GDA_10-Solucoes_Livro_Exercicios.pdf

SOLUÇÕES - LIVRO DE EXERCĺCIOS
SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
NOTA: Se bem que os dados métricos dos enunciados estejam em centímetros, as soluções apresentadas não consideraram o centímetro como unidade.
De facto, no sentido do estudante, o objetivo da consulta das soluções dos exercícios deve ser a verificação da correção dos raciocínios e dos traçados e não
a comparação métrica dos mesmos. Dessa forma, considerou
‑se de maior utilidade o desenvolvimento dos relatórios e a resolução gráfica dos problemas
a uma escala que evite qualquer tentativa de comparação métrica. A escala utilizada foi de ½, o que significa que a cada centímetro da resolução do aluno
corresponderá 0,5 cm nestas soluções.
1
CONCEITOS GERAIS RELATIVOS À GEOMETRIA
1.
O ponto, como elemento visual, é uma mancha pequena, de forma mais ou menos circular e de dimensões variáveis. O ponto, como elemento geométrico, é a
unidade base (o elemento base) da Geometria, não possuindo qualquer dimensão física real (tem zero dimensões), sendo uma forma infinitamente pequena que
assinala uma determinada posição no plano ou no espaço.
2.
Em Geometria, um ponto deve representar-se como a interseção de duas linhas retas – o ponto pretendido será o ponto de interseção dessas duas linhas retas.
3.
A identificação de pontos processa-se com o recurso a letras maiúsculas do alfabeto latino (A, B, C, etc…)
4.
Uma reta tem uma única dimensão – uma reta tem apenas comprimento, pois não tem espessura.
5.
Uma reta, em Geometria, deve ser entendida como um conjunto infinito de pontos dispostos sucessivamente e infinitamente próximos uns dos outros ao longo
de uma determinada direção ou, segundo outros autores, como a sequência de posições que um dado ponto ocupa quando se movimenta ao longo de uma dada
direção.
6.
Por direção de uma reta entende-se a posição que essa reta ocupa no campo visual (no plano ou no espaço), em relação a um determinado referencial (ou a
determinadas referências visuais).
7.
Uma “família” de retas é o conjunto de todas as retas (do plano ou do espaço) com a mesma direção.
8.
Para definir uma reta são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção.
9.
A identificação de retas processa-se com o recurso a letras minúsculas do alfabeto latino (r, s, m, etc…)
10.
Duas retas, no espaço, podem ser complanares ou não complanares.
11.
Por retas complanares entendem-se retas que estão contidas no mesmo plano e que, por isso mesmo, ou são paralelas ou são concorrentes.
1

SOLUÇÕES
12.
Se duas retas são complanares, sabe-se que as duas retas são necessariamente paralelas ou concorrentes.
13.
Por retas concorrentes entendem-se retas que têm direções diferentes e um ponto em comum situado a distância finita – o ponto de concorrência.
14.
Por retas paralelas entendem-se retas que são concorrentes num ponto do infinito (um ponto situado a distância infinita – um ponto impróprio) e que, por isso,
têm a mesma direção.
15.
Por retas enviesadas entendem-se retas que não estão contidas no mesmo plano (não pertencem ao mesmo plano), ou seja, são retas que têm direções dife‑
rentes (não são paralelas) e que não têm pontos em comum (não são concorrentes), pelo que são retas que não são paralelas nem concorrentes.
16.
Se duas retas têm direções diferentes, sabe-se que as duas retas não são paralelas – logo, podem ser concorrentes (se forem complanares) ou enviesadas (se
forem não complanares).
17.
Por segmento de reta entende-se uma parte (um troço, uma porção, um bocado) de uma reta, ou seja, é uma linha reta com princípio e fim (os extremos do
segmento).
18.
Por reta suporte de um segmento de reta entende-se a reta da qual o segmento é uma parte (uma porção), ou seja, a reta que contém o segmento.
19.
Por lugar geométrico entende-se a figura geométrica constituída por todos os pontos, todas as retas ou todos os planos que verificam uma dada condição (um
conjunto de condições).
20.
A mediatriz de um segmento de reta é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes dos extremos do segmento. Atendendo a que a figura
geométrica resultante da condição atrás enunciada é uma reta perpendicular ao segmento e que divide o segmento em duas partes iguais (pois contém o ponto
médio do segmento de reta) a mediatriz de um segmento de reta é, assim, uma reta perpendicular ao segmento de reta e que passa pelo seu ponto médio.
21.
O plano mediador de um segmento de reta é o lugar geométrico dos pontos do espaço que estão equidistantes dos extremos do segmento. Atendendo a que a
figura geométrica resultante da condição atrás enunciada é um plano ortogonal ao segmento de reta e que divide o segmento em duas partes iguais (pois contem
o ponto médio do segmento), o plano mediador de um segmento de reta é um plano ortogonal ao segmento e que contém o seu ponto médio.
22.
Mediatriz de um segmento de reta e plano mediador de um segmento de reta são, ambos, lugares geométricos de pontos equidistantes dos extremos do
segmento. No entanto, no caso da mediatriz trata-se de um lugar geométrico no plano, enquanto no caso do plano mediador se trata de um lugar geométrico
no espaço.
23.
Um plano é uma superfície puramente bidimensional, gerada pela deslocação de uma reta, paralelamente a si mesma, ao longo de uma outra reta.
24.
Por orientação de um plano entende-se a posição que o plano ocupa no espaço, em relação a um determinado referencial (relativamente a um conjunto de re‑
ferências visuais).
2

25.
Enquanto a orientação de um plano é a posição que o plano ocupa no espaço em relação a um conjunto de referências visuais, a direção de uma reta é a po‑
sição de uma reta ocupa no plano ou no espaço, em relação, também, a um conjunto de referências visuais.
26.
A identificação de planos processa-se com o recurso a letras minúsculas do alfabeto grego (a, b, d, etc…)
27.
Uma reta pertencer a um dado plano significa que a reta está contida nesse plano, ou seja, que essa reta é complanar com toda e qualquer outra reta desse mes‑
mo plano.
28.
Para uma reta pertencer a um plano, a reta tem de conter dois pontos desse plano (no caso em que a reta está definida por dois pontos) ou tem de conter um
ponto desse plano e ser paralela a uma outra reta desse plano (no caso em que a reta está definida por um ponto e uma direção).
29.
Um ângulo é a porção do plano que está compreendida entre duas semirretas com direções diferentes e a mesma extremidade. Trata-se de uma porção de pla‑
no, pois um ângulo é uma superfície bidimensional. As semirretas que limitam o ângulo são os lados do ângulo. A extremidade comum aos dois lados do ângulo
é o vértice do ângulo
30.
Por distância de um ponto a uma reta entende-se a menor distância entre o ponto e a reta, que é medida perpendicularmente à reta – a distância do ponto à reta
é o comprimento do segmento da reta perpendicular ao segmento que tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no ponto de interseção das duas retas.
31.
Para determinar a distância de um ponto a uma reta:
1. conduz-se, pelo ponto, uma reta perpendicular à reta dada;
2. determina-se o ponto de interseção (ou ponto de concorrência) das duas retas;
3. a distância entre os dois pontos é a distância do ponto à reta.
32.
A bissectriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes dos dois lados do ângulo. Atendendo a que a figura geométrica resul‑
tante da condição atrás enunciada é uma reta que contém o vértice do ângulo e que divide o ângulo em dois ângulos geometricamente iguais, a bissetriz de um
ângulo é, assim, uma reta que passa pelo vértice do ângulo e que divide o ângulo em dois ângulos geometricamente iguais.
33.
Um diedro é a porção do espaço que está compreendida entre dois semiplanos com orientações diferentes e com a mesma reta limite (ou reta de origem). Trata-
se de uma porção de espaço, pois um diedro é uma entidade tridimensional. Os semiplanos que limitam o diedro são as faces do diedro. A reta limite das duas
faces do diedro é a aresta do diedro.
34.
O retilíneo de um diedro é o ângulo formado pelas duas semirretas que resultam da interseção das duas faces do diedro com um plano ortogonal à aresta do
diedro.
35.
Por distância de um ponto a um plano entende-se a menor distância entre o ponto e o plano, que é medida ortogonalmente ao plano – a distância do ponto ao
plano é o comprimento do segmento da reta ortogonal ao plano que tem um extremo no ponto dado e o outro extremo no ponto de interseção da reta com o
plano dado.
36.
Para determinar a distância de um ponto a um plano:
1. conduz-se, pelo ponto, uma reta ortogonal ao plano dado;
2. determina-se o ponto de interseção da reta com o plano;
3. a distância entre os dois pontos é a distância do ponto ao plano.
3

SOLUÇÕES
37.
O plano bissetor de um diedro é o lugar geométrico dos pontos do espaço que estão equidistantes das faces do diedro. Atendendo a que a figura geométrica re‑
sultante da condição atrás enunciada é um plano que contém a aresta do diedro e que divide o diedro em dois diedros geometricamente iguais, o plano bissetor
de um diedro é, assim, o plano que contém a aresta do diedro e que divide o diedro em dois diedros geometricamente iguais.
38.
Enquanto ângulo é uma entidade bidimensional (é uma porção do plano compreendida entre duas semirretas), já o diedro é uma entidade tridimensional (é
uma porção do espaço compreendida entre dois semiplanos).
39.
Critério de paralelismo entre retas e planos: uma reta é paralela a um plano se e só se não estiver contida no plano e for paralela uma reta desse plano, ou
seja, se a reta não estiver contida no plano e pertencer a uma “família” de retas que o plano contenha. De forma inversa, um plano é paralelo a uma reta se e só
se esse plano não contiver a reta e contiver uma reta paralela à reta dada, ou seja, um plano é paralelo a uma reta se o plano não contiver a reta e contiver a “fa‑
mília” de retas a que a reta dada pertence.
40.
Uma reta é concorrente com um plano quando não é paralela a esse plano, ou seja, quando não é paralela a nenhuma reta desse plano.
41.
A afirmação é verdadeira. De facto, um plano e uma reta intersetam-se sempre num ponto, que é o ponto que pertence simultaneamente à reta e ao plano. Esse
ponto, no entanto, pode situar-se a uma distância finita (um ponto próprio), no caso de a reta ser concorrente com o plano, ou a uma distância infinita (um ponto
impróprio), no caso de a reta ser paralela ao plano.
42.
Por interseção entende-se a figura geométrica que é comum a duas figuras geométricas dadas (a figura geométrica que pertence simultaneamente a duas figu‑
ras geométricas dadas). A interseção entre uma reta e um plano, por exemplo, é um ponto.
43.
Se dois planos têm a mesma orientação, os planos são paralelos. Caso tenham orientações diferentes, os planos são secantes.
44.
Critério de paralelismo entre planos: dois planos são paralelos se e só se duas retas concorrentes de um dos planos forem paralelas a duas retas concorrentes
do outro plano, ou seja, se os dois planos tiverem, em comum, duas “famílias” de retas (se houver duas “famílias” de retas que existam, simultaneamente, nos
dois planos).
45.
Por planos secantes entendem-se planos com orientações diferentes e que se intersetam (se cortam) segundo uma reta – a reta de interseção dos dois planos.
Assim, dois planos secantes são planos que têm uma única “família” de retas em comum, sendo que a reta de interseção entre os dois planos é necessariamente
uma reta dessa única “família” de retas que os dois planos têm em comum.
46.
Retas perpendiculares são duas retas concorrentes que fazem, entre si, quatro ângulos retos (quatro ângulos com uma amplitude de 90º).
47.
Retas perpendiculares são duas retas concorrentes (complanares) cujas direções são ortogonais. Retas ortogonais são retas paralelas a duas retas concor‑
rentes – são retas com direções ortogonais mas que não são necessariamente concorrentes (são retas cujas direções são ortogonais). Assim, retas perpen-
diculares são necessariamente ortogonais, mas retas ortogonais podem ser perpendiculares (caso sejam complanares) ou meramente ortogonais (se forem
enviesadas – não complanares).
48.
Critério de ortogonalidade entre retas e planos: uma reta é ortogonal a um plano se e só se for ortogonal ou perpendicular a duas retas concorrentes desse
plano, ou seja, se a reta for ortogonal a duas “famílias” de retas desse plano. De forma inversa, um plano é ortogonal a uma reta se e só se o plano contiver duas
retas concorrentes ortogonais ou perpendiculares à reta dada, ou seja, se o plano contiver duas “famílias” de retas ortogonais à reta dada.
4

49.
Teorema da ortogonalidade entre retas e planos: uma reta ortogonal a um plano é ortogonal ou perpendicular a todas as retas desse plano. De forma inversa,
se um plano é ortogonal a uma reta, todas as retas desse plano são ortogonais ou perpendiculares à reta dada.
50.
Por planos ortogonais entendem-se planos secantes que fazem, entre si, diedros de retilíneos de 90º, ou seja, planos secantes cujas orientações são ortogonais.
51.
Critério de ortogonalidade entre planos: dois planos são ortogonais entre si se e só se um deles contiver uma reta ortogonal ao outro plano, ou seja se um dos
planos contiver a “família” de retas ortogonal ao outro plano.
52.
Por figura plana entende-se toda a superfície plana (a região do plano) que está limitada por uma linha fechada, linha essa que pode ser quebrada, curva ou mista.
53.
Uma figura plana não pode ser um espaço, pois uma figura plana só tem duas dimensões (é uma entidade bidimensional – uma porção de um plano, que só tem
duas dimensões) e, por isso, não tem volume, enquanto que um espaço tem necessariamente três dimensões (tem volume).
54.
Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes (à mesma distância – o raio da circunferência) de um dado ponto (o cen‑
tro da circunferência).
55.
A afirmação é falsa. De facto, o centro da circunferência não é um ponto da circunferência, pois a distância do centro da circunferência a si mesmo é zero. Aten‑
dendo a que a circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma mesma distância (o raio da circunferência) do centro da circunferência,
o centro da circunferência só será um ponto da circunferência no caso de o raio da circunferência ser zero – e, nesse caso, a circunferência reduz-se a um único
ponto, que é o próprio centro da circunferência. Em todos os outros casos em que o raio da circunferência não é zero (em que se trata realmente de uma circun‑
ferência), o centro da circunferência não é um ponto da circunferência.
56.
Por círculo entende-se a superfície plana que é limitada pela circunferência – o círculo é, assim, uma figura plana.
57.
A circunferência é a linha plana (curva) fechada que delimita o círculo. O círculo, por sua vez, é a figura plana limitada por uma linha que é a circunferência. As‑
sim, enquanto a circunferência é uma linha, o círculo, por se tratar de uma figura plana, é uma superfície plana.
58.
Uma corda é todo o segmento de reta cujos extremos são dois pontos da circunferência. Um diâmetro é toda a corda que contém o centro da circunferência, ou
seja, é todo o segmento de reta que contém o centro da circunferência e cujos extremos são dois pontos da própria circunferência.
59.
Por raio de uma circunferência pode entender-se todo o segmento de reta que tem um extremo no centro da circunferência e o outro extremo num ponto
qualquer da circunferência. Por outro lado, por raio da circunferência pode entender-se, também, a distância de qualquer ponto da circunferência ao centro da
circunferência, ou seja, o comprimento de todo e qualquer segmento de reta a que se aplique a definição de raio da circunferência.
60.
Um polígono é toda a figura plana limitada por uma linha quebrada fechada (uma linha poligonal).
61.
Um polígono regular é todo o polígono com todos os lados iguais e com todos os ângulos iguais sendo, também, inscritível numa circunferência.
5

SOLUÇÕES
62.
Um retângulo é um polígono irregular, pois, apesar de ter todos os seus ângulos iguais (são quatro ângulos retos) e de ser inscritível numa circunferência, não
tem todos os seus lados iguais (os seus lados são iguais dois a dois).
63.
Um polígono estar inscrito numa circunferência significa que todos os vértices do polígono são pontos dessa circunferência (o polígono tem todos os seus vértices
sobre a circunferência). Nessa situação, a circunferência, por sua vez, está circunscrita ao polígono.
64.
Lado de um polígono é todo o segmento que tem, por extremos, dois vértices consecutivos do polígono. Diagonal de um polígono, por sua vez, é todo o segmen‑
to de reta que tem, por extremos, dois vértices não consecutivos do polígono.
65.
Geratriz é toda a linha cujo movimento (ao longo da diretriz) gera uma superfície. Diretriz é a linha (a regra, a lei) que define (rege) o movimento da geratriz.
66.
Superfície regrada é toda a superfície cuja geratriz é uma linha reta. Superfície curva é toda a superfície cuja geratriz é uma linha curva.
67.
Superfície planificável é toda a superfície regrada em que quaisquer duas geratrizes são complanares (ou são paralelas ou são concorrentes). Superfície em-
penada é toda a superfície regrada em que tal não se verifica, ou seja, é toda a superfície regrada em que existem pelo menos duas geratrizes que não são
complanares (não são paralelas nem concorrentes).
68.
Em ambas as superfícies (cónica e piramidal), as geratrizes são retas concorrentes num ponto (o vértice da superfície) exterior ao plano da diretriz. A diferença
entre ambas reside no facto de, numa superfície cónica, a diretriz ser uma linha curva e, numa superfície piramidal, a diretriz ser uma linha quebrada.
69.
Em ambas as superfícies (piramidal e prismática), a diretriz é uma linha quebrada e as geratrizes são retas (trata-se de superfícies regradas). A diferença en‑
tre ambas reside no facto de, numa superfície piramidal, as geratrizes serem retas concorrentes num ponto situado a distância finita (o vértice da superfície) e,
numa superfície prismática, as geratrizes serem retas paralelas entre si (o vértice da superfície está no infinito).
70.
Por folha de uma superfície entende-se uma porção da superfície que tem extremidade no vértice da superfície. As superfícies cónicas e piramidais, por exem‑
plo, admitem a existência de duas folhas, simétricas entre si em relação ao vértice da superfície. Já as superfícies cilíndricas e prismáticas (em que o vértice da
superfície se situa no infinito) admitem a existência de uma única folha.
71.
Uma superfície de revolução é gerada pelo movimento rotativo de uma linha (a geratriz) em torno de um eixo, de tal forma que qualquer ponto da geratriz, no
seu movimento, descreve uma circunferência contida num plano ortogonal ao eixo e cujo centro é o ponto de interseção desse plano com o eixo da superfície.
72.
Uma superfície cónica oblíqua não será, nunca, uma superfície de revolução, pois a diretriz, mesmo que seja uma circunferência (pode não o ser), está contida
num plano oblíquo ao eixo da superfície que, dessa forma, não pode ser um eixo de rotação. Assim, caso se considerasse a rotação de uma geratriz em torno
do eixo da superfície numa superfície cónica oblíqua, o movimento seria elíptico ou ovular e não circular, pois os pontos da geratriz descreveriam, em torno do
eixo, elipses ou óvulos e não circunferências.
73.
Uma superfície é uma figura geométrica infinita (sem limites) e sem espessura, resultante do movimento de uma geratriz (uma linha) em torno de um eixo ou ao
longo de uma diretriz. Já um sólido é o espaço limitado por superfícies (qualquer tipo de superfícies, nas quais se podem incluir planos), resultando num corpo,
com massa, volume e peso. A título de exemplo referem-se a superfície esférica e a esfera, em que a primeira é uma superfície e a segunda é o sólido limitado
pela superfície esférica (a superfície que limita a esfera).
6

74.
Uma pirâmide é o espaço limitado lateralmente por um troço de uma superfície piramidal fechada e por um plano que não contém o vértice da superfície e que
corta todas as geratrizes da superfície (o plano que contém a base da pirâmide).
75.
Um cilindro é o espaço limitado lateralmente por um troço de uma superfície cilíndrica e por dois planos paralelos entre si e que cortam todas as geratrizes da
superfície (os planos que contêm as bases do sólido).
76.
Por contorno aparente de um sólido entende-se a linha fechada (curva, quebrada ou mista) que existe na superfície do sólido e que, segundo um determinado
ponto de vista, separa rigorosamente a parte visível da superfície do sólido da parte da sua superfície que é invisível (para esse mesmo ponto de vista).
77.
Essa aresta não integra o contorno aparente do sólido (nem nunca poderia integrá-lo), pois a aresta referida separa duas faces visíveis do sólido. De facto, uma
vez que o contorno aparente separa, sempre, as partes visíveis da superfície um sólido das partes dessa superfície que são invisíveis, só as arestas do dado que
separam uma face visível de uma face invisível é que podem integrar o contorno aparente do dado.
78.
Um poliedro é um sólido geométrico limitado apenas por polígonos, ou seja, é um sólido limitado apenas por superfícies planas (as faces do poliedro) que se
intersetam entre si segundo linhas retas (as arestas do poliedro).
79.
Uma aresta é todo o segmento de reta que é o lado comum aos polígonos de duas faces contíguas desse poliedro, ou seja, é o segmento de reta segundo o qual
se intersetam duas faces contíguas do poliedro.
80.
Um poliedro regular é todo o poliedro cujas faces são polígonos regulares, todos iguais, e que é inscritível numa superfície esférica. Atendendo a que as faces de
qualquer poliedro regular são polígonos regulares todos iguais, todas as arestas de qualquer poliedro regular são necessariamente iguais.
81.
Um paralelepípedo não é um poliedro regular. Justificação: as faces de um paralelepípedo não são polígonos regulares (são retângulos), pelo que, apesar de
ser possível inscrever um paralelepípedo numa superfície esférica, um paralelepípedo não é um poliedro regular.
82.
Existem cinco poliedros regulares – o tetraedro, o hexaedro (o cubo), o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.
83.
Uma pirâmide quadrangular é necessariamente um poliedro irregular, pois as suas faces não são todas polígonos regulares iguais – a base é um quadrado e
as faces laterais são triângulos (que podem ou não ser equiláteros). Assim, a base e as faces laterais, mesmo que sejam polígonos regulares, não são iguais,
pelo que uma pirâmide quadrangular (regular ou não) nunca poderá ser um poliedro regular.
84.
A afirmação é falsa. A altura de um sólido é a distância entre os planos das bases (no caso dos prismas) ou a distância do vértice ao plano da base (no caso das
pirâmides), que é, necessariamente, medida ortogonalmente ao(s) plano(s) da(s) base(s). Assim, a altura de um sólido só é o comprimento do seu eixo nas situa
ções particulares em que se trate de prismas retos ou de pirâmides retas, cujos eixos são ortogonais ao(s) plano(s) da(s) base(s).
85.
Aresta lateral é todo o segmento de reta segundo o qual se intersetam duas faces laterais contíguas do sólido (é um lado comum aos polígonos de duas faces
laterais contíguas do sólido). Aresta da base é todo o segmento de reta segundo o qual se intersetam uma face lateral e uma base do sólido (é um lado comum
ao polígono de uma face lateral e ao polígono da base ou de uma das bases do sólido).
7

SOLUÇÕES
86.
Por pirâmide regular entende-se toda a pirâmide reta cuja base é um polígono regular. Assim, por se tratar de uma pirâmide reta, o eixo da pirâmide é orto-
gonal ao plano da base. Por outro lado, uma vez que a base é um polígono regular, as arestas da base são geometricamente iguais entre si e todos os vértices
da base estão equidistantes do vértice da pirâmide, o que resulta no facto de as faces laterais da pirâmide serem triângulos isósceles, geometrica
mente iguais
entre si.
87.
Por altura de uma pirâmide entende-se a distância do vértice da pirâmide ao plano da base, medida ortogonalmente ao plano da base da pirâmide.
88.
Pirâmide reta é toda a pirâmide cujo eixo é ortogonal ao plano da base e pode ser regular ou não. Uma pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é um
polígono regular, pelo que as suas faces laterais são triângulos isósceles, geometricamente iguais entre si. Numa pirâmide reta, a base pode não ser um po‑
lígono regular, pelo que as faces laterais, embora sendo triângulos, podem ou não ser isósceles e não são geometricamente iguais. Exemplos: uma pirâmide
quadrangular regular é uma pirâmide regular, pois é uma pirâmide reta cuja base é um polígono regular (é um quadrado); uma pirâmide retangular reta é uma
pirâmide reta mas não regular, pois a sua base (que é um retângulo) não é um polígono regular.
89.
Um prisma reto é todo o prisma cujo eixo é ortogonal aos planos das bases (e cujas arestas laterais, por serem paralelas ao eixo, são também ortogonais aos
planos das bases), o que resulta no facto de as suas faces laterais serem retângulos. Um prisma oblíquo é um prisma cujo eixo é oblíquo aos planos das bases
(e cujas arestas laterais, por serem paralelas ao eixo, são também oblíquas aos planos das bases), o que resulta no facto de as suas faces laterais serem parale‑
logramos (que podem ou não ser retângulos).
90.
Por prisma regular entende-se todo o prisma reto cujas bases são polígonos regulares. Assim, por se tratar de um prisma reto, o eixo do prisma é ortogonal
ao plano da base (tal como as suas arestas laterais), pelo que as suas faces laterais são retângulos. Por outro lado, uma vez que as bases são polígonos regula‑
res, as arestas das bases são geometricamente iguais, o que resulta no facto de as faces laterais do prisma serem retângulos geometricamente iguais entre si.
91.
Por altura de um prisma entende-se a distância entre os planos das duas bases do prisma, medida ortogonalmente aos planos das bases.
92.
Prisma reto é todo o prisma cujo eixo é ortogonal aos planos das bases, e pode ser regular ou não. Um prisma regular é um prisma reto cujas bases são
polígonos regulares, pelo que as suas faces laterais são retângulos todos iguais entre si. Num prisma reto, as bases podem não ser polígonos regulares, pelo
que as faces laterais, embora sendo retângulos, não são todas iguais. Exemplos: um prisma quadrangular regular é um prisma regular, pois é um prisma reto
cujas bases são polígonos regulares (são quadrados); um paralelepípedo é um prisma reto mas não regular, pois as suas bases (que são retângulos) não são
polígonos regulares.
93.
Um cone é o espaço (um corpo com massa, volume e peso) limitado por uma folha de uma superfície cónica e por um plano que corta todas as geratrizes e não
contém o vértice (o plano da base do cone). Uma superfície cónica é uma figura geométrica sem massa, espessura ou peso, gerada pelo movimento de uma
reta (a geratriz) com um ponto fixo (o vértice da superfície) ao longo de uma linha curva (a diretriz), apresentando duas folhas simétricas em relação ao vértice
da superfície.
94.
Um cone reto é um cone cujo eixo é ortogonal ao plano da base. No caso de se tratar de um cone de base circular, a superfície cónica que o limita lateralmente é
necessariamente uma superfície de revolução. Um cone oblíquo é um cone cujo eixo é oblíquo ao plano da base. Mesmo nas situações em que a base do cone
seja circular, a superfície cónica que limita o cone oblíquo não será nunca uma superfície de revolução.
95.
A afirmação é verdadeira, se considerarmos apenas os cones retos de base circular. Um cone de revolução é um cone que é limitado, lateralmente, por uma
folha de uma superfície cónica de revolução, sendo que a sua base é necessariamente circular. Acontece que num cone reto de base circular, a base é um círculo
e o eixo é ortogonal ao plano da base. Considerando a circunferência que delimita a base do cone como a diretriz da superfície que limita o sólido, e atendendo a
que o eixo do cone (e da superfície) é ortogonal ao plano que contém a base (que é limitada pela diretriz da superfície), a superfície gerada é uma necessariamente
uma superfície cónica de revolução, pelo que um cone reto é necessariamente um cone de revolução.
8

96.
Por altura de um cone entende-se a distância do vértice do cone ao plano da base, medida ortogonalmente ao plano da base do cone.
97.
Um cilindro reto é um cilindro cujo eixo é ortogonal aos planos das bases, bem como as suas geratrizes (que são paralelas ao eixo do sólido). No caso de se tratar
de um cilindro de bases circulares, a superfície cilíndrica que limita lateralmente o sólido é necessariamente uma superfície de revolução. Um cilindro oblíquo é
um cilindro cujo eixo é oblíquo aos planos das bases.
Mesmo nas situações em que as bases do cilindro sejam circulares, a superfície cilíndrica que limita o cilindro oblíquo não será nunca uma superfície de revolução.
98.
Por cilindro de revolução entende-se um cilindro limitado lateralmente por um troço de uma superfície cilíndrica de revolução e por dois planos, ortogonais ao
eixo do sólido (eixo de rotação), que são os planos que contêm as duas bases do sólido (que são necessariamente circulares). Os planos das bases são necessa‑
riamente ortogonais às geratrizes do sólido (que são paralelas ao eixo da superfície).
99.
Por altura de um cilindro entende-se a distância entre os planos das duas bases do cilindro, medida ortogonalmente aos planos das bases.
100.
Uma esfera é o espaço (um corpo, com massa, volume e peso) limitado por uma superfície esférica.
101.
A figura originada pelo corte de uma esfera por qualquer plano é sempre um círculo.
102.
A figura originada pelo corte de uma superfície esférica por qualquer plano é sempre uma circunferência. Comparação com a situação anterior: quando um
plano corta uma esfera, a figura resultante desse corte é um círculo, enquanto que quando o plano corta uma superfície esférica, a figura resultante é uma cir-
cunferência.
103.
Por círculo máximo de uma esfera entende-se todo o círculo com centro no centro da esfera e com o mesmo raio da esfera, cuja rotação, em torno de qualquer
dos seus diâmetros, origina a própria esfera. Na prática, o círculo máximo de uma esfera é sempre o corte produzido na esfera por qualquer plano que conte‑
nha o centro da esfera.
104.
Por secção plana de um poliedro entende-se o polígono cujos lados são os segmentos de reta resultantes da interseção entre o plano secante e as faces desse
poliedro.
105.
Por plano secante entende-se todo o plano que corta um determinado sólido, originando uma secção.
106.
Considerando o polígono resultante da secção produzida numa pirâmide por um determinado plano, tem-se: o lado do polígono da secção é o segmento de reta
segundo o qual o plano secante corta uma face lateral da pirâmide ou a base da pirâmide, enquanto que vértice do polígono da secção é o ponto em que o plano
secante corta uma aresta da pirâmide (uma aresta lateral ou uma aresta da base).
107.
Por sólido truncado (ou sólido resultante da secção) entende-se uma determinada parte do sólido compreendida entre o plano secante e uma base ou o vér‑
tice do sólido. Por figura da secção entende-se, apenas, o polígono resultante da secção produzida no sólido pelo plano secante.
108.
A afirmação é verdadeira. De facto, na situação em que o plano secante contém o vértice do sólido e corta a circunferência que delimita a base do cone em dois
pontos, a figura da secção é necessariamente um triângulo. O vértice do cone e os dois pontos em que o plano corta a circunferência eu delimita a base são os
três vértices do cone.
9

SOLUÇÕES
109.
Por equipamento afeto ao desenho técnico entende-se todo o material necessário à representação de formas, objetos e espaços através dos códigos de repre‑
sentação do desenho rigorosos e do desenho técnico.
110.
Alguns exemplos de suportes: papel vegetal (transparente), papel de máquina, papel cavalinho, etc.
111.
Alguns exemplos de riscadores: lápis, lapiseiras, esferográficas, tira-linhas, canetas a tinta-da-china, etc.
112.
Alguns exemplos de materiais de precisão: compasso, réguas, esquadros, escantilhões, etc.
113.
Por normalização entende-se a sistematização de um conjunto de normas, regionais ou universais, que pretendem sistematizar e uniformizar formas de apre‑
sentação, de produção, de trabalho, etc., nos mais diversos campos, desde o desenho técnico à mecânica, à agricultura (na Comunidade Europeia), à indústria
automóvel, têxtil, etc.
114.
A importância da criação de sistemas de normalização reside, precisamente, no facto de se estabelecerem regras para as mais diversas áreas profissionais (em
termos regionais ou universais), de modo a que, numa determinada área profissional, todos os profissionais possuam uma linguagem comum.
115.
A Organização Internacional de Normalização é o organismo internacional que tem, por função, fiscalizar e uniformizar as normas existentes nos diversos pa‑
íses e, dessa forma, estabelecer normas universais e comuns a todos os países, ou seja, reconhecidas internacionalmente.
116.
A normas ISO são, precisamente, as normas estabelecidas pela Organização Internacional de Normalização, sendo que aquela sigla provém das iniciais do
nome do organismo em inglês – International Standardization Organization.
117.
As retas identificam-se com letras minúsculas do alfabeto latino (r, s, m, etc.), enquanto que os pontos se identificam com letras maiúsculas do mesmo al‑
fabeto (A, B, C, etc.).
118.
Os planos identificam-se com letras minúsculas do alfabeto grego (a, b, d, etc.)
119.
A palavra traçado, em Geometria Descritiva, refere-se genericamente às diferentes formas de utilização da linha, como elemento fundamental de representação
em Geometria Descritiva – essas formas de utilização podem ter a ver com convenções ao nível do uso da linha (traço interrompido, tracejado, etc.) ou com a
expressividade (intensidade) da linha (leve, médio, forte).
120.
[AB] refere-se ao segmento de reta que tem extremos nos pontos A e B, enquanto que AB se refere à distância entre os pontos A e B. Assim, AB refere-se pre‑
cisamente ao comprimento do segmento de reta [AB].
10

2 .
INTRODUÇÃO
121.
A finalidade da Geometria Descritiva é a representação bidimensional (na superfície do plano) dos objetos e das formas que existem no espaço (e que, por isso
mesmo, têm uma existência tridimensional).
122.
O que tem duas dimensões é o plano, porque o plano não tem volume – um plano tem área.
123.
O que tem três dimensões é o espaço, porque o espaço tem volume.
124.
Objecto bidimensional: um quadrado. Objecto tridimensional: um cubo.
125.
A fotografia tem apenas duas dimensões. Justificação: a imagem da fotografia está impressa na superfície da folha, que é uma superfície plana, portanto bidi‑
mensional (o plano tem apenas duas dimensões). Ao contrário das pessoas fotografadas (que são seres tridimensionais – têm corpos tridimensionais), a foto‑
grafia não tem volume e para ter três dimensões teria de ter volume.
126.
Em primeiro lugar foi no Renascimento, com Brunelleschi, que se formularam as primeiras leis da perspetiva (representação bidimensional rigorosa de objetos
tridimensionais). Ainda no século XV, Leon Battista Alberti teorizou as descobertas de Brunelleschi que, mais tarde, Leonardo da Vinci desenvolveu. Por fim,
foi já no final do século XVIII que Gaspard Monge formulou as regras da Geometria Descritiva, enquanto ciência, generalizando os métodos introduzidos por
Brunelleschi, Alberti e Leonardo.
127.
A Geometria Descritiva nasceu em França, numa época de grandes mutações tanto sociais como científicas, cujo principal foco foi, precisamente, a França do sé‑
culo XVIII. Assim, tanto as revoluções de ordem social e política (a Revolução Francesa, com a queda do Antigo Regime), como as revoluções de ordem científica
e tecnológica (a Revolução Industrial e todas as descobertas científicas da época), criaram um ambiente favorável ao desenvolvimento de um espírito científico,
no qual se insere a invenção da Geometria Descritiva.
128.
Por referencial entende-se um conjunto de elementos, relacionados entre si, que organizam/estruturam uma determinada realidade e nos permite referenciar
objetos existentes nessa entidade em relação a esses elementos.
129.
Um referencial no plano tem duas dimensões, porque o plano é uma entidade bidimensional (tem apenas duas dimensões).
130.
Um referencial no espaço tem três dimensões, porque o espaço é uma entidade tridimensional (tem três dimensões).
131.
Exemplo de um referencial: o referencial terrestre. Elementos constituintes do referencial terrestre: os paralelos e os meridianos. Entidade que o referencial
organiza/estrutura: o globo terrestre.
132.
O eixo X é a reta de interseção do plano frontal (plano 2 ou jo) com o plano horizontal (plano 1 ou no). O eixo Y é a reta de interseção do plano horizontal (plano 1
ou no) com o plano de perfil (plano 3 ou po). O eixo Z é a reta de interseção do plano frontal (plano 2 ou jo) com o plano de perfil (plano 3 ou po).
11

SOLUÇÕES
133.
A sigla SPHA refere-se ao Semi-Plano Horizontal Anterior. A sigla SPHP refere-se ao Semi-Plano Horizontal Posterior.
134.
A sigla SPFS refere-se ao Semi-Plano Frontal Superior. A sigla SPFI refere-se ao Semi-Plano Frontal Inferior.
135.
O referencial, em Geometria Descritiva, divide o espaço em quatro partes (quatro porções espaciais), que se chamam Diedros.
136.
O 1o Diedro é o espaço compreendido entre o SPHA e o SPFS.
137.
O 2o Diedro é o espaço compreendido entre o SPHP e o SPFS.
138.
As coordenadas de um ponto, em Geometria Descritiva, são as distâncias desse ponto aos planos do referencial, são três e escrevem-se invariavelmente por
ordem alfabética – a abcissa, o afastamento e a cota.
139.
As coordenadas são abcissa, afastamento e cota, por esta ordem. Abcissa – é a distância do ponto ao Plano de Perfil (plano 3 ou po). Afastamento – é a distância
do ponto ao Plano Frontal (plano 2 ou jo). Cota – é a distância do ponto ao Plano Horizontal (plano 1 ou no).
140.
Sobre o ponto A (2; 5; 1), sabe-se que o ponto A tem 2 cm de abcissa, 5 cm de afastamento e 1 cm de cota.
141.
Se o ponto A tem cota positiva, sabe-se que o ponto se situa para cima do Plano Horizontal – o ponto A pode situar-se no 10 Diedro, no 20 Diedro ou no SPFS.
142.
Se o ponto B tem cota negativa, sabe-se que o ponto se situa para baixo do Plano Horizontal – o ponto B pode situar-se no 30 Diedro, no 40 Diedro ou no SPFI.
143.
Se o ponto C tem afastamento nulo, sabe-se que o ponto C se situa no próprio Plano Frontal (a distância do ponto C ao Plano Frontal é nula). Se o ponto D tem
cota nula, sabe-se que o ponto D se situa no próprio Plano Horizontal (a distância do ponto D ao Plano Horizontal é nula).
144.
Um ponto com afastamento positivo situa-se para a frente do Plano Frontal, pelo que pode situar-se no 10 Diedro, no 40 Diedro ou no SPHA. Um ponto com afas‑
tamento negativo situa-se para trás do Plano Frontal, pelo que pode situar-se no 20 Diedro, no 30 Diedro ou no SPHP.
145.
Um ponto com cota positiva situa-se para cima do Plano horizontal – pode situar-se no 10 Diedro, no 20 Diedro ou no SPFS. Um ponto com afastamento positivo
situa-se para a frente do Plano Frontal – pode situar-se no 10 Diedro, no 40 Diedro ou no SPHA. Nesse sentido, um ponto com cota e afastamento positivos situa-
-se necessariamente no 10 Diedro.
146.
Um ponto com abcissa positiva situa-se para a esquerda do Plano de Perfil, podendo situar-se em qualquer um dos quatro Diedros ou em qualquer um dos se‑
miplanos – no SPHA, no SPFS, no SPHP ou no SPFI.
147.
As coordenadas que determinam os diferentes Diedros em que um ponto se pode situar são o afastamento e a cota, pois são estas as coordenadas que são
referenciadas aos planos que dividem o espaço em Diedros – o Plano Frontal e o Plano Horizontal. De facto, e como se pôde observar na resposta à questão
anterior, um ponto com uma determinada abcissa pode situar-se em qualquer um dos quatro Diedros ou, ainda, no Plano Frontal ou no Plano Horizontal, inde‑
pendentemente da abcissa do ponto ser positiva ou negativa – a mudança de sinal da abcissa não implica uma mudança de Diedro na localização do ponto, pois,
num mesmo Diedro, o ponto pode ter abcissa positiva, negativa ou nula. O mesmo já não acontece com o afastamento e com a cota, pois a mudança de sinal de
qualquer uma destas duas coordenadas implica, necessariamente, uma mudança no Diedro em que o ponto se situa.
12

148.
Pontos situados no Plano Frontal têm afastamento nulo.
149.
Pontos situados no Plano Horizontal têm cota nula.
150.
O lugar geométrico dos pontos do espaço que têm afastamento positivo e cota nula é o SPHA (é a figura geométrica constituída por todos os pontos que verificam
as condições dadas – ter afastamento positivo e cota nula).
151.
O lugar geométrico dos pontos do espaço que têm afastamento nulo e cota negativa é o SPFI (é a figura geométrica constituída por todos os pontos que verificam
as condições dadas – ter afastamento nulo e cota negativa).
152.
O lugar geométrico dos pontos do espaço que têm afastamento negativo e cota positiva é o 2o Diedro (é a figura geométrica constituída por todos os pontos que
verificam as condições dadas – ter afastamento negativo e cota positiva).
153.
O SPHP é o lugar geométrico dos pontos do espaço que têm afastamento negativo e cota nula.
154.
O eixo X é o lugar geométrico dos pontos do espaço que têm afastamento e cota nulos.
155.
O ponto A tem afastamento positivo, pelo que se situa para a frente do Plano Frontal – o ponto pode situar-se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. Como o
ponto A tem cota positiva, o ponto está para cima do Plano Horizontal, pelo que o ponto A se situa no 1o Diedro.
156.
O ponto B tem afastamento positivo, pelo que se situa para a frente do Plano Frontal – o ponto pode situar-se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. Como o
ponto B tem cota nula, o ponto situa-se no próprio Plano Horizontal, pelo que o ponto B se situa no SPHA.
157.
O ponto C tem afastamento positivo, pelo que se situa para a frente do Plano Frontal – o ponto pode situar-se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. Como o
ponto C tem cota negativa, o ponto está para baixo do Plano Horizontal, pelo que o ponto C se situa no 4o Diedro.
158.
O ponto D tem afastamento negativo, pelo que se situa para trás do Plano Frontal – o ponto pode situar-se no 2o Diedro, no SPHP ou no 3o Diedro. Como o ponto D
tem cota positiva, o ponto está para cima do Plano Horizontal, pelo que o ponto D se situa no 2o Diedro.
159.
O ponto E tem afastamento negativo, pelo que se situa para trás do Plano Frontal – o ponto pode situar-se no 2o Diedro, no SPHP ou no 3o Diedro. Como o ponto E
tem cota nula, o ponto situa-se no próprio Plano Horizontal, pelo que o ponto E se situa no SPHP.
160.
O ponto F tem afastamento negativo, pelo que se situa para trás do Plano Frontal – o ponto pode situar-se no 2o Diedro, no SPHP ou no 3o Diedro. Como o ponto D
tem cota negativa, o ponto está para baixo do Plano Horizontal, pelo que o ponto F se situa no 3o Diedro.
161.
O ponto G tem afastamento nulo, pelo que se situa no próprio Plano Frontal – o ponto pode situar-se no SPFS, no SPFI ou no eixo X. Como o ponto G tem cota
positiva, o ponto situa-se para cima do Plano Horizontal, pelo que o ponto G se situa no SPFS.
162.
O ponto H tem afastamento nulo, pelo que se situa no próprio Plano Frontal – o ponto pode situar-se no SPFS, no SPFI ou no eixo X. Como o ponto H tem cota
negativa, o ponto situa-se para baixo do Plano Horizontal, pelo que o ponto H se situa no SPFI.
13

SOLUÇÕES
163.
O ponto I tem afastamento nulo, pelo que se situa no próprio Plano Frontal – o ponto pode situar-se no SPFS, no SPFI ou no eixo X. Como o ponto I tem cota
nula, o ponto situa-se no próprio Plano Horizontal, pelo que o ponto I se situa no eixo X.
164.
A ∈ 10 Diedro; B ∈ 40 Diedro; C ∈ SPHA; D ∈ 20 Diedro; E ∈ SPHP; F ∈ eixo X;
G ∈ 30 Diedro; H ∈ SPFS; I ∈ SPFI; J ∈ SPHP.
165.
A ∈ 10 Diedro; B ∈ 20 Diedro; C ∈ SPHP; D ∈ 40 Diedro; E ∈ SPFS; F ∈ 30 Diedro;
G ∈ SPFI; H ∈ SPHA.
166.
O plano b1/3 é o plano bissetor dos Diedros Ímpares (10 e 30 Diedros) – é o lugar geométrico dos pontos do espaço que estão equidistantes do SPHA e do SPFS (no
1o Diedro) ou que estão equidistantes do SPHP e do SPFI (no 3o Diedro). O plano b2/4 é o plano bissetor dos Diedros Pares (20 e 40 Diedros) – é o lugar geométrico
dos pontos do espaço que estão equidistantes do SPHP e do SPFS (no 2o Diedro) ou que estão equidistantes do SPHA e do SPFI (no 4o Diedro).
167.
O que divide os Diedros em Octantes são os planos bissetores (o b1/3 e o b2/4).
168.
O que divide o espaço em Octantes são os planos do referencial (Plano Frontal e Plano Horizontal) e os planos bissetores (o b1/3 e o b2/4).
169.
O 10 e o 20 Octantes situam-se no 10 Diedro – o 1o Octante é o espaço compreendido entre o SPHA e o b1/3 e o 2o Octante é o espaço compreendido entre o b1/3 e
o SPFS. O 50 e o 60 Octantes situam-se no 30 Diedro – o 5o Octante é o espaço compreendido entre o SPHP e o b1/3 e o 6o Octante é o espaço compreendido entre
o b1/3 e o SPFI.
170.
O 30 e o 40 Octantes situam-se no 20 Diedro – o 3o Octante é o espaço compreendido entre o SPFS e o b2/4 e o 4o Octante é o espaço compreendido entre o b2/4 e
o SPHP. O 70 e o 80 Octantes situam-se no 40 Diedro – o 7o Octante é o espaço compreendido entre o SPFI e o b2/4 e o 8o Octante é o espaço compreendido entre
o b2/4 e o SPHA.
171.
O 2o Octante é o espaço compreendido entre o b1/3 e o SPFS.
172.
O 5o Octante é o espaço compreendido entre o SPHP e o b1/3.
173.
Pontos situados no b1/3 têm coordenadas iguais.
174.
Pontos situados no b2/4 têm coordenadas simétricas.
175.
A ∈ 10 D, 20 Oct.
O ponto A tem afastamento positivo, pelo que se situa para a frente do Plano Frontal – pode situar-se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. Como o ponto A tem
cota positiva, o ponto está para cima do Plano Horizontal, pelo que o ponto A se situa no 1o Diedro. No 1o Diedro, o ponto A pode situar-se no 1o Octante, no b1/3
ou no 2o Octante. Como o ponto A está mais próximo do SPFS (está a 2 cm do SPFS) do que do SPHP (está a 8 cm do SPHP), o ponto A situa-se no 2o Octante.
176.
B ∈ 20 D, 40 Oct.
O ponto B tem afastamento negativo, pelo que se situa para trás do Plano Frontal – pode situar-se no 2o Diedro, no SPHP ou no 3o Diedro. Como o ponto B tem
cota positiva, o ponto está para cima do Plano Horizontal, pelo que o ponto B se situa no 2o Diedro. No 2o Diedro, o ponto B pode situar-se no 3o Octante, no b2/4
ou no 4o Octante. Como o ponto B está mais próximo do SPHP (está a 1 cm do SPHP) do que do SPFS (está a 5 cm do SPFS), o ponto B situa-se no 4o Octante.
14

177.
C ∈ 30 D, 60 Oct.
O ponto C tem afastamento negativo, pelo que se situa para trás do Plano Frontal – pode situar-se no 2o Diedro, no SPHP ou no 3o Diedro. Como o ponto C tem
cota negativa, o ponto está para baixo do Plano Horizontal, pelo que o ponto C se situa no 3o Diedro. No 3o Diedro, o ponto C pode situar-se no 5o Octante, no b1/3
ou no 6o Octante. Como o ponto C está mais próximo do SPFI (está a 3 cm do SPFI) do que do SPHP (está a 8 cm do SPHP), o ponto C situa-se no 6o Octante.
178.
D ∈ 40 D, 80 Oct.
O ponto D tem afastamento positivo, pelo que se situa para a frente do Plano Frontal – pode situar-se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. Como o ponto D tem
cota negativa, o ponto está para baixo do Plano Horizontal, pelo que o ponto D se situa no 4o Diedro. No 4o Diedro, o ponto D pode situar-se no 7o Octante, no b2/4
ou no 8o Octante. Como o ponto D está mais próximo do SPHA (está a 2 cm do SPHA) do que do SPFI (está a 4 cm do SPFI), o ponto D situa-se no 8o Octante.
179.
E ∈ 40 D, b2/4.
O ponto E tem afastamento positivo, pelo que se situa para a frente do Plano Frontal – pode situar-se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. Como o ponto E tem
cota negativa, o ponto está para baixo do Plano Horizontal, pelo que o ponto E se situa no 4o Diedro. No 4o Diedro, o ponto D pode situar-se no 7o Octante, no b2/4
ou no 8o Octante. Como o ponto E está equidistante do SPHA e do SPFI, o ponto E situa-se no b2/4.
180.
F ∈ 10 D, b1/3.
O ponto F tem afastamento positivo, pelo que se situa para a frente do Plano Frontal – pode situar-se no 1o Diedro, no SPHA ou no 4o Diedro. Como o ponto F tem
cota positiva, o ponto está para cima do Plano Horizontal, pelo que o ponto F se situa no 1o Diedro. No 1o Diedro, o ponto A pode situar-se no 1o Octante, no b1/3
ou no 2o Octante. Como o ponto F está equidistante do SPHA e do SPFS, o ponto F situa-se no b1/3.
181.
A ∈ 20 D, 30 Oct.; B ∈ SPHP; C ∈ 10 D, b1/3; D ∈ SPFS; E ∈ 20 D, b2/4; F ∈10 D, 20 Oct.;
G ∈ 20 D, 40 Oct.; H ∈ 10 D, 10 Oct.; I ∈ 30 D, b1/3; J ∈ SPHA; L ∈ 30 D, 50 Oct.; M ∈ SPFI;
N ∈ 30 D, 60 Oct.; O ∈ 40 D, 80 Oct.; P ∈ 40 D, 70 Oct.; Q ∈ 40 D, b2/4.
182.
A ∈ 10 D, 20 Oct.; B ∈ 20 D, b2/4; C ∈ 20 D, 30 Oct.; D ∈ 10 D, b1/3; E ∈ 10 D, 10 Oct.; F ∈30 D, 50 Oct.;
G ∈ 30 D, b1/3; H ∈ 40 D, 80 Oct.; I ∈ 20 D, 40 Oct.; J ∈ 40 D, 70 Oct.; L ∈ 30 D, 60 Oct.; M ∈ 40 D, b2/4.
3 .
PROJEÇÕES
183.
A representação bidimensional das formas tridimensionais processa-se através da projeção dessa formas sobre uma superfície plana (bidimensional) – um
plano de projeção.
184.
Por plano de projeção entende-se a superfície plana sobre a qual se processam as projeções.
185.
Centro de Projeção é um ponto exterior ao plano de projeção e é o ponto de concorrência das retas projetantes.
186.
Por reta projetante entende-se toda a reta que passa pelo Centro de Projeção e que projeta um ponto no Plano de Projeção.
187.
A projeção de um ponto num plano é a representação desse ponto no plano (plano de projeção) com o recurso a um qualquer sistema de projeção. A proje-
ção de um ponto num plano é, assim, o ponto de interseção da reta projetante que passa pelo ponto (a reta projetante que contém o ponto) com o plano de
projeção.
15

SOLUÇÕES
188.
Para determinar a projeção de um ponto num plano conduz-se, pelo ponto, uma reta projetante – o ponto de interseção da reta projetante com o plano de pro‑
jeção é a projeção do ponto.
189.
A projeção de uma figura num plano (de projeção) é a figura formada, no plano de projeção, pelos pontos de interseção das retas projetantes (que passam pelos
diversos pontos da figura) com o plano de projeção.
190.
Por Sistema de Projeção entende-se um conjunto de elementos que nos permitem projetar um qualquer objeto numa superfície plana (um plano), elementos
esses que são: um Plano de Projeção, um Centro de Projeção e (um feixe de) retas projetantes.
191.
Os elementos constituintes de um Sistema de Projeção são um Plano de Projeção, um Centro de Projeção e um feixe de retas (ou linhas) projetantes. O Pla-
no de Projeção é o plano sobre qual se processam as projeções dos objetos (o plano no qual se projetam os objetos). O centro de projeção é um ponto exterior
ao plano de projeção e é o ponto de concorrência das retas projetantes. As retas (ou linhas) projetantes são todas as retas que passam pelo centro de projeção
e que projetam os diversos pontos do objeto no plano de projeção.
192.
No Sistema de Projeção Cónica ou Central, o centro de projeção situa-se a uma distância finita do plano de projeção (é um ponto próprio), pelo que as retas
projetantes são concorrentes entre si. No Sistema de Projeção Paralela ou Cilíndrica, o centro de projeção está a uma distância infinita do plano de projeção
(é um ponto impróprio), pelo que as retas projetantes são paralelas entre si (são concorrentes num ponto situado a distância infinita).
193.
O Sistema de Projeção Paralela ou Cilíndrica subdivide-se no Sistema de Projeção Ortogonal e no Sistema de Projeção Oblíqua (ou Clinogonal). No primeiro
(Projeção Ortogonal), as retas projetantes são ortogonais ao plano de projeção, enquanto que, no segundo (Projeção Clinogonal ou Oblíqua), as retas projetantes
são oblíquas ao plano de projeção.
194.
a)
Projeção Cónica ou Central (o centro de projeção situa-se a uma distância finita do plano de projeção). Centro de Projeção – a lâmpada do projetor; retas pro‑
jetantes – os raios luminosos emitidos pela lâmpada; plano de projeção – o ecrã; objeto projetado – os diapositivos.
b)
Projeção Cónica ou Central (o centro de projeção situa-se a uma distância finita do plano de projeção). Centro de Projeção – a lâmpada da lanterna; retas pro‑
jetantes – os raios luminosos emitidos pela lâmpada; plano de projeção – a parede; objeto projetado – o objeto iluminado pela lanterna.
c)
Projeção Paralela ou Cilíndrica (o centro de projeção situa-se a uma distância que se pode considerar infinita), Subsistema de Projeção Oblíqua (ou Clinogo-
nal). Centro de Projeção – o Sol; retas projetantes – os raios luminosos emitidos pelo Sol; plano de projeção – o chão da rua; objeto projetado – a pessoa. Trata-se
da Projeção Clinogonal (ou Oblíqua), pois as retas projetantes (os raios luminosos), ao entardecer, são oblíquas ao plano de projeção (o chão).
195.
a)
Projeção Cónica ou Central (o centro de projeção situa-se a uma distância finita do plano de projeção). Centro de Projeção – a lâmpada do candeeiro; retas
projetantes – os raios luminosos emitidos pela lâmpada; plano de projeção – o chão da rua; objeto projetado – a pessoa.
b)
Projeção Paralela ou Cilíndrica (o centro de projeção situa-se a uma distância que se pode considerar infinita), Subsistema de Projeção Oblíqua (ou Clinogo-
nal). Centro de Projeção – o Sol; retas projetantes – os raios luminosos emitidos pelo Sol; plano de projeção – o telhado da casa; objeto projetado – o pássaro.
Trata-se da Projeção Clinogonal (ou Oblíqua), pois as retas projetantes (os raios luminosos), ao meio dia, se bem que sejam sensivelmente ortogonais ao
plano do chão, são oblíquas ao plano de projeção (o telhado, que é inclinado).
196.
Projeção Paralela ou Cilíndrica (o centro de projeção situa-se a uma distância que se pode considerar infinita), Subsistema de Projeção Ortogonal. Centro de
Projeção – o Sol; retas projetantes – os raios luminosos emitidos pelo Sol; plano de projeção – o chão; objeto projetado – o paraquedista. Trata-se da Projeção
Ortogonal, pois as retas projetantes (os raios luminosos), ao meio dia, são sensivelmente ortogonais ao plano do chão.
197.
Por Sistema de Projeção entende-se um conjunto de elementos que nos permite projetar um qualquer objeto num plano. Por Método de Representação en‑
tende-se toda a forma de representar um qualquer objeto tridimensional numa superfície plana, com o recurso à sua projeção nessa superfície, verificando-se,
sempre, o Critério de Reversibilidade.
16

198.
O Critério de Reversibilidade é a característica, inerente a todo e qualquer Método de Representa
ção, segundo a qual se tem que, tal como, a partir de qualquer
objeto, é possível determinar a sua representação bidimensional (projeção), a partir da projeção (representação bidimensional) de um qualquer objeto deverá
igualmente ser possível a reconstrução mental desse objeto, da sua volumetria e a determinação da sua exata localização no espaço.
199.
A necessidade de verificação do Critério de Reversibilidade para a validação de um qualquer Método de Representação tem a ver com o objetivo dos Métodos
de Representação – a representação eficaz de um qualquer objeto, de forma a que, a partir dessa representação, seja possível saber de que objeto se trata e
identificar a sua correta localização no espaço. Sempre que, a partir da representação de um determinado objeto, não é possível identificar o objeto (por não se
verificar o Critério de Reversibilidade), a representação não é eficaz e, por isso mesmo, não se trata de um Método de Representação.
200.
O problema é o facto de, ao se efetuar a projeção sobre uma superfície bidimensional (que não tem volume) de uma forma tridimensional (que tem volume),
perder-se necessariamente alguma informação sobre esse mesmo objeto. De uma forma geral, essa perda de informação compromete a verificação do Critério
de Reversibilidade, o que significa que a representação do objeto não é eficaz, pois não nos permite identificar corretamente o objeto representado.
201.
O Método das Projeções Cotadas consiste na projeção ortogonal de um determinado objeto num plano (de projeção), com o recurso a um Sistema de Projeção
Ortogonal, resultando numa representação bidimensional (projeção) do mesmo, em que a terceira dimensão (a dimensão perdida na projeção) é fornecida atra‑
vés de um número (a cota) aposto junto à projeção de cada ponto.
202.
O Método da Dupla Projeção Ortogonal consiste na representação (projeção) de um determinado objeto em dois planos de projeção, ortogonais entre si, com
o recurso a dois Sistemas de Projeção Ortogonal distintos mas complementares, de forma que em cada uma das projeções se obtenha a informação perdida
na outra projeção.
203.
a)
A utilização conjunta de dois planos de projeção distintos prende-se com a necessidade da verificação do Critério de Reversibilidade, para a validade de qual‑
quer Método de Representação. De facto, este Método de Representação permite-nos obter duas representações (projeções) distintas, mas complementa‑
res, de um objeto, sendo que a perceção da terceira dimensão do objeto representado é obtida através da leitura simultânea das suas duas projeções, em que
é o conjunto das duas projeções que nos fornece, precisamente, todas as informações sobre a tridimensionalidade do objeto, a sua volumetria e a sua exata
localização no espaço.
b)
As vantagens do Método da Dupla Projeção Ortogonal (em relação ao Método das Projeções Cotadas) têm a ver com o facto de a informação fornecida pelas
duas projeções de um objeto, no seu conjunto, ao nível da tridimensionalidade do objeto, ser bastante mais precisa e de lei
tura mais clara do que a informação
fornecida pelo Método das Projeções Cotadas. Em particular em objetos de forma mais complexa, a informação fornecida pelo Método das Projeções Co-
tadas é bastante mais limitada e de leitura mais confusa.
204.
A afirmação é verdadeira, pois, de facto, no Método da Dupla Projeção Ortogonal recorre-se a dois Sistemas de Projeção Ortogonal distintos, cada um deles
com o respetivo plano de projeção e feixe de retas projetantes (dois planos de projeção e dois feixes de retas projetantes).
205.
O recuso à Múltipla Projeção Ortogonal justifica-se, sobretudo, nas situações em que, dada a complexidade morfológica do objeto, duas projeções do mesmo
(no Método da Dupla Projeção Ortogonal) podem ser insuficientes para nos elucidar sobre a exata volumetria do objeto. As vantagens têm a ver, precisamente,
com uma informação mais detalhada e precisa sobre a totalidade do objeto, como que observado a partir de vários pontos de vista distintos, com vista à verifica‑
ção do Critério de Reversibilidade.
206.
A Projeção Triédrica (ou Método da Tripla Projeção Ortogonal) consiste na representação (projeção) de um determinado objeto em três planos de projeção,
ortogonais entre si, com o recurso a três Sistemas de Projeção Ortogonal distintos mas complementares, de forma que em cada uma das projeções se obtenha
a informação perdida na outra projeção.
17

SOLUÇÕES
207.
A afirmação é verdadeira, pois, de facto, a representação de um objeto através de seis vistas (todas as vistas possíveis) fornece-nos uma informação bastante
detalhada sobre quase todos os aspetos da volumetria do objeto, permitindo-nos, por isso, um conhecimento quase total da forma do objeto, o que não se passa
com a Dupla Projeção Ortogonal ou com a Projeção Triédrica.
208.
Por perspetiva entende-se toda a representação bidimensional de um objeto tridimensional, na qual se vêem, de forma direta, as três dimensões do objeto re‑
presentado.
209.
Uma perspetiva distingue-se das restantes representações estudadas por nos fornecer, numa única representação do objeto, uma informação visual global so‑
bre as três dimensões do objeto. Uma perspetiva permite, dessa forma, uma perceção empírica e instantânea da tridimensionalidade do objeto, ao contrário das
restantes representações, que exigem treino de visualização e uma aprendizagem.
210.
O Sistema Axonométrico recorre à Projeção Oblíqua, sempre que um dos planos coordenados (um plano que contém dois eixos) é paralelo ao plano de proje‑
ção. O Sistema Axonométrico recorre à Projeção Ortogonal, sempre que nenhum dos planos coordenados seja paralelo ao plano de projeção. As representações
que a projeção Oblíqua nos fornece, no Sistema Axonométrico, são a perspetiva cavaleira e a perspetiva militar (ou planométrica). As representações que a
Projeção Ortogonal nos fornece, no Sistema Axonométrico, são a perspetiva isométrica, a perspetiva dimétrica e a perspetiva trimétrica (ou anisométrica).
211.
Uma perspetiva dimétrica integra-se nas Axonometrias Ortogonais.
212.
Uma perspetiva cavaleira integra-se nas Axonometrias Oblíquas.
213.
Numa perspetiva cónica, o plano de projeção é o Quadro, o Centro de Projeção é o olho do observador e as retas projetantes são os raios visuais.
214.
Uma perspetiva cónica é um método de representação que provém do Sistema de Projeção Cónica ou Central. Uma perspetiva axonométrica (seja ela qual
for) é um método de representação que provém do Sistema de Projeção Paralela ou Cilíndrica – do Subsistema de Projeção Ortogonal (caso da perspetiva
isométrica, da perspetiva dimétrica e da perspetiva trimétrica) e do Subsistema de Projeção Clinogonal (caso das perspetiva cavaleira e da perspetiva militar).
215.
Todas as representações denominadas de perspetiva têm a ver com um único plano de projeção, pois qualquer perspetiva recorre a um único Sistema de
Projeção (com um único plano de projeção). Essa é, afinal, a característica que diferencia as perspetivas das outras representações – é que uma única repre-
sentação do objeto (uma única projeção) permite a verificação do Critério de Reversibilidade, sendo, por isso, desnecessário o recurso a quaisquer outras in‑
formações obtidas a partir de qualquer outra projeção (representação) do objeto.
216.
O pintor deverá recorrer à Perspetiva Cónica (ou linear), ou seja, ao Sistema de Projeção Cónica ou Central, por ser aquele que nos permite obter representa‑
ções muito próximas da nossa perceção visual da realidade envolvente. De facto, a Perspetiva Cónica permite representar a realidade envolvente tal e qual como
a vemos, como se o quadro (o plano de projeção) fosse uma janela de vidro.
217.
O designer deverá recorrer à Múltipla Projeção Ortogonal (ou método das vistas), ou seja, ao Sistema de Projeção Ortogonal, por ser aquele método de re‑
presentação que nos permite representar as várias vistas do objeto (a planta e todos os alçados) de forma articulada e complementar, fornecendo-nos uma in‑
formação detalhada e rigorosa sobre o mesmo, à escala.
18

4.
REPRESENTAÇÃO DO PONTO E DA Reta
218.
O processo para se determinar a projeção frontal de um ponto consiste em conduzir, por esse ponto, uma reta projetante frontal, sendo que o ponto de
interseção da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto.
219.
Para se determinar a projeção horizontal de um ponto conduz
‑se, por esse ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante
horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção horizontal do ponto.
220.
Por reta projetante frontal entende
‑se toda a reta que é ortogonal ao Plano Frontal de Projeção e que projeta um ponto no Plano Frontal de Projeção.
221.
Uma reta projetante frontal é uma reta que é ortogonal ao Plano Frontal de Projeção e que projeta um ponto no Plano Frontal de Projeção. Já uma reta
projetante horizontal é uma reta ortogonal ao Plano Horizontal de Projeção e que projeta um ponto no Plano Horizontal de Projeção.
222.
Em Dupla Projeção Ortogonal, um ponto é representado por duas projeções – a sua projeção frontal (a projeção do ponto no Plano Frontal de Projeção) e a sua
projeção horizontal (a projeção do ponto no Plano Horizontal de Projeção).
223.
O afastamento do ponto A, em projeções, é a distância da projeção horizontal do ponto A (A1) até ao eixo X.
224.
A cota do ponto A, em projeções, está representada na distância da projeção frontal do ponto A (A2) até ao eixo X.
225.
Para reduzir a tridimensionalidade à bidimensionalidade da folha de papel, a Dupla Projeção Ortogonal recorre ao rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre
o Plano horizontal de Projeção. Assim, o Plano Frontal de Projeção roda em torno do eixo X, até coincidir com o Plano Horizontal de Projeção, fazendo com que o
referencial tridimensional se transforme numa superfície bidimensional.
226.
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, na superfície da folha de papel, o que se situa para cima do eixo X é o
SPHP (o Semiplano Horizontal Posterior) e o SPFS (o Semiplano Frontal Superior), que ficam coincidentes (o SPFS fica sobreposto ao SPHP).
227.
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, na superfície da folha de papel, o que se situa para baixo do eixo X é o
SPHA (o Semiplano Horizontal Anterior) e o SPFI (o Semiplano Frontal Inferior), que ficam coincidentes (o SPFI fica sobposto ao SPHA).
228.
A distância da projeção horizontal do ponto ao eixo X corresponde ao afastamento desse ponto (é o afastamento do ponto em projeções). A distância da
projeção frontal do ponto ao eixo X corresponde à cota desse ponto (é a cota do ponto em projeções).
229.
Por alfabeto do ponto entende
‑se o estudo da representação dos pontos (através das suas projeções), em função das suas localizações no espaço (estruturado
pelo referencial).
230.
Atendendo a que, neste exercício, o objetivo principal consiste na representação dos pontos em Dupla Projeção
Ortogonal e não apenas na sua localização no espaço, omitir
‑se
‑á, aqui, a apresentação dos raciocínios que justificam a
localização de cada ponto. Para melhor compreender a localização dos pontos que em seguida se apresenta, sugere
‑se
a leitura dos relatórios dos exercícios 175. a 180.
Localização dos pontos no espaço:
A ∈ 10 Diedro, 10 Octante. B ∈ 10 Diedro, b1/3; C ∈ 10 Diedro, 20 Octante.
Determinação das projeções dos pontos:
Ponto A:
Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano
Horizontal de Projeção é a projeção horizontal do ponto A (A1), que se situa no SPHA, a 5 cm (o afastamento é 5) do
eixo X. Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da reta projetante frontal com o Plano
Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto A (A2), que se situa no SPFS, a 2 cm (a cota é 2) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto A (A1)
situa
‑se 5 cm para baixo do eixo X e a projeção frontal do ponto A (A2) situa
‑se 2 cm para cima do eixo X.
A2
B2
C2
A1
B1
C1
X
19

SOLUÇÕES
Ponto B:
Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção
horizontal do ponto B (B1), que se situa no SPHA, a 3 cm (o afastamento é 3) do eixo X. Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto B (B2), que se situa no SPFS, a 3 cm (a cota é 3) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto B (B1) situa
‑se 3 cm para baixo do eixo X e a
projeção frontal do ponto B (B2) situa
Ponto C:
Conduz
horizontal do ponto C (C1), que se situa no SPHA, a 1 cm (o afastamento é 1) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto C (C2), que se situa no SPFS, a 4 cm (a cota é 4) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto C (C1) situa
projeção frontal do ponto C (C2) situa
231.
‑se
‑se
a leitura dos relatórios dos exercícios 175. a 180..
D ∈ 20 Diedro; 40 Octante; E ∈ 20 Diedro; b2/4; F ∈ 20 Diedro; 30 Octante.
Ponto D:
Conduz
horizontal do ponto D (D1), que se situa no SPHP, a 4 cm (o afastamento é –4) do eixo X. Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de
interseção da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto D (D2), que se situa no SPFS, a 1 cm (a cota é 1) do eixo X.
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto D (D1) situa
‑se 4 cm para cima do eixo X
e a projeção frontal do ponto D (D2) situa
‑se 1 cm igualmente para cima do eixo X.
Ponto E:
Conduz
horizontal do ponto E (E1), que se situa no SPHP, a 2 cm (o afastamento é –2) do eixo X. Conduz
interseção da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto E (E2), que se situa no SPFS, a 2 cm (a cota é 2) do eixo X.
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto E (E1) situa
‑se 2 cm para cima do eixo X e
a projeção frontal do ponto E (E2) situa
‑se 2 cm igualmente para cima do eixo X. Nesta situação, as duas projeções do ponto E (E1 e E2) ficam coincidentes pelo
que se tem E1 ≡ E2.
Ponto F:
Conduz
horizontal do ponto F (F1), que se situa no SPHP, a 1 cm (o afastamento é –1) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto F (F2), que se situa no SPFS, a 3 cm (a cota é 3) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto F (F1) situa
‑se 1 cm para cima do eixo X e a
projeção frontal do ponto F (F2) situa
232.
‑se
‑se
G ∈ 30 Diedro; 50 Octante; H ∈ 30 Diedro; b1/3; I ∈ 30 Diedro; 60 Octante.
Ponto G:
Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o
Plano Horizontal de Projeção é a projeção horizontal do ponto G (G1), que se situa no SPHP, a 3 cm (o afastamento é
–3) do eixo X. Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da reta projetante frontal com
o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto G (G2), que se situa no SPFI, a 1 cm (a cota é –1) do eixo X.
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto G
(G1) situa
‑se 3 cm para cima do eixo X e a projeção frontal do ponto G (G2) situa
‑se 1 cm para baixo do eixo X.
D2
D1
F2
E E
1 2
F1
X
I2
I1
H2
G1
H1
X
G2
20

Ponto H:
Conduz
horizontal do ponto H (H1), que se situa no SPHP, a 4 cm (o afastamento é –4) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto H (H2), que se situa no SPFI, a 4 cm (a cota é –4) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto H (H1) situa
projeção frontal do ponto H (H2) situa
Ponto I:
Conduz
horizontal do ponto I (I1), que se situa no SPHP, a 2 cm (o afastamento é –2) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto I (I2), que se situa no SPFI, a 5 cm (a cota é –5) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto I (I1) situa
projeção frontal do ponto I (I2) situa
233.
‑se
‑se
J ∈ 40 Diedro; 80 Octante; K ∈ 40 Diedro; b2/4; L ∈ 40 Diedro; 70 Octante.
Ponto J:
Conduz
horizontal do ponto J (J1), que se situa no SPHA, a 4 cm (o afastamento é 4) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto J (J2), que se situa no SPFI, a 2 cm (a cota é –2) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto J (J1) situa
projeção frontal do ponto J (J2) situa
‑se 2 cm igualmente para baixo do eixo X.
L ( 3; –5).
Ponto K:
Conduz
horizontal do ponto K (K1), que se situa no SPHA, a 1 cm (o afastamento é 1) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto K (K2), que se situa no SPFI, a 1 cm (a cota é –1) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto K (K1) situa
projeção frontal do ponto K (K2) situa
‑se 1 cm igualmente para baixo do eixo X. Nesta situação, as duas projeções do ponto K (K1 e K2) ficam coincidentes pelo
que se tem K1 ≡ K2.
Ponto L:
Conduz
horizontal do ponto L (L1), que se situa no SPHA, a 3 cm (o afastamento é 3) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto L (L2), que se situa no SPFI, a 5 cm (a cota é –5) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto L (L1) situa
projeção frontal do ponto L (L2) situa
234.
A ∈ 10 Diedro; 20 Octante; B ∈ 40 Diedro; 70 Octante; C ∈ 20 Diedro; 40 Octante; D ∈ 30 Diedro; 60 Octante.
Ponto A:
Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal
com o Plano Horizontal de Projeção é a projeção horizontal do ponto A (A1), que se situa no SPHA, a 2 cm (o
afastamento é 2) do eixo X. Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da reta
projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto A (A2), que se situa no SPFS,
a 5 cm (a cota é 5) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de
Projeção, a projeção horizontal do ponto A (A1) situa
‑se 2 cm para baixo do eixo X e a projeção frontal do ponto
A (A2) situa
L2
L1
J2
J1
K K
1 2
X
D2
D1
A2
B2
C2
A1
B1
C1
X
21

SOLUÇÕES
Ponto B:
Conduz
horizontal do ponto B (B1), que se situa no SPHA, a 3 cm (o afastamento é 3) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto B (N2), que se situa no SPFI, a 4 cm (a cota é –4) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto B (B1) situa
projeção frontal do ponto B (B2) situa
Ponto C:
Conduz
horizontal do ponto C (C1), que se situa no SPHP, a 3 cm (o afastamento é –3) do eixo X. Conduz
interseção da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto C (C2), que se situa no SPFS, a 2 cm (a cota é 2) do eixo X.
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto C (C1) situa
‑se 3 cm para cima do eixo X e
a projeção frontal do ponto C (C2) situa
Ponto D:
Conduz
horizontal do ponto D (D1), que se situa no SPHP, a 1 cm (o afastamento é –1) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto D (D2), que se situa no SPFI, a 3 cm (a cota é –3) do eixo X. Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto D (D1) situa
projeção frontal do ponto D (D2) situa
235.
A ∈ SPHA; B ∈ SPHP; C ∈ SPHA.
Ponto A:
Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante horizontal – o ponto de interseção da reta projetante horizontal com o
Plano Horizontal de Projeção é a projeção horizontal do ponto A (A1), que se situa no SPHA, a 3 cm (o afastamento é 3)
do eixo X. Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da reta projetante frontal com o
Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto A (A2), que se situa no eixo X (a reta projetante frontal que passa
pelo ponto A está contida no Plano Horizontal de Projeção e interseta o Plano Frontal de Projeção no eixo X). Após o
rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto A (A1)
situa
‑se 3 cm para baixo do eixo X e a projeção frontal do ponto A (A2) situa
‑se no eixo X.
Ponto B:
Conduz
horizontal do ponto B (B1), que se situa no SPHP, a 2 cm (o afastamento é –2) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto B (B2), que se situa no eixo X (a reta projetante frontal que passa pelo
ponto B está contida no Plano Horizontal de Projeção e interseta o Plano Frontal de Projeção no eixo X). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre
o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto B (B1) situa
‑se 2 cm para cima do eixo X e a projeção frontal do ponto B (B2) situa
‑se no eixo X.
Ponto C:
Conduz
horizontal do ponto C (C1), que se situa no SPHA, a 4 cm (o afastamento é 4) do eixo X. Conduz
da reta projetante frontal com o Plano Frontal de Projeção é a projeção frontal do ponto C (C2), que se situa no eixo X (a reta projetante frontal que passa pelo
ponto C está contida no Plano Horizontal de Projeção e interseta o Plano Frontal de Projeção no eixo X). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre
o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto C (C1) situa
‑se 4 cm para baixo do eixo X e a projeção frontal do ponto C (C2) situa
‑se no eixo X.
a) Ao nível das suas coordenadas, pontos do Plano Horizontal de Projeção têm cota nula.
b) Ao nível das suas projeções, pontos do Plano Horizontal de Projeção têm a sua projeção frontal no eixo X.
236.
D ∈ SPFS; E ∈ SPFI; F ∈ SPFS.
Ponto D:
Conduz
horizontal do ponto D (D1), que se situa no eixo X (a reta projetante horizontal que passa pelo ponto D está contida no Plano Frontal de Projeção e interseta o
Plano Horizontal de Projeção no eixo X). Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da reta projetante frontal com o Plano Frontal
de Projeção é a projeção frontal do ponto D (D2), que se situa SPFS, a 5 cm (a cota é 5) do eixo X. Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano
Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto D (D1) situa
‑se no eixo X e a projeção frontal do ponto D (D2) situa
X
A2 B2 C2
A1
B1
C1
22

Ponto E:
Conduz
Horizontal de Projeção é a projeção horizontal do ponto E (E1), que se situa no eixo X (a reta projetante horizontal que
passa pelo ponto E está contida no Plano Frontal de Projeção e interseta o Plano Horizontal de Projeção no eixo X).
Conduz
de Projeção é a projeção frontal do ponto E (E2), que se situa SPFI, a 4 cm (a cota é –4) do eixo X. Após o rebatimento do
Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto E (E1) situa
‑se no eixo X
e a projeção frontal do ponto E (E2) situa
Ponto F:
Conduz
Horizontal de Projeção é a projeção horizontal do ponto F (F1), que se situa no eixo X (a reta projetante horizontal que
passa pelo ponto F está contida no Plano Frontal de Projeção e interseta o Plano Horizontal de Projeção no eixo X).
Conduz
de Projeção é a projeção frontal do ponto F (F2), que se situa SPFS, a 7 cm (a cota é 7) do eixo X. Após o rebatimento do
Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto F (F1) situa
‑se no eixo X
e a projeção frontal do ponto F (F2) situa
a) Ao nível das suas coordenadas, pontos do Plano Frontal de Projeção têm afastamento nulo.
b) Ao nível das suas projeções, pontos do Plano Frontal de Projeção têm a sua projeção horizontal no eixo X.
237.
Localização do ponto P no espaço:
O ponto P situa
‑se no eixo X (o ponto P tem cota e afastamento nulos).
Determinação das projeções do ponto P:
Conduz
horizontal do ponto P (P1), que se situa no eixo X (a reta projetante horizontal que passa pelo ponto P está contida no Plano Frontal de Projeção e interseta o Plano
Horizontal de Projeção no eixo X). Conduz
‑se, pelo ponto, uma reta projetante frontal – o ponto de interseção da reta projetante frontal com o Plano Frontal de
Projeção é a projeção frontal do ponto P (P2), que se situa no eixo X (a reta projetante frontal que passa pelo ponto P está contida no Plano Horizontal de Projeção
e interseta o Plano Frontal de Projeção no eixo X). Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, as duas projeções do
ponto P (a sua projeção horizontal, D1, e a sua projeção frontal, D2) situam
‑se, ambas, no eixo X. Assim, nesta situação, as duas projeções do ponto P (P1 e P2)
ficam coincidentes num ponto do eixo X, pelo que se tem P1 ≡ P2.
Comparação com as situações anteriores:
O ponto P pertence ao Plano Horizontal de Projeção, pelo que a sua projeção frontal está necessariamente no eixo X (ver exercício 235. e respetivo relatório).
O ponto P pertence ao Plano Frontal de Projeção, pelo que a sua projeção horizontal também está no eixo X (ver exercício 236. e respetivo relatório). As duas
projeções do ponto P situam
‑se no eixo X, pois o ponto P é, simultaneamente, um ponto do Plano Horizontal de Projeção e do Plano Frontal de Projeção.
238.
Atendendo a que, neste exercício, o objetivo principal consiste na extracção de algumas conclusões a partir da
representação dos pontos em Dupla Projeção Ortogonal, omitir
‑se
‑á, aqui, a apresentação dos raciocí
nios espaciais que
nos conduzem à determinação das projeções de cada ponto, expostos nos relatórios dos exercícios anteriores. Nesse
sentido referir
‑se
‑á, apenas, a localização das projeções de cada ponto, após a sua determinação com o recurso às retas
projetantes (retas projetantes horizontais e retas projetantes frontais). Para melhor compreensão dos procedimentos
espaciais que conduziram à determinação das projeções de cada ponto, sugere
‑se a leitura dos relatórios dos exercícios
230., 232. e 234.
A ∈ 10 Diedro; b1/3; B ∈ 30 Diedro; b1/3; C ∈ 10 Diedro; b1/3.
Ponto A:
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto A
(A1) situa
‑se 2 cm para baixo eixo X (o afastamento do ponto A é 2) e a projeção frontal do ponto A (A2) situa
‑se 2 cm
para cima do eixo X. (a cota do ponto A é 2).
Ponto B:
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto B (B1) situa
‑se 3 cm para cima eixo X
(o afastamento do ponto B é –3) e a projeção frontal do ponto B (B2) situa
‑se 3 cm para baixo do eixo X. (a cota do ponto B é –3).
Ponto C:
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto C (C1) situa
‑se 4 cm para baixo eixo X
(o afastamento do ponto C é 4) e a projeção frontal do ponto C (C2) situa
‑se 4 cm para cima do eixo X. (a cota do ponto C é 4).
a) Ao nível das suas coordenadas, pontos do b1/3 têm coordenadas iguais.
b) Ao nível das suas projeções, pontos do b1/3 têm as suas projeções simétricas em relação ao eixo X.
E2
F2
E1
F1
D2
D1
X
P P
1 2
X
A2
B2
C2
A1
B1
C1
X
23

SOLUÇÕES
239.
Atendendo a que, neste exercício, o objetivo principal consiste na extracção de algumas conclusões a partir da
representação dos pontos em Dupla Projeção Ortogonal, omitir
‑se
‑á, aqui, a apresentação dos raciocí
nios espaciais que
nos conduzem à determinação das projeções de cada ponto, expostos nos relatórios dos exercícios anteriores. Nesse
sentido referir
‑se
‑á, apenas, a localização das projeções de cada ponto, após a sua determinação com o recurso às retas
projetantes (retas projetantes horizontais e retas projetantes frontais). Para melhor compreensão dos procedimentos
espaciais que conduziram à determinação das projeções de cada ponto, sugere
‑se a leitura dos relatórios dos exercícios
231., 233. e 234..
D ∈ 20 Diedro; b2/4; E ∈ 40 Diedro; b2/4; F ∈ 20 Diedro; b2/4.
Ponto D:
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto D (D1) situa
‑se 1 cm para cima eixo X (o
afastamento do ponto D é –1) e a projeção frontal do ponto D (D2) situa
‑se igualmente 1 cm para cima do eixo X. (a cota do ponto D é 1). Nesta situação, as duas
projeções do ponto D (D1 e D2) ficam coincidentes, pelo que se tem D1 ≡ D2.
Ponto E:
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto E (E1) situa
‑se 4 cm para baixo eixo X (o
afastamento do ponto E é 4) e a projeção frontal do ponto E (E2) situa
‑se igualmente 4 cm para baixo do eixo X (a cota do ponto E é –4). Nesta situação, as duas
projeções do ponto E (E1 e E2) ficam coincidentes, pelo que se tem E1 ≡ E2.
Ponto F:
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto F (F1) situa
‑se 2 cm para cima eixo X (o
afastamento do ponto F é –2) e a projeção frontal do ponto F (F2) situa
‑se igualmente 2 cm para cima do eixo X (a cota do ponto F é 2). Nesta situação, as duas
projeções do ponto F (F1 e F2) ficam coincidentes, pelo que se tem F1 ≡ F2.
a) Ao nível das suas coordenadas, pontos do b2/4 têm coordenadas simétricas.
b) Ao nível das suas projeções, pontos do b2/4 têm as suas projeções coincidentes.
240.
Considera
‑se que, nesta altura, e após a resolução de todos os exercícios precedentes, a compreensão dos raciocínios espaciais que nos conduzem à determinação
das projeções de cada ponto se torna desnecessária. Nesse sentido referir
‑se
‑á, apenas, a localização das projeções de cada ponto, após a sua determinação com
o recurso às retas projetantes (retas projetantes horizontais e retas projetantes frontais).
Ponto A:
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto A (A1) situa
‑se 3 cm para baixo do eixo X
(o afastamento do ponto A é 3) e a projeção frontal do ponto A (A2) situa
‑se 2 cm para cima do eixo X (a cota do ponto A é 2).
Ponto B:
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal do ponto B (B1) situa
‑se 4 cm para baixo do eixo X
(o afastamento do ponto B é 4) e a projeção frontal do ponto B (B2) situa
‑se 1 cm igualmente para baixo do eixo X (a cota do ponto B é –1).
Ponto C:
Após o rebatimento do Plano Frontal de Projeção sobre
o Plano Horizontal de Projeção, a projeção horizontal
do ponto C (C1) situa
‑se 3 cm para baixo do eixo X (o
afastamento do ponto C é 3) e a projeção frontal do ponto
C (C2) situa
‑se no eixo X (a cota do ponto C é nula).
Ponto D:
do ponto D (D1) situa
‑se 2 cm para cima do eixo X (o
afastamento do ponto D é –2) e a projeção frontal do
ponto D (D2) situa
‑se 3 cm para cima do eixo X (a cota
do ponto D é 3).
Ponto E:
do ponto E (E1) situa
‑se 2 cm para cima do eixo X (o
afastamento do ponto E é –2) e a projeção frontal do
ponto E (E2) situa
‑se no eixo X (a cota do ponto E é nula).
D D
1 2
F F
1 2
E E
1 2
X
F F
1 2
I2
I1
D2
D1
A2
B2
C2
H2
E2
J2
G1
A1
B1
C1
H1
E1
J1
X
G2
24

GDA_10-Solucoes_Livro_Exercicios.pdf

GDA_10-Solucoes_Livro_Exercicios.pdf

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a GDA_10-Solucoes_Livro_Exercicios.pdf

Semelhante a GDA_10-Solucoes_Livro_Exercicios.pdf (20)

Último

Último (6)

GDA_10-Solucoes_Livro_Exercicios.pdf