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EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo2 de 16Se ,Se , um inteiro positivo, entãoSe , um número racional, o...
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EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo10 de 16Assim,( ) já queSabemos que: ( ( ) ( )( ( )) ( )Portanto,( )...
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EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo13 de 16Exemplo 7: Resolva em ( )Solução:( ) ( ) ( ) ( ) Como a base...
EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo14 de 16a)Para que ( ) ( ) possa ser calculado é preciso que e .Reso...
EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo15 de 16Exercício 3: Resolva em as seguintes equações:a) ( ) b) ( ( ...
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  1. 1. 1 de 16EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-CálculoCEDERJEP 14Pré-Cálculo__________________________________________________________________________Meus caros alunos.As funções de hoje são muito importantes: exponencial e logaritmo.Os logaritmos foram introduzidos no século XVII, e deram aos cientistas da época um poder de cálculo atéaquele momento inimaginável. A função exponencial tem uma grande importância nas aplicações daciência, da engenharia, da sociedade. Questões como crescimento populacional, crescimento bacteriano,decaimento radiativo, rendimento de dinheiro envolvem essas funções.Podemos dizer ainda mais, a exponencial é consequência dos logaritmos. O aparecimento do logaritmoocorreu no começo do século XVII onde as grandes navegações, comércios, empréstimos de dinheirosexigiam cálculos muito laboriosos, portanto, havia uma necessidade na época para que esses cansativoscálculos fossem simplificados. A essência era substituir complicados cálculos de multiplicação e divisão,por operações mais simples como a soma e a subtração respectivamente.Os dois matemáticos que desenvolveram os logaritmos foram o suíço Jobst Bürgi (1552-1632) e o escocêsJohn Napier (1550-1617) cujos trabalhos foram desenvolvidos independentemente.É muito importante que vocês leiam o Caderno de Coordenação da Disciplina – Semana 15 – Duasnotáveis funções e a Aula 31 – Funções exponencial e logaritmo do Módulo 4, Volume II que trata comdetalhe essas funções.Vamos apresentar aqui apenas um resumo das principais características dessas funções.Como orientação de estudo, chamamos a atenção que esse conteúdo está previsto para ser trabalhadoem duas semanas, portanto, na próxima semana não será disponibilizado novo EP.Função exponencialEm geral, uma função exponencial é uma função da forma:( )Essa função é dita função exponencial de baseO que significa ?Se , um inteiro positivo, então ⏟
  2. 2. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo2 de 16Se ,Se , um inteiro positivo, entãoSe , um número racional, onde e são números inteiros e , então √ (√ )Essas propriedades nós já conhecemos, agora, nos perguntamos: o que significa √ ?O que significa , quando é um número irracional?Nesse momento, vocês terão que acreditar que esses números existem! Explicar o significado de√ exige conceitos que serão abordados nas disciplinas de Cálculo: infinito, limite, limites desequência. Mas não se preocupem, isso não nos impedirá de estudar a função exponencial e a funçãologaritmo.Temos que;( ) ( ) ( )função crescente, injetora função decrescente, injetora função constante( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Observe nos gráficos que: quando ( ) , quanto mais decresce, tornando-se cada vez mais negativo, mais ovalor da ordenada aproxima-se de zero. quando ( ) , quanto mais cresce, mais o valor da ordenada aproxima-se de zero. foi colocada aqui a função ( ) apenas para compararmos os gráficos, ela não éconsiderada função exponencial, lembre que na definição de ( ) , a base deve serpositiva e diferente de 1.As principais propriedades da função exponencial:
  3. 3. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo3 de 16Se as constantes e são números reais positivos e diferentes de 1, e números reais quaisquer,então1. 2. para todo3.4. 5.6. ( ) 7. ( )8. e9. e Isto significa que ( ) é uma função crescente10. e . Isto significa que ( ) é uma função decrescenteVamos esboçar alguns gráficos da “família”
  4. 4. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo4 de 16A propriedade 8 acima diz que eDo gráfico podemos observar que para( ) ( ) ( ) ( )e( ) ( ) ( ) ( )Lembre queÉ importante não confundir ( ) (função exponencial de base constante ) com ( )(função potência de expoente constante ).Como exemplo vamos comparar graficamente as funções ( ) e ( ) .A função ( ) é uma exponencial de base e a função ( ) é uma função polinomial degrauPara , ( ) ( ) e para , ( ) ( ) .Portanto, os pontos ( ) ( ) são pontos dos gráficos das funções e
  5. 5. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo5 de 16Dos gráficos dessas funções, observamos que essas funções têm um outro ponto em comum, cujaabscissa é tal que . Não é possível determinar essa abscissa , mas existem resultadosque garantem a existência desse ponto de interseção e formas de dar uma boa aproximação desse valor.Também não é possível provarmos aqui, mas é verdade e podemos observar nos gráficos que: para ( ) para ( ) para ( ) para ( )Vamos nos concentrar na função exponencial com uma base especial. A função ( ) , onde échamada de "constante de Napier", é o número irracional, cuja aproximação com 9 casas decimais é:2,718281828. A função ( ) , por várias razões não explicáveis aqui, é a mais importante para amodelagem de fenômenos naturais, físicos e econômicos. Vocês verão nas próximas disciplinas de Cálculoque as fórmulas de Cálculo ficam muito mais simplificadas quando usamos a base " ".Vamos lembrar aqui as características mais importantes dessa funçãoA função ( ) :( )( ) ( ) ( )Você pode encontrar a notação: ( ) ( ).Importante:ou em outra notação ( ) ( ) ( )
  6. 6. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo6 de 16Assim, fica mais claro que a função exponencial nos transporta do mundo da adição para o mundo damultiplicação.Como entãoO gráfico de ( ) e suas importantes reflexões:( ) Reflexão em torno do eixo .( ) Reflexão em torno do eixo .( ) Reflexão em torno do eixoseguida de uma reflexão em torno do eixo( ) ( )
  7. 7. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo7 de 16( )A função ( ) é um a um, basta observar o seu gráfico e ver que ele atende o “Teste da RetaHorizontal”. Portanto, a função exponencial é inversível.( ) ( )função crescente, injetora função decrescente, injetoraVamos ver alguns exemplosExemplo 1: Resolva em , a equação ( )Solução:( ) ( )O conjunto solução é { }--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  8. 8. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo8 de 16Exemplo 2: Resolva em , a inequação ( )Solução:( ) ( ) ( ) . Como a base é tal que então a exponencial édecrescente e portanto, Logo, .Assim, o conjunto solução é ( )--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 3: Resolva em , a equaçãoSolução:( )O conjunto solução é--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 4: Esboce o gráfico de ( ) . Use transformações em gráficos para esboçar ográfico da função e esboce a sequência de gráficos que você usou até encontrar esse gráfico. Descrevaem palavras as transformações ocorridas.Solução:Uma possível sequência de transformações é:→ → →( )→→
  9. 9. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo9 de 16→Função logaritmoComo vimos acima a função ( ) com é inversível.Portanto, existe uma função inversa , chamada função logaritmo na base denotada por .Como ( ) e ( ) ( ) então( ) ( ) e ( ) ou seja,( ) ( ) e ( )Como ( ) ( ) então( ) ( )Por exemplo,( )
  10. 10. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo10 de 16Assim,( ) já queSabemos que: ( ( ) ( )( ( )) ( )Portanto,( )( )Gráficos de ( ) com vários valores dabase .As principais propriedades da função logaritmo:Seja Se e .forem números positivos, então1. ( ) ( ) ( )A função logaritmo nos transporta do mundo da multiplicação para o mundo da adição.2. ( ) ( ) ( )3. ( ) ( ) (onde é qualquer número real)4. ( ) ( ) Isto significa que ( ) ( )é uma função crescente.5. ( ) ( ) Isto significa que ( ) ( )é uma função decrescente.
  11. 11. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo11 de 16Mudança de base:Para e diferentes de 1 e se , vale a seguinte fórmula de mudança de base:Vamos falar agora do Logaritmo NaturalLogaritmo na base é chamado de logaritmo naturalou logaritmo neperiano e têm uma notação especial :( ) ( ).Vamos reunir aqui, importantes informações sobre o Logaritmo Natural1. A função logaritmo está definida para os números reais positivos.2. pode ser um número positivo, negativo ou nulo.3. ( )4. ( )5. ( )6. e .7. e8. e9. Se 0x e 0y , então: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) (onde é qualquer número real)10. Se e se então (mudança de base)
  12. 12. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo12 de 16O gráfico de ( ) ( ) e suas importantes reflexões:( ) ( ) Reflexão em torno do eixo yO( ) ( ) Reflexão em torno do eixo xO( ) ( ) Reflexão em torno do eixo yO , seguida de uma reflexão em torno do eixo xO .Mais exemplos envolvendo logaritmo e exponencial.Exemplo 5: Encontre sendo que ( ) .Solução:Sabemos que ( ) . Logo, .Uma outra forma de resolver essa questão é:( ) ( )--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 6: Resolva em √Solução:Para que a raiz quadrada possa ser calculada é preciso que ou seja .√ ( √ ) ( ) √ ( ) ( )( ) . Sabemos que ( ) ( ) , logo ( ) é solução.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
  13. 13. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo13 de 16Exemplo 7: Resolva em ( )Solução:( ) ( ) ( ) ( ) Como a base é menor que , então a exponencial édecrescente e portanto, O conjunto solução é ( )--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 8: Resolva em ( )Solução:Para que ( ) possa ser calculado é preciso queMas, √ | |Agora, ( ) ( )√ √É preciso saber se esses valores satisfazem a condição inicial.Como então , donde √ √ , portanto √ e √ .Isto mostra que √ √ são soluções da equação dada.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exemplo 9: Estude o sinal da função ( ) ( )Solução:Para que ( ) possa ser calculado é preciso queMas, √ √ | | √ √ √Logo, ( ) ( √ √ )Sabemos que, ( ) logo ( )Levando em consideração que, ( ) ( √ √ ) concluímos que, ( ) ( √ ) ( √ ).e ( ) .Exemplo 10: Resolva as equações:a) ( ) ( ) ( ) b)Solução:
  14. 14. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo14 de 16a)Para que ( ) ( ) possa ser calculado é preciso que e .Resolvendo a equação,( ) ( )( ) ( ) ( )⇒ ( ( ))( )⇒ ( )Verificando se as possíveis soluções satisfazem a condição inicial,, logo não é solução., logo é solução.Portanto, a única solução é .--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) ⇔ ( )( )⇔ ( ).Única solução: .E agora, aos exercícios:__________________________________________________________________________Exercício 1: Resolva em as seguintes equações:a) Resolva em a seguinte equaçãob) Se encontre o valor de______________________________________________________________________________________Exercício 2: Resolva em as seguintes inequações:a) ( ) b)______________________________________________________________________________________
  15. 15. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo15 de 16Exercício 3: Resolva em as seguintes equações:a) ( ) b) ( ( )) c) ( ) ( )______________________________________________________________________________________Exercício 4: Determine o domínio de cada uma das seguintes funções:a) 352 2)(  xxxexf b) )4(ln)( 2 xxg c))1(ln1)(xxhd)1)(ln1)(xxj e)xexk32)( f) )5(ln)( xxl g) 1)(ln)(  xxm h)xexxn1)( i) 212ln)(xxxgj)1623)(xxexh .______________________________________________________________________________________Exercício 5: Resolva em as seguintes inequações:a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) ( )______________________________________________________________________________________Exercício 6: Estude o sinal da função ( ) ( | |) Para isso encontre os valores reais de taisque ( ) ( ) ( ) .______________________________________________________________________________________Exercício 7: Use as propriedades das funções exponencial e logaritmo para simplificar as seguintesexpressões:a) )1(ln21)(ln  xx b) xxee 12ln c)23234 xxxeeed) )2(ln)2(ln1ln 3xxe) )3(ln)9(ln 2 xx .______________________________________________________________________________________
  16. 16. EP 14 – 2012 – 2 – Exponencial e Logaritmo Pré-Cálculo16 de 16Exercício 8: Resolva as seguintes equações:a) 42xe b) 1)4(xxe c) 1322 xxed) 1)1(ln 2 ex e) 0)(ln)2(ln 2 xx f) 0)32(12xexxg) 32   xxee h) 1)34( xxe i) 0)32(ln x .______________________________________________________________________________________Exercício 9 Esboce o gráfico das seguintes funções:a)xexf )( b)1)(xexg c) 24)(  xexjd) 11)(  xexh e)  xxk ln)(  f)  1ln)(  xxlg) )1(ln)(  xxm h) )1(ln)(  xxn i)  1ln)(  xxrj)  3 2ln6)(  xxs .______________________________________________________________________________________Bom trabalho!

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