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1. Curso Técnico em Transações Imobiliárias
Módulo – Matemática Financeira
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Ms. Paulo Eduardo Durão Rodrigues
Aula 05
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2. Curso Técnico em Transações Imobiliárias
Módulo – Matemática Financeira
6. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
Inicialmente temos o capital principal; após um período, esse capital sofre uma
remuneração (juros), sendo então, capital e juros somados para, assim, formarem
um novo capital (1º montante).
Esse novo capital, após um segundo período, sofre uma outra remuneração (juros),
sendo então, novo capital e juros somados para, assim, formarem um segundo
montante. (E assim por diante).
Então as remunerações acontecerão sempre, “em cima” do montante do período
anterior, caracterizando o que chamamos de capitalização composta.
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6.1 - Juros Compostos:
n
Fórmula: j = C x 1 i 1 Onde: j = Juros Compostos;
C = Capital Inicial;
( 1+i ) n = Fator de Capitalização;
i = Taxa de Juros;
n = Período de Tempo.
Exemplo 1: Ao se aplicar um capital de R$829,30, no regime de capitalização
composta, por um período de 3 meses, à taxa de 2,4% ao mês, qual será o juro
obtido?
n
Solução: C = 829,30. j=Cx 1 i 1
3
i = 2,4% ao mês = 0,024. j = 829,30 x 1 0,024 1
3
n = 3 meses. j = 829,30 x 1,024 1
j = 829,30 x 1,073742 1
j = 61,15
j = R$61,15.
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Exemplo 2: Calcule o valor dos juros compostos para um capital de R$777,56,
aplicado à taxa de 6% ao ano, durante um período de 2 meses.
Solução: C = 777,56.
6% n
i = 6% ao ano = 0,5% ao mês = 0,005. j=Cx 1 i 1
12
n = 2 meses. j = 777,56 x
2
1 0,005 1
j = 777,56 x
2
1,005 1
j = 777,56 x
1,010025 1
j = 7,80 j =
R$7,80.
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6.2 - Montante Composto:
Fórmula: s = C x ( 1+i ) n Onde: s = Montante Composto;
C = Capital Principal;
( 1+i ) n = Fator de Capitalização.
i = Taxa de Juros;
n = Período de Tempo.
Exemplo 1: Calcule o montante composto para um capital de R$627,43, aplicado à
taxa de 2% ao bimestre, durante um período de 6 meses.
Solução: C = 627,43.
i = 2% ao bimestre = 0,02.
n = 6 meses
Como 6 meses correspondem a três bimestres,
o n será igual a 3, pois o período de
capitalização é bimestral.
s = C x ( 1+i ) n
s = 627,43 x (1+0,02) 3
s = 627,43 x (1,02) 3
s = 627,43 x (1,061202)
s = 665,83
s = R$665,83.
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Exemplo 2: Calcule o montante produzido por um capital de R$15.600,70, aplicado
à taxa de 7,2% ao mês, durante 4 meses.
Solução: C = 15.600,70. s = C x ( 1+i ) n
i = 7,2% ao mês = 0,072. s = 15.600,70 x (1+0,072) 4
n = 4 meses. s = 15.600,70 x (1,072) 4
s = 15.600,70 x (1,320623)
s = 20.602,64.
s = R$20.602,64.
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Exemplo 3: Calcule o capital que gera um montante composto de R$7.656,70, à
taxa de 18% ao ano, durante um período de aplicação de 4 meses.
Solução: s = 7656,70.
18%
i = 18% ao ano 1,5% ao mês = 0,015.
12
n = 4 meses.
s = C x ( 1+i ) n
s
C=
(1 i ) n
7.656 ,70
C=
(1 0,015 ) 4
7.656 ,70
C=
(1,015 ) 4
7.656 ,70
C=
1,061363
C = 7.214,03.
C = R$7.214,03.
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Exemplo 4: Calcule a taxa composta para que, um capital de R$300,00, consiga
gerar um montante de R$4.800,00, em um período de 2 meses.
Solução: C = 300. s = C x (1+i ) n
s
(1+i ) n =
C
s = 4.800 4.800
(1+i ) 2
300
(1+i ) 2 = 16.
n = 2 meses (1+i ) = 16
memeses 1+ i = 4
i=4–1
i=3
.
- i = 3 representa a taxa na forma unitária;
- Ao multiplicarmos por 100 obteremos a taxa i na forma percentual: i = 300%;
- Para se descobrir a unidade de tempo da taxa, é só lembrar que, o período de
tempo n está sendo usado em meses.
- Resposta: i = 300% ao mês.
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6.3 - Desconto Composto:
No desconto composto, a taxa incide sobre uma determinada quantia que equivale
ao capital. Essa determinada quantia é chamada de valor atual.
Nos cálculos deste tipo de desconto, o montante, equivale ao valor nominal.
n
Fórmula: VN = VA x 1 i D = VN - VA
Onde: VN = Valor Nominal;
VA = Valor Atual;
D = Desconto Composto.
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Exemplo 1: Determine o desconto composto de um capital de R$1.250,52, à taxa de
1,7% ao mês, 2 meses antes do vencimento.
Solução : VN = 1.250,52.
i = 1,7% ao mês = 0,017.
n = 2 meses.
n
VN = VA x 1 i
VN
VA = n
1 i
1.250 ,52
VA = 2
1 0,017
1.250 ,52
VA = 2
1,017
1.250 ,52
VA =
1,034289
VA = 1.209,06.
D = VN – VA
D = 1.250,52 – 1.209,06
D = 41,46
D = R$41,46.
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11. Curso Técnico em Transações Imobiliárias
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Exemplo 2: Calcular o valor atual de um título de R$753,53, à taxa de 18% ao ano,
3 meses antes do vencimento.
Solução: VN = 753,53.
18%
i = 18% ao ano 1,5% ao mês = 0,015.
12
n = 3 meses.
n
VN = VA x 1 i
VN
VA = n
1 i
753 ,53
VA = 3
1 0,015
753 ,53
VA =
1,045678
VA = 720,61
VA = R$720,61.
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• Considerações finais dentro da capitalização composta:
- Cálculo do montante a partir de uma série de vários depósitos:
n
1 i 1
Fórmula: M = Dep x
i
Onde: M = Montante;
Dep = Depósitos.
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Exemplo: Calcule o montante de uma série de 4 depósitos de R$230,00 cada um,
efetuados no fim de cada mês, à taxa de 2% ao mês, após o quarto depósito.
Solução: Dep = 230.
i = 2% ao mês = 0,02.
n
1 i 1
M = Dep x
i
4
1 0,02 1
M = 230 x
0,02
4
1,02 1
M = 230 x
0,02
1,082432 1
M = 230 x
0,02
0,082432
M = 230 x
0,02
M = 230 x 4,1216
M = 947,96
M = R$947,96.
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14. Curso Técnico em Transações Imobiliárias
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- Equivalência entre taxa anual composta e taxa mensal composta:
12
Fórmula: 1 ia 1 im Onde: i a = Taxa anual composta;
i m = Taxa mensal composta.
Exemplo: Determine a taxa anual composta equivalente à taxa mensal de 3%.
Solução:
12
1 ia 1 im
12
1 ia 1 0,03
12
1 ia 1,03
1 ia 1,425760
ia = 1,425760 - 1
ia = 0,425760
Ao se multiplicar a taxa anual composta por 100, obtém-
se o valor da referida taxa na forma percentual, ficando o
valor igual a 42,5760%..
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15. Curso Técnico em Transações Imobiliárias
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BIBLIOGRAFIA
ARRUDA, J. J. A (1988) História Moderna e Contemporânea. 3ª Ed. São Paulo: Editora Ática, 263p.
COSTA, B. C. A (1996) Concursos Públicos - Matemática Geral e Financeira. 2ª Ed. Rio de Janeiro:
Oficina do Autor, 206 p.
CRESPO, A A. (1991) Matemática Comercial e Financeira. 6ª Ed. São Paulo: Editora Saraiva.
D’AMBRÓSIO, N. & D’AMBRÓSIO, U. (1977) Matemática Comercial e Financeira com
complementos de matemática e introdução ao cálculo. 25ª Ed. São Paulo: Companhia Editora
Nacional, 287 p.
FARIA, R. G. (1979) Matemática Comercial e Financeira. Belo Horizonte: Editora Mc Graw-Hill do
Brasil, 219 p.
MARZAGÃO, L. J. (1996) Matemática Financeira: noções básicas. Belo Horizonte: Edição do Autor,
173 p.
SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N. & GRECO, S. E. (2003) Matemática. Série Novo Ensino Médio –
Volume Único. São Paulo: Editora Ática, 424 p.
SINGER, P. (1983) Guia da Inflação para o povo. 9ª Ed. Petrópolis: Vozes, 80 p.
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16. Curso Técnico em Transações Imobiliárias
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Chegamos ao final desta aula.
Resolva os exercícios de fixação propostos logo abaixo.
Quaisquer dúvidas, acionar o tutor por meio do Bate Papo.
BONS ESTUDOS MEUS CAROS.
ATÉ A PRÓXIMA AULA.
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