Este documento apresenta um teste de Matemática I para o 1o ano de Licenciatura em Bioengenharia, contendo 12 questões de escolha múltipla e desenvolvimento sobre cálculo, álgebra linear e integrais. O teste aborda tópicos como vetores, funções, limites, derivadas e integrais definidas e impróprias.

1. LICENCIATURA EM BIOENGENHARIA | 1o
ANO | 2022/2023
L.BIO002 | MATEMÁTICA I | Teste 2 Recurso (A)
Duração: 1h30 + 10 min de tolerância
Nome: N
o
de Ordem:
Prova sem consulta. Não é permitido o uso de máquina de calcular nem o acesso a meios de comunicação.
Os telemóveis devem estar desligados e guardados. Não é permitido sair da sala.
Perguntas de escolha múltipla (1-8): Resposta certa 0.75, Resposta errada -0.25.
1. Considere os vetores u e v de R3 tais que u·v = 2,
∥u∥ = 1 e ∥v∥ = 4. Então ∥u × v∥ é igual a:
(A) 2
(B)
√
3
2
(C) 2
√
3
(D) 1
2
Resposta:
2. Seja f(x) = x(1 − ln x), x > 0. Então
(A) f(n)(x) = (−1)n−1 (n−2)!
xn−1 , n ≥ 1
(B) f(n)(x) = (−1)n (n−2)!
xn , n ≥ 1
(C) f(n)(x) = (−1)n−1 (n−2)!
xn−1 , n ≥ 2
(D) nenhuma das anteriores.
Resposta:
3. Seja f : R −→ R uma função contínua e h(x) =
R x
0 (x − t)f(t) dt. Então h é uma função 2 vezes
derivável e
(A) h′′(x) = xf(x)
(B) h′′(x) = f(x)
(C) h′′(x) = f(x) + xf′(x)
(D) nenhuma das anteriores.
Resposta:
4. A projeção ortogonal do vetor u = (1, −1, 2) sobre
o vetor v = (2, 2, 1) é o vetor:
(A) (2
9, 2
9, 1
9).
(B) (4
9, −2
9 , 4
9).
(C) (−2
3, −2
3, −1
3).
(D) nenhuma das ante-
riores.
Resposta:
5. Considere a função f : R −→ R denida por
f(x) = |x| e−x2/2, x ∈ R. Então
(A) lim
x→−∞
f(x) = +∞
(B) lim
x→−∞
f(x) = −∞
(C) lim
x→+∞
f(x) = 0
(D) nenhuma das anteriores.
Resposta:
6. Considere a função real de variável real denida
por
f(x) =
(
sen x, se x ≤ 0
ln(ex +1) + k se x 0
com k ∈ R. Então
(A) f é diferenciável em x = 0, ∀k ∈ R.
(B) f é diferenciável em x = 0 se k = −1.
(C) f é diferenciável em x = 0 se k = − ln(2).
(D) f não é diferenciável em x = 0.
Resposta:
7.
3/4
Z
1/2
2
p
x(1 − x)
dx é igual a
(A) 2π
3
(B) π
3
(C) π
6
(D) nenhuma das ante-
riores.
Resposta:
8. O integral impróprio
+∞
Z
3
4
x2 − 4
dx é
(A) igual a ln(1
5).
(B) divergente.
(C) igual a ln(5).
(D) igual a 1.
Resposta:
RESPONSÁVEL DA UC: MARIA LURDES SIMÕES 24 Jan 2023 | PÁG. 1/2

2. LICENCIATURA EM BIOENGENHARIA | 1o
ANO | 2022/2023
L.BIO002 | MATEMÁTICA I | Teste 2 Recurso
Duração: 1h30 + 10 min de tolerância
Escreva o nome completo e o número de ordem em todas as folhas separadas.
Deve justicar cuidadosamente as suas respostas e indicar como obteve todos os resultados.
Por favor, responda às questões 9, 10, 11 e 12 em folhas separadas!
9. (2 val.) Considere o espaço euclidiano R3
com as operações usuais. Seja u, v uma base do
subespaço T de R3
com u = (1, 2, −2) e v = (1, −1, 1).
(a) Os vetores u e v são ortogonais?
(b) Determine uma base ortogonal de T.
(c) Complete a base obtida na alínea anterior de forma a obter uma base ortogonal de R3
.
10. (2,5 val.) Considere a função g denida por
g(x) =







arctg(ln x) se x 1
0 se x = 1
x2
1 − x
se x 1
.
(a) Estude g quanto à continuidade em x = 1.
(b) A função g é diferenciável em x = 1? Justique.
(c) Caraterize a função inversa da restrição de g ao intervalo ]1, +∞[.
11. (4 val.) Considere a função real de variável real denida por f(x) = (1 − x)e−x
.
(a) Determine F(x) =
Z
f(x) dx que passa no ponto (0, 1).
(b) Determine, justicando, a natureza do integral impróprio
+∞
Z
0
f(x) dx.
(c) Represente geometricamente a região R = {(x, y) ∈ R2
: 0 x 1 ∧ 0 ≤ y ≤ f(x)} e calcule
a sua área.
12. (5,5 val.)
(a) Calcule as seguintes (famílias de) primitivas:
i.
Z
ln(arccos(x))
arccos(x)
√
1 − x2
dx
ii.
Z
ln4
x
x(ln2
x + 1)
dx, efetuando a mudança de variável ln x = t.
(b) Encontre uma expressão por recorrência para In =
R
secn
(x) dx
(c) Seja h : R −→ R uma função 2 vezes derivável com h′
(0) = 1 e g : R −→ R uma função denida
por g(x) = h(ln(1 + x2
)).
i. Mostre que g′
(0) = 0 e g′′
(0) = 2.
ii. Conclua que a função g tem um extremo local no ponto 0 e classique-o.
RESPONSÁVEL DA UC: MARIA LURDES SIMÕES 24 Jan 2023 | PÁG. 2/2