Cálculo C - Exercícios

1. 2oLista de exerccios de calculo C
1. Obtenha uma parametrizac~ao das seguintes curvas, determinando I.
(a) y = 2x + 7
(b) y x + 2 = 0
(c) x2 + y2 = 16
(d) (x 1)2 + (y + 1)2 = 4
(e)
x2
9
+
y2
4
= 36
2. Esboce o traco das seguintes curvas:
(a) x(t) = t; y(t) = t2
(b) x(t) = t +
1
t
; y(t) = t
1
t
(c) x(t) = sen(3t); y(t) = cos(3t)
(d) x(t) = t; y(t) = sen(t); z(t) = cos(t)
3. Determine as equac~oes da reta tangente das seguintes curvas nos pontos
dados:
(a) (t) = (t; 1 t2; 2); P = (0; 1; 2)
(b) (t) = (2t3 1; 3 5t2; 8t + 2); P = (1;2; 10)
(c) (t) = (et; tet; t + 4); P = (1; 0; 4)
(d) (t) = cos(t); sen(t); 1 2sen(t) P = (
4 ; 0;
4 )
4. Determine o comprimento de arco das seguintes curvas:
(a) (t) = (2(1 sen(t)); 2(1 cos(t))); 0 t
(b) (t) = (tcos(t); tsen(t)); 0 t
(c) (t) = (cos(2t); sen(2t); 5t); 0 t
(d) (t) = (t + 4; t; 8t + 2) 1 t 2
(e) (t) = (cosh(t); senh(t); t) 0 t 2
5. Calcule
Z
C
fds, onde:
(a) f(x; y) = 2xy2 e C e parametrizada por (t) = (cos(t); sen(t)).
1

2. (b) f(x; y) = x2 + y2 e C e o crculo x2 + y2 = 4 de A = (2; 0) a
B = (0; 2).
(c) f(x; y; z) = ez e C e parametrizada por (t) = (1; 2; t2).
(d) f(x; y) = x2 + y2 e C e a reta que liga os pontos A = (2; 0) a
B = (0; 2).
(e) f(x; y) = jxj + jyj e C e a reta que liga os pontos A = (2; 0) a
B = (2; 2).
(f) f(x; y) = jxj + jyj e C e a reta que liga os pontos A = (2; 2) a
B = (2; 0).
(g) f(x; y) = x+y e C e a fronteira do tri^angulo de vertices (0; 0); (1; 0)
e (0; 1).
(h) f(x; y; z) = x+y e C e a curva obtida pela intersec~ao do semiplano
x = y, y 0, com o paraboloide z = x2 + y2 e z 2.
6. Um arame tem a forma da curva obtida pela intersec~ao da porc~ao da
esfera x2 + y2 + z2 = 4 com y 0 com plano x + y = 2. Sabendo que
a densidade em ponto do arame e dada por f(x; y) = xy. Calcule a
massa toral do arame.
7. Deseja se construir uma peca de zinco que tenha a forma da superfcie
do cilindro x2+y2 = 4, compreendida entre os planos z = 0 e x+y+z =
2, z 0. Se o metro quadrado de zinco custa M reais calcule o valor
da peca.
8. Calcule
Z
C
Fdr, onde:
(a) F(x; y) = (y + 3x; 2x y) e C e a elipse 4x2 + y2 = 4, percorrida
no sentido anti-horario,
(b) F(x; y) = (xy;y) e C e formado pela reta que liga A = (3;3)
a B = (1; 1) e pelo arco de parabola y = x2 de B a C = (2; 4),
(c) F(x; y) = (x2 + y2; x2 y2) e C e o crculo unitario centrado na
origem, percorrida no sentido anti-horario,
(d) F(x; y) = (x2 + y2; x2 y2) e C e o crculo unitario centrado no
ponto (1; 0), percorrida no sentido horario,
(e) F(x; y; z) = (x; y; xzy) e C e o segmento reta que liga os pontos
A = (0; 0; 0) e B = (1; 2; 4),
(f) F(x; y; z) = (x2 y2; z2 x2; y2 z2) e C e a intersec~ao da esfera
x2 + y2 + z2 = 4 e o plano y = 1.
2

3. 9. Calcule
Z
C
ydx + x2dy, onde C e dada por:
(a) Circulo unitario centrado na origem no sentido anti-horario.
(b) Circulo unitario centrado na origem no sentido horario.
(c) O quadrado de vertices (1; 1); (1; 1); (1;1) e (1;1).
10. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forca dado.
(a) F(x; y; z) = (y; x; z2) para deslocar uma partcula ao longo da
helice (t) = (2cos(t); 2sen(t); 2t) do ponto (2; 0; 0) ao ponto
(2; 0; 4).
(b) F(x; y; z) = (y; z; x) para deslocar uma partcula ao longo de
(t) = (t; t2; t3) do ponto (0; 0; 0) a (2; 4; 8).
(c) F(x; y) = (
x
jj(x; y)jj3 ;
y
jj(x; y)jj3 ) para deslocar uma partcula ao
longo do crculo x2 + y2 = 1, x 0 do ponto (1; 0) ao ponto
(1; 0).
11. Considere
I
C
4ydx + 7xdy, onde C e o tri^angulo de vertices (0; 0); (4; 0)
e (2; 2) no sentido anti-horario.
(a) Calcule sem usar o teorema de Green.
(b) Calcule usando o teorema de Green.
12. Calcule as seguintes integrais usando o teorema de Green:
(a)
I
C
ey
x
dx+(eyln(x)+2x)dy, onde C e a fronteira da regi~ao limitada
por x = y4 + 1,
(b)
I
C
(cos(x) 5y)dx + (4x y1)dy, onde C e a fronteira da regi~ao
limitada por x2 9 = 0 e y 5 = 0,
(c)
I
C
(x y)dx x2dy, onde C e a fronteira da regi~ao [0; 2] [0; 2],
(d)
I
C
(ex 3y)dx + (ey + 6x)dy, onde C e a elipse x2 + 4y2 = 4,
(e)
I
C
(x + y)dx + (y x)dy, onde C e o crculo x2 + y2 2ax = 0,
3

4. (f)
I
C
(x+y)dx+(y +x2)dy, onde C e a fronteira da regi~ao limitada
por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4,
(g)
I
C
p
x+x2))dx+(x2 +tg(y2))dy, onde C e o quadrado de
(y +ln(
vertices (0; 0); (1; 0); (1; 1) e (0; 1).
13. Veri

5. que se
Z
C
Fdr independe do caminho tomado, caso a

6. rmativo
encontre a func~ao pot^encial.
(a) F(x; y) = (3x2y; x3 + 4y3)
(b) F(x; y) = (2xsen(y) + 4ex; cos(y))
(c) F(x; y) = (2y2sen(x); 6y2cos(x) + 5)
(d) F(x; y; z) = (y + z; x + z; x + y)
14. Considere a integral de linha
Z
C
(y2 xy)dx + k(x2 4xy)dy.
(a) Determine a constante k para que seja independe do caminho.
(b) Calcule o valor da integral de A = (0; 0) e B = (1; 1) para o valor
de k encontrado em (a).
15. Veri

7. que que as seguintes integrais independem do caminho e calcule
seus valores.
(a)
Z (3;4)
(1;2)
ydx xdy
x2
(b)
Z (1;3)
(0;2)
3x2ydx x3dy
y2
(c)
R (x0;y0)
(1;1) 2xydx + (x2 y2)dy
(d)
R (x0;y0)
(0;0) sen(y)dx + xcos(y)dy
16. Sejam F1(x; y) e F2(x; y) fumc~oes reais de classe C1 em U = R2
fA;Bg, tais que
@F1
@y
=
@F2
@x
em U. Sendo C1;C2;C3 as curvas dadas na

8. gura abaixo, calcule
Z
C3
F1dx+F2dy, supondo que
Z
C1
F1dx+F2dy =
12 e
Z
C2
F1dx + F2dy = 15.
4

9. 17. Seja D uma regi~ao do plano xy limitada pelas circunfer^encias C1 e C2
de equac~oes x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 25 respectivamente. Se F1(x; y) e
F2(x; y) Z
fumc~oes reais de classe C1 em D, quais os possveis valores da
integral
C
F1dx+F2dy, onde C e qualquer curva fechada contida em D,
C1, por partes, Sabendo que
Z
C1
F1dx+F2dy =
Z
C2
F1dx+F2dy = 2.
Quanto C1 e C2 est~ao orientada no sentido anti-horario.
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