A história do zero

UNIVERSIDADE ESTADUAL CAMPINAS – UNICAMP
INSTITUTO DE MATEMÁTICA ESTATÍSTICA E CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO-
IMECC
DISCIPLINA: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
PROFESSORA: OTILIA
ALEXANDRE MARTINS NETO
MARIA DENISE PANNUNZIO COELHO

APRESENTAÇÃO:
NADA PASSA A SER UM NÚMERO
A HISTÓRIA DO ZERO
In:BERLINGHOFF, Willian P. A matemática através dos tempos: um guia fácil e prático para
professores e entusiastas/Willian P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa;; trad. Elza Gomide, Helena Castro.
2ª ed. São Paulo: Blücher, 2010.

CAMPINAS
2012

NADA PASSA A SER UM NÚMERO

A HISTÓRIA DO ZERO

WILLIAN P. BERLINGHOFF
FERNANDO Q. GOUVÊA

17
Os dias passam rápidos
como as águas do rio
ou o vento do deserto.
Dois há, em particular,
que me são indiferentes:
o que passou ontem,
o que virá amanhã
Rubaiyat of Omar Khayyam

Khayyām calculou como corrigir o calendário persa. O seu calendário tinha uma margem de erro
de um dia a cada 3770 anos. Contribuiu em álgebra com o método para resolver equações cúbicas
pela intersecção de uma parábola com um círculo, que viria a ser retomada séculos depois por
Descartes.
Como poeta é conhecido pelos Rubaiyat (em português, "quadras" ou "quartetos"),[1]
que ficariam famosos no Ocidente a partir da tradução de Edward Fitzgerald, em 1839.

O ZERO COMO NADA

A historia começa na Mesopotâmia, o “berço da civilização”

Quando falamos de Mesopotâmia, é costume se pensar que estamos falando de uma civilização
antiga, porém a Mesopotâmia não é uma civilização, ela é uma região geográfica entre dois rios
(Tigre e Eufrates) onde se desenvolveram várias culturas.

Os babilônios tinham desenvolvido um sistema de valor por posição para escrever números, baseavam –
se em agrupamento de 60. Possuía dois símbolos básicos em forma de cunha para representar

Cravo que correspondia a 1 (um) e asna que correspondia a 10 (dez)

Eram repetidos em combinação para representar qualquer numero de contagem de 1 a 59. Por exemplo:

Mas havia um problema com esse sistema.
Com um pequeno espaço extra para mostrar que o lugar dos 60s estava vazio.

Em algum momento entre 700 e 300 a.C., os babilônios começaram a usar seu símbolo para
indicar fim de sentença para mostrar que o lugar estava sendo saltado.

O zero começou sua vida como “ocupante de lugar”, um símbolo para indicar que algo foi
saltado.
O valor posicional utilizado hoje pertence aos hindus, em algum momento antes de 600 d.C.,
eles usavam pequeno círculo como símbolo de ocupante de lugar.
Os árabes aprenderam esse sistema no século IX, eles usaram o símbolo circulo para
representar cinco, usaram um ponto como ocupante de lugar.
A palavra hindu para ausência de quantidade, sunya tornou-se no árabe sifr, depois no latim
zephirum (junto com a palavra ligeiramente latinizada cifra) e essas palavras por sua vez
evoluíram para as palavras zero e cifra em português.
Hoje em dia, o zero, usualmente como circulo ou um oval, ainda indica que alguma potência de
dez não está sendo usada.
No século IX d.C., os hindus tinham dado um salto conceitual que é um dos mais importantes
eventos matemáticos de todos os tempos. Estavam começando a reconhecer sunya, a
ausência de quantidade, como uma quantidade de direito próprio! Isto é tinham começado
a tratar o zero como um número:

Matemático Mahãvira (c. 850) escreveu que um número multiplicado
por zero dá zero, e que zero subtraído de qualquer numero deixa o
número inalterado. Também afirmava que um número dividido por
zero fica inalterado .

Bhãskara (c.1100) declarou que um
número dividido por zero dá uma
quantidade infinita.

O ponto principal aqui não é qual matemático da Índia teve as respostas certas quando calculando com zero, mas o
fato de eles colocarem tais questões em primeiro lugar.

Para calcular com zero,é preciso primeiro reconhecê-lo como alguma coisa, uma abstração como um, dois, três
etc. ou seja é preciso passar de contar uma cabra, ou duas vacas, ou três carneiros para pensar em 1,2, e 3 por
eles mesmo, como coisas que podem ser manipuladas sem pensar em quais espécies de objetos estão sendo
contados.

Os gregos antigos nunca deram esse passo extra em abstração; isso
estava fundamentalmente em oposição a sua ideia de que um número
era uma propriedade quantitativa de coisas.

O reconhecimento , pelos hindus, do zero como um número foi uma
chave para destrancar a porta da álgebra. O zero, como símbolo e
conceito, encontrou seu caminho para o Ocidente,Muhammad Ibn
Müsa Al-Khwãrizmi. Escreveu dois livros, um de aritmética e outro
sobre a resolução de equações, que foram traduzidos no século XII e
circularam pela Europa.
Para Müsa Al-Khwãrizmi, o zero ainda não é pensado como um
número; é apenas um ocupante de lugar, sistema de numeração usado
por ele tinha nove símbolos de 1 a 9. Em uma das traduções latinas, o
papel do zero é descrito assim:

“Mas quando (dez) foi posto no lugar de um, e foi feito na segunda
posição, e sua forma era a forma de um, eles precisavam de uma
forma para o dez devido ao fato de que era semelhante ao um, de
modo que pudessem saber por meio dela que era (dez). assim,
puseram um espaço em frente a ele e puseram um pequeno circulo
como a letra o, para que dessa maneira eles pudessem saber que o
lugar das unidades estava vazio e que nenhum numero estava ali,
exceto o pequeno círculo...”

As traduções latinas frequentemente começavam com as
palavras “Dixit algorizmi”, significando “AL-Klwãrizmí
disse”. A popularidade dos livros de aritmética
gradualmente fez com que seu título fosse identificado
com seus métodos, dando-nos a palavra “algoritmo”.
Conforme o novo sistema se difundia e as pessoas
aprendiam a calcular com novos números, tornou-se
necessário explicar como somar e multiplicar quando um
dos dígitos era zero.
Isso ajudou a fazê-lo parecer semelhante a um número.
No entanto, a ideia dos hindus de que se deveria tratar o
zero como um número de direito próprio levou muito
tempo para se estabelecer na Europa.

Uma página da algebra de Al-klwãrizmi

Contudo dois matemáticos usaram o zero de um modo que transformou a
teoria das equações.
No começo do século XVII, Thomas Harriot (1560-1621), que era
também um geógrafo e o primeiro medidor de terras da colônia Virginia,
propôs uma técnica simples e poderosa para resolver equações algébricas:

Para todos os termos da equação para um lado do sinal de igual, de modo
que a equação tome a forma:

(algum polinômio) = 0

Esse procedimento , que um autor chama de Principio de
Harriot, foi popularizado por Descartes em seu livro sobre
geometria analítica e às vezes atribuído a ele.
É uma parte tão comum na álgebra elementar hoje que o
tomamos como certo, mas que realmente foi um passo
revolucionário à frente de seu tempo. Aqui está um exemplo
simples de como funciona:

Para encontrar um número x para qual x² + 2 = 3x seja
verdadeiro (uma raiz da equação), reescreva-a como:

x² - 3x + 2 = 0

O lado esquerdo pode ser fatorado como (x-1).(x-2).

Agora, para que o produto de dois números seja igual a zero, é preciso que ao menos um deles
seja zero (esta é uma outra propriedade especial do zero que o torna único entre os números).
Portanto, as raízes podem ser encontradas resolvendo-se duas equações muito fáceis:

x–1=0 e x–2=0

Isto é, as duas raízes da equação original são 1 e 2.

Quando ligado com a geometria de coordenadas de Descartes o
Principio de Harriot, se torna ainda mais poderoso.
Para resolver qualquer equação com uma variável numérica real x,
reescreva-a como f(x) = 0, em que f(x) é alguma função de x.
Agora, trace o gráfico de f(x). as raízes (soluções) da equação
original ocorrem quando esse gráfico cruza o eixo de x.
Assim, mesmo que a equação não possa ser resolvida exatamente,
um bom gráfico dela lhe fornecerá uma boa aproximação de suas
soluções.

Por volta do século XVIII, o status do zero tinha crescido de ocupante de lugar
para número para ferramenta algébrica.

Há mais um passo na reivindicação desse numero pela proeminência matemática.
Conforme os matemáticos do século XIX, generalizou-se a estrutura dos sistemas
numéricos para formar os anéis e os corpos da álgebra moderna, e o zero se tornou
protótipo de um elemento especial.

Os fatos de que 0 mais um número deixa aquele número invariante e de que 0 vezes
um numero resulta em 0 se tornam as propriedades que definem o elemento
“identidade da soma” desses sistemas abstratos, em geral chamado simplesmente
de zero do anel ou corpo.

E a força dominante por trás do Principio de Harriot, -
se o produto de números for 0, então um deles deve ser 0 – caracterizou um tipo
particularmente importante de sistema chamado um domínio de integridade.
Nada mal para uma cifra não acha?

CONCLUIMOS QUE:

SENTIDO DO ZERO CARACTERISTICAS
Ocupante de lugar Mesopotâmia: Um símbolo para indicar que algo foi saltado.
Número Século IX d.C. hindus reconhecem sunya (ausência de quantidade) como
quantidade de direito próprio. Começa a tratar zero como número.
Ferramenta Algébrica Século XVII Harriot (1560-1621) propôs uma técnica para resolver
equações algébricas: (Principio de Harriot)
Algum polinômio = 0:
Para encontrar um numero x para o qual x² + 2 = 0 seja verdadeiro (uma
raiz de equação), reescreva-a como:
x² - 3x + 2 = 0
Identidade da soma: O fato de que 0 mais um número deixa aquele número invariante e de
zero do anel da soma que 0 vezes um numero resulta em 0.
Domínio de Principio de Harriot – se o produto de números for 0, então um deles
integridade deve ser 0.

Sintese dos diferentes significados atribuídos ao zero.
Adaptado SALVADOR; NACARATO, 2003,P.3

Significados do zero Características
Zero como elemento de contagem Cardinal de um conjunto vazio; nem sempre considerado
um número natural; de natureza discreta; impregnado de
„quantidade‟.
Zero como valor posicional Representa as ordens vazias, zero como algarismo;
impregnado de „quantidade‟.
Zero como dado operatório Elemento neutro da adição; anula o produto em uma
multiplicação; a° = 1; 0° é indeterminado; impregnado
de „quantidade‟.
Zero como origem De natureza contínua; surge para unificação da reta
numérica no campo dos reais; impregnado de
„quantidade‟.

SURGIMENTO DO ZERO: LINHA DO TEMPO SEC. IX

1600 a.C 700a.C 300 a.C 1 600 d.C. 850d.C. 1100d.C. surgimento da álgebra

____|____________|________|_____|_______|______|________|_________________________

Babilônicos
Mesopotâmia: babilônicos Hindus
utilizam um Hindus tinham
usam o sistema de valor utilizavam um
símbolo para Mahãvira:Escreveu Bhãskara:
por posição para escrever pequeno dado um salto
indicar que que: um numero declarou
números. Era baseado em símbolo como conceitual:
algum lugar multiplicado por zero que um
agrupamentos de ocupante de começavam a
estava sendo dá zero, e que zero número
60(sexagesimal), bem lugar . reconhecer sunya
saltado. subtraído de qualquer dividido
parecido com a contagem a ausência de
Assim o zero número deixa o por zero da
de segundos e minutos. quantidade, como
começou a número uma
Dois símbolos em forma de uma quantidade de
vida como inalterado.também quantidade
cunha repetidos em direito próprio,
ocupante de afirmava que um infinita.
combinação para qualquer começava a tratar
lugar. número dividido por
numero de contagem de 1 o zero como
zero ficava inalterado
a 59. número

Importante : aqui é que para calcular com zero, é
preciso primeiro reconhecê-lo como alguma coisa,
uma abstração como 1, 2...ou seja é preciso passar
de contar coisas concretas,para pensar em 1,2...como
ideias que existem mesmo que não estejam contando
nada. Isto estava fundamentalmente em oposição a
ideia de que um número era uma propriedade
quantitativa de coisas.

ESTUDOS E PESQUISAS NOS LEVARAM TAMBÉM A:

CIVILIZAÇÃO MAIA – 350 d.C.

SISTEMA DE NUMERAÇÃO: MAIA

O sistema de numeração maia apresentava na base vinte e possuía apenas três
símbolos

Até o numero dezenove utilizava-se o sistema aditivo.

A partir do vinte apresentavam de maneira vertical de cima para baixo

Questões

A ausência de um símbolo para o zero no sistema de numeração da antiga
Babilónia era um convite à ambiguidade, como mostrado nos seguintes exemplos:
Interprete pelo menos de quatro maneiras diferentes. Em cada
caso, use o símbolo posterior babilónio do ponto para reescrever o numeral, se
apropriado, e então use os nossos numerais indo-arábicos usuais para escrever
o número.
Resposta
O ponto principal é que a falta de um zero torna a vida mais difícil do que
precisa ser. Duas interpretações não requerem um suporte do lugar zero:
Se o espaçamento é simplesmente descuidado, este pode ser
, ou 12;

poderia também ser de 10 x 60 + 2 = 602;

• é de 10 x 602 + 2 = 36.002;

• é de 12 x 60 = 720;

• é de 10 x 602 + 2 x 60 = 36.120, e assim por diante.

De quantas maneiras distintas você pode interpretar ?
Explique e interprete-o de pelo menos quatro maneiras diferentes, usando o
símbolo posterior babilónio do ponto, quando apropriado, e usando nossos
numerais usuais.

Teoricamente, o número de interpretações é ilimitado, assim como não
há limite para o número de zeros, podemos acrescentar a um numeral. Se
você assumir que cada um desses símbolos está em um lugar
sexagesimal diferente (que não é o caso), então você pode ter:

= 3.661 • = 219.660

• • = 12.963.601 • • = 13.179.600,

etc.

2 - Os numerais no quadrante superior esquerdo da tábua manual
babilónia, reproduzi-da na página 67, são traduzidos como:
5 dez combinados com 3 dez é 2 dez mais 5;
Esta resposta combinada com 3 (uns) é 1 e 1 dez mais 5.
(As respostas estão à direita da linha vertical.) Para qual(is) operação(ões) e
valores pela posição o cálculo é correto? Explique. A seguir, explique como o
símbolo zero ajudaria a esclarecer esse cálculo.

A operação é a multiplicação em ambos os casos. As duas linhas
de média

50 x 30 = 25 x 60 (= 1500);
1500 x 3 = 1 x 602 + 15 x 60.

Em cada linha, um símbolo do zero no lugar de unidades deveria
esclarecer
como os símbolos de resposta deve ser lido.

3 - Você poderia utilizar os algarismos usuais para adição e subtração sem
tratar o zero como um número? Explique.

Em certa medida, este é um "ponto de vista" em questão.
Quando a adição de 40 + 57 ou subtraindo 70 - 32 em formato coluna,
por exemplo, o dígito 0 deve ser manuseado de alguma forma. No
entanto, dizer neste primeiro exemplo, que a coluna direita é 0 + 7 não
implica automaticamente que o 0 é um número em seu próprio direito.
Poderia ser facilmente considerada como uma forma de lidar com a
ausência de quantidade na casa da unidade unidades de um dos
numerais.
Da mesma forma (e talvez mais obviamente), na manipulação de 0 - 2
como a coluna da direita do exemplo subtração, podemos pensar ou
dizer algo como: "0 - 2 não pode ser feito, então nós temos que pedir
emprestado dez unidades da próxima coluna .
" Isso realmente trata 0 como um espaço reservado, uma ausência de
quantidade, e não como um número.”

4 - Para tratar o zero como um número, as operações da aritmética
elementar (as quais simbolizaremos por +, -, x e :) devem ser estendidas
para funcionar com o zero. Algumas dessas extensões foram propostas por
vários matemáticos hindus.
Nos itens seguintes, considere n como representando um número natural (de
contagem).

Esta questão começa bastante direta, mas se torna mais difícil à
medida que vai resolvendo. Na primeira, o senso comum é suficiente.
Para os problemas posteriores, tudo depende da idéia de fazer a
aritmética continuar a trabalhar como sempre tem feito, tanto quanto
possível.

a. Explique por que faz sentido declarar tanto n + 0 como 0 + n como igual a
n.

As óbvias razões de bom senso são adequadas aqui.
b. No século IX, Mahavira afirmou que n – 0 era igual a n. Explique por que
isso faz sentido. Por que ele não poderia ter considerado 0 – n?

Novamente, o bom senso de retirar nenhum objeto de alguma coleção é
razoável. Por outro lado, a idéia de remover um número de objetos,
quando não há nenhum provavelmente teria feito 0 - n parecer um

c - Mahavira também afirmou que n x 0 era igual a 0. Se ele tivesse dito que n
x 0 era igual a n, o que daria errado?

Se n x 0 = n, muitas coisas na aritmética pode dar errado. Um dos mais
óbvios vem da lei do cancelamento para a multiplicação. Como também
sabemos que: n x 1 = n, temos n x 0 = n x 1, então 0 = 1 por cancelamento!

d - Mahavira também afirmou que n : 0 era igual a n. Podemos usar isso como uma
regra da aritmética? Se não, o que está errado? Se fosse assim, o que resultaria de 0
: n?

Em geral, o quociente é uma quantidade que, quando multiplicado pelo
divisor é igual ao dividendo. Ou seja, a : d = q porque q x d = a.
- Se n : 0 = n, então n x 0 = n, o que conduz às dificuldades da questão (c).
Outra dificuldade surge quando usando as instruções Mahavira.
- Se n x 0 = 0 e n : 0 = n, então temos (n : 0) x 0 = 0. Mas a divisão por um
número deve "desfazer" a multiplicação por esse número. Então isso leva a
n = 0, ou seja, todo número é igual a 0!
- Se fosse verdade que n : 0 é igual a n, então 0 : n teria de ser a sua
reciproca, 1/n. Mais uma vez, isto conduz rapidamente a 0 = 1.

e - No inicio do século XII, Bhaskara afirmou que n : 0 resultaria em uma
quantidade infinita. Por que isso pode ser uma conjectura razoável? Isso pode ser
uma regra da aritmética? Se não, o que daria errado?

Para fixar n, a divisão por números cada vez menores (positivo) resulta em
quocientes cada vez maiores, tornando-a uma extensão razoável do padrão.
A dificuldade surge na tentativa de incorporar essa "quantidade infinita" em
nossa aritmética usual. Por exemplo:
- Se 2 : 0 é a mesma quantidade infinita como 3 : 0? Se assim for, e se essas
quantidades obedecer às leis da aritmética finita, então multiplicando ambos
os lados 2 : 0 = 3 : 0 é 0 resultará na conclusão inaceitável 2 = 3.
-Se n : 0 é uma quantidade infinita diferente para cada n, ou se declarar que
as leis usuais da aritmética não se aplicam a estas quantidades
infinitas, então somos confrontados com a tarefa de desenvolver uma teoria
estendida da aritmética que funciona para eles.

5.Coloque os eventos a seguir em ordem cronológica e atribua a cada um deles um ano ou um
período de tempo aproximado.
h. As Grandes Piramides foram construídas em Gizé, Egito. (4º Dinastia do Império Antigo do
Egito, c. 2560-2440 a.C.)
c. Hammurabi, rei da Babilônia, desenvolveu o seu famoso código de leis. (c. 1700 a.C.)
b. O babilônios começaram a usar o símbolo de ocupante de lugar. (c. 700 e 300 a.C.)
f. Julio César foi assassinado em Roma. (44 a. C.)
a. Os hindus desenvolveram o sistema de valor pela posição de base dez. (c. 600 a.C)
j. Carlos Magno foi coroado imperador do Sacro Império Romano (800 a.C)
d. Mahavira tratou o zero como número. (c. 850 d.C.)
e. Os normandos derrotaram os saxões na batalha de Hastings. (1066 d. C.)
g. Os escritos de Al-Khwarizmi, incluindo seu tratamento do zero, foram traduzidos para o latim e
começaram a se espalhar pela Europa. (c. 1150)
k. Colombro descobriu a América. (1492 d.C.)
i. Thomas Harriot propôs sua técnica para resolver equações. (início do século 17)
l. Começou a Revolução Norte-americana (1776 d.C)
n. Galois, Abel e outros começaram a generalizar o sistema de números para formar as estruturas da
álgebra abstrata. (1820 – 1850 d. C. ou mais)
m. A Guerra Civil foi deflagrada nos Estados Unidos. (1861 – 1865 d.C)

Resumo dos principais acontecimentos associados à evolução do zero:

3 000 a.C.
Vale do Indo ( Mohenjo Daro e Harappa ) há evidência de aparente uso de símbolo circular
indicando o valor zero em réguas graduadas.
( os documentos da Civilização do Vale do Indo tem resistido a dezenas de tentativas de
decifragem, cf. Gregory Possehl: The Indus Age, Univ. of Pensylvania Press )

c. 2 000 a.C. O Sistema cuneiforme é inventado na Mesopotamia; apesar de ser um sistema de
numeração posicional, os mesopotâmicos de então ainda não tinham a noção de algarismo
zero

1 000 a.C.
Os olmecas ( antecessores dos mayas ) inventam um sistema de numeração posicional,
usado para marcar o tempo a partir de observações estelares, e o mesmo incluia um
algarismo zero ( Ignácio Bernal: A Compact History of Mexico, 1974 )

500 a.C. Parmênides, filosofo grego, inventa o Paradoxo do Julgamento Negativo ( se uma afirmação declara
que uma certa coisa existe, então sua negativa indicará algo que não existe; ora, uma frase sobre algo
que não existe é uma frase sobre nada e então impossível ); Platon faz grande uso desse paradoxo em
seus diálogos e concluiu que é impossível existir uma grandeza nula ( cf. nos informou Luigi
Borzacchini )
400 a.C. Os chineses deixam casa vazia, em caso de zero, em seus ábacos de mesa
300 a.C. os mesopotâmicos passam a usar um algarismo zero medial ( como 205 e 120 1/4 no nosso sistema
decimal ) em suas tabelas astronômicas, contudo nunca usam zero inicial ou final ( como em 250 ou
0,05 no sistema decimal ), cf. nos informou a Profa. Eleanor Robson, do Oriental Institute, Oxford
University.
200 a.C. a palavra sünya ( pronuncia-se shunia e significa vazio, em sânscrito ) é usada para indicar casa nula
quando da escritura de númerais no livro Chandah-sutra do matemático indiano Pingala. Mais tarde, as
casas nulas passaram a ser indicadas por um ponto, o qual era chamado de pujyam.
150 d.C. Ptolemaios, em seu livro Syntaxis, usa rotineiramente um algarismo zero para representar no sistema
sexagesimal os números de suas tabelas trigonométricas e de suas tabelas astronômicas; ele usa tanto o
zero medial como o zero final; há controvérsia acerca da forma de seu algarismo zero, pois que temos
apenas cópias do livro de Ptolemaios e essas cópias não usam o mesmo símbolo para o algarismo zero.
Em particular, Otto Neugenbauer mostrou ser pouco provável que o zero de Ptolemaios fôsse a letra
grega ômicron ( igual ao nosso "o" ), que é a letra inicial da palavra grega oudenia ( = vazio, sem
valor ), pois esse símbolo aparece só em cópias da Syntaxis feitas no Período Bizantino

c. 350 Os mayas produzem um artefato, o Uaxactun - Stela 18 e 19, que é o documento mais antigo que
d.C. deixaram tendo um zero; note que esse artefato não usa o sistema posicional; o mais antigo documento
maya usando zero e o sistema posicional é o Pestac - Stela 1, datado de 665 dC, cf. nos informou Michael
Closs.
A figura ao lado, feita com material do livro de Guillermo Garces Contreras ( Pensamiento matematico y
astronomico en el Mexico precolombino. Mexico: Instituto Politecnico Nacional, 1982 ) mostra as
representações mayas para o zero:

a primeira linha mostra como eles representavam o zero quando escreviam em livros ( códices ):
usavam o desenho de uma concha ou o de um caracol, ambos símbolos associados à morte ou ao
final de um ciclo; acha-se que o provável nome maya para o zero seria xixim, que significava
concha.

a linha inferior mostra as representações do zero que usavam em inscrições em monumentos, como o
Uaxactun: a forma humana usando adornos característicos dos deuses do mundo das trevas e o
desenho da flor símbolo do calendário sagrado maya, a qual também era o emblema da eternidade e
da regularidade dos movimentos cósmicos
( os melhores agradecimentos ao professor mexicano Victor Larios Ozorio por essas preciosas
informações )
c. 500 Varahamihira, famoso matemático indiano, usa um pequeno círculo para denotar o algarismo zero em seu
d.C. livro Panca-siddhantika. Especula-se que desde c. 300 dC os indianos vinham usando um ponto, o
pujyam, para denotar o zero.
628 d.C. Brahmagupta, matemático indiano, em seu livro Brahma-sputa siddhanta, eleva o zero à categoria dos
samkhya ( ou seja, dos números ) ao dar as primeiras regras para se calcular com o zero: um número
multiplicado por zero resulta em zero; a soma e a diferença de um número com zero resulta neste número;
etc )

c. 850 al Khwarizmi, após ter aprendido a calcular ao estilo indiano com o Siddhanta de
d.C.
Brahmagupta, escreveu um livro de aritmética chamado ( provavelmente ) Cálculo com os
Numerais Indianos ( al arqan al hindu ); esse livro foi quem fêz a divulgação do sistema
posicional decimal, e respectivas técnicas de cálculo, no mundo islâmico. Junto com isso
veio a divulgação do zero no mundo entre os povos de língua árabe; dos nomes sünya,
pujyam e sübra, usados no livro de Brahmagupta, al Khwarizmi adotou o terceiro para
denotar o zero e daí a evolução: sübra -> siphra ou sifr ( árabe ) -> cifra e outras variantes
nas línguas européias -> zephirum ( pronúncia latina do sifr ) e daí o termo moderno: zero.

c. 980 O monge Gerbert d'Aurillac ( futuro Papa Silvestre II ) viaja pela Espanha islâmica onde
d.C.
aprende a calcular com o sistema indiano; ao retornar ao Mundo Cristão, tenta popularizar
essa técnica de cálculo adaptando-a a um ábaco que utilizava pedras enumeradas,
chamadas apices; sua tentativa não teve sucesso; em verdade, Gerbert parece não ter
entendido a essência do cálculo indiano e, em particular, a importância do zero no mesmo,
pois em seu ábaco o zero era supérfluo: o ápice zero tinha o mesmo efeito da ausência de
ápice; quanto à origem do sistema usado por Gerbert: o historiador John W. Durham acha
que os nomes usados por Gerbert para seus algarismos ( por exemplo o zero era chamado
sipos ) sugerem que seu sistema não veio pelo caminho indianos - > árabes - > Norte da
África - > Mundo Cristão mas sim via Mesopotâmia - > Síria ( nestorianos ) - > Norte da
África - > Mundo Cristão.

c. 1 200 d.C. Fibonacci, que havia aprendido a calcular no sistema indiano em suas
viagens de estudo pela África islâmica, escreve seu famoso livro, o Liber
abaci, o qual junto com a tradução latina da aritmética de al Khwarizmi
foram os grandes introdutores do sistema indo-arábico no Mundo Cristão e
dois dos mais importantes livros da História da Humanidade. Que Fibonacci
ainda via o zero com desconfiança pode ser percebido pelo modo que usava
para se referir aos algarismos: novem figure indorum ( ie os nove
algarismos indianos ) e o hoc signum 0... quod arabice zephirum appelatur
( o sinal zero ).
( agradecimentos ao Prof Kimberlin pela raríssima figura ao lado, que é
uma foto da estátua erigida pelos comerciantes de Pisa em homenagem e
agradecimento a seu ilustre conterrâneo Fibonacci )
c. 1 250 Sacrobosco, baseado em al-Khwarizmi e Fibonacci, escreve seu Algorismus vulgaris
d.C o qual tornou-se o livro de matemática mais popular nas universidades medievais e,
assim, divulgou definitivamente o sistema posicional decimal e suas técnicas de
cálculo na comunidade científica de então; a adoção desse sistema pelos
comerciantes e resto da população foi bem mais lenta, e eles continuaram a usar os
numerais romanos e o cálculo com ábacos ainda por vários séculos; assim que, para a
população era frequente ter de "traduzir" para o sistema romano números escritos no
sistema indiano: daí a origem da palavra "decifrar".

Examine na figura abaixo, alguns passos da evolução dos algarismos, desde os usados
pelos indianos da época de Brahmagupta, passando pelos algarismos usados pelos
povos árabes e chegando aos algarismos que usamos no Mundo Cristão.

Lendo de baixo para cima:
algarismos Devanagari da época de Brahmagupta;
algarismos Devanagari primitivo, anterior a Brahmagupta;
algarismos árabes de c. 800 dC;
algarismos árabes atuais;
letras árabes eventualmente usadas como algarismos;
algarismos indo-arábicos medievais;
indo-arábico atual;

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

BERLINGHOFF, Willian P. A matemática através dos tempos: um guia fácil e prático para
professores e entusiastas/Willian P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa;; trad. Elza Gomide, Helena
Castro. 2ª ed. São Paulo: Blücher, 2010.

GUIMARÃES, F. O sentido do zero. Dissertação de mestrado em Ensino de Matemática – São Paulo
PUCSP – 2008.
Disponível em http://www.pucsp.br/pos/edmat/trabalhos_ aceitos.html

HUGBEN, Lancelot. Maravilhas da Matemática. Edição da Livraria do Globo, Rio de Janeiro, Porto
Alegre e São Paulo – 1946.

Sites consultados
A historia do zero e tem mais vídeos. http://www.youtube.com/watch?v=9UtuMUw6ChA
Evolução dos algarismos: Fonte : http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7a.html acessado em
08/05/12.
Mahãvira matematico : http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7d.html
Muhammad Ibn musa al-khwarizmi http://pt.wikipedia.org/wiki/Al-Khwarizmi
René de Descartes http://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
Thomas Harriot http://pt.wikipedia.org/wiki/Thomas_Harriot

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