Geogebra Prcurso Inicial

Centro de Comptência CRIE
Escola Superior de Educação de Setúbal

G EOGEBRA – UM PERCURSO INICIAL

João Torres
jtorres@ese.ips.pt

José Duarte
jaduarte@ese.ips.pt

Fevereiro de 2008

Centro de Competência CRIE da ESE de Setúbal -1-

Conteúdo
1 Sobre este documento 2

2 Soma dos ângulos internos de um triângulo 3

3 Construção de polígonos regulares 6
3.1 Construção de um quadrado utilizando rectas paralelas e perpendiculares 6
3.2 Construção de um quadrado utilizando rotações . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Valor de π 11

5 Teorema de Pitágoras 12

6 Relações geométricas em triângulos (a ilha Triangular) 14

7 Estudo de famílias de funções 16

Tecnologias na aprendizagem da Matemática


1 Sobre este documento
Este documento não pretende ser um guia exaustivo do programa. Trata-se ape-
nas de uma compilação da resolução passo-a-passo de desafios elementares de modo
a explorar algumas das potencialidades e ferramentas do programa. Destina-se essen-
cialmente a professores que nunca tenham utilizado nenhum programa de geometria
dinâmica ou que, conhecendo outros, queiram testar o Geogebra.
A passagem pelos desafios propostos deveria permitir descobrir algumas das fun-
cionalidades do programa autonomamente, de modo a possibilitar a compreensão e
elaboração de desafios mais arrojados.
Cada vez que seja utilizada uma ferramenta, ou procedimento, pela primeira vez
o processo será ilustrado por uma figura. Sempre que esse procedimento, ou algum
muito parecido, já tenha sido ilustrado partiremos do principio que não há necessi-
dade de o voltar a ser e apontaremos apenas para a figura onde foi o procedimento
foi utilizado pela primeira vez, mesmo que se trate de uma resolução anterior. Assim
aconselha-se que a resolução sequencial dos desafios propostos.



2 Soma dos ângulos internos de um triângulo
1. Esconda o sistema de eixos Fig. 1 ;

2. defina um triângulo traçando três segmentos de recta Fig. 2 ;

3. peça as medidas dos ângulos internos do triângulo Fig. 3 . O Geogebra atribui
automaticamente uma letra grega a cada um dos ângulos.

4. calcule a soma dos três ângulos Fig. 4 . Pode ver agora a variável soma na
barra de álgebra Fig. 5 .

5. represente no ecrã, junto ao triângulo a soma dos ângulos internos Fig. 6 .

6. arraste os pontos, alterando o triângulo. Verifique que a soma dos ângulos inter-
nos se mantém.

Figura 1: Esconder Eixos de coordenadas – desactive a opção real- Figura 2: Para traçar um segmento de recta escolha a ferramenta
çada na figura. Neste menu pode ainda definir se pretende evidenciada e faça clique no ecrã para definir um ponto,
ver ou um fundo quadriculado, a janela de álgebra, etc arraste e faça um segundo clique.



Figura 3: Seleccione a ferramenta em destaque e aponte para os 3 Figura 4: Para definir uma variável (soma) que escreva na linha de
pontos que definem o ângulo entrada soma=α + β + γ. Para obter as letras gregas
utilize a caixa assinalada na figura.

Figura 5: Em destaque a o resultado da soma Figura 6: Utilize a ferramenta em destaque para inserir texto na
janela do Geogebra. Pode juntar várias cadeias de texto
separando-as pelo sinal de “+”. Neste caso “Soma=α +
β + γ =” será texto enquanto que a segunda vez que apa-
rece a palavra soma será substituída pelo valor da variável
definida anteriormente, uma vez que não se encontra entre
” “.



Figura 7: Para arrastar os pontos deve seleccionar a ferramenta em destaque (seta). Caso contrário, continuará a utilizar a última ferramenta
que tinha utilizado



3 Construção de polígonos regulares
O Geogebra tem uma ferramenta que permite construir polígonos regulares, que
utilizaremos adiante, bastando definir um dos lados e indicar qual o número de lados
do polígono. Pode, no entanto, ser interessante pedir aos alunos que construam esses
polígonos obedecendo às suas propriedades.

3.1 Construção de um quadrado utilizando rectas paralelas e perpen-
diculares
1. Esconda os de eixos Fig. 1 ;

2. defina um segmento de recta AB Fig. 2

3. trace uma recta perpendicular ao segmento de recta que passe pelo ponta A
Fig. 8 ;

4. construa uma circunferência, de centro A, que passe pelo ponto B Fig. 9 ;

5. marque um dos pontos (C) de intersecção da circunferência com a recta Fig. 10 ;

6. trace uma recta paralela a AB que passe por C e uma perpendicular a [AB] que
passe por B;

7. marque o ponto de intersecção das rectas traçadas no ponto anterior e defina os
segmentos BC, CD e DA Fig. 10 ;

8. esconda a circunferência e as rectas auxiliares de que já não precisa Fig. 12 ;

9. Meça os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos do quadrado
Fig. 13

10. verifique que a figura obtida tem a propriedades de um quadrado e que estas se
mantêm quando arrasta um dos pontos azuis (A ou B) Fig. 7 .



Figura 8: Traçar uma recta que passa por um ponto dado e é per- Figura 9: Traçar uma circunferência definida pelo centro e um
pendicular a um segmento. Seleccione a ferramenta em ponto. Seleccione a ferramenta em destaque, depois faça
evidência na figura, depois, faça clique no segmento e no clique no Centro, arraste e faça clique no ponto que per-
ponto. tence à circunferência

Figura 10: Marcar um pontos de intersecção. Seleccione a ferra- Figura 11: Definir uma recta paralela ao segmento AB que passa
menta destacada, aponte para o ponto de intersecção dos pelo ponto C. Com a ferramenta em destaque, faça clique
objectos e faça clique quando estiverem ambos selecciona- sobre o segmento AB e depois sobre o ponto C
dos (ficam ligeiramente mais escuros)



Figura 12: Esconder objectos. Para esconder um objecto faça clique, Figura 13: Ferramentas para obter comprimentos, distâncias e am-
com o botão do lado direito, sobre o objecto e escolha a plitudes de ângulos. Para medir comprimentos basta se-
opção “Exibir objecto” de modo a desactivar a sua visibi- leccionar a ferramenta e fazer clique sobre um segmento
lidade ou circunferência. Pode também obter a distância entre
dois pontos fazendo clique num e depois no outro. Para
as amplitudes dos ângulos, seleccione a ferramenta des-
tacada e, de seguida, três pontos de modo a que o vértice
seja o segundo ponto a ser apontado.



Figura 14: Quadrado



3.2 Construção de um quadrado utilizando rotações
1. Definina um segmento de recta AB Fig. 2 ;

2. obtenha um ponto (C) através de um rotação de 90o do ponto B em torno do
ponto A Fig. 15 ;

3. obtenha o último vértice do quadrado (D) por rotação, no sentido inverso, do
ponto A em torno do ponto B;

4. una os vértices obtidos e verifique que se trata de um quadrado que mantém as
propriedades quando arrasta os pontos A ou B Fig. 7 .

Estes processo pode ser utilizado para obter qualquer polígono regular. Os alu-
nos podem ser desafiados investigar o ângulo da rotação para cada um dos polígonos
regulares, relacionando-o com o número de lados.
Podemos também fazer as construções partir de uma circunferência, encontrando
as imagens da rotação de um ponto em torno do centro.

Figura 15: Rodar um objecto com centro num ponto. Seleccione a Figura 16: Definir os parâmetros e sentido da rotação
ferramenta em destaque na e depois faça clique no ponto
a rodar e no centro da rotação. Na caixa que surge escreva
o número de graus que o ponto deve rodar e termine com
“aplicar”;



4 Valor de π
1. Comece por representar uma circunferência Fig. 9 ;

2. represente o seu diâmetro

• trace uma semi-recta que passe por um ponto da circunferência e pelo seu
Centro Fig. 17 ;
• Marque o segundo ponto de intersecção da semi-recta com a circunferência
Fig. 10 ;
• represente o diâmetro da circunferência e esconda a semi-recta de que já não
precisa Fig. 12 ;

3. peça as medidas do perímetro e do diâmetro da circunferência Fig. 13

4. calcule a razão entre o perímetro e o diâmetro da circunferência, definindo uma
variável de nome “razao” Fig. 18 ;

5. a variável “razao” aparece agora na janela álgebra e, como seria de esperar, o seu
valor é igual a π. Pode aumentar o número de casas decimais no menu opções.

Figura 17: Definir uma semi-recta. Com a ferramenta em destaque Figura 18: Na linha de entrada escreva “ra-
seleccionada, faça clique no ponto que define a extremi- zao=Circunferencia[c]/b”. Circunferência é um
dade da semi-recta e depois num outro ponto por onde ela dos comandos do Geogebra que nos devolve o perímetro
deverá passar de uma circunferência. Repare o programa completa o
nome do comando quando escrevemos as três primeiras
letras.



5 Teorema de Pitágoras
1. Esconda os eixos Fig. 1 ;

2. desenhe um triângulo rectângulo.
Um processo possível é começar por definir um segmento de recta AB; Fig. 2
depois trace uma recta perpendicular ao segmento AB que passe pelo ponto B.
Para isso, depois de escolher a ferramenta em evidência na Fig. 8 faça clique
no ponto B e no segmento de recta AB.

3. defina um ponto sobre essa recta e defina os segmentos de recta [AC] e [BC].
Podemos agora esconder a recta auxiliar b, que serviu apenas para garantir o
ângulo ABC é recto e assim o triângulo ABC rectângulo.

4. construa quadrados sobre cada um dos lados do triângulo rectângulo utilizando
a ferramenta em evidência na Fig. 19 .

5. torne visível a área dos quadrados (Ferramenta em evidência na Fig. 20 ).

6. defina uma nova variável que some as áreas dos dois quadrados construídos so-
bre os catetos.
Repare, na janela de álgebra, que o valor de cada área foi associado a uma va-
riável de nome polyn em que n varia de 1 a 3. Assim temos a variável poly1,
poly2 e poly3 correspondentes às áreas dos três polígonos (no nosso caso quadra-
dos) que pedimos. Para somarmos as duas áreas escrevemos na linha de entrada
Soma=poly2+poly3 Fig. 21 .

Podemos agora comparar o valor obtido com o correspondente à área do quadrado
maior construído sobre a hipótenusa. Tente a construção com outros polígonos regu-
lares como triângulos equiláteros e hexágonos regulares. Experimente também com
semi-cículos.



Figura 19: Construção de polígonos regulares. Para construir po- Figura 20: Mostrando áreas. Seleccione a ferramenta em destaque e
lígonos regulares com esta ferramenta basta deﬁnir um aponte para objecto de que quer calcular a área
segmento de recta apontando para dois pontos e depois
indicar o número de lados polígono.

Figura 21: Somando duas áreas. Na linha de entrada de comandos escreva “soma=poly2+poly3”, supondo que são estas as variáveis que
representam as áreas dos dois quadrados mais pequenos



6 Relações geométricas em triângulos (a ilha Triangular)
. O João tenciona mandar construir uma casa numa ilha com a forma de um tri-
ângulo equilátero. Cada lado do triângulo é uma praia espectacular: numa delas a
ondulação é a ideal para a prática de surf, outra é uma praia de águas calmas, formi-
dável para nadar, e a terceira costuma ser frequentada por umas miúdas muitos giras.
Ora o João, que é um surfista de primeira água, um exímio nadador e um amante
de boas vistas, pretende que a sua casa fique num sítio tal que a soma das distâncias às
praias seja a menor possível. Onde deve o João mandar construir a casa?
Investigue o problema com um programa de geometria dinâmica. . .

1. “Construa” uma ilha (com a forma de triângulo equilátero) e marque a casa (um
ponto) no seu interior. Obtenha as distâncias da casa a cada um dos lados da ilha
(incluindo as respectivas medidas).

2. Desloque a casa no interior da ilha e tente descobrir o que acontece à soma das
três distâncias. Observe, em particular, o que acontece quando coloca a casa num
dos lados da ilha ou num dos vértices.

3. Some as três distâncias e afixe esse resultado no ecrã. Calcule também a altura
do triângulo e afixea igualmente no ecrã. Encontra alguma relação? No caderno
desenhe uma tabela com cinco colunas e seis linhas. Nas células da 1a linha intro-
duza, sucessivamente, as três distâncias, a respectiva soma e a altura. Desloque
outra vez a casa no interior da ilha, e, noutra linha da tabela, introduza o novo
conjunto de valores. Repita este procedimento mais três vezes. Modifique tam-
bém o lado do triângulo.

4. Estabeleça uma conjectura sobre o que observou. Já consegue indicar qual é o
melhor sítio para o João construir a casa?

Adaptado de Educação e Matemática no 37, 1996

Nota: Tente elaborar uma prova geometricamente. Para o efeito una o ponto que
representa a casa aos vértices do triângulo obtendo assim 3 novos triângulos. Através
de rotações e translações, alinhe os três triângulos sobre a linha que representa a altura
da ilha, de acordo com a figura abaixo.



Figura 22: Prova geométrica



7 Estudo de famílias de funções
1. Comece por definir dois parâmetros (a e b) utilizando a ferramenta selector;

2. defina uma função afim que dependa destes dois parâmetros escrevendo na linha
de entrada y=a*x+b

3. altere os valores de a e b arrastando os pontos sobre a linha.
Note que pode alterar as propriedades dos parâmetros para, por exemplo, toma-
rem só valores inteiros.

Figura 23: Estudo de uma família de funções


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