Dinâmica cap17b

MECÂNICA - DINÂMICA
Dinâmica do Movimento
Plano de um Corpo Rígido:
Força e Aceleração
Cap. 17

Objetivos
Introduzir os métodos utilizados para calcular o
momento de inércia de massa de um corpo
Desenvolver as equações dinâmicas do movimento
plano para um corpo rígido simétrico
Discutir aplicações destas equações para corpos em
movimento de translação, rotação em torno de um eixo
fixo e movimento plano geral
TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2

17.3 Equações de Movimento: Translação
Translação retílinea:
Todas as partículas do corpo possuem a mesma
aceleração e a aceleração angular é nula.
 
m a


F
x G x
m  a
y G y


F
 G  0 M
M ma d A G  

Translação curvílinea:
Todas as partículas do corpo descrevem
um trajeto curvo paralelo.
 
 
m a
m a



 
n G n
t G t
M
M e ma h ma
   
0
G
B G t G n




F
F

Exemplo 17.8a
A viga BD de 100 kg é suportada por duas hastes de
massa desprezível. Determine a força criada em cada
haste no instante que q = 300 e w = 6 rad/s.

16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo
Movimento do Ponto P
v ω r v ω r
a α r ω ω r a α r r
 
v ωr
a r
a 2
r
2

t
n
P
P P
ω
ω



    
      
 
Resumo:

Exemplo 17.8a - Solução
A viga BD move-se em movimento curvilíneo, desde que
os pontos B, D e o centro de massa G se movem ao longo
de trajetórias circulares de raio 0.5m. Usando
coordenadas normais e tangenciais:
 a  w 2 r  (6) 2 (0.5)   a  
18.000 m/s 2 G n G n

Exemplo 17.8a - Solução
Equações de movimento:
 
   
F m a T T
    
  
n G n B D
t G t G t
   
18.000
  
G B D
1.32 kN
B D
 
 
0
0
2
2
0 0
4.900
981.00cos30 100( )
981.00sin 30 100
0 cos30 0.4 cos30 0.4 0
Resolvendo o sistema de equações:
0 m/s
18.000 m/s
a
G t
n
G
T
F a
T
m
T
a
a
M T









Exemplo 17.8b
A viga BD de 100 kg é suportada por duas hastes de
massa desprezível. Determine a força criada em cada
haste no instante t=0.2 s sendo que no instante t=0 as
hastes fazem um ângulo de 450 e estão em repouso.
450

Exemplo 17.8b - Solução
A viga BD move-se em movimento curvilíneo, desde que
os pontos B, D e o centro de massa G se movem ao longo
de trajetórias circulares de raio 0.5m. Usando
coordenadas normais e tangenciais:

Translação curvílinea:
Todas as partículas do corpo descrevem
um trajeto curvo paralelo.
 
 
m a
m a



 
n G n
t G t
M
M e ma h ma
   
0
G
B G t G n




F
F

v ω r v ω r
 
v ωr
a r
a 2
r
2

t
n
P
P P
ω
ω



    
      
 
Resumo:

   
a  r   a

F  m a  T  T
 
F  m a   
a
M   T  T   T 
T
T

G n G n
 
   
n G n B D
t G t G t
   
G B D B D
0cos 100(0.5 )
 

981.00sin 10
0
 
2 2 2
2
2
2
( ) (0.5) 0.5
981.00cos 100(0.5 )
981.00sin 100
0 cos 0.4 cos 0.4 0
2 981.0
25 490.50cos
9.810
0sin
B
G t
B
G t
a
T
a
w w w
q w
q
q
w q
q
q
q w
q


 






v ω r v ω r
 
r
2
r
2
v ωr
a
n
P
P P
t
a
ω
ω




    
      
 
Resumo:

Movimento Angular
Posição Angular:
Deslocamento Angular:
Velocidade Angular:
dq
Aceleração Angular:
q
qd
dt
w 
d
dt
w
 

T= 25w 2 + 490.50cosq
B ( a)= -9.8100sinq
G t
ar = -9.8100sinq =a(0.5)
a = -19.620sinq ou
q = -19.620sinq ou
d
dq
dt
dt
æ
è ç
ö
ø ÷= -19.620sinq
que é a equação de movimento do pêndulo.

Equação do movimento do pêndulo:
   
2
2 19.620sin
d
t t
dt
q   q
ver solução exata em:
http://www.phy.davidson.edu/StuHome/BeKinneman/pendulum/report.htm
(arquivo mht incluso) e no arquivo Maple incluso.

 
0.2 0.5208 rad 29.84
 
0
q
 
    
19.62sin 0.5208 9.7624 rad/s
2.5181 rad/s
2
 a   0.5 w
2   a


3.1704 m/s
2
G n G n
 a     a

      
9.81sin 9.81sin 0.5208 4.8812 m/s
 
q
G t G t
2 2
    
25 490.5cos 25( 2.5181) 490.5cos 0.5208
T T
  
583.9909 584 N
2
 
 
B
B B
T
w q
w

Objetivos

17.4 Eq. de Movimento: Rotação em Torno de um Eixo Fixo
O corpo rígido (ou disco),
sujeito a forças e momentos
externos, possui um movimento
tal que o centro de massa G gira
numa trajetória circular em torno
de O. Assim a aceleração é
representada pelas componentes
normal e tangencial.

Diagrama de corpo livre:
Equações de Movimento:
 
 
2
m a m r
m a m r
 
w
 

n G n G
t G t G


F
F
G G M αI
Momento em relação ao centro de massa

Diagrama de corpo livre:
 
 
m a m r
m a m r
 
w
 

n G n G
t G t G
MO αIO
2
Momento em relação ao centro de rotação


F
F

Exemplo 17.10
A barra esbelta de 20 kg está em movimento planar de
rotação e no instante mostrado com uma velocidade
angular de 5 rad/s. Determine a aceleração angular e as
componentes horizontal e vertical da reação de apoio no
pino neste instante.

Exemplo 17.10 - Solução
Diagrama de corpo livre e
cinético:

2 2
  
   
(20)(5) (1.5)
20(9.81) 20( )(1.5)
F m r O
F m r O
n G n
t G
 
2
M I O
Resolvendo o sistem
2
1
1.5 60 (20)(3)
12
750 N
19.0 N
5.
a de equaç
90 rad/s
ões:
n
t
t
G G t
O
O
w
 



 


    






Equação do momento em
relação ao centro de rotação:
2
MO  IO 
2
1
60 20(9.81)(1.5) (20)(3)
3
5.90 rad/s


 
     
 


Objetivos

17.5 Equações de Movimento: Movimento Plano Geral
O corpo rígido (ou disco),
sujeito a forças e momentos
externos, possui um movimento
de rotação e translação.

Diagramas de corpo livre e cinético:

 
 

F

m a

F

m a

 
x G x
y G y
M 
αI
M

G G
 M

P k P

Problemas de rolamento com atrito
 
 
m a
m a


P F ma
N mg
Fr αI
x G x
y G y
M 
αI
G G
 


Uma quarta equação é necessária para
encontrar as quatro incógnitas.



F
F
G
G
aG  αr

Sem deslizamento
F  sN
Se esta condição não for satisfeita
então o problema deve ser tratado
como segue

Com deslizamento
F  k N

Exemplo 17.15
A roda de 50 lb possui um raio de
giração de 0.70 ft. Se um
momento de 35 lb.ft for aplicado
na roda, determine a aceleração do
seu centro de massa G. Os
coeficientes de atrito estático e
dinâmico entre a roda e o plano A
são s=0.3 e k=0.25,
respectivamente

O disco não possui espessura constante, pois se
assim fosse seu raio de giração seria:
1
2
1 2
2 0.70711
2
0.88388 m
G
G
mr
I r
k r
m m
k
   


Assim podemos estimar o valor de I a partir do
raio de giração dado:
2
k I m k
( )
I
  
G G G
2 2
G
m
50
I   I

(0.7) 0.76087 slug.ft
G G
32.2

m a

F
x G x
M 
αI
F a
G G
F 

35  1.25( ) 
(0.76087)
A

 
m  a
y G y


F
50
32.2
50 0
A G
A
N

 
A quarta equação é dada pela cinemática. Supondo
que não exista deslizamento:
(1.25) G a  αr  α

Supondo que não exista deslizamento e resolvendo
as equações anteriores:
N F
 a
 50.000 lb 
21.315 lb
A A
2 2
=10.982 rad/s 13.727 ft/s
G

s Verificando F   N
21.315  0.3(50)21.315 15
Como esta condição não foi satisfeita
então o problema deve ser tratado
como segue

Supondo que exista deslizamento:
N
F N F

  
50.000 lb
0.25 12.500 lb
do novamente:
2 2
Resolven
=25
 a 
.5 rad/s 8.05 ft/s
A
A A A
G

Dinâmica cap17b

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