Estudar trigonometria com o uso da tecnologia

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Estudar trigonometria com o uso da tecnologia

  1. 1. ESTUDAR TRIGONOMETRIA COM O USO DATECNOLOGIA
  2. 2. Para facilitar o estudo da trigonometria, resolvi encontrar um caminhoque facilitasse o meu aprendizado, mas qual? A história conta que os egípcios precisavam realizar construções como:calcular a altura das pirâmides, medir a largura dos rios, saber a altura dasmontanhas etc, para isso precisaram de uma matemática que fizesse isso,foi então que os matemáticos da antiguidade baseados em dois conceitos:razões entre dois números e triângulos semelhantes marcaram o início datrigonometria. Trigonometria: tri=três, gono=ângulos e metri=medida. Um triângulo magnífico, um tipo especial de triângulo, com dois ladosperpendiculares entre si, foi chamado pelos matemáticos da antiguidade detriângulo reto. Os triângulos retos foram assunto dos estudos de Pitágoras,importante matemático grego, que descobriu uma propriedade válida paratodos esses triângulos. Pitágoras ficou famoso porque demonstrou umteorema, provavelmente o mais famoso da história da matemática “Numtriângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (a) é igual à soma dosquadrados dos catetos (b e c)”: a² = b² + c².
  3. 3. Mas a trigonometria não parou por aí, surgiu na trigonometria a tal dacircunferência, aquela circunferência de Arquimedes, o qual nasceu emSiracusa por volta de 287 a.C. apesar de antes de Arquimedes, osmatemáticos já saberem que o comprimento de uma circunferência eraigual a um número um pouco maior que 3 x o diâmetro da circunferência.Quem é esse número? Esse número um pouco maior que 3, devemos aArquimedes esse valor um pouco maior que 3, é hoje o que chamamos depi e indicamos pelo símbolo π. Ele gostava de circunferência, pois era umconstrutor de rodas, e aí para calcular o valor de π, Arquimedes considerouum círculo de raio 1. A medida da circunferência da Terra era necessária para os astrônomose matemáticos da antiguidade, determinarem o tamanho do Sol e da Lua.Eratóstenes, um matemático grego que viveu no mesmo período deArquimedes, foi quem fez a demonstração mais interessante. Ele sabia o
  4. 4. dia exato em que iria ocorrer o solstício de verão na cidade de Assuan, àsmargens do rio Nilo. Nesse dia especial, ao meio-dia, o Sol ficavacompletamente a pino. Desse modo, uma vareta fincada verticalmente nosolo não fazia nenhuma sombra nesse horário. E o fundo de um poço ficavacompletamente iluminado. Aproveitando-se desse fato, Eratóstenesdirigiu-se à cidade de Alexandria e, aproximadamente no mesmo horárioem que o Sol ficava a pino em Assuan, fincou verticalmente uma vareta nochão. A seguir, mediu o ângulo formado pela vareta e pelo segmentoformado pela ponta da vareta com a extremidade da sombra. Sem dúvida, determinar a medida da circunferência da Terra foi agrande façanha de Eratóstenes. Além disso, ele ainda se defrontou com umproblema que até então os matemáticos não haviam resolvido: uma unidadeprática para medir ângulos e arcos de circunferência. A circunferência de 360°. Entre os anos de 180 e 125 a.C., viveu naGrécia um matemático que se tornaria famoso: Hiparco de Nicéia. Assim
  5. 5. como a maioria dos matemáticos da sua época, Hiparco era fortementeinfluenciado pela matemática da Babilônia. Como os babilônios, eletambém acreditava que a melhor base para realizar contagens era a base 60. Os babilônios não haviam escolhido a base 60 por acaso. O número 60tem muitos divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 e pode serfacilmente decomposto num produto de fatores, o que facilita muito oscálculos, principalmente as divisões. Foi por essa mesma razão que, aodividir a circunferência, Hiparco escolheu um múltiplo de 60. Cada umadas 360 partes iguais em que a circunferência foi dividida recebeu o nomede arco de 1 grau. Cada arco de 1 grau foi dividido em 60 partes iguais ecada uma dessas partes recebeu o nome de arco de 1 minuto. Cada arco de1 minuto também foi dividido em 60 arcos de 1 segundo. Com acircunferência de 360°, ficou fácil criar uma unidade de medida para osângulos. Um ângulo de 1° é um ângulo que determina um arco de 1° emqualquer circunferência com centro no vértice desse ângulo. Ângulo de 90°é um ângulo que determina um arco de 90° em qualquer circunferênciacom centro no vértice desse ângulo.
  6. 6. A Matemática foi evoluindo de acordo com as necessidades do homem. Osastrônomos, por exemplo, precisavam descobrir um método prático eeficiente para calcular a distância, em linha reta, entre dois pontos situadosna superfície terrestre. Hiparco, que além de matemático era astrônomo,também se deparou com essa questão quando determinou o comprimentoda circunferência da Terra. Numa circunferência, a distância entre doispontos quaisquer A e B é chamada de corda. Hiparco construiu uma tabelacom os valores das cordas de uma série de ângulos de 0° a 180°. Aconstrução da primeira tabela trigonométrica da história da Matemáticarepresentou um grande avanço para a Astronomia e valeu a Hiparco o títulode Pai da Trigonometria. Esse título, porém, seria esquecido anos mais tarde, com o aparecimentoda mais importante obra trigonométrica da Antiguidade: uma coleção de 13livros denominada Síntese matemática. A Síntese matemática, obra maiorda Trigonometria, foi escrita no primeiro século da era cristã por Ptolomeude Alexandria. Pouco sabemos sobre a vida desse matemático egípcio, massua obra é conhecida até hoje como Almajesto, que significa o maior.
  7. 7. No Almajesto encontramos uma tabela trigonométrica bem maiscompleta que a de Hiparco, onde são fornecidas as medidas das cordas deuma circunferência, para ângulos que variam de meio em meio grau, entre0° e 180°. Para determinar essas medidas, Ptolomeu utilizou a basesexagesimal, o mesmo que fez Hiparco. Em todos os seus cálculos,portanto, ele usou uma circunferência com raio de 60 unidades. Usando oteorema de Pitágoras, Hiparco determinou a corda correspondente aoângulo de 90°, que ele indicava cd90°. Para calcular a medida da corda de60°, isto é, cd60°, Hiparco observou que o triângulo formado eraequilátero. À medida que calculava o valor da corda de um ângulo, o matemáticoegípcio calculava também a corda do suplemento desse ângulo, aplicandomais uma vez o teorema de Pitágoras. Durante seis séculos, o Almajesto representou a mais importante fontede consulta para os astrônomos de todo o mundo. Era realmente a coleçãomaior.
  8. 8. Apenas no século VIII é que os cientistas voltariam a sua atenção paraas obras trigonométricas de um povo, que sempre surpreendera o mundocom sua matemática original e criativa. Estou falando dos hindus. A meia corda mudou a história: apesar do amplo domínio do Almajesto,no final do século IV começou a surgir na Índia um conjunto de textosmatemáticos denominado Siddahanta, cujo significado é sistemas deastronomia. O Siddahanta era escrito em versos em sânscrito, uma línguamuito antiga e difícil, usada apenas nas cerimônias religiosas. Apresentavaregras enigmáticas de Astronomia e raríssimas explicações. Quem poderia supor que esses textos, quase indecifráveis, iriamrevolucionar a história da trigonometria? Os matemáticos e astrônomosficaram surpresos quando se depararam pela primeira vez com o Siddhanta.Em vez de seguir o caminho do Almajesto de Ptolomeu, que relacionava ascordas de um círculo com os ângulos centrais correspondentes, osmatemáticos hindus apresentavam uma Trigonometria baseada na relaçãoentre a metade da corda e a metade do ângulo central.
  9. 9. Mas, qual a vantagem de trabalhar com a meia corda, que os hinduschamavam de jiva? A resposta é simples. Os hindus foram buscar, nointerior do círculo, um triângulo retângulo. O círculo de raio 1. Os autores do Siddhanta construíram uma tabelatrigonométrica calculando os valores da meia corda para os valores dametade dos ângulos centrais correspondentes, em intervalos iguais de3,75°, até 90°. Durante algum tempo os matemáticos árabes oscilaram entre oAlmajesto e a Trigonometria de jiva. O conflito chegou ao final quando,entre os anos 850 e 929, o matemático árabe al-Battani adotou aTrigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação: o círculo deraio unitário. Assim, nas tabelas trigonométricas elaboradas a partir de al-Battani, o valor da corda correspondente a α/2 podia ser interpretado comoa seguinte razão: Cateto oposto = jiva Hipotenusa
  10. 10. Como todo número dividido por 1 é o próprio número, podemos escrever: Cateto oposto = jiva Hipotenusa 1 Essa razão iria se tornar muito famosa. No começo do século XII, a Matemática árabe tinha atingido umdesenvolvimento tão grande, que o restante do mundo não podia ficaralheio. Foi feita uma série de traduções do árabe para o latim, o que possibilitouo desenvolvimento da Matemática na Europa. Os tradutores eram, nagrande maioria, brilhantes matemáticos. Entre eles, destacava-se o inglêsRobert de Chester. Não devemos esquecer que os árabes, por sua vez, haviam trazido textosde Trigonometria do sânscrito. Nesse processo, quando se depararam com apalavra jiva – meia corda -, eles simplesmente escreveram jiba. E mais, nalíngua árabe é comum escrever apenas as consoantes de uma palavra,deixando que o leitor acrescente mentalmente as vogais. Assim, ostradutores árabes registraram: jb, na tradução do árabe para o latim, Robertde Chester interpretou jb como sendo as consoantes da palavra jaib que, emlatim, significa baía ou enseada e escreve-se: sinus. A partir daí, a razãoentre o cateto oposto e a hipotenusa de um triângulo retângulo passou a serchamada de sinus (em português, seno).
  11. 11. Toda a Trigonometria que estudamos hoje está baseada no seno doshindus. Com o tempo, outras razões trigonométricas foram sendo criadas: ocosseno, a tangente etc. Pois é, para chegarmos à trigonometria de hoje, o caminho foi longo,como mostra a história, porém nessa nossa era temos a tecnologia para nosauxiliar, foi através da tecnologia que eu encontrei a melhor forma paraestudar trigonometria. Meu professor de Matemática nos levou aolaboratório de Informática e nos ensinou a utilizar o Geogebra paraestudarmos Trigonometria, conforme fui estudando, o meu pensamento foisendo reorganizado, através dele eu pude ver o comportamento das funçõestrigonométricas, consegui construir o ciclo trigonométrico com facilidade ever os ângulos envolvidos, as projeções das funções, os seus gráficos,facilitou também na precisão das medidas, as projeções etc, entre no linkabaixo e assista uma aula no Geogebra.http://www.youtube.com/watch?v=4e3bFW9z9vU
  12. 12. Referência Bibliográfica: Contando ahistória da matemática – Oscar Guelli

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