Experimento
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Análise de dados
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O experimento
Sinopse
Neste experimento, será apresentada a seus alunos uma geometria
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Táxi e combinatória O Experimento  2  /  8
Introdução
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Táxi e combinatória O Experimento  7  /  8
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das propriedades do Triângulo de Pascal
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  1. 1. Experimento O experimento Análise de dados e probabilidade licença  Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação Governo FederalSecretaria de Educação a Distância Táxi e combinatória Objetivos da unidade Fazer uma breve introdução da1. Geometria do Táxi; Capacitar o aluno a desenvolver técnicas para a resolução2. de problemas de contagem; Introduzir o Triângulo de Pascal e algumas de suas propriedades.3.
  2. 2. O experimento Sinopse Neste experimento, será apresentada a seus alunos uma geometria diferente da euclidiana, conhecida como Geometria do Táxi, em que a menor distância entre dois pontos nem sempre é a medida de um segmento de reta! A partir dela, eles poderão desenvolver habilidades em combinatória e ser apresentados ao triângulo de Pascal. Conteúdos Combinatória: Combinação, Triângulo de Pascal. Objetivos Fazer uma breve introdução da1. Geometria do Táxi; Capacitar o aluno a desenvolver técnicas para a resolução de problemas2. de contagem; Introduzir o Triângulo de Pascal e algumas de suas propriedades.3. Duração Uma aula dupla. Material relacionado Software: Geometria do táxi – distâncias; Geometria do táxi –„„ combinatória; Geometria do táxi – formas geométricas. Experimentos: De quantas maneiras posso passar meu cadarço?„„ Vídeo: Vou de Táxi;„„ Áudio: O que é permutação?„„ Táxi e combinatória
  3. 3. Táxi e combinatória O Experimento  2  /  8 Introdução A partir de uma malha quadriculada que representará os quarteirões de uma cidade, este experimento explora um pouco da Geometria do Táxi, que é aquela em que se deve respeitar os quarteirões para chegar de um ponto a outro. A menor distância entre dois pontos nem sempre é, como na geometria euclidiana, dada pela medida do segmento de reta que os une, uma vez que não é possível atra­ vessar as casas dos quarteirões com o carro. Um menor caminho é dado por um percurso entre duas localidades que tenha o número mínimo de quadras. Sendo assim,na maioria das vezes teremos vários menores caminhos. Mas, quantos são esses menores caminhos? E qual é essa menor distância? Neste experimento, seus alunos apren­ derão a responder a essas perguntas, além de serem apresentados a outros conceitos de combinatória.
  4. 4. Táxi e combinatória O Experimento  3  /  8 O Experimento Material necessário Papel e lápis.„„ Comentários iniciais Para este experimento ser bem realizado, recomendamos que a classe já tenha aprendido, em aulas anteriores, o Princípio Fundamental da Contagem, que normalmente configura o início do ensino de combinatória. Qual é a menor distância? Para esta etapa, o estudante terá, na Folha do Aluno, uma malha quadriculada representando as ruas de uma cidade. Há um ponto representando a casa do aluno no canto superior esquerdo desta malha, onde haverá, também, um bairro destacado do qual ele deverá escolher uma esquina para representar a casa de um amigo. A figura encontra-se logo abaixo: Feita a escolha da esquina que represen­ tará a casa de um amigo, a seguinte questão será proposta aos alunos: Qual é a menor distância (em número de quadras) que um taxista poderia fazer para ligar as duas casas marcadas na malha? Trace seis caminhos diferentes de sua casa até a casa de seu amigo tendo, todos, a menor distância encontrada (suponha que, em todas as ruas, os carros podem se locomover nos dois sentidos). Assim, se os alunos escolherem, por exemplo, a esquina indicada pelo ponto ABCDEFGna figura 2 a seguir, seis dos possíveis caminhos estão traçados (cada um com Neste experimento, consi­!! deraremos quarteirão como sendo um quadrado e chamaremos de quadra o menor segmento que une uma esquina a outra de uma mesma rua. etapa 1 sua casa fig. 1 Questão para os alunos
  5. 5. Táxi e combinatória O Experimento  4  /  8 Para responder a essa pergunta, vamos sistematizar os trajetos feitos, indicando por HVum movimento de uma quadra feito na horizontal e porHV um movimento de uma quadra feito na vertical. Por exemplo, na figura 2, temos os seguintes caminhos traçados: HV„„ HVHVHVHVHV (em laranja); HV„„ HVHV HVHVHV(em verde); HV„„ HVHVHV HVHV (em amarelo); HV„„ HVHV HVHV HV(em vermelho); HV„„ HV HVHVHVHV (em azul); HV„„ HV HVHV HVHV(em roxo). Analisando as sequências do exemplo anterior, percebemos que todas têm a mesma quantidade de letras no total, e as mesmas quantidades de letras V e H. Isso se repetirá para todos os trajetos de menor distância que podemos fazer. Dessa maneira, podemos ver que cada trajeto mínimo formado pode ser enten­ dido como uma permutação das letras de comando (HV e HV). Sendo assim, para saber quantos menores caminhos existem, basta calcular o total de anagramas que podemos formar com a sequência. Podemos realizar este cálculo pensando de diversas maneiras e mostraremos duas delas logo abaixo. Primeira maneira:„„ utilizando apenas técnicas de contagem. Em nosso exemplo, temos seis quadras para percorrer, sendo três para a direita e três para baixo (sequência HVHVHVHVHVHV). uma cor diferente) e a resposta sobre o menor caminho é seis quadras. Repare que em todos os trajetos foram percorridas no total três quadras da esquerda para a direita e três de cima para baixo. Verifique se todos os seus alunos conseguiram obter os resultados desejados corretamente. Isso será necessário para a próxima etapa. Quantos menores caminhos existem? Na etapa anterior, pedimos aos alunos para que traçassem na figura seis caminhos diferentes que tivessem a menor distância. No entanto, deve haver ainda mais possibilidades de trajetos para o táxi. Quantas serão? Para conseguir realizarºº o percurso mais curto, deve-se andar, neste caso, apenas nos sentidos de cima para baixo e da esquerda para direita. A quantidade total deºº letras nas sequências é igual à quantidade de quadras percorridas. Em nosso caso, temos seis letras no total, sendo três HVs e três HVs. sua casa C fig. 2 etapa 2
  6. 6. Táxi e combinatória O Experimento  5  /  8 Para o nosso exemplo, em que temos seis letras na sequência, três HVs e trêsHVs, encontramos N = (6)! (3)!(3)! = 20. Sendo assim, inicialmente, o que será pedido aos alunos nesta etapa é que sistematizem os seis caminhos traçados utilizando a notação dos HVs eHVs. Depois, perguntaremos se, observando a notação que utilizaram, eles são capazes de descobrir quantos menores caminhos existem até a casa do amigo. É importante dar um tempo para que eles tentem encontrar o número desejado sozinhos e, quando achar que foi suficiente, faça a explicação de como encon­ trar esse valor. Uma propriedade Nesta etapa, será solicitado aos alunos para marcarem as duas esquinas vizinhas da casa do amigo dele que estiverem mais próximas de sua casa, como no exemplo abaixo: Podemos usar o princípio fundamental da contagem e pensar que há seis posições na sequência para o primeiro HVaparecer, 5 para o segundo e 4 para o terceiro, obtendo 6·5·4 = 120 3! Npossibilidades. Porém, como os Hs são iguais entre si, devemos dividir esse valor pela permutação deles, que nesse caso é6·5·4 = 120 3! N. Depois de posicionados os HVs, basta completar as posições que faltam na sequência comHVs para que tenhamos os trajetos formados. Sendo assim, o número de trajetos possíveis para esse caso é6·5·4 = 120 3! N, sendo N = 6·5·4 3! = 6·5·4 3·2·1 = 20 Cn,p =  n p  = n! p!·(n−p)! . Observe que a escolha da posição dos HVs foi a combinação de seis, três a três, já que tínhamos seis quadras, das quais deveriam ser escolhidas três para serem horizontais. Lembre-se que )! p+q = n Cp n = n! p!(n−p)! = n! p!q! = n! (n−q)!q! = Cq n= 6·5·4 3·2·1 = 20 Cn,p =  n p  = n! p!·(n−p)! . Segunda maneira„„ : utilizando permutação com repetição. Para descobrir quantos anagramas tem a sequência obtida, podemos calcular o total de permutações (com repetições) das letras. Dessa maneira, podemos dizer que o número total de menores caminhos possíveis é N = (n° de letras da sequência)! (n° de Hs)!·(n° Vs)! . Se tivéssemos feitoºº o cálculo ao lado com as letrasHV ao invés de HV, o valor de6·5·4 = 120 3! Nteria sido o mesmo, ainda que as quantidades deHVs e HVs fossem diferentes. Verifique! Esta pode ser umaºº oportunidade de ensinar a permutação simples e a permutação com repetição a seus alunos. etapa 3
  7. 7. Táxi e combinatória O Experimento  6  /  8 esquinas vizinhas. Daí vem a propriedade mencionada. Fechamento Para finalizar a aula, sugerimos que seja feita na lousa uma malha quadriculada para representar as ruas de uma cidade. Também propomos que um ponto no canto superior esquerdo seja marcado, representando uma casa. Feito isso, escreva, em cada esquina, o valor associado ao número de menores caminhos que há para se chegar da casa até aquele ponto, como no exemplo abaixo: Nesta figura, podemos ver o Triângulo de Pascal. Como? Observe a figura a seguir: Depois disso, pediremos para que calculem o número de menores caminhos que se pode fazer para chegar a esses dois pontos, e faremos a seguinte questão: Há alguma relação entre os últimos dois valores encontrados e o valor encontrado na Etapa 2? A resposta desta questão é que a soma desses dois últimos números é igual ao número encontrado na Etapa 2, ou seja, o número de maneiras de se chegar à casa do amigo é igual à soma do número de maneiras de se chegar às duas esquinas vizinhas dele (que estiverem mais próximos de sua casa). A explicação para isso é bem simples: essa relação é válida porque, para se chegar à casa do amigo utilizando um menor caminho, percebemos que sempre teremos que passar por uma das duas C sua casa fig. 3 Para o cálculo dosºº números de caminhos para os dois pontos, eles deverão utilizar o raciocínio expresso na Etapa anterior. Questão para os alunos fig. 4
  8. 8. Táxi e combinatória O Experimento  7  /  8 Podemos, por fim, fazer analogias das propriedades do Triângulo de Pascal com conclusões que podemos obter usando a Geometria do Táxi. A propriedade vista na Etapa 3, por exemplo, é a propriedade de formação do triângulo, em que cada valor de uma linha é obtido pela soma dos dois valores mais próximos da linha anterior. Podemos observar que cada sequência de números circulada na figura 5 corresponde a uma linha do Triângulo de Pascal. Sendo assim, esta pode ser uma ótima oportu­ nidade para a introdução dele e de suas propriedades, encontrados em diversos livros didáticos. fig. 5 fig. 6
  9. 9. Ficha técnica Matemática Multimídia Coordenador Geral Samuel Rocha de Oliveira Coordenador de Experimentos Leonardo Barichello Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp) Diretor Jayme Vaz Jr. Vice-Diretor Edmundo Capelas de Oliveira Universidade Estadual de Campinas Reitor Fernando Ferreira da Costa Vice-Reitor e Pró-Reitor de Pós-Graduação Edgar Salvadori De Decca licença  Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons Ministério da Ciência e Tecnologia Ministério da Educação Governo FederalSecretaria de Educação a Distância Autores Felipe M. Bittencourt Lima, Leonardo Barichello e Rita Santos Guimarães Coordenação de redação Rita Santos Guimarães Redação Felipe Mascagna Bittencourt Lima Revisores Matemática José Plinio de O. Santos Língua Portuguesa Carolina Bonturi Pedagogia Ângela Soligo Projeto gráfico Preface Design Ilustrador Lucas Ogasawara de Oliveira Fotógrafo Augusto Fidalgo Yamamoto

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