. Vale ressaltar que início desses estudos se deu ainda
com os gregos, “Euclides (300 a.C), Apolônio (225 a.C.) e Arquimedes (225 a.C). Nessa
época, a tangente servia como auxílio na construção de objetos geométricos, como o polígono
circunscrito a uma circunferência” (HAVEROTH; FIGUEIREDO; AGUIAR, 2013, p.152).
Contudo, Fermat e Descartes realizaram estudos acerca das tangentes e com métodos
semelhantes. Na figura abaixo ilustramos o método de Pierre de Fermat.
Figura 14 – Curva para o método geral de Fermat.
Fonte: Haveroth, Figueiredo e Aguiar (2013, p.152)
Infinitos racionais
E
I
D F
C B
A

30
Seja A o único ponto de intersecção entre a reta AE e a curva CA dada. Temos que
as retas AB //EF . Notamos que FE FI
 , sendo I um ponto pertencente à curva. Sejam
BF e
 , AB y
 e BD a
 , por semelhança de triângulos temos que:
y(a e)
FE
a

 . Se a
distância entre os pontos E e I tender a zero, ou seja, se BF e
 tender a zero, temos que o
ponto F no limite se confunde com o ponto B.
Já Leibniz usou o conceito das retas tangentes e dedicou-se aos estudos do cálculo de
área. O cálculo das áreas era pensado como a soma de áreas de retângulos infinitamente
próximos, no entanto, essa teoria também foi oriunda de outros matemáticos anteriores a ele.
Figura 15 – Técnica usada por Leibniz para o cálculo de área.
Fonte – Próprio autor
A soma das áreas dos retângulos formados sob a curva forneceria a área diretamente.
O mesmo procedimento foi usado para área sobre a curva, que consistia em calcular a área
sob a curva e subtrair da área total.
Os cálculos das áreas e das tangentes estavam relacionados, pois a soma das áreas
dos retângulos deixava pequenas áreas triangulares entre a curva e os retângulos, logo a área
seria a razão entre o somatório das áreas dos retângulos pelas diferenças entre as áreas
triangulares. Ambos os conceitos, de derivada e integral, foram definidos com base na teoria
do limite usada para o cálculo das tangentes, conceito esse, que transcende a matemática
básica. Esse método é usado no estudo das funções para a análise da inclinação da reta e
determinar a equação da reta tangente ao gráfico, por meio de aproximação dos coeficientes
angulares das retas secantes. Essa teoria é o que conhecemos hoje como a taxa de variação
instantânea.
0 0
x 0 h 0 tg
f (x h) f (x )
y
lim lim m
x h
  
 

 


31
Figura 16 – Taxa de variação.
Para determinar a equação da reta fixamos um ponto A e uma inclinação α.
Marcamos um ponto P sobre a reta e prolongamos o segmento horizontal de f(x1) até o
prolongamento vertical de x2. Com isso obtemos o triângulo retângulo APC. Quando
deslocamos o ponto P ao longo da reta podemos construir outros triângulos retângulos
semelhantes ao APC, pelo critério AA. Um desses triângulos retângulos é o AP’B.
Figura 17 – Equação da reta e a proporcionalidade.
C
B
x x2
x1
f (x)
f (x1)
f (x2)
A
P’
P
α
α x
y
ϴ
Q
h
Δy
Δx
P
x0 + h
x0
f (x0)
f (x0 + h)
x
y

32
Temos que APC AP'B, portanto as razões entre os lados correspondentes são
constantes. Nessas condições, o coeficiente angular
y
a
x



será igual a tangente dessa
inclinação. Então segue que 1
1
1
f (x) f(x )
a
x x



e 2
2
2
f(x ) f(x)
a
x x



. Então:
1 1 1
2 2 2
f(x) a (x x ) f(x )
f(x) a (x x) f(x )
  


   

1 1 1 2 2 2
a (x x ) f(x ) a (x x) f(x )
     
1 1 1 1 2 2 2 2
a x a x f(x ) a x a x f(x )
      , como 1 2
a a
 , temos que: 1 2
a x a x 0
  .
1 1 1 2 2 2
a x f(x ) a x f(x )
    
2 1 2 2 1 1
f(x ) f(x ) a x a x
  
2 1 2 1
f(x ) f(x ) a(x x )
  
2 1
2 1
f(x ) f(x )
a
(x x )



Todos esses estudos dão origem ao cálculo diferencial, com os problemas sobre
tangente, e ao cálculo integral, com os problemas que envolvem área. Tanto Leibniz quanto
Newton estudaram sob perspectivas próprias, porém foi Newton que percebeu que esses
cálculos, em verdade eram processos inversos.

33
3 IDEIAS FUNDAMENTAIS DA MATEMÁTICA
Com relação à prática docente no ensino da matemática verifica-se o quanto o ensino
básico das disciplinas escolares apresenta-se fragmentado. Haja vista, que os profissionais que
atuam nas disciplinas escolares também foram capacitados dessa forma. Contudo, a história
da matemática nos diz que boa parte das teorias e dos conceitos envolvidos nos conteúdos
fundamentais, foram desenvolvidos mediante necessidades cotidianas e integrados a diversos
campos de conhecimentos. Mas, o que ocorre nas instituições de ensino é exatamente o
oposto, o que causa certo desinteresse dos alunos com os conteúdos programáticos. Nos
confirma Machado que “a ausência ou a fragilidade das relações significativas entre elas
conduz facilmente ao desinteresse. Os alunos interessam-se pela vida, são seduzidos por
inúmeros temas extraescolares, mas, muitas vezes, desdenham dos temas escolares (2014, p.
2).
Ele afirma ainda que a fragmentação dos conteúdos disciplinares, a falta da
interdisciplinaridade e o desinteresse dos discentes produzem consequências devastadoras
para o que realmente importa para o ensino de conteúdos matemáticos, como por exemplo, as
ideias fundamentais, que estão intrínsecas em muitas áreas do conhecimento da própria
matemática e está em muitas outras áreas do conhecimento científico. Mediante isso,
Machado afirma que a perda de significado do conceito, provocada pelo excesso de
fragmentação dos currículos, precisa ser estudada, analisada, já que há um aumento das
disciplinas curriculares e estas cada vez mais minuciosas em áreas específicas de
conhecimento sem que haja correlação entre elas. Para enfrentar esse problema é preciso,
segundo ele, que atentemos aos conhecimentos fundamentais de cada tema e que esses sejam
temas centrais dos currículos. Essa prática é corroborada pelos PCN:
[...] a abordagem de conceitos, ideias e métodos sob a perspectiva de
resolução de problemas ainda bastante desconhecida da grande maioria
quando é incorporada, aparece como um item isolado, desenvolvido
paralelamente como aplicação da aprendizagem, a partir de listagens de
problemas cuja resolução depende basicamente da escolha de técnicas ou
formas de resolução memorizadas pelos alunos. De forma semelhante, nem
sempre são observadas recomendações insistentemente feitas para que
conteúdos sejam veículos para a aprendizagem de ideias fundamentais
(como as de proporcionalidade, equivalência etc.) e que devem ser
selecionados levando em conta sua potencialidade, quer para instrumentação
para a vida, quer para o desenvolvimento de formas de pensar. (BRASIL,
1998, p. 22)

34
Todavia, há muitos estudos acerca desse assunto e Machado (2014, p.12-14) cita
alguns desses conceitos, que ele denomina de ideias fundamentais, em seu trabalho e afirma
que essas ideias fundamentais trazem outras ideias que as completam. Vide quadro a seguir.
Quadro 6 – Ideias Fundamentais
Ideias
Fundamentais
Ideias
Complementares
Características
Proporcionalidade Interdependência
É caracterizada pela relação das dimensões das
partes entre si e que, por sua vez, está relacionada a
um todo. A sentença matemática mais típica é do
tipo “se p, então, q”, que representa um germe de
interdependência.
A própria proporcionalidade é um padrão inicial de
interdependência, a ser desenvolvido e generalizado.
As funções e as correlações estatísticas podem
situar-se nesse terreno.
Equivalência Ordem
Fundamenta a construção dos números.
A ideia de equivalência ou de igualdade está presente
nas classificações, nas sistematizações, na
elaboração de sínteses, mas também quando se
estudam as frações, as equações, as áreas ou volumes
de figuras planas ou espaciais, entre muitos outros
temas. A ideia de ordem, de organização sequencial,
tem nos números naturais sua referência básica.
Medida Aproximação
Ela se encontra na origem da própria ideia de
número, constituindo um de seus dois pés, ao lado da
contagem, e grande parte da Geometria decorre dela.
Grandezas, interdependências, funções,
probabilidades, quase tudo pode ser associado à ideia
de Medida.
Invariância
(regularidade)
Variação (taxa)
Busca de padrões e a abordagem de contextos
diferenciados. O estudo das formas de crescimento e
de decrescimento, das rapidezes em geral – ou das

35
taxas de variação – pode ser associado a tal par de
ideias desde o estudo das funções mais elementares.
Aleatoriedade Demonstração
Nem tudo pode ser explicada apenas por meio de
inferências, ou seja, nem tudo pode ser determinado
causalmente, por meio de frases do tipo “se p, então,
q”, o que conduz ao conhecimento do aleatório, do
que é “provável” ou do que pode ser “provado”,
mesmo de modo não determinístico, como no
lançamento de um dado.
Problematização Representação
Um problema sempre traduz uma ou mais perguntas
a serem respondidas, a partir de uma situação-
problema, no mundo real ou em algum espaço de
representações. Para ser resolvido, um problema
precisa ser equacionado, ou seja, suas perguntas
precisam ser traduzidas na forma de um sistema de
equações. A Geometria trata da percepção e da
representação do espaço, associando a concretude do
mundo real às idealizações de outros espaços. A
Álgebra também é um lugar das representações dos
números, das operações e das interdependências.
Em nosso cenário atual ocorre o estudo sem a ênfase devida às ideais fundamentais e
sem a continuidade de alguns conceitos envolvidos em diversos conteúdos de uma mesma
disciplina. Embora essa abordagem interdisciplinar por muitas vezes seja frustrada, já que é
possível ensinar e aprender conteúdos sem abordar ideias fundamentais, o que vai de encontro
às abordagens interdisciplinares, pois os alunos não têm condições de generalizar seus
conhecimentos uma vez que lhes foram ensinados conteúdos de forma linear. Uma
consequência disso, é a ideia de que a aprendizagem matemática é para poucas pessoas, como
se não fosse possível desenvolver habilidades e competências.
Como esses conteúdos geralmente são abordados de forma linear e
hierarquizada, apenas em função de sua complexidade, os alunos acabam
tendo poucas oportunidades de explorá-los em contextos mais amplos. Mais
ainda, as situações-problema raramente são colocadas aos alunos numa
perspectiva de meio para a construção de conhecimentos. Essa organização
linear e bastante rígida dos conteúdos, que vem sendo mantida

36
tradicionalmente na organização do ensino de Matemática, é um dos grandes
obstáculos que impedem os professores de mudar sua prática pedagógica
numa direção em que se privilegie o recurso à resolução de problemas e a
participação ativa do aluno. (BRASIL, 1998, p.138)
É importante a que a prática pedagógica seja revisitada e a participação do aluno seja
orientada para que haja uma troca e uma construção de conhecimento mais interessante para
ambas as partes. Essa aprendizagem mais dinâmica e orientada favorece o desenvolvimento
das habilidades e competências, pois os alunos precisam reconhecer, entender e expressar-se
em diversas linguagens, dentre elas, a linguagem matemática. Necessita, ainda, reconhecer e
entender fenômenos à sua volta e resolver problemas utilizando os conhecimentos
disciplinares por meio da contextualização e da generalização. Um dos grandes problemas que
enfrentamos em nossa prática seria o excesso de conteúdos e os tempos cada vez mais
reduzidos para a realização de um trabalho satisfatório. Nesse sentido, Machado afirma que há
uma grande vantagem em se abordar os conteúdos tendo por base as ideias fundamentais, pois
afirma que a lista de tópicos a serem estudados é imensa, mas a das ideias fundamentais não é
tão extensa. E completa:
Consideremos, por exemplo, a disciplina Matemática. A ideia de
proporcionalidade encontra-se presente tanto no raciocínio analógico, em
comparações tais como “O Sol está para o dia assim como a Lua está para a
noite”, quanto no estudo das frações, nas razões e proporções, no estudo da
semelhança de figuras, nas grandezas diretamente proporcionais, no estudo
das funções do primeiro grau, e assim por diante. (MACHADO, 2014, p.7-8)
É descrito como ideia fundamental aquela cuja elucidação possa ser feita através da
linguagem simples, caso contrário, não será caracterizada como tal. Outra característica
fundamental deve perpassar por outros conteúdos dentro da própria matemática e por outras
áreas de conhecimento. O trabalho de compor tais ideias não é tarefa fácil, pois necessita-se
ter conhecimento profundo e conceitual das relações matemáticas fundamentais, e isso,
infelizmente, é ignorada por muitos professores por conceberem ser conhecimentos
irrelevantes para a construção do ensino e aprendizagem dessa ciência.
Machado afirma que o ensino apenas por meio das ideias fundamentais não é o
suficiente e não pode acontecer de forma isolada, mas é imprescindível, “justamente pela
posição basilar que ocupam, elas se irradiam por todos os assuntos, articulando-os e fazendo
com que cada disciplina transborde nas demais” (2014, p.6).
O ensino com base em ideias fundamentais não é algo recente já que o modelo
escolar de estudar conteúdo delimitado por disciplinas foi, em verdade, um meio que a escola

37
teve de simplificar e organizar os conhecimentos necessários e mínimos para a sociedade. No
entanto, com a complexidade em que a vida se apresenta, esses conteúdos foram ficando
extensos e o tempo para ministra-los não corresponde ao esperado. Quando analisamos a
situação entendemos as novas tentativas de simplificação por meio das ideias fundamentais. A
busca por esse tipo de desenvolvimento escolar é interessante por trabalhar por competências
necessárias para a atual sociedade. Para ele o currículo dividido por conteúdos não precisa
mudar, mas sim, a prática do professor para que ele busque desenvolver as competências de
seus alunos. A questão seria qual a melhor forma de fazê-lo. O ensino da proporcionalidade
que é uma das ideias fundamentais se articula com diversos temas e com temas anteriores
necessários à sua compreensão, como por exemplo, a equivalência de frações. Pode ser que o
aluno trabalhe com as frações sem compreender suas ideias, que poderiam ser usadas para o
entendimento da proporcionalidade, ao invés de usar a “regra de três” sem questionamento.
Ressaltamos o entendimento da proporcionalidade que contribui para o ensino da semelhança,
e assim por diante. São assuntos que precisam ser ministrados, mas com a abordagem as
ideias fundamentais a fim de articulá-los.
Ele vai mais além dessa questão, pois afirma que a ideia de disciplina está em crise já
que as propostas curriculares e os livros didáticos não permitem extrapolar os limites seriais e
são materiais norteadores para a prática docente.
Tal crise tem conduzido a uma notável fragmentação disciplinar, sobretudo
no Ensino Médio. Os alunos têm que administrar um número de disciplinas
comparável ao de seus anos de existência. Estudam como se examinassem
uma foto com uma poderosa lupa: a atenção é fixada nos pormenores e a
visão do todo se esvai. (MACHADO, 2012, p. 2)
Por isso outras vertentes precisam ser consideradas, como por exemplo, a sociedade
em que está inserido este aluno, a articulação entre os conteúdos e sua organização curricular
e a relevâncias das discussões acerca da reformulação curricular sob análise atualmente. E
para Machado existem dois tipos de fragmentação escolar, o primeiro seria a fragmentação
horizontal no qual conhecimentos preliminares e básicos de uma disciplina são ignorados e
não há uma flexibilização dos conteúdos, e a segunda seria a fragmentação vertical no qual
temos os problemas na distribuição e articulação entre as disciplinas, o que faz com que os
conteúdos sejam vistos de maneira superficial e a organização de conteúdos seja desorientada
dentro de cada disciplina. Nesse sentido, ele afirma que:
Em cada tema, no entanto, quanto mais descemos aos pormenores, mais
precisamos buscar um olhar do alto, uma visão mais abrangente, uma

38
compreensão transdisciplinar do que se estuda. Não deve ser por acaso que
uma língua cheia de preciosismos, como o latim, reservou a mesma palavra
(altus) para expressar a um só tempo as ideias de alto e profundo.
(MACHADO, 2012, p. 2)
Daí está a importância de ser trabalhar na perspectiva das ideias fundamentais, que
Machado tanto defende e justifica, pois eis que surge como uma esperança de se tentar
amenizar essa grande problemática da nossa educação, que é o desafio de formar um
indivíduo integral para a sociedade. Nesse sentido, destacamos a importância de uma reflexão
acerca da prática pedagógica em relação ao ensino da ideia da proporcionalidade.

39
4 A PROPORCIONALIDADE E A ESCOLA
O conceito de proporcionalidade pode se apresentar de forma intuitiva nas relações
sociais e culturais de um indivíduo e é possível observar esse fenômeno em nossas
experiências docentes ainda no primeiro ciclo do Ensino Fundamental. Tanto é verdadeira
essa concepção que os PCN a confirmam no tópico “o aluno e o saber matemático”:
Ao relacionar ideias matemáticas entre si, podem reconhecer princípios
gerais, como proporcionalidade, igualdade, composição e inclusão e
perceber que processos como o estabelecimento de analogias, indução e
dedução estão presentes tanto no trabalho com números e operações como
em espaço, forma e medidas. (BRASIL, 1997, p. 29)
Exatamente por essa razão a proporcionalidade é vista como um conceito
fundamental, pois nas relações cotidianas essa ideia é bastante usada e tem seu papel de
destaque social, sendo lembrado pelas pessoas como uma técnica que “resolve” quase tudo.
Precisamos ter cuidado para não conduzir o aluno ao erro conceitual. Por exemplo, dois
triângulos com lados proporcionais, não necessariamente possuem áreas proporcionais.
Logicamente essa visão distorcida não possui cunho conceitual por ser trabalhada pela escola
de maneira tão mecanizada através do algoritmo conhecido como regra de três. Isso além de
curioso é muito preocupante, haja vista que essa ideia, como já mencionamos, faz conexões
com outras áreas de conhecimentos assim como dentro da própria ciência.
A proporcionalidade é um dos mais importantes conceitos da Matemática,
visto a sua aplicabilidade a diversas situações do dia a dia (compra e
consumo, escalas, produtividade, ...); dentro da própria matemática
(multiplicação e divisão, equivalência de frações, porcentagem, relações
entre unidades de medida, semelhança geométrica e homotetia, teorema de
tales, ...); e sua utilização por diversas áreas do conhecimento (física,
química, biologia, engenharia, ...) (IMENES, 2008 apud NEHRING;
SOARES, 2013, p. 1).
De acordo com a BNCC (BRASIL, 2017, p. 224) “[...], essa noção também se
evidencia em muitas ações cotidianas e de outras áreas de conhecimento, como vendas e
trocas mercantis, balanços químicos, representações gráficas etc”. Pode-se entender, então,
que o ensino da proporcionalidade não deve se limitar apenas ao 7º ano do Ensino
Fundamental como ocorre com os livros escolares, “na prática, uma criança resolve
problemas desse tipo a partir dos 6 anos de idade. Cabe à escola trabalhar com uma

40
representação que ela consiga compreender e na qual possa enxergar esse conceito de
proporção” (NUNES, 2002, p.2)7
.
Os próprios livros didáticos impõem uma sequência didática que não favorece as
relações entre os conteúdos. As sequências didáticas são as mesmas: definição de razão,
definição de proporção como igualdade de razões, propriedades das proporções, grandezas
diretamente proporcionais, grandezas inversamente proporcionais, regra de três simples, regra
de três composta e juro simples. Esse tipo de abordagem em tópicos não promove a
articulação entre os conteúdos e entre outras áreas de conhecimentos e não faz o aluno
“observar a variação entre grandezas, estabelecendo relação entre elas e construir estratégias
de solução para resolver situações que envolvam a proporcionalidade”. (BRASIL, 1998, p.
65).
O ensino da proporcionalidade não começa no referido ano, mas começa bem antes
com os conceitos dos fatos básicos, como a matemática egípcia exemplificou no capítulo 1
desse trabalho.
Nas operações fundamentais que exploram o campo multiplicativo, como a
multiplicação e a divisão, temos conteúdos anteriores importantes para sua compreensão e o
mesmo ocorre com a proporcionalidade. O problema começa ainda nos primórdios com as
ideias do campo multiplicativo, mais especificamente a ideia de adição de parcelas iguais e a
de repartir em quantidades iguais, pois são muito trabalhadas enquanto as outras ideias
existentes, como a da proporcionalidade não são.
Para o matemático Lima8
(2009) há três métodos geralmente usados para resolver os
problemas que envolvem o raciocínio proporcional. Por exemplo:
Uma firma de engenharia asfaltou uma estrada de 36 km em 12 dias. Quantos
quilômetros de estrada a mesma firma asfaltará em 48 dias?
O primeiro método ele denomina de direto, pois se observa a multiplicidade, ou seja,
a variação entre valores de uma mesma grandeza e a outra grandeza deve obedecer a essa
mesma variação.
7
Trechos de uma entrevista com Terezinha Nunes para a Revista Nova Escola em 2002.
8
Vídeoaula

41
Quadro 7 – Cálculo da proporcionalidade
Esse método pode ser visto de outra forma, não observando a variação proporcional
das grandezas, mas sim através de uma análise da quantidade de quilômetros por dia, da
seguinte forma.
36 km ÷ 12 dias = 3 km/dia
48 dias × 3 km/dia = 144 km
É evidente que são métodos usados quando os números são pequenos e de fácil
cálculo.
O segundo método consiste em reduzir uma das grandezas à unidade numa
proporcionalidade direta.
Quadro 8 – Cálculo da proporcionalidade
Estrada (km) Tempo (dias)
36 12
? 48
36 12
36 ÷ 12 = 3 12 ÷ 12 = 1
3 1
3 × 48 = 144 1 × 48 = 48
144 48
Já o terceiro método seria o da proporção que conhecemos como “a regra de três”.
36 12
d 48

12d 36 48
 
Estrada (km) Tempo (dias)
36 12
? 48
36 12
36 × 4 = 144 12 × 4 = 48

42
36 48
d
12


d 144

O primeiro método seria mais indicado para as séries iniciais no qual a criança usa o
método aditivo até evoluir para o multiplicativo. No ensino das frações os métodos aparecem
naturalmente, isso se forem evidenciadas as relações multiplicativas na equivalência de
frações que nada mais é que a ideia da proporcionalidade direta. Essas relações
multiplicativas são chamadas por Vergnaud (2009a apud SOARES; NEHRING, 2013, p. 6)
de isomorfismo de medidas, ou seja, é feita uma análise vertical (escalar) e uma análise
horizontal (funcional).
Figura 18 – Isomorfismo de Medidas
Variável A Variável B
m n
O P
Fonte: VERGNAUD, 2009a apud SOARES; NEHRING, 2013, p. 6
Outros autores chamam de co-variação e invariância entre as grandezas como Ponte
et al. (2010, p. 3).
Figura 19 – Co-variação e invariância
 Co-variação de grandezas (representadas por variáveis):
x w
x.a w.a
Y Z
 Invariância entre grandezas (representadas por variáveis):
x x.c W
y y.c Z
Fonte: Projeto IMLNA da Universidade de Lisboa.

43
O terceiro método é interessante quando as variações vertical e horizontal entre as
grandezas não se dão por um número natural, mas por um número racional, o que causa
grande dificuldade de compreensão a uma criança. Por exemplo, a equivalência
10 16
15 24
 não
é facilmente vista como uma proporção, então o conhecimento acerca dos números racionais e
suas ideias, como a ideia de razão dos números fracionários, é um ponto a ser ressaltado. Até
porque, será difícil observar as seguintes relações por parte dos alunos:
Figura 20 – Exemplo de co-variação e invariância
×1,6
×1,5
10
=
16
÷1,5
15 24
÷1,6
Esse raciocínio multiplicativo, tão importante para a construção do conceito
proporcional, é possível após variadas situações que vão do mais simples, como as ideias de
dobro, metade e triplo, até o mais complexo. Sendo assim, esse “é um conceito para ser
explorado continuamente, promovendo a integração de diferentes conteúdos presentes em
campos variados. Assim, deve-se pensar proporcionalidade como tema de estudo ao longo de
toda a escolarização” (NEHRING; SOARES, 2013, p. 2).
Essa forma de pensar se justifica por BERNAL (2004 apud NEHRING; SOARES,
2013, p 4): “Este campo envolve conceitos matemáticos que não são matematicamente
independentes, como multiplicação, divisão, fração, razão, número racional, função linear,
entre outros, eles aparecem simultaneamente nos problemas de proporcionalidade”. Machado
corrobora essa afirmação e nos mostra a relação entre os blocos temáticos:
Uma vez que a ideia de número nasce tanto da contagem quanto da medida,
e que o estudo da geometria certamente envolve relações métricas, as
interconexões entre os três blocos temáticos – números, geometria, relações
– ocorrem quase naturalmente. No Ensino Fundamental, os números
racionais surgem de relações entre inteiros (razões entre inteiros), e a
motivação básica para a compreensão dos irracionais encontra-se nas
situações que envolvem grandezas incomensuráveis, como o par diagonal de
um quadrado /lado do quadrado, que dá origem à raiz quadrada de 2
(MACHADO, 2009, p. 24).

44
Ao formalizamos a ideia da proporcionalidade temos um campo amplo para a análise
de situações que envolvam grandezas diretamente e inversamente proporcionais, que são
conhecimentos importantes para os estudos das funções polinomiais de primeiro grau e “no
caso da geometria, os cálculos de comprimentos, áreas e volumes constituem o lado mais
visível das relações métricas, que se iniciam na contagem de quadrados ou de cubos unitários
e culminam com a formalização dos mesmos em expressões literais que traduzem medidas e
relações entre medidas” (MACHADO, 2009, p. 24).
Um conceito da proporcionalidade pouco trabalhado, tanto no Ensino Fundamental
como no médio, são as ideias de variação proporcional e proporcionalidade direta na função
polinomial do 1º grau. Nos casos em que as variações são proporcionais, temos como
exemplo:
9Um rapaz desafiou seu pai para uma corrida de 100m. O pai permitiu que o
filho começasse a corrida 30m à sua frente.
Quadro 9 – Variação proporcional x proporcionalidade direta
Pai Filho
Tempo Distância Tempo Distância
0 0 0 30
2 14 5 50
4 28 10 70
6 42 15 90
Observamos que não há uma relação de proporcionalidade em relação ao filho, mas
sim, uma entre variação constante do tempo e a variação constante da distância,
diferentemente do que ocorre em relação ao pai, cujos os valores são diretamente
proporcionais.
9
Projeto Teláris: matemática – 9º ano.

45
Gráfico 1 – Desenvolvimento da corrida entre o pai e o filho.
Fonte: Livro Projeto Teláris: matemática – 9º ano
A proporcionalidade direta, nesse caso, pode ser ensinada pela translação no eixo y,
ou seja, em uma função do formato y = ax + b se transladarmos b pelo eixo y até a origem
observaremos que as variáveis dependente e independente estarão em proporção direta, como
no exemplo a cima.
Quando esses conceitos não são bem construídos chegamos ao Ensino Médio e nos
apropriamos de outros conceitos sem nos darmos conta de que conceitos de proporcionalidade
são parte de sua base. Por isso, no Ensino Fundamental, outras habilidades devem ser
desenvolvidas para que o estudante perceba essa relação. É nesse momento da vida escolar do
aluno que o bloco temático das Relações é ampliado e as ideias fundamentais e suas ideias
complementares relacionadas a ele, como medida e aproximação, proporcionalidade e
interdependência. Para Machado o estudo das relações métricas é importante, já que favorece
a “aproximação entre as diversas disciplinas, ou seja, a interdisciplinaridade, e mesmo a
consideração de questões mais amplas do que as de natureza disciplinar, ou seja, as que
ingressam no terreno da transdisciplinaridade” (MACHADO, 2009, p. 24).
Percebemos com essa citação que o bloco das Relações está relacionado com os
blocos da Geometria e do Número numa relação indissociável. Com destaque ao tema de
funções, temos o estudo das taxas de variação que segundo ele é “um prelúdio ao estudo do
Cálculo” (MACHADO, 2009, p. 25).
15
10
5
Distância (m)
100
80
60
40
20
0
Tempo (s)

46
5 CURRÍCULO
Muito se discute sobre o currículo ideal, ou seja, se discute que conteúdos devem ser
ensinados e como devem ser ensinados na Educação Básica e na Educação Superior. Para
Machado (2009, p.3) “as disciplinas são imprescindíveis e fundamentais, mas o foco
permanente da ação educacional deve situar-se no desenvolvimento das competências
pessoais dos alunos”.
Depois de décadas de estagnação, foi sancionada a lei do Plano Nacional de
Educação (PNE) 13.005/2014 que tem como algumas de suas diretrizes, mais
especificamente, no Art. 2o
, a “melhoria da qualidade da educação”, a “superação das
desigualdades educacionais, com ênfase na promoção da cidadania e na erradicação de todas
as formas de discriminação” e a “universalização do atendimento escolar”. Essas diretrizes
são destacadas aqui por entender que, essas entre as dez existentes, reforçam a ideia da
importância de um currículo nacional, visto que a base nacional comum é uma das estratégias
descritas para o cumprimento do PNE. Além das diretrizes, essa lei traz 20 metas dentre as
quais são pertinentes várias outras estratégias. Como mencionado, o PNE serve de orientação
para a elaboração do currículo nacional e traz um conjunto de diretrizes e estratégias que vão
desde a educação infantil até a formação dos professores e nelas estão presentes a necessidade
da reestruturação educacional, de forma a ampliar o acesso à educação. Mas, esta precisa ser
de qualidade e integrar temas antes pouco ou nunca discutidos no âmbito escolar, como
diversidade de gênero, sustentabilidade, tecnologia e educação financeira. Nesse sentido,
destacamos outra diretriz do PNE, a “promoção humanística, científica, cultural e tecnológica
do País”, que nos remete à ideia da etnomatemática, já que os currículos precisam contemplar
a diversidade e, dentro dessa diversidade, respeitar realidade natural e sociocultural na qual o
homem está inserido. No capítulo anterior, sobre as ideias fundamentais, verificamos que há
uma necessidade de se considerar outros aspectos para que a educação busque a integralidade
do indivíduo.
Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de
conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações
próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao seu projeto de
vida pessoal, profissional e social, com liberdade, autonomia, consciência
crítica e responsabilidade. (BRASIL, 2017, p. 18)
Daí, verificamos a necessidade da elaboração de uma base nacional comum e
discernimento ao colocar em prática tal orientação. Nesse sentido, observemos nas estratégias

47
descritas no PNE quanto a importância de se desenvolver uma base nacional comum, que vai
desde a Educação Básica até a Educação Superior.
Meta 2: Estratégia 2.2) pactuar entre União, Estados, Distrito Federal e
Municípios, no âmbito da instância permanente de que trata o § 5º do art. 7º
desta Lei, a implantação dos direitos e objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento que configurarão a base nacional comum curricular do
ensino fundamental;
Meta 3: Estratégia 3.3) pactuar entre União, Estados, Distrito Federal e
Municípios, no âmbito da instância permanente de que trata o § 5o
do art. 7o
desta Lei, a implantação dos direitos e objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento que configurarão a base nacional comum curricular do
ensino médio;
Meta 7: Estratégia 7.1) estabelecer e implantar, mediante pactuação
interfederativa, diretrizes pedagógicas para a educação básica e a base
nacional comum dos currículos, com direitos e objetivos de aprendizagem e
desenvolvimento dos (as) alunos (as) para cada ano do ensino fundamental e
médio, respeitada a diversidade regional, estadual e local;
Meta 15: Estratégia 15.6) promover a reforma curricular dos cursos de
licenciatura e estimular a renovação pedagógica, de forma a assegurar o foco
no aprendizado do (a) aluno (a), dividindo a carga horária em formação
geral, formação na área do saber e didática específica e incorporando as
modernas tecnologias de informação e comunicação, em articulação com a
base nacional comum dos currículos da educação básica, de que tratam as
estratégias 2.1, 2.2, 3.2 e 3.3 deste PNE;
Diante de uma federação miscigenada como a nossa, entendemos a preocupação de
Machado em defender as ideias fundamentais para a matemática, evitando um execesso de
fragmentação dos conteúdos, a fim priorizar o significado. Essa concepção está comtemplada
na BNCC (BRASIL, 2017, p.224): “[...] a BNCC leva em conta que os diferentes campos que
compõem a Matemática reúnem um conjunto de ideias fundamentais que produzem
articulações entre eles: equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependência,
representação, variação e aproximação”.
E em função disso, ele defende três blocos de conhecimento dentro da matemática, a
geometria, os números e as relações, e esses distribuídos pelos anos do Ensino Básico. Há
uma relação intrínseca entre esses blocos de conhecimentos como nos mostra a própria
história da ciência, que adveio das necessidades de medir, comparar, quantificar, ordenar e
etc, e dentro desses blocos estão presentes as ideias fundamentais, como nos elucida Machado
(2009, p. 18):
Os NÚMEROS envolvem as noções de contagem, medida e representação
simbólica, tanto de grandezas efetivamente existentes quanto de outras
imaginadas a partir das primeiras, incluindo-se a representação algébrica das

48
operações fundamentais sobre elas; duas ideias fundamentais na constituição
da noção de número são as de equivalência e de ordem.
A GEOMETRIA diz respeito diretamente à percepção de formas e relações
entre elementos de figuras planas e espaciais, a construção e a representação
de formas geométricas, existentes ou imaginadas, e a elaboração de
concepções de espaço que sirvam de suporte para a compreensão do mundo
físico que nos cerca.
As RELAÇÕES, consideradas como um bloco temático, incluem a noção de
medida, com a fecundidade e a riqueza da ideia de aproximação; as relações
métricas em geral; e as relações de interdependência, como as de
proporcionalidade, ou as associadas à ideia de função. (p.18)
Esses blocos também são evidenciados pelo BNCC (BRASIL, 2017, p. 221), contudo
são destacados cinco unidades temáticas:
No Ensino Fundamental, essa área, por meio de articulação de seus diversos
campos – Aritmética, álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade –
precisa garantir que os alunos relacionem observações empíricas do mundo
real a representações (tabelas, figuras e esquemas) e associem essas
representações a uma atividade matemática, conceitos e propriedades,
fazendo induções e conjecturas.
A ideia de proporcionalidade é enfatizada no bloco das relações, contudo ela
transpõe pelos blocos de conhecimentos e, também, “transita com desenvoltura entre a
aritmética, a álgebra, a geometria, a trigonometria, as funções etc” (MACHADO, 2009, p.17).
Como essa ideia é o foco da nossa pesquisa e sabemos por intermédio de Machado a sua
conexão com múltiplos temas, verificamos como a proporcionalidade e seus conhecimentos
prévios se apresentam e quais são as propostas da Base Nacional Comum Curricular até a sua
terceira versão. Haja vista que “as disciplinas têm um programa, que estabelece os temas a
serem estudados, que constituirão os meios para o desenvolvimento das competências
pessoais” (MACHADO, 2009, p.15).
Dentro da proposta da base nacional comum separamos algumas que remetem aos
conhecimentos prévios importantes para a construção do conceito da proporcionalidade até o
momento em que essa aquisição se dariam efetivamente. Esses conteúdos e habilidades a
serem desenvolvidas no Ensino Fundamental, descritas abaixo, são da proposta da BNCC.

49
Quadro 10 – Ensino Fundamental I
Números
Problemas envolvendo
diferentes significados
da multiplicação e da
divisão: adição de
parcelas iguais,
disposição retangular,
proporcionalidade,
repetição equitativa e
medida.
(EF04MA06) Resolver e elaborar problemas envolvendo
diferentes significados da multiplicação (adição de
parcelas iguais, organização retangular e
proporcionalidade), utilizando estratégias diversas, como
cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos.
(EF04MA07) Resolver e elaborar problemas de divisão
cujo o divisor tenha no máximo dois algarismos,
envolvendo os significados de repartição equitativa e de
medida, utilizando estratégias diversas, como cálculo por
estimativa, cálculo mental e algoritmos.
Números
Comparação e ordenação
de números racionais na
representação decimal e
na fracionária utilizando
noção de equivalência
(EF05MA04) Identificar frações equivalentes.
(EF05MA05) Comparar e ordenar números racionais
positivos (representação fracionária e decimal),
relacionando os pontos da reta numérica.
Álgebra
Grandezas diretamente
proporcionais
Problemas envolvendo a
partição de um todo em
duas partes proporcionais
(EF05MA12) Resolver problemas que envolvam
variação de proporcionalidade direta entre duas
grandezas, para associar a quantidade de um produto
ao valor a pagar, alterar as quantidades de ingredientes
de receitas, ampliar ou reduzir escala em mapas, entre
outros.
(EF05MA13) Resolver problemas envolvendo a
partilha de uma quantidade em duas partes desiguais,
tais como dividir uma quantidade e duas partes, de
modo que uma seja o dobro da outra, com
compreensão da ideia de razão entre as partes e delas
com o todo.
Geometria
Ampliação e redução de
figuras poligonais em
malhas quadriculadas:
reconhecimento da
congruência dos ângulos e
da proporcionalidade de
lados correspondentes.
(EF05MA18) Reconhecer a congruência dos
ângulos e a proporcionalidade entre os lados
correspondentes de figuras poligonais em situações
de ampliação e de redução em malhas
quadriculadas e usando tecnologias digitais.
Fonte: BNCC (BRASIL, 2017, p. 246 e seg).

50
Quadro 11 – Ensino Fundamental II
Números
Frações: significados (parte/todo,
quociente), equivalência,
comparação, adição e subtração;
cálculo de fração de um número
natural; adição e subtração de
frações
(EF06MA06) Compreender, comparar e
ordenar frações associadas às ideias de parte
de inteiros e resultado de divisão,
identificando frações equivalentes.
Cálculo de porcentagem por meio
de estratégias diversas, sem fazer
uso da “regra de três”
(EF06MA12) Resolver e elaborar
problemas que envolvam porcentagem, com
base na ideia de proporcionalidade, sem
fazer uso da “regra de três”, utilizando
estratégias pessoais, cálculo mental e
calculadora, em contextos de educação
financeira, entre outros.
Geometria
Construção de figuras semelhantes:
ampliação e redução de figuras
planas em malhas quadriculadas.
(EF06MA20) Construir figuras planas
semelhantes em situações de ampliação e
de redução, com o uso de malhas
quadriculadas, plano cartesiano e
tecnologias digitais.
Grandezas
e Medidas
Perímetro de um quadrado como
grandeza proporcional à medida do
lado.
(EF06MA27) Analisar e descrever
mudanças que ocorrem no perímetro e na
área de um quadrado ao se ampliarem ou
reduzirem, igualmente, as medidas de seus
lados, para compreender que o perímetro é
proporcional à medida do lado, o que não
ocorre com a área.
Números
Fração e seus significados:
como parte de inteiros,
resultado da divisão, razão e
operador.
(EF07MA05) Comparar e ordenar frações
associadas às ideias de partes de inteiros,
resultado da divisão, razão e operador.
(EF07MA06) Utilizar, na resolução de
problemas, a associação entre razão e fração,
como a fração 2/3 para expressar a razão de duas
partes de uma grandeza para três partes da
mesma ou três partes de outra grandeza.
Álgebra
Equivalência de
expressões algébricas:
identificação de
regularidade de uma
sequência numérica
(EF07MA12) Reconhecer se duas expressões
algébricas obtidas para descrever a regularidade de
uma mesma sequência numérica são ou não
equivalentes.

51
Problemas envolvendo
grandezas diretamente
proporcionais e
grandezas inversamente
proporcionais
(EF07MA13) Reconhecer e elaborar problemas que
envolvam variação de proporcionalidade direta e de
proporcionalidade inversa entre duas grandezas,
utilizando sentença algébrica para expressar a relação
entre elas.
Equações polinomiais
do 1° grau
(EF07MA14) Reconhecer e elaborar problemas que
possam ser representados por equações polinomiais do
1° grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das
propriedades da igualdade.
Álgebra
Variação de grandezas:
diretamente proporcionais,
inversamente
proporcionais ou não
proporcionais
(EF08MA10) Identificar a natureza da variação de
duas grandezas, diretamente, inversamente
proporcionais ou não proporcionais, expressando a
relação existente por meio de sentença algébrica e
representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA11) Resolver e elaborar problemas que
envolvam grandezas diretamente, inversamente
proporcionais, por meio de estratégias variadas.
Álgebra
Razão entre grandezas de
espécies diferentes
(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam
a razão entre duas grandezas de espécies
diferentes, como velocidade e densidade
demográfica.
Grandezas diretamente
proporcionais e grandezas
inversamente proporcionais
(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que
envolvam relações de proporcionalidade direta e
inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive
escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de
variação, em contextos socioculturais, ambientais
e de outras áreas.
Geometria
Semelhança de triângulos
(EF09MA12) Reconhecer as condições
necessárias e suficientes para que dois triângulos
sejam semelhantes.
Relações métricas no
triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras:
verificações experimentais e
demonstração
Retas paralelas cortadas por
transversais: teoremas de
proporcionalidade e
verificações experimentais.
(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do
triângulo retângulo, entre elas o teorema de
Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de
triângulos.
(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de
aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações
de proporcionalidade envolvendo retas paralelas
cortadas por secantes.
Fonte: BNCC (BRASIL, 2017, p 256 e seg).

52
Esses são os objetivos para o desenvolvimento das habilidades, enfatizando a ideia
fundamental da proporcionalidade, para o Ensino Fundamental a partir do 4º ano. Esse
período é responsável pela construção do conceito dessa ideia fundamental em particular.
Observa-se que na fase inicial usa-se a ideia da proporcionalidade de forma generalizada e
evita-se a algoritmização precoce a fim de dar significado ao conceito. Para melhor
compreender um conceito este necessita ser revisitado para que percebamos as relações
proporcionais nos conteúdos estudados. Assim, seremos capazes de fazer novas relações e
acessar novos conteúdos. A BNCC nos elucida que:
A compreensão do papel que determinada habilidade representa no conjunto
das aprendizagens demanda a compreensão de como ela se conecta com
habilidades dos anos anteriores, o que leva à identificação das aprendizagens
já consolidadas, e em que medida o trabalho para o desenvolvimento da
habilidade em questão serve de base para as aprendizagens posteriores.
(BRASIL, 2017, p. 232)
“Essas situações precisam articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos,
visando ao desenvolvimento das ideias fundamentais da matemática, como equivalência,
ordem, proporcionalidade, variação e interdependência” (BRASIL, 2017, p 254), articulada
também em outras áreas de conhecimento e com a história da Matemática.
Se observarmos as habilidades a serem desenvolvidas perceberemos que algumas
delas são iniciadas por “resolver e elaborar” e “analisar e descrever”. Isso se deve ao fato de
que o aluno precisa questionar os resultados encontrados e analisar possíveis variações de
resultados quando as condições iniciais são modificadas, além de trabalhar o cálculo mental.
Além de serem capazes de elaborar outros problemas utilizando os conhecimentos aprendidos
os alunos precisam se sentir mais motivados e autoconfiantes. Essas qualidades são
importantes para a resolução de problemas matemáticos. O PCN nos confirma essa ideia:
Os Parâmetros Curriculares Nacionais explicitam o papel da Matemática no
ensino fundamental pela proposição de objetivos que evidenciam a
importância de o aluno valorizá-la como instrumental para compreender o
mundo à sua volta e de vê-la como área do conhecimento que estimula o
interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da
capacidade para resolver problemas. Destacam a importância de o aluno
desenvolver atitudes de segurança com relação à própria capacidade de
construir conhecimentos matemáticos, de cultivar a auto-estima, de respeitar
o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluções. (BRASIL,
1998, p.15-16)

53
As diretrizes curriculares para o Ensino Médio apenas constam na primeira versão e
na segunda versão da BNCC10
, que são documentos preliminares. Essas versões trazem
algumas diferenças. A primeira versão é condizente com a terceira versão do documento
oficial, pois traz os currículos dispostos de forma semelhantes. Neles são especificadas as
unidades temáticas com suas habilidades organizadas por anos de escolaridade. Já na segunda
versão as habilidades são distribuídas por unidades temáticas, não especificando o ano de
escolaridade. Por uma questão didática usaremos a primeira versão para discorrermos sobre o
Ensino Médio.
Quadro 12 – Ensino Médio
Geometria
(MTMT1MOA003) Compreender e aplicar o teorema de Tales na resolução de
problemas, incluindo a divisão de segmentos em partes proporcionais.
(MTMT1MOA004) Utilizar a semelhança de triângulos e o teorema de
Pitágoras (exemplo: diagonais de prismas e da altura de pirâmides) para resolver
e elaborar problemas.
(MTMT1MOA005) Compreender e aplicar razões trigonométricas no triângulo
retângulo e as relações trigonométricas em triângulos quaisquer.
Grandezas
e Medidas
(MTMT1MOA007) Compreender a noção de grandezas formadas por relações
entre outras grandezas (Exemplo: densidade, aceleração).
Números e
Operações
(MTMT1MOA015) Reconhecer as relações entre as diferentes representações
de um número real (decimal, fracionária, potência e radical), o módulo e o
simétrico.
Álgebra e
Funções
(MTMT1MOA018) Resolver e elaborar problemas envolvendo
proporcionalidade entre duas ou mais grandezas, inclusive problemas
envolvendo escalas, divisão em partes proporcionais e a taxa de variação.
(MTMT1MOA019) Compreender função como um tipo de relação de
dependência entre duas variáveis, ideias de domínio e de imagem, associando as
representações gráfica e/ou algébrica.
(MTMT1MOA020) Reconhecer função afim em suas representações algébrica e
gráfica, identificando variação (taxa, crescimento, decrescimento), pontos de
intersecção de seu gráfico com os eixos coordenados e o sentido geométrico dos
coeficientes da equação da reta.
(MTMT1MOA021) Descrever função linear como um tipo de função afim e
associá-la a relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas.
(MTMT1MOA022) Associar sequências numéricas de variação linear (PA) a
funções afins de domínios discretos.
10
O Ministério da Educação (MEC) anunciou no dia 28 de julho que adiará a entrega da Base Nacional Comum
Curricular (BNCC) para o Ensino Médio até que seja aprovada uma reforma dessa etapa de ensino. Disponível
em: <https://novaescola.org.br/conteudo/418/base-nacional-comum-curricular-ensino-medio-adiamento-mec>.

54
Números e
Operações
(MTMT2MOA001) Reconhecer as relações entre as diferentes representações
de um número real (decimal, fracionária, potência e radical), o módulo e o
simétrico.
Números e
Operações
(MTMT3MOA012) Resolver e elaborar problemas envolvendo porcentagem
em situações financeiras.
Fonte: BNCC (BRASIL, 2015, p 142 e seg).
Essa última etapa da Educação Básica é complementar ao Ensino Fundamental, já
que são aprofundados alguns conteúdos por servirem de base para novos conhecimentos. Ou
seja, “deve oferecer condições ao estudante para ampliar e consolidar as aprendizagens do
Ensino Fundamental e desenvolver novas capacidades de interpretar e refletir sobre diferentes
contextos” (BRASIL, 2017, p. 139), segundo a BNCC. A ideia da proporcionalidade está
intrínseca nos conteúdos listados acima. E essas relações proporcionais precisam ser
evidenciadas pelos professores.
No Ensino Médio, a ampliação de idéias associadas ao bloco temático
Relações ocorre de forma muito significativa. Além da continuidade do
estudo de medidas de figuras planas e espaciais, iniciado no Ensino
Fundamental, deve ser incorporada nesse eixo a investigação das relações
entre grandezas que dependem umas das outras, ou seja, as relações de
interdependência, o que abre portas para um estudo mais sistematizado de
um tipo particular de interdependência, que são as funções. A idéia básica de
proporcionalidade direta ou inversa, explorada inicialmente no Ensino
Fundamental, agora deve ser estendida a outros tipos de relações de
interdependência como as que associam um número com seu cubo, uma
potência com seu expoente etc. Em cada caso, a noção de taxa de variação,
ou seja, a medida da rapidez com que uma das grandezas interdependentes
varia com a outra, será destacada, como um prelúdio ao estudo do Cálculo.
Na verdade, todo o Cálculo Diferencial é tributário dessa idéia de taxa de
variação. Também se enquadra nas relações de interdependência todo o
estudo da Trigonometria, desde as relações métricas no triângulo retângulo
até a caracterização das funções trigonométricas, com sua notável
potencialidade para representar fenômenos periódicos. As chamadas funções
trigonométricas nada mais são do que relações de interdependência que
generalizam a idéia de proporcionalidade, fundadora das noções de seno,
cosseno, tangente, entre outras. Há, ainda, no Ensino Médio, um rico leque
de possibilidades para o cruzamento das Relações como um bloco de
conteúdos com os demais, tanto os números quanto a geometria: na
geometria analítica, por exemplo, fundem-se as perspectivas das relações de
interdependência, da linguagem algébrica e dos objetos geométricos, numa
verdadeira comunhão de interesses entre as três vertentes de temas
disciplinares. (MACHADO, 2009, p. 24-25)
Elaborar um currículo nacional não é uma tarefa fácil, pois necessitamos levar em
consideração a realidade social, a história e a cultura de todos os estados da federação. Mas,
esse esforço não é suficiente para se alcançar as metas estabelecidas pela PNE. Além disso,

55
temos metas intrínsecas à elaboração da BNCC que não só é a de delimitar que
conhecimentos e habilidades os alunos devem desenvolver ao longo da vida escolar, mas
sobretudo, como encaminhar esse desenvolvimento. Por isso, o PNE também traz como tema
a formação dos professores, que chegam defasados às universidades e não encontram nos
cursos de licenciatura a formação adequada, nos que diz respeitos à conteúdos e à prática
docente. “Devido à falta de articulação entre conteúdo e pedagogia, os cursos de formação
inicial de professores receberam fortes críticas e, por todos os cantos, foram pressionados a se
modificarem mais profundamente. As modificações promovidas, no entanto, foram lentas e
superficiais” (MATHIAS, 2017, p. 2). Dessa forma, é inevitável pensar como esse currículo
nacional comum será interpretado na prática pelos professores. Pires e Silva (2011, p. 60) nos
confirmam essa preocupação e nos trazem um possível caminho:
Outra meta importante seria o desenvolvimento de projetos de formação de
professores, em que se construiriam bases que possibilitassem uma reflexão
sobre as questões curriculares, tarefa esta essencial, pois, como se sabe, a
implementação de inovações curriculares em sala de aula e a produção de
bons resultados em educação, certamente não são feitas por decretos e leis.
Indo mais além nessas questões temos a reflexão de Sacristán (1998, p. 16 apud
PIRES e SILVA 2011, p. 62):
Quando definimos currículo, estamos descrevendo a concretização das
funções da própria escola e a forma particular de enfocá-las num momento
histórico e social determinado, para um nível de modalidade de educação,
numa trama institucional, etc. O currículo, então, é um meio pelo qual a
escola se organiza, propõe os seus caminhos e a orientação para a prática.
Sacristán fala dos níveis de currículos existente no campo pedagógico que nada mais
são que as diferentes interpretações sobre um mesmo currículo que vai desde a elaboração de
um documento oficial e perpassa pelos autores de livros didáticos, pelos planos de curso
elaborados pelas instituições de ensino, pela prática pedagógica e pelos alunos, até chegar a
avaliação do aluno pelo professor. Não podemos esquecer que tudo isso é indissociável às
experiências que cada uma das partes possui, portanto, cada um interpreta de acordo com o
seu ponto de vista. A relação entre escola, professor e aluno, por exemplo, é bastante
complexa. Pois, espera-se o planejamento do professor de acordo com a interpretação dos
objetivos curriculares que promoverão o desenvolvimento do aluno juntamente com o projeto
político pedagógico, com os seus conhecimentos acerca do saber matemático, do processo de
ensino e aprendizagem e a avaliação a ser aplicada. Para concluir essa reflexão, temos a
explicação de Pires e Silva sobre os níveis curriculares com base nas alusões de Sacristán:

56
Concordando com as reflexões desse autor, entendemos que os estudos sobre
currículos devem levar em conta seus vários níveis de concretização,
compreendendo como se articulam e quais as possibilidades de limites de
cada um deles. Sobretudo, é preciso considerar que a implantação de um
projeto curricular tem que ser idealizada a longo prazo e com
intencionalidade, indicando claramente as mudanças que se pretendem
implementar (PIRES e SILVA 2011, p. 62).
Há muito trabalho a fazer e temos que estar conscientes de que a mudança é urgente
e fazermos a nossa parte. Segundo o BNCC, não basta ensinarmos a ideia de
proporcionalidade como está descrito nos documentos oficiais, mas precisamos adequar ao
cotidiano e fazer com que os alunos “argumentem e justifiquem os procedimentos utilizados
para a resolução e avaliem a plausibilidade dos resultados encontrados” (BRASIL, 2017, p.
224). Um exemplo interessante sobre isso vem do livro de 1938, O homem que calculava11
.
- Qual é, afinal, a origem da dúvida? – Perguntou Beremiz.
- Esse homem (e apontou para o joalheiro) veio da Síria vender joias em
Bagdá; prometeu-me que pagaria, pela hospedagem, 20 dinares se vendesse
as joias por 100 dinares, pagando 35 se as vendesse por 200. Ao cabo de
vários dias, tendo andado daqui para ali, acabou vendendo tudo por 140
dinares. Quanto deve pagar, consoante a nossa combinação pela
hospedagem? (TAHAN, 1938, p. 19)
As relações entre os valores prometidos em pagamento pela hospedagem não são
proporcionais aos valores das vendas das joias. As soluções apresentadas pelas partes
interessadas foram baseadas numa proporcionalidade direta. Contudo, o calculista observando
o equívoco apresenta a solução para o ocorrido. Observou que a diferença de 100, no preço da
venda, corresponde a uma diferença de 15 no preço da hospedagem.
Qual será o aumento da hospedagem para o acréscimo de 40 na venda? Se a
diferença fosse de 20 (que é um quinto de 100), o aumento da hospedagem
seria de 3 (pois 3 é um quinto de 15). Para a diferença de 40 (que é o dobro
de 20), o acréscimo da hospedagem deverá ser de 6. O pagamento
correspondente a 140, é, portanto, de 26. (TAHAN, 1938, p.21)
Esse tipo de reflexão nos leva a pensar sobre a forma em que o indivíduo percebe a
ideia da proporcionalidade nos diferentes conteúdos dos diferentes blocos temáticos e em
diferentes anos da vida escolar.
11
Versão digital.

57
6 UMA PROPOSTA AO PROFESSOR ACERCA DA IDEIA FUNDAMENTAL DA
PROPORCIONALIDADE
Esse capítulo tem por objetivo abordar como o conceito de proporcionalidade está
presente nos diferentes conteúdos matemáticos. As fontes de consulta foram: Convergências
de Eduardo Chavante, Projeto Teláris de Luiz Roberto Dante e Matemática: Compreensão e
prática dos autores Ênio Silveira e Cláudio Marques. Essas coleções são aprovadas pelo
PNLD. Os livros serviram de consulta para elaborar as questões, embora algumas estejam na
íntegra. O objetivo desse capítulo é atentar ao professor quanto a necessidade de identificar a
proporcionalidade como ideia fundamental nos diferentes anos de escolaridade do Ensino
Básico.
Falemos primeiramente da geometria. A ideia proporcional nessa unidade temática
está associada à comparação entre grandezas de mesma espécie, como vimos historicamente.
Nessa fase escolar, a equivalência de frações e a “regra de três” precisam ser associadas à
ideia de proporcionalidade da multiplicação. Então, observemos um problema sobre a
semelhança de figuras.
Nas lojas de eletrodomésticos, podemos ver aparelhos de televisão dos mais
variados tamanhos. O tamanho da tela de um aparelho de televisão geralmente é
determinado pela medida da diagonal, em polegadas. Mesmo que as telas dos
computadores tenham tamanhos diferentes, há uma medida comum entre elas, que é o
ângulo de inclinação da diagonal em relação à base. Nos modelos widescreen,
independentemente do tamanho da tela, essa medida é de 29°.
Figura 21 – Dimensões de uma televisão de 26 polegadas
Fonte: Livro Projeto Teláris
Determine, em centímetros, a medida aproximada de uma tela de 52 polegadas
(Uma polegada é aproximadamente 2,54 cm).
32 cm
57,8 cm
29°
26”

58
Figura 22 – Dimensões de uma televisão de 52 polegadas
Fonte: Próprio autor.
Resolução: Usando a ideia da proporcionalidade obtemos as seguintes relações:
57,8 32 26"
y x 52"
  . Precisamos transformar as medidas em polegadas para centímetros. Com
isso, obtermos outra situação proporcional.
1 2,54
26 p

p 66,04"

Como 52” é o dobro de 26”, temos que: 66,04" 2 132,08"
  . Logo:
57,8 32 66,04
y x 132,08
  .
Observando a igualdade obtemos diretamente os valores de x e y já que a razão é de
1 para 2.
57,8 32 66,04
115,6 64 132,08
 
Continuamos com a geometria, em relação à semelhança de figuras, mais
especificamente, à semelhança de triângulos. A trigonometria é um conteúdo matemático
extenso no Ensino Médio e nada mais é que relações de interdependência. As razões
trigonométricas relacionam dois lados do triângulo a fim de determinar a medida do ângulo. O
seu princípio começa ainda no Ensino Fundamental e nem sempre é evidenciada a ideia da
proporcionalidade. Nos livros didáticos atuais já trazem essas relações como semelhança de
figuras triangulares, como no exemplo a seguir.
Um avião decola de um aeroporto sob o ângulo de 29° com a horizontal (solo) e
uma velocidade constante. Ao atingir a altura de 320 metros terá percorrido 578 metros
em relação a horizontal. Quando a distância no trajeto do avião for de 1320,8 metros,
x cm
y cm
29°
52”

59
qual será a sua distância (d) em relação ao solo e qual será a sua altura (h)? (Dado: tg
29° = 0,554 / sem 29° = 0,485 / cos 29° = 0,875)
Figura 23 – Decolagem de um avião
Fonte: http://maisunifra.com.br/wp-content/uploads/img_mat_distancias-inacessiveis_01.png
Resolução: Usando as relações trigonométricas, temos que:
d
cos(29 )
1320,8
 
d
0,875
1320,8

0,875 d
1 1320,8

0,875 1320,8 1155,7 1156m
  
Vamos usar o resultado anterior, a distância (d) em relação ao solo, para determinar a
altura do avião.
h
tg(29 )
1156
 
h
0,554
1156

0,554 h
1 1156

0,554 115,6 64,04 64,0m
  
29°
320 m
578 m
1320,8 m
d
h

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