Livro hidraulica cap_01-04

I
LIÇÕES DE
HIDRÁULICA
GERAL
Gilberto Queiroz da Silva

Lições de Hidráulica Básica
II
LIÇÕES DE
HIDRÁULICA
GERAL
FEVEREIRO DE 2015
GILBERTO QUEIROZ DA SILVA
Departamento de Engenharia Civil
Escola de Minas
Universidade Federal de Ouro Preto

III
Endereço para contato:
Gilberto Queiroz da Silva
Departamento de Engenharia Civil
Escola de Minas/UFOP
Campus Universitário do Morro do Cruzeiro
35.400-000 – Ouro Preto, MG
gqueiroz@em.ufop.br – (31)3559-1546
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IV
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Dedicatória

V
Informações sobre o autor:

VI
CONTEÚDO
Prefácio .............................................................................................................. X
Agradecimentos .................................................................................................XI
1. Introdução ........................................................................................................1
1.1. Divisões da Hidráulica..............................................................................6
2. Generalidades ..................................................................................................7
2.1. Grandezas Físicas ....................................................................................7
2.2. Sistemas de Unidades...............................................................................8
2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades...............................................10
2.2.2 - Sistema de Unidades CGS............................................................14
2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto...............................................................15
2.2.4 - Sistema Técnico............................................................................17
2.2.5 - Sistema Inglês Técnico.................................................................19
2.2.6 – Caso de grandezas físicas de valor elevado ou pequeno .............21
2.2.7 – Exercícios de Aplicação...............................................................22
2.3 - Propriedades Físicas dos fluidos...........................................................24
a) Massa específica...................................................................................24
b) Peso Específico ...................................................................................28
c) Volume específico................................................................................30
d) Densidade.............................................................................................30
e) Compressibilidade................................................................................31
f) Celeridade e Número de Mach.............................................................34
Distinção entre Líquido e Gás............................................................35
Fluidos Compressíveis e Incompressíveis..........................................36
g) Pressão de vapor..................................................................................37
h) Tensão superficial e capilaridade........................................................38
Exercícios ..........................................................................................40
i) Viscosidade..........................................................................................43
Unidades de viscosidade:...................................................................48

VII
Viscosidade Cinemática ....................................................................50
Variação da viscosidade ....................................................................50
Determinação da viscosidade ............................................................54
Exercícios de Aplicação..........................................................................58
3. HIDROSTÁTICA..........................................................................................62
3.1 – Introdução............................................................................................62
3.2 – Pressão, Tensão Cisalhante e suas Unidades.......................................62
3.2.1 – Conceito de pressão..................................................................62
3.2.2 – Conceito de Tensão Cisalhante.................................................64
3.2.3 – Unidades de pressão e tensão cisalhante...................................66
3.3 – Empuxo................................................................................................69
3.4 – Variação da Pressão nos Fluidos.........................................................72
3.4.1 – Princípio de Pascal....................................................................72
3.4.2 – Equação Fundamental da Hidrostática......................................73
3.4.3 – Variação da pressão nos gases...................................................78
3.4.4 – Variação da pressão nos líquidos...............................................81
a) Caso da pressão entre dois pontos situados no interior de um
líquido:......................................................................................82
b) Caso de líquidos com superfície livre sujeita à pressão
atmosférica................................................................................83
c) Escalas de Pressão Relativa e de Pressão Absoluta..............85
d) Pressão Expressa em Metro de Coluna de Líquido..............87
e) Pressão com Líquidos Imiscíveis..........................................87
3.5 – Exemplos de Aplicação:.......................................................................88
3.5.1 – Prensa hidráulica........................................................................88
3.5.2 – Vasos Comunicantes..................................................................90
3.6 – MEDIDORES DE PRESSÃO.............................................................92
3.6.1. Medidores de pressão absoluta....................................................92

VIII
a) Barômetro de Torricelli: ...................................................................92
Exemplo: .........................................................................................95
b) Barômetro Aneróide ou de caixa de vácuo.......................................95
c) Barômetro eletrônico.........................................................................96
3.6.2 – Medidores de pressão relativa...................................................98
a) Manômetro de Bourdon ...................................................................98
b) Vacuômetro ....................................................................................103
c) Transdutor eletrônico de pressão relativa........................................103
d) Piezômetro......................................................................................105
e) Manômetro de tubo U.....................................................................106
f) Piezômetros pressurizados...............................................................107
g) Manômetro Diferencial de Tubo U.................................................109
h) Manômetro Diferencial de tubo U invertido...................................111
i) Manômetro Diferencial de Reservatório..........................................112
j) Manômetro de tubo inclinado..........................................................115
k) Manômetro de Betz.........................................................................117
Exemplo:...........................................................................................117
l) Manômetro de Prandtl......................................................................118
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO – PRESSÃO.......................................120
3.7 – ESFORÇOS SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS..........137
3.7.1 – Caso da superfície horizontal:....................................................137
3.7.2. Caso de superfície vertical:..........................................................139
3.7.3. Caso de superfície inclinada:........................................................140
3.7.4. Caso geral de superfície inclinada:...............................................141
Exemplos ................................................................................150
3.8 – Esforços sobre Superfícies Curvas Submersas.....................................160
Exemplos de Aplicação .......................................................................167
4. HIDRODINÂMICA.....................................................................................171
4.1. Generalidades..........................................................................................171

X
Prefácio

XI
Agradecimentos

1
1. INTRODUÇÃO
A palavra hidráulica significa condução de água. Do grego hÿdor
significa água e aulos significa condução, tubo. Atualmente a Hidráulica tem
um significado muito mais geral, pois trata do estudo do comportamento dos
líquidos (em especial da água) em repouso ou em movimento.
Os estudos relativos à Hidráulica começam na Antigüidade, pois é
sabido que na Mesopotâmia existiam canais destinados à irrigação, construídos
nas terras vizinhas aos rios Tigre e Eufrates. Tem-se notícia de que na
Babilônia, no ano 3 750 a.C. já existiam coletores de esgotos. No Egito por
volta de 2 500 a.C. foram construídas diversas obras destinadas à irrigação.
Durante a XII Dinastia foram realizadas diversas obras hidráulicas tais como o
lago artificial de Méris para regularização das águas do baixo Nilo. O primeiro
sistema público de abastecimento de água apareceu na Assíria em 691 a.C.,
tendo recebido o nome de aqueduto Jerwa. Arquimedes (287-212 a.C.) escreveu
um tratado abordando a flutuação dos corpos enunciando diversos princípios da
Hidrostática, que são estudados nos dias de hoje. A bomba de pistão foi

2
inventada por Hero, discípulo de Ctesibius, 200 anos antes de Cristo. Grandes
aquedutos foram construídos em todo o mundo a partir de 312 a.C. e o primeiro
Superintendente de águas foi Sextus Julius Frontinus, nomeado em Roma no
ano 70 a.C.
No século XVI ocorreram diversas construções de chafarizes e fontes
ornamentais que encantaram as pessoas. Em 1586 Stevin (1548-1620) publicou
um novo tratado que, juntamente com estudos de Galileu (1564-1642),
Torricelli (1608-1647) e Daniel Bernoulli (1700-1782), constituíram a base para
a Hidráulica.
Leonardo Euler (1707-1783) foi o pai das primeiras equações gerais que
tentavam explicar o movimento dos fluidos. Nesse tempo os campos
relacionados com a hidráulica eram distintos, dividindo-se em Hidrodinâmica
Teórica cujo objetivo era estudar os movimentos dos fluidos perfeitos e a
Hidráulica Empírica que investigava dos problemas reais, sem uma base
científica sólida. Dos estudos sobre a aerodinâmica, associados aos estudos
teóricos da Hidrodinâmica Teórica, originou a Mecânica dos Fluidos como a
conhecemos hoje.
Desde os tempos de Venturi (1746-1822), Bidone e outros, as
investigações experimentais na Hidráulica foram muito importantes para o
estabelecimento de equações matemáticas que explicassem os fenômenos
envolvendo o escoamento de líquidos.
A partir do século XIX, a produção de tubos de ferro capazes de
resistirem a pressões elevadas e o crescimento das cidades fizeram com que os
serviços de abastecimento de água tivessem um papel importante, propiciando
um rápido crescimento da Hidráulica. Foram as experiências de Reynolds e
Froude e os trabalhos de Rayleigh que formaram a base científica para permitir
a consolidação da Hidráulica. Deve-se notar que as usinas hidrelétricas

3
começaram a aparecer no final do século XIX e continuam a ser construídas até
hoje.
Atualmente, com o grande desenvolvimento dos computadores os
estudos relativos à Hidráulica têm recebido importantes contribuições. Muitos
projetos de implantação de complexas obras hidráulicas e o aperfeiçoamento de
máquinas só foram possíveis com o uso desses computadores.
O professor Azevedo Neto, em seu Manual de Hidráulica, apresenta
uma interessante tabela com as principais invenções relativas aos assuntos
relacionados com a Hidráulica, aqui reproduzida na tabela 01.
Atualmente a água é o recurso natural de maior importância para o bem
estar do homem. Durante muitos anos ela foi encarada como um bem
inesgotável, para servir, sem nenhuma preocupação, aos habitantes da terra.
Muito desperdício tem ocorrido na superfície da terra. Hoje há uma consciência
de que ela deve ser muito bem preservada a fim de assegurar a sobrevivência da
espécie humana.
O progresso levou a uma inevitável concentração de atividades em
determinados locais específicos, tornando necessário o uso de uma maior
quantidade de água. Assim foi preciso promover o abastecimento das
populações. Esse abastecimento foi se tornando cada vez mais complexo,
envolvendo diversos fatores de ordem técnica, social, econômica, legal, política,
administrativa, estratégica, etc. Atualmente, os problemas relativos ao uso da
água têm ultrapassado as fronteiras dos países, adquirindo aspectos
internacionais.

5
Rio Paraibuna (Zona da Mata em Juiz de Fora). As turbinas foram importadas dos
Estados Unidos e o objetivo foi ampliar a produção de tecidos.
• Em 1899: Criação da São Paulo Light, com a entrada de capital estrangeiro no
setor elétrico brasileiro.
• Em 1903: aprovação do primeiro texto de lei pelo Congresso Nacional,
disciplinando o uso da energia elétrica no país.
• Em 1905: criação da rio Light, do mesmo conglomerado financeiro da São Paulo
Light.
• Em 1940: Regulamentação da situação das usinas termelétricas do país, mediante
incorporação às disposições do Código de Águas.
• Em 1952: fundação da Centrais Elétricas de Minas Gerais - CEMIG.
Hoje, a água além de ser usada para fins domésticos e industriais,
também é muito usada nas atividades agrícolas e pecuárias (crescentes áreas de
irrigação), navegação, geração de energia, lazer e até mesmo para a deposição
de rejeitos humanos e industriais.
Sob tal ponto de vista, a água torna-se uma preciosidade que deve ser
preservada a qualquer custo. Existem previsões de que a falta de água será um
grande problema para a humanidade, já que é um bem insubstituível na
atividade humana. Basta lembrar que uma pessoa consome facilmente cerca de

6
150 litros de água por dia, que se gastam 18 litros de água para produzir 1 litro
de petróleo e até 270 litros de água para produzir 1 quilograma de aço ou
mesmo 5 litros de água para produzir 1 litro da melhor cerveja. Da mesma
forma, dados da FAO apontam para um gasto de 15 977 litros de água para
produção de 1 kg de carne bovina, 5 096 litros de água para produção de 1 kg de
carne suína, 2 828 litros de água para produção de 1 kg de carne de aves, 18.000
litros de água para a produção de 1 kg de manteiga, 865 litros de água para
produção de 1 kg de leite e 2 300 litros de água para produção de 1 kg de soja.
Gasta-se de 160 a 200 litros de água para a produção de 1 m3
de concreto, 300
litros de água para compactação de 1 m3
de aterro (dados da Revista
Sustentabilidade). Estima-se que são gastos cerca de 25.000 litros de água na
construção de uma casa popular de 36 m2
de área. Na Engenharia Civil, gasta-se
água em diversas operações tais como, produção de concreto e argamassas,
resfriamento e cura do concreto, lavagem de superfícies em geral, lavagem de
formas utilizadas em estruturas de concreto, dentre outros. A construção civil
pode consumir até 50% da água potável produzida em regiões urbanizadas.
Assim, dá para notar que a água é um líquido economicamente importante.
A água está distribuída em mananciais de superfície e em mananciais
subterrâneos. É daí que o homem retira a água de que necessita. Atualmente a
quase totalidade das águas superficiais se encontram poluídas com resíduos
humanos, industriais e com detergentes. Assim existe a obrigação de se
construírem enormes estações de tratamento de água (ETA) para que seja
possível a sua utilização pelo homem.
Todos esses aspectos apontam para uma disciplina no uso e uma
preservação dos recursos hídricos existentes na face do planeta, acarretando a
aplicação de enormes quantidades de dinheiro.
Como a água não se distribui uniformemente na superfície terrestre, as
comunidades e as indústrias tendem a se desenvolver próximas às fontes de
água, tais como os rios, lagos ou oceanos.

7
Também existe uma falta de uniformidade temporal. Isso pode ser visto
constatando que os rios têm seu volume reduzido na estiagem ou têm o seu
volume aumentado no período chuvoso, provocando enchentes e obrigando o
homem a construir grandes obras de regularização da água: diques, açudes,
reservatórios ou barragens.
Para o Engenheiro Civil fica a responsabilidade de projetar obras para o
controle e a distribuição de água. Assim ele estará envolvido com obras em
portos, rios, canais, barragens, sistemas de irrigação, drenagem, sistemas de
geração de energia, redes de abastecimento, redes de esgotos e de águas
pluviais, tudo isso envolvendo o meio ambiente. Atualmente é tão importante
essa modalidade de atuação profissional, que a Escola de Minas acaba de criar o
curso de Engenharia Ambiental (curso criado em julho de 2000), no qual a
principal preocupação é o relacionamento do homem com o meio ambiente.
A grande interface entre os assuntos relacionados à água e ao meio
ambiente faz com que o Engenheiro Civil não trabalhe sozinho. Ele conta com a
colaboração de economistas, advogados, arquitetos, contabilistas, geólogos,
biólogos, químicos e de uma infinidade de outras especialidades, quando tem de
realizar estudos, projetos ou mesmo a execução da grande maioria das obras
hidráulicas.
É necessário preservar o meio ambiente e cabe ao Engenheiro Civil
uma grande participação na melhoria do bem estar da humanidade,
promovendo o aproveitamento racional dos recursos hídricos.
1.1. Divisões da Hidráulica
Atualmente pode-se dividir a Hidráulica em Hidráulica Geral (ou Teórica) e
Hidráulica Aplicada (ou Hidrotécnica). A Hidráulica Geral, divide-se, para efeitos de
estudos, em Hidrostática e Hidrodinâmica. A Hidráulica Aplicada divide-se em
Hidráulica Urbana (sistemas de abastecimento de água, esgotos sanitários, galerias de

8
águas pluviais e drenagem urbana), Hidráulica Rural ou Agrícola (irrigação e drenagem
agrícola), Hidráulica Fluvial (rios e canais), Hidráulica Marítima (portos e obras
marítimas), Instalações Hidráulicas Industriais e Técnica Hidrelétrica.

10
As grandezas físicas possuem relação entre si, de forma que, em um
sistema coerente de unidades, a relação existente entre uma grandeza física, G,
que depende de outras grandezas físicas, G1, G2,..., Gn,, pode ser escrita,
genericamente, por uma relação da forma:
G = f(G1, G2, G3, ..., Gn) ..................................................2.2
Para tratar corretamente com todas as grandezas físicas que se
relacionam na solução de um problema físico, é necessário escrever um
conjunto de regras adequadas, formando um sistema de unidades.
2.2. Sistemas de Unidades
Um sistema de unidades é formado pelo conjunto das unidades
necessárias para descrever todas as grandezas físicas e por algumas regras de
utilização. Ao longo dos anos, com o desenvolvimento da ciência, vários
sistemas foram construídos, uns em uso até os dias de hoje e outros em desuso
completamente. Ressalta-se que alguns dos sistemas mais utilizados na
atualidade resultaram do aperfeiçoamento de outros sistemas já existentes. Os
dois sistemas de unidades mais utilizados no momento são o Sistema
Internacional de Unidades e o Sistema CGS, descritos mais à frente. O primeiro
é o único sistema mundialmente reconhecido e recomendado para uso para
expressar as grandezas físicas com as quais os engenheiros se deparam. Apesar
disso, não raro encontramos unidades sendo medidas em sistemas diferentes
desses, como é o caso da pressão. É comum expressar a pressão medida nos
seres humanos em cm de Hg. Também é comum utilizar-se a lbf/pol2
(psi),
corriqueiramente denominada apenas de libra, para medir a pressão do ar no
interior dos pneus dos veículos. Estas unidades não pertencem a nenhum
sistema coerente de unidades. Assim, no momento em que forem utilizadas nas
equações físicas, elas precisam ser convertidas para o sistema de unidades que

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se está utilizando, daí a necessidade de se conhecer alguns detalhes dos sistemas
de unidades.
Todo sistema de unidades deve ser construído sobre um conjunto de
grandezas independentes entre si denominadas grandezas fundamentais e de um
conjunto de grandezas dependentes entre si, denominadas grandezas derivadas.
Assim, as unidades que expressam as grandezas fundamentais são
convenientemente arbitradas, porém as unidades das grandezas derivadas não
podem ser arbitradas e passam a ser conseqüência das grandezas fundamentais,
das suas unidades e das relações de interdependência entre as grandezas.
Existem, basicamente, dois tipos de sistemas de unidades: aqueles que
usam a massa como grandeza fundamental e os que usam a força como
grandeza fundamental. A tendência moderna é de se usarem sistemas de
unidades nos quais a massa é uma grandeza fundamental, devido à maior
precisão ao se representar as grandezas derivadas.
Cinco sistemas de unidades são conhecidos, sendo que alguns deles já
foram muito usados e outros estão em pleno uso atualmente. São eles o Sistema
Internacional de Unidades, Sistema CGS, Sistema Inglês Absoluto, Sistema
Técnico e Sistema Inglês Técnico. Os três primeiros pertencem à categoria dos
sistemas que têm a massa como grandeza fundamental e os dois últimos são da
categoria que consideram a força como grandeza fundamental.
Em 1960 a 11ª
Conferência Geral sobre Pesos e Medidas do Sistema
Internacional de Unidades adotou oficialmente esse sistema. O SI é um sistema
de unidades completo e com recurso para escrever a unidade de qualquer
grandeza que venha a ser definida, resultante da ampliação do antigo Sistema de
Unidades MKS ou sistema métrico. O termo sistema métrico é usado devido ao
fato da unidade de comprimento ser o metro e não o pé como ocorria nos
sistemas de língua inglesa.

12
Em 1984, todo grande país do mundo, exceto os Estados Unidos, estava
usando ou tinha oficialmente decidido usar o Sistema Internacional de Unidades
(SI) como sistema oficial de medidas. O uso desse sistema de medidas levará à
conversão de todas as medidas feitas em outros sistemas de unidades para as do
SI. Os livros mais modernos, inclusive os de autores americanos já trazem as
grandezas expressas em unidades do SI. Às vezes ainda trazem as unidades dos
antigos sistemas entre parênteses, apenas por força do hábito.
Por questões práticas apenas serão relacionadas as grandezas usuais na
mecânica, já que as demais grandezas são muito pouco usadas no curso de
Hidráulica.
2.2.1 - Sistema Internacional de Unidades
É o sistema mundialmente adotado para a medição das grandezas
físicas. No Brasil é o sistema legal desde a década de setenta. No domínio da
mecânica as suas grandezas fundamentais são: comprimento, massa, tempo e
temperatura, além de outras não referenciadas nesse texto. Já as demais
grandezas são derivadas. Exemplo de grandezas derivadas: velocidade,
aceleração, força, pressão, viscosidade, energia, etc.
Unidades das grandezas fundamentais
a) Unidade de comprimento: metro cujo símbolo é m.
Inicialmente o metro foi definido como sendo o comprimento
equivalente à décima milionésima parte de um quatro do meridiano terrestre que
passa pela cidade de Greenwich na Inglaterra. Para materializar tal
comprimento foi construída uma barra de platina e irídio, com uma seção
transversal especial, em forma de “X”. Nessa barra foram feitas duas marcas
distantes entre si de um comprimento exatamente igual a um metro. Esse padrão
primário do metro permanece guardado no Bureau Internationel de Poids et

13
Mesures, em Sèvres, França, até os dias de hoje. Note que a unidade ainda era a
décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre que passa pela
cidade de Greenwich, embora o padrão fosse o comprimento gravado na barra
de platina e irídio. Desse padrão foram feitas reproduções tanto mais fiéis
quanto possível, denominados de padrão secundário e distribuídos pelo mundo
inteiro. Quase todo órgão de peso e medida dos diversos países do mundo tem
um padrão secundário. A partir desse padrão secundário foram feitas novas
cópias denominadas de padrão terciário, originando os instrumentos de uso
corrente na medição de comprimento.
Porém com o decorrer do tempo e o avanço da qualidade dos
instrumentos de medição verificou-se que a definição original do metro não
correspondia exatamente ao comprimento da barra de platina e irídio guardada
no museu de Sèvres. O novo comprimento encontrado nas medições mais exatas
revelou-se ligeiramente superior ao padrão. Assim gerou-se um impasse
terrível: ou se mudava o padrão e procedia-se à correção de todas as medidas
feitas até então ou se alterava a definição do metro. Assim optou-se pela última
alternativa e o metro ganhou nova definição: o comprimento gravado na barra
de platina e irídio guardada no museu de Sèvres em Paris.
Posteriormente, por questões estratégicas e de segurança, criou-se uma
nova definição para o metro, que prevalece até os dias de hoje. O metro
atualmente é definido como o comprimento equivalente a 1 650 763,37 vezes o
comprimento de onda de uma radiação de cor laranja, do isótopo criptônio 86,
na sua transição entre os estados 2p10 e 5d5. Dessa forma os laboratórios de
física do mundo inteiro têm condição de reproduzir com certa facilidade a
unidade de comprimento do SI, ou seja, o metro.
O que importa que o metro é hoje utilizado em todas as medidas oficiais
de comprimento em praticamente todos os países do mundo. Ele foi dividido em
partes menores para permitir a medição de pequenos comprimentos. Assim tem-
se o centímetro e o milímetro.

15
Unidades das Grandezas Derivadas
Em um sistema coerente de unidades, a relação existente entre as
grandezas físicas também prevalece entre suas unidades. Assim se existir uma
relação entre a grandeza física, G e outras grandezas físicas G1, G2,..., Gn, da
forma da equação 2.2, existirá uma relação análoga entre as unidades da
grandeza física G e as grandezas físicas Gi, tal que:
U(G) = f[U(G1), U(G2), U(G3),...,U(Gn)] …………………………..2.3
Como exemplo pode-se citar o caso da velocidade, definida como sendo
a relação entre o espaço e o tempo. Assim, como V = e/t, podemos escrever que
U(V) = U(e)/U(t). No SI, tem-se:
U(V) = m/s = ms-1
.
Para a aceleração que é definida como sendo a variação da velocidade
com o tempo, a = ∆V/∆t, tem-se: U(a) = U(∆V)/U(∆t). Logo
U(a) = m/s/s ou U(a) = m/s2
= ms-2
.
Para o caso da força, nesse sistema considerada uma grandeza derivada,
a segunda lei de Newton permite escrever a seguinte relação:
F = m.a U(F) = U(m).U(a).
Assim, U(F) = kg.m/s2
. A essa unidade foi dado o nome de newton em
homenagem a Isaac Newton, convencionando-se que o seu símbolo seria N.
Logo 1 N é a força que aplicada a uma massa de 1 quilograma provoca nela uma
mudança de velocidade de 1 m/s a cada s. Então
1 N = 1 kg.m/s2
.
A pressão também é uma das grandezas derivadas, cuja unidade pode
ser facilmente encontrada no SI. Como pressão é a relação entre uma força
normal e a área na qual ela atua, podemos dizer que: p = Fn/A. Logo U(p) =
U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas fundamentais
teremos:

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U(p) = N/m2
. Tal unidade foi denominada de pascal, e a ela foi
reservado o símbolo Pa. Com isso pode-se escrever que:
U(p) = N/m2
= Pa
De uma maneira análoga é possível escrever todas as unidades das
demais grandezas derivadas. Na tabela 02 estão resumidas algumas das
principais grandezas físicas que aparecem nos estudos da Hidráulica, bem como
as suas unidades correspondentes no Sistema Internacional de Unidades.
Tabela 02 – Exemplos de algumas grandezas físicas derivadas.
Grandeza Física Notação Unidade Símbolo
Área A m2
--
Volume Vol m3
--
Velocidade V m/s --
Aceleração a m/s2
--
Força F kg.m/s2
N
Pressão p N/m2
Pa
Massa específica ρ kg/m3
--
Peso específico γ N/m3
--
Energia E N.m J
Vazão Q m3
/s --
Vazão em massa m& kg/s --
Viscosidade µ kg/m/s Pa.s
Viscosidade cinemática ν m2
/s --
Potência P N.m/s W
2.2.2 - Sistema de Unidades CGS
O sistema de unidades que ficou conhecido como CGS possui
grandezas fundamentais com unidades pequenas, de forma que as medidas das
grandezas usuais são expressas por números mais adequados. As suas grandezas
fundamentais são comprimento, massa, tempo e temperatura. As grandezas
derivadas são, velocidade, aceleração, força, pressão, viscosidade, energia,

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dentre outras. A seguir relaciona-se as unidades das grandezas fundamentais, no
domínio da mecânica.
a) Unidade de comprimento: foi denominada de centímetro, cujo símbolo é cm,
tendo sido definida tal que um centímetro vale 10-2
m.
b) Unidade de massa: foi denominada de grama, cujo símbolo é g, tendo sido
definida como sendo a milésima parte do quilograma (10-3
kg).
c) Unidade de tempo: foi definida, como nos demais sistemas, e denominada de
segundo, cujo símbolo é s. O segundo é a mesma unidade de tempo do SI.
d) Unidade de temperatura: foi denominada de grau Celsius, cujo símbolo é ºC,
tendo sido definida em relação ao ponto de fusão do gelo (0,15ºC) e o ponto de
vaporização da água à condições normais de temperatura e pressão (100,15ºC).
O intervalo entre ambas as temperaturas foi dividido em 100 partes e a cada
parte corresponde um grau Celsius, à semelhança do grau Kelvin.
Nesse sistema, para as grandezas físicas derivadas temos as seguintes
unidades:
U(V) = cm/s
U(a) = cm/s2
U(F) = g.cm/s2
= dyna cuja abreviatura é dyn. Nesse caso pode-
se ver que 1 dyna é equivalente a 10-5
N.
U(p) = dyna/cm2
= bária. Pode-se deduzir que 1 bária eqüivale
a 0,1 Pa.
2.2.3 - Sistema Inglês Absoluto
Grandezas fundamentais: comprimento, massa, tempo e temperatura.
Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, força, pressão,
viscosidade, energia, etc.

18
Unidades das grandezas fundamentais:
a) Unidade de comprimento: pé (foot) cujo símbolo é ft.
1 ft = 0,3048 m
b) Unidade de massa: libra cujo símbolo é lb
1 lb = 0,45359 kg. Valor correto: 1 lb = 0,45359237 kg
c) Unidade de tempo: segundo cujo símbolo é sec.
O segundo é a mesma unidade de tempo do SI.
d) Unidade de temperatura: grau Rankine cujo símbolo é R.
O grau Rankine é definido em relação ao ponto de fusão
do gelo (491.67 R) e o ponto de vaporização da água nas condições normais de
temperatura e pressão (671,67 R). O intervalo entre ambas as temperaturas foi
dividido em 180 partes iguais e a cada parte corresponde um grau Rankine.
Para as grandezas físicas derivadas temos:
U(V) = ft/sec
U(a) = ft/sec2
U(F) = lb.ft/sec2
= poundal cuja abreviatura é pdl. Nesse caso
pode-se ver que 1 pdl é equivalente a 0,138257 N.
U(p) = pdl/ft2
. Pode-se deduzir que 1 pdl/ft2
eqüivale a
1,48819 Pa.
2.2.4 - Sistema Técnico
Grandezas fundamentais: comprimento, força, tempo e temperatura.
Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, massa, pressão,

20
d) Unidade de temperatura: grau Celsius cujo símbolo é ºC.
Essa unidade é a mesma do sistema CGS.
Unidades das Grandezas Derivadas:
Devido à escolha da força para ser uma grandeza física fundamental, a
massa passa a ser uma grandeza física derivada. Da segunda lei de Newton é
possível obter:
m = F/a U(m) = U(F)/U(a).
Assim, U(m) = kgf/(m/s2
) = kgf.s2
/m. Tal unidade é conhecida pelo
nome de unidade técnica de massa e abreviada por utm. Decorre da definição
que 1 utm = 9,80665 kg.
A velocidade e a aceleração têm as mesmas unidades que no SI.
A pressão, grandeza derivada, nesse sistema de unidades também é a
relação entre uma força normal e a área na qual ela atua. Como p = Fn/A, tem-se
que U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas
fundamentais teremos:
U(p) = kgf/m2
. Tal unidade, além de ser muito pouco usada, não teve
denominação específica nesse sistema de unidades. É possível, partindo das
unidades fundamentais estabelecer a relação:
U(p) = 1 kgf/m2
= 9,80665 N/m2
= 9,80665 Pa
Nesse curso utilizaremos com freqüência a relação 1 kgf/m2
= 9,807 Pa.
Observação: Há uma tendência entre os alunos desavisados de confundir o kg
com o kgf. Entretanto deve-se observar que se trata de duas grandezas
diferentes, com unidades de sistemas de unidades diferentes. Portanto não há
possibilidade de confusão. Deve-se ressaltar que os livros que adotam o sistema
técnico de unidades abreviam o quilograma-força por kg ou até mesmo kgp.

21
Entretanto não haverá risco de confusão já que nesse sistema adotado não existe
o quilograma definido como unidade de massa. Aqui a unidade de massa é a
utm. A confusão aparece quando são considerados diversos sistemas. Deve-se
ressaltar que tal confusão é cometida em vários artigos científicos e, até mesmo,
em alguns livros. Com um pouco de cuidado o leitor poderá perceber quando o
kg está representando o quilograma-força ou a unidade de massa do SI.
2.2.5 - Sistema Inglês Técnico
Grandezas fundamentais: comprimento, força, tempo e temperatura.
Grandezas derivadas: velocidade, aceleração, massa, pressão,
Unidades das grandezas fundamentais:
a) Unidade de comprimento: pé (foot) cujo símbolo é ft.
Essa grandeza é a mesma definida no Sistema Inglês Absoluto.
b) Unidade de Força: libra-força cujo símbolo é lbf.
A libra-força foi definida como a força com que a terra atrai o cilindro
de platina que definiu a unidade de massa do Sistema Inglês Absoluto, ao nível
do mar e na cidade de Greenwich. Essa unidade padece dos mesmos defeitos da
unidade de força do Sistema Técnico.
1 lbf = 0,45359237 kgf
c) Unidade de tempo: segundo (second) cujo símbolo é sec.
Essa unidade de tempo é a mesma do SI
d) Unidade de temperatura: grau Farenheit cujo símbolo é ºF.
Essa unidade é definida também com relação aos pontos de fusão e de
ebulição da água. À temperatura de fusão da água atribuiu-se 32 ºF e à de

22
ebulição atribuiu-se 212 ºF. O intervalo entre ambas foi dividido em 180 partes
iguais, sendo cada parte correspondente a um grau Farenheit (ºF).
Unidades das Grandezas Derivadas:
Da mesma forma que no Sistema Técnico, escolheu-se a força para ser
uma grandeza física fundamental. Logo a massa passa a ser uma grandeza física
derivada. Da segunda lei de Newton é possível obter:
m = F/a U(m) = U(F)/U(a).
Assim, U(m) = lbf/(ft/s2
) = lbf.s2
/ft. Tal unidade é conhecida pelo nome
de slug. Decorre da definição que 1 slug =1,48816 utm = 14,5939 kg.
A velocidade e a aceleração têm as mesmas unidades que no Sistema
Inglês Absoluto.
A pressão, grandeza derivada, nesse sistema de unidades também é a
relação entre uma força normal e a área na qual ela atua. Como p = Fn/A, tem-se
que U(p) = U(Fn)/U(A). Escrevendo em função das unidades das grandezas
fundamentais teremos:
U(p) = lbf/ft2
. Tal unidade, além de ser muito pouco usada, não teve
denominação específica nesse sistema de unidades. É possível, partindo das
unidades fundamentais, estabelecer a relação:
U(p) = 1 lbf/ft2
= 4,8825 kgf/m2
= 47,88106 Pa.
Regra geral:
No uso de grandezas físicas em equações algébricas devemos
obedecer a certas regras para que as unidades tenham consistência em um
sistema coerente de unidades.
Regra 1: As dimensões das grandezas nos dois lados da equação devem ser as
mesmas, a menos que seja uma equação empírica.

23
Regra 2: Pode-se somar ou subtrair apenas grandezas físicas que tenham as
mesmas dimensões.
Regra 3: A multiplicação ou divisão de grandezas físicas é possível desde que o
produto ou o quociente resultante seja o produto ou o quociente das
dimensões envolvidas.
2.2.6 – Caso de grandeza física de valor muito elevado ou muito
pequeno
Quando tratarmos de grandezas físicas expressas por medida muito grande ou
eventualmente muito pequena, é aconselhável o uso de prefixos para tornar os números
mais adequados à escrita. A tabela 03 ilustra os prefixos atualmente em uso.
Tabela 03 – Prefixos usados como multiplicadores das unidades
Prefixo Símbolo Multiplicador
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
quilo k 103
hecto h 102
deca da 101
deci d 10-1
centi c 10-2
mili m 10-3
micro µ 10-6
nano n 10-9
pico p 10-12
femto f 10-15
atto a 10-18
Assim, 1MPa significa 106
Pa, 1mm representa 10-3
m e 1 kN representa 103
N.

25
p = 50 lb.ft/s2
/ft2
= 50 lb/ft/s2
= 50 x 0,4536 kg/(0,3048 m)/s2
= 74,409
kg/m/s2
.
p = 74,409 kg.m/s2
/m2
= 74,409 N/m2
Finalmente, p = 74,409 Pa
d) ρ = 3,50 slug/ft3
Lembrete: slug é a unidade de massa do Sistema Inglês Técnico, logo 1
slug = 1 lbf / (ft / s2
) ou 1 slug = 1 lbf . s2
/ ft.
ρ = 3,50 lbf . s2
/ ft4
= 3,50 x 0,4536 kgf . s2
/ (0,3048 m)4
ρ = 3,50 x 0,4536 x 9,80665/0,30484
N.s2
/m4
= 1 803,86 kg.m.s-2
.s2
/m4
.
Finalmente: ρ = 1 803,86 kg/m3
.
2.
3.2.8 – Exercícios
1. A viscosidade de um dado óleo é 5,0 Poise. Sabendo que o Poise é a unidade
de viscosidade do sistema CGS e que vale 1 dyna.s/cm2
, determine o seu valor
em unidades do Sistema Internacional.
2. Calcular o valor de uma pressão igual a 1 lbf/pol2
em unidades do Sistema
Internacional e em hPa.

26
3.3 - Propriedades Físicas dos fluidos
Ao estudar os fluidos, devemos construir equações que descrevem o seu
movimento. Tais equações serão mais simplificadas quando forem escritas usando
propriedades físicas dos fluidos e, principalmente, aquelas propriedades que
independem da massa. As propriedades físicas dos fluidos, em última análise, são os
meios usados para caracterizar esse fluido.
a) Massa específica
A massa específica, na língua inglesa denominada de density, é definida como
a massa contida em uma unidade de volume do fluido. Matematicamente, podemos
calcular a massa específica através da relação entre a massa do fluido e o volume por ele
ocupado. Assim, sendo m a massa de um fluido e V o seu volume, por definição, a
massa específica, ρ, será:
V
m
=ρ

27
Tal relação pressupõe que o fluido seja homogêneo, isto é, qualquer porção do
fluido que se considere tem sempre a mesma relação entre a massa e o volume. Todavia
isso nem sempre acontece, pois podem existir problemas envolvendo fluidos que não
sejam homogêneos ou fluidos em que a massa específica varia de ponto para ponto
dentro da massa fluida, o que exige uma definição mais precisa e que considere essas
variações. Nesse caso, é necessário fazer a relação entre uma porção de massa muito
pequena, ∆m e o seu volume correspondente, ∆V. Assim, de forma mais precisa, diz-se
que a massa específica ρ é definida pelo limite:
V
m
V ∆
∆
=
→∆ 0
limρ
Observando esse limite, podemos verificar que se trata exatamente da definição
de derivada da função m em relação ao volume V. Assim, na prática, a massa específica
é calculada pela seguinte relação:
dV
dm
=ρ
Diz-se que a massa específica é a derivada da massa em relação ao volume ou,
em termos práticos, é a taxa de variação da massa com o volume. Deve-se observar que
a massa específica é uma grandeza absoluta pois apenas depende da massa contida em
um certo volume de fluido.
Essa relação é muito importante, quando se conhece a massa específica e
deseja-se calcular a massa total de um fluido. Da expressão acima podemos escrever:
∫=∴=
V
dVmdVdm ρρ .
Sabendo como a massa específica varia com o volume, a integral acima pode
ser avaliada para obter a massa total de fluido contida no volume V. Essa equação será
muito usada no estabelecimento das equações de previsão dos escoamentos em
Hidráulica.

28
Unidades:
As unidades da massa específica decorrem da própria definição, o que, em um
sistema coerente de unidades, pode ser escrito como:
U(ρ) = U(m) / U(V)
No SI, a unidade de ρ é kg/m3
; no sistema CGS é g/cm3
; no sistema Inglês Absoluto é
lb/ft3
; no sistema Inglês Técnico é slugg/ft3
e, finalmente, no sistema Técnico é utm/m3
.
A massa específica dos líquidos em geral decresce com o aumento de
temperatura, exceto para a água na faixa entre 0ºC e 4o
C, quando se verifica um
aumento de ρ com a temperatura. Para os gases a massa específica diminui com o
aumento da temperatura, mantendo-se a pressão constante.
Apesar da massa específica dos fluidos aumentar conforme se aumenta a
pressão os líquidos apresentam uma variação muito pequena, quase imperceptível.
Tanto é assim que os líquidos são considerados fluidos incompressíveis. Ao contrário, a
mudança da massa específica coma a pressão nos gases é bastante acentuada.
A água pura a 4o
C tem a massa específica exatamente igual a 1 000,00 kg/m3
.
Já a 20o
C, a sua massa específica é de 998,23 kg/m3
. O mercúrio metálico tem a sua
massa específica a 0o
C igual a 13 595,1 kg/m3
e a 20o
C igual a 13 545,8 kg/m3
.
Observar que a variação não é grande, porém ela ocorre. O valor exato da massa
específica da água a 4o
C concorreu para se estabelecer a água como padrão para
relacionar as demais substâncias, através da densidade que será definida adiante.
A tabela 04, dada a seguir, mostra os valores da massa específica da água e do
mercúrio a diversas temperaturas. Para a água é possível ajustar uma equação aos dados
da massa específica (kg/m3
) e temperatura (ºC) com resultados excelentes na faixa entre
0º
C a 40º
C e satisfatórios entre 40 e 95 ºC. A equação encontrada é:
( ) ( )
( )26,6757,503
28398,3
1000
2
+
+−
−=
T
TT
agρ

IX
4.2. Exemplo de aplicação.............................................................................179
4.3. CONCEITOS RELATIVOS AOS ESCOAMENTOS............................180
4.3.1. Tipos e regimes de escoamentos:.................................................182
4.3.2. CONCEITO DE VAZÃO............................................................186
a) Vazão em volume: Q....................................................................186
b) Vazão em massa: m& ou Qm.........................................................190
c) Vazão em peso: G.........................................................................192
d) Velocidade média: V ...................................................................192
EXERCÍCIOS DE ALICAÇÃO.............................................................193

30
b) Peso Específico
O peso específico, denominado de specific weight, é definido como sendo o
peso da unidade de volume de um fluido. Assim, ele representa a força exercida pela
atração gravitacional da terra sobre a unidade de volume do fluido. A relação
estabelecida, em que P é o peso de fluido contido no volume V, é a seguinte:
V
P
=γ
Tal relação pressupõe que o fluido seja homogêneo, isto é, qualquer porção do
fluido que se considere tem sempre a mesma relação entre o peso e o volume. Quando o
fluido não é homogêneo, diz-se que o peso específico γ é definido pelo seguinte limite:
V
P
V ∆
∆
=
→∆ 0
limγ
Nesse limite, ∆P é o peso de fluido contido no volume ∆V. À semelhança do ocorrido
com a massa específica, usa-se, na prática, a seguinte relação para calcular o peso
específico:
dV
dP
=γ
Diz-se que o peso específico é a derivada do peso em relação ao volume ou, em termos
práticos, é a taxa de variação do peso com o volume.
Essa relação é de fundamental importância quando se deseja conhecer o peso
total de um fluido. A expressão acima permite escrever:
∫=∴=
V
dVPdVdP γγ .
Unidades:
As unidades de peso específico podem ser determinadas em um sistema
coerente de unidades através da relação:

31
U(γ) = U(P) / U(V)
No SI, a unidade de γ é N/m3
; no sistema CGS é dyn/cm3
; no sistema Inglês Absoluto é
pdl/ft3
; no sistema Inglês Técnico é lbf/ft3
e, finalmente, no sistema Técnico é kgf/m3
.
A água pura a 4o
C tem o peso específico ao nível do mar igual a 9 806,65 N/m3
ou, aproximadamente 9 807 N/m3
. Os engenheiros usaram muito o valor 1000 kgf/m3
. O
mercúrio metálico tem a sua massa específica a 0o
C igual a 133 322,4 N/m3
.
Da definição de peso específico decorre uma relação muito usual que permite o
cálculo do peso específico caso se conheça a massa específica e vice-versa. A segunda
lei de Newton permite escrever o peso de certa massa dm como sendo:
g
dV
gdm
gdmdP ργγ =∴=∴=
.
. .
Ao contrário da massa específica, o peso específico não é uma grandeza
absoluta, visto que depende do valor da aceleração da gravidade local, função da
posição na superfície terrestre.
A aceleração da gravidade varia com a latitude e com a altitude do local onde
está sendo observada. A variação com a latitude está dada na tabela 05.
Tabela 05 - Aceleração da gravidade, go ao nível do mar.
Latitu-
de (°)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
go
(m/s
2
)
9,780 9,782 9,786 9,793 9,802 9,811 9,819 9,826 9,831 9,832
Com a altitude, z, a aceleração da gravidade pode ser avaliada pela equação:
2






+
=
zR
R
gg o

32
Nessa equação, R é o raio da terra e go a valor da aceleração da gravidade na latitude do
local, conforme tabela 05.
c) Volume específico
Por definição o volume específico é o volume ocupado por uma unidade de
massa do fluido:
dm
dV
vs = ou
m
V
vs =
A comparar com a definição de massa específica, vê-se que essa grandeza
física pode ser determinada por uma relação mais usual:
ρ
1
=sv
O volume específico é comumente usado ao tratar do equacionamento do
movimento dos gases, sendo medido em m3
/kg no Sistema Internacional de Unidades.
d) Densidade
A densidade de um fluido, d, denominada de specific gravity na língua inglesa,
é definida pela relação entre a massa de um dado volume do fluido e a massa de um
mesmo volume de água pura a 4o
C. Depreende-se dessa definição que a densidade é um
número puro ou uma grandeza adimensional. Alguns autores teimam em chamá-la de
densidade relativa para diferenciar da massa específica à qual chamam de densidade
absoluta. Entretanto denominando essa grandeza apenas de densidade, não corremos o
risco de provocar dubiedades.
Como a massa de um volume de um dado fluido pode ser escrita como sendo
m = ρ.V e a massa do mesmo volume de água pura a 4o
C pode ser escrito como
ma = ρoV, tem-se:

33
ooVa
V
d
V
V
d
m
m
d
ρ
ρ
ρ
ρ
=∴=∴=
Tal expressão mostra que podemos calcular a densidade de um fluido através da relação
entre a sua massa específica, ρ, e a massa específica da água pura a 4o
C, ρo.
Devido à relação entre a massa específica e o peso específico, podemos, ainda,
se for conveniente, calcular a densidade de um fluido como sendo a relação:
o
d
γ
γ
=
Nessa relação, γ é o peso específico do fluido considerado e γo é o peso específico da
água pura a 4o
C.
Como exemplo, podemos citar a densidade do mercúrio a 0o
C. Ela vale d =
13,5951, já que a sua massa específica a 0o
C é 13 595,1 kg/m3
e a massa específica da
água padrão é 1 000,00 kg/m3
. A densidade da água a 20o
C é igual a 0,9982.
e) Compressibilidade
Os fluidos são mais ou menos compressíveis, dependendo da sua natureza.
Constata-se que os gases são bastante compressíveis ao passo que os líquidos são pouco
compressíveis. Assim, na realidade não existe um fluido completamente incompressível.
Por aproximação trataremos os líquidos como fluidos incompressíveis, mesmo sabendo
eles mudam muito pouco de volume quando sujeitos a elevadas pressões. Considera-se
um fluido incompressível quando alterações na pressão provocam uma variação
desprezível na massa específica. Uma evidência clara da compressibilidade dos líquidos
reside no fato de que uma perturbação na pressão viaja com uma certa velocidade no
seu interior. As ondas sonoras são decorrentes de uma variação de pressão. Elas viajam
nos líquidos com uma velocidade bem definida.
Mesmo os gases, quando submetidos a variação de pressão tal que a sua massa
específica altera muito pouco, podem ser considerados como fluidos incompressíveis. É
o caso do escoamento de ar em sistemas de ventilação de prédios.

34
A compressibilidade é a propriedade que os fluidos têm de alterar o seu volume
devido a uma alteração na pressão a que estão submetidos. A variação de volume
relativa que um fluido sofre ao ser submetido a uma variação de pressão é escrita como
sendo ∆V/V, onde ∆V é a variação de volume sofrida e V o volume inicial. Se essa
variação relativa de volume é devida a uma variação ∆p da pressão, define-se o módulo
de elasticidade volumétrica E como sendo a relação:
V
V
p
E
∆
∆
−= ou
V
p
VE
∆
∆
−=
O sinal negativo decorre do fato de se pretender valores de E sempre positivos
e do fato de que haverá uma variação inversa entre a pressão e a variação de volume. Se
aumentarmos a pressão o volume diminui e vice-versa.
Mais precisamente devemos definir E como sendo o caso limite da relação
∆p/∆V, quando ∆V tender para zero. Nesse caso tem-se:
dV
dp
VE −=
Nesta equação V é o volume inicial, dp é a variação elementar de pressão que causou a
variação de volume, dV, também elementar.
Como a variação relativa de volume é uma grandeza adimensional, nota-se que
as unidades de E são as mesmas da pressão. Assim, E é medido em N/m2
, dyn/cm2
,
kgf/m2
, etc.
O módulo de elasticidade volumétrica é análogo ao módulo de elasticidade
definido para os sólidos. A diferença é que o primeiro é definido com base na variação
de volume, ao passo que o segundo é definido com base na relação unidimensional da
tensão-deformação dos corpos sólidos.
Como m = ρV = const., diferenciando, tem-se: dm = ρ.dV+ V.dρ =0. Logo -
dV/V = dρ/ρ. Assim, substituindo essa relação na equação de E dada acima, chega-se a:
ρ
ρ
d
dp
E =

35
Dessa equação pode-se tirar uma importante relação muito usada para calcular
a taxa de variação da pressão com a massa específica:
ρρ
E
d
dp
=
A expressão acima pode ser posta sob a forma
E
dpd
=
ρ
ρ
e integrada para
obter:
∫∫ =




 p
poo E
dpdρ
ρ ρ
ρ ou
E
pp o
o
−
=)ln(
ρ
ρ
.
Para os líquidos, observando que a variação é pequena, a última equação pode ser
aproximada pela equação
E
pp o
o
o −
=
−
ρ
ρρ .
Finalmente, esta equação pode ser re-escrita na forma:
( )





−+= oo pp
E
1
1ρρ
Esta equação pode ser usada para previsão de novos valores da massa específica quando
um líquido for submetido a um aumento de pressão p – po, desde que se conheça o
módulo de elasticidade volumétrico do líquido. Considerando-se a água como fluido
incompressível, despreza-se a segunda parcela dentro dos colchetes na equação anterior,
o que permite concluir que ρ = ρo.
Na realidade constata-se que E varia com a pressão e com a temperatura no
caso dos fluidos. Para os líquidos tal variação é muito menor. Assim é que os gases têm
um valor de E relativamente baixo, ao passo que os líquidos têm um elevado valor de E.
A tabela 06 fornece alguns valores do módulo de elasticidade volumétrica da água.

37
a
v
M =
Ele expressa quantas vezes a velocidade de escoamento de um fluido é maior ou menor
que a velocidade de propagação de uma onda de pressão no mesmo.
Considerando-se as variações de massa específica, pode-se escrever:
n
o M
n −





 −
+=
1
1
2
2
1
1ρρ
n é o expoente adiabático do fluido e ρo é a massa específica quando a velocidade de
deslocamento do fluido for nula. A expressão acima mostra que a massa específica não
varia muito. Assim, se M = 0,3 e n = 1,4, para uma velocidade v = 100m/s tem-se ρ =
0,96ρo. Ao desconsideramos a variação da massa específica, nesse caso, o erro cometido
é de apenas 4% para uma velocidade exageradamente grande.
Distinção entre Líquido e Gás
Os fluidos são substâncias líquidas ou gasosas. O que vai diferenciar um
líquido de um gás é o arranjo interno na estrutura molecular de cada substância.
Nos gases as moléculas estão muito mais distantes entre si, de forma que a
força de coesão entre elas torna-se bastante pequena. Tanto é assim que os gases tendem
a ocupar todo o volume que os encerra. Se toda a força externa que encerra uma da
massa gasosa cessa, o gás tende a se expandir indefinidamente. O equilíbrio só ocorre
quando o gás está encerrado entre paredes confinantes, formando um sistema fechado.
Nos líquidos, as moléculas estão bem mais próximas umas das outras. Essa
proximidade aumenta as forças de coesão entre elas, fazendo com que o líquido ocupe a
forma do recipiente que o contém, às vezes deixando uma superfície livre. Essa
superfície livre aparece sempre que a pressão torna-se igual a um valor que não seja a
sua pressão de vapor.
Dessa maneira é que dizemos que os gases são mais compressíveis que os
líquidos, considerados incompressíveis.

38
Um vapor é um gás cuja temperatura e pressão a que está submetido são
próximas daquelas que caracterizam a fase líquida. O vapor d’água é considerado um
gás pois o seu estado é próximo ao estado da água líquida. Já para um gás as condições
de T e p estão muito longe do estado líquido. Muitos autores referem-se a um gás como
um vapor superaquecido. O volume de um gás é muito afetado pela temperatura e pela
pressão ou por ambos.
Fluidos Compressíveis e Incompressíveis
A Hidráulica trata essencialmente do estudo dos fluidos incompressíveis e a
mecânica dos fluidos estuda ambos os fluidos. Na realidade devemos observar que
todos os fluidos reais são compressíveis, uns mais e outros menos. Um fluido é
considerado incompressível quando, no seu estudo, pode-se desprezar as variações de
massa específica causadas pela variação da pressão. Se essas variações são
significativas, não podendo ser desprezadas, devemos estudar o fluido do ponto de vista
de sua compressibilidade, tentando estabelecer relações entre a compressibilidade e as
variações de pressão. Na maioria das vezes os líquidos são considerados
incompressíveis pois a variação da sua massa específica com a pressão é desprezível.
Entretanto, em alguns poucos casos, essa variação deve ser considerada, mesmo em se
tratando de um líquido. É o caso da ocorrência do fenômeno denominado de golpe de
aríete, efeito muito danoso aos alguns escoamentos em tubulações. A comprovação da
compressibilidade dos líquidos é o fato de que ondas sonoras viajam através deles com
uma velocidade finita. As ondas sonoras são manifestações de variação de pressão.
Os gases, em certos casos, também podem ser considerados como tendo um
comportamento de fluido incompressível. É o caso de escoamentos a baixas velocidades
e com pequenas variações de pressão, tais como os que ocorrem em sistemas de
ventilação de edifícios ou no escoamento através da asa de aviões que se deslocam a
velocidades inferiores a 100 m/s.

39
g) Pressão de vapor
Todo líquido tende a evaporar quando possuir uma superfície livre. As
moléculas dos líquidos que estiverem próximas à superfície livre podem escapar do
líquido, passando à fase de vapor nas proximidades da superfície livre, de tal forma que
a evaporação se dá pela perda de moléculas do líquido. Quando esse espaço não é
confinado, o número de partículas que passa à fase de vapor é estatisticamente maior do
que o que volta novamente à fase líquida, fazendo com que haja evaporação.
Quando o espaço acima da superfície livre é confinado, a pressão parcial do
gás vai aumentando até que haja um equilíbrio entre as moléculas que passam à fase de
vapor e as que retornam à fase líquida. Nesse caso de equilíbrio a pressão é denominada
de pressão de saturação ou pressão de vapor do líquido. Se a pressão acima da
superfície livre de um líquido se tornar igual à pressão de vapor, ocorre a ebulição do
líquido. A água pode entrar em ebulição a 20o
C, desde que a pressão na sua superfície
seja abaixada para 2 334 Pa (a pressão atmosférica ao nível do mar é de 101 325 Pa). A
tabela 07 fornece o ponto de ebulição da água para diversas altitudes.
Tabela 07 – Ponto de ebulição da água e temperatura
Altitude
(m)
0 500 800 1 000 1 500 2 000 3 000 4 000
Temp
(ºC)
100 98 97 96 95 93 91 89
A atividade molecular, que é dependente da temperatura, é de fundamental
importância ao se estabelecer a pressão de vapor. Assim constata-se que a pressão de
vapor de um líquido é tanto maior quanto mais elevada for a temperatura na qual o
líquido se encontra. A tabela 08 fornece a pressão de vapor da água com a temperatura,
em unidades do sistema Internacional, sistema técnico e em metros de coluna de água
(mca)
Nos escoamentos de um líquido podem ocorrer pressões inferiores à pressão de
vapor. Nesses pontos o líquido evapora muito rapidamente, formando uma bolsa ou
cavidade que se expande rapidamente e ao deslocar pode voltar a ser submetida a

40
pressões maiores, tornando a voltar à fase líquida (colapso da bolha). Esse fenômeno é
denominado de cavitação e deve ser evitado nos escoamentos. Nas bombas, quando ela
ocorre, haverá uma perde de eficiência e pode levar ao desgaste prematuro das peças
envolvidas.
Tabela 08 – Pressão de vapor da água e temperatura
Temperatura Pressão de vapor da água
(ºC) Pa kgf/m2
mca
-10 260 26,5 0,027
-5 403 41,1 0,041
0 611 62,3 0,062
4 813 82,9 0,083
5 872 88,9 0,089
10 1 225 124,9 0,125
15 1 705 173,9 0,174
20 2 339 238,5 0,239
25 3 169 323,1 0,323
30 4 246 433,0 0,433
50 12 350 1 259 1,259
80 47 390 4 832 4,832
100 101 325 10 332 10,332
150 475 800 48 518 48,518
h) Tensão superficial e capilaridade
Os líquidos na realidade são formados por partículas que estão sujeitas a forças
de coesão e de adesão. Estas são forças de atração que ocorrem a nível molecular. As
forças de coesão tendem a manter as moléculas do líquido unidas entre si. Já as forças
de adesão tendem a manter partículas do líquido junto com partículas de outros corpos
próximos, como no caso das paredes que contêm os líquidos.
Se as forças de adesão são superiores às forças de coesão aparece a conhecida
tendência dos líquidos de molharem o recipiente que os contém. Isso é o que acontece
com a água e a maioria dos recipientes que a encerra. Se as forças de coesão superam as

42
Fig. 01 - Relação entre a tensão superficial e a temperatura para a água
A variação da tensão superficial da água (em N/m) com a temperatura, na faixa
entre 0ºC e 100ºC pode ser aproximada pelo polinômio:
0756,010.403,110.751,2 427
+−= −−
TTσ .
Os efeitos da tensão superficial em geral são pequenos, podendo ser
desprezados na maioria dos problemas encontrados na Engenharia. Entretanto em
alguns problemas envolvendo capilaridade, formação de bolhas ou gotas, quebra de jato
líquido, eles podem assumir papel preponderante.
A capilaridade é devida aos efeitos da tensão superficial. Quando as forças de
adesão superam as de coesão, o líquido adere à parede do recipiente que o contém
promovendo uma elevação da superfície de separação um pouco acima do nível do
líquido. Ocorre, assim, uma elevação capilar, como no caso da água. Quando as forças
de adesão são inferiores às de coesão, o líquido não adere à parede do recipiente. Nesse
caso a superfície de separação tende a se abaixar, ficando algo abaixo do nível normal
da superfície líquida. Esse é o caso do mercúrio. Quando mergulhamos um tubo de
vidro na água, observa-se uma elevação do nível da água dentro do tubo, acima da
superfície normal da água. Quando introduzimos um tubo de vidro no mercúrio, ocorre
uma depressão do nível do mercúrio dentro do tubo. Tanto a elevação quanto a
0,05
0,06
0,06
0,07
0,07
0,08
0,08
0 20 40 60 80 100
TensãoSuperficial(N/m)
Temperatura (ºC)

43
depressão capilar depende do inverso do raio do tubo. Tubos finos tendem a mostrarem
uma grande elevação capilar. Tubos de diâmetros acima de 10mm mostram uma
elevação capilar desprezível.
A figura 02 ilustra a elevação capilar, h, ocorrida ao se introduzir um tubo de
raio R dentro da água de peso específico γ e tensão superficial σ. Considera-se θ o
ângulo de ataque, formado pela tangente ao bordo do menisco ao atingir a parede do
tubo de vidro e a vertical. Quando o tubo está limpo, para a água θ = 0o
e para o
mercúrio θ = 140o
.
Figura 02 – Elevação capilar em um tubo de vidro.
A força que tende a levar a superfície da água é devida à tensão superficial da
água e se manifesta ao longo de toda a linha de contato da água com as paredes internas
do tubo de vidro. Essa força tem uma componente vertical dada por:
Fv = 2π.R.σ.cosθ

44
O equilíbrio será conseguido quando o peso da coluna de água de altura h for
suficientemente grande para se contrapor à força dada acima. O peso da coluna de água
será:
P = γπR2
h
Igualando as duas expressões, tem-se a equação que permite prever a altura capilar, h:
R
h
γ
θσ cos2
=
Através dessa equação podemos calcular a elevação capilar em um tubo de
vidro de 5mm de diâmetro, quando imerso em água a 20o
C. O resultado é h = 5,9mm.
Para o mercúrio deverá ocorrer uma depressão h = 1,4mm. Na prática consideram-se
desprezíveis os efeitos capilares se o diâmetro do tubo é superior a 10mm.
EXERCÍCIOS
Dados: g = 9,807 m/s
2
; 1 cm = 10
-2
m; 1 ft = 0,3048m, 1 pol = 2,54 cm, 1 lb =
0,4536 kg.
1. Dois dm
3
de um dado líquido pesam 1,640 kgf. Calcular o seu peso
específico, massa específica e densidade, expressos em unidades do
Sistema Internacional de Unidades.
2. Um reservatório cilíndrico de diâmetro igual a 8,50 m está preenchido com
três líquidos de massas específicas diferentes. O líquido que ocupa a parte
inferior do reservatório tem densidade 1,60 e forma uma camada de 0,45 m
de espessura. o líquido que ocupa a região intermediária tem densidade
1,30 e forma uma camada de 0,80 m de espessura. O líquido da camada
superior tem densidade 1,05 e espessura de 3,00 m. Nesse caso,
determinar a massa e o peso total dos fluidos no reservatório, em um local
situado a 20º de latitude Sul e a uma altitude de 1220 m.

45
3. Um reservatório cilíndrico de 8,50 m de diâmetro encontra-se cheio de um
líquido cuja massa específica varia linearmente com a altura, medida em
relação à0 sua base, segundo uma relação do tipo ρ = ρo + a.h, sendo ρo e a
constantes. Na base, quando h = 0, a massa específica é ρo = 1.600 kg/m
3
.
Na parte superior, em contato com a atmosfera, a 4,25 m do fundo, a
massa específica é ρ = 1.000 kg/m
3
. Nesse caso, determinar a massa e o
peso do fluido contido no reservatório em um local em que a aceleração da
gravidade vale 9,795 m/s
2
.
4. Um reservatório de aço, cilíndrico, de 4,0 m de diâmetro, está cheio de água
com temperatura variável, desde o fundo até 6,0 m de altura. No fundo do
reservatório, a massa específica da água vale 998,2 kg/m
3
e a 6,0 m de
altura vale 995,7 kg/m
3
. Adotando uma variação linear da massa específica
com a altura, determinar a massa de água contida no reservatório. Calcular,
ainda, o peso da água no reservatório em um local onde a aceleração da
gravidade vale 9,78 m/s
2
.
6. A água tem um módulo de compressibilidade volumétrico E = 21.000
kgf/cm
2
. Determinar o acréscimo de pressão necessário para reduzir o seu
volume em 0,5%.
6. Sabendo que o módulo de elasticidade volumétrico da água é E = 2.206,32
MPa, calcular o percentual de redução de volume da água quando a mesma
estiver sujeita a uma variação de pressão de 440 kPa.

47
Fig. 03 - Perfil de velocidades, u = f(y), de um escoamento hipotético.
Na Fig. 03, representa-se a velocidade, u, na direção do escoamento na direção
do eixo Ox, em relação a distância do ponto considerado ao contorno, na direção Oy,
perpendicular ao eixo Ox. Assim podemos dizer que u é depende de y ou que u é uma
função de y, o que, genericamente, pode ser representado por u = u(y). Assim, essa
função u = u(y) representa o perfil de velocidades, lei muito importante para definir as
propriedades de um escoamento.
Uma propriedade importante dessa função é expressa pela maneira como u
varia com y. A velocidade u varia desde zero, quando y for nulo, até um certo valor U
longe do contorno sólido. Para uma dada posição y, seja u o valor correspondente da
velocidade. Essa seria a velocidade de uma pequena camada de fluido centrada na
posição y. Se considerarmos uma camada de fluido adjacente, em uma posição y’ = y +
dy, o perfil de velocidade mostra que a velocidade correspondente será u’ = u + du.
Nesse caso, vê-se que a relação du/dy expressa a inclinação da tangente à curva do perfil
de velocidades na posição y em relação ao eixo Oy, conforme ilustrado na figura 04.
Essa inclinação é exatamente a taxa de variação de u com y para o escoamento
considerado. Ela é denominada de velocidade de deformação, taxa de deformação ou
gradiente de velocidades, pois é uma medida da velocidade de deformação contínua do
fluido durante o seu movimento. Observar que tal número atinge um valor máximo

48
quando y = 0, isto é, no contorno sólido, sendo decrescente na medida em que y
aumenta, em direção ao interior do fluido. Em alguns escoamentos essa taxa é tão
pequena que até pode ser considerada nula, como é o caso das regiões do escoamento
em que a velocidade deixa de variar. Observar, ainda, que du/dy tem dimensões de
tempo elevado ao expoente -1, isto é s-1
.
Fig. 04 - variação de velocidades entre duas camadas de
fluido de posições diferentes (y e y').
Na prática, uma maneira de se determinar o valor do gradiente de velocidade, é
adotar um triângulo de lados finitos, de abscissa ∆u e ordenada ∆y, valores muito
superiores aos infinitésimos du e dy, respectivamente. Logo
du/dy ≈ ∆u/∆y
tal valor, na verdade representa o coeficiente angular da tangente ao perfil de
velocidades em relação ao eixo Ou, na posição y. Quanto maior o ∆u adotado, maior
será o ∆y correspondente e, menor será o erro ao fazer a aproximação para du/dy.
Supondo que a camada de fluido que se encontra na posição y tenha uma área
infinitesimal, dA, e que a camada vizinha a ela também tenha a mesma área, a força
necessária para imprimir a alteração de velocidade du na camada superior será

49
denominada dFt. Essa, é uma força na direção do movimento do fluido, portanto uma
força tangencial, capaz de provocar o aumento de velocidade, du. Se a força na camada
superior (posição y' = y + dy) está para a direita (no sentido do movimento), na camada
inferior (posição y) a reação a ela certamente estará para a esquerda (sentido contrário
ao movimento). Nesse caso, na área dA das camadas de fluido, é possível definir a
relação dFt/dA como sendo a tensão cisalhante que age sobre a camada fluida, pela
relação:
dA
dF
A
F tt
A
=
∆
=
→∆ 0
limτ
A figura 05 ilustra o caso das placas planas de fluido escoando com
velocidades diferentes no interior do mesmo fluido.
Fig. 05 - Figura com camadas de velocidade u e u+du e área dA, com a força viscosa
dFt.
A unidade da tensão cisalhante é N/m2
ou pascal, Pa. Observar que, sob a ação
da tensão cisalhante, o fluido deforma continuamente, com uma velocidade ou taxa de
deformação dada por du/dy. A figura 05, ilustra os elementos envolvidos.
Experimentalmente, pode ser verificado que, para a grande maioria dos fluidos,
existe uma relação linear entre a tensão cisalhante e o gradiente de velocidades. Tal
observação foi feita por Isaac Newton no passado. Então,
τ α du/dy ou τ = k. du/dy

50
À constante de proporcionalidade da variação linear entre a tensão cisalhante e
o gradiente de velocidade, k, denominou-se viscosidade, viscosidade absoluta,
coeficiente de viscosidade ou viscosidade dinâmica. Nesse texto, ela será designada
apenas por viscosidade e será representada pela letra grega minúscula µ. Finalmente,
pode-se escrever que:
τ = µ. du/dy
Tal relação foi estabelecida por Isaac Newton por volta de 1687 e, em
homenagem a ele, é denominada de lei de Newton da viscosidade. Os fluidos que
obedecem essa lei durante o seu escoamento, recebem o nome de fluidos newtonianos.
O gráfico da figura 06, mostra dois fluidos newtonianos de viscosidades diferentes. O
fluido B tem viscosidade superior à do fluido A, oferecendo maior resistência ao
escoamento. Notar que, a inclinação da reta para o fluido B é maior do que a do fluido
A, confirmando que a viscosidade do primeiro fluido é maior que a do segundo fluido.
Fig. 06 - Gráfico mostrando dois fluidos newtonianos de viscosidades diferentes.
Na natureza não existem apenas fluidos newtonianos, embora a maioria dos
fluidos sejam desse tipo, assim como a água, o ar, o álcool, a gasolina ou certos óleos,
para citar apenas alguns. Existem também os fluidos não-newtonianos, para os quais a
tensão cisalhante não tem variação linear com o gradiente de velocidades, conforme
mostrado no gráfico da figura 07.

52
centésima parte do poise e que se representa por cPo, para expressar a viscosidade dos
líquidos e dos gases. Nessa unidade, a viscosidade da água a 20 ºC é de 1,0 cPo, daí ter
virado referência de viscosidade.
Existe uma relação entre as unidades Pa.s e Po, tendo-se em vista que 1 m2
=
104
cm2
e que 1 N = 103
g. 102
cm/s = 105
dyn. Assim 1 Po = 0,1 Pa.s.
Os demais sistemas de unidades têm a sua unidade de viscosidade, todavia de
pouco uso atualmente, razão pela qual não serão apresentadas nesse texto.
Alguns exemplos de viscosidade de líquidos são dados na tabela xx.
Tabela 10 - Viscosidades de alguns líquidos.
Líquido Viscosidade ou viscosidade
dinâmica, µ (Pa.s)
Água pura a 0ºC 0,0180
Água pura a 20 ºC 0,0010
Água pura a 100 ºC (líquido) 0,00 028
Água pura a 100 ºC (vapor) 0,000 012
Mercúrio metálico a 20 ºC 0,0 015
Glicerina a 20 ºC 1,52
Glicerina a 40 ºC 0,31
Gasolina a 20 ºC 0,00 029
Álcool etílico a 20 ºC 0,0 012
Óleo para motores SAE 10W 0,10
Sangue a 37 ºC 0,00 040
Viscosidade cinemática.
Em muitas equações destinadas a representar os escoamentos de fluido
aparecerá a relação entre a viscosidade e a massa específica, µ/ρ. Tal relação é
denominada de viscosidade cinemática, representada pela letra grega minúscula ν.
Assim, tem-se:
ν = µ/ρ.

53
mais uma vez, se uma relação existe entre grandezas físicas ela prevalece entre
as suas unidades em qualquer sistema de unidades coerente. logo, pode-se escrever que:
U(ν) = U(µ)/U(ρ).
A unidade de ν no Sistema Internacional de Unidades e no sistema técnico será
m2
/s. Já no sistema de unidades CGS a unidade de ν será cm2
/s, denominada de stoke e
abreviada por St. Então, pode-se concluir que 1 stoke = 1 cm2
/s = 10-4
m2
/s. Como o
stoke ainda é uma unidade grande de viscosidade cinemática, criou-se o centi-stoke ou
cSt igual à centésima parte do stoke, de forma que 1 cSt = 10-2
St = 10-6
m2
/s.
No estudo dos líquidos é bastante interessante explicitar as equações em termos de ν. Já
nos gases, é comum o uso de µ. A título de exemplo, verifica-se que a água, a 20 ºC,
tem viscosidade cinemática igual a 1,0.10-6
m2
/s.
Variação da viscosidade
A viscosidade de um fluido, em geral, depende da temperatura e da pressão.
Porém a variação da viscosidade de um líquido com a pressão é pequena e será
desconsiderada nos estudos dos escoamentos desse tipo de fluido. Por outro lado, a
variação da viscosidade com a temperatura é significativa e precisa ser considerada nos
diversos casos a serem estudados. Se a temperatura aumenta a viscosidade diminui no
caso dos líquidos, Já no caso dos gases a um aumento de temperatura corresponde um
aumento da viscosidade. Ver desenho esquemático na figura 08.
Nos líquidos as moléculas possuem mais energia e quando se aumenta
a temperatura a distância entre as partículas aumenta, fazendo com que as forças
intermoleculares de coesão ficam diminuídas de maneira que a força tangencial
necessária para executar um certo escoamento fica diminuída, assim como a
viscosidade. Já nos gases, como as moléculas já estão bem distantes umas das outras, as
forças intermoleculares de coesão são insignificantes de forma que o aumento da
temperatura causará mais colisões entre essas moléculas e, portanto maior resistência ao
escoamento. Nesse caso quando se aumenta a temperatura a viscosidade também
aumenta.

54
Fig. 08 - Figura ilustrando a variação da viscosidade
de gases e líquidos com T
Na prática constata-se que existe uma proporcionalidade entre a viscosidade e a
raiz quadrada da temperatura, para os gases, isto é:
Tαµ
A equação de Sutherland, para os gases informa que a viscosidade de um gás é
dada por:
T
b
Ta
+
=
1
µ
onde T é a temperatura absoluta e a e b são constantes determinadas experimentalmente
para cada gás. Para o ar a = 1,458 . 10-6
kg/(m.s.K0,5
) e b = 110,4 K, sob condições
atmosféricas normais. A viscosidade dos gases é considerada independente da pressão
sob condições de pressão baixa ou moderada. Considerar que, sob elevadas pressões, a
viscosidade aumenta, devido ao aumento na massa específica do gás.
Para os líquidos, a variação da viscosidade com a temperatura pode ser
aproximada por uma lei exponencial do tipo: cT
b
a −
= 10.µ
sendo T a temperatura absoluta e a, b e c são constantes determinadas
experimentalmente para cada líquido. Para a água, valores de a = 2,414.10-5
N.s/m2
, b =
247,8 K e c = 140 K permitem avaliar a viscosidade da água na faixa de temperatura
entre 0 e 350 ºC, com erro inferior a 2,5%, segundo Touloukian et al, 1975.

55
Diversos autores apresentam gráficos de variação da viscosidade dos fluidos
com a temperatura, conforme ilustrado na figura 09.
Figura 09 - Gráfico com a variação da viscosidade com a temperatura
para diversos fluidos. Fonte: Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e
Aplicações - Yunus A. Çengel e John M. Cimbala.
Para a água pura, a viscosidade também diminui com o aumento da
temperatura. Tal variação, para a viscosidade cinemática, pode ser vista na tabela 11.

56
Tabela 11 – Variação da viscosidade da água com a temperatura
Temperatura
(ºC)
Viscosidade
Cinemática
(10-6
m2
/s)
Temperatura
(ºC)
Viscosidade
Cinemática
(10-6
m2
/s)
0 1,792 24 0,923
1 1,729 25 0,901
2 1,673 26 0,880
3 1,623 27 0,859
4 1,567 28 0,839
5 1,523 29 0,819
6 1,476 30 0,804
7 1,431 32 0,765
8 1,388 34 0,732
9 1,346 36 0,702
10 1,308 38 0,674
11 1,269 40 0,657
12 1,238 45 0,615
13 1,208 50 0,556
14 1,179 55 0,520
15 1,146 60 0,478
16 1,123 65 0,442
17 1,096 70 0,416
18 1,069 75 0,381
19 1,043 80 0,367
20 1,007 85 0,337
21 0,993 90 0,328
22 0,969 95 0,311
23 0,946 100 0,296
Para fins de facilitar os cálculos, uma equação para determinação aproximada
da viscosidade cinemática da água, com T em ºC e ν em m2
/s foi ajustada chegando-se à
forma:
( ) ( )[ ] 62
10.1500068,015031,0146,1 −
−+−−= TTν

58
Figura 10 - hipótese do perfil linear de velocidades
Tal equação simples é útil em muitos problemas práticos onde não se requer
uma grande precisão nos cálculos ou onde o valor de y, para o qual a velocidade é u,
tornar-se significativamente pequeno.
A viscosidade ou a viscosidade cinemática de um fluido é determinada
experimentalmente através de equipamentos denominados de viscosímetros, que
funcionam sob vários princípios ligados aos escoamentos.
Viscosímetros funcionando segundo a queda de uma esfera no meio viscoso.
São equipamentos baseados na medição da velocidade de queda de uma esfera
dentro de um tubo de vidro preenchido com uma amostra do fluido (cerca de 130 ml)
cuja viscosidade deverá ser determinada. O tubo de vidro deve ter a sua superfície
interna retificada para que o diâmetro seja conhecido com rigor. Esse tubo é
ligeiramente inclinado (cerca de 10º) e nele são efetuadas três marcas externas a
distâncias previamente determinadas (geralmente 50 mm). Uma esfera de diâmetro e
massa específica conhecidos é deixada cair livremente no interior do fluido contido no
tubo. O tempo,∆t, gasto para a esfera passar entre a marca inicial e a final é medido e a
velocidade de queda determinada pela relação ∆L/∆t. Nesse caso, a viscosidade
(dinâmica) será proporcional a esse tempo. Levando-se esse tempo em uma equação
conveniente, perfeitamente dedutível em função das forças presentes, pode-se
determinar a viscosidade µ do fluido. Deve se ter o cuidado de envolver o tubo de vidro

59
em um banho termostático com a finalidade de se manter a temperatura sobre rigoroso
controle. Um tipo desse viscosímetro é o viscosímetro Höeppler, ilustrado na figura 11.
Sendo o fluido cuja viscosidade é objeto de determinação, de massa específica
ρf, o tubo de vidro de diâmetro interno Dt e a esfera de diâmetro De, feita de um material
(vidro ou aço inoxidável) de massa específica ρe. A velocidade de queda da esfera será
determinada cronometrando-se o tempo gasto pela esfera percorrer uma distância L
(entre as duas marcas extremas do tubo de vidro), no caso igual a 100 mm. Observe a
existência de uma marca intermediária a 50 mm da marca superior, que pode ser usada
para verificar se a velocidade da esfera é realmente constante. Não usar tempos de
queda inferiores a 30 s (média de pelo menos 3 medições). A viscosidade será dada por:
µ = k.t.(ρe - ρf),
sendo k uma constante que leva em conta os diâmetros do tubo e da esfera (portanto
cada esfera terá o seu próprio valor), a distância L e um fator de conversão de unidades.
Nessa equação µ será a viscosidade do fluido obtida em centipoise. Com esse
dispositivo pode-se medir viscosidades desde 0,01 centipoise até 10 000 poise.
Um dos modelos desse tipo de viscosímetro, fabricado pela Hoppler é ilustrado
na figura 11 e tem suas características dadas na tabela 12.
Tabela 12 - Dados do viscosímetro de queda de esfera Höeppler
Dados do Fabricante do viscosímetro Hoppler : ( )fetk ρρµ −∆=
Nro. da
Esfera
Faixa de µ
(centipoise)
Diâmetro da
esfera (mm)
Peso da
esfera (g)
ρe
(g/cm3
)
Constante
(k)
1 0,2 - 2,5 15,81 4,945 2,390 0,00712
2 2,0 - 20 15,66 4,801 2,389 0,0554
3 15 - 200 15,6 16,188 8,143 0,0910
4 100 - 1200 15,20 14,985 8,145 0,6430
5 800 - 10 000 14,28 11,729 7,694 4,60
6 6 000 - 75 000 11,12 5,559 7,723 33,0

60
Figura 11 - Desenho esquemático de um viscosímetro de queda de esfera.
Viscosímetros funcionando segundo o escoamento em um tubo capilar.
Nesse tipo de equipamento, um escoamento controlado é feito acontecer
através de um tubo capilar, de forma que ocorra um escoamento laminar. Nesse caso, a
medida do tempo de escoamento de um dado volume, sob certas condições, permite a
determinação da viscosidade cinemática. è o caso do viscosímetro de Ostwald.
Ainda utilizando tal princípio, existe o viscosímetro Saybolt Universal, muito
usado na indústria que trabalha com óleos e líquidos mais viscosos. Nesse caso, um
volume equivalente a 50 ml de líquido é colocado a escoar a partir de um reservatório
de dimensões padronizadas, através de um tubo de pequeno diâmetro (1,77 mm) e
comprimento padronizado (12,12 mm). O tempo de escoamento desse volume de
líquido, expresso em segundos, representa a sua viscosidade. Tal tempo, foi
denominado de SSU (Segundos Saybolt Universal). Esse tempo poderá ser utilizado em
equações empíricas para se chegar ao valor da viscosidade cinemática do líquido
ensaiado, em stoke ou m2
/s. Todo o equipamento é instalado em um banho termostático
para garantir que o escoamento ocorra à temperatura desejada. Os testes de óleos são
feitos a temperaturas de 21,1 ºC, 27,8 ºC, 54,4 ºC e 89,9 ºC e os tempos de escoamento
não devem ser inferiores a 32 segundos. Nesse caso, para tempos entre 32s e 100 s, a
viscosidade cinemática em centi-stokes será dada por:
t
t
195
226,0 −=ν

61
se os tempos forem superiores a 100 s, a equação a ser utilizada será:
t
t
135
226,0 −=ν
A figura 12 é um desenho esquemático desse tipo de viscosímetro.
Figura 12 - Desenho esquemático de um viscosímetro Saybolt Universal
Quando o tempo de escoamento fica demasiadamente elevado, é necessário
aumentar o diâmetro do tubo por onde acontece o escoamento, Assim, para líquidos de
viscosidade mais elevadas que os óleos, tais como asfaltos e graxas, existe um
viscosímetro semelhante ao Saybolt Universal, porém com maior diâmetro do tubo
(3,15 mm) e de mesmo comprimento (12,25 mm) que o Saybolt Universal, por onde
ocorrerá o escoamento. Tal viscosímetro é denominado de Saybotl Furol e deve ser
usado quando para líquidos de viscosidade superior a 1000 SSU. Da mesma forma, o
tempo de escoamento medido em segundos e a viscosidade é medida sem SSF
(Segundos Saybolt Furol). A viscosidade Saybolt Universal representa cerca de um
décimo da viscosidade Saybolt Furol. Também é possível converter a viscosidade em
segundos Furol para stoke ou m2
/s, através de equações empíricas convenientemente
determinadas para tal equipamento. Para conversão das viscosidades de SSF para centi-
stoke usam-se fórmulas empíricas que, para tempos SSF entre 22 e 40 será:
t
t
∆
−∆=
184
24,2ν
Se o tempo for superior a 40 SSF, a fórmula para o cálculo da viscosidade cinemática
em centi-stoke é

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