Filtros de frequência Butterworth e Chebyshev utilizando topologia Sallen-Key

1. FILTROS PASSA-BAIXAS POR APROXIMAÇÃO BUTTERWORTH E
CHEBYSHEV UTILIZANDO TOPOLOGIA SALLEN-KEY
Douglas de Florio Ubeda Almeida
Aluno do curso de Engenharia Elétrica: Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Pato Branco - PR
e-mail: douglas_florio@hotmail.com
Resumo - Este trabalho aborda o funcionamento de
filtros analógicos passa-baixas, projetados por meio de
amplificadores operacionais utilizando modelos
matemáticos de funções de Aproximação Butterworth e
Chebyshev e comprovando suas eficácias por meio de
simulações e análise prática. Tal projeto demonstra a
resposta de um filtro implementado pela topologia
Sallen-Key, ou seja, o seu comportamento em relação ao
ganho do amplificador quando submetido a altas
frequências, permanecendo inalterável nas baixas.
Palavras-Chave – Filtro passa-baixas, Sallen-Key,
Aproximações Butterworth e Chebyshev.
I. INTRODUÇÃO
Na eletrônica analógica, os processamentos de
sinais analógicos são feitos usando filtros que podem ser
classificados de passivos ou ativos. Os filtros passivos são
constituídos de resistores, capacitores e indutores e,
geralmente, usados para frequências acima de 1MHz. Já os
ativos são construídos com capacitores, resistores e amp-
ops, úteis em frequências abaixo de 1 MHz [3].
A utilização de filtros, sejam eles passivos ou ativos, é de
grande importância para a eletrônica quando se fala em
frequências, pois quase todos os sistemas eletrônicos ou de
comunicação utilizam a implementação do mesmo para
filtrar, de modo exato, determinada frequência especifica de
acordo com o projeto desejado [2].
Em suas diversas topologias adotadas (Sallen-Key, RC,
MFB), existem cinco tipos de filtros e cada um com sua
determinada característica: passa-baixas, passa-altas, passa-
faixa, rejeita-faixa e passa-todas [1]. Sendo assim, um
quadripolo capaz de atenuar certas frequências de sinais de
entrada e permitir a passagem das demais, tendo como
resposta o ganho de tensão de acordo com a frequência.
Ainda, a dinâmica da resposta depende da ordem do filtro
projetado [2].
Hoje em dia, os filtros são implementados como
elementos constitutivos básicos em equipamentos tais como
MODEM (MOdularos-DEMmodulador) que conectam
computadores nas redes de comunicação de dados e em
equipamentos de diversas áreas da engenharia que
necessitam separar, bloquear, melhorar e modificar sinais,
ou ainda, para o atendimento aos limites de injeção de
harmônicos em conversores. Além disso, vale ressaltar o
uso de filtros ativos passa-baixas dentro da área de
instrumentação, em que a eletromedicina e bioeletrônica
utilizam de equipamentos que necessitam operar em
frequências baixas [2].
É evidente que, para o planejamento de um filtro, é
necessário atender as especificações do projeto, ou seja, a
faixa de frequência na qual irá operar para tal fim. Para isso,
alguns parâmetros têm que ser definidos tais como banda de
passagem, banda de corte, frequência de corte, ordem do
filtro e atenuação máxima e mínima das respectivas bandas
[1][2].
II. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO
Embora exista uma variedade de filtros, o foco para este
projeto é em filtros passa-baixas nos quais, como já dito,
permite a passagem de todas as frequências desde 0 Hz até
a frequência de corte denominadas banda de passagem e
impedindo as demais frequências consideradas altas na
banda de corte, logo após essa frequência de corte fc. Para
uma análise mais detalhada, denomina-se ainda a banda de
transição, na qual dispõe-se de uma faixa de frequências f1
e f2 em que o ganho decaí de forma mais realista. Esses
parâmetros estão ilustrados na Figura 1, que demostra a
resposta real e ideal do filtro em questão em função da
frequência, onde G corresponde ao ganho [1].
Fig. 1. Resposta em frequência real na curva em pontilhado e
ideal no retângulo em azul
Para os cinco tipos de filtros e suas respectivas respostas
em frequência, existem padrões de aproximações que traduz
a forma mais ideal possível de representa-los de maneira a
atender as expectativas do projetista [1]. Essas formas são
denominadas funções matemáticas que determinam as
equações de transferência de um filtro. E são elas:
aproximação de Butterworth, aproximação de Chebyshev,
aproximação Elíptica ou de Cauer e aproximação de Bessel,
entre outras [3].
A. Aproximação de Butterworth
Cognominada de aproximação maximamente plana, a
aproximação de Butterworth é considerada o modelo
matemático que admite atenuação quase zero na banda de
passagem onde se localiza o ripple. Ainda, seu desvio
máximo do valor de ganho KPB (adorando ideal unitário)

2. ocorre apenas na borda da banda de passagem, caindo
gradativamente para um valor de atenuação Ap aceitável.
Isso se deve ao fato de que as derivadas de primeira ordem
2n – 1 do modulo da função de transferência, da expressão
(1), em relação a frequência são zeros em ω=0, fazendo com
que a resposta seja plana e dando, assim, origem ao seu
cognome. Entretanto, sua desvantagem em relação a outro
tipo de aproximações é o seu decaimento ser relativamente
lento [1], [4].
Pode ser notado que, a resposta para este tipo de
aproximação, em relação ao grau de nivelamento do filtro
projetado, depende exclusivamente de sua ordem n, ou seja,
à medida que n aumenta mais ideal se apresenta a resposta
de frequência do mesmo [4]. Além do mais, sua taxa de
decaimento, medida em dB (decibéis) por década, é igual a
20n dB/década [1].
O projeto em si desse tipo de aproximação é expressado
por meio de modelos matemáticos capazes de encontrar a
ordem n do filtro de acordo com os parâmetros requisitados
do projeto e, por consequência, os polos para a equação de
transferência que represente o seu comportamento frente as
frequências. O procedimento adotado é realizado da
seguinte forma [2]:
1) Método de projeto utilizado para Butterworth.
Da função de transferência dada pela expressão (1), para
filtros passa-baixas, obtêm-se o desenvolvimento da
função-resposta característica expressada por (5).
Onde:
n - Ordem do filtro a ser determinada.
ω0 - Frequência normalizada.
KPB - Ganho quando ω=0.
ω - Frequências angulares da banda de transição.
Fazendo KPB=1 e variando o valor de n, temos as curvas
correspondentes para cada resposta dependendo da ordem
do sistema, representado pela Figura 2.
Fig. 2 - Curvas para resposta de ordem n para aproximação de
Butterworth
Uma vez que a função de transferência é expressada, é
possível encontrar os polos que representam a aproximação
em questão utilizando o denominador da expressão (1) e
admitindo que ela não possui zeros. Este procedimento é
dado pela expressão (2) e (3), em que substitui ω=s/j [5].
Encontrando, assim, a expressão (4) que representa as
raízes Pk do polinômio da expressão (3), em que k=1,2,3...n
é o número de polos [5]:
Com os polos encontrados e substituindo na expressão
(5), obtêm-se uma nova função de transferência que
representa a aproximação de Butterworth [5]:
Entretanto, as expressões encontradas são genéricas para
ordem n. Assim, para encontrar a ordem são realizadas
algumas manipulações algébricas [5].
Com os valores de atenuações especificados em dB,
facilmente se encontram os ganhos aplicando a função
logarítmica de conversão para decibéis dadas pelas
expressões (6) e (7).
Onde:
A1 - Atenuação superior para faixa de transição.
A2 - Atenuação inferior para faixa de transição
G1 - Ganho superior para faixa de transição.
G2 - Ganho inferior para faixa de transição.
Substituindo na expressão (1) em que ω 1 tem-se G1 e
em ω2
, tem-se G2, obtêm-se as expressões (8) e (9):
Isolando ω 0 da expressão (8), tem-se a expressão (10):
5( )
4( )
3( )
2( )
6( )
7( )
1( )
8( )
1
1

1

0







G
1
1
1

2

0







G
2
9( )
H j( )
K
PB
1


0






2 n

20 log G
1  A
1

20 log G
2  A
2

1
s
j
0






2 n
 0
s
n
1( )
n

0 2 n
 0
P
k
0 e
j 
2
 e
j 2 k 1( )

2 n









H s( )
P
1
  P
2
  P
3
  ... P
n
 
s P
1
  s P
2
  s P
3
  ... s P
n
 

3. Substituindo a expressão (10) em (9) tem-se a expressão
(11) para valores de n:
B. Aproximação de Chebyshev
Em respostas de filtros de baixa ordem, o modelo de
Butterworth não é apropriado para frequências próximas a
frequência de corte. Assim sendo, o modelo de Chebyshev
é bem empregado pois possui comportamento satisfatório
para essas frequências [2].
Pode ser notado que, esse tipo de aproximação é utilizado
quando não se tem preocupação com a resposta de
frequência na banda passagem, pois a ocorrência de
ondulações (ripple) nessa banda é inevitável. Porém, para
projetos que necessitam de um decaimento mais rápido na
banda de transição, este tipo de modelo matemático é bem
utilizado [1].
Apesar de apresentar maior atenuação na banda de
transição, a resposta de frequência na banda de passagem
não é satisfatória devido a quantidade de oscilações de
ripples que ela apresenta. Por consequência disso, a
determinação da quantidade de ondulações é determinada
pela ordem do filtro, ou seja, o número de ondulações é
igual a ordem do filtro dividido por 2 e, ainda, pelo efeito
da constante ε, da função-resposta, na amplitude dos ripples
[1], [2].
1) Método de projeto utilizado para Chebyshev.
Da função de transferência dada pela expressão (12),
para filtros passa-baixas, obtêm-se o desenvolvimento da
função-resposta característica expressada por (5) [2].
Onde:
n - Ordem do filtro a ser determinada.
ω0 - “Largura de banda".
KPB - Ganho quando ω=0.
Cn
2
(ω/ω0) - Polinômio de Chebyshev.
ε - constante de ripple.
Para visualizar melhor a característica da função-
resposta de Chebyshev, o gráfico da Figura 3 descreve o
comportamento das ondulações e das correspondentes
bandas de frequência para valores de KPB unitário onde a
frequência é é nula (ω=0), levando em consideração o efeito
da constante ε na amplitude dos ripples, de acordo com a
função de transferência da aproximação sugerida por
Chebyshev.
Para o método de aproximação de Chebyshev, é
necessário encontrar a ordem do filtro com os requisitos
especificados do projeto, tal como as frequências angulares
da banda de transição e suas respectivas atenuações, para
poder designar o Polinômio de Chebyshev da Tabela 1, pois
o mesmo depende da ordem do sistema [2].
TABELA I
Polinômio de Chebyshev
𝒙 =Cn(ω/ω0)
Ordem n Polinômio Chebyshev
0 1
1 𝑥
2 2𝑥2
− 1
3 4𝑥3
− 3𝑥
4 8𝑥4
− 8𝑥2
+ 1
A procedimento para encontrar a ordem é da seguinte
forma [2]:
Para encontrar ε, substitui A1 na expressão (13) e, da
mesma forma para encontrar G2, substitui A2 na expressão
(7).
Com o valor de G2 definido, substitua-o na expressão
(14), adotando que a primeira frequência angular ω1 da
banda de transição seja igual a frequência ω0 e que a
segunda frequência ω2 seja igual a ω. Por fim, com os
valores substituídos, encontra-se a ordem do filtro desejado
[2].
Com o valor da ordem definido, faz-se uma recorrência
na Tabela 1 para escolher o devido polinômio e substituí-lo
na expressão (12). Adquirindo, assim, a função resposta de
ordem n.
13( )
14( )
12( )
H j( )
K
PB
1 
2
C
n


0












2


0 2 n

1 2 n
1
G
1 2
1
2  f
1
 2 n
1
G
1






1
10( )
A
1
20 log 1 
2
 
G2
1
1 
2
cosh n acosh
2
0












2







Fig. 3 - Curvas para resposta de ordem n para Aproximação de
Chebyshev
2
1






2 n
1
G2
2
1
1
G1
2
1
11( )

4. O método para encontrar os polos de Chebyshev é
substituindo os parâmetros encontrados na expressão (15)
[2]:
Por fim, com os polos determinados substituindo na
expressão (5), obtêm-se uma nova função de transferência
que representa a aproximação de Chebyshev.
C. Topologias de Filtro Utilizada
Para implementação das aproximações de Butterworth e
de Chebyshev, é necessário escolher uma das topologias
para implementação dos respectivos filtros. Essas
topologias podem ser, por exemplo, filtro RC, filtro Salen-
Key, filtro MFB, etc.
Contudo, o mais usual das topologias é o Sallen- Key e
RC, no qual necessitam serem calculados valores de
capacitores e resistores que dependam do fator de qualidade
e frequências de corte dos filtros a serem projetados.
O fator de qualidade é adquirido de forma genérica para
ordem 2 pela expressão (16) e (17), em que cada filtro
possui seus correspondentes valores de fator de qualidade
Q1 e Q2 de acordo com os polos encontrados pelas
expressões 4 e 15. Consequentemente, é análogo para os
valores dos componentes do circuito.
O fator de qualidade é iqual a [5]:
Em que, pela expressão (18), encontra-se a frequência de
corte [2]:
Os valores de capacitores e resistores da topologia
Sallen-key, representados pelas Figuras 8 e 13, são dados
pelas expressões (19), (20) e (21) para ordem genérica dois,
em que a expressão (19) está relacionada com as expressões
(16) e (17) [2].
Onde:
ωx - Frequência angular ressonante.
Para ordem um, o resistor e o capacitor é dado da
seguinte forma para a Topologia RC:
Para filtros de ordem n, faz-se uma associação dos
estágios de segunda ordem em cascata em que se deseja
ordens pares.
No entanto, para ordens ímpares, usa-se filtros passivos
utilizando componentes calculados pela expressão (22) [1].
III. DESENVOLVIMENTO DO PROJETO
Para o desenvolvimento do projeto de filtros, foi
especificado os requisitos mínimos, representados na
Tabela 2, para montagem e obtenção dos resultados
esperados utilizando as aproximações de Butterworth e de
Chebyshev.
Para tanto, os valores de capacitores e resistores deverão
ser obtidos tomando como partida esses parâmetros
especificados e, posteriormente, serem implementados na
topologia Sallen-Key.
TABELA II
Requisitos para o projeto de filtros
A1 (dB) A2 (dB) f1(kHz) f2 (kHz) ω1(rad/s) ω2(rad/s)
0,5 14 22,5 45 1,414×105
2,827×105
A. Filtro Passa-baixas por Aproximação de Butterworth
Utilizando Topologia Sallen-Key
Primeiramente, utilizando as expressões 6 e 7 para obter
G1 e G2, substituindo esses valores juntamente com ω1 e ω2
na expressão (10) e isolando n da expressão (11), obtêm-se
n=3,8136. Adotando arredondamento para cima, a ordem
será n=4 para o filtro de Butterworth.
Com o valor de n encontrado, a frequência angular de
corte ω0 é dada por:
De onde se obtém ω0 = 1,839×105
rad/s.
Em seguida, substituindo este valor da frequência
angular de corte na expressão (4), obtém-se os quatros
valores dos polos apresentados pela expressão (20) para k
variando até 4:
15( )
17( )
16( )
22( )
23( )
24( )19( )
20( )
21( )
P
k
0 sin
2 k 1( ) 
2 n






 sinh
1
n
asinh
1













i 0 cos
2 k 1( ) 
2 n






 cosh
1
n
acosh
1














Q
1
P
1
  P
n
  
P
1
  P
n
  
Q
2
P
2
  P
3
  
P
2
  P
3
  
Q
0
f
0
f
c2
f
c1

18( )

x
P
1
  P
n
 
C2
1
R1 R2 2 Q( )
2  
x

C1 2 Q( )
2
C2
C
1
R 
x


0
2 n
1( )
2 n
1
G1
2






1

5. A partir dos valores encontrados e substituídos na
expressão (12), obtém-se o gráfico de bode da Figura 4 em
escalas logaritmo.
Para escala decimal, obteve-se o gráfico da Figura 5.
Para o dimensionamento dos componentes
correspondentes a topologia Sallen-Key, é preciso utilizar
as expressões 16, 17 e 19, substituindo os polos encontrados
nas mesmas para obter os valores dos fatores de qualidade
e frequência de ressonância e, assim, usá-los para encontrar
os capacitores e resistores do filtro passa-baixas.
Os fatores de qualidades são Q1=1,307 e Q2=0,541, e o
valor da frequência de ressonância é ωx= 1,839×105
rad/s.
Logo, com esses valores, encontra-se os valores dos
capacitores C1=14,21×10-9
F e C2=2,081 ×10-9
F do
primeiro estágio de ordem 2 pelas expressões 20 e 21,
escolhendo resistores comerciais de 1kΩ.
Por fim, os capacitores e resistores do segundo estágio de
ordem 2 são calculados de forma análoga ao primeiro
estágio, apenas renumerando-os para uma melhor
organização da análise dos resultados. Tais valores
calculados são C3=5,886×10-9
F e C4=5,024×10-9
F, para a
mesma frequência de ressonância ωx. Os valores estão
apresentados na Tabela 3.
TABELA III
Valores Calculados para o Projeto de Filtro Passa-
baixas
Resultados para ordem n=3,8136 e ωx= 1,839×105
rad/s
Primeiro estágio de ordem 2 Segundo estágio de ordem 2
Capacitor 1 14,21×10-9
F Capacitor 3 5,886×10-9
F
Capacitor 2 2,081 ×10-9
F Capacitor 4 5,024×10-9
F
Resistor 1 1 kΩ Resistor 3 1 kΩ
Resistor 2 1 kΩ Resistor 4 1 kΩ
B. Filtro Passa-baixas por Aproximação de Chebyshev
Utilizando Topologia Sallen-Key e RC
Para projeto de filtro utilizando o modelo matemático de
Chebyshev, faz-se necessário encontrar, em primeiro caso,
a ordem do filtro a ser analisado para posteriormente
designar o polinômio de Chebyshev. Com isso, utilizando a
expressão (13), obtêm-se o valor de ε=0,349 e, da expressão
(7), o valor de G2= 0,2. Substituindo esses valores na
expressão (14), adotando que ω0= ω1= 1.414×105
rad/s,
obtêm-se n=2,532. Adotando arredondamento para cima, a
ordem será n=3 para o filtro de Chebyshev.
Com o valor de n encontrado, o polinômio de Chebyshev
da Tabela 1 será:
T(x) = 4x3
− 3x (25)
Substituindo Cn(ω/ω0), tem-se a expressão (26):
𝐶 𝑛( 𝜔
𝜔0⁄ ), = 4( 𝜔
𝜔0⁄ )3
− 3 𝜔
𝜔0⁄ (26)
A partir do polinômio da expressão (26), substituindo na
expressão (12), tem-se a equação que representa o gráfico
da Figura 6, em escala logaritmo.
Para escala decimal, obteve-se o gráfico da Figura 7.
Por meio do valor de n=3 e adotando que ω0= ω1=
1.414×105
rad/s, substitui-se esses valores na expressão
(15) para obter os polos representados pela expressão (27).
100 1 10
3
 1 10
4
 1 10
5
 1 10
6

100
50
0
A2
A1
HdB f( )
f1 f2
f
100 1 10
3
 1 10
4
 1 10
5
 1 10
6

0
0.5
1
G2
G1
H f( )
f1 f2
f
100 1 10
3
 1 10
4
 1 10
5
 1 10
6

0
0.5
1
G2
G1
H f( )
f1 f2
f
Fig. 5. - Gráfico da função de transferência em escala decimal do
filtro passa-baixas por aproximação de Butterworth
Fig. 6. - Gráfico de bode em escala logarítmica do filtro passa-
baixas por aproximação de Chebyshev
100 1 10
3
 1 10
4
 1 10
5
 1 10
6

100
80
60
40
20
0
A2
A1
HdB f( )
f1 f2
f
Fig. 7. - Gráfico da função de transferência em escala decimal
do Filtro Passa-baixas por Aproximação de Chebyshev
Fig. 4. - Gráfico de bode em escala logaritmo do filtro passa-
baixas por aproximação de Butterworth

6. De forma semelhante ao procedimento para filtro com
aproximação de Butterworth, porém, adotando agora ordem
n=3 e modificando a estrutura da topologia do segundo
estágio para RL e permanecendo a topologia Sallen-Key
para o primeiro estágio.
Para o primeiro estágio, obteve-se os valores calculados
da frequência de ressonância ωx= 1,496 ×105
rad/s, do fator
de qualidade, obtendo Q1=1,69 e, também, os capacitores e
resistores do primeiro estágio com valores iguais a C1=
22,583 ×10-9
F e C2= 1,978 ×10-9
F, escolhendo os mesmos
valores de resistores comerciais de 1kΩ.
Contudo, para o resistor e capacitor da topologia RC, fora
necessário calcular uma nova frequência de ressonância
utilizando o modulo do valor do polo real da expressão (26)
igual a ωx=8,856×104
rad/s, na expressão (22) e obter o
valor de C3=11,291 ×10-9
F adotando, ainda, o resistor
utilizado até agora. Os valores calculados estão listados na
Tabela 4.
TABELA IV
Valores Calculados para o Projeto de Filtro Passa-
baixas
Resultados para ordem n=2,532e ωx= 1,496 ×105
rad/s e
8,856×104
rad/s
Primeiro estágio de ordem 2 Segundo estágio de ordem 1
Capacitor 1 22,583×10-9
F Capacitor 3 11,291×10-9
F
Capacitor 2 1,978 ×10-9
F Capacitor 4 -
Resistor 1 1 kΩ Resistor 3 1 kΩ
Resistor 2 1 kΩ Resistor 4 -
IV. RESULTADOS
Uma vez que os valores dos componentes do circuito a
serem analisados foram calculados, obteve-se uma análise
prática e simulada para comprovar a eficiência dos filtros
adotados pelas aproximações usadas. Para tal feito, fora
utilizado o Software de simulação PSIM e comprovados os
valores na prática.
A. Análise Prática e Simulada utilizando Aproximação de
Butterworth
1) Simulação Butterworth.
Na primeira parte da simulação, com os valores de
capacitores e resistores, encontrados por meio de cálculos
apresentados na Tabela 3, foi possível montar o circuito da
Figura 8.
Da Figura 8, nota-se que os capacitores são dispostos no
circuito de forma a respeitar o valor do fator de qualidade
de cada associação de estágio PB de segunda ordem.
Aplicando sinais de frequências iguais as especificadas
para a banda de transição e, analisando a frequência radial
calculada, pode-se obter o gráfico de bode representado na
Figura 9 para a simulação do circuito da Figura 8.
2) Prática Butterworth.
Para a prática, fora implementado o circuito da Figura 8
com os valores aproximados de resistores e capacitores,
obtendo, assim, as imagens do osciloscópio, nas frequências
antes da borda da banda de transição superior, na frequência
de corte, e na frequência da borda da banda de transição
inferior, respectivamente, 15 kHz, 29,24 kHz e 45kHz,
representadas pelas Figuras 10, 11 e 12.
Fig. 9. Gráfico de bode em escala logarítmica do filtro passa-
baixas por aproximação de Butterworth
Fig. 10. - Resposta do filtro utilizando aproximação
Butterworth para um sinal de entrada de 15kHz. Canal 1 (amarelo)
tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (azul) tensão de saída
(1V/div). Escala de tempo de 25µs.
27( )
Fig. 8. Circuito filtro passa-baixas utilizando aproximação de
Butterworth por topologia Sallen-Key

7. B. Análise Prática e Simulada utilizando Aproximação de
Chebyshev
1) Simulação Chebyshev
Na segunda parte da simulação, com os valores de
capacitores e resistores, encontrados por meio de cálculos
apresentados na Tabela 4, foi possível montar o circuito da
Figura 13.
Aplicando sinais de frequências iguais as especificadas
para a banda de transição e, analisando a frequência radial
calculada, pode-se obter o gráfico de bode representado na
Figura 14 para a simulação do circuito da Figura 13.
2) Prática Chebyshev
Para a prática, fora implementado o circuito da Figura
13 com os valores aproximados de resistores e capacitores,
obtendo, assim, as imagens do osciloscópio, nas
frequências antes da borda da banda de transição superior,
na frequência dentro da banda de transição, e na frequência
da borda da banda de transição inferior, respectivamente,
20 kHz, 29,24 kHz e 45kHz, representados pelas Figuras
10, 11 e 12.
Fig. 14. Gráfico de bode em escala logarítmica do Filtro Passa-
baixas por aproximação de Chebyshev
Fig. 15. - Resposta do filtro utilizando Aproximação
Chebyshev para um sinal de entrada de 20 kHz. Canal 1 (azul)
tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (amarelo) tensão de saída
(1V/div). Escala de tempo de 10µs.
Fig. 11. - Resposta do filtro utilizando Aproximação
Butterworth para um sinal de entrada de 29,247 kHz. Canal 1
(amarelo) tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (azul) tensão de
saída (1V/div). Escala de tempo de 10µs.
Fig. 12. - Resposta do filtro utilizando Aproximação
Butterworth para um sinal de entrada de 45 kHz. Canal 1 (amarelo)
tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (azul) tensão de saída
(200mV/div). Escala de tempo de 10µs.
Fig. 13. Circuito filtro passa-baixas utilizando aproximação de
Chebyshev por topologias Sallen-Key e RC.

8. C. Resultados.
No final da prática e da simulação, fora obtido os valores
reais dos parâmetros analisando os gráficos das simulações
e das práticas com os resultados ideais calculados contidos
nas Tabelas 2. Esses valores obtidos nesta secção estão
contidos na Tabela 5 e 6.
TABELA V
Resultados Obtidos e Calculados Butterworth
Filtros passa-baixas
Frequências 15 kHz 29.2 kHz 45 kHz
Ganho simulação -0,0079 dB -3,008 dB -15,1247 dB
Ganho Pratica -0,0069 dB -2,76 dB -14,59 dB
Ganho Teórico 0 dB -3.01 dB -15.084 dB
TABELA VI
Resultados Obtidos e Calculados Chebyshev
Filtros passa-baixas
Frequências 20 kHz 26,18 kHz 45 kHz
Ganho simulação -0,11 dB -3.19 dB -19,47 dB
Ganho Prática 0.13 dB -3,06 dB -19,43 dB
Ganho Teórico -0,011 dB -2.931 dB -19,216 dB
Analisando as Tabelas 5 e 6, e comparando-as com a
Tabela 2, nota-se que os valores chegaram próximos do
esperado havendo apenas algumas discrepâncias devido a
aproximação dos capacitores e resistores na implementação
da prática.
Nota-se nesta comparação que, para valores de
frequências próximos da banda de transição não há
atenuação considerável, ou seja, em frequências abaixo da
frequência de corte não foi percebida atenuação.
Vale ressaltar que, para a Aproximação Chebyshev existe
uma oscilação no ganho antes da faixa de frequências da
banda de transição, e o que comprova isso seria o ganho
positivo de 0,13 dB para a frequência de 20kHz, ou seja,
abaixo da frequência da borda superior da banda de
transição. Esse fato pode ser identificado na Figura 15, em
que o valor da amplitude da saída é maior que o valor da
amplitude da entrada. Porém, nota-se ainda que, para uma
frequência de 26,18 kHz na Aproximação Chebyshev, a
atenuação foi de -3,06 dB e para a Aproximação de
Butterworth em uma frequência maior de 29,2 kHz, que
aliás, é a frequência de corte do filtro de Butterworth, teve
uma atenuação de -3,008 dB, ou seja, para o filtro de
Chebyshev caiu mais rápido.
Na análise do filtro modulado pelas equações de
Butterworth, pode-se notar que, em uma frequência anterior
a frequência da banda de transição, sua saída parece sempre
estar inalterável, pois os valores dos ganhos na frequência
de 15 kHz tende a zero, segundo os resultados obtidos. Essa
afirmação se comprova analisando o gráfico da Figura 10,
em que a saída permanece inalterável para esta frequência.
V. CONCLUSÕES
Com os resultados obtidos nas Tabelas 5 e 6, e a teoria
sobre filtros, foi possível concluir o funcionamento dos
filtros para as duas aproximações, em que ambos permitem
a passagem de frequências baixas, porém impedem a
passagem das frequências mais altas, apesar de sua
dinâmica de resposta de frequência serem diferentes um do
outro.
Ademais, comparando as características essências das
duas aproximações utilizadas, pode-se concluir que, o
método de Butterworth é de essencial importância para
aplicações em que a resposta necessita de um nivelamento
máximo na banda de passagem, já na sua banda de transição
não é favorável quando se necessita de uma resposta rápida
de decaimento do sinal de entrada. Porém, quando a banda
de passagem é um requisito irrelevante para o projetista,
seria recomendável, segundo a análise dos resultados, a
utilização do filtro de Chebyshev se a intenção é obter uma
resposta rápida na saída do sistema. Ainda, o que
comprovaria esta característica desse filtro seria ordem em
que ele foi implementado, ou seja, em uma ordem menor
Fig. 17. - Resposta do filtro utilizando Aproximação
Chebyshev para um sinal de entrada de 45 kHz. Canal 1 (azul)
tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (amarelo) tensão de saída
(200mV/div). Escala de tempo de 10µs.
Fig. 16. - Resposta do filtro utilizando Aproximação
Chebyshev para um sinal de entrada de 26 kHz. Canal 1 (azul)
tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (amarelo) tensão de saída
(1V/div). Escala de tempo de 10µs.

9. que o filtro de Butterworth e ainda consegue obter uma
atenuação mais rápida.
Logo mais, para uma possível melhora na resposta seria
o aumento da ordem dos filtros para obter uma melhor
resposta do sistema. Poderia, também, ser interessante
juntar as duas características dos projetos de filtros para este
trabalho e obter a melhor resposta possível em níveis de
filtragem de frequência.
Portanto, conclui-se que, tanto a modelagem Butterworth
quanto a de Chebyshev são eficientes em suas respectivas
características e qualidades.
REFERÊNCIAS
[1] MALVINO, Albert Paul; BATES, David
J. Eletrônica. 7. Ed, vo. 2. São Paulo: McGraw-Hill,
c2007-2008. 2v.
[2]PERTENCE JÚNIOR, Antônio. Amplificadores
operacionais e filtros ativos: teoria, projetos,
aplicações e laboratório. 5. ed. São Paulo: Makron,
1996. xvi, 359 p. ISBN 85-346-0498-3.
[3] GRANDA MIGUEL, Mercedes; MEDIAVILLA
BOLADO, Elena. Instrumentación
electrónica: transductores y acondicinadores de
. Santander, Espanha: Universidad de Cantabria, 2010.
vii, 495 p. ISBN 9788481925682.
[4] SEDRA, Adel S.; SMITH, Kenneth
Carless. Microeletrônica. São Paulo, SP: Makron
Books, 1995. 2 v. ISBN 853460293.
[5] RAZAVI, Behzad. Fundamentos de microeletrônica.
Rio de Janeiro: LTC, c2010. xxv, 728 p. ISBN
9788521617327.