Defesa apresentacao

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Apresentação da defesa de mestrado 'Relaxação magnética em ligas magnéticas diluídas'

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Defesa apresentacao

  1. 1. Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas Krissia de Zawadzki Instituto de F´ ısica de S˜o Carlos - Universidade de S˜o Paulo a a Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 1 / 31
  2. 2. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Sum´rio a 1 Introdu¸˜o ca 2 Nuvem Kondo e NMR 3 Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e 4 Resultados num´ricos e 5 Conclus˜es o Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 2 / 31
  3. 3. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Um pouco de hist´ria o Um pouco de hist´ria o 1936: M´ ınimo de resistividade 𝜌 a baixas temperaturas 𝜌 𝑚𝑖𝑛 contrariava a teoria de resistividade dos metais 1964: espalhamento anˆmalo residual seria associado a impurezas o magn´ticas e Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 3 / 31
  4. 4. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos In´ do problema Kondo ıcio In´ do problema Kondo ıcio Resistivity 𝜌(𝑇 ) = 𝜌0 +𝑐 𝑚 ln( 𝑇𝜇 )+𝑎𝑇 2 +𝑏𝑇 5 Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 4 / 31
  5. 5. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos A Nuvem Kondo A Nuvem Kondo 𝑅 𝑅𝑘 𝐾 ∝ 1 𝑇 𝐾 Para 𝑇 𝐾 e 𝑣 𝐹 t´ ıpicos 𝜉 𝐾 ∼ 1𝜇m mesosc´pico? Efeito Kondo o em nanoestruturas ? Diversas abordagens te´ricas e experimentais em o Mat´ria Condensada e Medida da nuvem Kondo Estimativa qualitativa[1] 𝜉 𝐾 = 𝑣 𝐹 /𝑘 𝐵 𝑇 𝐾 [1] BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007. Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 5 / 31
  6. 6. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos A Nuvem Kondo A Nuvem Kondo 𝑅 𝑅𝑘 𝐾 ∝ 1 𝑇 𝐾 Para 𝑇 𝐾 e 𝑣 𝐹 t´ ıpicos 𝜉 𝐾 ∼ 1𝜇m mesosc´pico? Efeito Kondo o em nanoestruturas ? Diversas abordagens te´ricas e experimentais em o Mat´ria Condensada e Medida da nuvem Kondo Estimativa qualitativa[1] 𝜉 𝐾 = 𝑣 𝐹 /𝑘 𝐵 𝑇 𝐾 [1] BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007. Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 5 / 31
  7. 7. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos A Nuvem Kondo A Nuvem Kondo 𝑅 𝑅𝑘 𝐾 ∝ 1 𝑇 𝐾 Para 𝑇 𝐾 e 𝑣 𝐹 t´ ıpicos 𝜉 𝐾 ∼ 1𝜇m mesosc´pico? Efeito Kondo o em nanoestruturas ? Diversas abordagens te´ricas e experimentais em o Mat´ria Condensada e Medida da nuvem Kondo Estimativa qualitativa[1] 𝜉 𝐾 = 𝑣 𝐹 /𝑘 𝐵 𝑇 𝐾 [1] BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007. Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 5 / 31
  8. 8. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos A Nuvem Kondo A Nuvem Kondo 𝑅 𝑅𝑘 𝐾 ∝ 1 𝑇 𝐾 Para 𝑇 𝐾 e 𝑣 𝐹 t´ ıpicos 𝜉 𝐾 ∼ 1𝜇m mesosc´pico? Efeito Kondo o em nanoestruturas ? Diversas abordagens te´ricas e experimentais em o Mat´ria Condensada e Medida da nuvem Kondo Estimativa qualitativa[1] 𝜉 𝐾 = 𝑣 𝐹 /𝑘 𝐵 𝑇 𝐾 [1] BORDA, L. Phys Rev B, 75(4), 2007. Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 5 / 31
  9. 9. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Medidas de NMR em ligas met´licas a Medidas de NMR em ligas met´licas a Trabalhos experimentais Ligas CuFe a temperaturas 𝑇 𝑇 𝐾 [2] Polariza¸˜o de Fe na presen¸a de 𝐻 ca c ca induzindo 𝜎(𝑟) nos e− de condu¸˜o ao redor da impureza de Fe Resultados an´logos aos de NMR a [2] BOYCE, J.B.;SLICHTER, C.P. Phys Rev Lett, 32(2), 1974. Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 6 / 31
  10. 10. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Medidas de NMR em ligas met´licas a Medidas de NMR em ligas met´licas a 14 M 12 10 Trabalhos experimentais 8 Ligas CuFe a temperaturas 𝑇 𝑇 6 4 T(K) 50 10 30 15 20 15 10 20 5 25 1 30 3 -2 10 (K-1 ) T+29 Resultados an´logos aos de NMR a C -4 -6 Knight shift -8 -10 𝜒(𝑟, 𝑇 ) = 𝑓 (𝑟)𝑔( -12 𝑇 𝑇 𝐾 ) B -14 -16 [2] BOYCE, J.B.;SLICHTER, C.P. Phys Rev Lett, 32(2), 1974. Krissia de Zawadzki [2] Polariza¸˜o de Fe na presen¸a de 𝐻 ca c ca induzindo 𝜎(𝑟) nos e− de condu¸˜o ao redor da impureza de Fe N 2 K0 K 𝐾 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 6 / 31
  11. 11. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Trabalhos precedentes Trabalhos precedentes Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 7 / 31
  12. 12. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Proposta Proposta 𝑅 𝑘 A taxa NMR permite medir 𝑅 𝐾 ? A geometria afeta a nuvem Kondo ? +∞ Abordagem inicial: Geometria esf´rica e −∞ +∞ −∞ z Ponta de prova distante da impureza 𝑅 ≫ 1 Dificuldade an´loga ` experimental a a y x +∞ Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 8 / 31
  13. 13. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Resultados Resultados 1 = 𝑇1 𝑊 (𝜀, 𝑅) na energia caracter´ ıstica sin(𝑘 𝐹 𝑅) 𝑘𝐹 𝑅 𝑐 ¯𝜀 𝑊 𝐹 (𝜀, 𝑅) = (︀ 𝑘𝑅 = 𝑘 𝐹 𝑅 1 + 𝜀 𝐷 )︀ Componentes de 1/𝑇1 𝑓𝑛 Escalar: |¯ 𝜀 |2 → (1 − 𝑊 2 )2 𝑐 𝐹 Fun¸˜o espacial ca 𝑊 (𝜀, 𝑅) = Krissia de Zawadzki sin(𝑘𝑅) 𝑘𝑅 Matricial: |𝑓 𝑛 |2 → 𝑊 2 𝐹 Vetorial: |¯ 𝜀 𝑓 𝑛 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )𝑊 𝐹 𝑐 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 9 / 31
  14. 14. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Resultados Resultados (︂ 1 𝑇1 𝑊 (𝜀, 𝑅) na energia caracter´ ıstica )︂ 𝑊 𝐹 (𝜀, 𝑅) = 𝑠𝑐𝑎 𝑐 ¯𝜀 1 = 𝑇1 sin(𝑘 𝐹 𝑅) 𝑘𝐹 𝑅 (︀ 𝑘𝑅 = 𝑘 𝐹 𝑅 1 + 𝜀 𝐷 )︀ Componentes de 1/𝑇1 𝑓𝑛 Escalar: |¯ 𝜀 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )2 𝑐 Fun¸˜o espacial ca 𝑊 (𝜀, 𝑅) = Krissia de Zawadzki sin(𝑘𝑅) 𝑘𝑅 Matricial: |𝑓 𝑛 |2 → 𝑊 2 𝐹 Vetorial: |¯ 𝜀 𝑓 𝑛 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )𝑊 𝐹 𝑐 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 9 / 31
  15. 15. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Resultados Resultados (︂ 1 𝑇1 )︂ (︂ + 𝑠𝑐𝑎 1 𝑇1 𝑊 (𝜀, 𝑅) na energia caracter´ ıstica )︂ 𝑊 𝐹 (𝜀, 𝑅) = 𝑚𝑎𝑡 𝑐 ¯𝜀 1 = 𝑇1 sin(𝑘 𝐹 𝑅) 𝑘𝐹 𝑅 (︀ 𝑘𝑅 = 𝑘 𝐹 𝑅 1 + 𝜀 𝐷 )︀ Componentes de 1/𝑇1 𝑓𝑛 Escalar: |¯ 𝜀 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )2 𝑐 Fun¸˜o espacial ca 𝑊 (𝜀, 𝑅) = Krissia de Zawadzki sin(𝑘𝑅) 𝑘𝑅 Matricial: |𝑓 𝑛 |2 → 𝑊 2 𝐹 Vetorial: |¯ 𝜀 𝑓 𝑛 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )𝑊 𝐹 𝑐 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 9 / 31
  16. 16. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Resultados Resultados (︂ 1 𝑇1 )︂ (︂ + 𝑠𝑐𝑎 1 𝑇1 )︂ (︂ + 𝑚𝑎𝑡 1 𝑇1 𝑊 (𝜀, 𝑅) na energia caracter´ ıstica )︂ 𝑣𝑒𝑡 𝑐 ¯𝜀 1 = 𝑇1 𝑊 𝐹 (𝜀, 𝑅) = sin(𝑘 𝐹 𝑅) 𝑘𝐹 𝑅 (︀ 𝑘𝑅 = 𝑘 𝐹 𝑅 1 + 𝜀 𝐷 )︀ Componentes de 1/𝑇1 𝑓𝑛 Escalar: |¯ 𝜀 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )2 𝑐 Fun¸˜o espacial ca 𝑊 (𝜀, 𝑅) = Krissia de Zawadzki sin(𝑘𝑅) 𝑘𝑅 Matricial: |𝑓 𝑛 |2 → 𝑊 2 𝐹 Vetorial: |¯ 𝜀 𝑓 𝑛 |2 → (1 − 𝑊 𝐹 )𝑊 𝐹 𝑐 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 9 / 31
  17. 17. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Taxa de relaxa¸˜o para 𝑘 𝐹 𝑅 ≫ 1 ca Taxa de relaxa¸˜o para 𝑘 𝐹 𝑅 ≫ 1 ca 1 = 𝑇1 (︂ 1 𝑇1 )︂ (︂ + 𝑠𝑐𝑎 1 𝑇1 )︂ (︂ + 𝑣𝑒𝑡 1 𝑇1 )︂ 1 sin(𝑘 𝐹 𝑅 + 𝜃) ∝ 𝑓 (𝑇 /𝑇 𝐾 ) 𝑇1 (𝑘 𝐹 𝑅)2 𝑚𝑎𝑡 3.0 1e1 kF R π 2.0 1.5 =100.3 kF R π =70.3 kF R π =50.3 kF R π =30.3 kF R π =10.3 𝑘 𝐹 𝑅 1 Componentes de 1/𝑇1 (︂ )︂ (︂ )︂ 1 1 ≫ 𝑇1 𝑣𝑒𝑡 𝑇1 𝑚𝑎𝑡 kT (kF R)2 1 T1 vet 2.5 =200.3 kF R π 1.0 0.5 0.0 -8 10 10-7 10-6 Krissia de Zawadzki 10-5 kB T 10-4 10-3 10-2 10-1 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 10 / 31
  18. 18. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Taxa de relaxa¸˜o para 𝑘 𝐹 𝑅 ≫ 1 ca Condut^ncia em nanoestruturas a V𝑑 1.0 V 0.8 V𝑤 0.6 Gs G2 Λ =2.25 Λ =3.00 Λ =2.50 0.4 V𝑑 0.2 V𝑤 V𝑤 0.0 𝒢 𝑠𝑖𝑑𝑒 (𝑇 ) = 𝒢2 𝛽𝜋Γ ∑︁ 𝒵 𝜙,𝜓 𝑒 Krissia de Zawadzki |⟨𝜙|𝑓0 |𝜓⟩|2 𝛽𝐸 𝜓 𝛽𝐸 𝜙 + 𝑒 10-2 10-1 𝒢 𝑠𝑒𝑡 (𝑇 ) = 𝒢2 100 𝛽𝜋Γ ∑︁ 𝒵 101 T/TK 𝜙,𝜓 𝑒 102 103 |⟨𝜙|𝑐 𝑑 |𝜓⟩|2 𝛽𝐸 𝜓 𝛽𝐸 𝜙 + 𝑒 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 11 / 31 104
  19. 19. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Desenvolvimentos: Hamiltonianos 𝐻 𝐴 e 𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 , diagonaliza¸˜o NRG e ca c´lculo perturbativo de 1/𝑇1 a Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 12 / 31
  20. 20. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos O sistema qu^ntico a O sistema qu^ntico - I a Hamiltoniano de Anderson 𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐻= ⏞ ∑︁ ⏟ 𝜀k 𝑐† 𝑐k𝜇 k𝜇 k𝜇 𝜀= 𝑣𝐹 𝐷 DoS (𝑘 − 𝑘 𝐹 ) +𝐷 𝜌= 𝑁 2𝐷 𝑘𝐹 −𝐷 Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 13 / 31
  21. 21. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos O sistema qu^ntico a O sistema qu^ntico - I a Hamiltoniano de Anderson 𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐻= ⏞ ∑︁ 𝐻𝑑 ⏟ ⏞ ⏟ ∑︁ 𝜀k 𝑐† 𝑐k𝜇 + 𝜀 𝑑 𝑐†𝑑𝜇 𝑐 𝑑𝜇 + 𝑈 𝑛 𝑑↑ 𝑛 𝑑↓ k𝜇 𝜇 k𝜇 𝜀= 𝑣𝐹 𝐷 DoS (𝑘 − 𝑘 𝐹 ) +𝐷 𝜌= 𝑁 2𝐷 𝑘𝐹 −𝐷 Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 13 / 31
  22. 22. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos O sistema qu^ntico a O sistema qu^ntico - I a Hamiltoniano de Anderson 𝐻 𝑖𝑛𝑡 𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑 𝐻= ⏞ ∑︁ k𝜇 𝐻𝑑 ⏟ ⏞ √︂ ⏟ ⏞ ⏟ ∑︁ Γ ∑︁ 𝑖k.d † † † (𝑒 𝑐k𝜇 𝑐 𝑑𝜇 + 𝐻.𝑐.) 𝜀k 𝑐k𝜇 𝑐k𝜇 + 𝜀 𝑑 𝑐 𝑑𝜇 𝑐 𝑑𝜇 + 𝑈 𝑛 𝑑↑ 𝑛 𝑑↓ + 𝜋 𝜇 k𝜇 Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 13 / 31
  23. 23. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Hamiltonianos de Anderson e NRG Hamiltoniano de Anderson na base de Lanczos 𝐻 = 𝑁 1 𝒟𝑁 (︃ 𝑁 −1 ∑︁ 𝑡 𝑛 (𝑓 † 𝑓 𝑛+1 + 𝐻.𝑐.) + 𝑛 )︃ 2𝑉 (𝑐†𝑑 𝑓0 + 𝐻.𝑐.) + 𝐻 𝑑 ... 𝑒− 𝑒− 𝑒− ... 𝑓 𝑛−9 ... 𝑓 𝑛−2 𝑓 𝑛−1 𝑓 𝑛+1 𝑓𝑛 6 (Q =0,S =0) ... 𝑓 𝑛+2 𝑓 𝑛+9 (Q =0,S =1/2) (Q =1,S =1/2) (Q =1,S =0) (Q =0,S =1) 5 NRG 𝑛=0 𝑒− 6 √ (Q =1,S =1) 5 3 3 EN 4 EN 4 2 2 1 1 0 0 5 10 Krissia de Zawadzki 15 20 N 25 30 35 0 5 10 15 20 N 25 30 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 35 14 / 31
  24. 24. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Base cont´ ınua Base cont´ ınua Operadores 𝑐 𝜀 e 𝑑 𝜀 1 ∑︁ 𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.d 𝑐k𝜇 𝑐 𝜀𝜇 = √ 𝜌 k 1 ∑︁ 𝑑 𝜀𝜇 = √ 𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.R 𝑐k𝜇 𝜌 𝑐𝜀 𝑐 ¯𝜀 k Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 15 / 31
  25. 25. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Base cont´ ınua Base cont´ ınua Operadores 𝑐 𝜀 e 𝑑 𝜀 1 ∑︁ 𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.d 𝑐k𝜇 𝑐 𝜀𝜇 = √ 𝜌 k 1 ∑︁ 𝑑 𝜀𝜇 = √ 𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.R 𝑐k𝜇 𝜌 {𝑐†𝜀𝜇 , 𝑑 𝜀′ 𝜇′ } = sin(𝑘| ⃗ ⃗ 𝑅− 𝑑|) 𝑘| ⃗ ⃗ 𝑅− 𝑑| 𝛿(𝜀 − 𝜀′ )𝛿 𝜇,𝜇′ 𝑐𝜀 𝑐 ¯𝜀 k Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 15 / 31
  26. 26. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Base cont´ ınua Base cont´ ınua Operadores 𝑐 𝜀 e 𝑑 𝜀 1 ∑︁ 𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.d 𝑐k𝜇 𝑐 𝜀𝜇 = √ 𝜌 k 1 ∑︁ 𝑑 𝜀𝜇 = √ 𝛿(𝜀 − 𝜀 𝑘 )𝑒 𝑖k.R 𝑐k𝜇 𝜌 {𝑐†𝜀𝜇 , 𝑑 𝜀′ 𝜇′ } = sin(𝑘| ⃗ ⃗ 𝑅− 𝑑|) 𝑘| ⃗ ⃗ 𝑅− 𝑑| 𝛿(𝜀 − 𝜀′ )𝛿 𝜇,𝜇′ 𝑐 ¯𝜀 k ¯ 𝜀𝜇 = 𝑐 √ 1 (𝑑 𝜀𝜇 1−𝑊 2 𝑊 (𝜀, 𝑅) = sin(𝑘𝑅) 𝑘𝑅 Krissia de Zawadzki 𝑐𝜀 Gram Schmidt − 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑐 𝜀𝜇 ) (︀ 𝑘𝑅 = 𝑘 𝐹 𝑅 1 + 𝜀 𝐷 )︀ Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 15 / 31
  27. 27. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos A ponta de prova O sistema qu^ntico - II a 𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 Hamiltoniano da ponta de prova [︁ ]︁ = −𝐴 Ψ† ( ⃗ ↓ ( ⃗ − + Ψ† ( ⃗ ↑ ( ⃗ + 𝑅)𝐼 𝑅)𝐼 ↑ 𝑅)Ψ ↓ 𝑅)Ψ Ψ 𝜇( ⃗ = 𝑅) ⃗⃗ 𝑒 𝑖 𝑘 𝑅 𝑐 𝑘𝜇 ⃗ 𝑘 Abordagem te´rica o 𝑚 𝑠 = +1/2 energia Taxa de relaxa¸˜o ca longitudinal 1/𝑇1 [3] ∑︁ Δ𝐸 = 𝐸↑ − 𝐸↓ 𝑚 𝑠 = −1/2 𝐵0 = 0 1 4𝜋 ∑︁ = 𝑃 𝐼 |⟨𝐼|𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 |𝐹 ⟩|2 𝛿(𝐸 𝐼 − 𝐸 𝐹 ) 𝑇1 𝐼,𝐹 campo magn´tico e ⟨𝐼|𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 |𝐹 ⟩ [3] PINTO, J. W. M.; FROTA, H. O. Int Jour Mod Phys, 24(31), 2010. Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 16 / 31
  28. 28. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Desenvolvimento anal´ ıtico - coeficientes de NRG Taxa de relaxa¸˜o na base de Lanczos ca 𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [ Φ† Φ0↓ + 𝜑† 𝜑↓ + (Φ† 𝜑↓ + 𝜑† Φ0↓ ) ] I− + 𝐻.𝑐. 0↑ ↑ 0↑ ↑ Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 17 / 31
  29. 29. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Desenvolvimento anal´ ıtico - coeficientes de NRG Taxa de relaxa¸˜o na base de Lanczos ca ∫︁ 𝐷 Φ0𝜇 (𝑅) ≡ 𝑑𝜀 √︁ 1 − 𝑊 (𝜀, 𝑅)¯ 𝜀𝜇 𝑐 −𝐷 an al´ ıti co 𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [ Φ† Φ0↓ + 𝜑† 𝜑↓ + (Φ† 𝜑↓ + 𝜑† Φ0↓ ) ] I− + 𝐻.𝑐. 0↑ ↑ 0↑ ↑ Autoestados desacoplados |Ψ⟩ = |𝜓⟩| ¯ 𝜓⟩ Krissia de Zawadzki 𝐸Ψ = 𝐸 𝜓 + ¯ ¯ 𝐸𝜓 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 17 / 31
  30. 30. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Desenvolvimento anal´ ıtico - coeficientes de NRG Taxa de relaxa¸˜o na base de Lanczos ca ∫︁ 𝐷 √︁ 𝑑𝜀 ∫︁ 1 − 𝑊 (𝜀, 𝑅)¯ 𝜀𝜇 𝑐 −𝐷 an al´ ıti co 𝐷 𝜑 𝜇 (𝑅) ≡ 𝑑𝜀 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑐 𝜀𝜇 −𝐷 co eri m´ nu Φ0𝜇 (𝑅) ≡ 𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [ Φ† Φ0↓ + 𝜑† 𝜑↓ + (Φ† 𝜑↓ + 𝜑† Φ0↓ ) ] I− + 𝐻.𝑐. 0↑ ↑ 0↑ ↑ Autoestados desacoplados 𝜑(𝑅) na Base de Lanczos ∑︁ 𝜑 𝜇 (𝑅) ≡ 𝛾 𝑛 𝑓 𝑛𝜇 𝑛 Krissia de Zawadzki |Ψ⟩ = |𝜓⟩| ¯ 𝜓⟩ 𝐸Ψ = 𝐸 𝜓 + ¯ ¯ 𝐸𝜓 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 17 / 31
  31. 31. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Desenvolvimento anal´ ıtico - coeficientes de NRG Taxa de relaxa¸˜o na base de Lanczos ca 𝐷 ∫︁ √︁ 𝑑𝜀 ∫︁ 1 − 𝑊 (𝜀, 𝑅)¯ 𝜀𝜇 𝑐 𝑑𝜀 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑐 𝜀𝜇 −𝐷 an al´ ıti co 𝛾 𝑛 (𝑅) = 𝐷 𝜑 𝜇 (𝑅) ≡ co eri m´ nu Φ0𝜇 (𝑅) ≡ −𝐷 𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [ Φ† Φ0↓ + 𝜑† 𝜑↓ + (Φ† 𝜑↓ + 𝜑† Φ0↓ ) ] I− + 𝐻.𝑐. 0↑ ↑ 0↑ ↑ (︃ ∑︁ ∫︁ 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑑𝜀 + (−1) ℐ 𝑚+ 𝑚 𝑛 )︃ ∫︁ 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑑𝜀 ℐ 𝑚− 𝑢 𝑛𝑚 𝑢0𝑚 Autoestados desacoplados 𝜑(𝑅) na Base de Lanczos ∑︁ 𝜑 𝜇 (𝑅) ≡ 𝛾 𝑛 𝑓 𝑛𝜇 𝑛 Krissia de Zawadzki |Ψ⟩ = |𝜓⟩| ¯ 𝜓⟩ 𝐸Ψ = 𝐸 𝜓 + ¯ ¯ 𝐸𝜓 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 17 / 31
  32. 32. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛 ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛 ca 0.04 0.02 NK R NK R F 0.02 F 0.01 0.00 0.00 −0.02 −0.01 −0.04 𝑛 caracter´ ıstico 𝒩𝑘 𝐹 𝐹 𝑅 𝑅 = 𝑛𝜋 ⌈︃ ⌉︃ log(𝑘 𝐹 𝑅) = √ log( Λ) −0.08 γn (R)Λn 𝑘 kF R π −0.06 0 5 0.004 10 15 20 −0.02 =103 25 30 −0.03 kF R π 0 5 10 15 20 =102 25 30 0.005 NK R F NK R 0.004 0.002 F 0.003 0.000 0.002 −0.002 0.001 −0.004 0.000 kF R π −0.006 −0.008 𝛾 𝑛 (𝑅) = ∑︁ 𝑚 Krissia de Zawadzki (𝒮 0 5 𝑚+ (𝑅) 10 15 20 + (−1) 𝑛 𝒮 =10 25 kF R π −0.001 30 −0.002 n 𝑚− (𝑅)) 0 5 10 15 20 𝑢 𝑛𝑚 𝑢0𝑚 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 18 / 31 =1 25 30
  33. 33. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛 ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛 ca 0.08 kF R π 0.06 0.020 −1 =103 2 kF R π 0.015 0.010 0.04 −1 =102 2 γ0 0.005 0.02 0.000 0.00 𝑛 caracter´ ıstico 𝒩𝑘 𝐹 𝑅 𝑅 = (𝑛 + 1 )𝜋 2 ⌈︃ ⌉︃ log(𝑘 𝐹 𝑅) = +1 √ log( Λ) 𝐹 NK R −0.010 F F −0.04 γn (R)Λn 𝑘 −0.005 NK R −0.02 0 5 10 15 0.08 kF R π γ0 0.06 20 25 30 −0.015 0 5 10 15 0.3 −1 =10 2 20 kF R π 0.2 25 30 −1 =1 2 0.1 0.04 0.0 0.02 −0.1 NK R −0.2 0.00 F −0.3 −0.02 NK R γ0 −0.4 F −0.04 𝛾 𝑛 (𝑅) = ∑︁ 𝑚 Krissia de Zawadzki (𝒮 0 5 𝑚+ (𝑅) 10 15 20 + (−1) 𝑛 𝒮 25 30 n 𝑚− (𝑅)) −0.5 0 5 10 15 20 𝑢 𝑛𝑚 𝑢0𝑚 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 19 / 31 25 30
  34. 34. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Componentes de 1/𝑇1 Componentes de 1/𝑇1 (︂ Krissia de Zawadzki 1 𝑇1 )︂ Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 20 / 31
  35. 35. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Componentes de 1/𝑇1 Componentes de 1/𝑇1 (︂ 1 𝑇1 )︂ 𝑐 𝑡 𝑒. (︂ 1 𝑇1 )︂ 𝑠𝑐𝑎 ⟨ ˜ † Φ0↓ | ˜ 𝜙|Φ0↑ 𝜓⟩ Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 20 / 31
  36. 36. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Componentes de 1/𝑇1 Componentes de 1/𝑇1 (︂ 1 𝑇1 (𝑘 𝑐 𝑡 𝑒. )︂ 𝐹 1 𝑇1 𝑅)−2 (︂ )︂ 𝑠𝑐𝑎 ⟨ ˜ † Φ0↓ | ˜ 𝜙|Φ0↑ 𝜓⟩ (︂ 1 𝑇1 )︂ 𝑣𝑒𝑡 ∑︁ 𝑛 𝛾 𝑛 ⟨ ˜ † 𝑓 𝑛↓ + 𝑓 † Φ0↓ )| ˜ 𝜙|(Φ0↑ 𝜓⟩ 𝑛↑ )︀ 4𝜋 ∑︁ (︀ 1 − 𝑊 2 (𝜀, 𝑅) 𝑍 |𝜙⟩,|𝜓⟩ Krissia de Zawadzki | ∑︁ 𝑛 𝛾 𝑛 (𝑅)⟨𝜙|𝑓 † |𝜓⟩|2 𝑛 𝑒 𝛽𝐸 𝜙 + 𝑒 𝛽𝐸 𝜓 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 20 / 31
  37. 37. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Componentes de 1/𝑇1 Componentes de 1/𝑇1 (︂ 1 𝑇1 (𝑘𝐹 (𝑘 𝑐 𝑡 𝑒. )︂ 𝑅 ) −4 4𝜋 𝑍 𝐹 1 𝑇1 𝑅)−2 (︂ )︂ 𝑠𝑐𝑎 ⟨ ˜ † Φ0↓ | ˜ 𝜙|Φ0↑ 𝜓⟩ (︂ 1 𝑇1 (︂ )︂ 1 𝑇1 )︂ −𝛽𝐸 ˜ 𝜓 ⃒2 ⃒ ⃒ ⃒ † 𝜙|𝜑 𝜓⟩ ⃒⟨ ˜ ↑ 𝜑↓ | ˜ ⃒ |𝜙⟩,|𝜓⟩ ∑︁ 𝑚𝑎𝑡 𝑒 𝑛,𝑚 𝛾 𝑛 𝛾 𝑚⟨ ˜ † 𝑓 𝜙|𝑓 𝑛↑ 𝑚↓ | 𝑣𝑒𝑡 ∑︁ 𝑛 𝛾 𝑛 ⟨ ˜ † 𝑓 𝑛↓ + 𝑓 † Φ0↓ )| ˜ 𝜙|(Φ0↑ 𝜓⟩ 𝑛↑ )︀ 4𝜋 ∑︁ (︀ 1 − 𝑊 2 (𝜀, 𝑅) 𝑍 |𝜙⟩,|𝜓⟩ Krissia de Zawadzki ∑︁ | ∑︁ 𝑛 𝛾 𝑛 (𝑅)⟨𝜙|𝑓 † |𝜓⟩|2 𝑛 𝑒 𝛽𝐸 𝜙 + 𝑒 𝛽𝐸 𝜓 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 20 / 31 ˜ 𝜓⟩
  38. 38. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Limites e Taxa de relaxa¸˜o ca Limites e Taxa de relaxa¸˜o ca (︂ 1 𝑇1 )︂ (︂ = 1 𝑇1 )︂ (︂ + 𝑠𝑐𝑎 1 𝑇1 )︂ (︂ + 𝑣𝑒𝑡 1 𝑇1 )︂ 𝑚𝑎𝑡 𝑅 1 𝑘𝐹 𝑘𝐹 𝑅 ≫ 𝑐𝑡𝑒. ∝ ≪ 1 2 sin(𝑘 𝐹 𝑅) ∑︁ −𝛽𝐸 𝜙 ∝ 𝑒 |⟨𝜙|𝑓 † 𝑓 𝑛↑ (𝑘 𝐹 𝑅)4 𝑚↓ |𝜓⟩| 𝜙,𝜓 sin(𝑘 𝐹 𝑅) ∑︁ |⟨𝜙||𝑓 𝑛 ||𝜓⟩|2 (𝑘 𝐹 𝑅)2 𝑒 𝛽𝐸 𝜙 + 𝑒 𝛽𝐸 𝜓 Krissia de Zawadzki 𝜙,𝜓 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 21 / 31 2
  39. 39. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Par^metros do modelo a 𝐻= ∑︁ 𝜀 † 𝑘 𝑐𝑘 √︂ 𝑐𝑘 + 𝑘 𝑘 𝐷=1 𝜀𝑘 = Γ ∑︁ † (𝑐 𝑘 𝑐 𝑑 + 𝐻.𝑐.) + 𝜀 𝑑 𝑐†𝑑 𝑐 𝑑 + 𝑈 𝑛 𝑑↑ 𝑛 𝑑↓ 𝜋 𝜀 𝑑 = −15.0 Γ=1 𝑈 = 30.0 𝑣𝐹 (𝑘 − 𝑘 𝐹 ) 𝐷 ε=0 −D Λ = 3.0 Krissia de Zawadzki -D Λ D D - Λ2 - Λ3 𝐸 𝑚𝑖𝑛 ... ... = 1.0𝑒 − 9 D D Λ3 Λ2 𝐸𝑈 𝑉 D Λ = 40.0 +D ¯0 = 0.2 𝛽 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 22 / 31
  40. 40. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Resultados num´ricos e Resultados num´ricos da contribui¸˜o vetorial (1/𝑇1 ) 𝑣𝑒𝑡 como fun¸˜o da e ca ca temperatura e da distˆncia 𝑅. a Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 23 / 31
  41. 41. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Taxa de relaxa¸˜o em fun¸˜o da dist^ncia ca ca a Taxa (1/𝑇1 ) 𝑣𝑒𝑡 - depend^ncia espacial e T =10−1 4.5 1e−1 T =10−2 4.5 1e−2 4.0 4.0 3.5 3.5 3.5 3.0 3.0 3.0 2.5 2.0 1.5 1.5 1.0 0.5 50 100 150 0.0 200 0 T =10−4 4.0 1e−4 0.5 50 3.5 100 150 0.0 200 0 T =10−5 3.5 1e−5 3.0 2.5 100 150 200 2 0.0 0 1 50 kF R π Krissia de Zawadzki 200 3 0.5 50 150 5 4 1.0 0.5 200 7 1.5 1.5 150 6 2.0 1.0 100 T =10−6 8 2.5 2.0 50 9 1e−7 3.0 T1 vet(kF R) 2 1.0 0.0 0 2.5 2.0 1.0 1.5 0.5 0 4.0 2.0 2.5 1 T =10−3 4.5 1e−3 100 1 −2 150 200 0 0 50 100 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 24 / 31
  42. 42. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Taxa de relaxa¸˜o em fun¸˜o da dist^ncia ca ca a Taxa (1/𝑇1 ) 𝑣𝑒𝑡 - depend^ncia espacial e 10 10 10 10 0 -1 -2 T =10−6 -3 T =10−4 T =10−5 T =10−3 T =10−2 1 T1 vet(kF R) 2 10 1 10 10 10 10 T =10−1 -4 -5 -6 -7 0 100 200 300 400 500 600 700 kF R Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 24 / 31
  43. 43. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos 𝑘 𝐹 𝑅 = (𝑛 + 1/2)𝜋 Contribui¸˜o vetorial - 𝑘 𝐹 𝑅 = (𝑛 + 1/2)𝜋 ca 5 1e1 𝑛∈Z 1 −2 =200 1 −2 =100 k R 1 π −2 =70 k R 1 π −2 =50 k R 1 π −2 =30 k R 1 π −2 =10 kF R π 4 kF R π F vet F kT (kF R)2 1 T1 3 F F 2 1 0 10-8 10-7 Krissia de Zawadzki 10-6 10-5 kB T 10-4 10-3 10-2 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 10-1 25 / 31
  44. 44. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos 𝑘 𝐹 𝑅 = 𝑛𝜋 𝑛∈Z Contribui¸˜o vetorial- 𝑘 𝐹 𝑅 = 𝑛𝜋 ca 3.0 1e−1 kF R π vet 1 T1 =30 kF R π =10 kT (kF R)2 =50 kF R π 1.5 =70 kF R π 2.0 =100 kF R π 2.5 =200 kF R π 1.0 0.5 0.0 10-8 Krissia de Zawadzki 10-7 10-6 10-5 kB T 10-4 10-3 10-2 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 26 / 31
  45. 45. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos 𝑘 𝐹 𝑅 = 𝑛𝜋 e 𝑘 𝐹 𝑅 = (𝑛 + 1/2)𝜋 Sobreposi¸˜o 𝑘 𝐹 𝑅 = 𝑛𝜋 e 𝑘 𝐹 𝑅 = (𝑛 + 1/2)𝜋 ca 5 1e1 n =200 n =100 4 n =70 n =50 vet n =30 n =10 kT (kF R)2 1 T1 3 2 1 0 10-8 10-7 Krissia de Zawadzki 10-6 10-5 kB T 10-4 10-3 10-2 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 10-1 27 / 31
  46. 46. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos 𝑘 𝐹 qualquer Contribui¸˜o vetorial- caso geral ca 3.0 1e1 kF R π 2.0 1.5 =100.3 kF R π =70.3 kF R π =50.3 kF R π =30.3 kF R π =10.3 kT (kF R)2 1 T1 vet 2.5 =200.3 kF R π 1.0 0.5 0.0 10-8 Krissia de Zawadzki 10-7 10-6 10-5 kB T 10-4 10-3 10-2 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 10-1 28 / 31
  47. 47. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Interpreta¸˜o f´ ca ısica Interpreta¸˜o f´ ca ısica (︂ 1 𝑇1 )︂ 𝑣𝑒𝑡 ∝ sin(𝑘 𝐹 𝑅 + 𝜃) 𝑓 (𝑇 /𝑇 𝐾 ) (𝑘 𝐹 𝑅)2 V𝑑 Dois canais: 𝜑 𝑛 (𝑓 𝑛 ) da banda de condu¸˜o acoplada ` impureza e outro ca a dos orbitais ¯ 𝜀 acoplados ` ponta de 𝑐 a prova V V𝑤 Krissia de Zawadzki 1/𝑇1 ∝ 𝒢 𝑠𝑖𝑑𝑒 (𝑇 /𝑇 𝐾 ) para 𝑘 𝐹 𝑅 ≪ 1 Espalhamento cruzado de el´trons e entre os orbitais 𝜑 𝑛 e ¯ 𝜀 𝑐 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 29 / 31
  48. 48. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Conclus˜es o Taxa de relaxa¸˜o magn´tica longitudinal 1/𝑇1 no modelo de Anderca e son de uma impureza pode ser decomposta em trˆs componentes: e escalar, vetorial e matricial. Quando a ponta de prova est´ distante da impureza, 1/𝑇1 ´ escrita a e como o produto de uma fun¸˜o espacial - relacionada a oscila¸˜es de ca co Friedel - por uma fun¸˜o da temperatura. ca A dependˆncia em 𝑇 de 1/𝑇1 ´ mapeada na curva universal 𝒢 𝑠𝑖𝑑𝑒 (𝑇 /𝑇 𝐾 ) e e da condutˆncia de um dispositivo lateralmente acoplado a um ponto a quˆntico. a Para 𝑇 ≪ 𝑇 𝐾 o sinal NMR decai a zero sem informa¸˜o sobre 𝑅 𝐾 , ca o que ratifica a dificuldade experimental de medir a nuvem Kondo atrav´s da taxa de relaxa¸˜o. e ca Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 30 / 31
  49. 49. Introdu¸˜o ca Nuvem Kondo e NMR Prepara¸˜o anal´ ca ıtica para c´lculo num´rico de 1/𝑇1 a e Resultados num´ricos e Conclus˜es o Agradecimentos Agradecimentos Instituto de F´ ısica de S˜o Carlos (IFSC) a FAPESP (2012/02702-0) pelo apoio financeiro Banca examinadora Todos os presentes Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 31 / 31
  50. 50. Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 1 / 17
  51. 51. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca NRG Discretiza¸˜o da banda de condu¸˜o ca ca ε=0 −D -D Λ D D - Λ2 - Λ3 ... ... D D Λ3 Λ2 Intervalos logar´ ıtmicos I 𝑚± −𝑚−1 = [𝐷Λ , 𝐷Λ −𝑚 ] 𝑎 𝑚𝜇 𝑏 𝑚𝜇 (𝑚 = 0, 1, 2, ...) log: invariante por 𝜀 𝑘 → 𝜀 𝑘 /Λ linear?: energias caracter´ ısticas inexistentes Krissia de Zawadzki D Λ +D Operadores fermiˆnicos o ∫︁ 𝑚/2 Λ √︀ = 𝑐 𝜀𝜇 𝑑𝜀, 𝐷(1 − Λ−1 ) ℐ 𝑚+ = √︀ Λ 𝑚/2 ∫︁ 𝐷(1 − Λ−1 ) Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 𝑐 𝜀𝜇 𝑑𝜀, ℐ 𝑚− 2 / 17
  52. 52. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Mudan¸a de base e Transforma¸˜o de Lanczos c ca Mudan¸a de base e Transforma¸˜o de Lanczos c ca Transforma¸˜o de Lanczos ca ∑︁ 𝑓 𝑛𝜇 = (𝑢 𝑛𝑚 𝑎 𝑚𝜇 + 𝑣 𝑛𝑚 𝑏 𝑚𝜇 ) 𝑚 Hamiltoniano de hopping Impureza acoplada com 𝑓0 )︁ √ (︁ † 𝐻 𝑖𝑛𝑡 = 2𝑉 𝑐†𝑑 𝑓0 + 𝑓0 𝑐 𝑑 𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑 = ∞ ∑︁ 𝑡 𝑛 (𝑓 † 𝑓 𝑛+1 + 𝑓 † 𝑓 𝑛 ) 𝑛 𝑛+1 𝑛=0 𝑒− 𝑒− ... 𝑒− 𝑒− ... 𝑓 𝑛−9 𝑛 𝑡 𝑛 = 𝐷Λ− 2 √ ... 𝑓 𝑛−2 𝑓 𝑛−1 𝑓𝑛 𝑓 𝑛+1 1 − Λ−(𝑛+1) 1 + Λ−1 √ 1 − Λ−(2𝑛+3) 1 − Λ−(2𝑛+1) log Λ Krissia de Zawadzki 𝑓 𝑛+2 ... 𝑓 𝑛+9 ≈ 𝒟𝑛 = 𝐷 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 1 − Λ−1 − 𝑛 Λ 2 log Λ 3 / 17
  53. 53. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca NRG - Diagonaliza¸˜o iterativa ca NRG - Diagonaliza¸˜o iterativa ca 𝑁 −1 ∑︁ 1 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑐 𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑 = 𝑡 𝑛 (𝑓 † 𝑓 𝑛+1 + 𝑓 † 𝑓 𝑛 ) 𝑛 𝑛+1 𝒟𝑁 𝑛=0 truncamento 𝑡 𝑁 𝛾𝑘 𝐵 𝑇 Transforma¸˜o de Renormaliza¸˜o ca ca 𝜏 [𝐻 𝑁 −1 ] √ 𝐻 𝑁 = Λ𝐻 𝑁 −1 + 𝑡 ≡ 𝐻 𝑁 −1 𝒟 𝑁 (𝑓 † 𝑁 −1 𝑁 Itera¸˜o 𝑁 = −1 ca 𝑁 𝑓 𝑁 + 𝐻.𝑐.) |0⟩ 𝑁 Base de estados de 𝐻 |𝑄, 𝑆, 𝑆 𝑧 , 𝑟⟩ Krissia de Zawadzki =0 𝐴 + 1 Base primitiva na itera¸˜o 𝑁 ca 𝑐†𝑑↑(↓) |0⟩ 𝑐†𝑑↑ 𝑐†𝑑↓ |0⟩ Elementos de matriz Diagonaliza¸˜o ca ⟨𝑞 ′ , 𝑠′ ||𝑓 †𝑁 ||𝑞, 𝑠⟩ Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 4 / 17
  54. 54. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Elementos de matriz Elementos de matriz ⟨𝜙||𝑓 † ||𝜓⟩ 𝑛 𝑁 = − 𝑡 𝑛+1 ⟨𝜙||𝑓 † ||𝜓⟩ 𝑁 + 𝑛+2 𝑡𝑛 ⟨𝜙||𝑐†𝑑 ||𝜓⟩ 𝑁 † 0 = − √𝑡2𝑉 ⟨𝜙||𝑓1 ||𝜓⟩ 𝑁 + 1 𝒟𝑁 𝑡𝑛 Δ𝐸 𝑁 ⟨𝜙||𝑓 † ||𝜓⟩ 𝑛+1 √𝒟 𝑁 2𝑉 † Δ𝐸 𝑁 ⟨𝜙||𝑓0 ||𝜓⟩ 𝑁 𝑁1 ⟨𝜙| 1 1 𝑁 𝑊 ⟨𝜙| 𝑜 0 𝑜 0 |𝜓⟩ 𝑁 -1 𝐸 -1 |𝜓⟩ 0 1 2 0 1 2 1 Krissia de Zawadzki 1 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 5 / 17
  55. 55. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Hamiltonianos na base de Lanczos {𝑓 𝑛 } Hamiltonianos na base cont´ ınua {𝑐 𝜀 , ¯ 𝜀 } 𝑐 Autoestados desacoplados Hamiltoniano perturbado ∫︁ 𝐷 𝐻𝐴= 𝜀𝑐†𝜀𝜇 √︂ 𝑐 𝜀𝜇 𝑑𝜀 + −𝐷 ∫︁ ∫︁ 𝐷 𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = −𝐴 [ −𝐷 ∫︁ ∫︁ 𝐷 + −𝐷 𝐸Ψ = 𝐸 𝜓 + ¯ ¯ 𝐸𝜓 |Ψ⟩ = |𝜓⟩| ¯ 𝜓⟩ ˜ = 𝐻𝐴+ ¯𝑐 𝐻 𝐻 Γ 𝜋 ∫︁ 𝐷 𝑑𝜀(𝑐†𝜀 𝑐 𝑑 + 𝑐†𝑑 𝑐 𝜀 ) + 𝐻 𝑑 −𝐷 𝑑𝜀 𝑑𝜀′ 𝒩 𝑅 (𝜀)𝒩 𝑅 (𝜀′ )¯† ¯ 𝜀′ 𝜈 + 𝑐 𝜀𝜇 𝑐 𝑑𝜀 𝑑𝜀′ 𝒩 𝑅 (𝜀)𝑊 (𝜀′ , 𝑅)¯† 𝑐 𝜀′ 𝜈 + 𝑐 𝜀𝜇 ∫︁ ∫︁ 𝐷 −𝐷 ∫︁ ∫︁ 𝐷 −𝐷 ¯𝑐 = 𝐻 ∫︁ 𝐷 𝑑𝜀 𝜀 ¯†𝜀𝜇 ¯ 𝜀𝜇 𝑐 𝑐 −𝐷 𝑑𝜀 𝑑𝜀′ 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝑊 (𝜀′ , 𝑅)𝑐† 𝑐 𝜀′ 𝜈 𝜀𝜇 𝑑𝜀 𝑑𝜀′ 𝑊 (𝜀, 𝑅)𝒩 𝑅 (𝜀′ )𝑐† ¯ 𝜀′ 𝜈 ] I− + 𝐻.𝑐. 𝜀𝜇 𝑐 𝒩 𝑅 (𝜀) = 1 − 𝑊 (𝜀, 𝑅) Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 6 / 17
  56. 56. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Hamiltonianos na base de Lanczos {𝑓 𝑛 } Hamiltonianos na base de Lanczos {𝑓 𝑛 } 𝐻 𝑐𝑜𝑛𝑑 = ∑︁ E 𝑚± (Λ) (︁ 𝑎†𝑚𝜇 𝑎 𝑚𝜇 − 𝑏†𝑚𝜇 𝑏 )︁ 𝑚𝜇 𝐻 𝑖𝑛𝑡 = 𝑚± 1 ∑︁ 𝑓0𝜇 = √ 2 𝑚 (︃ )︁ (︁ √ † 2𝑉 𝑐†𝑑 𝑓0 + 𝑓0 𝑐 𝑑 1 − Λ−1 𝐷 )︃1/2 −𝑚/2 Λ (𝑎 𝑚𝜇 ∫︁ 𝑑𝜀 E 𝑚± (Λ) = ∫︁ I 𝑚± I 𝑚± Krissia de Zawadzki 𝑑𝜀 𝜀 = ±𝐷(1 − Λ−1 ) −𝑚 Λ log Λ Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 7 / 17 + 𝑏 𝑚𝜇 )
  57. 57. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Taxa de relaxa¸˜o ca Taxa de relaxa¸˜o na base de Lanczos ca 𝐻 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑒 = − 𝐴 [ Φ† Φ0↓ + 𝜑† 𝜑↓ + (Φ† 𝜑↓ + 𝜑† Φ0↓ ) ] I− + 𝐻.𝑐.. 0↑ ↑ 0↑ ↑ 𝜑 𝜇 (𝑅) = ∑︁ 𝛾 𝑛 𝑓 𝑛𝜇 𝑛 𝜁± 𝑚 𝛾 𝑛 (𝑅) = ∑︁ (𝒮 𝑚 Krissia de Zawadzki = 𝑚+ (𝑅) {𝑓 † , 𝜑 𝜇 (𝑅)} = 𝛾 𝑛 = 𝑛𝜈 ∑︁ Λ 𝑚/2 {𝑎†𝑚±𝜈 , 𝜑 𝜇 (𝑅)} = 𝛿 𝜇,𝜈 √︀ + (−1) 𝑛 𝒮 𝑚− (𝑅)) 𝑢 𝑛𝑚 (𝜁 + + (−1) 𝑛 𝜁 − ) 𝑚 𝑚 𝑚 𝐷(1 − Λ−1 ) ∫︁ 𝑑𝜀 𝑊 (𝜀, 𝑅) ℐ 𝑚± 𝑢 𝑛𝑚 𝑢0𝑚 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 8 / 17
  58. 58. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Componentes de 1/𝑇1 Componentes de 1/𝑇1 (︂ 1 𝑇1 (𝑘𝐹 (𝑘 𝑐 𝑡 𝑒. )︂ 𝑅 ) −4 𝐹 1 𝑇1 𝑅)−2 (︂ )︂ 𝑠𝑐𝑎 ⟨ ˜ † Φ0↓ | ˜ 𝜙|Φ0↑ 𝜓⟩ (︂ 1 𝑇1 (︂ )︂ 1 𝑇1 )︂ ∑︁ 𝑚↓ | 𝑣𝑒𝑡 ∑︁ 𝑛 𝛾 𝑛 ⟨ ˜ † 𝑓 𝑛↓ + 𝑓 † Φ0↓ )| ˜ 𝜙|(Φ0↑ 𝜓⟩ 𝑛↑ )︀ 4𝜋 ∑︁ (︀ 1 − 𝑊 2 (𝜀, 𝑅) 𝑍 |𝜙⟩,|𝜓⟩ Krissia de Zawadzki 𝑛,𝑚 𝑚𝑎𝑡 𝛾 𝑛 𝛾 𝑚⟨ ˜ † 𝑓 𝜙|𝑓 𝑛↑ | ∑︁ 𝑛 𝛾 𝑛 (𝑅)⟨𝜙|𝑓 † |𝜓⟩|2 𝑛 𝑒 𝛽𝐸 𝜙 + 𝑒 𝛽𝐸 𝜓 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 9 / 17 ˜ 𝜓⟩
  59. 59. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Contribui¸˜o vetorial ca Contribui¸˜o vetorial ca ⟨ ˜ †𝜇 (𝑅)Φ0𝜈 (𝑅)| ˜ = ⟨𝜙|𝜑†𝜇 (𝑅)|𝜓⟩⟨ ¯ 𝜙|𝜑 𝜓⟩ 𝜙| ∫︁ 𝐷 𝑑𝜀 −𝐷 √︀ 1 − 𝑊 (𝜀)2 ¯ 𝜀𝜈 | ¯ 𝑐 𝜓⟩ ⟨ ¯ 𝑐 𝜀𝜈 | ¯ = 𝛿(𝐸 ¯ − 𝐸 ¯ − 𝜀), 𝜙|¯ 𝜓⟩ 𝜙 𝜓 √︁ ⟨ ¯ †𝜇 (𝑅)Φ0𝜈 (𝑅)| ¯ = ⟨𝜙|𝜑†𝜇 (𝑅)|𝜓⟩ 1 − 𝑊 (𝐸 𝜙 − 𝐸 𝜓 ))2 𝜙|𝜑 𝜓⟩ (︂ 1 𝑇1 )︂ = 𝑣𝑒𝑡 4𝜋 ∑︁ |⟨𝜙|𝜑†𝜇 (𝑅)|𝜓⟩|2 (1−𝑊 (𝐸 𝜙 −𝐸 𝜓 )2 )𝑒−𝛽(𝐸 𝜙 ) 𝑓 𝐹 𝐷 (𝐸 𝜙 −𝐸 𝜓 ) 𝑍 |𝜙⟩,|𝜓⟩ 𝑓 𝐹 𝐷 (𝜀) = Krissia de Zawadzki 1 1 + 𝑒−𝛽𝜀 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 10 / 17
  60. 60. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Contribui¸˜o matricial ca Contribui¸˜o matricial ca (︂ 1 𝑇1 )︂ = 𝑚𝑎𝑡 ⃒2 4𝜋 ∑︁ −𝛽𝐸 𝜙 ⃒ ⃒ ⃒ † 𝑒 ⃒⟨𝜙|𝜑↑ (𝑅)𝜑↓ (𝑅)|𝜓⟩⃒ 𝛿(𝐸 𝜙 − 𝐸 𝜓 ), 𝑍 |𝜙⟩,|𝜓⟩ ⟨ ˜ †𝜇 (𝑅)𝜑 𝜈 (𝑅)| ˜ = ⟨ ¯ ¯ 𝜙|𝜑 𝜓⟩ 𝜙| 𝜓⟩ ∑︁ 𝑛,𝑚 𝛾 𝑛 𝛾 𝑚 ⟨𝜙|𝑓 † 𝑓 𝑛𝜇 𝑚𝜈 |𝜓⟩, (𝐸 𝜙 − 𝐸 𝜓 )⟨𝜙||𝑓 † 𝑓 𝑚 ||𝜓⟩ = 𝑡 𝑛−1 ⟨𝜙||𝑓 † 𝑓 𝑚 ||𝜓⟩ + 𝑡 𝑛 ⟨𝜙||𝑓 † 𝑓 𝑚 ||𝜓⟩ 𝑛 𝑛−1 𝑛+1 − 𝑡 † 𝑚−1 ⟨𝜙||𝑓 𝑛 ⎛ ′ ′ ⟨𝑞 , 𝑠 , 𝑠′𝑧 , 𝑟′ | 𝑓† 𝑛↑ 𝑓 𝑚↓ |𝑞, 𝑠, 𝑠 𝑧 , 𝑟⟩ = ⎝ 𝑓 𝑚−1 ||𝜓⟩ 𝑠′ 1 2 𝑠+ 1 2 𝑠′𝑧 1 2 𝑠𝑧 − 1 2 − 𝑡 𝑚 ⟨𝜙||𝑓 † 𝑓 𝑛 ⎞⎛ ⎠⎝ 𝑚+1 ||𝜓⟩. 𝑠 1 2 𝑠± 1 2 𝑠𝑧 −1 2 𝑠𝑧 + 1 2 × ⟨𝑞 ′ , 𝑠′ , 𝑟′ || 𝑓 † 𝑓 𝑚 ||𝑞, 𝑠, 𝑟⟩. 𝑛 Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 11 / 17 ⎞ ⎠
  61. 61. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Contribui¸˜o matricial ca Contribui¸˜o matricial ca 𝑓 †𝑁 𝑓0 𝑓 †𝑁 𝑓1 𝑓 †𝑁 𝑓2 𝑓 †𝑁 𝑓 𝑁 −1 𝑓 †𝑁 𝑓 𝑁 𝑓 †𝑁 −1 𝑓0 𝑓† 𝑓 𝑛+1 𝑓† 𝑓 𝑛 𝑓† 𝑓 𝑛 𝑚−1 𝑚 𝑓† 𝑓 𝑛 𝑚 𝑚+1 𝑛 𝑓† 𝑓 𝑛−1 𝑚 † 𝑓2 𝑓0 † 𝑓1 𝑓0 † 𝑓0 𝑓0 𝑚 Krissia de Zawadzki Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 12 / 17
  62. 62. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca ∞ ∑︁ 𝑢 𝑛𝑚 𝑧 𝑚 1 − Λ−(2𝑛+1) 2Λ 𝑛(𝑛−1)/2 = 𝑚=0 (︂ )︂ 1 1 − 𝑧Λ−(𝑛+1/2) ⎧ ⎪(𝑛−2)/2 1 − 𝑧Λ2𝑟+1/2 ⎪ ⎪ ∏︁ ⎪ , ⎪ ⎨ 1 − 𝑧Λ−(2𝑟+1/2) 𝑟=0 × (𝑛−3)/2 ⎪ ⎪ ∏︁ 1 − 𝑧Λ2𝑟+3/2 ⎪ ⎪ , ⎪ ⎩ 1 − 𝑧Λ−(2𝑟+3/2) 𝑟=0 Λ =3.0 0.4 0.2 u10,m 𝑈 𝑛 (𝑧) = √︃ 0.0 −0.2 −0.4 0 Krissia de Zawadzki 10 20 m 30 40 50 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 13 / 17 𝑛 par 𝑛´ ımpar
  63. 63. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝑢 𝑛𝑚 ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝑢 𝑛𝑚 ca 𝑛 par 𝑢 𝑛𝑚 ∝ Λ 0.6 𝑛´ ımpar −𝑚/2 n =0 n =2 n =4 n =6 n =8 0.4 0.2 n =10 n =12 n =14 n =16 n =18 𝑢 𝑛𝑚 ∝ Λ−3𝑚/2 n =1 n =3 n =5 n =7 n =9 0.8 0.6 0.4 n =11 n =13 n =15 n =17 n =19 un,m 0.2 0.0 0.0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 0 5 10 15 Krissia de Zawadzki m 20 25 30 35 −0.8 0 5 10 15 m 20 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 25 30 14 / 17 35
  64. 64. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛 ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛 ca 0.04 0.02 NK R NK R F 0.02 F 0.01 0.00 0.00 −0.02 −0.01 −0.04 𝑛 caracter´ ıstico 𝒩𝑘 𝐹 𝐹 𝑅 𝑅 = 𝑛𝜋 ⌈︃ ⌉︃ log(𝑘 𝐹 𝑅) = √ log( Λ) −0.08 γn (R)Λn 𝑘 kF R π −0.06 0 5 0.004 10 15 20 −0.02 =103 25 30 −0.03 kF R π 0 5 10 15 20 =102 25 30 0.005 NK R F NK R 0.004 0.002 F 0.003 0.000 0.002 −0.002 0.001 −0.004 0.000 kF R π −0.006 −0.008 𝛾 𝑛 (𝑅) = ∑︁ 𝑚 Krissia de Zawadzki (𝒮 0 5 𝑚+ (𝑅) 10 15 20 + (−1) 𝑛 𝒮 =10 25 kF R π −0.001 30 −0.002 n 𝑚− (𝑅)) 0 5 10 15 20 𝑢 𝑛𝑚 𝑢0𝑚 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 15 / 17 =1 25 30
  65. 65. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛 ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG - 𝛾 𝑛 ca 0.08 kF R π 0.06 0.020 −1 =103 2 kF R π 0.015 0.010 0.04 −1 =102 2 γ0 0.005 0.02 0.000 0.00 𝑛 caracter´ ıstico 𝒩𝑘 𝐹 𝑅 𝑅 = (𝑛 + 1 )𝜋 2 ⌈︃ ⌉︃ log(𝑘 𝐹 𝑅) = +1 √ log( Λ) 𝐹 NK R −0.010 F F −0.04 γn (R)Λn 𝑘 −0.005 NK R −0.02 0 5 10 15 0.08 kF R π γ0 0.06 20 25 30 −0.015 0 5 10 15 0.3 −1 =10 2 20 kF R π 0.2 25 30 −1 =1 2 0.1 0.04 0.0 0.02 −0.1 NK R −0.2 0.00 F −0.3 −0.02 NK R γ0 −0.4 F −0.04 𝛾 𝑛 (𝑅) = ∑︁ 𝑚 Krissia de Zawadzki (𝒮 0 5 𝑚+ (𝑅) 10 15 20 + (−1) 𝑛 𝒮 25 30 n 𝑚− (𝑅)) −0.5 0 5 10 15 20 𝑢 𝑛𝑚 𝑢0𝑚 Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 16 / 17 25 30
  66. 66. NRG Anal´ ıtico Taxa de relaxa¸˜o ca Coeficientes da transforma¸˜o de RG ca Considera¸˜es sobre a contribui¸˜o matricial co ca Considera¸oes sobre a contribui¸˜o matricial c˜ ca (︂ 1 𝑇1 )︂ = 𝑚𝑎𝑡 (︂ 1 𝑇1 ⃒2 4𝜋 ∑︁ −𝛽𝐸 𝜙 ⃒ ⃒ ⃒ † 𝑒 ⃒⟨𝜙|𝜑↑ (𝑅)𝜑↓ (𝑅)|𝜓⟩⃒ 𝛿(𝐸 𝜙 − 𝐸 𝜓 − 𝑍 𝜔), |𝜙⟩,|𝜓⟩ )︂ 𝑚𝑎𝑡 4𝜋 ∑︁ −𝛽𝐸 𝜙 ⃒ = 𝑒 ⃒ 𝑍 ⃒ |𝜙⟩,|𝜓⟩ Susceptibilidade da impureza ∑︁ 𝜒 𝑖𝑚𝑝 ∝ |⟨𝜙|𝑐 𝑑↑ 𝑐 𝑑↓ |𝜓⟩|2 |𝜙⟩|𝜓⟩ Krissia de Zawadzki (︂ ⃒ ⃒2 ⃒ ⃒ † ⃒⟨𝜙|𝜑↑ 𝜑↓ |𝜓⟩⃒ ⃒ 𝑑(𝐸 𝜙 (𝑧))−𝐸 𝜓 (𝑧) ⃒ ⃒ 𝑑𝑧 𝜔=𝐸 𝜓 −𝐸 , 𝜙 Susceptibilidade da banda de condu¸˜o ca )︂ ∑︁ 1 ∝ 𝜒𝑓𝑛 ∝ |⟨𝜙|𝑓 𝑛↑ 𝑓 𝑚↓ |𝜓⟩|2 𝑇1 𝑚𝑎𝑡 |𝜙⟩|𝜓⟩ Relaxa¸˜o magn´tica em ligas magn´ticas dilu´ ca e e ıdas 17 / 17

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