Geometria Espacial

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Geometria Espacial

  1. 1. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática – Profº. Nélio Nahum 1  Geometria Espacial. pequenos volumes costumamos usar o litro, como no caso da caixa de leite. Nesta unidade você estudará as propriedades defiguras espaciais, tais como: o cubo, o paralelepípedo, aesfera, o cilindro, entre outros. Aprenderá também acalcular área e o volume dessas e de outras figuras. Para o cálculo de um volume podemos usar diferentesunidades de medida. Certamente você já conhece o litro eo metro cúbico. Portanto, vamos aprofundar essesconceitos.  Volume ou capacidade Volume ou capacidade de um corpo (ou recipiente)é a quantidade de espaço que esse corpo ocupa ou queele dispõe para armazenar alguma coisa.Por exemplo: O litro é a quantidade de líquido capaz de encher completamente um cubo oco, com 10 cm de aresta. Aresta é o nome que se dá à linha que separa uma face da outra. Os lados dos quadrados que formam o cubo são as arestas do cubo. Quantos litros cabem num metro cúbico? Para responder a essa pergunta vamos imaginar uma caixa cúbica com1 metro de aresta e muitos cubinhos com 10 cm de aresta. Cada um desses cubinhos corresponde a 1 litro de água. Esses recipientes têm a capacidade de armazenar1 litro de líquido, conforme a indicação em cadaembalagem. Podemos dizer que o volume ou acapacidade de cada um desses recipientes é de 1 litro. Vejamos um outro exemplo: Diariamente nos portos brasileiros, navios sãocarregados ou descarregados com mercadorias que serãotransportadas para outros lugares. Em geral, essasmercadorias são armazenadas em grandes caixaschamadas de container. Existem dois tipos de container: ode 20 pés (cuja capacidade é de 32,88 metros cúbicos) e ode 40 pés (cuja capacidade é de 66, 92 metros cúbicos). Podemos arrumar os cubinhos dentro da caixa grande em fileiras de 10, de forma que o fundo da caixa fique com 10 x 10 = 100 cubinhos. Como podemos formar 10 camadas, temos: 10 x 10 x 10 = 1.000 cubinhos. Portanto: 1 m³ = 1 000 l  Unidade de volume e de capacidade Outras relações: Nos exemplos anteriores utilizamos o litro (cuja 1 l = 1000 mlabreviatura é l) e o metro cúbico (cuja a abreviatura é m³) 1 l = 1 dm³como unidades de medida. Além dessas unidades, temos 1 l = 1000 cm³também o centímetro cúbico (cm³), o decímetro cúbico(dm³), o mililitro (ml), entre outras. A escolha da unidade de medida adequadadepende do tamanho do que se vai medir. O metro cúbico,por exemplo, é adequado para medir grandesvolumes,como no caso de um container.Para medir
  2. 2. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática – Profº. Nélio Nahum 2  PARALELEPÍPEDO Exercícios Bloco retangular ou paralelepípedo retângulo é o 1ª). A piscina de um clube tem 2 m de profundidade,nome que a Matemática dá aos objetos que têm a forma 12 m de comprimento e 8 m de largura. Quantos litros dede uma caixa de sapatos, caixa de fósforos etc. água são necessários para enchê-la? 2ª). Um caixa dágua cúbica, de 1 metro de aresta, está completamente cheia. Dela retiramos 70 litros de água. De quanto desce o nível da água? 3ª). Precisamos construir uma caixa dágua com o formato de um paralelepípedo.Quais podem ser as dimensões dessa caixa para que sua capacidade seja de 5.000 litros? Observe que essa forma geométrica é delimitada 4ª). Como você explicaria para uma criança o que épor seis retângulos cujas faces opostas são retângulos um litro de água?idênticos. Observe também que, em cada vértice, as 5ª). Que unidade de medida você usaria para indicar aarestas são perpendiculares duas a duas. quantidade de líquido em: a) um copo de chopp; O volume do bloco retangular é dado por: b) uma lata de óleo; V = abc . c) uma piscina; d) uma ampola. Onde: a, b e c são as medidas das arestas,usando uma mesma unidade de comprimento. 6ª). Uma outra unidade para medir volumes, muito usada na vida prática, é a garrafa. Sabendo que a garrafa Como A = a.c é a área do retângulo que é à base vale 34 de litro indique sua capacidade em mililitros.do bloco retangular e h = b é a sua altura, o volume dobloco retangular é dado por: 7ª). Com um barril de vinho de 360 litros, quantas garrafas de vinho podemos completar? . V = A.h. 8ª). Uma lata de óleo tem, em geral 900 ml. Quantas Em que A é a área da base e h a altura. latas correspondem a um galão de 20l de óleo Exemplo  O CUBO Vejamos um exemplo: quantos litros de água são O cubo é um paralelepípedo cujas arestas têm anecessários para encher completamente uma caixa dágua mesma medida.cujas dimensões são: 0,90 m de comprimento, 0,80 m delargura e 0,70 m de altura? Área Total: ( AT) É a soma da área lateral com a área das bases. 2 AT = 2(a.a + a.a + a.a) = 6a Volume ( V) O volume é dado pelo produto da área da base pela altura. V = a.a.a =6a³
  3. 3. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática – Profº. Nélio Nahum 3  PRISMAS 1ª). Calcule o volume de um prisma triangular regular de aresta da base 6cm e altura 12cm. Prismas são sólidos geométricos que possuem asseguintes características: 2ª). os lados de um triangulo medem 5cm , 9cm e a) bases paralelas são iguais; 10cm. Um prisma reto com 10 cm de altura, tem por base b) arestas laterais iguais e paralelas e que ligam as esse triangulo. Calcule para esse prisma:duas bases. a). A área lateral b). A área total c). O volume 3ª). Um prisma regular hexagonal ,cuja altura mede 12cm, e uma aresta da base 4cm. Calcule: a). A área da base b). A área lateral c). A área total d). O volume Nomenclatura: Os prismas recebem denominações  O CILINDROde acordo com suas bases. São comuns os objetos que têm a forma de um cilindro, como por exemplo, um lápis sem ponta, uma lata de óleo, um cigarro, um cano etc. Observação: Só trataremos aqui de prismas retos,que são aqueles cujas arestas laterais são perpendicularesàs bases. Área Lateral: ( AL) É a soma de todas áreas das faces laterais. Área Total: ( AT) É a soma da área lateral com a área das bases. AT = AL + 2.Ab Volume do prisma O volume de um prisma será dado por: Volume do cilindro será calculado por: V = A x h V = A x h, Onde A é a área da base e h é a altura do prisma. Exemplos:
  4. 4. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática – Profº. Nélio Nahum 4 Área e volume Exemplos: 1ª). Um restaurante costuma usar panelas enormes em Planificando o cilindro, temos: dias de muito movimento. Para encher de água uma dessas panelas o cozinheiro utiliza latas (ou galões) de 18 litros. Quantos desses galões são necessários para encher completamente uma panela de 60 cm de diâmetro e 50 cm de altura? Consideremos os elementos: AL = área lateral Ab = área da base R = raio da base h = altura do cilindro. 2ª). Em um cilindro circular reto de altura 8 cm, o raio Área Lateral: ( AL) da base mede 3 cm. Calcular, desse cilindro: É a área de um retângulo de dimensões: a) A área lateral 2.  .r e h. temos então: b) A área de uma base. AL= 2  .r.h c) A área total d) A área uma secção meridiana. Área da Base: ( AB) e) O volume V. É a área do circulo de raio r. 3ª). Em um cilindro circular reto de altura 5 m, o raio da AB =  .r2 base mede 2 m. Calcule, desse cilindro: a) A área lateral. Área Total: ( AT) b) A área de uma base. c) A área total at. É a soma da área lateral com a área das bases. d) A área de uma secção meridiana. AT = AL + 2.Ab e) O volume V. Volume ( V) 4ª). Um cilindro eqüilátero tem 8 cm de altura. Calcule, O volume de um cilindro de altura h e raio r é: desse cilindro: a) A área lateral. V = Ab.h ou V=  .r2.h b) A área de uma base. c) A área total Há muita semelhança entre os prismas e os d) A área de uma secção meridiana.cilindros. Podemos dizer que eles pertencem a uma e) O volume V.mesma família de sólidos geométricos, com característicascomuns.O volume de todos pode ser determinado 5ª). Uma secção meridiana de um cilindro eqüiláteroaplicando-se a fórmula: V = A x h 2 tem 144 cm de área. Calcule a área lateral, a área total e o volume desse cilindro. Dando continuidade à unidade de Geometria Espacial, nesta aula vamos estudar mais três dos sólidos geométricos: a pirâmide, o cone e a esfera.
  5. 5. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática – Profº. Nélio Nahum 5  A PIRÂMIDE A pirâmide é considerada um dos mais antigos  O CONEsólidos geométricos construídos pelo homem. Uma das Um funil ou uma casquinha de sorvete dão a idéiamais famosas é a pirâmide de Quéops, construída em do sólido geométrico chamado cone.2.500 a.C., com 150 m de altura, aproximadamente - o que Um cone (mais precisamente, um cone circularpode ser comparado a um prédio de 50 andares. Quando reto) é o sólido obtido da seguinte maneira: tome umapensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da região do plano limitado por uma circunferência e, de umpirâmide egípcia, cuja base é um quadrado. Contudo, o ponto P situado exatamente acima do centro daconceito geométrico de pirâmide é um pouco mais amplo: circunferência, trace os segmentos de reta unindo P aossua base pode ser formada por qualquer polígono. As pontos da circunferência do círculo.figuras abaixo representam pirâmides: Algumas definições: Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base éum polígono e cujas faces laterais são triângulos que A Pirâmide e o Conepossuem um vértice comum. Há muita semelhança entre o cone e a pirâmide. A diferença é que a base do cone é delimitada por um círculo, em vez de um polígono. Ambos podem ser imaginados como um conjunto de segmentos que ligam um ponto P, exterior ao plano, a uma região do plano, como mostra a figura abaixo. A altura da pirâmide é um segmento perpendicularà base e que passa por V (vértice). Uma pirâmide é regularse a base é um polígono regular e as faces são triângulosiguais. Com isso o pé da altura é o centro do polígono dabase, como mostram as figuras seguintes.
  6. 6. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática – Profº. Nélio Nahum 6 O volume da pirâmide e do cone  Área da Base: ( AB) Vimos que o volume do prisma é igual ao produto É a área do circulo de raio R.da sua altura pela área da base. É possível mostrar que,se tivermos um prisma e uma pirâmide de mesma base e AB =  .R2mesma altura, o volume do prisma será o triplo do volumeda pirâmide.  Área Total: ( AT) É a soma da área lateral com a da base. AT = AL + Ab  Volume (V) O volume de um cone de altura h e raio R é dado por: Com isso, concluímos que o volume da pirâmide éum terço do volume do prisma: 1 1 .  .R .h 2 V = .Ab.h ou V= 3 3 A.h Vpirâmide  3 Vamos ver alguns exemplos: Onde A representa a área da base e h, sua altura. 1ª). Qual o volume de uma pirâmide quadrangular, cuja altura mede 5 cm e a aresta da base, 3 cm? Para o cone teremos: 2ª). Em um cone circular reto de altura 12 cm, o raio da Áreas e volume base mede 5 cm. Calcular, desse cone: Planificando o cone, temos: a) A área lateral AL. b) A área da base. c) A área total d) A medida do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone. e) A área A de uma secção meridiana. f) O volume V. 3ª). Em um cone circular reto de altura 6 cm, o raio da base mede 8 cm. Calcule, desse cone: a) A área lateral b) A área da base. c) A área total d) A medida do ângulo central do setor circular equivalente à superfície lateral do cone. Planificando o cone reto, obtemos um setor e) A área de uma secção meridiana.circular de raio g, e comprimento l = 2.  .R f) O volume V. Consideremos os elementos: AL = área lateral 4ª). Uma secção meridiana de um cone eqüilátero tem 2 Ab = área da base 4,73 cm de área. Calcule a área lateral, a área total e o R = raio da base volume desse cone. h = altura do cone. 5ª). Um cone circular reto de raio da base 4 cm possui a área lateral igual ao triplo da área da base. Calcule o  Área Lateral: ( AL) volume desse cone É a área do setor circular. 6ª). Qual a quantidade de chocolate necessária para a gl g.2 .R fabricação de 1.000 pirulitos em forma de guarda-chuva, AL=  ou AL =  .R.g de 5 cm de altura e 2 cm de diâmetro? 2 2 7ª). A ampulheta da figura consiste em dois cones idênticos, dentro de um cilindro. A altura do cilindro é de 6 cm e sua base tem 4 cm de diâmetro.
  7. 7. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática – Profº. Nélio Nahum 7a) Determine o volume de areia necessário para encher ocone.b) Determine a quantidade de espaço vazio entre os conese o cilindro. Raio = 0,5 cm  A ESFERA Sem dúvida alguma, a esfera é considerada umdos sólidos mais curiosos que existem, e sua forma temsido extremamente útil ao homem. É possível que oshomens tenham criado a forma esférica a partir da Elas têm a mesma boca, isto é, o raio da semi-observação e do estudo dos corpos celestes, como o Sol e esfera é igual ao raio da circunferência do cone. Aléma Lua. Ou da verificação de fenômenos como a sombra da disso, elas têm a mesma altura, isto é, a altura do cone éTerra projetada sobre a Lua. O formato de nosso planeta igual ao raio da semi-esfera.foi reproduzido em diversos objetos até chegar às bolas de Despejando duas vezes o conteúdo da vasilhafutebol, vôlei e outros. cônica no interior da vasilha semi-esférica, conseguimos enchê-la completamente (figura abaixo). Isso significa que a capacidade da semi-esfera é o dobro da capacidade do cone. Portanto, a capacidade da esfera será quatro vezes a capacidade do cone. Não é fácil fazer essa experiência. Onde encontrar uma vasilha esférica e uma vasilha cônica? Entretanto, pela descrição da experiência, você pode compreender a idéia de Arquimedes. Como dissemos, o grande matemático grego demonstrou, por dedução, que o volume da esfera é quatro vezes o volume do cone, que tem o raio da esfera e cuja altura é o raio da esfera. Posteriormente, outros matemáticos criaram novos Matematicamente, a esfera é o conjunto de todos raciocínios para calcular o volume da esfera. Vamosos pontos do espaço cuja distância a um ponto 0 é menor retomar a afirmação de Arquimedes. Observe a figura:ou igual a R. Logo para a esfera teremos: O volume da esfera Volume: A fórmula que dá o volume da esfera foi 4demonstrada pelo matemático grego Arquimedes, no Vesfera   R3século III a.C. em seu livro sobre a esfera e o cilindro. 3 Usando o método de exaustão, inventado por outromatemático grego chamado Eudoxo, Arquimedes provouque o volume de uma esfera é igual a quatro vezes o Área:volume do cone, cujo raio é o raio da esfera e cuja altura étambém o raio da esfera. Para tornar mais clara essa idéia,imagine a experiência que poderia ser feita com as A  4 R2vasilhas da ilustração abaixo. Observe que uma é semi-esférica e a outra é cônica, lembrando uma taça. Exemplo: Qual a quantidade de chumbo necessária para a confecção de 100 bolinhas esféricas, maciças, de 1 cm de diâmetro?
  8. 8. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática – Profº. Nélio Nahum 8 Exercícios 7ª). Uma resma de papel sulfite, tipo papel ofício tem as seguintes dimensões. 1ª). Calculando a área total e o volume do cubo abaixo,obtemos, respectivamente: Comprimento = 30 cm Largura = 20 cm Altura = 5 cm Baseado nestas informações ache o volume de uma folha. 8ª). Os lados de um triângulo medem 5cm , 9cm e 10cm. Um prisma reto com 10 cm de altura, tem por base esse triangulo. Calcule para esse prisma: 2m a). A área lateral b). A área total c). O volume 2 3 2 3 ( a ) 24 m e 8 m . (d) 54 m e 27 m . 3 2 3 ( b ) 240 litros e 2 m . (e) 12 m e 24 m . 9ª). Qual o volume da estufa representada pela 2 3 ( c ) 16 m e 8 m . seguinte figura? 2ª). A água de um reservatório na forma de umparalelepípedo reto-retângulo, de comprimento 30 m elargura 20 m, atingia a altura de 10 m. Com a falta de 3chuvas e o calor, 1.200 m da água do reservatórioevaporaram-se. A água restante no reservatório atingiu aaltura de: (a) 2m (c) 8 m (e)3 m (b) 9m (d) 7 m 3ª). Um caminhão transporta combustível em umtanque cuja forma é a de um cilindro reto de 10m de 3altura, com capacidade para 120m . Neste caso, podemosdizer que a medida, em metros, do raio da base desse 10ª). (PSS- 2004) O abastecimento de água em Salinastanque é: Considere   3 : é cada vez mais precário. Isso se deve ao número crescente de construções de casas de veraneio, muitas ( a ) 4m (c) 3m (e) 2m delas com piscina, e à falta de um planejamento adequado ( b ) 5m (d) 1,5m que acompanhe esse crescimento. Durante as férias de julho, quando a população aumenta, o problema se 4ª). Um aquário cilíndrico, com 30cm de altura e área agrava, causando inúmeros transtornos aos moradores e 2da base igual a 1200cm , está com água até a metade de veranistas, pois o precioso líquido desaparece dassua altura. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de torneiras, com bastante freqüência. Assim sendo, amodo que fiquem completamente submersas, o nível da demanda de caixas dágua é muito grande nessa região,água sobe para 17cm. Calcule o volume das pedras. fato que levou à instalação, na cidade, de uma fábrica de caixas dágua, com o objetivo de produzi-las em três diferentes formas: cúbica, cilíndrica e de um prisma reto- 5ª). (PROSEL – 2005) Um tipo de lata rasa utilizada retângulo.pelos ribeirinhos para o armazenamento do açaí tem oformato de um prisma quadrangular regular cuja base temárea de 576cm² e altura igual a 2/3 da aresta da base. 3Qual o volume desta lata, em cm , é: 11ª). Os reservatórios produzidos têm todos 0,80 m de altura, sendo o diâmetro do que tem forma cilíndrica igual a 1 metro, e o comprimento e a largura do que tem forma 6ª). Para encher de água um tanque em forma de um de prisma reto-retângulo iguais, respectivamente, a 1,20 mbloco retangular de 2m de comprimento, 1m de largura e e 0,75 m. Considerando  = 3,14, calcule:de 60cm altura, um homem utiliza um balde cilíndrico, de40cm de diâmetro e 50cm de altura, para pegar água a) a capacidade, em litros, de cada tipo de caixanuma fonte. Quantos baldes de água ele terá que trazer dágua;da fonte para encher completamente o tanque?.Considere b) A quantidade de material usado para a confecção 3 de cada tipo de caixa dágua, sabendo-se que são todas tampadas, com tampas do tamanho exato das aberturas.
  9. 9. E.E.B.A.P – 3º Ano Ens. Médio – Matemática – Profº. Nélio Nahum 9 12ª). (PROSEL - 2005) A polpa de açaí pode ser 21ª). Qual o volume de uma pirâmide de altura 15 cm,utilizada na fabricação de sorvete, vinhos, licores, doces e cujo polígono da base é um trapézio isósceles de lados 5etc. Uma das sobremesas prediletas dos paraenses é o cm, 5cm , 4 cm e 10 cm?sorvete de açaí, que em geral, é servido em bolas de 22ª). Uma pirâmide de altura 8cm, tem como base umformato esférico de 2cm de raio. Um dos tipos de triangulo retângulo de catetos 2cm e 4cm. Calcule ocascalho (recipiente onde são colocadas essas bolas) tem volume da pirâmide.formato de um cone circular reto de 4cm de raio e alturade 10cm. Qual a quantidade de bolas de sorvete 23ª). Calcule o volume de uma pirâmide de 6cm denecessárias para encher exatamente esse cascalho? atura, cajá base é um triangulo isósceles de lados 13cm, 13cm e 10 cm. 13ª). A área total de um cubo é 54 cm2. Calcule amedida da diagonal desse cubo. 24ª). Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide, que seria utilizada como seu túmulo, com as seguintes características: 14ª). Achar a área total da superfície de um cilindro reto,sabendo que o raio da base é de 10cm e a altura é de  Base quadrada de 100m de lado20cm.  Altura 100m Para construir cada pirâmide equivalente a 1.000m³, os escravos, utilizados como mão-de obra, gastavam em, 15ª). ( UFPA – 2003) É comum nos Campi da UFPA média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo necessáriaexistirem espaços em forma de “maloca”, geralmente para a construção da pirâmide , medido em anos de 360utilizados para atividades de lazer . Os telhados desses dias, foi de:espaços tem a forma de um cone circular reto. Se a) 40 anosdesejarmos cobrir um desses telhados cônicos, de 3 b) 50 anosmetros de altura por 8 metros de diâmetro, com telhas que c) 60 anos 2se distribuem a razão de 30 delas por m , quantas telhas , d) 90 anosno mínimo , serão necessárias, para cobrir o telhado?( e) 150 anosUse   3,14 ) 25ª). Na Igreja de São Francisco de Assis de Canindé, no Ceará, no dia 4 de outubro é dia de grande romaria.A 16ª). A água de um reservatório na forma de um figura abaixo ilustra alguns degraus dessa escada deparalelepípedo reto-retângulo, de comprimento 30 m e concreto que leva até o altar onde estão depositadas aslargura 20 m, atingia a altura de 10 m. Com a falta de oferendas. 3chuvas e o calor, 1.800 m da água do reservatórioevaporaram-se. A água restante no reservatório atingiu aaltura de: a) 2 m d) 8 m b) 3 m e) 9 m c) 7 m 17ª). A pirâmide de Quéops, conhecida como a GrandePirâmide, tem cerca de 230m de aresta na base e alturaaproximada de 147m. Qual é o seu volume?( A base dapirâmide é um quadrado) Quantos degraus estes romeiros terão de subir 18ª). A casquinha de um sorvete tem a forma de um para depositar suas oferendas, sabendo que o volume decone reto. Sabendo que o raio da base mede 3cm e a concreto usado para construir toda a escada foi de 3altura é de 12cm. Qual é o volume da casquinha? 270.000 cm ?. 19ª). Considere a Terra como uma esfera de raio6.370km. Qual é sua área superficial? Descobrir a área dasuperfície coberta de água, sabendo que ela correspondea aproximadamente 3/4 da superfície total. 20ª). A capacidade, em litros, de uma caixa de formatocúbico que tem 50 cm de aresta é de: 3Lembrete: 1 L = 1 dm a) 125 b) 250 c) 375 d) 500 e) 625

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