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SOLUC¸˜OES
XXIX OPM - 1a
Eliminat´oria - 10.11.2010 - Categoria J´unior - 6o
/7o
Quest˜ao 1:
cada opc¸ ˜ao correcta: 4 pontos
cada opc¸ ˜ao errada: -1 ponto
Quest˜oes 2, 3, 4: 8 pontos cada
Sugest˜oes para a resoluc¸ ˜ao dos problemas
1. (a) Opc¸ ˜ao D.
(b) Opc¸ ˜ao B.
(c) Opc¸ ˜ao A.
(d) Opc¸ ˜ao C.
2. Considere-se o terreno da Joana na figura seguinte:
A B
CD
E
F
G
H
I
J
Como a ´area do quadrado [AEIH] mede 4 m2, ent˜ao AE = EI = 2 m. Da mesma forma se conclui que
CG = CF = 3 m.
Soluc¸ ˜ao 1: Assim, HJ = HI +IJ = 2+5 = 7 m e IF = IJ +JF = 5+3 = 8 m. Logo, a ´area de [HJGD]
mede 7 × 3 = 21 m2 e a ´area de [EBFI] mede 8 × 2 = 16 m2. Portanto, a ´area do terreno plantado com
batatas mede 21 + 16 = 37 m2.
Soluc¸ ˜ao 2: Assim, AB = AE +EB = AE+IJ +JF = 2+5+3 = 10 m e AD = AH +HD = AH +CF =
2 + 3 = 5 m. Portanto, a ´area do terreno rectangular mede 10 × 5 = 50 m2. A ´area do terreno plantado com
batatas ´e a ´area do terreno rectangular menos as ´areas dos terrenos plantados com alfaces e nabos, ou seja,
mede 50 − 9 − 4 = 37 m2.
3. Soluc¸ ˜ao 1: Se houvesse apenas 5 alunos do 7◦ ano, ent˜ao haveria apenas 1 aluno do 6◦ ano, ou seja, ao
todo seriam apenas 6 participantes. Se houvesse apenas 6 alunos do 7◦ ano, ent˜ao haveria apenas 2 alunos
do 6◦ ano, ou seja, ao todo seriam apenas 8 participantes. Continuando esta sequˆencia, observa-se que se
houver 16 alunos do 7◦ ano, ent˜ao h ´a 12 alunos do 6◦ ano, ou seja, ao todo h ´a 28 participantes. Portanto,
participaram 12 alunos do 6◦ ano no torneio.
Soluc¸ ˜ao 2: Como o ´ultimo aluno do 6◦ ano jogou com todos os alunos do 7◦ ano, ent˜ao h ´a mais quatro
participantes do 7◦ ano que do 6◦ ano. Ent˜ao, para al´em destes 4 alunos a mais do 7◦ ano, existem 24
participantes, em igual n´umero do 6◦ ano e do 7◦ ano. Portanto, participaram 24 : 2 = 12 alunos do 6◦ ano
no torneio.
4. Como a Lu´ısa ´e mais alta do que o Pedro e a diferenc¸a entre as alturas da Lu´ısa e da Beatriz ´e igual `a diferenc¸ a
entre as alturas da Beatriz e do Pedro, podemos afirmar que a Lu´ısa ´e mais alta do que a Beatriz e que esta
´e mais alta do que o Pedro. Se o David fosse mais baixo do que a Lu´ısa, ent˜ao a soma das alturas dos dois
rapazes seria inferior `a soma das alturas das duas raparigas. Logo o David ´e mais alto do que a Lu´ısa e portanto
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Poema - Maio Laranja
 

Soluções6ºano

  • 1. SOLUC¸˜OES XXIX OPM - 1a Eliminat´oria - 10.11.2010 - Categoria J´unior - 6o /7o Quest˜ao 1: cada opc¸ ˜ao correcta: 4 pontos cada opc¸ ˜ao errada: -1 ponto Quest˜oes 2, 3, 4: 8 pontos cada Sugest˜oes para a resoluc¸ ˜ao dos problemas 1. (a) Opc¸ ˜ao D. (b) Opc¸ ˜ao B. (c) Opc¸ ˜ao A. (d) Opc¸ ˜ao C. 2. Considere-se o terreno da Joana na figura seguinte: A B CD E F G H I J Como a ´area do quadrado [AEIH] mede 4 m2, ent˜ao AE = EI = 2 m. Da mesma forma se conclui que CG = CF = 3 m. Soluc¸ ˜ao 1: Assim, HJ = HI +IJ = 2+5 = 7 m e IF = IJ +JF = 5+3 = 8 m. Logo, a ´area de [HJGD] mede 7 × 3 = 21 m2 e a ´area de [EBFI] mede 8 × 2 = 16 m2. Portanto, a ´area do terreno plantado com batatas mede 21 + 16 = 37 m2. Soluc¸ ˜ao 2: Assim, AB = AE +EB = AE+IJ +JF = 2+5+3 = 10 m e AD = AH +HD = AH +CF = 2 + 3 = 5 m. Portanto, a ´area do terreno rectangular mede 10 × 5 = 50 m2. A ´area do terreno plantado com batatas ´e a ´area do terreno rectangular menos as ´areas dos terrenos plantados com alfaces e nabos, ou seja, mede 50 − 9 − 4 = 37 m2. 3. Soluc¸ ˜ao 1: Se houvesse apenas 5 alunos do 7◦ ano, ent˜ao haveria apenas 1 aluno do 6◦ ano, ou seja, ao todo seriam apenas 6 participantes. Se houvesse apenas 6 alunos do 7◦ ano, ent˜ao haveria apenas 2 alunos do 6◦ ano, ou seja, ao todo seriam apenas 8 participantes. Continuando esta sequˆencia, observa-se que se houver 16 alunos do 7◦ ano, ent˜ao h ´a 12 alunos do 6◦ ano, ou seja, ao todo h ´a 28 participantes. Portanto, participaram 12 alunos do 6◦ ano no torneio. Soluc¸ ˜ao 2: Como o ´ultimo aluno do 6◦ ano jogou com todos os alunos do 7◦ ano, ent˜ao h ´a mais quatro participantes do 7◦ ano que do 6◦ ano. Ent˜ao, para al´em destes 4 alunos a mais do 7◦ ano, existem 24 participantes, em igual n´umero do 6◦ ano e do 7◦ ano. Portanto, participaram 24 : 2 = 12 alunos do 6◦ ano no torneio. 4. Como a Lu´ısa ´e mais alta do que o Pedro e a diferenc¸a entre as alturas da Lu´ısa e da Beatriz ´e igual `a diferenc¸ a entre as alturas da Beatriz e do Pedro, podemos afirmar que a Lu´ısa ´e mais alta do que a Beatriz e que esta ´e mais alta do que o Pedro. Se o David fosse mais baixo do que a Lu´ısa, ent˜ao a soma das alturas dos dois rapazes seria inferior `a soma das alturas das duas raparigas. Logo o David ´e mais alto do que a Lu´ısa e portanto ´e o mais alto dos quatro amigos. spm