Matemática básica.

1.  Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2,
ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
 Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos
dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual
a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.
 Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o
número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível
por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é
divisível por 4.
 Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

2.  Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma:
6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3
(soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por
3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível
por 2).
 Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o
número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível
por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
 Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos
dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a
2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por
9.
 Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

3.  Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos
valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem
par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª
ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por
11.
2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor
múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a
subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração
21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.
 Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4
(dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível
por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível
por 3).
 Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5
(termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível
por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível
por 3).

4.  Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem
00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.
DÍZIMA PERIÓDICA
Em função da existência de um anteperíodo, neste caso a técnica é
ligeiramente diferente. Veja o exemplo abaixo:
0,171353535...
Veja abaixo mais alguns exemplos:
0,2333...
0,45222...
0,888313131...
0,32101230123...
17,16151515...
Frações, operações com frações.
Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas,
no entanto, para isto é necessário que as duas estejam na mesma
unidade de medida.
A razão entre dois números a e b é obtida dividindo-se a por b.
Obviamente b deve ser diferente de zero.
32 : 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32
para 16 é igual a 2.
Você só poderá obter a razão entre o comprimento de duas avenidas,
se as duas medidas estiverem, por exemplo, em quilômetros, mas
não poderá obtê-la caso uma das medidas esteja em metros e a
outra em quilômetros ou qualquer outra unidade de medida que não
seja o metro. Neste caso seria necessário que fosse eleita uma
unidade de medida e se convertesse para ela, a grandeza que
estivesse em desacordo.
Na razão, o número a é chamado de antecedente e o b tem o nome
de consequente.

5. Porcentagem ou razão centesimal são as razões cujo
termo consequente é igual a 100. Representamos a porcentagem
através do símbolo "%".
10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos).
Proporção nada mais é que a igualdade entre razões.
Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos
para cada quatro meninas, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja
divisão de 3 por 4 é igual 0,75. Suponhamos que na sala B,
tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão é 6
para 8, que também é igual 0,75. Neste caso a igualdade entre estas
duas razões vem a ser o que chamamos de proporção, já que ambas
as razões são iguais a 0,75.
Regra de três é um método de resolução de problemas que
envolvem grandezas proporcionais.
"Um automóvel viajando a 80km faz determinado percurso em 2
horas. Se a viagem fosse realizada à velocidade de 120km, qual seria
o tempo gasto?". Este é um exemplo de problema que pode ser
resolvido via regra de três, no caso uma regra de três simples
inversa.
A solução dos problemas de regra de três tem como base a utilização
da "propriedade fundamental das proporções" e a "quarta
proporcional".

6. PROPORCIONALIDADE E REGRA DE TRÊS
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver
problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três
deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já
conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma
espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de
espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma
lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400
watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2,
qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia
solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são diretamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo
sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:

7. Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de
400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto
tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de
480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade
(Km/h)
Tempo (h)
400 3
480 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do
percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui),
podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido
contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e
resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30
minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela
pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o
preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são diretamente
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação
temos:

8. Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia,
realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de
serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o
mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por
dia
Prazo para término
(dias)
8 20
5 x
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por
dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação
temos:
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Se 5 operários levantam um muro em 10 dias, quantos operários
serão necessários para levantar o mesmo muro em 2 dias?
Regra de três composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas
grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em
5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar
125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de
espécies diferentes que se correspondem:

9. HorasCaminhõesVolume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde
está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho,
podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação
éinversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o
número de caminhões. Portanto a relação é diretamente
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar
a razão que contém o termo x com o produto das outras
razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos
em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16
dias?
Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de
carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente
proporcional(não precisamos inverter a razão).

10. Aumentando o número de dias, a produção de
carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar
a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m
de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m,
qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as
grandezas diretamente proporcionais com a incógnita
e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra
a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses
exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas
horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6
horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6
toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos
dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35
dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias
para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará umaturma de
16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de
225m? Resposta: 15 dias.

11. 4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8
horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas
por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a
uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m
de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantosmetros de
tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos
em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.