Introdução ao estudo de sistemas de potência

Análise de Sistemas de Potência (ASP)
Introdução ao estudo de sistemas de potência – Sérgio Haffner Versão: 25/8/2008 Página 1 de 23
Introdução ao estudo de sistemas de potência
Representação fasorial
• Aplicada a circuitos assintoticamente estáveis1
, para o estudo do seu regime permanente senoidal.
• Correntes e tensões representadas por números complexos (amplitude e ângulo de fase).
• Freqüência considerada implicitamente.
t
[rad]
g(t)
−φ
G
-G
ω
( ) ( )φω += tYty cosmax ( ) ( )tj
eYty ω
Re2=
3 parâmetros: maxY – amplitude
ω – velocidade angular
φ – ângulo de fase
φφ
22
maxmax Y
e
Y
Y j
== representação fasorial de ( )ty ou a
transformada fasorial de ( )ty .
Y contém 2
/3 das informações de ( )ty a saber, maxY e φ .
1
Nenhuma raiz da equação característica está no eixo imaginário ou no semiplano direito do plano complexo.
A resposta natural tende a zero: ( ) 0lim =∞→ tynt
A resposta completa tende à resposta forçada: ( ) ( ) ( ) ( )tytytyty ffntt =+= ∞→∞→ limlim

π/2 ω t [rad]
cos
sen
Um ângulo de fase 2
πφ −= , transforma a função cosseno
em seno:






−=
2
cossen
π
ωω tt






+=
2
sencos
π
ωω tt
α
g1(t) g2(t)
ω t [rad]
Defasagem é a diferença entre os ângulos de fases de
duas funções do tipo senoidal de mesma velocidade
angular ω.
Sendo ( ) ( )111 cos φω += tGtg
( )








−+=
2
122 cos
φ
αφωtGtg
A defasagem entre ( )tg1 e ( )tg2 é
( ) ααφφφφ =−−=− 1121
( )tg1 está adiantada em relação à ( )tg2 do ângulo αααα
( )tg2 está atrasada em relação à ( )tg1 do ângulo αααα.

Impedância [ΩΩΩΩ] e admitância [ΩΩΩΩ-1
ou siemens]
Circuito
linear
invariante
em regime
permanente
senoidal
( ) [ ]tj
eVtv ω
Re2=
+
–
( ) [ ]tj
eIti ω
Re2=
( )
Y
jZ
1
=ω
( ) jXR
I
V
jZ +==
∆
ω
( )
( )
jBG
V
I
jZ
jY +===
∆
ω
ω
1
reatância
aresistênci
=
=
X
R
iasusceptânc
acondutânci
=
=
B
G
Resistor ( ) ( )tRitv = [ ]
( )
[ ]
( )
[ ]tj
ti
tj
tv
tj
eIReIReV ωωω
Re2Re2Re2 ==
IRV = ( ) RjZ R =ω ( )
R
jY R
1
=ω
Indutor ( ) ( )ti
dt
d
Ltv = [ ]
( )
[ ]( )
( )
( ) [ ]tjtj
ti
tj
tv
tj
eILje
dt
d
ILeI
dt
d
LeV ωωωω
ωRe2Re2Re2Re2 =





==
ILjV ω= com LX L ω= ( ) LjjZ L ωω = ( )
L
j
Lj
jY L
ωω
ω
11
−==
Capacitor ( ) ( )tv
dt
d
Cti = [ ]
( )
[ ]( )
( )
( ) [ ]tjtj
tv
tj
ti
tj
eVCje
dt
d
VCeV
dt
d
CeI ωωωω
ωRe2Re2Re2Re2 =





==
VCjI ω= ⇔ Cj
I
V
ω
= ( )
C
j
Cj
jZ C
ωω
ω
11
−== ( ) CjjY C ωω =

Elemento Equações Relação de fase
Forma fasorial:
( ) [ ]tj
eIti ω
Re2=
( ) [ ]tj
eVtv ω
Re2=
Diagrama fasorial Relação no tempo
( )tv
+
–
( )ti
R
( ) ( )φω += tVtv cosmax
( ) ( )φω += tIti cosmax
( )ti e ( )tv
em fase
IRV =
I
φ
V
i(t)
v(t)
( )tv
+
–
( )ti
L
( ) 





−+=
2
cosmax
π
φωtIti
( )ti atrasada
de ( )tv de 90°
ILjV ω=
LX L ω= I
φ
V
i(t)
v(t)
( )tv
+
–
( )ti
C
( ) 





++=
2
cosmax
π
φωtIti
( )ti adiantada
de ( )tv de 90°
I
Cj
V
ω
1
=
C
XC
ω
1
=
I
φ
V
i(t)
v(t)

Associação de Impedâncias
Série
– –
V
+
–
1V+I 2V+ +
1Z 2Z nZ
V
+
–
I
eqZ≡
nV–
neq ZZZZ +++= …21
n
nn
eq ZZZ
I
V
I
V
I
V
I
VVV
I
V
Z +++=+++=
+++
== ……
…
21
2121
LKT
Paralela
V
+
–
I
1Z 2Z nZ
V
+
–
I
eqZ≡
1I 2I nI
n
eq
ZZZ
Z
111
1
21
+++
=
…
nn
n
eq
ZZZZ
V
Z
V
Z
V
V
III
V
I
V
Z
111
1
2121
21
LKC
+++
=
+++
=
+++
==
……
…

Potência complexa
+
)cos()( max φω += tVtv
)cos()( max θφω −+= tIti
-
)(tv
)(ti
φ
V
I
θ
Re
Im
φ
2
maxV
V =
θφ −=
2
maxI
I
SISTEMA
Potência instantânea fornecida para o sistema:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp coscosmaxmax
( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen
2
22cos1cos
2
maxmaxmaxmax
++++= t
IV
t
IV
tp
( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp

0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente em fase com a tensão
wt
v(t),i(t),p(t)
v(t)
i(t)
p(t)
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente atrasada de 90 graus
wt
v(t),i(t),p(t)
v(t)
i(t)
p(t)
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente adiantada de 90 graus
wt
v(t),i(t),p(t)
v(t)
i(t)
p(t)
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente atrasada de 30 graus
wt
v(t),i(t),p(t) v(t)
i(t)
p(t)

Potência ativa (eficaz, útil, que produz trabalho): valor médio da potência instantânea:
( )[ ] ( )[ ]∫∫ ++++=∆
TT
dttVItVI
T
dttp
T
P
00
22sensen22cos1cos
1
)(
1
φωθφωθ
θcosVIP = [W]
Potência reativa: corresponde ao valor máximo da parcela em sen(2ωωωωt+2φφφφ) da potência instantânea:
θθ sensenI VIVQ =∆ [var]
Convenção2
: INDUTOR: “consome” potência reativa
CAPACITOR: “gera” potência reativa
Potência aparente: obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q:
22
QPVIS +== [VA]
S
P
jQ
IV ∠−∠=θ
Característica INDUTIVA
S
P
jQ
IV ∠−∠=θ
Característica CAPACITIVA
2
Observar que a parcela representada pela potência reativa apresenta valor médio nulo, ou seja, não existe geração nem consumo
efetivo, na metade do ciclo o elemento absorve energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é adequada porque
na metade do ciclo em que o indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa.

Fator de potência é obtido pela relação entre as potências ativa e aparente:
θ
θ
cos
cos
===
VI
VI
S
P
FP
Potência complexa: obtida pelo produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente
jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+−=⋅= θθθθφφ sencos
*
O ângulo da potência só depende do ângulo entre a tensão e a corrente (θ)
φ
V
I
θ
Re
Im
φφ V
V
V ==
2
max
θφθφ −=−= I
I
I
2
max

Exercício Enade 2005

Sentido do fluxo de potência
+
-
V
I
αVV =
βII =
SISTEMA
A
SISTEMA
B
Potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A:
( ) ( ) jQPjVIVIVIIVIVS +=−+−=−=−=⋅= βαβαβαβα sencos
*
900
:
:
<<
→
→
ψ
BA
BA
Q
P
18090
:
:
<<
→
→
ψ
BA
AB
Q
P
360270
:
:
<<
→
→
ψ
AB
BA
Q
P
270180
:
:
<<
→
→
ψ
AB
AB
Q
P
P [W]
Q [var]
βαψ −=
αVV =
βII =

Fonte trifásica ideal
BNV
ANV
+
+
N
CNV
+
ABV
BCV
CAV
+
–
+
–
–
+
(opcional)
A
B
C
ABV
BCV
CAV
+
++
ABV
BCV
CAV
+
–
–
–
+
+
N
Conexão estrela Conexão triângulo.
ANV
ωCNV
BNV
ABV
BCV
CAV

Tensões de fase e de linha
Tensões de Fase (φ):
ANV
ωCNV
BNV
CNBNAN VVV ;;
ABV
BCV
CAV
ANV
ω
CNV
BNV
ABV
BCV
CAV
Tensões de Linha (L):
CABCAB VVV ;;
CACBBA VVV ;;
BAV
CBV
ACV
φVVL 3=

Carga trifásica ideal
N
YZ
YZ
YZ
A
B
C
N
∆Z
∆Z
∆Z
A
B
C
Ligação estrela. Ligação malha ou triângulo.
Equivalência estrela/triângulo
YZZ 3=∆

Potência complexa em circuitos trifásicos equilibrados
1φ
2φ
3φ
1I
2I
3I
NI
NV 1
+
NV 2
+
NV 3
+
N
Sistema A
Sistema B
333
222
111
333
222
111
β
β
β
α
α
α
II
II
II
VV
VV
VV
NN
NN
NN
=
=
=
=
=
=
333
222
111
βαθ
βαθ
βαθ
−=
−=
−=
Potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A:
333322221111
*
33
*
22
*
11333 βαβαβαφφφ −+−+−=⋅+⋅+⋅=+= IVIVIVIVIVIVjQPS NNNNNN
Fator de potência médio:
φ
φ
3
3
médio
S
P
FP =

Sistema trifásico simétrico alimentando uma carga equilibrada
θθφφ cos3cos33 LLL IVIVP ==
θθφφ sen3sen33 LLL IVIVQ == θ
φ
φ
φ cos
3
3
3 ==
S
P
FP
LLL IVIVS 333 == φφ
( ) ( ) ( ) ( )
θθθ
θφωθφωθφωθ
φ
φ
cos33cos
2
3cos3
2
1
12022cos12022cos22coscos3
2
1
1
0
3
VIP
IV
IV
tttIVtp
mm
mm
mm
====
=








−−+++−++−++=
=
A potência trifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado3
, através de tensões
simétricas, é constante. Assim, embora a potência instantânea fornecida por intermédio de cada uma
das fases seja variável, o somatório de todas as contribuições é constante.
3
Observar que o resultado obtido pode ser estendido para qualquer sistema polifásico simétrico que alimente cargas
equilibradas, ou seja, a potência polifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado, alimentado por tensões
simétricas, é constante.

Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 25/8/2008 Página 18 de 23
G1
G2
1 2 3
4
T1 T2
Y-Y Y-Y
• • • •
(a) Diagrama unifilar.
• • • •
• • • •
• • •
• • •
• • •
• • •
••• • • • •
•• • • •••
•
•
•
•
(b) Diagrama trifilar de impedância.
• • •
• • •
(c) Diagrama de impedância por fase (em pu).
Gerador Transformador 1 Transformador 2
Carga e
Gerador 2
G1
G1
G1
G1
G2
G2
G2
G2
Linha de
Transmissão

O sistema por unidade (pu)
Na análise de sistemas de energia elétrica são utilizadas unidades relativas (pu).
Justificativas:
• Manter os parâmetros do sistema elétrico dentro de uma faixa de valores conhecidos (evitando
erros grosseiros) Valores em pu próximos a unidade significam proximidades do valor nominal;
valores de tensão muito abaixo ou acima de 1 pu representam condições anormais de operação.
• Eliminar todos os transformadores ideais do sistema elétrico.
• Tensão de operação do sistema permanece sempre próxima da unidade.
• Todas as grandezas possuem a mesma unidade (embora os valores de base sejam diferentes)
basevalor
atualvalor
puemvalor = (valor base = número real)
Para todo o sistema define-se a potência base:
basebase3
base3
base 3
3
φφ
φ
φ SS
S
S =⇔= [MVA]
Tensão base, baseV , (tensão nominal do sistema na região de interesse):
basebase
base
base 3
3
φφ VV
V
V L
L
=⇔= [kV]

Corrente base, baseI , e a impedância base, baseZ (obtidas a partir da potência e da tensão de base)
base
base3
base
base3
base
base
basebase
3
3
3
LL
YL
V
S
V
S
V
S
II
φ
φ
φ
φ
====
base
base3base
base
33 L
L
V
SI
I
φ
==∆
base3
2
base
base
base
base
φ
φ
S
V
I
V
Z L
Y
Y ==
base3
2
base
base
base
basebase 333
φ
φ
S
V
I
V
ZZ L
Y
Y ===∆
Duas classes de grandezas de base:
• Primárias – Nesta classe se incluem a potência base, definida para todo o sistema, e a tensão
base, que varia em função da tensão nominal da região em análise.
• Secundárias – Nesta classe se incluem a corrente base e a impedância base que são calculadas
em função da potência base (definida para todo o sistema) e dos valores nominais de tensão,
utilizados como tensão base na região em análise.
Mudança de base de uma impedância na base 1, ( )1basepuZ , para a base 2, ( )2basepuZ :
( ) ( )
2base
1base
1basepu2basepu
Z
Z
ZZ = ( ) ( )
1base3
2base3
2
2base
1base
1basepu2basepu
φ
φ
S
S
V
V
ZZ
L
L






=

Introdução ao estudo de sistemas de potência

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