Método Elementos Finitos - Modelo Fémur [Abaqus]

Disciplina de MECÂNICA E MODELAÇÃO COMPUTACIONAL
Mestrado Integrado em ENGENHARIA BIOMÉDICA
3º Ano, 2º Semestre 2015/16
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TRABALHO COMPUTACIONAL
ANÁLISE DE UM MODELO 2D DO FÉMUR
Alexandre Carreira
78569
alex.s.carreira@gmail.com
Luís Rita
78680
luis20dr@gmail.com
Joana Moreira
79143
joana.filipa.159@gmail.com
Palavras-chave: Método de Elementos Finitos, ABAQUS, elasticidade plana, tensões,
convergência, fémur.
Resumo. O objetivo deste trabalho foi a resolução de um problema de elasticidade plana
através de um software comercial - ABAQUS. Pretendeu-se determinar as tensões, as
deformações a que um osso humano (fémur) estaria sujeito, quando aplicadas 2 forças pontuais
na parte superior do modelo. De forma a determinar que tipo de malha utilizada se adequaria
melhor ao problema em estudo, procedeu-se à análise anterior dividindo o osso de diversas
formas, tendo-se depois analisado a convergência do método para cada uma delas.
Finalmente, procedeu-se a uma análise numérica e qualitativa (biomecânica) dos resultados
obtidos. Estes apresentaram-se semelhantes ao esperado, pelo que se conclui que o MEF é
válido para a situação em estudo.

Alexandre Carreira, Luís Rita e Joana Moreira
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1. INTRODUÇÃO
Neste trabalho laboratorial pretender-se-á analisar a forma como um osso (fémur) reage
a dois estímulos (neste caso forças) distintos, através um método computacional. Mais
especificamente, recorrendo ao Método de Elementos Finitos, obter-se-á uma série de
resultados (numéricos e gráficos) que nos permitirão retirar algumas conclusões acerca da
resposta do osso a estas cargas concentradas.
Tal como é conhecido, estes métodos de análise in silico, têm-se tornado ferramentas
essenciais no projeção de inúmeros dispositivos médicos. Dispositivos estes que não se limitam,
de forma nenhuma, à área óssea. De facto, no contexto da medicina têm sido também utilizados
para estudar comportamentos de articulações, ligamentos….
O que torna este método realmente poderoso é o facto de permitir uma análise com um
grau de detalhe superior de tecidos, nomeadamente com contornos irregulares e de materiais
variáveis.
Assim, não é de estranhar que análises experimentais ou estudos na base da tentativa e
erro estejam a cair em desuso, não só pelos custos associados, mas especialmente pelo rigor e
comodismo (obviamente, de uma forma relativa) que proporciona ao doente.
Enquadrando um pouco este assunto com a Engenharia Biomédica, sabe-se que este tipo
de estudo e análise está intimamente relacionada com a vertente biomecânica, pelo que
abordagens mais precisas e pormenorizadas serão, certamente, desenvolvidas posteriormente.
Assim, encontrando-se este trabalho inserido numa disciplina de iniciação à biomecânica, não
será de esperar obter-se resultados com o rigor requerido para aplicação médica (ao representar-
se o nosso objeto de estudo bidimensionalmente, já se está à partida a realizar uma aproximação
considerável do caso em estudo). Não obstante, é importante reconhecer o grau de
familiarização com a ferramenta ABAQUS que se irá adquirir, bem como com o MEF.
Tal como referido anteriormente, utilizar-se-á o software ABAQUS durante toda a
simulação. Analogamente, poderiam ter sido utilizados outros programas como o ANSIS ou
mesmo o SIEMENS NX. Apesar de neste trabalho nos focarmos no modelo do osso, o software
(e consequentemente o MEF) também é capaz de solucionar problemas mais simples, tais como
vários estudos unidimensionais (esforços em barras).
Apresentar-se-á de seguida um estudo um pouco mais detalhado deste método, bem
como as tabelas com os dados relevantes a considerar no problema (Tabela I e II).
Tabela 1 - Componentes horizontais e verticais das forças aplicadas no osso
Fx (N) Fy (N)
FH -136 -1692
FA -166 957

3
Tabela 2 - Propriedades dos materiais presentes no modelo.
E (GPA) 𝝂
OSSO COMPACTO 20 0.3
OSSO TRABECULAR 3 0.3
MEDULA ÓSSEA 0.05 0.3
Figura 1 - Problema computacional.

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2. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O primeiro passo que este método adota, relativamente ao modelo em estudo, é dividi-
lo em vários subdomínios. Isto possibilita dividir o objeto (neste caso com configuração
irregular) em vários fragmentos com uma forma bem conhecida. Caso esta simplificação não
tivesse sido feita, ter-se-ia de obter uma função extremamente complexa que representasse a
variável em estudo em todos os pontos do domínio. Assim, torna-se possível obter um
polinómio de grau reduzido para cada fragmento e, posteriormente, juntá-los todos, num
processo designado assemblagem.
A assemblagem é um processo que deve ser encarado com alguma cautela. Isto porque
um dos requisitos que as funções interpoladoras de cada elemento infinito devem satisfazer é a
continuidade da própria função e da derivada.
2.1 Elementos finitos em elasticidade 2D
Antes de mais, importa definir alguma notação que se utilizará a partir de agora.
𝜕𝐴𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑗
= 𝐴𝑖𝑗,𝑗
𝜕𝐴𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑖
= 𝐴𝑖𝑗,𝑖
Ou seja, utilizar-se-á a Notação de Einstein. Neste caso, optou-se por exemplificar atrás
uma derivação em função das variáveis 𝑥𝑗 e 𝑥𝑖 para um tensor de 2ª ordem. Esta notação
generaliza-se, para um número arbitrário de derivações e para tensores de um grau tão elevado
quanto necessário.
No decorrer deste trabalho computacional, trabalhar-se-á de uma forma permanente com
sólidos de Hooke. Isto é, admitiremos em toda a análise que as tensões presentes no corpo serão
diretamente proporcionais ao seu grau de deformação.
Começa-se assim, por introduzir a equação de equilíbrio que regerá o nosso sólido.
Neste caso, admitindo forças interiores, tem-se:
𝐹𝑅
⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑓 𝑑𝑉 + ∫ 𝜎(𝑛⃗ )
𝑑𝑆
𝑆
=
𝑉
∫ 𝑓 + 𝜎(𝑛 𝑖⃗⃗⃗⃗ )
,𝑖 𝑑𝑉 = ∫ 𝑓 + 𝜎𝑖𝑗,𝑖 𝑑𝑉
𝑉
= 0
𝑉
Teorema da Divergência ou de Gauss
∬(𝐹 ∙ 𝑛⃗ ) 𝑑𝑆
𝑆
= ∭ 𝑑𝑖𝑣(𝐹) 𝑑𝑉
𝑉

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Como esta equação tem de ser válida para qualquer domínio do corpo, implica que:
𝑓𝑗 + 𝜎𝑖𝑗,𝑖 = 0 ⟺ 𝑓𝑗 + 𝑑𝑖𝑣(𝜎𝑖𝑗) = 0
Na verdade, estamos perante 3 equações que são:
{
𝑓1 + 𝜎11,1 + 𝜎21,2 + 𝜎31,3 = 0
𝑓2 + 𝜎12,1 + 𝜎22,2 + 𝜎32,2 = 0
𝑓3 + 𝜎13,1 + 𝜎23,2 + 𝜎33,3 = 0
Onde, [𝜎] = [
𝜎11 𝜎12 𝜎13
𝜎21 𝜎22 𝜎23
𝜎31 𝜎32 𝜎33
]
É também possível provar que [𝜎] se trata de uma matriz simétrica, logo apenas
necessitam de ser determinadas 6 componentes no local onde se pretende conhecer as tensões.
Ou seja, 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑗𝑖.
Tal como foi referido anteriormente, estaremos a trabalhar com sólidos de Hooke. Isto
é, admite-se que o limite de máxima proporcionalidade nunca é ultrapassado e,
consequentemente, o material nunca deforma permanentemente.
Que parâmetros serão utilizados para caraterizar o comportamento dos materiais em
função dos diferentes esforços? Para materiais elásticos a resposta é simples: módulo de Young
(E) e coeficiente de Poisson (𝜐). De facto, considerando a forma mais geral da Lei de Hooke,
estaremos perante vários valores para cada uma destas 2 propriedades anteriores:
𝜎𝑖𝑗 = 𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀 𝑘𝑙
De facto, o tensor das constantes materiais é um tensor de 4ª ordem. A 3D significa que
estaremos na presença de 81 constantes. Na verdade, existem uma série de simetrias que se
podem observar no tensor, pelo que este número diminui consideravelmente para 21 (num
sólido anisotrópico).
Para este trabalho em específico, não nos interessa considerar esta forma tão geral da
Lei de Hooke. Já que estamos a aproximar o osso em estudo a um material elástico e isotrópico.
Assim, apenas será necessário considerar 2 constantes (E e 𝜐) (Anexo 3).
Existe, no entanto, mais uma simplificação que se pode introduzir no problema. O facto
de estarmos a analisar o osso a 2D implica que possamos considerar um estado plano de tensão
Sólido Isotrópico
Propriedade que carateriza as substâncias que possuem as mesmas
propriedades físicas independentemente da direção considerada.

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ou de deformação. Assim, apresenta-se de seguida a lei de Hooke na forma matricial e indicial,
primeiro para estados planos de tensão e depois de deformação.
𝜎13 = 𝜎23 = 𝜎33 = 0
[
𝜎11
𝜎22
𝜎12
] =
𝐸
1 − 𝜈2
[
1 𝜈 0
𝜈 1 0
0 0 1 − 𝜈
] [
𝜀11
𝜀22
𝜀12
]
Ou na sua forma inversa:
[
𝜀11
𝜀22
𝜀12
] =
1
𝐸
[
1 −𝜈 0
−𝜈 1 0
0 0 1 + 𝜈
] [
𝜎11
𝜎22
𝜎12
]
𝜀33 = −
𝜈
𝐸
(𝜎11 + 𝜎22) = −
𝜈
1 − 𝜈
(𝜀11 + 𝜀22)
𝜀13 = 𝜀23 = 𝜀33 = 0
[
𝜎11
𝜎22
𝜎12
] =
𝐸
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
[
1 − 𝜈 𝜈 0
𝜈 1 − 𝜈 0
0 0 1 − 2𝜈
] [
𝜀11
𝜀22
𝜀12
]
Invertendo a igualdade:
[
𝜀11
𝜀22
𝜀12
] =
1 + 𝜈
𝐸
[
1 − 𝜈 −𝜈 0
−𝜈 1 − 𝜈 0
0 0 1
] [
𝜎11
𝜎22
𝜎12
]
𝜎33 =
𝐸𝜈
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
(𝜀11 + 𝜀22) = 𝜈(𝜎11 + 𝜎22)
𝜎𝑖𝑗 =
𝐸
1+𝜈
𝜀𝑖𝑗 +
𝐸𝜈
(1+𝜈)(1−2𝜈)
𝜀 𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗→ Comum a ambas as situações
𝜀𝑖𝑗 =
1+𝜈
𝐸
𝜎𝑖𝑗 −
𝜈
𝐸
𝜎𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗→ Comum a ambas, também.
A partir do que se encontra descrito atrás, nem sempre a um estado plano de tensão,
corresponde um estado de deformação plano (e vice versa). A aproximação de estado de tensão
plano é realizada, quando se considera que um dos lados do material é muito inferior aos outros
2.
Representou-se atrás 4 possíveis relações (matriciais) entre as deformações e as tensões
a atuarem no osso. Apresenta-se de seguida a equação que relaciona as derivadas dos

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deslocamentos com as deformações. Nota: esta relação apenas é válida para pequenos
deslocamentos (𝑢𝑖,𝑗 ≪ 1).
𝜀𝑖𝑗 =
1
2
(𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖)
Até este ponto exibiram-se todas as igualdades que derivam da formulação forte do
problema de métodos finitos. No entanto, é importante salientar que pode não ser possível
satisfazer todas as equações em todos os pontos do osso e ainda estar perante uma solução
válida do problema.
De facto, a partir da formulação forte pode não se obter igualdade em todos os pontos,
mas, em média, obtém-se essa igualdade, sendo possível escrever a seguinte formulação fraca:
∫(𝑓 + 𝜎𝑖𝑗,𝑖)𝑤𝑖 𝑑𝑉
V
= 0
Aplicando o teorema de Gauss e a lei de Hooke, obtém-se o Princípio dos Trabalhos
Virtuais (PTV), em que o trabalho virtual interno, à esquerda iguala o trabalho das forças
externas, à direita:
∫ 𝐸𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀 𝑘𝑙(𝑢)𝜀𝑖𝑗(𝑤)𝑑𝑉
V
= ∫ 𝑓𝑖 𝑤𝑖 𝑑𝑉
V
+ ∫𝑡𝑖 𝑤𝑖 𝑑Γ
Γ
Onde, 𝑤𝑖 é a função-peso, 𝑓𝑖 são as forças internas do elemento e 𝑡𝑖 as forças na fronteira desse
elemento.
Voltando especificamente ao tema central deste trabalho, de uma forma geral o método
dos elementos finitos é aplicado seguindo fielmente este conjunto de passos:
1. Uma vez que o osso em estudo apresenta uma forma irregular e propriedades
heterogéneas, será mais simples obter funções aproximadoras se dividirmos o corpo
inicial num conjunto finito de elementos (daí a designação do método – Método de
Elementos Finitos) de forma conhecida (triângulos/quadriláteros). Poderá também
incluir-se no mesmo modelo, uma mistura destas estruturas. Sempre com o objetivo de
tornar a análise o mais precisa possível.
2. Derivação das funções aproximadoras em cada elemento; estas funções frequentemente
são polinómio interpoladores obtidos por processos de interpolação.
3. Assemblagem dos elementos. Para tal, será de capital importância garantir-se a
continuidade das diversas funções, já que posteriormente se pretende obter uma
reconstrução de todas elas e poder retirar conclusões acerca do modelo original.
Para além da divisão do modelo 2D em diversos elementos (configuração a detalhar no

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Abaqus), terá de se indicar o número de nós que se pretende introduzir em cada elemento.
Posteriormente, pretender-se-á determinar os deslocamentos de cada nó na horizontal (𝑢𝑖), na
vertical (𝑣𝑖) e a respetiva função de interpolação (𝜓𝑖), para o nó i.
𝜓𝑖(𝑥𝑗, 𝑦𝑗) = 𝛿𝑖𝑗
De seguida, determinar-se-ão as funções de interpolação para elementos triangulares de 3 nós
e quadrados de 4 nós.
Elementos Triangulares de 3 Nós
Pretende-se obter uma função que retorne 1 quando se trata
do próprio nó e 0, para os outros 2. Assim, a solução terá de ser do
tipo: 𝜓𝑖(𝑥, 𝑦) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 (equação de um plano).
{
𝜓1(𝑥, 𝑦) =
1
2𝐴
[(𝑥2 𝑦3 − 𝑥3 𝑦2) + (𝑦2 − 𝑦3)𝑥 + (𝑥3 − 𝑥2)𝑦]
𝜓2(𝑥, 𝑦) =
1
2𝐴
[(𝑥3 𝑦1 − 𝑥1 𝑦3) + (𝑦3 − 𝑦1)𝑥 + (𝑥1 − 𝑥3)𝑦]
𝜓3(𝑥, 𝑦) =
1
2𝐴
[(𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1) + (𝑦1 − 𝑦2)𝑥 + (𝑥2 − 𝑥1)𝑦]
Elementos Quadrangulares de 4 Nós
Ao contrário do que se verificou para o elemento
triangular, agora não se espera obter um plano interpolador,
mas sim uma figura geométrica com alguma curvatura. Assim,
a equação a determinar deverá ser do tipo:
𝜓𝑖(𝑥, 𝑦) = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑𝑥𝑦
{
𝜓1(𝑥, 𝑦) = (1 −
𝑥
𝑎
)(1 −
𝑦
𝑏
)
𝜓2(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑎
(1 −
𝑦
𝑏
)
𝜓3(𝑥, 𝑦) =
𝑥𝑦
𝑎𝑏
𝜓4(𝑥, 𝑦) = (1 −
𝑥
𝑎
)
𝑦
𝑏
O último passo deste método será a assemblagem. Para tal, será necessário obter a matriz
Figura 2 - Elemento triangular.
Figura 3 - Elemento quadrangular.

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de rigidez K. Apresenta-se de seguida a equação a partir da qual se poderá extraí-la:
[𝐾 𝑒] = ℎ 𝑒 ∫ [𝐵 𝑒] 𝑇[𝐶 𝑒][𝐵 𝑒]𝑑𝑥𝑑𝑦
Ω 𝑒
Onde [C] corresponde à matriz das propriedades elástica
[𝜓] = [
𝜓1
0
0
𝜓1
𝜓2
0
0
𝜓2
𝜓3
0
0
𝜓3
] = [
𝜓1
0
0
𝜓1
𝜓2
0
0
𝜓2
𝜓3
0
0
𝜓3
]
[𝑇] =
[
𝜕
𝜕𝑥
0
0
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥]
[𝐵 𝑒] = [𝑇][𝜓] =
[
𝜕
𝜕𝑥
0
0
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥]
[
𝜓1
0
0
𝜓1
𝜓2
0
0
𝜓2
𝜓3
0
0
𝜓3
] =
[
𝜕𝜓1
𝜕𝑥
0
𝜕𝜓2
𝜕𝑥
0
𝜕𝜓3
𝜕𝑥
0
0
𝜕𝜓1
𝜕𝑦
0
𝜕𝜓2
𝜕𝑦
0
𝜕𝜓3
𝜕𝑦
𝜕𝜓1
𝜕𝑦
𝜕𝜓1
𝜕𝑥
𝜕𝜓2
𝜕𝑦
𝜕𝜓2
𝜕𝑥
𝜕𝜓3
𝜕𝑦
𝜕𝜓3
𝜕𝑥 ]
Por outro lado, a matriz dos coeficientes de elasticidade é dada por:
[𝐶 𝑒] =
[
(1 − 𝜈)𝐸
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
𝜈𝐸
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
0
𝜈𝐸
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
(1 − 𝜈)𝐸
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
0
0 0
(1 − 2𝜈)𝐸
2(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)]
Obtém-se este resultado considerando o osso em estudo um material isotrópico, linear e
elástico. Caso contrário, o resultado seria diferente.
Finalmente, tendo já apresentado todos os dados necessários para o cálculo do tensor de
rigidez, prossegue-se para a determinação dos deslocamentos do corpo.
Para tal deverá começar-se por introduzir a relação a partir da qual se poderá obter 𝑢:
[𝐾][𝑢] = [𝑓] + [𝑡]
As matrizes [f] e [t] poderão obter-se resolvendo as 2 equações integrais que se
apresentam:

10
[𝑓] = ℎ 𝑒 ∫ [𝜓] 𝑇
[
𝑓𝑥
𝑓𝑦
] 𝑑𝑥𝑑𝑦
l 𝑒
[𝑡] = ℎ 𝑒 ∫ [𝜓] 𝑇
[
𝑡 𝑥
𝑡 𝑦
] 𝑑𝑥𝑑𝑦
Γ 𝑒
Adicionalmente, considera-se [𝑢] definido da seguinte forma:
[𝑢] = [
𝑢(𝑥, 𝑦)
𝑣(𝑥, 𝑦)
] = [
∑ 𝑢𝑖 𝜓𝑖
𝑁
𝑖=1
∑ 𝑣𝑖 𝜓𝑖
𝑁
𝑖=1
], N=3 ou N=4 (elementos triangulares ou quadrangulares,
respetivamente).
Tensão de von Mises
Esta grandeza permite prever a tensão a partir da qual os materiais (dúcteis) abandonam
o seu comportamento elástico linear e entram na zona de deformação plástica.
𝜎𝜈 = √
(𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼)2 + (𝜎𝐼 − 𝜎𝐼𝐼𝐼)2 + (𝜎𝐼𝐼𝐼 − 𝜎𝐼𝐼)2
2
Esta equação pode também ser escrita da seguinte forma, para um estado plano de tensão:
𝜎𝜈 = √𝜎𝐼
2 + 𝜎𝐼𝐼
2 − 𝜎𝐼 𝜎𝐼𝐼
𝜎𝐼𝐼𝐼 = 0
𝜎𝐼, 𝜎𝐼𝐼, 𝜎𝐼𝐼𝐼 – Tensões segundo as direções principais.

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4. METODOLOGIA
4.1 Criação do Modelo
O primeiro passo deste trabalho computacional consistiu na criação de um
modelo do osso em estudo, digitalmente. Para tal, reproduziu-se a imagem presente no
enunciado diretamente no Abaqus. Para além da geometria exterior, teve-se o cuidado de definir
cada uma das 3 zonas distintas presentes no osso. Isto é, Representaram-se também os contornos
que delimitam as 3 áreas seguintes: medula óssea, osso trabecular e osso cortical. Tendo
concluído com sucesso este passo, avançou-se para a criação de diferentes tipos de malhas sobre
esta estrutura.
Figura 4 - Modelo do fémur desenhado
no Abaqus.
Figura 5 - Modelo original do osso presente no
enunciado do projeto. É possível visualizar as 3
áreas distintas em que o modelo se encontra
dividido.

12
4.2 Tipos de Malhas
De forma a averiguar que tipo de malha melhor se adequaria ao modelo em estudo,
determinaram-se todos os resultados pretendidos recorrendo a 20 elementos finitos com
conformações e tamanhos distintos. De facto a análise foi elaborada para malhas constituídas
por:
Triângulos
Com 3 e 6 nós. E para cada um destes utilizaram-se 5 tamanhos distintos. Totalizando,
10 modelos diferentes.
Tal como seria de esperar, não foi possível observar a partir do modelo da malha, o
número de nós associado a cada elemento.
Figura 6 - Malha de elementos
triangulares (Seeds de tamanho
5) com 4 nós.
triangulares (Seeds de
tamanho 5) com 8 nós.

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Quadrados
Por outro lado, foram também determinadas a tensão de von Mises, 𝜎11, 𝜎22, 𝜎12 e os
deslocamentos 𝑈1 e 𝑈2 (tal como anteriormente), para malhas constituídas por elementos
quadrados. Mais uma vez, utilizou-se um conjunto de 5 tamanhos distintos para dois tipos de
elementos: com 4 e 8 nós.
quadrangulares (Seeds de
quadrangulares (Seeds de

14
4.3 Aplicação das Forças e das Condições Fronteira
Tendo já o modelo criado e inserido no software de análise de elementos finitos, Abaqus,
teve-se de indicar não só as forças a serem aplicadas no fémur, bem como as condições de
fronteira presentes.
Relativamente à aplicação de forças, estaremos a trabalhar com 2 forças (Fa e Fh), com
componentes verticais e horizontais (Tabela 1 e Figura 1). A primeira força é provocada pelo
músculo abdutor, enquanto a segunda será pela anca. Estas forças foram introduzidas
pontualmente no modelo. Isto significa que apenas 2 pontos à superfície do osso estão
diretamente a ser sujeitos a ambas.
Tal como é sugerido no enunciado do problema, considerou-se que a parte da diáfise do
osso se encontrava imóvel (encastrada). Ou seja, tal como se verificará adiante, os
deslocamentos nesta zona serão praticamente nulos. De certa forma, esta aproximação tornará
os valores obtidos para esta região pouco reais, pelo que não a deveremos considerar na análise.
Esta condição de fronteira é importatíssima, já que sem ela, o problema não teria solução.
4.4 Refinamento das Malhas
Tal como já foi referido, utilizaram-se 5 tamanhos distintos de elementos, quer para os
triangulares, quer para os quadrados. Assim, começou-se por atribuir o tamanho de 5 (tamanho
dos Seeds do Abaqus) e reduziu-se sucessivamente para 3, 2, 1 e, finalmente, 0.5.
Paralelamente, analisou-se a convergência de cada modelo no Excel (para 3 mesh points
distintos). Dito isto, não será de estranhar que o número de elementos na malha se tenha
apresentado progressivamente superior. Será precisamente em função deste número que se
averiguará a convergência das soluções.
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
5.1 Conformação deformada e deslocamentos
Nesta secção do trabalho apresentam-se imagens referentes à configuração deformada,
bem como aos deslocamentos sofridos pelo osso, segundo as direções x e y. Devido à enorme
semelhança nos resultados obtidos para os deslocamentos para os diferentes tamanhos de malha
e diferentes tipos de elemento, optou-se por representar as figuras relativas a um tamanho de 5
(tamanho dos Seeds do Abaqus), com elementos quadrados de 4 nós. As restantes malhas são
apresentadas em anexo.
Encastramento
Apoio estrutural que impede movimentos de rotação e
translação.

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Em primeiro lugar, relativamente à deformada, a análise das figuras apresentadas
permite concluir que as duas forças aplicadas, Fh e Fa, criam um momento sobre o fémur.
Em relação aos deslocamentos, há que referir que, tal como seria de esperar, observam-
se deslocamentos nulos na parte encastrada do modelo (base de diáfise) e máximos horizontais
e verticais na cabeça do fémur e trocânter maior.
Pela análise da figura (a) constata-se que houve deslocamento para a direita da cabeça
e trocânter maior, no sentido do positivo do eixo das abcissas (evidenciado pela coloração
vermelha dessas zonas). Verifica-se igualmente deslocamento no sentido positivo do eixo das
ordenadas, por observação da Figura 10 (b). Tal pode ser atribuído a Fa, que possui componente
positiva segundo o eixo YY. Já a força Fh é responsável pelo deslocamento negativo segundo
este mesmo eixo, como observável pela coloração azul da parte direita da cabeça do fémur.
Por último, há que referir que os deslocamentos diminuem à medida que nos afastamos
da zona onde as forças estão a ser aplicadas até à parte inferior do osso.
5.2 Distribuição das tensões
Relativamente à análise da distribuição de tensões, obtiveram-se resultados semelhantes
para os diferentes tipos de elementos (quadrados de 4 e 8 nós e triângulos de 3 e 6 nós). Além
disso, a evolução da distribuição das tensões com a variação do tamanho dos elementos da
malha foi também semelhante para os vários tamanhos, quer para a tensão de von Mises, quer
para as tensões segundo as direcções XX, YY e XY (correspondentes às tensões normais
segundo os eixos XX (𝜎11), YY (𝜎22) e a tensões tangenciais (𝜎12), respetivamente), pelo que,
Figura 10 – Deslocamentos segundo x (a) e y (b), com sobreposição da configuração
deformada, para uma malha quadrangular de 4 nós
(a) (b)

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para fins de visualização, são apenas apresentadas as distribuições da tensão de von Mises, XX,
YY e XY para a malha quadrangular de 4 nós, de tamanho 5. As restantes malhas são
apresentadas em anexo.
Um ponto importante a considerar na análise das imagens que se apresentam, é o sinal
(positivo/negativo) das tensões de interesse, assumindo-se que uma tensão positiva corresponde
a um esforço de tração e uma negativa de compressão. Dito isto, facilmente se relaciona cada
uma das situações com as direções e sentidos das forças aplicadas.
Analisando em primeiro lugar a distribuição da tensão de von Mises, observa-se que as
zonas de maior tensão correspondem a elementos adjacentes aos pontos onde são aplicadas as
forças. Além disso, a aplicação de Fa e Fh provocam compressão perto do segmento inicial da
diáfise do osso, na região de osso compacto (o que se percebe facilmente pela análise dos
deslocamentos efetuada na secção anterior). De facto, podemos observar que a grande maioria
da tensão é suportada pelo osso compacto, o que leva a concluir que não há dependência das
(a)
Figura 11 – Distribuição da tensão de von Mises (a) e tensões segundo XX (b), YY (c) e XY (d),
para uma malha quadrangular de 4 nós e tamanho 5.
(b)(a)
(c) (d)

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regiões de medula e osso trabecular, i. e., poderíamos alterar as propriedades destes dois
materiais sem afetar a distribuição de tensões. De facto, experimentando com um material com
módulo de Young consideravelmente mais baixo que o do osso trabecular ou medula, constatar-
se-ia isto mesmo. O osso compacto acumula, portanto, as maiores tensões.
Relativamente à tensão segundo o eixo XX, verifica-se que assume valores positivos em
todo o osso (exceto no ponto de aplicação de Fh), com valores superiores entre a cabeça do
fémur e o trocânter, e na região de osso trabecular. Os valores negativos correspondem à
componente negativa de Fh segundo este eixo.
Para a tensão segundo YY, verifica-se que as regiões da medula e osso trabecular
apresentam os mesmos valores positivos de tensão, evidenciado pela cor verde em toda a região
interna do osso, sendo as variações de tensão mais evidentes no osso compacto. De facto, no
segmento do lado direito da figura, na região de osso compacto, observam-se valores negativos
de tensão, enquanto que no segmento “paralelo” do lado esquerdo os valores são positivos. Este
contraste e complementaridade são explicados pelos deslocamentos segundo o eixo YY: as
forças aplicadas provocam um deslocamento negativo segundo o eixo na região direita, no
segmento de osso compacto inferior à cabeça do fémur, o que se traduz numa tração neste
sentido (ou, por outras palavras, uma “compressão negativa”), ocorrendo o oposto no segmento
do lado esquerdo, inferior ao trocânter (ocorre compressão segundo o eixo, devido a um
deslocamento vertical positivo). Mais uma vez, a tensão é suportada pelo osso compacto.
Por fim, tem-se a análise da tensão segundo XY, a tensão de corte (tensão tangencial,
𝜎12). Esta corresponde à tensão de distorção do material, não estando associada a tração ou
compressão. De uma forma geral, a distorção é máxima na superfície abaixo da cabeça do
fémur.
6. ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA
A fim de simplificar a análise da convergência deste caso, considerou-se a peça como um
elemento 2D, passando este a ser num problema de tensão plana. Procedeu-se assim a uma
análise bidimensional, em que foram avaliadas várias tensões, entre as quais a tensão de von
Mises e as tensões segundo as direções XX, YY e XY. Os valores destas tensões que se
apresentam nos seguintes gráficos foram obtidos por refinação sucessiva de diferentes tipos de
malhas: triangular de 3 nós (linear) – “Tri_L”, triangular de 6 nós (quadrática) – “Tri_Q”,
quadrangular de 4 nós (linear) – “Quad_L”, e quadrangular de 8 nós (quadrática) – “Quad_Q”,
para tamanhos de 5, 3, 2, 1 e 0,5 (tamanho dos Seeds do Abaqus). Esta análise foi ainda efetuada
para 3 pontos distintos do osso, cada um numa região com material diferente: o Ponto 1 situado
na zona de osso trabecular, o Ponto 2 na parte de osso compacto, na zona onde se observou que
a tensão de von Mises era mais intensa, e o Ponto 3 localizado perto da base do osso, onde se
encontra o encastramento e os valores de tensão têm uma intensidade bastante reduzida. Nesta
secção foram consideradas cargas concentradas, estando as forças Fh e Fa aplicadas cada uma
em seu ponto.

18
6.1 Convergência para a tensão de von Mises
Em todos os pontos analisados é possível observar os gráficos a convergir para valores
muito próximos. Ao comparar os gráficos obtidos para os vários elementos estudados, é
possível concluir que os quadráticos, quer triangulares quer quadrados, permitem uma
convergência mais rápida, aproximando melhor à solução relativamente aos elementos lineares.
De facto, esperavam-se resultados deste tipo, já que os elementos quadráticos apresentam um
maior número de nós, o que possibilita convergência mais rápida para a solução (recorde-se
que um maior número de nós implica um maior grau do polinómio interpolador).
Uma outra observação prende-se com o facto de a convergência se dar para o mesmo
número de elementos (aproximadamente), para os cinco tamanhos, exceto para elementos
triangulares, quer quadráticos quer lineares, convergindo para um maior número de elementos
neste caso (o que seria de esperar, uma vez que permitem um maior número de elementos para
a mesma área).
Gráfico 1 – Tensão de von Mises em função do nº de
elementos em cada malha para o Ponto 1.
Gráfico 2 – Tensão de von Mises em função do nº de
Gráfico 3 – Tensão de von Mises em função do nº de elementos em
cada malha para o Ponto 3.

19
6.2 Convergência para as tensões segundo XX, YY e XY
Gráfico 5 – Tensão segundo YY em função do nº de
Gráfico 6 – Tensão segundo XY em função do nº de
Gráfico 7 – Tensão segundo XX em função do nº de
Gráfico 4 – Tensão segundo XX em função do nº de
Gráfico 8 – Tensão segundo YY em função do nº de

20
Gráfico 9 – Tensão segundo XY em função do nº de
Gráfico 10 – Tensão segundo XX em função do nº
de elementos em cada malha para o Ponto 3.
Gráfico 12 – Tensão segundo XY em função do nº
Gráfico 11 – Tensão segundo YY em função do nº

21
A análise da convergência apresentada acima teve como objetivo principal a determinação
da melhor malha para o estudo do comportamento do osso. Analisando em concreto os gráficos
obtidos podemos afirmar que, de um modo geral, verifica-se convergência para todas as tensões,
nos três pontos analisados, para todos os elementos. Além disso, os gráficos permitem uma
leitura concreta dos valores das tensões, confirmando a análise anterior da distribuição das
mesmas.
Em termos da convergência propriamente dita observa-se, à semelhança do sucedido para
von Mises, que a convergência é mais rápida para elementos quadráticos comparativamente a
elementos lineares, devido ao maior número de nós. Além disso, para elementos triangulares
existem mais elementos, já que é possível encaixar mais triângulos que quadrados numa mesma
área, para o mesmo tamanho considerado. Ainda dentro da comparação entre elementos
triangulares e quadrados, tem-se que os primeiros convergem mais lentamente, tanto no caso
linear como no caso quadrático.
Há ainda que referir que, embora se obtenham resultados semelhantes em última instância,
com malhas triangulares obtêm-se bastantes mais elementos, o que implica um maior custo em
termos computacionais. Assim sendo, concluímos que a malha de elementos quadrangulares
quadráticos permite obter bons resultados, sem a agravante do custo. Com base nisto, foi
escolhida uma malha deste tipo para análises posteriores.
6.3. Comparação entre carga distribuída e carga concentrada
Apesar de se ter optado por fazer a análise de convergência aplicando cargas concentradas
no osso, foi ainda feita uma análise para a melhor malha (quadrangular quadrática) com cargas
distribuídas em detrimento das concentradas.
Na figura 12 encontra-se a representação das Loads aplicadas no osso. À esquerda pode-se
observar que as forças Fa e Fh se encontram aplicadas num só ponto (cargas concentradas),
enquanto que à direita se observam as forças acima referidas aplicadas ao longo de uma
superfície (cargas distribuídas).
Assim, foram traçados os gráficos para cada um dos três pontos analisados que relacionam
Figura 12 - Cargas concentradas Fa e Fh no osso à esquerda e cargas distribuídas Fa e Fh à direita.

22
a intensidade da tensão de von Mises com o número de elementos da malha usada.
Gráfico 13 – Tensão de von Mises em função do número de elementos no Ponto 1 para
cargas concentradas e para cargas distribuídas.

23
Da observação dos gráficos obtidos é possível verificar que os resultados são bastante
parecidos em termos de convergência. Nota-se porém uma pequena diferença nos valores para
os quais cada uma das tensões converge, sendo que nos pontos mais próximos da aplicação das
cargas (gráficos 13 e 14) a tensão de von Mises tem intensidades de valor mais elevado para o
caso das cargas distribuídas do que para o caso das cargas concentradas, enquanto que no ponto
mais afastado dessas mesmas cargas (gráfico x3) o que se verifica é o oposto. No entanto, como
esta diferença não é muito grande, conclui-se que optar por uma maneira de aplicar as forças
ou por outra não altera significativamente os resultados e portanto conclui-se que a análise de
convergência poderia ter sido feita com qualquer uma das duas opções, não sendo este um fator
que influencie os resultados.
7. CONCLUSÕES
Por tudo o que foi dito até agora, consideraram-se inúmeras aproximações que
inevitavelmente contribuíram para um certo afastamento dos valores que seriam de esperar num
caso real.
Por exemplo, o facto de se ter considerado que a diáfise se encontrava encastrada, de certa
forma, invalidou os resultados obtidos nessa região do osso.
Segundo, considerou-se o modelo dividido em apenas 3 zonas distintas: medula óssea, zona
trabecular e cortical. Anatomicamente, sabe-se que dentro de cada uma destas regiões, as
caraterísticas físicas dos materiais não são as mesmas (nomeadamente, módulo de Young e
coeficiente Poisson). Um dos fatores que mais contribui para isto, é o facto do osso não ser

24
exclusivamente constituído por células, nem por matéria inorgânica. Na verdade, existe um
balanço entre estes 2 constituintes que não é constante no tempo, pelo que se limita a validade
do modelo a um curto período temporal. Do ponto de vista médico, dependendo da idade do
doente, do estado de saúde (por exemplo, se padece de osteoporose) terá de existir um reajuste
nas constantes elásticas, de forma a englobar estas caraterísticas. A própria morfologia do osso,
onde se observa um alinhamento das fibras de colagénio ao longo do comprimento do mesmo,
contribui para esta variabilidade de estados (apesar de neste caso se poder considerá-lo
transversalmente isotrópico). Ou seja, na verdade, ao contrário do que foi aqui considerado, o
osso não se trata de um material isotrópico, mas anisotrópico. Pelo que seriam necessárias
bastantes mais do que 2 constantes elásticas para o definir.
A somar ao que foi descrito no parágrafo anterior, relembra-se que este é um modelo
bidimensional (e o osso é tridimensional). Esta aproximação foi possível introduzir uma vez
que a dimensão a desprezar é consideravelmente inferior às outras duas.
No entanto, existem também vários pontos positivos a retirar desta análise computacional.
Nomeadamente, dada a simplicidade do software de análise, foi possível realizar múltiplas
simulações, cada uma com diferentes tipos de elementos. Assim, para além de se ter obtido as
tensões e deformações pretendidas, também se ganhou alguma sensibilidade na utilização do
MEF (neste caso em concreto, nem todos os tipos de elementos eram favoráveis para a análise).
Assim, registaram-se resultados mais próximos do esperado para simulações que recorressem
a elementos quadrados, mais pequenos e com maior número de nós.
Um outro ponto positivo do programa prende-se à forma como apresenta os resultados. De
facto, o código de cores utilizado pelo mesmo (comprimento de onda proporcional à magnitude
da variável) permite-nos observar de uma forma bastante intuitiva e clara os diferentes valores
que a variável de interesse toma em todo o objeto.
Conclui-se que este software foi adequado à resolução do nosso problema, demonstrando
coerência nos resultados obtidos.
É importante destacar que a utilização deste software não se limita à área médica. Na
verdade, um variadíssimo leque de aplicações pode ser dado ao Abaqus e ao MEF (por exemplo,
construção civil, aviação, desportistas de alta-competição…). Apesar do modelo bastante
simplificado que se considerou neste trabalho, é possível realizar análises dinâmicas e bastante
mais complexas recorrendo ao mesmo programa. Pelo que não é de estranhar que este possua
um enorme potencial para aplicações futuras.
8. REFERÊNCIAS
[1] F. Beer, R. Johnston e J. DeWolf, Mecânica dos Materiais, 3ª edição, McGrawHill, 2003.
[2] J. N. Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, 3ª edição, McGrawHill, 2006.
[3] P. R. Fernandes, J. Folgado e R. B. Ruben, Shape optimization of a cementless hip stem
for a minimum of interface stress and displacement, Computer Methods in Biomechanics
and Biomedical Engineering, 7, 51-61 (2004).

25
9. ANEXOS
9.1 Anexo 1
Abaqus é um software comercial destinado à
análise de qualquer tipo de estrutura mecânica,
por elementos finitos. Foi desenvolvido pela HKS Inc.
de Rhode Island, Estados Unidos e agora
comercializado pela SIMULIA marca da Dassault
Systemes S.A.
O conjunto de produtos Abaqus consiste em três produtos principais: Abaqus / Standard,
Abaqus / Explicit e Abaqus / CAE. Neste trabalho utilizou-se o último da lista.
9.2 Anexo 2
Tal como se estudou em Mecânica dos Meios Contínuos, o osso é
considerado um material frágil. Isto porque, ao contrário de outros corpos,
dificilmente consegue absorver muita energia quando sujeito a tensões que
o estão a deformar. Assim, não será de estranhar que apresente um módulo
de Young relativamente elevado. Pelo menos, quando comparado com o
osso esponjoso e com a medula óssea, já que estes apresentam um
comportamento dúctil que não se deve desprezar. Aliás, os valores teóricos
presentes na tabela 3, sugerem isto mesmo.
Apesar do que foi dito atrás, não é de ignorar a zona de tensões onde
poderemos observar um comportamento elástico no osso, nomeadamente no
cortical. Tal como sugere a figura 13, é possível distinguir vários intervalos
vincadamente distintos, relativamente à forma como as tensões (no material)
reagem à deformação.
O-A
Zona linear elástica. O módulo de Young encontra-se definido como
sendo o declive desta reta (aproximadamente).
A-B
1 - Trocânter maior 2 - Cabeça do fémur 3 - Diáfise
2
1
3
Figura 13 - Fémur

26
Zona elástica. Apesar do material ainda conseguir regressar à sua forma inicial, já não
existe uma proporcionalidade direta entre as deformações e as tensões.
Estas 2 zonas acabam por ser as mais importantes para o trabalho atual, já que estamos
a admitir a presença do osso entre O e A.
B-C
Pode-se ainda identificar mais uma zona na Figura 14. É possível verificar que este troço
se encontra praticamente na horizontal, o que sugere que apesar da tensão de manter constante
o material continua a deformar-se. Usualmente, designa-se esta zona por patamar de cedência
e o valor da tensão correspondente de tensão de cedência. Caso seja retirada a força que se
encontra a deformar o material, este não conseguirá retornar à sua conformação inicial. Por
outras palavras, a deformação tornou-se irreversível.
C-D
Nesta penúltima região, verifica-se um endurecimento do material. Já que para aumentar
a deformação do mesmo, torna-se necessário aumentar-se os níveis de tensão a que este é
sujeito. Habitualmente, a tensão máxima no ponto D é designada tensão de rutura, apesar da
rutura não acontecer neste ponto.
D-E
Este é o último troço do gráfico. Será no ponto E que o material entrará em rutura e,
consequentemente, fragmentará.
E (GPA) 𝝂
OSSO COMPACTO 20 0.3
OSSO TRABECULAR 3 0.3
MEDULA ÓSSEA 0.05 0.3
Tabela 3 - Propriedades dos materiais presentes no modelo.
Figura 14 - Curva que descreve o
comportamento de um material à tração. Figura 15 - Material frágil
vs dúctil.

27
9.3 Anexo 3
Tensão de von Mises
Ponto 1
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho (Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)
5 4010 66,5409 5 4010 66,8046
3 4236 66,66204 3 4236 66,8114
2 4606 66,6084 2 4606 66,8274
1 6937 66,6993 1 6937 66,7803
0,5 14654 66,772 0,5 14654 66,7734
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho (Seeds) Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho (Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)
5 1751 66,7439 5 1751 66,7425
3 1994 66,5916 3 1994 66,7366
2 2392 66,8025 2 2392 66,7515
1 3482 66,8484 1 3482 66,7545
0,5 7861 66,7529 0,5 7861 66,7616
Ponto 2
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
Nº elementos Tensão (MPa)
Tamanho
(Seeds)
5 4010 905,538 5 4010 894,716
3 4236 909,816 3 4236 889,43
2 4606 901,477 2 4606 885,144
1 6937 888,077 1 6937 892,105
0,5 14654 890,293 0,5 14654 888,555

28
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho
(Seeds)
5 1751 898,961 5 1751 889,009
3 1994 905,036 3 1994 887,898
2 2392 906,003 2 2392 886,937
1 3482 897,462 1 3482 888,236
0,5 7861 890,885 0,5 7861 890,222
Ponto 3
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
Tamanho
(Seeds)
5 4010 1,125475 5 4010 1,27334
3 4236 1,16068 3 4236 1,2738
2 4606 1,1629 2 4606 1,27403
1 6937 1,21782 1 6937 1,27348
0,5 14654 1,26031 0,5 14654 1,27504
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
Nº elementos Tensão (MPa) Tamanho (Seeds) Nº elementos Tensão (MPa)
5 1751 1,34086 5 1751 1,27303
3 1994 1,34277 3 1994 1,27315
2 2392 1,2336 2 2392 1,2732
1 3482 1,37573 1 3482 1,27321
0,5 7861 1,28395 0,5 7861 1,27466

29
9.4 Anexo 4
Tensão S11
Ponto 1
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 4010 -12,0442 5 4010 -12,0292
3 4236 -12,0983 3 4236 -12,0205
2 4606 -12,2152 2 4606 -12,0137
1 6937 -12,1077 1 6937 -12,0124
0,5 14654 -12,0012 0,5 14654 -12,0101
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 1751 -11,9662 5 1751 -11,9696
3 1994 -11,8616 3 1994 -11,9756
2 2392 -12,0279 2 2392 -11,982
1 3482 -11,9909 1 3482 -11,9955
0,5 7861 -11,9993 0,5 7861 -12,0041

30
Ponto 2
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 4010 4,02024 5 4010 -22,5789
3 4236 -1,58629 3 4236 -26,6754
2 4606 -5,02933 2 4606 -27,5412
1 6937 -17,8371 1 6937 -25,5628
0,5 14654 -28,3532 0,5 14654 -27,4518
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
Tamanho
(Seeds)
5 1751 -30,7884 5 1751 -36,9415
3 1994 -32,2534 3 1994 -36,2781
2 2392 -32,1891 2 2392 -37,4486
1 3482 -27,4518 1 3482 -28,7474
0,5 7861 -26,8365 0,5 7861 -26,9952
Ponto 3
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
Tamanho
(Seeds)
5 4010 -0,04206 5 4010 -0,03876
3 4236 -0,04066 3 4236 -0,03886
2 4606 -0,04055 2 4606 -0,03894
1 6937 -0,04113 1 6937 -0,03903
0,5 14654 -0,0398 0,5 14654 -0,03909

31
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
Tamanho
(Seeds)
5 1751 -0,0403 5 1751 -0,03905
3 1994 -0,04052 3 1994 -0,03906
2 2392 -0,03101 2 2392 -0,03905
1 3482 -0,03753 1 3482 -0,03907
0,5 7861 -0,03798 0,5 7861 -0,03907
9.5. Anexo 5
Tensão S22
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 4010 43,0227 5 4010 41,9835
3 4236 42,348 3 4236 42,0107
2 4606 42,2807 2 4606 42,0182
1 6937 42,0648 1 6937 42,017
0,5 14654 41,9352 0,5 14654 42,0195

32
Ponto 1
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 1751 41,8242 5 1751 42,0445
3 1994 42,1057 3 1994 42,0376
2 2392 42,2698 2 2392 42,0311
1 3482 42,1845 1 3482 42,0238
0,5 7861 42,0992 0,5 7861 42,023
Ponto 2
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 4010 -905,997 5 4010 -904,011
3 4236 -915,904 3 4236 -900,819
2 4606 -895,211 2 4606 -897,198
1 6937 -894,521 1 6937 -901,66
0,5 14654 -902,115 0,5 14654 -900,725
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
Tamanho
(Seeds)
5 1751 -903,57 5 1751 -905,736
3 1994 -909,175 3 1994 -904,235
2 2392 -912,802 2 2392 -903,323
1 3482 -899,995 1 3482 -902,276
0,5 7861 -901,112 0,5 7861 -899,905

33
Ponto 3
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 4010 -0,13528 5 4010 -0,12788
3 4236 -0,13033 3 4236 -0,12068
2 4606 -0,12995 2 4606 -0,12815
1 6937 -0,13266 1 6937 -0,12828
0,5 14654 -0,1303 0,5 14654 -0,12843
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 1751 -0,11887 5 1751 -0,12847
3 1994 -0,11888 3 1994 -0,12845
2 2392 -0,10842 2 2392 -0,12833
1 3482 -0,1359 1 3482 -0,12842
0,5 7861 -0,1273 0,5 7861 -0,12838

34
9.6. Anexo 6
Tensão S12
Ponto 1
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
Nº Elementos Tensão (MPa) Tamanho
(Seeds)
5 4010 25,2027 5 4010 26,1435
3 4236 25,8418 3 4236 26,1365
2 4606 25,8192 2 4606 26,1485
1 6937 26,2007 1 6937 26,1097
0,5 14654 26,032 0,5 14654 26,1033
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
Nº Elementos Tensão (MPa)
Tamanho
(Seeds)
Nº Elementos Tensão (MPa)
5 1751 26,1392 5 1751 26,0787
3 1994 26,0275 3 1994 26,0753
2 2392 26,0579 2 2392 26,0893
1 3482 26,1504 1 3482 26,0907
0,5 7861 26,1431 0,5 7861 26,0936

35
Ponto 2
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 4010 -53,866 5 4010 -55,9317
3 4236 -44,6136 3 4236 -54,9623
2 4606 -47,8312 2 4606 -53,456
1 6937 -50,501 1 6937 -55,0696
0,5 14654 -52,8533 0,5 14654 -50,0688
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 1751 -47,0395 5 1751 -57,26
3 1994 -53,4085 3 1994 -55,3115
2 2392 -38,2692 2 2392 -58,139
1 3482 -50,4469 1 3482 -53,9955
0,5 7861 -52,2542 0,5 7861 -50,6055
Ponto 3
Triângulos
3 Nós 6 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 4010 -0,61099 5 4010 -0,73223
3 4236 -0,63187 3 4236 -0,73249
2 4606 -0,63904 2 4606 -0,73262
1 6937 -0,66562 1 6937 -0,7323
0,5 14654 -0,72036 0,5 14654 -0,7332

36
Quadrados
4 Nós 8 Nós
Tamanho
(Seeds)
(Seeds)
5 1751 -0,7738 5 1751 -0,73203
3 1994 -0,77485 3 1994 -0,7321
2 2392 -0,73669 2 2392 -0,73213
1 3482 -0,76552 1 3482 -0,73213
0,5 7861 -0,74243 0,5 7861 -0,73298

37
10. Anexo 10
Tensões e descolamentos para elementos triangulares de 3 nós.
Esquema de ordenação constante para as páginas seguintes (ver Tabela à direita)
0.5 (Tamanho dos Seeds)
1 - von Mises 2 - S11
3 - S12 4 - S22
5 - U1 6 - U2

38
1 (Tamanho dos Seeds)

39

40

41
Tensões e descolamentos para elementos triangulares de 6 nós.
0.5 (Tamanho dos Seeds)

42

43

44

45
7.7 ANEXO 8
Tensões e descolamentos para elementos quadrangulares de 4 nós.
0,5 (Tamanho dos Seeds)

46

47

48

49
Tensões e descolamentos para elementos quadrangulares de 8 nós.
0,5 (Tamanho dos Seeds)

50

51

52

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